---

Разделы На главную История денег и экономики История экономических знаний Формы безналичных денег Международные финансы Экономические концепции Экономические теории Экономика в реальной жизни Экономический анализ и интеграция Макроэкономика Экономика и социальное общество Социальная экономика Социология Кризисная экономика Инфляция в экономике Экономика зарубежных стран Иностранные деньги Государственное регулирование Бюджетная система Политическая экономия Политология Законы денег Налогообложение Аудит Банкротство Теория рынка Конкуренция Международная торговля Товарная биржа Нефть и газ на бирже Логистика Банки - услуги и операции Банки в России Банковский кредит Недвижимость Ипотека в банке Инвестирование Стратегии инвестирования Инвестиционные фонды Ценные бумаги Акции Вексель Облигации Опционы Фьючерсы Биржевая торговля Биржа Forex Фондовый рынок Фондовый рынок России Волны Эллиотта Теория фракталов Торговая теория Ганна Фибоначчи на бирже Графический анализ на бирже Паттерны Биржевой анализ "Крестики-нолики" Японские свечи Технический анализ Математика на бирже Фундаментальный анализ Биржевая торговля Стратегии торговли Механические торговые системы Программирование МТС Управление торговым капиталом Управление портфелем Управление риском Страхование Профессия трейдер Практический трейдинг Технологии инфосистем Информационный рынок Безопасность информации Криптология и криптография Реклама PR - Public Relations Маркетинг Финансовая система Начало бизнеса Предпринимательство Малый бизнес Микроэкономика Торговля Ценообразование Работа в Интернете Сайты, софт, дизайн Управление качеством Управление предприятием Производство продукции Стратегический менеджмент Учебники по менеджменту Системы и организации Теория систем Планирование Статистика финансов Управление персоналом Трудовые отношения Бухгалтерия «1С:Бухгалтерия» Управленческий учет Делопроизводство и офис Автоматизация делопроизводства Рынок труда Карьера Менеджер Лидерство и бизнес карьера Лидерство и карьера Общение и переговоры Общение в бизнесе Бизнес переговоры Инновации в моделировании Экономическое моделирование Нейронные сети Нейролингвистика Логика нейросетей Программирование Пакет Excel Технологии программирования Языки программирования Практическая психология Психологические тренинги Психология в медицине Возрастная психология Ваши скрытые резервы Здоровье и долголетие Работа с эмоциями Пикап Управление временем Гипнотерапия Подсознание Трансовые техники Магия Здоровье советы Спорт для здоровья Йога Религии Эзотерика Мистицизм

---

Глава 9. Анализ затрат на реализацию проекта

Предположим, что ожидаемое время выполнения проекта нас не устраивает и мы хотели бы его уменьшить. Сокращение времени выполнения проекта, как правило, связано с использованием ^дополнительных ресурсов, таких, как увеличение количества рабочих, организация работы в сверхурочное время. Следовательно, при сокращении срока выполнения проекта увеличиваются затраты на его реализацию. В результате требуется искать компромисс между сокращением времени выполнения той или иной работы и экономией дополнительных затрат на проект. Для расчета ^минимальных затрат, необходимых для сокращения времени реализации проекта, может быть использована модель линейного программирования.

Для планирования затрат, составления графика расходования средств и осуществления контроля за этим расходованием может быть использован метод анализа затрат PERT/COST. Конечная цель ^применения метода PERT/COST состоит в том, чтобы затраты на реализуемый проект

соответствовали принятой смете, Составление сметы расходов на реализацию проекта обычно предполагает выявление всех затрат на проект и дальнейшее их распределение во времени. На этапах выполнения проекта фактические затраты можно сравнить с планируемыми (или сметными). Если фактические затраты превышают планируемые, можно предпринять необходимые действия, направленные на то, чтобы привести фактическую сумму затрат на проект в соответствие с планом.

Применение метода минимизации затрат и метода PERT/COST позволяет получить ответы на следующие вопросы:

1. При каких минимальных затратах можно уменьшить время выполнения проекта до заданной величины?

2. На сколько следует сократить продолжительность времени выполнения каждой работы проекта?

3. Соответствуют ли фактические затраты на выполнение проекта сметным затратам?

4. Соответствуют ли фактические затраты запланированному сроку реализации проекта?

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:

• затраты на выполнение работы в нормальных условиях и в условиях максимального сокращения ее

продолжительности;

• нормальную продолжительность работы;

• продолжительность работы при максимально возможном ее сокращении;

• величину сокращения времени выполнения работы и проекта в целом;

• затраты на сокращение времени выполнения проекта.

Модели

1. Минимизация затрат, необходимых для сокращения времени реализации проекта.

Обозначения:

(/', j) — работа проекта в соответствии с определениями, данными в главе 7;

t — нормальная продолжительность работы (i,j) (продолжительность работы при детерминированном подходе — метод СРМ или ожидаемое время выполнения работы при стохастическом подходе — метод PERT);

— продолжительность работы (i,j) при максимально возможном ее сокращении;

Mj = tj - ^iJ — величина максимально возможного сокращения продолжительности работы (i,j) за счет дополнительных ресурсов;

ij расчетные затраты на выполнение работы (i,j) при нормальной ее продолжительности;

^ij — расчетные затраты на выполнение работы (i,j) в условиях максимального сокращения ее продолжительности за счет дополнительных ресурсов;

С Cj

C

Kij = ( ^i] - Сі)/Му — удельные затраты на сокращение продолжительности работы (ij) (на единицу времени).

Предположим, что любая дополнительная доля сокращаемого времени на выполнение работы потребует постоянной (неизменной во времени) доли дополнительных затрат. При таком предположении для минимизации затрат на сокращение времени реализации проекта можно использовать модель линейного программирования.

Для формулировки модели дополнительно введем следующие обозначения:

Р — множество работ проекта;

х_і — время наступления события i (событие-узел отражает факт завершения всех работ, входящих в данный узел);

Уу — величина сокращения времени работы (i, j);

i = 1 —номер начального события для сети, описывающей проект;

i = п —номер конечного события для сети, описывающей проект;

T₀ — желательное время выполнения проекта.

При данных обозначениях модель линейного программирования имеет вид

}Ку_Уу^> min, ₍₁₎

Xj^Xf + Xj-yg, ₍2)

Уц^^мц> (3)

^хп-^то у (4)

^х' ~ 0’ Уу^ (5)

(і,Л ^{6 р}-

Если т — число работ, п — число событий, то описанная модель имеет п + т переменных, т ограничений (2), т ограничений (3), п + т ограничений (5) и одно ограничение (4). Итого п + т переменных и 3т + n + 1 ограничение.

