Функции линейной алгебры
Следующая группа функций системы Mathematica позволяет осуществлять над векторами и матрицами основные операции, используемые в линейной алгебре:
- Cross [vl,v2, v3,...] — векторное произведение (может задаваться в виде v1*v2*v3*...);
- Det [m] — возвращает детерминант (определитель) квадратной матрицы m;
- DiagonalMatrix [list] — возвращает диагональную матрицу с главной диагональю, сформированной из элементов списка list, и нулевыми остальными элементами матрицы;
- Dot [a, b, с] — возвращает произведения векторов, матриц и тензоров. Операцию произведения можно задавать также в виде а. b. с;
- Eigensystem[m] — возвращает список {values, vectors} собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы т;
- Eigenvalues [m] — возвращает список собственных значений квадратной матрицы m;
- Eigenvectors [m] — возвращает список собственных векторов квадратной матрицы m;
- IdentityMatrix [n] — возвращает единичную матрицу размером пхп (у нее диагональные элементы имеют значения 1, остальные 0);
- Inverse [m] — возвращает обратную матрицу для квадратной матрицы т, то есть матрицу m- 1 , которая, будучи умноженной на исходную матрицу, дает единичную матрицу;
- LinearSolve [m, b] — возвращает вектор х, представляющий собой решение матричного уравнения m. x==b, где m — матрица коэффициентов левой части системы линейных уравнений, х — вектор неизвестных и b — вектор свободных членов в правой части системы;
- Tr [list] — возвращает след матрицы или тензора (эта функция есть только у Mathematica 4);
- Transpose [m] — возвращает транспонированную матрицу, у которой столбцы и строки меняются местами в сравнении -с исходной матрицей m;
- RowReduce [m] — производит гауссовское исключение переменных, возвращая упрощенную форму матрицы m, полученную путем линейного комбинирования строк.
Следующие примеры иллюстрируют применение основных из этих функций.
|
Ввод (In) |
Вывод (Out) |
|||
|
A: =IdentityMatrix [3] |
||||
|
А |
{{1, |
0, |
0}, |
{0, 1, 0}, {0, 0, 1}} |
|
MatrixExp [A] |
{{E, |
0, |
0}, |
{0, E, 0}, {0, 0, E}} |
|
MatrixQ [A] |
True |
|||
|
MatrixPower [MatrixExp [A] , -1 . 5] |
{{0. {0, |
22313, 0, 0}, {0, 0.22313, 0), 0, 0.22313}} |
||
|
А+{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}} |
{{2, |
2, |
3}, |
{4, 6, 6}, {7, 8, 10}} |
|
m:={{1,2},{3,7}} |
||||
|
Inverse [m] |
{{7, |
-2} |
, ( |
-3, 1}} |
|
MatrixQ [m] |
True |
|||
|
RowReduce [m] |
{{1, |
0}, |
{0 |
, 1}} |
Вычисление детерминанта матрицы и функций, относящихся к собственным значениям, представлено на рис. 3.11.
Рис. 3.11. Вычисление детерминанта, собственных значений и векторов матрицы
Приведем еще несколько примеров:
m={{1,2},{3,7}}
{{1, 2}, {3, 7}}
Transpose[m]
{{1, 3), {2, 7}}
m//MatrixForm
1 2
3 7
Transpose[m]//MatrixForm
Inverse[m]//MatrixForm
7 -2
-3 1
В приложении указан ряд дополнительных матричных функций, применяемых реже, чем описанные выше функции.
