Параболические и гиперболические уравнения
11.3.1. Параболические и гиперболические уравнения
Разработчики впервые применили дополнительные встроенные функции для решения параболических и гиперболических уравнений в частных производных в версии Mathcad 11, отлично осознавая значимость этих задач для современного исследователя и инженера. Предусмотрены два варианта решения: при помощи вычислительного блока Given/pdesolve, а также при помощи встроенной функции numol. Первый путь проще в применении и нагляднее, зато второй позволяет автоматизировать процесс решения уравнений в частных производных, например, если нужно включить его в качестве составного шага в более сложную Mathcad-программу.
Вычислительный блок Given /pdesolve
Встроенная функция pdesolve применяется в рамках вычислительного блока, начинающегося ключевым словом Given, и пригодна для решения различных гиперболических и параболических уравнений. Она предназначена для решения одномерного уравнения (или системы уравнений) в частных производных (того, которое определит пользователь в рамках вычислительного блока Given), зависящего от времени t и пространственной координаты х, имеет целый набор различных аргументов и работает следующим образом:
- pdesolve(u,x,xrange,t,trange,[xpts],[tpts])) — Возвращает скалярную (для единственного исходного уравнения) или векторную (для системы уравнений) функцию двух аргументов (x,t), являющуюся решением дифференциального уравнения (или системы уравнений) в частных производных. Результирующая функция получается интерполяцией сеточной функции, вычисляемой согласно разностной схеме:
- u — явно заданный вектор имен функций (без указания имен аргументов), подлежащих вычислению. Эти функции, а также граничные условия (в форме Дирихле или Неймана) должны быть определены пользователем перед применением функции pdesolve в вычислительном блоке после ключевого слова Given. Если решается не система уравнений в частных производных, а единственное уравнение, то, соответственно, вектор и должен содержать только одно имя функции и вырождается в скаляр;
- х — пространственная координата (имя аргумента неизвестной функции);
- xrange — пространственный интервал, т. е. вектор значений аргумента х для граничных условий. Этот вектор должен состоять из двух действительных чисел (представляющих левую и правую границу расчетного интервала);
- t — время (имя аргумента неизвестной функции);
- t range — расчетная временная область: вектор значений аргумента t, который должен состоять из двух действительных чисел (представляющих левую и правую границу расчетного интервала по времени);
- xpts — количество пространственных точек дискретизации (может не указываться явно, в таком случае будет подобрано программой автоматически);
- tpts — количество временных слоев, т. е. интервалов дискретизации по времени (также может не указываться пользователем явно).
В качестве примера использования функции pdesolve (листинг 11.4) используем то же самое одномерное уравнение теплопроводности (11.5) с граничными и начальными условиями (11.6) и (11.7).
Содержание раздела