Если {xj*, у* — оптимальный план, полученный для модели (1)—(5), то уц* — время, на которое

L j *

следует сократить продолжительность выполнения работы (i,j); ^і] — минимальная сумма

издержек, необходимая для сокращения времени выполнения проекта до T₀.

2. Метод анализа затрат PERT/COST. Метод основан на построении области допустимых затрат, при которых проект может быть реализован за определенное время. В результате применения метода СРМ или метода PERT может быть получено наиболее раннее и наиболее позднее время начала каждой работы. Далее строятся два графика: график совокупных затрат при наиболее раннем времени начала работ и график совокупных затрат при наиболее позднем времени начала работ.

Если фактические затраты на выполнение проекта будут находиться внутри области, очерченной этими графиками, то проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критического пути. Если фактические затраты окажутся за пределами очерченной области, то продолжительность выполнения проекта увеличится.

Работа Непосред

ственно Время выполнения,

- недели Затраты, руб., при времени выполнения ющие работы нормальное

^х? минимальное нормальном

^с» минимальном

^с; А — 3 1 900 1700 В — 6 2 2000 4000 С А 2 1 500 1000 D В, С 5 3 1800 2400 Е D 4 3 1500 1850 F Е 3 1 3000 3900 G В, С 9 4 8000 9800 Н F, G 3 2 1000 2000 Примеры

Пример 1. Минимизация затрат на сокращение времени реализации проекта.

Проект пусконаладки компьютерной системы состоит из восьми работ. В следующей таблице указаны взаимосвязь работ, нормальное время их выполнения и данные, характеризующие возможность сокращения продолжительности работ:_

Определите минимальную продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ.

Можно ли уменьшить продолжительность проекта при дополнительных затратах?

Вопросы:

1. Какова продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ?

2. Сколько работ в этом случае являются критическими?

3. Каковы затраты на выполнение проекта при нормальном времени выполнения работ?

4. С какими минимальными дополнительными затратами можно выполнить этот проект за 16 недель? Решение. Найдем критический путь при нормальном времени выполнения работ. Используем для этого

метод СРМ. Вводим в программу POMWIN исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ:

Работа Время выполнения, недели Предшествующие работы Работа Время выполнения, недели Предшествующие работы А 3 Е 4 D В 6 F 3 Е С 2 А G 9 В, С D 5 В, С Н 3 F,G Выполнив расчеты, получаем следующие результаты: Project 21 Работа Время выполнения, недели ES EF LS LF R А 3 0 3 1 4 1 В 6 0 6 0 6 0 С 2 3 5 4 6 1 D 5 6 11 6 11 0 Е 4 11 15 11 15 0 F 3 15 18 15 18 0 G 9 6 15 9 18 3 Н 3 18 21 18 21 0 Отсюда видно, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 21 неделю. На критическом пути находятся работы В, D, Е, F, Н. Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ, достаточно просуммировать затраты, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных. В результате получаем затраты 18 700 руб.

Для определения минимальных дополнительных издержек, необходимых для того, чтобы снизить продолжительность проекта до 16 недель, построим модель линейного программирования. Для этого на основании данных о непосредственно предшествующих работах построим графическое



Используя исходные данные, определяем удельные (в единицу времени) затраты К на сокращение продолжительности работ. Получаем следующие результаты:_ Работа Время выполнения, недели Затраты, руб., при времени выполнения Удельные затраты, руб. в неделю нормальное

^х9 минимальное нормальном

^сі минимальном А 3 1 900 1700 400 В б 2 2000 4000 500 С 2 1 500 1000 500 D 5 3 1800 2400 300 Окончание таблицы

Работа Время выполнения, недели Затраты, руб., при времени выполнения Удельные затраты, руб. в неделю нормальное

^х9 минимальное

ч нормальном

^с»' минимальном

с; Е 4 3 1500 1850 350 F 3 1 3000 3900 450 G 9 4 8000 9800 360 Н 3 2 1000 2000 1000 Используя обозначения х_і — время наступления события i, уу — величина сокращения времени работы (i,j), получаем следующую модель линейного программирования для определения минимальных издержек, необходимых для сокращения продолжительности проекта с 21 до 16 недель:

400у,2 + 500у|₃ + 500у₂₃ + З00у₃₄ + 350у₄₅ +

+ 450^56 + З60у₃₆ + 1000у₆₇ -» min

при условиях Уп * ², Уч ^ 4.

^23 - ^ > Уі4- 2»

^45 ^ 1. У56 * 2,

Узб<5, у₆₇<1,

Ху < 16,

^хі - 0. у„* О,

0J) е Р.

Для решения этой задачи линейного программирования используем программу POMWIN.

В следующей таблице приведенная выше модель представлена в формате программы POMWIN:

ЗГ1 XI Xi X4 X5 X6 XI И2 из >23 >34 У45 >56 >36 У67 Міп 0 0 0 0 0 0 0 400 500 500 300 350 450 360 1000 Ctrl -1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 >= 3 Ctr2 -1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 >= 6 Ctr 3 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 >= 2 Ctr4 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 >= 5 Ctr 5 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 >= 4 Ctr 6 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 >= 3 Ctr 7 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 >= 9 Ctr 8 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 >= 3 Ctr 9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 <= 2 Ctr 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 <= 4 Ctr 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 1 Ctr 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 2 Ctr 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 <= 1 Ctr 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 <= 2 Ctr 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 <= 5 Ctr 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 <= 1 Ctr 17 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 16 Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Project 2260 Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound XI 0 810 0 -810 Infinity XI 3 0 0 -310 90 Xi 5 0 0 -310 90 ХА 8 0 0 -150 90 Х5 11 0 0 -100 90 Х6 13 0 0 -190 810 X! 16 0 0 —Infinity 810 т 0 90 400 310 Infinity т 1 0 500 410 810 т 0 190 500 310 Infinity т 2 0 300 —Infinity 450 У45 1 0 350 —Infinity 450 т 1 0 450 350 540 136 1 0 360 50 450 У67 0 190 1000 810 Infinity Итак, минимальные затраты, необходимые для того, чтобы сократить продолжительность проекта с 21 до 16 недель, составляют 2260 руб.

Продолжительность каждой из работ (1, 3), (4, 5), (5, 6) и (3, 6) сокращается на одну неделю.

Продолжительность работы (3, 4) сокращается на две недели.

Ответы: 1. 21 неделя. 2. Пять работ. 3. 18 700 руб. 4. 2260 руб.

