Глава 6 ПРИМЕНЕНИЕ ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ РЕШЕНИИ КОНКРЕТНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
6.1. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Графические методы связаны прежде всего с геометрическим изображением функциональной зависимости при помощи линий на плоскости. Графики используются для быстрого нахождения значения функций по соответствующему значению аргумента, для наглядного изображения функциональных зависимостей.
В экономическом анализе применяются почти все виды графиков: диаграммы сравнения, диаграммы временных рядов, кривые распределения, графики корреляционного поля, статистические картограммы. Особенно широко распространены в анализе диаграммы сравнения — для сравнения отчетных показателей с плановыми, предшествующих периодов и передовых предприятий отечественных или зарубежных. Для наглядного изображения динамики экономических явлений (а в анализе с динамическими рядами приходится иметь дело очень часто) используются диаграммы временных рядов.
С помощью координатной сетки строятся графики зависимости, например, уровня издержек от объема произведенной и реализованной продукции, а также. графики, на которых можно изображать и корреляционные связи между показателями. В системе осей координат изображение показывает влияние различных факторов на тот или иной показатель.
Широко применяется графический метод для исследования производственных процессов, организационных структур, процессов программирования и т. д. Например, для анализа эффективности использования производственного оборудования строятся расчетные графики, в том числе графики множественных факторов.
Рас. 6.1. Сетевой график строительства котельной. Обозначения: каждый круг считается одной нз вершин графика; цифра в верхнем секторе каждой вершины означает ее порядковый номер; нз номеров двух соседних вершин складывается шифр работы; цифра в нижнем секторе каждой вершины является порядковым номером предшествующей вершины, а линия, соединяющая эти две вершины, означает определенную работу. Внизу под линией записана плановая продолжительность данной работы; цифра в левом секторе каждой вершины означает общую продолжительность всех предшествующих работ, цифра в правом секторе отличается от цифры в левом на величину резерва (запаса времени). Таким образом, для вершин, лежащих на критическом пути, цифры в левом и правом секторах вершины совпадают, поскольку запас времени равен 0.
В математически формализованной системе анализа, планирования и управления особое место занимают сетевые графики. Они дают большой экономический эффект при строительстве и монтаже промышленных и других предприятий.
Сетевой график (рис. 6.1) позволяет выделить из всего комплекса работ наиболее важные, лежащие на критическом пути, и сосредоточить на них основные ресурсы строительномонтажных организаций, устанавливать взаимосвязь между различными специализированными организациями и координировать их работу. Работы, лежащие на критическом пути, требуют наиболее продолжительного ожидания поступления очередного события. На стадии оперативного анализа и управления сетевой график дает возможность осуществлять действенный контроль за ходом строительства, своевременно принимать меры по устранению возможных задержек в работе.
Применение сетевых графиков анализа, планирования и управления обеспечивает, как показывают многие примеры, сокращение сроков строительства на 20—30%, повышение производительности труда на 15—20%.
При анализе, осуществляемом непосредственно на стройках, использование материалов сетевого планирования и управления способствует правильному определению причин, влияющих на ход строительства, и выявлению предприятий, не обеспечивающих выполнение порученных им работ или поставку оборудования в сроки, установленные графиком.
Разработка сетевого графика в строительстве осуществляется при наличии: норм продолжительности строительства и срока ввода в действие объекта или комплекса объектов, проектно-сметной документации, проекта организации строительства и производства работ, типовых технологических карт, действующих норм затрат труда, материалов и работы машин. Кроме того, при составлении графика используются опыт выполнения отдельных работ, а также данные о производственной базе строительных и монтажных организаций.
На основе всех этих данных составляется таблица работ и ресурсов, где в технологической последовательности производства работ указываются их характеристика, объем, трудоемкость в человеко-днях, исполнитель (организация и бригада), численность рабочих, сменность, потребность в механизмах и материалах, источники их поступления, общая продолжительность выполнения работы в днях, а также предшествующее задание, после окончания которого можно начинать данную работу. Исходя из показателей такой таблицы, подготавливают сетевой график, который может иметь различную степень детализации в зависимости от принятой схемы производства работ и уровня руководства; кроме общего графика исполнители разрабатывают график выполняемых ими работ.
Основные элементы сетевого графика: событие, работа, ожидание, зависимость.
При анализе хода строительства объекта следует устанавливать, правильно ли составлен сетевой график, не допущено ли при этом завышение критического пути, учтены ли при оптимизации графика все возможности его сокращения, нельзя ли какие-либо работы выполнять параллельно или сократить время, затрачиваемое на них, путем увеличения средств механизации и др. Это особенно важно в тех случаях, когда продолжительность работ по графику не обеспечивает окончание строительства в срок.
