Комбинаторика и ее функции — Combinatorica и CombinatorialFunctions

Несколько функций комбинаторики (Factorial, Factorial2, Binomial, Multinomial, Pochhammer и Fibonacci) могут использоваться без загрузки пакетов расширения. Рисунок 11.5 демонстрирует работу подпакета Combinatorial-Functions (функции комбинаторики). Определения функций этого пакета есть в справочной базе данных.

Рис. 11.5. Примеры работы с подпакетом функций комбинаторики

Подпакет Combinatorica задает определение ряда функций комбинаторики и теории графов. Ниже представлены имена функций комбинаторики.

Функции перестановок и сочетаний
Backtrack	BinarySearch
Binary Subsets	DerangementQ
Derangements	Distinct Permutations
EquivalenceClasses	EquivalenceRelationQ
Equivalences	Eulerian
FromCycles	FromlnversionVector
GrayCode	HeapSort
Heapify	HideCycles
Index	InversePermutation
Inversions	InvolutionQ
Josephus	Ksubsets
Lexicographic Permutations	LexicographicSubsets
MinimumChangePermutations	MultiplicationTable
NextKSubset	Next Permutation
NextSubset	NthPermutation
NthSubset	NumberOf Derangements
NumberOf Involutions	NumberOf Permu tat ion sByCycles
PermutationGroupQ	PermutationQ
Permute	Polya
RandomHeap	RandomKSubset
RandomPermutation	RandomPermutationl
RandomPermutation2	RandomSubset
RankPermutation	RankSubset
RevealCycles	Runs
SamenessRelation	SelectionSort
SignaturePermutation	StirlingFirst
StirlingSecond	Strings
Subsets	ToCycles
ToInversionVector	TransitiveQ

Следует отметить, что ввиду обилия функций даже в справочной системе даны примеры лишь для избранных функций. Для ознакомления с назначением конкретной функции достаточно исполнить команду ?Имя_функции, например:

<<DiscreteMath`Combinatorica`

?Permute

Permute[l, p] permutes list 1 according to permutation p.

?KSubsets

KSubsets[l, k] gives all subsets of set 1 containing exactly k

elements, ordered lexicographically.

KSubsets[{l, 2, 3, 4, 5}, 2]

{{1, 2}, {1, 3), {1, 4}, {1, 5}, {2, 3), {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, (4, 5}}

<< DiscreteMath`Combinatorica`

MinimumChangePermutations[{1,2,3}]

{{1, 2, 3}, {2, 1, 3}, {3, 1, 2}, {1, 3, 2}, {2, 3, 1}, {3, 2, 1}}

Map[RankPermutation, Permutations[{1,2,3,4}]]

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}

InversePermutation[{4,8,5,2,1,3,7,6}]

(5, 4, 6, 1, 3, 8, 7, 2}

Polya[Table[ RotateRight[Range[8],i], {i,8}], m]

1/8 (4m+2m2 +m4 +m8)

Table[NthSubset[n,a,b,c,d], {n,0,15}]

{{}, {a}, {b}, {a, b}, {c}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, {d}, (a, d}, {b, d}, {a, b, d}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}

Вторая группа функций комбинаторики представлена следующими функциями.

Функции разделения, композиции и картин Янга
CatalanNumber	Compositions
ConstructTableau	DeleteFromTableau
DurfeeSquare	EncroachingListSet
FerrersDiagram	FirstLexicographicTableau
. Insert IntoTableau	LastLexicographicTableau
Longest IncreasingSubsequence	NextComposition
Next Part it ion	NextTableau
NumberOf Compos it ions	NumberOf Partitions
NumberOf Tableaux	PartitionQ
Partitions	RandomComposition
RandomPartition	RandomTableau
TableauClasses	TableauQ
TableauxToPermutation	Tableaux
TransposePartition	TransposeTableau

Ha рис. 11.6 показано несколько примеров работы с некоторыми из этих функций.

Рис. 11.6. Примеры работы с функциями разделения, композиции и картин Янга

Этих примеров достаточно, чтобы заинтересованный читатель по их образцу и подобию изучил свойства и возможности нужных ему функций комбинаторики.