Пример 2. Контроль затрат на выполнение проекта.

Работа Ожидаемое время выполнения, месяцы Непосредственно предшествующие работы Сметные затраты, тыс. руб. Удельные затраты, тыс. руб. в месяц A 2 — 10 5 В 3 — 30 10 C 1 А 3 3 D 3 В 6 2 E 2 В 20 10 F 2 С, D 10 5 G 1 Е 8 8 Перечень работ проекта, время их выполнения и оценки затрат на выполнение работ отражены в следующей таблице: _

Удельные затраты определены в предположении о том, что затраты производятся равномерно в течение срока выполнения работы.

Определите, в каком диапазоне могут меняться фактические затраты на выполнение проекта при условии, что проект будет выполнен за минимальное время.

Вопросы:

1. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

2. При каком максимальном значении совокупных затрат, сделанных за первые 3 месяца реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?

3. При каком минимальном значении совокупных затрат, сделанных за первые 3 месяца реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?

4. При каком максимальном значении совокупных затрат, сделанных за 6 месяцев реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?

5. При каком минимальном значении совокупных затрат, сделанных за 6 месяцев реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?

Решение. Определим минимальное время выполнения проекта. Найдем критический путь, воспользовавшись методом СРМ. Введем в программу POMWIN информацию о предшествующих работах и времени их выполнения:_

Работа Время выполнения, месяцы Предшествующие работы А 2 В 3 С 1 А D 3 В Е 2 В F 2 С, D G 1 Е Ожидаемое время выполнения проекта равно 8 месяцам.

Определим динамику совокупных затрат для графика выполнения проекта с наиболее ранним началом всех работ: _______

Месяц

Работа 1 2 3 4 5 6 7 8 А 5 5 В 10 10 10 С 3 D 2 2 2 Е 10 10 F 5 5 G 8 Затраты в месяц, тыс. руб. 15 15 13 12 12 10 5 5 Общие затраты, тыс. руб. 15 30 43 55 67 77 82 87 Определим динамику совокупных затрат для графика выполнения проекта с наиболее поздним началом всех работ: Результаты расчетов представлены в следующей таблице: Project 8 Работа Время выполнения, месяцы ES ЕЕ LS LF R А 2 0 2 3 5 3 В 3 0 3 0 3 0 ¦ С 1 2 3 5 6 3 D 3 3 6 3 б 0 Е 2 3 5 5 7 2 F 2 6 8 6 8 0 G 1 5 6 7 8 2 Месяц

Работа 1 2 3 4 5 6 7 8 А 5 5 В 10 10 10 С 3 D 2 2 2 Е ю 10 F 5 5 G 8 Затраты в месяц, тыс. руб. 10 10 10 7 7 15 15 13 Общие затраты, тыс. руб. 10 20 30 37 44 59 74 87 1 2 3 4 5 6 7 8 Рис. 2

На рис. 2 показаны два графика. Выше проходит график совокупных затрат при наиболее раннем времени начала работ, ниже — при наиболее позднем времени начала работ. Если фактические затраты на выполнение проекта будут находиться внутри очерченной области, то проект может быть выполнен за 8 месяцев. Если фактические затраты окажутся за пределами очерченной области, то продолжительность проекта увеличится.

Таким образом, менеджер может контролировать фактические затраты по проекту. Если сметные затраты не выполнены или допущен перерасход, необходимо осуществлять корректирующие воздействия, сдвигая время начала отдельных работ и (или) сокращая их продолжительность путем привлечения дополнительных ресурсов.

Ответы: 1. Восемь месяцев. 2. 43 тыс. руб. 3. 30 тыс. руб. 4. 77 тыс. руб. 5. 59 тыс. руб.

Вопросы

Вопрос 1. Для определения минимальных затрат, необходимых для выполнения проекта за фиксированное время, следует использовать:

1) метод СРМ;

2) метод PERT;

3) модель линейного программирования;

4) модель транспортного типа;

5) все вышеперечисленное.

Вопрос 2. Пусть в графе, описывающем проект, т работ и п событий (вершин сети). Число переменных в модели линейного программирования для определения минимальных затрат, необходимых для выполнения проекта за фиксированное время, равно:

1) т;

2) п;

3) т+ п;

4) т- п;

5) т • п.

Вопрос 3. Какую формулу следует использовать для определения величины удельных затрат К на сокращение продолжительности работы (i, j)?

Варианты ответов:

2) ^ = (С„'-С₉)/(т,;-_%);

3) ^ = (С₉-ф/(т₉-х,;);

⁴) *»=<C„-C;)/(T,;-t_s);

5) K, = (.c'-C,)/z„.

Вопрос 4. Какое из указанных далее соотношений является верным?

Варианты ответов:

1) совокупные затраты при наиболее позднем времени начала работ превышают совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ;

2) совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ превышают совокупные затраты при наиболее позднем времени начала работ;

3) совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ равны совокупным затратам при наиболее позднем времени начала работ;

4) совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ превышают совокупные затраты при наиболее позднем времени начала работ на величину сметной стоимости проекта;

5) совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ и совокупные затраты при наиболее позднем времени начала работ постоянны.

Вопрос 5. Для осуществления контроля за расходованием средств на выполнение проекта используется:

1) метод СРМ;

2) метод PERT;

3) модель линейного программирования;

4) все вышеперечисленное;

5) метод PERT/COST.

Работа Непосредственно предшествующие работы Время выполнения Затраты при времени выполнения нормальное минимальное нормальном минимальном А — 3 2 800 1400 В — 2 , 1 * 1200 1900 С А 5 3 2000 2800 D В 5 3 1500 2300 Е С, D 6 4 1800 2800 F С, D 2 1 600 1000 G F 2 1 500 1000 Задачи

Задача 1. Рассмотрите следующую сеть проекта с показателями продолжительности работ (в неделях) и информацией о затратах на сокращение продолжительности работ (в тыс. руб.) за счет привлечения дополнительных финансовых средств: _

Найдите критический путь и затраты на реализацию проекта при нормальном времени выполнения всех работ.

Предположим, что руководство хотело бы завершить проект в 10-недельный срок. Постройте модель линейного программирования, которую можно было бы использовать для того, чтобы определить минимальные затраты на сокращение времени выполнения проекта.

Вопросы:

1. Какова продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ?

2. Каковы затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ?

3. Чему равны минимальные затраты на выполнение проекта в 10-недельный срок?

4. Для какого количества работ необходимо сократить время выполнения, чтобы завершить проект за 10 недель?

