18c0693f

Глава 11. Нелинейное программирование


В данной главе описываются оптимизационные задачи нелинейного программирования (НЛП), математические модели которых содержат нелинейные зависимости от переменных. Источники нелинейности относятся в основном к одной из двух категорий:

1) реально существующие и эмпирически наблюдаемые нелинейные соотношения, например: непропорциональные зависимости между объемом производства и затратами; между количеством используемого в производстве компонента и некоторыми показателями качества готовой продукции; между затратами сырья и физическими параметрами (давление, температура и т.п.) соответствующего производственного процесса; между выручкой и объемом реализации и др.;

2) установленные (постулируемые) руководством правила поведения или задаваемые зависимости, например: формулы или правила расчета с потребителями энергии или других видов услуг; эвристические правила определения страховых уровней запаса продукции; гипотезы о характере вероятностного распределения рассматриваемых в модели случайных величин; различного рода договорные условия взаимодействия между партнерами по бизнесу и др.

Решать линейные задачи значительно проще, чем нелинейные, и если линейная модель обеспечивает адекватность реальным ситуациям, то ее и следует использовать. В практике экономического управления модели линейного программирования успешно применялись даже в условиях нелинейности. В одних случаях нелинейность была несущественной и ею можно было пренебречь, в других — производилась линеаризация нелинейных соотношений или применялись специальные приемы, например строились так называемые линейные аппроксимационные модели, благодаря чему достигалась требуемая адекватность. Тем не менее имеется большое число ситуаций, где нелинейность является существенной и ее нужно учитывать в явном виде.

Далее приводятся общая модель задачи нелинейного программирования и классы задач НЛП, а также описываются условия оптимальности решения.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:

• целевую функцию;

• ограничения;

• допустимый план;

• множество допустимых планов;

• модель нелинейного программирования;

где х = (xi, Х2, х„) — вектор переменных задачи.

• оптимальный план.

Вы сможете также:

• определять, является ли функция выпуклой;

• строить функцию Лагранжа задачи НЛП;

• проверять оптимальность полученных решений.

Модели

В общем виде задача НЛП описывается с помощью следующей модели нелинейного программирования:

F(x) -» max, (1)

gj (х) < /=1, т, (2)

х > 0, (3)

Задача (1)—(3) называется задачей нелинейного программирования в стандартной форме на максимум.

Может быть сформулирована также задача НЛП на минимум.

Вектор х = (x:, х2, хп), компоненты х}- которого удовлетворяют ограничениям (2) и (3), называется

допустимым решением или допустимым планом задачи НЛП.

Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.

Допустимое решение задачи НЛП, на котором целевая функция (1) достигает максимального значения, называется оптимальным решением задачи НЛП.

Возможное местонахождение максимального значения функции F(x) при наличии ограничений (2) и (3) определяется следующим общим принципом. Максимальное значение F(x), если оно существует, может достигаться в одной или более точках, которые могут принадлежать следующим множествам:

~ Кхі> —Iх/,)- (хі> •••> х„) — внутренняя точка множества допустимых планов, в которой все первые частные производные ^00 - 0, j — 1, и},

$2 ~ •••> *«)• ’ *«) — точка границы множества допустимых планов};

~ {(*і> •••> хп); (хн •••> хп \ — точка множества допустимых планов, в которой функция F(x) недифференцируема}.

В отличие от задач линейного программирования, любая из которых может быть решена симплекс-методом, не существует одного или нескольких алгоритмов, эффективных для решения любых нелинейных задач. Какой-то алгоритм может оказаться чрезвычайно эффективным для решения задач одного типа и неудачным для задач другого типа.

Эффективность алгоритма может даже существенно зависеть от постановки задачи, например от изменения масштабов измерения тех или иных переменных. Поэтому алгоритмы разрабатываются для каждого класса (типа) задач. Программы, ориентированные на решение определенного класса задач, как правило, не гарантируют правильность решения любых задач данного класса, и оптимальность решения рекомендуется проверять в каждом конкретном случае.

В экономических приложениях рассматриваются следующие классы задач НЛП.

1. Оптимизация нелинейной функции с ограничениями на неотрицательность значений переменных:

F^) ® тах,

x > 0,

где х = (хі, х2,..., хп) — вектор переменных задачи.

Пусть F(x) — дифференцируемая функция.

Необходимые условия того, что в точке х° достигается максимум функции F(x):

*1 = о

Эх,- ’

дF Эх,

і= 1,

?0, хі

Это означает, что:

3 F

< 0 для х = х° в случае х,° = 0

и Если F(x) вогнутая функция (для задачи минимизации — выпуклая), то эти условия являются также достаточными.

Функция F(x) с числовыми значениями, определенная на выпуклом множестве точек К, называется вогнутой, если для любой пары точек х1, х2 и для всех чисел X, 0 < X < 1, выполняется неравенство F(kx} + (1 - Х)х2) > МДх1) + (1 - X)F{x2).

Если *(**' + 0 - *)х2) < XF(x‘) + (1 - X)F(x2), то функция F(x) называется выпуклой. Если имеют место строгие неравенства, то говорят, что функция строго вогнута или строго выпукла.

Данное определение вогнутости (выпуклости) годится для любого типа функции. Практически, однако, применять его трудно.

Для дважды дифференцируемой функции F(x) имеет место следующий критерий. Дифференцируемая

функция /'(х) строго вогнута в некоторой окрестности точки х следующие условия: если выполняются

* = (х$ х?4)>

т.е. если знаки этих определителей чередуются указанным образом.

Здесь rfi (х°) — частная производная второго порядка, вычисленная в точке х°.

Матрица размера п х п, составленная из элементов называется матрицей Хессе (Hesse). По

значениям ее главных миноров можно судить о выпуклости или вогнутости функции. Функция F(x) строго выпукла в малой окрестности точки х0, если все главные миноры ее матрицы Хессе строго положительны. Если имеют место нестрогие неравенства (>), то функция в окрестности точки х0 выпукла. Если при этом главные миноры матрицы Хессе от х не зависят, то функция всюду (строго) выпукла.

Весьма распространены относящиеся к данному типу модели квадратичного программирования, в которых целевая функция F(x) является квадратичной функцией переменных х1, х2, ..., хп. Существует большое число алгоритмов решения такого типа задач, в которых функция F(x) вогнутая (для задач минимизации — выпуклая).

2. Модели выпуклого программирования. К такого рода моделям относятся задачи НЛП (1)—(3), в которых F(x) — вогнутая (выпуклая) функция, a gi(x) — выпуклые функции. При данных условиях локальный максимум (минимум) является и глобальным.

