Математический анализ

3.1. Программа Maxima как научный калькулятор

Как уже отмечалось выше, программа Maxima может быть использована для любых научных расчетов. При этом возможны как численные, так и аналитические выкладки.

При работе с программой есть два пути: первый заключается в выборе соответствующих команд на командной панели внизу или через общее меню, а второй - в текстовом наборе команд с соответствующими аргументами. Автор в данном разделе предпочитает второй способ, т.к. для иллюстрации процесса работы он требует намного меньше места и, с его точки зрения, более понятен.

Краткие руководства по программе Maxima написаны В.И. Тарнавским [7] и Стахиным Н.А. [6].

Ввод команд осуществляется в нижней части окна программы в строке с названием «ВВОД» (рис. 3.1).

Команды содержат собственно имя команды и операнды.

Например, для вычисления пределов используется функция ”limit”. На рис. 3.1 представлено несколько примеров ввода.

Первый:

(%il) limit (зin. (х) /х, х, 0) ;

(%оі) 1

Программа вычислила предел lim _ \

х—>0 ^х

Синтаксис команды следующий:

ИМЯ(функция, аргумент_функции, значение _аргумента);

ИМЯ - это имя команды (в данном случае, limit);

функция - функция, от которой необходимо найти предел (в

sin( х)

х

);

данном случае

значение_аргумента - величина, к которой стремится аргу-

мент_функции (в данном случае 0).

Рис. 3.1. Примеры ввода команд

Если ввести команду с произвольным символьным аргументом, как показано ниже, то и ответ будет не числовой, а символьный: (%i4) limit {sin{a*x:} /х, x, О) ;

(%o4) a

Если перед командой поставить символ «’», то вычисление не производится и печатается формула:

(%іб) ¹ limit ((l+l/n) ^Ліі_г ri_f inf} ;

Почему автор называет программу Maxima научным калькулятором?

Дело в том, что, в отличие от ручных калькуляторов, которые называются научными или инженерными, это программа, действительно, позволяет производить ЛЮБЫЕ научные численные или аналитические вычисления. Алгебра и анализ, кратные интегралы и теория поля, дифференциальные уравнения и ряды, теория вероятностей и математическая статистика, линейное и нелинейное программирование, эконометрика, анализ временных рядов - вот неполный перечень математических дисциплин, задачи которых эта программа способна решать как численно, так и аналитически. Кроме этого, она позволяет визуализировать расчеты, т.к. строит великолепные графики.

Более подробно с командами и их операндами, а также с программированием в среде Maxima, можно ознакомиться в работах [6, 7], и на сайте программы [1].

Ниже мы рассмотрим основные команды в ходе решения разнообразных задач.

3.2. Задачи на нахождение пределов

Задача 3.1. Найти предел числовой последовательно

сти

сти (неопределенность вида —).

оо

Найти предел lim

77 -77 + 2

~~2

и—»со 2т/ + 577 -3

Введем команду: ’limit((n^A2-n+2)/(2*n^A2+5*n-

3),n,inf)

Для обозначения символа бесконечности «оо» используется сокращение «inf».

После нажатия клавиши «Enter» появится следующее изображение:

limit

((]

:>/ (2-

-3)

^:)

(%оІ0) lim

Гі - Г. + ¦?

п йО ¦

Уберем теперь символ «’» перед командой:

Задача 3.2. Найти предел числовой последовательности (неопределенность видаі⁰⁰).

Найти предел Нт

77—>00

2 2 Д

77 - 77 + 1

77+3

уЛ +77 — 2 j

Введем команду:

После ввода команды последовал вопрос: является ли выражение положительным? После ответа «р» произошло вычисление предела.

77 + 3

77 -77 + 1

~2

-2

Мы получили ответ: Іііи

77—» QO

77 +77-2

Задача 3.3. Найти предел числовой последовательности (неопределенность вида оо-оо).

-\І3п² +1- л/эи ² + 2

Найти предел lim п

и^-оо?