Задача 2. В следующей таблице представлена информация о продолжительности работ проекта (в месяцах) и затратах на их выполнение (в тыс. руб.):

Работа Непосредственно предшествующие работы Время выполнения Затраты при времени выполнения нормальное минимальное нормальном минимальном А — 4 2 50 70 В — 6 3 40 55 С А 2 1 20 24 D А 6 4 100 130 Е С, В 3 2 50 60 F С, В 3 3 25 25 G А Е 5 3 60 76 Найдите критический путь и продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ.

Вопросы:

1. Какова продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ?

2. Каковы затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ?

3. Чему равны минимальные затраты на выполнение проекта за один год?

4. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

Работа Содержание

работы Непосред

ственно

предшест

вующие

работы Время выполнения Затраты при времени выполнения нормаль

ное мини

мальное нормаль

ном мини

мальном А Определить

потребность — 10 8 30 60 В Заказать оборудование А 8 6 120 150 С Установить

оборудование В 10 7 100 160 D Создать компьютерный класс А 7 6 40 50 Е Провести курс обучения D 10 8 50 74 F Опробовать

систему С, В 3 3 60 60 Задача 3. Отдел ЭВМ экономического факультета МГУ разработал предложения по внедрению новой компьютерной системы для нужд администрации факультета. В предложения включен перечень работ, которые необходимо выполнить, чтобы ввести систему в действие. Соответствующая информация представлена в следующей таблице (время — в неделях, затраты — в тыс. руб.):

Вопросы:

1. Какова продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ?

2. Каковы затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ?

3. Чему равны минимальные затраты на выполнение проекта за 26 недель?

4. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

Задача 4. Конструкторское бюро Московского часового завода (МЧЗ) разработало новый настольный радиобудильник. По мнению проектировщиков, запуск в серию нового продукта позволит расширить рынок сбыта и получить дополнительную прибыль.

Руководство МЧЗ решило изучить возможности реализации нового продукта. Результатом исследования должны стать рекомендации относительно действий, которые следует предпринять для организации производства и сбыта нового продукта.

Перечень работ, время, необходимое для их выполнения (в неделях), и затраты (в тыс. руб.) указаны в следующей таблице:

Работа Содержание работы Непосред

ственно

предшест

вующие

работы Время

выпол

нения Затраты на выполнение А Подготовить конструкторский проект — 5 90 В Разработать маркетинговый план — 2 16 С Подготовить маршрутные карты А 3 3 D Создать опытный образец А 4 100 Е Выпустить рекламную брошюру А 3 6 F Подготовить оценки затрат С 2 2 G Провести предварительное тестирование D 3 60 Н Выполнить исследование рынка В, Е 3 30 I Подготовить доклад о ценах ’ Н 2 4 J Подготовить заключительный доклад F, G, I 2 2 Определите критический путь для данного проекта, наиболее раннее и наиболее позднее время начала каждой работы. Определите динамику роста общих затрат на проект, основанную на данных о наиболее раннем и наиболее позднем времени начала работ.

Используйте полученные оценки сметных расходов для контроля за фактическим расходованием средств. Предполагается, что все работы финансируются пропорционально времени их выполнения.

Вопросы:

1. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

2. Чему равно максимальное значение совокупных затрат на конец пятой недели, при котором проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критического пути?

3. Чему равно минимальное значение совокупных затрат на конец пятой недели, при котором проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критического пути?

4. Какова величина недостатка или перерасхода средств в конце пятой недели, если фактические затраты в этот момент составили 100 тыс. руб.?

5. Какова величина недостатка средств в конце десятой недели, если фактические затраты в этот момент составили 230 тыс. руб.?

Задача 5. Ниже представлена сеть проекта, а также данные о времени выполнения работ (в неделях) и затратах (в тыс. руб.):

Работа Непосредственно

предшествующие

работы Время

выполнения Затраты на выполнение А — 1 6 В А 2 4 С . — 3 15 D С 3 18 Е В, D 2 30 F С 2 20 G Е, F 1 2 Н Е, F 3 6 I G 2 12 J G 1" 2 К Н,І - 3 9 Определите критический путь для данного проекта, наиболее раннее и наиболее позднее время начала каждой работы. Определите динамику роста общих затрат на проект, основанную на данных о наиболее раннем и наиболее позднем времени начала работ.

Используйте полученные оценки сметных расходов для контроля за фактическим расходованием средств. Предполагается, что все работы финансируются пропорционально времени их выполнения.

Вопросы:

1. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

2. Чему равно максимальное значение совокупных затрат на конец четвертой недели, при котором проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критического пути?

3. Чему равно минимальное значение совокупных затрат на конец четвертой недели, при котором проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критического пути?

4. Какова величина недостатка или перерасхода средств в конце четвертой недели, если фактические затраты в этот момент составили 35 тыс. руб.?

5. Какова величина недостатка средств в конце восьмой недели, если фактические затраты в этот момент составили 90 тыс. руб.?

Ситуации

Ситуация 1. Компания «Космо».

В рамках подготовки старта космического корабля по программе совместных исследований с Национальным бюро аэронавтики (НБА) США российская компания «Космо» готовит к подписанию проект модернизации ракетного стартового комплекса на космодроме Байконур. Этот контракт предусматривает строительство центрального здания телеуправления (ЦЗТ). Финансирует проект американская сторона.

Первоначальный граф проекта строительства ЦЗТ приведен на рис. 3 (на схеме работы, лежащие на



Руководитель проекта менеджер компании «Космо» Владимир Алексеев определил время выполнения и сметные затраты для каждой работы проекта: _ Работа Нормальное время выполнения, недели Затраты при нормальном времени выполнения, тыс. долл. А 3 5 В 6 14 С 2 2,5 D 5 10 Е 2 8 F 7 11,5 G 4 10 Итого 61 Оказалось, что критический путь для данного проекта составляют работы A, D и G. При нормальном времени выполнения всех работ проект может быть реализован за 12 недель. Сметная стоимость проекта в этом случае составляет 61 тыс. долл.

Заказчика работ предлагаемый компанией «Космо» срок не устраивает. Все работы необходимо завершить за 9 недель. При этом бюджет проекта не должен превысить 80 тыс. долл. Проведя дополнительные расчеты, Владимир Алексеев оценил минимальное время на выполнение каждой работы (в неделях) и затраты при минимальном времени выполнения (в тыс, долл.):

Работа Время выполнения Затраты при времени выполнения нормальное минимальное нормальном минимальном А 3 2 5 10 В 6 4 14 26 С 2 1 2,5 5 D 5 3 10 18 Е 2 2 8 8 F . 7 5 11,5 17,5 G 4 2 10 24 Итого 61 108,5 Используйте метод PERT/COST для анализа продолжительности проекта и затрат на его реализацию.