Пусть F(x) и gi(x), i= 1,..., т, — дифференцируемые функции.

Необходимые и достаточные условия оптимальности решения — выполнение условий Куна — Таккера.

т* *

Рассмотрим задачу НЛП (1)—(3) и функцию Лагранжа L (х, А,) = + ;?і — & ^х^‘

Условия Куна — Таккера оптимальности решения х° для задачи максимизации Х(х) имеют вид

Z;.(x<UO)>0, х9Ь'х.(х°,Х°) = 0, j= 1, ..., п, (5)

?, (x°)-6,.< 0, XlHgi(x°)-bi) = 0, /= 1, ..., т, (6)

х/ > 0, j = 1,

^•°>0, /*1,

(7)

(8)

т,

где ^ ^ ) — частная производная функции Лагранжа по переменной х, при х = х° и X = Х°. Пусть

Х0

максимальное значение F(x) равно F(x0) = F0. Числа i связаны с F следующими соотношениями:

Х°

Из этих соотношений видно, что числа i характеризуют реакцию значения F0 на изменение значения

^0 ^0

соответствующего bi. Например, если i < 0, то при уменьшении bi (в пределах устойчивости i )

Х0



значение F0 увеличится, а i = 0 указывает на несущественность соответствующего ограничения g(x) < bi, которое может быть без ущерба для оптимального решения из системы ограничений исключено. 3. Сепарабельное программирование. Специальный случай выпуклого программирования при условии, что F(x) и все #г(х) — сепарабельные функции, т.е.

Задачи данного вида сводятся к задачам линейного программирования.

4. Дробно-нелинейное программирование. Максимизировать (минимизировать) функцию F(x) = F1(x)/F2(x).

В частном случае, когда в числителе и знаменателе — линейные функции (так называемая задача дробно-линейного программирования), задача сводится к линейной.

5. Невыпуклое программирование. Функция F(x) и (или) какие-либо gi(x) не выпуклы. Надежных методов решения задач такого типа пока не существует.

Примеры

Пример 1. Сколько производить?

3LP = 3?-° ' ВЪ: ’

і = 1, т.

Ресурс Расход ресурса Запас ресурса на продукт 1 на продукт 2 Сырье 1, т 3 5 120 Сырье 2, т 4 6 150 Трудозатраты, ч 14 12 400 Прибыль единицы продукта, тыс. руб./т 72 103 Предприятие располагает ресурсами двух видов сырья и рабочей силы, необходимыми для производства двух видов продукции. Затраты ресурсов на изготовление одной тонны каждого продукта, прибыль, получаемая предприятием от реализации тонны продукта, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:_

Стоимость одной тонны каждого вида сырья определяется следующими зависимостями: (9 + 0,0088гі) тыс. руб. для сырья 1 и (5 - 0,0086r2) тыс. руб. для сырья 2, где r1 и r2 — затраты сырья на производство продукции. Стоимость одного часа трудозатрат определяется зависимостью (1 - 0,0002r, где r — затраты времени на производство продукции.

Вопросы:

1. Сколько продукта 1 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?

2. Сколько продукта 2 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?

3. Какова максимальная прибыль?

Решение. Пусть x1 — объем выпуска продукта 1 (в тоннах), х2 — объем выпуска продукта 2 (в тоннах). Тогда задача может быть описана в виде следующей модели нелинейного программирования:

і lx, + \6х2 + 0,lx,2 + 0,12х22 + 0,22х,х2 -у шах,

Зх, + 5х2 < 120,

4х, + 6х2 < 150,

14х, + 1 2х2 < 400,

х,,х2>0. _

При использовании программы GINO исходную информацию для решения этой задачи представляем в следующем виде:

MODEL:

1) MAX = 11 *X1 + 16*X2 + 0.1 *X1 *X1 + 0.12 * X2 * X2 +

+ 0.22 * XI * X2 ; .

2) 3*X1 + 5*X2< 120;

3) 4 * XI + 6 * X2 < 150 ;

4) 14 * XI + 12 * X2 < 400 ;

5) XI > 0 ;

6) X2 > 0 ;

END

Получаем следующий результат:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 507.407407

VARIABLE VALUE REDUCED

COST X! 16.666667 0 X2 13.888889 0 Ответы: 1. 16,67т. 2.13,89т. 3. 507,407 тыс. руб.

Пример 2. Формирование портфеля ценных бумаг.

Клиент поручил брокерской конторе купить для него на 1 млн руб. акции трех известных ему компаний. Сделка заключается на год. Клиент заинтересован, с одной стороны, в максимизации средней прибыли на вложенный капитал, а с другой — в минимизации риска, поскольку прибыль, получаемая в конце года от акции каждой компании, является величиной случайной. Известно, что чем прибыльнее акция, тем выше связанный с ней риск, поэтому названные критерии являются противоречивыми. Клиенту это обстоятельство разъяснили и попросили его указать относительную значимость («вес») критериев. Клиент, будучи человеком осторожным, высказал пожелание, чтобы риск учитывался с весом втрое большим, чем прибыль. Получив такие указания, сотрудники брокерской конторы сформулировали следующую модель нелинейного программирования:

? Іі: X: — 3 ? С:; X, X. -» ПЫХ,

J j,j= 1 У 1 1 ’

? X: — 1000,

J

Х[>0, j= 1,2,3,

где Х] — объем средств, затраченных на покупку акций типа j (тыс. руб.); m — математическое ожидание процента прибыли от вложения 1 тыс. руб. в акции типа j;

Sjj — дисперсия указанного выше процента прибыли;

S] — ковариация между процентами прибыли от вложения 1 тыс. руб. в акции типа i и j (i Ф j).

Первая сумма в критерии — ожидаемое значение прибыли, обеспечиваемой пакетом акций, вторая — дисперсия прибыли пакета акций, взятая с «весом» 3. Дисперсия прибыли пакета акций служит мерой риска.

Пусть средние значения процентов годовой прибыли от акций компаний составляют соответственно 8, 10 и 13%. Дисперсии оп = 0,1, О22 = 0,15, О33 = 0.19. Ковариации О12 = 0,01, О13 = 0,02, О23 = 0,03. Вопросы:

1. Является ли целевая функция строго вогнутой?

2. Какую сумму следует вложить в покупку акций типа 1?

3. Какую сумму следует вложить в покупку акций типа 3?

Решение. Модель нелинейного (в данном случае — квадратичного) программирования имеет вид F(xu *2, х3) = 0,08х, + O.lxj + 0,13*3 - 0,3лгх2 - 0,45 х22 -- 0,57х| - 0,06х,х2 - 0,12х,х3 - 0,18x2X3 -> шах, х, + *2 + х3 = 1000, х,, Xj, х3 > 0.