Основным материалом сетевого планирования, используемого при анализе, является информация о ходе работ по графику, который обычно составляется не реже одного раза в декаду. В качестве примера приводится карта задания и информации о ходе работы по объекту строительства, осуществляемому по сетевому графику (табл. 6.1). По данным карты, критические работы выполнялись в начале месяца с опережением графика, однако затем было допущено отставание монтажа подкрановых балок по ряду Б, а последующая работа — монтаж подкрановых балок по ряду А — закончена с отставанием на один день.
Оптимизация сетевых графиков осуществляется на стадии планирования посредством сокращения критического пути, т. е. минимизации сроков выполнения строительных работ при заданных уровнях ресурсов, минимизации уровня потребления материальных, трудовых и финансовых ресурсов при фиксированных сроках выполнения строительных работ. Возможен и смешанный подход: для одной части работ (более дорогостоящих) — минимизировать уровень потребления ресурсов при фиксированных сроках выполнения работ, для другой — минимизировать сроки при фиксированном уровне ресурсов.
Решение оптимизационных задач существенно облегчается наличием пакетов прикладных программ (ППП), приспособленных к составлению оптимальных сетевых графиков на ЭВМ.
В зарубежной практике системного анализа распространен графо-математический метод, получивший название «дерево решений». Суть этого метода заключается в следующем.
Путем предварительной оценки потребностей, предварительного анализа возможных организационных, технических или технологических условий намечаются все предполагаемые варианты решения данной задачи. Вначале разрабатываются
Карта заданна и информация о ходе работ
(с 1 по 30 апреля)
работ
зерв
вре
мени
тый
работ
начала
работ
(план)
оконча
ния
работ
(план)
продол
житель
ность,
дней
тех
ничес
кой
готов
ности
мое время для
оконча
ния
работ,
дней
чина
задер
жки
начала месяца, дней
0 60 2
укрупненные варианты. Затем по мере введения дополнительных условий каждый из них расчленяется на ряд вариантов. Графическое изображение этих вариантов позволяет исключить менее выгодные из них и избрать наиболее приемлемый.
Этот метод может найти у нас применение при определении порядка обработки тех или иных деталей на нескольких станках в целях минимизации общего времени обработки; при установлении размеров ресурсов для минимизации общих производственных издержек; при распределении капиталовложений и других ресурсов по промышленным объектам; при решении транспортных и других задач.
6.2. МЕТОД КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО
АНАЛИЗА
Метод корреляционного и регрессионного анализа широко используется для определения тесноты связи между показателями, не находящимися в функциональной зависимости. Теснота связи между изучаемыми явлениями измеряется корреляционным отношением (для криволинейной зависимости). Для прямолинейной зависимости исчисляется коэффициент корреляции.
Одной из распространенных аналитических задач, решаемых с применением корреляционно-регрессионного метода, является задача на запуск — выпуск. Допустим, что имеются фактические данные о запуске и выпуске промышленных изделий (табл. 6.2).
Фактические данные о запуске — выпуске промышленных изделии, тыс. шт.
Значения хи у определяются по формулам:
_ 102
_ 95,4
= 15,9.
х = ^-П;у
Дальнейшим вычислениям придается табличная форма, что повышает их наглядность (табл. 6.3).
/ / /
?=^У_
ахау
Подставляя соответствующие значения, получим:
= - S(x,-^)Cv ,.-т) = ^ = 10,75; п" 1 6
К- Ц.75
3,27 • 3,30
10,75
10,79
0,996.
Считая формулу связи линейной (у = а0 + ахх), определим зависимость выпуска промышленных изделий от их запуска. Для этого решается система нормальных уравнений:
па0 + а,Ех, = Еу,-;
/ І
а0Ех, + a,Ex,2 = Ex,у,.
/ і і
Величины Е х22 и Е х,у, представлены в следующей таблице (табл. 6.4).
І
І
боо + 102а, = 95,4;
Ю2а0 + 1798а, = 1686,3;
95,4—102а, 1<:о
а0 =---- , или а0 = 15,9 — 17а,.
Подставляя найденное выражение а0 во второе уравнение, находим значение а,:
102 (15,9— 17а,) + 1798а, = 1686,3;
1621,8 —1734а, + 1798а, = 1686,3;
64а, = 1686,3 —1621,8;
64а, = 64,5; а, = 1,01;
Оо=15,9—17-1,01; а0 = 15,9—17,17; во = —1,27.
Итак, уравнение регрессии в окончательном виде получило следующий вид:
у = —1,27 + 1,01 х Проверка:
У = —1,27 + 1,01-17 = —1,27+ 17,17;
6.3. МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Методы линейного программирования применяются для решения многих экстремальных задач, с которыми довольно часто приходится иметь дело в экономике. Решение таких задач сводится к нахождению крайних значений (максимума и минимума) некоторых функций переменных величин.