Задания

1. Определите, можно ли выполнить проект за 9 недель. Если да, то с какими минимальными затратами? Сколько критических путей будет в этом случае и какие работы будут критическими?

2. Определите, можно ли выполнить проект за 7 недель. Если да, то с какими минимальными затратами?

Ситуация 2. Строительная компания Хоупа.

Строительная компания Хоупа активно занимается подготовкой нового проекта строительства фабрики для корпорации SBPA. Пару лет назад президенту корпорации SBPA Эрику Кляйну понравился предварительный план проектирования и строительства фабрики, подготовленный Хоупом, и он решил отдать предпочтение его строительной компании.

Хоуп поручил начальнику проектного отдела Деврону Вильямсу провести сетевой анализ работ в рамках проекта с учетом предполагаемых издержек. Вильяме дал указание своим сотрудникам разделить проект строительства фабрики на отдельные работы и установить их взаимосвязь. Для каждой работы следовало определить нормальное время ее выполнения и соответствующие затраты. Требовалось также оценить минимальное время выполнения работы и соответствующие этому времени затраты.

Результаты, представленные сотрудниками отдела, приведены в таблице (время выполнения работ указано в неделях, затраты — в тыс, долл.):

Работа Содержание работы Нормальное время Нормальные затраты Мини

мальное

время Макси

мальные

затраты А Проектирование

фабрики 12 125 і° 141 В Подготовка спецификации машин и оборудования для строительных работ 8 56 8 56 С Организация бригады строителей 5 12 2 15 Окончание таблицы

Работа Содержание работы Нормальное время Нормальные затраты Мини

мальное

время Макси

мальные

затраты D Закупка стандартных блоков заводских конструкций 13 180 10 210 Е Подготовка места для строительства здания фабрики 4 37 4 37 F Закупка фабричного оборудования 10 62 8 70 G Строительство фундамента фабрики 6 18 4 19 Н Подготовка зоны парковки 10 80 6 180 I Возведение здания фабрики 18 450 13 585 J Проведение испытания всех систем 3 20 2 35 К Уборка и передача фабрики корпорации SBPA 4 8 4 8 Результаты анализа взаимосвязи работ представлены Вильямсу в следующем докладе:

1. Начальная работа А — спроектировать фабрику.

2. После выполнения проектных изысканий следуют работы В — подготовить спецификацию машин и оборудования для строительных работ, С — организовать бригаду строителей и D — закупить стандартные блоки заводских конструкций.

3. После завершения работ В и С строительной бригаде необходимо выполнить работу Е — подготовить место для строительства здания фабрики. В то же время, пока ведется подготовка места для строительства, можно приступить к работам F— закупке фабричного оборудования и G — строительству фундамента фабрики.

4. После подготовки места для строительства необходимо выполнить работу H — подготовить зону парковки.

5. Работу I — возведение здания фабрики — можно выполнить после того, как будут закуплены стандартные блоки заводских конструкций, подготовлено место для строительства, закуплено фабричное оборудование и построен фундамент фабрики.

6. После завершения строительства здания фабрики и подготовки зоны парковки компания Хоупа может приступить к работе J — проведению испытания всех систем. Затем проводится уборка (работа К) и фабрика передается корпорации SBPA.

Корпорация SBPA крайне заинтересована в том, чтобы строительство фабрики было завершено как можно быстрее. По предложению Эрика Кляйна в контракт включен пункт, предусматривающий премию в 25 тыс. долл. за каждую неделю сокращения срока выполнения проекта по сравнению с годом. В то же время контрактом предусмотрен штраф в 25 тыс. долл. за каждую неделю превышения срока выполнения проекта по сравнению с годом.

После подписания контракта Хоуп озабочен тем, чтобы завершить проект как можно раньше. По его указанию расчетный отдел провел калькуляцию накладных расходов. Первый тип накладных расходов — обычные накладные расходы в размере 22,5% от прямых затрат на выполнение работ. Накладные расходы второго типа зависят от продолжительности проекта в целом. Эти накладные расходы увеличиваются на 1500 долл. каждую неделю. Например, сокращение продолжительности проекта на 10 недель означает сокращение накладных расходов второго типа на 15 тыс. долл.

Прибыль строительной компании оценивается в размере 10% от стоимости контракта. В стоимость контракта включаются прямые затраты на выполнение работ, премиальные и штрафные санкции и накладные расходы двух типов.

Задания

1. Нарисуйте сетевой график проекта, найдите критический путь и общую стоимость контракта при нормальной продолжительности работ.

2. Определите продолжительность выполнения проекта, при которой прибыль строительной компании оказывается максимальной. Сроки выполнения каких работ следует сократить по сравнению с нормальными?

3. Ответьте на вопросы предыдущего пункта, если при определении стоимости контракта не учитываются накладные расходы второго типа.

4. Определите, за какое минимальное время можно выполнить проект.

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—3, 2 — 3, 3 — 1, 4 — 2, 5 — 5.

Задача 1. Решение.

Найдем критический путь при нормальном времени выполнения работ. Используем для этого метод СРМ.

Введем в программу POMWIN исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ:

Работа Время выполнения, недели Предшествующие работы А 3 В 2 С 5 А D 5 В Е 6 С, D F 2 С, D G 2 F Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Project 14 Работа Время вы- -і полнения, недели ES EF LS LF R А 3 0 3 0 3 0 В 2 0 2 1 3 1 С 5 3 8 3 8 0 D 5 2 7 3 8 1 Е 6 8 14 8 14 0 F 2 8 10 10 12 2 G 2 10 12 12 14 2 ^{Отсюда видн}о, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 14 недель. На критическом пути находятся работы А, С,Е.

Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ, достаточно просуммировать затраты, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных, — в результате получаем 8400 тыс. руб.