Найдем все частные производные второго порядка целевой функции F: F"=-0,6; /?=-0,9; /?=-1,14; /? = -0,06;

Fu = -0,12; F" = -0,18.

Рассчитав значения соответствующих определителей (главных миноров матрицы Хессе), можно убедиться, что выполняются условия (4), откуда следует, что целевая функция строго выпукла для любых значений хь х2, х3 (значения определителей не зависят от значений переменных).

Используя программу GINO, исходную информацию для решения этой задачи представляем в следующем виде:

MODEL:

1) МАХ= 0.08 * Х1 + 0.1 * Х2 + 0.13 * ХЗ - Rl - R2 •

2) R1 = 0.3 * XI * XI + 0.45 * Х2 * Х2 + 0.57 * ХЗ * ХЗ ¦

3) R2 = 0.06 * XI * Х2 + 0.12 * XI * ХЗ + 0.18 * Х2 * ХЗ •

4) XI + Х2 + ХЗ = 1000 ;

5) XI > 0 ;

6) Х2 > 0 ;

7) ХЗ > 0 ;

END

Получаем следующий результат:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)-169988.211211

VARIABLE VALUE REDUCED

COST XI 496.808739 0 Х2 305.263160 0 ХЗ 197.928101 0 R1 138309.250999 0 R2 31774.961878 0 Непосредственной подстановкой полученного решения в условия (5)—(8) можно убедиться, что условия Куна — Таккера выполняются, причем решение обеспечивает глобальный максимум целевой функции, поскольку F строго вогнута.

Ответы: 1. Да, является (при любых значениях переменных).

2. 496,8 тыс. руб. 3. 197,93 тыс. руб.

Пример 3. Производство молочных продуктов.

Продукт Коэффициенты выхода продуктов из 1 кг молока Максимальный объем суточного производства продуктов, кг Цена продукта, руб./кг фермы 1 фермы 2 Сметана 0,1 0,2 75 40 Творог 0,25 0,1 100 30 Сыр 0,1 0,08 50 . 100 Затраты, связанные с приобретением сырья (молока), являются кусочно-линейной функцией Молокозавод производит для местного рынка три вида продуктов: сметану, творог и сыр. Молоко поступает ежедневно из двух ферм. Технологические и экономические данные о производимых продуктах приведены в следующей таблице:___

закупаемого количества: а) для фермы 1_ Количество, кг У] ~ о Уг = 200 у3 = 300 О

О

II

„•'Г ^ ! у5 = 600 Затраты, руб. 0 1000 1600 3000 4000 б) для фермы 2 Количество, кг -1 = 0 12 = 200 = 300 г4 = 600 Затраты, руб. 0 800 1400 3800 Вопросы:

1. Какова максимальная ежедневная прибыль молокозавода?

2. Сколько молока следует закупать на ферме 1?

3. Сколько молока следует закупать на ферме 2?

4. Как изменится максимальная прибыль, если максимальное суточное производство сметаны увеличить на 1 кг?

5. Как изменится максимальная прибыль, если максимальное суточное производство творога уменьшить на 2 кг?

Решение. Задача может быть описана с помощью модели линейного программирования.

Пусть х, — количество молока, закупаемого на ферме 1, Х2 — количество молока, закупаемого па ферме

2. Представим х1 и х2 в следующем виде:



нашем случае

Тогда стоимость молока, закупаемого на ферме 1, описывается функцией С,(х,) = 5м, + 6м2 + 7м3 + Юм4 ,

а стоимость молока, закупаемого на ферме 2, — функцией С2(х2) = 4?, + 6?2 + 8?3.

Окончательно модель линейного программирования имеет вид



Структура матрицы задачи линейного программирования показана в следующей таблице: XI X2 U\ U2 Ш Щ VI K2 n Maximize 21,5 19 -5 -6 -7 -10 -4 -6 -8 Ctr I 1 0 -I -I -1 -I 0 0 0 = 0 Ctr 2 0 1 0 0 0 0 -1 -1 -1 = 0 Ctr 3 0,1 0,2 0 0 0 0 0 0 0 <= 75 Ctr 4 0,25 0,1 0 0 0 0 0 0 0 <= 100 Ctr 5 0,1 0,08 0 0 0 0 0 0 0 <= 50 Ctr 6 0 0 1 0 0 0 0 0 0 <= 200 Ctr 7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 100 Ctr 8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 200 Ctr 9 0 0 0 0 0 1 0 0 0 <= 100 Ctr 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 <= 200 Ctr 11 0 0 0 0 0 0 0 1 0 <= 100 Ctr 12 0 0 0 0 0 0 0 0 1 <= 300 Используя для решения этой задачи программу POMWIN, получаем следующий результат: X\ XI Ul Ul m m VI V2 V3 Maximize 21,5 19 -5 -6 -7 -10 -4 -6 -8 Ctrl 1 0 -1 -1 -1 -1 0 0 0 = 0 7 Ctr 2 0 .1 0 0 0 0 -1 -1 -1 = 0 6 Ctr 3 0,1 0,2 0 0 0 0 0 0 0 <= 75 45 Ctr 4 0,25 0,1 0 0 0 0 0 0 0 <= 100 40 Ctr 5 0,1 0,08 0 0 0 0 0 0 0 <= 50 0 Ctr 6 0 0 1 0 0 0 0 0 0 <= 200 2 Ctr 7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 100 1 Ctr 8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 200 0 Ctr 9 0 0 0 0 0 1 0 0 0 <= 100 0 Ctr 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 <= 200 2 Ctr 11 0 0 0 0 0 0 0 1 0 <= 100 0 Ctr 12 0 0 0 0 0 0 0 0 1 <= 300 0 Solution 312,5 218,75 200 100 12,5 0 200 18,75 0 8275 Далее представлена таблица, содержащая границы устойчивости по коэффициентам целевой функции

Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound XI 312,5 0 21,5 13,5 39,5 XI 218,75 0 19 11,8 35 Ul 200 0 -5 -7 Infinity Ш 100 0 -6 -7 Infinity m 12,5 0 -7 -10 -6 m 0 3 -10 . —Infinity -7 VI 200 0 -4 -6 Infinity V2 18,75 0 -6 -8 -4 V3 0 2 -8 —Infinity -6 Constraint Dual Val Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound Ctr 1 7 0 0 -187,5 12,5 Ctr 2 6 0 0 -81,25 18,75 Ctr3 45 0 75 72 80 Ctr 4 40 0 100 97,5 104,17 Ctr 5 0 1,25 50 48,75 Infinity Ctr 6 2 0 200 12,5 212,5 Ctr 7 1 0 100 0 112,5 Ctr 8 0 187,5 200 12,5 Infinity Ctr 9 0 100 100 0 Infinity Ctr 10 2 0 200 118,75 . 218,75 Ctr 11 0 81,25 100 18,75 Infinity Ctr 12 0 300 300 0 Infinity Границы устойчивости по правым частям ограничении:

Ответы: 1. 8275 руб. 2. 312,5 кг. 3. 218,75 кг. 4. Увеличится на 45 руб. 5. Уменьшится на 80 руб.

