Функции пакета — FourierTransform
Подпакет FourierTransform пакета Calculus в версии Mathematics 3 служит для осуществления расширенных преобразований Фурье. Он вызывается командой
<<Calculus` FourierTransform`
Ввиду важности этих преобразований в системе Mathematica 4 их функции были размещены уже в ядре системы. Это следующие функции:
- FourierTransform [expr, t, w] — возвращает результат прямого преобразования Фурье над выражением expr [t], выраженного через переменную w;
- InverseFourierTransform[expr, w, t] — возвращает результат обратного преобразования Фурье над выражением expr[w], выраженного через переменную t;
- FourierCosTransform[expr, t, w] — возвращает результат косинусного преобразования Фурье над выражением expr [t ], выраженного через переменную w;
- FourierSinTransform[expr, t, w] — возвращает результат синусного преобразования Фурье над выражением expr [t], выраженного через переменную w;
- FourierTransform [expr, {tl,t2}, {wl, w2 } ] — возвращает результат прямого преобразования Фурье над выражением expr [ tl, t2,...], выраженного через переменные {wl, w2,-...};
- InverseFourierTransformtexpr, {tl,t2}, {wl,w2} ]'— возвращает результат обратного преобразования Фурье над выражением expr [ wl, wl,...], выраженного через переменные {tl, t2,...}.,
Примеры осуществления прямого и обратного преобразований Фурье представлены ниже:
FourierTransform[Sin[t]*t:2, t, w]
-Iл(DiracDelta"[l - w] - DiracDelta" [1 + w])
InverseFourierTransform[%, w, t]
t2Sin[t]
FourierCosTransform[Sin[t]*t:2, t, w]
-8w2/(1-w2)3-2/(1-w2)2
FourierSinTransform[Cos[a*t], t, w]
-w/(a2-w2)
FourierTransform[tl^2 Exp[-a t2] UnitStep[tl, t2],
{tl, t2}, {wl, w2}]
-2I/w13-лDiracDelta''[w1]/a-IW2
InverseFourierTransformtwl/(l-b*w2), {wl, w2}, {tl, t2}]
Для реализации спектрального анализа и синтеза имеются следующие функции:
- FourierExpSeries [expr, {x, xmin, xmax), n] — возвращает разложение expr [х] в экспоненциальный ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin, xmax};
- FourierExpSeriesCoef f icient [expr, {x, xmin, xmax} ,n] —возвращает коэффициенты разложения expr [x] в экспоненциальный ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin, xmax};
- FourierTrigSeries [expr, {x, xmin, xmax}, n] — возвращает разложение expr [x] в тригонометрический ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin, xmax};
- FourierSinSeriesCoef f icient [expr, {x, xmin, xmax}, n] —возвращает синусные коэффициенты разложения expr [x] в тригонометрический ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin,xmax};
- FourierCosSeriesCoef f icient [expr, {x, xmin, xmax}, n] —возвращает косинусные коэффициенты разложения expr [x] в тригонометрический ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin, xmax}.
Рисунок 5.12 иллюстрирует создание пилообразного сигнала, его разложение в тригонометрический ряд Фурье с п = 4, графическое воспроизведение сигнала и его представление суммой из четырех гармоник (на рисунке оставлены только совмещенные графики).