Теперь уберем символ «’» перед командой:

(%і 4) limit(n*(sqrt(3*п^Л2 + 1)-sqrt(3*п^Л2+2) ) ,n_r+inf) <%o4) ¹ Введем команду:

77 Г л/377² + 1 - V ЗТ7² + 2

Мы получили ответ: lim

77—>Q0

2л/3

Задача 3.4. Найти предел функции (неопределенность вида )

f о \

(8х -128)(х + 4)

Найти предел Нт

х—И

(х² + 8x +16)(x - 4)

Вводим команду и получаем ответ:

(%І5) limit ( (8 *х^Л2-12 8) * (х+4) / ( (х^Л2+8*х+16) * (х-4) } ,х, 4) ; (%о5) 8

Задача 3.5. Найти предел функции (неопределенность вида 0).

7 x - sin( x)

Найти предел Іііи х —>0

Вводим команду и получаем ответ:

Задача 3.6. Найти предел функции (неопределенность видаі⁰⁰).

5j:-214"|3^-6 4х + 2 ,

Найти предел Іііи х —>216

Вводим команду и получаем ответ:

(%І7)

(%о7)

limit ( ( (5*х-214)/ (4*х+2) ) ^Л(1/(х^Л(1/3}-6) ) , х, 216} ;

„ 34/ 433

3.4. Производная. Исследование функций

Для нахождения производной в программе Maxima применяется команда diff

Задача 3.7. Поиск экстремумов.

Найти экстремумы функции у = -9х³ - 4х² + 5х

1. Определим функцию:

(%І15] у<х):=-9*х^Л3-4*х^Л2+5*х;

(%ol5J у(х) :=( - 9)х³ - 4 х² ¦+ 5 х

2. Найдем производную:

(%і 16) f (х ) : =dif f (у (x) , x) ; (%ol6) f(x): = dlff(y(x.),x)

3. Найдем нули производной:

4. Найдем вторую производную:

(%І19) g (х) : =dif f (f (x) , x) ;

(%ol9) g{x) := d±ff{f{x) , x)

(%i2 0) g{x);

(%o20J -54 x-8

Далее может возникнуть проблема, т.к. мы задали функцию

g(x) через производную другой функции, т.е. ее аргументом является

функция. Переопределим функцию второй производной:

(%І25) д(х):=-54*х-8;

(%о25) д(х) ;=( - 54 )х - 8

5. Вычислим значения второй производной в точках, в которых первая производная обращается в ноль:

(%І26) g(-(sqrt(151)44)/27) ;

(%о26) - 2 ( —J 151-4 ) - 8

(%І27) д((sqrt(151)44)/27) ;

(%о2 7) -2(л/іВі'4 4 ) - В

Для преобразования подобных выражений в десятичную дробь используется функция float:

(%І31) float{%o26),numer;

(%o31) 24.57641145488901

(%i32) float(%o27),nuraer;

(%o32) -40.57641145488901

82

Аргументом этой функции (так же, как и у других функций) может быть число, выражение или ссылка по адресу, как в данном случае.

В первой точке вторая производная больше нуля, а во второй -меньше нуля, следовательно, в первой точке наблюдается минимум, во второй - максимум.

Задача 3.8. Минимаксная задача.

Найти минимальное и максимальное значение функции

3 2

у = х -х -х + \ на отрезке [ -2, 4].

1. Задаем функцию:

(%іб> у(х):=х^Л3-х^Л2-х+1; (%о6) у{ х) : = х³ - х² - х + I

2. Находим производную:

(%І7] dif f (у (х) , х) ;

(%о7) Зх^г-2х-і

3. Находим нули производной:

(%І8) solve(diff(у(x))=0,x);

l

(%o8) [x=l,x=--, del(x)= 0 ]

5

4. Т.к. обе точки, в которых производная обращается в ноль,

находятся внутри указанного в условиях отрезка, то вычисляем значения функции как в стационарных точках, так и на границах отрезка

(рис. 3.2):

У(-1/3);

52 2 7

(%І10)

(%о10)

<*І9) у(1)

(%о9) О

(%І12) у(4);

(%о12) 45

а) б) в) г)

Рис. 3.2. Значения функции: а) x=0; б) x=-1/3; в) x=-2; г) x=4.

Итак, точка минимума: (-2; -9); точка максимума: (4; 45).

Задача 3.9. Исследование функции и построение ее графика.

Произвести полное исследование функции и построить ее график: у = л[х^-9х^-26х--24 Зададим функцию:

1) . ООФ: jcgR.