Вопросы

Вопрос 1. Дана действительная функция fx), определенная на отрезке действительных чисел S = [0, 100]. Пусть хі и х2 — точки этого отрезка и 0 < 1 ? 1.

Какое из нижеприведенных неравенств является условием выпуклости функции?

Варианты ответов:

1) /(Ах, + (i - ад > хдх{) + (1 - а.)/(*2);

2) А/(х,) + (1 - А)/(х2) >/(XjCj + (1 - А)х2);

3) /(Ах, + (1 — А,)^) ^ А/(х2) + (1 — А)/(х,),

4) А/(х,) + (1 — A)f(fy) > /(Ах, + (1 — А)^);

5) А/(*,) + (1 - А) /(х^) </(Ах, + (1 - А)х2).

Вопрос 2. Дана действительная функция _Дх), определенная на отрезке действительных чисел ?=[0, 100].

Пусть x1 и х2 — точки этого отрезка и 0 < 1 < 1.

Какое из нижеприведенных неравенств является условием строгой вогнутости функции?

Варианты ответов:

1) А/ (х,) + (1 - А)/(х2) < /(Ах, + (1 - ад;

2) А/(х,) + (1 - А)/(х2) >/(Ах, + (I - ад;

3) /(Ах2 + (1 - ад < А/(х,) + (I - А)/(х2);

4) АДх,) + (1 - А)/(х2) < /(Lx, + (1 - А)х2);

5) /(Ах2 + (1 - А)х,) > А/(х,) + (1 - А)/(х2).

Вопрос 3. Функция “ 4х, + 8х, + 5х,х2 — Зх,2 — Зх2:

1) выпуклая;

2) строго выпуклая;

3) вогнутая;

4) строго вогнутая;

5) выпуклая и вогнутая.

Вопрос 4. Функция /(Л"і> л2) 3 — 6х, + 13х2:

1) выпуклая;

2) ни выпуклая, ни вогнутая;

3) вогнутая;

4) строго вогнутая;

5) выпуклая и вогнутая.

Вопрос 5. Функция ^хі ’ хз) _ ^х, + Зх2 - 5х2 ВСЮДу:

1) выпуклая;

2) ни выпуклая, ни вогнутая;

3) строго выпуклая;

4) вогнутая:

5) выпуклая и вогнутая.

Вопрос 6. Новая модель скоростного мотоцикла «Улитка» продается предприятием по цене (30 - 2x) тыс. долл. за штуку, где х —количество проданных мотоциклов. Переменные производственные затраты составляют 6 тыс. долл. за штуку, фиксированные затраты — 30 тыс. долл. Максимизируйте прибыль предприятия за неделю.

Предположим, что в результате изменения ставки налога с продаж последний (налог) составил дополнительно 4 тыс. долл. на каждый проданный мотоцикл.

Как изменится оптимальный выпуск мотоциклов по сравнению с начальной ситуацией?

(Решить, используя функцию Лагранжа.)

Варианты ответов:

1) увеличится на 2; 2) уменьшится на 2;

3) не изменится; 4) увеличится на 1;

5) уменьшится на 1.

Вопрос 7. Предположим, что у вас есть 2 недели (14 дней) отпуска, которые вы можете провести на Канарских островах и в Ницце. Пусть ваша функция полезности имеет вид 2KN- 3К2 - 4N2, где К и N — количество дней, которое вы проводите на Канарских островах и в Ницце соответственно.

Сколько дней вы должны провести в Ницце, чтобы максимизировать свою функцию полезности?

(Для решения использовать функцию Лагранжа. Результат округлить до ближайшего целого. Проверить, выполняются ли условия оптимальности Куна — Таккера.)

Варианты ответов:

1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 6; 5) 7.

Вопрос 8. Для задачи вопроса 7 найдите значение двойственной оценки ограничения.

(Результат округлить до ближайшего целого.)

Варианты ответов:

1) 41; 2) 34; 3) 29; 4) 39; 5) 44.

Вопрос 9. Монополист планирует программу производства и реализации продукции на следующий период. Цены: рі = 14 - 0,25x1 (на продукт 1); р2 = 14 - 0,5x2 (на продукт 2), где Хі и Х2 — объемы реализации продуктов. Предположим, что вся произведенная продукция реализуется. Максимальный суммарный объем сбыта — 57.

Каков оптимальный выпуск продукта 2?

Варианты ответов:

1) 36,4; 2) 30,7; 3) 26,3; 4) 20,6; 5) 41,8.

Вопрос 10. Владелец небольшого предприятия располагает на ближайший месяц 100 тыс. руб., которые он может потратить на увеличение основных фондов К (закупку оборудования) по цене 1 тыс. руб за единицу либо на покупку дополнительной рабочей силы L по цене 50 руб./ч. Увеличение готовой продукции, которая может быть продана по 10 тыс. руб. за единицу, определяется производственной функцией F(K, L) = L2/7 К25.

Сколько средств следует потратить на увеличение основных фондов?

Варианты ответов:

1) 74,36 тыс. руб.; 2) 58,33 тыс. руб.; 3) 63,44 тыс. руб.;

4) 45,66 тыс. руб.; 5) 39,77 тыс. руб.

Задачи

Задача 1. Компания «Комуойл» производит на одном из своих заводов три марки неэтилированного бензина А-88, А-92 и А-95 из нефти, добываемой на трех месторождениях: на двух сибирских — тюменском и самотлорском — и на башкирском. Причем из Сибири нефть поступает по трубопроводу в смеси в количестве 250 т в сутки.

Нефть Октановое число Максимальный объем поставок, т в сутки Цена, долл./т Самотлорская 97 ^ 250 320 Тюменская 94 270 Башкирская 84 150 250 Данные о нефти представлены в следующей таблице:_

Марка бензина Октановое число Минимальный выпуск, т Цена, долл./т А-88 88 90 450 А-92 92 70 500 А-95 95 100 550 Требуемые характеристики бензина:

Предположим, что других затрат, кроме затрат на покупку сырой нефти, нет. Определите оптимальную (с точки зрения максимума прибыли) суточную производственную программу завода.