Чтобы определить минимальные дополнительные издержки на сокращение продолжительности проекта ^{до 10 нед}ель, построим модель линейного программирования. Для этого на основании данных о



Рис. 4

И^спользу^{я и}сходные данные, определяем удельные затраты К на сокращение продолжительности работ. Получаем следующие результаты:

Работа Время выполнения, недели Затраты, тыс. руб., при времени выполнения Удельные затраты, тыс. руб. в неделю нормальное минимальное нормальном минимальном А 3 2 800 1400 600 В 2 1 1200 1900 700 С 5 3 2000 2800 400 D 5 3 1500 2300 400 Е 6 4 1800 2800 500 F 2 1 600 1000 400 G 2 1 500 1000 500 Используя обозначения Хі — время наступления события i; у_? — величина сокращения времени работы (i, j), получаем следующую модель линейного программирования для определения минимальных издержек на сокращение продолжительности проекта с 14 до 10 недель:

600у₁₂ + 700у₁₃ + 400у₂₄ ⁺ 400^34 + 500^ + 400у₄₅ + 500y# -* min

при условиях *2**1 + 3-у₁₂, *3**1 ⁺ 2-У,з, х₄ > х₂ + 5 - у₂₄, *4 * *3 ⁺ 5 — У}4> *6 ;> х₄ + 6 - у^, *5 * *4 ^{+ 2} - Т45. х₆>х₅ + 2-у_х, у₁₃<1, У₂4 * 2, У* * ²- Ул5 * 1» Ух* 1. x_t>0, Уц* 0, (/,3)6 Р. У}4*²’

x₆S 10,

Для решения этой задачи используем программу POMWIN:

X\ XI Xi X4 X5 X6 У12 m У24 У34 У46 У45 Y56 Міп 0 0 0 0 0 0 600 700 400 400 500 400 500 Ctr 1 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 >= 3 Ctr 2 -1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 >= 2 Ctr3 0 -1 0 1 0 0 0 0 I 0 0 0 0 >= 5 Ctr 4 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 >= 5 Ctr 5 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 >= 6 Ctr 6 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 >= 2 Ctr 7 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 >= 2 Ctr 8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 <= 1 Ctr 9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 1 Ctr 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 2 Ctr 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 <= 2 Ctr 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 <= 2 Ctr 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 <= 1 Ctr 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 <= 1 Ctr 15 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 <= 10 Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound XI 0 800 0 -800 Infinity XI 3 0 0 -400 200 АЗ 2 0 0 -400 300 Х4 6 0 0 —Infinity 300 Х5 8 0 0 0 800 ХБ 10 0 0 —Infinity 800 m 0 200 600 400 Infinity У13 0 300 700 400 Infinity 124 2 0 400 100 600 У34 1 0 400 100 700 У46 2 0 500 —Infinity 800 У45 0 400 400 0 Infinity 156 0 500 500 0 Infinity Итак, минимальные затраты на сокращение продолжительности проекта с 14 до 10 недель составляют 2200 тыс. руб. Продолжительность работ (2, 4) и (4, 6) сокращается на 2 недели. Продолжительность работы (3, 4) сокращается па неделю.

Ответы: 1. 14 недель. 2. 8400 тыс. руб. 3. 6200 тыс. руб. 4. Для трех работ.

Задача 2. Решение.

Найдем критический путь при нормальном времени выполнения работ. Используем для этого метод СРМ.

Введем в программу POMWIN исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ:

Работа Время выполнения, месяцы Предшествующие

работы A 4 В 6 C 2 А D 6 А Окончание таблицы

Работа Время выполнения, месяцы Предшествующие работы . Е 3 С, В F 3 С, В G . 5 D.E Project 15 Работа Время выполнения, месяцы ES EF LS LF R А 4 0 4 0 4 0 В 6 0 6 1 7 1 С ' 2 4 6 5 7 1 D 6 4 10 4 10 0 Е 3 6 9 7 10 1 F 3 6 9 12 15 6 G 5 10 15 10 15 0 Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Отсюда видно, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 15 месяцев. На критическом пути находятся работы А, D, С. Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ, достаточно просуммировать затрат^ы, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных, — в результате получаем 345 тыс. руб.

Чтобы определить минимальные дополнительные издержки на сокращение продолжительности проекта до 12 месяцев, построим модель линейного программирования. Для этого на основании данных о



Используя исходные данные, определяем удельные затраты К на сокращение продолжительности работ. Получаем следующие результаты:_ Работа Время выполнения, месяцы Затраты, тыс. руб., при времени выполнения Удельные затраты, тыс. руб. в месяц нормальное минимальное нормальном минимальном А 4 2 50 70 10 В 6 3 40 55 5 С 2 1 20 24 4 D 6 4 100 130 15 Е 3 2 50 60 10 F 3 3 25 25 — G 5 3 60 76 8 Используя обозначения хі — время наступления события i; у у — величина сокращения времени работы (i,j), получаем следующую модель линейного программирования для определения минимальных издержек на сокращение продолжительности проекта с 15 до 12 месяцев:

Для решения этой задачи используем программу POMWIN: XI X2 A3 Л4 A5 У12 ИЗ 123 124 134 145 Міп 0 0 0 0 0 10 5 4 15 10 8 Ctrl -1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 >= 4 Ctr 2 -1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 >= 6 Ctr3 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 >= 2 Ctr 4 0 -1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 >= 6

-i Ctr 5 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 1 0 >= 3 Ctr 6 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 1 >= 5 Ctr 7 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 >= 3 при условиях

*2 +4-^,2. + 6-у₁₃, Хз^Хз + г-Д-зз,

х₄^х₂ + 6-Т24. Х₄>х₃ + 3 ->>34, х₅2х₄ + 5 — у₄₅,

х₅^х₃ + 3, Уі2 ^ 2, Уіз^З, У₂з<1,

Т24 ^ 2, у^йі, у₄₅ S 2, х₃ ? 12,

*,• ? о, у., so, (i,j) 6 Р. Окончание таблицы

XI XI A3 A4 A5 m У13 У23 X24 У34 У45 Ctr8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 2 Ctr 9 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 3 Ctr 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 <= 1 Ctr 11 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 <= 2 Ctr 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 <= 1 Ctr 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 <= 2 Ctr 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 <= 12 Выполнив расчеты, получаем следующие результаты: Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound ЛЗ 0 ' 10 0 -10 Infinity XI 3 0 0 -5 2 A3 6 0 0 -10 0 A4 9 0 0 —Infinity 2 A5 12 0 0 —Infinity 10 У12 1 0 10 8 15 m 0 5 5 0 Infinity У23 0 4 4 0 Infinity У24 0 5 15 10 Infinity J34 o -• 10 10 0 Infinity У45 2 0 8 —Infinity 10 Итак, минимальные затраты, необходимые для того, чтобы сократить продолжительность проекта с до 12 месяцев, составляют 26 тыс. руб.

15

Продолжительность работы (1,2) сокращается на месяц.

Продолжительность работы (4, 5) сокращается на 2 месяца.