Линейное программирование основано на решении системы линейных уравнений (с преобразованием в уравнения и неравенства), когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него характерны математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.
С помощью этого метода в промышленном производстве, например, исчисляется оптимальная общая производительность машин, агрегатов, поточных линий (при заданном ассортименте продукции и иных заданных величинах), решается задача рационального раскроя материалов (с оптимальным выходом заготовок). В сельском хозяйстве он используется для определения минимальной стоимости кормовых рационов при заданном количестве кормов (по видам и содержащимся в них питательным веществам). Задача о смесях может найти применение и в литейном производстве (состав металлургической шихты). Этим же методом решаются транспортная задача, задача рационального прикрепления предприятий-потребителей к предприятиям-производителям.
Все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу — значит выбрать из всех допустимо возможных (альтернативных) вариантов лучший, оптимальный. Важность и ценность использования в экономике метода линейного программирования состоят в том, что оптимальный вариант выбирается из весьма значительного количества альтернативных вариантов. При помощи других способов решать такие задачи практически невозможно.
В качестве примера рассмотрим решение задачи рациональности использования времени работы производственного оборудования.
В соответствии с оперативным планом участок шлифовки за первую неделю декабря выпустил 500 колец для подшипников типа А, 300 колец для подшипников типа Б и 450 колец для подшипников типа В. Все кольца шлифовались на двух взаимозаменяемых станках разной производительности. Машинное время каждого станка составляет 5000 мин. Трудоемкость операций (в минутах на одно кольцо) при изготовлении различных колец характеризуется следующими данными (табл. 6.5).
Таблица 6.5
Станки
Затраты времени на одно кольцо типов, мин
Преобразуем условие задачи введением дополнительных (вспомогательных) и фиктивных переменных. Условие запишем так:
min <х(х) = 4лг, + 10x2+ 10jc3 + 6jc4 + 8jcs + 20jc6+
+ Мх9 + Мх{0+Мх{,
Система уравнений, отражающая ограничительные условия машинного времени и количество произведенной продукции:
4дг, + 10jc2 + 10jc3 +х7 = 5000
6х4 + 8д:5 + 20д:6 + xs = 5000
х, +х6 + *,,= 450
Решение этой задачи представлено в табл. 6.6. Оптимальный вариант получен на седьмом этапе (итерации). Если бы на станке I производилось 125 колец подшипников типа А, 450 колец подшипников типа В, на станке II — 375 колец подшипников типа А и 300 колец подшипников типа Б, то при такой загрузке оборудования было бы высвобождено 350 мин машинного времени станка II. Общие затраты времени по оптимальному варианту составили бы 9650 мин, тогда как фактически затрачено 10000 мин машинного времени.
Весьма типичной задачей, решаемой с помощью линейного программирования, является транспортная задача. Ее смысл заключается в минимизации грузооборота при доставке товаров широкого потребления от производителя к потребителю, с оптовых складов и баз в розничные торговые предприятия. Она решается симплекс-методом или распределительным методом.
Решение транспортной задачи распределительным методом было дано в третьем издании учебника «Теория экономического анализа» («Финансы и статистика», 1996).
Xj^0,j=l, ..., 6
г
10
10
10
10
10
10
10
10
6.4. МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Методы динамического программирования применяются при решении оптимизационных задач, в которых целевая функция или ограничения, или же первое и второе одновременно характеризуются нелинейными зависимостями. Признаками нелинейности является, в частности, наличие переменных, у которых показатель степени отличается от единицы, а также наличие переменной в показателе степени, под корнем, под знаком логарифма.
Примеры нелинейных зависимостей достаточно обширны. Например, экономическая эффективность производства возрастает или убывает непропорционально изменению масштабов производства; величина затрат на производство партии деталей возрастает в связи с увеличением размеров партии, но не пропорционально им. И в том, и в другом случае мы, по существу, сталкиваемся с проблемой переменных и условнопостоянных издержек..
Известно, что себестоимость с увеличением объема выпускаемой продукции понижается, но при нарушении ритмичности производства она может и возрастать (за счет оплаты сверхурочных работ в конце отчетного периода). Здесь затраты представляются, как и в вышеприведенной ситуации, нелинейной функцией от объема производства.
Нелинейной связью характеризуются величины износа производственного оборудования в зависимости от времени его работы, удельный расход бензина (на 1 км пути) — от скорости движения автотранспорта й многие другие хозяйственные ситуации.
Использование в экономическом анализе метода динамического программирования покажем на простейшем примере.
Имеется некое транспортное средство грузоподъемностью W. Требуется заполнить его грузом, состоящим из предметов ^различных типов, таким образом, чтобы стоимость всего груза оказалась максимальной.