Вопросы:

1. Какова максимальная прибыль завода?

2. Каков оптимальный выпуск бензина А-88?

3. Какова доля тюменской нефти в смеси, поступающей из Сибири?

4. Каковы общие затраты?

Задача 2. На кондитерской фабрике «Десерт» вследствие уменьшения спроса на ряд ее изделий освободилась часть производственных мощностей. Чтобы избежать сокращения численности работающих, специалисты фабрики разработали технологию производства двух новых видов шоколадных конфет: шоколадных бочонков с коньяком, получивших название «Братец Иванушка» (БИ), и шоколадных шариков с вишней, названных «Сестрица Аленушка» (СА). Для изготовления любого нового вида конфет должны быть задействованы три производственные линии: производство шоколада, непосредственное изготовление конфет, упаковка и контроль. Первая и третья линии — общие для конфет обоих наименований. Доля шоколада в общем весе одной конфеты БИ составляет 70%, а в конфете СА — 80%. Максимальная мощность линии по изготовлению шоколада (для новой продукции) составляет 250 кг в сутки. Производительность линии по изготовлению конфет БИ — 170 кг в сутки, конфет СА — также 170 кг. Удельные переменные затраты составляют: для конфет БИ — 180 руб./кг, для конфет СА — 150 руб./кг. Предполагается, что все изготовленные в течение суток конфеты будут проданы. В силу своей исключительности новые изделия не испытывают внешней конкуренции, однако они конкурируют друг с другом. В результате проведенного исследования были получены следующие зависимости объемов сбыта от цен:

= 500 - р{ + 0,2р2, *2 = 500 + 0,3рх - р2,

где x1 — произведенное (проданное) в течение суток количество конфет БИ, кг;

х2 — произведенное (проданное) в течение суток количество конфет СА, кг;

р1 — цена конфет БИ, руб./кг;

р2 — цена конфет СА, руб./кг.

Определите производственную программу, при которой суточная прибыль фабрики от производства новой продукции максимальна.

Вопросы:

1. Какова максимальная прибыль фабрики?

2. Каков оптимальный выпуск конфет БИ?

3. Каков оптимальный выпуск конфет СА?

4. Какова оптимальная цена конфет БИ?

5. Какова оптимальная цена конфет СА?

Задача 3. На молочном комбинате помимо других продуктов производится также сырковая масса трех наименований: «Изюминка», «Ваниль» и «Орешек» — жирности соответственно 6, 5 и 3%. В качестве основных исходных продуктов используются творог жирности 8, 7 и 2%, объемы суточных поставок которого составляют по 200 кг каждого вида, и сахар, имеющийся в количестве 70 кг в сутки.

По технологии для получения 1 кг сырковой массы «Изюминка» требуется 30 г сахара, для «Ванили» — 40 г и для «Орешка» — 60 г. Цена сырковой массы «Изюминка» равна 36 руб./кг, «Ванили» — 35 руб./кг, «Орешка» — 33 руб./кг.

Закупочная цена творога 8%-й жирности определяется зависимостью (29 - 0,003x) руб./кг, где х — объем закупки (в кг). Аналогичные зависимости для творога 7%-й жирности (27 - 0,008x) руб./кг и 2%-й жирности (26 - 0,005x) руб./кг.

Минимальный выпуск для «Изюминки» 100 кг, «Ванили» 50 кг, «Орешка» 50 кг.

Постройте производственную программу, максимизирующую общую суточную прибыль.

Вопросы:

1. Какова максимальная прибыль?

2. Каков оптимальный объем производства сырковой массы «Орешек»?

3. Каков оптимальный объем производства сырковой массы «Ваниль»?

Металл Выход металлов, т, из 1 т руды месторождения Средние затраты (на 1 кг металла), тыс. руб./т, месторождения Цена, тыс. руб./т Мини

мальный

выпуск,

т 1 2 1 2 Никель 0,02 0,025 5 6 8 25 Медь 0,03 0,02 4 3,5 6 25 Серебро 0,001 0,0008 22 20 30 0,8 Задача 4. Горно-обогатительная фабрика получает из руды, поступающей из двух месторождений, никель, медь и серебро. Данные о количестве ценных металлов, получаемых из одной тонны руды каждого месторождения, приведены в следующей таблице:_

В течение месяца фабрика перерабатывает не более 1000 т руды. За счет увеличения (уменьшения) затрат можно изменить доли выхода металлов в пределах ±10% по сравнению с приведенными в таблице. Предположим, что удельные затраты после изменения средних (приведенных в таблице) коэффициентов выхода металлов определяются зависимостью с = (2k - 1) с0, где k показывает, во сколько раз изменяется средний выход металла из 1 т руды, а с0 — средние удельные затраты. При этом предполагается, что общие затраты, связанные с изменением нескольких коэффициентов, аддитивны.

Постройте модель нелинейного программирования с учетом возможности изменения коэффициентов выхода металлов. Определите оптимальные значения коэффициентов, обеспечивающих максимум прибыли фабрики.

Вопросы:

1. Какова максимальная прибыль?

2. Каково оптимальное значение коэффициента выхода никеля из руды месторождения 2?

3. Каково оптимальное значение коэффициента выхода меди из руды месторождения 1?

4. Какое количество руды месторождения 2 следует использовать в производстве?

Задача 5. Завод производит два вида высококачественного паркета из дуба, отличающиеся формой и толщиной деталей. Дефицитными ресурсами служат дубовая доска и специальная жидкость для пропитки деталей. Для производства 1 м2 паркета первого вида требуется 0,01 м3 дубовой доски и 0,05 кг жидкости для пропитки. Для производства 1 м2 паркета второго вида потребности в ресурсах составляют соответственно 0,02 м3 и 0,15 кг. Максимальное количество ресурсов за месяц: 20 м3 дубовой доски и 150 кг жидкости для пропитки.

Затраты на единицу первого ресурса (на 1 м3 дубовой доски) составляют (1000 - 3л) руб./м3, где r — объем дубовых досок, использованных в производстве паркета. Затраты на единицу второго ресурса (на 1 кг жидкости для пропитки) составляют (500 - 0,5r2) руб./кг, где r2 — количество использованной в производстве паркета жидкости для пропитки. Предполагается, что других затрат нет. Оба вида паркета могут частично заменять друг друга, поэтому величины спроса на них взаимозависимы. Цена 1 м2 паркета первого вида (руб./м2) определяется зависимостью р\ = 100 - 0,04x1 — 0,01x2, а цена 1 м2 паркета второго вида — зависимостью р2 = 210 - 0,008xi - 0,03x2, где x1, х2 — объемы производства (м2) паркета соответственно первого и второго вида.