Определим, за какое минимальное время может быть выполнен проект Для этого используем следующую модель линейного программирования:

при условиях Для решения этой задачи используем программу POMWIN:

XI XI XI X4 X5 У12 У13 123 У24 У34 У45 Міп 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Ctrl -1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 >= 4 Ctr 2 -1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 >= 6 Ctr 3 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 >= 2 Ctr4 0 -1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 >= 6 Ctr 5 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 1 0 >= 3 Ctr 6 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 1 >= 5 Ctr 7 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 >= 3 Ctr 8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 2 Ctr 9 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 3 Ctr 10 0 0 0 0 0 0 . 0 1 0 0 0 <= 1 Ctr 11 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 <= 2 Ctr 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 <= 1 Ctr 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 <= 2 Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Variable Value Reduced'Cost Original Val Lower Bound Upper Bound XI 0 1 0 -1 Infinity XI 2 0 0 -1 Infinity X3 3 0 0 0 Infinity X4 6 0 0 -1 Infinity X5 9 0 1 0 Infinity У12 2 0 0 —Infinity 1 Y13 3 0 0 —Infinity 0 Y23 1 0 . 0 0 0 124 2 0 0 —Infinity 1 Y34 0 0 0 0 1 Y45 2

i 0 0 —Infinity 1 Следовательно, минимальная продолжительность проекта равна 9 месяцам. Для того чтобы сократить продолжительность проекта до 9 месяцев, продолжительность работ (1, 2), (2, 4) и (4, 5) следует сократить на 2 месяца, работы (1, 3) — на 3, а работы (2, 3) — на месяц.

Ответы: 1. 15 месяцев. 2. 345 тыс. руб. 3. 319 тыс. руб. 4. За девять месяцев.

Задача 3. Решение.

Найдем критический путь при нормальном времени выполнения работ. Используем для этого метод СРМ.

Работа Время выполнения, недели Предшествующие работы A 10 В 8 А C 10 В D 7 А E 10 D F 3 С, Е Введем в программу POMWIN исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ: _

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Project 31 Работа Время выполнения, недели ES EF LS LF R А 10 0 10 0 10 0 ¦ В 8 10 18 10 18 0 С 10 18 28 18 28 0 D 7 10 17 11 18 1 Е 10 17 27 18 28 1 F 3 28 31 28 31 0 Отсюда видно, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 31 неделю. На критическом пути находятся работы А, В, С, F.

Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ, достаточно просуммировать затраты, указанные в шестом столбце таблицы исходных данных, — в результате получаем 400 тыс. руб.

Чтобы определить минимальные дополнительные издержки на сокращение продолжительности проекта до 26 недель, построим модель линейного программирования. Для этого на основании данных о непосредственно предшествующих работах построим графическое представление проекта (рис. 6).

Используя исходные данные, определяем удельные затраты К на сокращение продолжительности работ. Получаем следующие результаты:_ Работа Время выполнения, недели Затраты, тыс. руб., при времени выполнения Удельные затраты, тыс. руб. в неделю нормальное минимальное нормальном минимальном А 10 8 30 60 15 В 8 6 120 150 15 С 10 7 100 160 20 D 7 6 40 50 10 Е 10 8 50 74 12 F 3 3 60 60 —

при условиях х₂ 2: х, + 10 - у₁₂,

x_s Z х_А + 10 - у₄₅, *5 > *3 + 10 - .>>35, Уп S ²>

Уаі ^{5 3}>

Уп ^ ²> х, > 0,

(/.;>«*

х_А ? х₂ + 8 — у_2А,

*з * *2 ^{+ 7} “ уц, x₆Zx₅ + 3, Используя обозначения х_і — время наступления события i; y_ij — величина сокращения времени работы (i,j), получаем следующую модель линейного программирования для определения минимальных издержек на сокращение продолжительности проекта с 31 до 26 недель:

Уг4 ^{2 2}>

Узз* !> х₆ <. 26,

У₉Ь0,

Для решения этой задачи используем программу POMWIN:

XI XI АЗ А4 А5 А6 112 124 145 123 135 Min 0 0 0 0 0 0 15 15 20 10 12 Ctrl -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 >= 10 Ctr 2 0 -1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 >= 8 сиз 0 0 0 -1 1 0 0 0 Г 0 0 >= 10 Си 4 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 >= 7 CU 5 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 1 >= 10 Си 6 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 >= 3 CU 7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 2 CU 8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 <= 2 Си 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 <= 3 CU 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 <= 1 Ctr 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 <= 2 Ctr 12 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 26 Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound А1 0 32 0 -32 Infinity А2 8 0 0 -17 Infinity АЗ 14 0 0 -2 Infinity А4 14 0 0 -2 Infinity А5 23 0 0 —Infinity 32 А6 26 0 0 —Infinity 32 T12 2 0 15 —Infinity 32 124 2 0 15 —Infinity 20 T45 1 0 20 15 Infinity 123 1 0 10 —Infinity 12 135 1 0 12 10 Infinity Итак, минимальные затраты на сокращение продолжительности проекта с 31 до 26 недель составляют 102 тыс. руб. Продолжительность работ (1, 2) и (2, 4) сокращается на 2 недели, работ (4, 5), (2, 3) и (3, 5) — на неделю.

Определим, за какое минимальное время может быть выполнен проект. Для этого используем следующую модель линейного программирования: х₆ -»min

при условиях

х_г > х, + 10 - у_п, х₄ 2 х₂ + 8 — у₂₄, х₅ ? х₄ + 10 - у₄₅,

х₃ > х₂ + 7 - у_2і, х₅ > *з + 10 - у₃₅, х₆>х₅ + 3,

Уі2 - 2. У24 - 2> У45 — 3, У23 ^ 1> Уз5^^>

х,>0, у_й > 0, (i,j)eP.

Для решения этой задачи используем программу POMWIN:

XI XI A3 A4 A5 A6 ?12 m 145 m 135 Міп 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Ctrl -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 >= 10 Ctr 2 0 -1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 >= 8 Ctr 3 0 0 0 -1 1 0 0 0 1 0 0 >= 10 Ctr 4 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 >= 7 ' Ctr 5 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 1 >= 10 Ctr 6 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 >= 3 Ctr 7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 2 Ctr 8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 <= 2 Ctr 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 <= 3 Ctr 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 <= 1 Ctr 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 <= 2 Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound A1 0 1 0 -1 Infinity XI 8 0 0 -1 Infinity A3 14 0 0 -1 Infinity A4 14 0 0 0 Infinity A5 22 0 0 -1 Infinity A6 25 0 1 0 Infinity Окончание таблицы

Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound 112 2 0 0 —Infinity 1 124 2 0 0 —Infinity 0 145 2 0 0 0 1 123 1 0 0 —Infinity 1 135 2 0 0 -Infinity 1 Следовательно, минимальная продолжительность проекта равна 25 неделям. Для того чтобы сократить продолжительность проекта с 31 до 25 недель, продолжительность работ (1, 2), (2, 4), (4, 5) и (3, 5) следует сократить на 2 недели, работы (2, 3) — на неделю.