2) . Симметрия отсутствует.

3) . Точки пересечения с осями координат: При Л'=0:

(%І2) у(0);

1/3

(%о2} или

(%ІЗ) float(%);

<%оЗ) - 2.884455140614817

Найдем, когда функция обращается в ноль:

(%І4) solve (у (х) =0, х) ;

<%о4) [ х = 4 , х — 2 , х = 3 J

4) . Точек разрыва и вертикальных асимптот нет.

5) . Наклонные асимптоты:

Наклонные асимптоты ищем в виде: y=ax+b.

По определению асимптот параметры а и b находятся как пре

делы:

а= lim b= lim (у(х)-ах)

JC—^оо JC jc—^оо

Найдем первый параметр:

Найдем второй параметр:

(%іб) Ъ:limit((у(х)-а*х),х,inf);

(%об) -3

Таким образом, функция имеет наклонную асимптоту y=x-3.

6). Точки экстремума. Интервалы монотонности.

Найдем производную:

Разложим знаменатель на множители, применив к функции операцию «Упростить (рац)», для чего просто нажмем на эту кнопку:

(%І9) radcari (%) ;

Зх -lSi + 26

(Уо5)

2/3 2/3 2/3

3(JE - 4) ^X-3) ' lx -2) '

Найдем нули производной:

В десятичных дробях корни имеют следующее выражение: (%ill) float{%);

(%ollJ [х — 2.422649730810374 , х = 3.Б773В026918962В Следует отметить, что при x=2, x=3, x=4 первая производная терпит разрыв, и ее значение в этих точках стремится в бесконечности. Таким образом, график функции в этих точках вертикален.

При x <2.4226, у >0 - функция возрастает;

При 2.4226< x <3.5774, у ’<0 - функция убывает; при 3.5774< x , у’ >0 - функция возрастает.

Таким образом, x =3.5774 - точка минимума; x=2.4226 - точка

максимума.

7). Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость. Найдем вторую производную:

(%±12) diff<у<х),х,2};

3(х -Эх + 26 х -24) Э ( х -Эх + 2G_x-24)

Сначала упростим это выражение:

а затем разложим на множители:

Найдем теперь нули второй производной:

(%І15) solve(%=0,х);

л/Т %і - 9 т/Т %і + 9

(%о15) [ х =--,х=-]

' з з '

Корни комплексные, на множестве действительных чисел корней нет. Таким образом, вторая производная в ноль не обращается. Однако, она терпит разрыв в точках x=2, x=3, x=4. При этом, при переходе через эти точки вторая производная меняет знак, следовательно - это точки перегиба.

Теперь построим график. Предварительно, зададим функцию асимптоты:

С % ± 2 0) g (х) :=х-3; (%о20) д[х): = х-3

Для построения графика нажмем кнопку «График 2D». Появится панель мастера «График 2D» (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Ввод данных для построения графика В первую строку необходимо занести через запятую функции или выражения, для которых необходимо построить графики, во второй и третьей - диапазоны изменения переменных. В данном графике диапазон изменения параметра у был оставлен без изменений (в этом случае масштаб определяется автоматически).

После нажатия кнопки «ОК» был построен график (рис. 3.4).

3.5. Интеграл

Задача 3.10. Неопределенный интеграл.

Найти неопределенный интеграл J-

-dx

х(х² +1)

В программе Maxima для интегрирования имеется функция integrate. Ее синтаксис:

іП:е§га1е(функция, аргумент_функции {,нижний_предел, верхний_предел })

В фигурные скобки заключены необязательные операнды: пределы интегрирования. Если они отсутствуют, то производится поиск неопределенного интеграла.

Введем команду:

Итак, мы сразу же получили, что интеграл равен

х(х +1)

Как видим, переменная интегрирования здесь опускается.

Задача 3.11. Определенный интеграл.

з 1

= e ² dx. 0 2 л;

Вычислить определенный интеграл

Введем команду:

Здесь была использована математическая константа число 71=3.14159... (отношение длины окружности к диаметру). В программе Maxima она обозначается «%pi».