В предположении, что весь паркет может быть продан, определите производственную программу завода, обеспечивающую максимум прибыли.

Вопросы:

1. Какова максимальная прибыль предприятия?

2. По какой цене следует продавать паркет первого вида?

3. По какой цене следует продавать паркет второго вида?

4. Какое количество жидкости для пропитки используется в производстве?

5. Каков оптимальный выпуск паркета второго вида?

Задача 6. Данная задача является одним из вариантов задачи формирования портфеля ценных бумаг (см. пример 2).

Клиент поручил брокерской конторе купить для него на 3 млн руб. акции четырех известных ему компаний. Сделка заключается на год. Клиент заинтересован в минимальном риске при условии, чтобы средний процент прибыли, обеспечиваемый портфелем акций к концу года, был не менее 9%. Известно, что средние значения процентов годовой прибыли от акций компаний составляют соответственно 8,5; 13; 9 и 10%.

Дисперсии процентов прибыли: оп = 0,1, О22 = 0,19, О33 = 0,13, О44 = 0,14.

Ковариации: О12 = 0,05, О13 = 0,02, = 0,03, О23 = 0,04, О24 = 0,03, О34 = 0,01.

Вопросы:

1. Чему равна средняя годовая прибыль?

2. На какую сумму следует купить акции компании 1?

3. На какую сумму следует купить акции компании 2?

4. Какова минимальная дисперсия портфеля акций?

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—4, 2 — 1, 3—4, 4 — 5, 5—2, 6—5, 7—4, 8—2, 9—4, 10—2.

Задача 1. Решение.

Введем обозначения:

SN, TN, BN — количество используемой в производстве нефти самот-лорского, тюменского и башкирского месторождений соответственно;

SbN — количество используемой смеси нефти из сибирских месторождений;

SNm, SN92, SN95 — количество нефти самотлорского месторождения, используемое для производства бензина с октановыми числами 88, 92 и 95 соответственно;

77?88, 77?,2, TN9S — количество нефти тюменского месторождения, используемое для производства бензина с октановыми числами 88, 92 и 95 соответственно;

567V88, SbN92, SbN9S — количество нефти сибирских месторождений, используемое для производства бензина с октановыми числами 88, 92 и 95 соответственно;

fiyVgg, BN92, BN9S — количество нефти башкирского месторождения, используемое для производства бензина с октановыми числами 88, 92 и 95 соответственно;

Л88, Л92, А95 — количество производимого бензина соответствующей

марки;

OSb — октановое число смеси сибирской нефти.

(Количество нефти измеряется в килограммах.)

В данных обозначениях оптимизационная модель нелинейного программирования имеет вид

450Я88 + 500/4,2 + 550/4,5 - 320SN - 27077/- 250BN -> шах,

567V= 57V + TN,

OSb = (97SN + 9477V) / SbN (октановое число смеси сибирской нефти),

(OSb ¦ SbNm + 8457V88) / (567V88 + 57?88) S 88, ) (ограничения на октано-

(OSb- SbN92 + 8457V,2) / (567V,2 + 57V,2) > 92, > вое число производимого

(OSb - SbN95 + 8457V,5) / (567V,5 + 57V,5) > 95 j бензина)>

567V = 567Vgg + 567V,j + 567V,5 ,

57V = 57Vgg + 57V,2 + 57V,,,

^88 = ^88 + *56^88 >

/4,2 = 57V,2 + 567V, 2 ,

/4,5 = 57V,5 + 567V,5 ,

567V <250,

57V < 150,

¦^88 - 90, I ,

/4,2 > 70, > (ограничения на выпуск бензина),

/4И S 100 J

все переменные неотрицательны.

Модель и результаты решения в представлении программы GINO имеют вид

MODEL:

1) МАХ = 450 » А88 + 500 * А92 + 550 * А95 — С ;

2) С = 320 * SN + 270 * TN + 250 » BN ;

3) SBN = SN + TN ;

4) OSB = ( 97 * SN + 94 * TN ) / SBN ;

5) OSB * SBN88 + 84 * BN88 > 88 * ( SBN88 + BN88 );

6) OSB * SBN92 + 84 * BN92 > 92 * ( SBN92 + BN92 );

7) OSB * SBN95 + 84 * BN95 > 95 * ( SBN95 + BN95 );

8) SBN = SBN88 + SBN92 + SBN95 ;

9) BN = BN88 4- BN92 + BN95 ;

10) А88 = BN88 + SBN88 ;

11) А92 = BN92 + SBN92 ;

12) А95 = BN95 + SBN95 ;

END

SLB А88 90.000000

SLB А92 70.000000

SLB А95 100.000000

SLB SN .000000

SLB TN .000000

SUB BN 150.000000

SUB SBN 250.000000

SLB SBN88 .000000

SLB BN88 .000000

SLB SBN92 .000000

SLB BN92 .000000 -

SLB SBN95 .000000

SLB BN95 .000000

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 86761.904766

VARIABLE VALUE REDUCED COST A88 205.714286 0 A92 70.000000 7.142857 A95 124.285714 0 С 109166.666639 0 SN 83.333333 0 Окончание таблицы

VARIABLE VALUE REDUCED COST TN 166.666667 0 BN 150.000000 -142.857143 SBN 250.000000 -263.333337 OSB 95.000000 0 SBN88 74.805195 0 BN88 130.909091 0 SBN92 50.909091 0 BN92 19.090909 0 SBN95 124.285714 0 В N95 0 52.682151 Ответы: 1.86 761,9 долл. 2.205,7т. 3.0,66. 4.109 167 долл.

Задача 2. Решение.

Модель имеет вид

/)|Х| + PjX2 - 180х, - 150х2 -> шах,

„ _ . „ 0 „ (ограничение на мощность линии по производству шо-

0,7.?, + 0,8х2 < 250 ?К0Рлада)>

х, = 500 - рх + 0,2р2, х2 = 500 + О.Зр, - р2, х, <170, х2< 170,

Х|, Х2, р{, р2 > 0.

Модель и результаты решения в представлении программы GINO имеют вид

MODEL:

1) МАХ= PI * XI + Р2 * Х2 - 180 * XI - 150 * Х2 ;

2) 0.7* XI + 0.8 * Х2 < 250 ;

3) XI = 500 - Р1 + 0.2 * Р2 ;

4) Х2 = 500 + 0.3 * PI - Р2 ;

5) XI > 0 ;

6) Х2 > 0 ;

7) РІ >0;

8) Р2 > 0 ;

END

SUB XI 170.000000 SUB Х2 170.000000

Получаем следующее решение:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 93003.779091

VARIABLE VALUE REDUCED COST Р1 428.875383 0 XI 162.857143 0 Р2 458.662620 0 Х2 170.000000 -68.740667 Ответы: 1. 93 тыс. руб. 2. 163 кг. 3. 170 кг. 4. 429 руб. 5. 459 руб.