Ответы: 1.31 неделя. 2. 400 тыс. руб. 3. 502 тыс. руб. 4. За 25 недель.

Задача 4. Решение.

Определим минимальное время выполнения проекта. Найдем критический путь, воспользовавшись методом СРМ.

Введем в программу POMWIN информацию о предшествующих работах и времени их выполнения:

Работа Время выполнения, недели Предшествующие работы А 5 В 2 С 3 А D 4 А Е 3 А F 2 С G 3 D Н 3 В, Е I 2 Н J 2 F, G, I Результаты расчетов представлены в следующей таблице:

Project 15 Работа Время выполнения, недели ES EF LS LF R А 5 0 5 0 5 0 В 2 0 2 6 8 6 С 3 5 8 8 11 3 D 4 5 9 6 10 1 Е 3 5 8 5 8 0 F 2 8 10 11 13 3 G 3 9 12 10 13 1 Н 3 8 11 8 11 0 I 2 11 13 11 13 0 J

\ 2 13 15 13 15 0 Ожидаемое время выполнения проекта — 15 недель.

Суммируя затраты на выполнение всех работ проекта, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных, получаем 313 тыс. руб.:

90 + 16 + 3 + 100 + 6 + 2 + 60 + 30 + 4 + 2 = 313 тыс. руб.

Работа Время выполнения, недели Затраты на выполнение, тыс. руб.¹ Удельные затраты на выполнение, тыс. руб. в неделю А 5 90 18 В 2 16 8 С 3 3 1 D 4 100 25 Е 3 6 2 Определим удельные затраты на выполнение работ:

Окончание таблицы

Работа Время выполнения, недели Затраты на выполнение, тыс. руб. Удельные затраты на выполнение, тыс. руб. в неделю F 2 2 1 G 3 60 20 Н 3 30 10 / 2 4 2 J 2 2 1 Проведем анализ фактических затрат.

Если в конце пятой недели фактические затраты будут находиться в интервале от 90 тыс. до 106 тыс. руб., то проект может быть выполнен за 15 недель. Фактические затраты на конец пятой недели

составляют 100 тыс. руб. и удовлетворяют этому условию. Недостатка или перерасхода средств на этот момент времени нет.

Если в конце десятой недели фактические затраты будут находиться в интервале от 234 тыс. до 257 тыс. руб., то проект может быть выполнен за 15 недель. Фактические затраты на конец десятой недели составляют 230 тыс. руб. Это означает, что недостаток средств на конец десятой недели составляет 4 тыс. руб. и время выполнения проекта может возрасти.

Ответы: 1. 15 недель. 2. 106 тыс. руб. 3. 90 тыс. руб. 4. Недостатка или перерасхода средств в конце пятой недели нет. 5. 4 тыс. руб.

Задача 5. Решение.

Определим минимальное время выполнения проекта. Найдем критический путь, воспользовавшись методом СРМ.

Введем в программу POMWIN информацию о проекте, содержащуюся в первом, втором и третьем столбцах таблицы исходных данных.

Результаты расчетов представлены в следующей таблице: Project 14 Работа Время выполнения, недели ES EF LS LF R А 1 0 1 3 4 3 В 2 1 3 4 6 3 С 3 0 3 0 3 0 D 3 3 6 3 6 0 Е 2 6 8 6 8 0 F 2 3 5 6 8 3 G 1 8 9 8 9 0 Н 3 8 11 8 11 0 I 2 9 11 9 И 0 J 1 9 10 13 14 4 К 3 11 14 11 14 0 Ожидаемое время выполнения проекта — 14 недель. Суммируя затраты на выполнение всех работ проекта, получаем 124 тыс. руб. Работа Время выполнения, недели Затраты на выполнение, тыс. руб. Удельные затраты на выполнение, тыс. руб. в неделю А 1 6 6 В 2 4 2 С 3 15 . 5 D 3 18 6 Е 2 30 15 F 2 20 10 Определим удельные затраты на выполнение работ:

Окончание таблицы

Работа Время выполнения, недели Затраты на выполнение, тыс. руб. Удельные затраты на выполнение, тыс. руб. в неделю G і 2 2 - Н 3 6 2 I 2 12 6 J 1 2 2 К 3 9 3 Определим динамику роста совокупных затрат для наиболее раннего времени начала всех работ: Иеделя

Работа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 А 6 В 2 2 С 5 5 5 ' D 6 6 6 Е 15 15 F 10 10 G 2 Н 2 2 2 I 6 6 J 2 К 3 3 3 Недельные затраты, тыс. руб. 11 7 7 16 16 6 15 15 4 10 8 3 3 3 Общие затраты, тыс. руб. 11 18 25 41 57 63 78 93 97 107 115 118 121 124 Определим динамику роста совокупных затрат для наиболее позднего времени начала всех работ: Неделя

Работа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 А 6 В 2 2 С 5 5 5 D 6 6 6 Е 15 15 F 10 10 G 2 Н 2 2 2 I 6 6 J 2 К 3 3 3 Недельные затраты, тыс. руб. 5 5 5 12 8 8 25 25 4 8 8 3 3 5 Общие затраты, тыс. руб. 5 10 15 27 35 43 68 93 97 105 113 116 119 124 Проведем анализ фактических затрат.

Если в конце четвертой недели фактические затраты будут находиться в интервале от 27 тыс. до 41 тыс. руб., то проект может быть выполнен за 14 недель. Фактические затраты на конец четвертой недели составляют 35 тыс. руб. и удовлетворяют этому условию. Недостатка или перерасхода средств на этот момент времени нет.

Для того чтобы проект был выполнен за 14 недель, фактические затраты в конце восьмой недели должны равняться 93 тыс. руб. Так как они равны 90 тыс. руб., то на конец восьмой недели имеет место недостаток средств 3 тыс. руб. и время выполнения проекта может возрасти.

Ответы: 1.14 недель. 2. 41 тыс. руб. 3. 27 тыс. руб. 4. Недостатка или перерасхода средств в конце

четвертой недели нет. 5. 3 тыс. руб.

---