Ответ был получен через встроенную функцию erf(x) - интеграл ошибок. Получим ответ в привычной форме, используя функцию float^A

(%i3J float (%) ;

(%o3J 0.49865010156837

Итак, наш интеграл вычислен с очень большой точностью. Если будет необходимость, то можно увеличить точность, войдя в раздел меню «Численные вычисления»==>«Установить точность».

Количество знаков зависит только от объема памяти компьютера и, возможно, времени, которое Вы готовы потратить в ожидании ответа.

Ниже показано графическое представление интеграла:

89

Как видим, представление не очень красивое (зато ВСЁ бесплатно).

Задача 3.12. Несобственный интеграл.

СО ^

Вычислить несобственный интеграл J—-dx

Q X +1

Введем команду:

Как видим, мы получили требуемый результат.

3.7. Ряды

Задача 3.13. Сходимость и суммы числовых рядов.

Исследовать ряд на сходимость и найти его сумму, если он 34п - 82

со

сходится:

_ 3 2

_п=6 п -2п -5п + 6 Применим признак Даламбера, для чего нужно найти предел

^ап+1

отношения Ііш

П—>оо Q

Выполним расчеты.

Задаем функцию (общий член ряда):

(%І1) а (п) : = (34*іі-32) / (п^Л3-2*п^Л2-5*п+б) ;

34 л - 32

(%о1) а( л) ; =-

3 2

л - ^ хі +1 - 5 } л + 6

Вычисляем предел:

(%І2) limit (а (п+1) /а (n) _гп, inf) ;

(%о2) і

Как видим, сделать вывод о сходимости или расходимости невозможно.

Попробуем преобразовать и применить признаки сравнения и интегральный признак сходимости:

34и-82 34и 34и

^ап=-_ъ

n^J -2п² -5п + 6 п² -2п² -5п + 6 п² -2п² -5п

34п

= 68 -4 = ^ = 6

34п

3 т 2 г 2 3 3 /т 3 2

п -2п -5п п -п 12 п п

68

Рассмотрим функцию f(x) = — . Т.к. при х>0 f(n)=b(n), то

X²

можно применить интегральный признак Коши.

Вычислим интеграл сіх

6 ^x

68

Т.к. получено конечное значение, то интеграл сходится, следо

вательно ряд ^Ьц сходится, а т.к. О < а _п < Ь_п при всех достаточно п=6

больших п, то и исходный ряд тоже сходится.

Найдем теперь сумму ряда. Сначала без использования программы Maxima, а затем проверим результат с ее помощью.

91

Разобьем дробь a_n на элементарные дроби, для чего разложим знаменатель на множители. Для этого найдем корни знаменателя,

т.е. решим уравнение и³ - 2п² - 5п + 6 = 0.

Легко заметить, что п = 1 - корень этого уравнения.

Для нахождения двух остальных корней поделим полином третьей степени на (n-1):

и³ -2и² -5п +6 и -1 3 2

W - W п² -п-6 -п -5 п

-п² +п -би + 6

(Г 2

Решим квадратное уравнение п -п-6 = 0. Имеем: п = -2 и и = 3. Таким образом, знаменатель раскладывается наследующие множители:

и³ - 2п² -5п + 6 = (п-1 )(п + 2)(п - 3).

Исходная дробь a(n) может быть представлена в виде:

34и -82

^ап=~Ъ

п'' - 2п -5п + 6 п-1 и + 2 п- 3 Приведем правую часть дроби к общему знаменателю:

34и - 82 ап² -ап-6а + Ьп² - 4Ьп + 3Ь + сп² + сп - 2с

^ап= ,

п -2 п -5п + 6

{п - \){п + 2){п - 3)

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получаем следующую систему уравнений:

'a + b + c = 0 -a- 4b + c = 34 - 6a + 3b- 2c = -82

Ее решение: <2 = 8; б = -10; c = 2..

92

Таким образом,

10 2 ¦ + ¦

^СІп =

п-1 п+2 п-Ъ

Рассмотрим последовательности, образуемые каждым слагаемым. Расположим их друг под другом так, чтобы в каждом столбце были одинаковые знаменатели, и сложим:

222222 22

—і—і—і—і—і—ь —і---ь... +

-------... +

Видно, что сумма всех столбцов, кроме первых пяти, равна нулю. Таким образом, сумма ряда равна

88822222 5 = - + - + - + - + - + - + - + - = 6.2619047. 56734567

Найдем теперь сумму ряда с помощью программы Maxima:

Для того, чтобы получить ответ, необходимо добавить команду simpsum:

Ответ не дан.