Задача 3. Решение.

Введем обозначения:

Мв, М5, М} — произведенное количество сырковой массы «Изюминка», «Ваниль» и «Орешек» соответственно;

Tg, Т7, Т2 — количество использованного в производстве творога жирности 8, 7 и 2% соответственно;

Tg$, TgS, Tg} — количество творога жирности 8%, использованного для получения сырковой массы «Изюминка», «Ваниль» и «Орешек» соответственно;

Т16, Т15, Т73 — количество творога жирности 7%, использованного для получения сырковой массы «Изюминка», «Ваниль» и «Орешек» соответственно;

Т26, Т2І, Т23 — количество творога жирности 2%, использованного дтя получения сырковой массы «Изюминка», «Ваниль» и «Орешек» соответственно.

(Количество сырковой массы и творога измеряется в килограммах.) В указанных обозначениях модель имеет вид

36М6 + 35М5 + 33М3 - (29 - 0,003 Tg )Г8 - (27 - 0,008 Т7 )Т7 -— (26 - 0,005Т2 )Г2 -> шах,

ТЙ = 7І6 + Ті5 + TS3,

Т7 = Тп + Тп + Т13, т2 — т26 + T2S + т23,

Щ = ТІ6 + тп + тп + °,03 М6, щ = ті5 + Т75 + Т25 + 0,04м»

М3 = Тіз + Т13 + Т23 + 0,06М3,

(ограничения на процент жирности конечных продуктов),







0,03М, + 0ЛАМ, + 0,06М, < 70 (ограничение на количество используемого 0 3 5 ' сахара),



М5 > 50, > (ограничения на минимальный выпуск),

М3 > 50 J

Tg < 200, "j

Т7 < 200, > (ограничения на ресурсы творога),

Г, < 200 J все переменные неотрицательны.

Модель и результаты решения в представлении программы GINO имеют вид

Определим динамику роста совокупных затрат для наиболее раннего времени начала всех работ

Неделя

Работа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 А 18 18 18 18 18 В 8 8 С 1 1 1 D 25 25 25 25 Е 2 2 2 F 1 1 G 20 20 20 Н 10 10 10. I 2 2 J 1 1 Недельные затраты, тыс. руб. 26 26 18 18 18 28 28 28 36 31 30 22 2 1 1 Общие затраты, тыс. руб. 26 52 70 88 106 134 162 190 226 257 287 309 311 312 313 Определим динамику роста совокупных затрат для наиболее позднего времени начала всех работ:

^\Неделя

Работа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 А 18 18 18 18 18 В 8 8 С 1 1 1 D ' 25 25 25 25 Е 2 2 2 F 1 1 G 20 20 20 Н 10 10 10 I 2 2 J 1 1 Недельные затраты, тыс. руо. 18 18 18 18 18 2 35 35 36 36 31 23 23 1 1 Общие затраты, тыс. руб. 18 36 54 72 90 92 127 162 198 234 265 288 311 312 313 MODEL:

1) MAX = A1 - A2 - АЗ - A4 ;

2) A1 = 36 * M6 + 35 * M5 + 33 * М3 ;







6) T8 = T86 + T85 + T83 ;

7) T7 = T76 + T75 + T73 ;

8) T2 = T26 + T25 + T23 ;

9) Z6 = T86 + T76 + T26 ;

10) Z5 = T85 + T75 + T25 ;

11) Z3 = T83 + T73 + T23 ;

12) M6 = Z6 + 0.03 * M6 ;

13) M5 = Z5 + 0.04 * M5 ;

14) М3 = Z3 + 0.06 * М3 ;

15) 8 * T86 + 7 * T76 + 2 * T26 = 6 * Z6 ;

16) 8 * T85 + 7 * T75 + 2 * T25 = 5 * Z5 ;

17) 8 * T83 + 7 * T73 + 2 * T23 = 3 * Z3 ;

18) 0.03 * M6 + 0.04 * M5 + 0.06 * М3 < 70

19) T26 > 0 ;

20) T25 > 0 ;

21) T23 > 0 ;

22) T86 > 0 ;

23) T85 > 0 ;

24) T83 > 0 ;

25) T76 > 0 ;

26) T75 > 0 ;

27) T73 > 0 ;

END

SLB M6 100.000000 SLB M5 50.000000 SLB М3 50.000000 SUB. T8 200.000000 SUB T7 200.000000 SUB T2 200.000000

Получаем следующее решение: OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 6175.062247

VARIABLE VALUE REDUCED COST А1 22135.062136 0 А2 5879.999900 0 АЗ 5079.999985 0 А4 5000.000004 0 Мб 509.278340 0 М5 61.458340 0 М3 50.000000 . .039308 Т8 199.999997 -9.623535 Т7 200.000000 -13.968469 Т2 200.000000 -10.493134 Т86 192.166663 0 Т85 0 0 Т83 7.833333 0 Т76 164.599996 . 0 Т75 35.400004 0 Т73 0 0 Т26 137.233331 0 Т25 23.600003 0 Т23 39.166667 0 Z6 493.999990 0 Z5 59.000007 . 0 Z3 47.000000 0 ния соответственно;

Ответы: 1. 6175 руб. 2. 50 кг. 3. 61,5 кг.

Задача 4. Решение.

Введем обозначения:

Х|, Х2 — количество переработанной руды первого и второго месторожде

4 . 4 — коэффициенты изменения выхода никеля для руды первого и вто' рого месторождения соответственно;

4 > 4 — коэффициенты изменения выхода меди для руды первого и второго месторождения соответственно;

4,4 — коэффициенты изменения выхода серебра для руды первого и второго месторождения соответственно.

Выручка от переработки руды первого месторождения:

(0,024 • 8 + 0,034 • 6 + 0,001^- 30) X,.

Выручка от переработки руды второго месторождения:

(0,025^ • 8 + 0,024. • 6 + 0,00084 • 30) х2.

Затраты, связанные с использованием руды первого месторождения:

[0,024 • 5(2JtN'i - 1) + 0,034 • 4(24 - О + 0.00*4 • 22(24 - I)J х,.

Затраты, связанные с использованием руды второго месторождения:

[0,025^ • 6(24 - !) + 0,024 • 3,5(24 - 1) + 0,00084 • 20(24 - 1)] х2.

