Краевые задачи с условием во внутренней точке

10.2.3. Краевые задачи с условием во внутренней точке

Иногда дифференциальные уравнения определяются с граничными условиями не только на концах интервала, но и с дополнительным условием в некоторой промежуточной точке расчетного интервала. Чаще всего такие задачи содержат данные о негладких в некоторой внутренней точке интервала решениях. Для них имеется встроенная функция bvaifit, также реализующая алгоритм стрельбы.

bvaifit(z1,z2,x0,x1,xf,D,load1,load2,score) — поиск вектора недостающих граничных условий для краевой задачи с дополнительным условием в промежуточной точке для системы N ОДУ.

z1 — вектор, присваивающий недостающим начальным условиям на левой границе интервала начальные значения.
z2 — вектор того же размера, присваивающий недостающим начальным условиям на правой границе интервала начальные значения.
х0 — левая граница расчетного интервала.
x1 — правая граница расчетного интервала.
xf — точка внутри интервала.
Dо(х,у) — векторная функция, описывающая систему N ОДУ размера Nx1 и двух аргументов — скалярного х и векторного у. При этом у — это неизвестная векторная функция аргумента х того же размера Nx1.
load1(x0,z) — векторная функция размера Nx1 левых граничных условий, причем недостающие начальные условия поименовываются соответствующими компонентами векторного аргумента z.
load2(x1,z) — векторная функция размера Nx1 левых граничных условий, причем недостающие начальные условия поименовываются соответствующими компонентами векторного аргумента z.
score (xf, у) — векторная функция размера Nx1, выражающая внутреннее условие для векторной функции у в точке xf.

Обычно функция bvaifit применяется для задач, в которых производная решения имеет разрыв во внутренней точке xf. Некоторые из таких задач не удается решить обычным методом пристрелки, поэтому приходится вести пристрелку сразу из обеих граничных точек. В этом случае дополнительное внутреннее условие в точке xf является просто условием сшивки в ней левого и правого решений. Поэтому для данной постановки задачи оно записывается В форме score (xf, у) :=у.

Рассмотрим действие функции bvaifit на знакомом примере модели взаимодействия пучков света (см. Рисунок 10.1), предположив, что в промежутке между xf=0.5 и x1=1.0 находится другая, оптически более плотная среда с другим коэффициентом ослабления излучения а(х)=3. Соответствующая краевая задача решена в листинге 10.3, причем разрывный показатель ослабления определяется в его второй строке.

Содержание раздела