Попытаемся найти решение через предел частичных сумм.

Зададим функцию частичной суммы S(m) = ^а(п):

п=6

S (m) : =зилі (а (n) , n, 6 _r m} ; (%ol51 Si m) ;= sumf af n) - л , 6 . ш) Найдем предел этой функции:

Как видим, предел тоже не находится.

Попытаемся приблизиться к ответу, увеличивая значение верхнего предела суммы: m=1000

(%І18) S (1000) ;

51ЕЭЭ146352ЭЕЗ

(%о18)

Е3332 Э1666700

(%І21) float (%>;

(%о21) 6.22792870I976E58

m=1000000

(%І22) S (1000000) ; float (%} г

52132256349145437424602ЭЗЗЗЗЗ

( %o22) -

E3333333332 Э1666666666700000

(%І23)

(%o23) 6.261870761928762

Разница в найденном нами точном ответе и приближенном, найденном программой Maxima - в четвертом знаке после запятой. Можно считать, что мы нашли ответ точный.

Задача 3.14. Сходимость числового ряда.

Исследовать ряд на сходимость:

у,2^и(2« + 2)!

Ь (3«)! '

Применим признак Даламбера, для чего определим фунцию общего члена ряда, а затем найдем предел отношения последующего члена к предыдущему:

(%il) а (п) : =2 ^лп* (2*п42 ) ! / (3*n) J ;

2 ^л ( 2 л + 2 )і г

(%о1) а(л]:=-

( з л > /

(%І2) limit{а(п41)/а{n},n,inf);

(%о2) О

Т.к. предел отношения равен нулю, то ряд сходится.

Задача 3.15. Сходимость степенного ряда.

Исследовать ряд на сходимость:

^(-9п² + п- 6)x^{n 1}. п 4

Найдем радиус сходимости:

(%І5) а (п) :=-5*п^л24п-6;

(%о51 а(п) :=( - 9>п² + п - 6

(%І6> limit (а (п41)/а (n) , п, inf ) ; (%о6) I

Радиус сходимости равен единице, следовательно, ряд сходится абсолютно при -1 < х < 1.

При |х| = 1 нарушается необходимый признак сходимости: члены ряда должны стремиться к нулю. Т.к. множитель при х^пЛ неограниченно растет по модулю, то и все произведение также неограниченно растет. Ряд расходится.

Задача 3.16. Разложение в ряд Тейлора.

Разложить функцию в ряд Тейлора: f(x) - л • cos²(л) в точке

д:=0.

Для разложения функции в ряд Тейлора служит функция taylor. Ее синтаксис:

taylor(f,x,a,n).

Здесь f - функция, которую требуется разложить в ряд Тейлора; х - переменная, по которой производится разложение; а - точка, в которой производится разложение; n - максимальная степень переменной х, до которой выписывается ряд Тейлора.

Введем команду:

(%І2) taylor(х*cos(х),х, О_г10};

2 2 4 72О 40320

Сделаем то же, только теперь будем вычислять функцию в точке тс/2:

3.8. Дифференциальные уравнения

Задача 3.17. Решение обыкновенного дифференциального

уравнения

Решить дифференциальное уравнение

у=-

х + у

х-у

Для решения дифференциальных уравнений используется команда ode2. Ее синтаксис:

?ёе2(уравнение, имя_функции, имя_аргумента).

Зададим уравнение:

Введем команду:

Задача 3.18. Задача Коши. Решить задачу Коши:

У - 4/ + 4у = е^3х, уф) = О, у(0) = 1

Записываем уравнение:

Решаем уравнение:

(%І2> ode2(%_fy_fx);

(%о2) у = ?е³ * ¦+( %к2 х + %kl )%е Мы получили, что решение уравнения есть следующая функ

ция:

у - е^^х + (к2 ¦ х + к\)е^2х.

При помощи функции ic2 учтем начальные условия: (%ІЗ) Іс2 (%, х=0, у=0, 'diff (у, х)=1)

(%оЗ) у = %е^ЗД?-%е^2х

Зх 2х

Окончательно получаем: у = е -е