Прибыль, получаемая в результате переработки руды первого месторождения:

Р{ = [0,024 (13 - 104) + 0,034(10 - 84) + 0,0014(52 “ 444)1 *і-

Прибыль, получаемая в результате переработки руды второго месторождения:

Рг = [0,0254 (14 - 124) + 0,024(9,5 - 74) + 0,00084(50 - 404)[ х2.

Модель нелинейного программирования имеет вид

Р, + P2 -» max, х, + х2 ? 1000,

0,02*4 х, + 0,025*4 *2 * 25> 0,03*4 JC, + 0,02*4 *2 * 25> 0,001*4*, + 0,0008*4*2 s °>8> 0,9 <4.4 SU,

0,9 < *4 , *4 * и,

0,9<4г,*а^М,

X,, х2 > 0.

Модель и результаты решения в представлении программы GINO имеют вид

MODEL:

1) МАХ = PI +Р2 ;

2) Р1 = Р11 + Р12 + Р13 ;

3) Р11 = (0.02* KNI1 * ( 13- 10* KNI1)) *хі ;

4) Р12 = ( 0.03 * KCU1 * ( 10 — 8 * КСШ )) * XI ;

5) Р13 = ( 0.001 * KAR1 * ( 52 - 44 * KAR1 )) * XI ;

6) Р2 = Р21 + Р22 + Р23 ;

7) Р21 = ( 0.025 * KNI2 * ( 14 - 12 * KNI2 )) * Х2 ;

8) Р22 = ( 0.02 * KCU2 * ( 9.5 - 7 * KCU2 )) * Х2 ;

9) Р23 = ( 0.0008 * KAR2 * ( 50 - 40 * KAR2 )) * Х2 ;

10) XI + Х2 < 1000 ;

11) 0.02 * KNI1 * XI + 0.025 * KNI2 * Х2 > 25 ;

12) 0.03 * КСШ * XI + 0.02 * KCU2 * Х2 > 25 ;

13) 0.001 * KAR1 * XI + 0.0008 * KAR2 * Х2 > 0.8 ;

14) XI > 0 ;

15) Х2 > 0 ;

END

SUB

SLB

SUB

SLB

SUB

SLB

SUB

SLB

SUB

SLB

SUB

SLB KNI1 .900000 KNI1 1.100000 КСШ .900000 КСШ 1.100000 KAR1 .900000 KAR1 1.100000 KNI2 .900000

KNI2 1.100000 KCU2 .900000 KCU2 1.100000 KAR2 .900000 KAR2 1.100000

Получаем следующее решение: OBJECTIVE FUNCTION VALUE

VARIABLE VALUE REDUCED COST PI 54.500745 0 P2 40.608347 0 Pll 19.999426 0 P12 29.428736 0 P13 5.072583 0 KNI1 1.100000 -63.763038 XI 454.532464 0 KCU1 .972640 0 KAR1 .900000 12.363482 ‘ P21 12.001175 0 P22 23.108860 0 P23 5.498313 0 1) 95.109092

Окончание таблицы

VARIABLE VALUE REDUCED COST KNI2 1.099995 -49.286828 X2 545.467536 0 KCU2 1.075875 -.000027 KAR2 .900000 9.600402 Ответы: 1. 95,1 тыс. руб. 2. 1,1. 3. 0,973. 4. 545,5 т.

Задача 5. Решение.

Модель и результаты решения в представлении программы GINO имеют вид

MODEL:

!) МАХ = PI * XI + Р2 * Х2 - Cl - С2 ;

2) Р1 = 100 - 0.04 * XI - 0.01 * Х2 ;

3) Р2 = 210 - 0.008 * XI - 0.03 * Х2 ;

4) R1 =0.01 *Х1 + 0.02 *Х2 ;

5) R2 = 0.05 * XI + 0.15 * Х2 ;

6) С1 = ( 1000 - 3 * R1) * R1 ;

7) С2 = ( 500 - 0.5 * R2 ) * R2 ;

8) R1 < 20 ;

9) R2 < 150 ;

10) XI > 0 ;

11) Х2 > 0 ;

END

Получаем следующее решение:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)99073.977899

VARIABLE VALUE REDUCED COST PI 82.782324 0 XI 206.219319 0 P2 181.443535 0 X2 896.890363 0 Cl 18800.000000 0 C2 61932.294601 0 R1 20.000000 0 R2 144.844526 0 Ответы: 1. 99 074 руб. 2. 82,78 руб./м2. 3. 181.44 руб./м2. 4. 144,84 кг. 5. 897 м2. Задача 6. Решение.

Sji, для i Ф j. В

Пусть Xj — объем средств, затраченных на покупку акций типа j (тыс. руб.), щ указанных обозначениях модель имеет вид 0,1т,2 + 0,1 9дг22 + 0,13л-,2 + 0,1 4дг42 + 2(0,05*,*2 + 0,02л'Л + 0,03*,х4 +

+ 0,04*2X3 + 0,03*3X4+ 0,01*з*4) min,

*,+ *2 + *3 + *4 = 3000 (ограничение на количество вкладываемых средств),

(ограничение на минимальный процент прибыли портфеля акций),

(0,085*, + 0,13*2 + 0,09*з + 0,1*4) / 3000 > 0,09 *,, *2, *3, *4 > 0.

Модель и результаты решения в представлении программы GINO имеют вид

MODEL:

1) MIN = Rll + R12 + 2 * R2 + 2 * R3 ;

2) Rll = 0.1 * XI * XI + 0.19 * X2 * X2 ;

3) RI2 = 0.13 * X3 * X3 + 0.14 * X4 * X4 ;

4) R2 = 0.05 * XI * X2 + 0.02 * XI * X3 + 0.03 * XI * X4 ;

5) R3 = 0.04 * X2 * X3 + 0.03 * X2 * X4 + 0.01 * X3 * X4 ;

6) Z = 0.085 * XI + 0.13 * X2 + 0.09 * X3 + 0.1 * X4 ;

7) Z / 3000 > 0.09 ;

8) XI + X2 + X3 + X4 = 3000 ;

9) XI > 0 ;

10) X2 > 0 ;

11) X3 > 0 ;

12) X4 > 0 ;

END

Получаем следующее решение:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)475780.187947 _ VARIABLE VALUE REDUCED COST R11 119831.212814 0 R12 198866.483407 0 R2 56614.790915 0 R3 21926.454947 0 XI 1043.264210 0 Х2 240.516879 0 хз 924.543732 0 Х4 791.675179 0 г 282.321110 0 Ответы: 1. 282 тыс. руб. 2. 1043 тыс. руб. 3. 240 тыс. руб. 4. 475 780.