Для этого введем соответствующие обозначения:
Рі—вес одного предмета /-го типа;
V.—стоимость одного предмета /-го типа; х.—число предметов /-го типа, загружаемых на имеющееся транспортное средство.
Необходимо подобрать груз максимальной ценности с учетом грузоподъемности транспортного средства W.
Математически формализовать данную экстремальную задачу можно следующим образом:
N
max ф(х) = max 2^ х V.—стоимость груза при ограничениях:
(1) ? XiPt< W;
(2) х. = 0, 1,... (т. е. предметы груза неделимы).
Решение задачи разбивается на п этапов, на каждом из которых определяется максимальная стоимость груза, состоящего из предметов 1-го типа (первый этап), 1-го и 2-го типов (второй этап) и т. д. Для этого воспользуемся рекуррентным соотношением (критерием оптимальности Веллмана):
/М(Ю = max[xNVN + f„_}(lV-xNPN)l
где Ш)
XN^N
fN-\(W-~XNPN)
—максимальная стоимость груза, состоящего из предметов N-to типов;
—стоимость взятых предметов N-to типа;
— максимальная стоимость груза, состоящего из предметов (N—1) типа с общим весом не более
^ XN^N-> fy
—наибольшее целое число, не превосходящее .
"N
Будем считать, /0( W) = 0 для любого W. Последовательно найдя значение функций fy(W), f2(W),f^W), можно получить полное решение сформулированной задачи.
Пусть:
Р. = 4; Р2 = 3; Р3 = 2; Р4 = I (единиц груза);
У у — 28; ?2 = 20; ?г= 13; ?4 = 6 (денежных единиц);
грузоподъемность транспортного средства W = 10 (единиц груза).
Найдем последовательно значения функций bXW): fy(W), ПРИ различных значениях Щ0< W < 10).
Таким образом, максимальная стоимость груза ^(10) равна 69 денежным единицам, при этом предметы 4-го типа загружать не следует, так как /,(10) = 69 достигается при х= О (табл. 6.7).
Таблица 6.7
/,(Ю = тах(х, — 28); 0 ^ х, < ];
= 0, 1, 2.
°<х2<[^-]; х2 = 0, 1, 2, 3.
х3 = 1, так как/3(10) = 69 достигается при х3 = 1 (табл. 6.9), следовательно, вес этого предмета равен 2 единицам груза, поэтому остальные предметы можно загрузить лишь в пределах веса, равного 8 (10 — 2) единицам груза;
/2(8) = 56 достигается при х2 = 0 (табл. 7.8), следовательно, предметы 2-го типа брать не следует.
И наконец, /,(8) = 56 достигается при х1 = 2 (табл. 6.7), следовательно, предметов 1-го типа следует взять два.
В итоге наилучший вариант загрузки транспортного средства достигается при значениях х, = 2; х2 = 0; х3 = 1; х4 = О (берутся два предмета 1-го типа и один предмет 3-го типа).
6.5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИГР
Теория игр исследует оптимальные стратегии в ситуациях игрового характера. К ним относятся ситуации, связанные с выбором наивыгоднейших производственных решений системы научных и хозяйственных экспериментов, с организацией статистического контроля, хозяйственных взаимоотношений между предприятиями промышленности и других отраслей. Формализуя конфликтные ситуации математически, их можно представить как игру двух, трех и т. д. игроков, каждый из которых преследует цель максимизации своей выгоды, своего выигрыша за счет другого.
Решение подобных задач требует определенности в формулировании их условий: установления количества игроков и правил игры, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (отрицательный выигрыш понимается как проигрыш). Важным элементом в условии задач является
стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечной — функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также сведение задачи к некоторой системе дифференциальных уравнений.
На промышленных предприятиях теория игр может использоваться для выбора оптимальных решений, например при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, в вопросах качества продукции и других экономических ситуациях. В первом случае противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, в том числе и страховых, гарантирующих бесперебойную работу производства; сокращения запасов, обеспечивающих минимизацию затрат на их хранение; во втором — стремления к выпуску большего количества продукции, ведущего к снижению трудовых затрат; к повышению качества, сопровождающемуся часто уменьшением количества изделий и, следовательно, возрастанием трудовых затрат. В машиностроительном производстве противоборствующими направлениями являются стремление к максимальной экономии металла в конструкциях, с одной стороны, и обеспечение необходимой прочности конструкций — с другой.
В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении экономических задач, в которых оппозиционной силой выступает природа, и когда вероятность наступления тех или иных событий многовариантна или неизвестна.
Природные условия нередко сказываются и на эффективности работы промышленных предприятий.
Возьмем для примера швейную фабрику, выпускающую детские платья и костюмы, сбыт которых зависит от состояния погоды (предприятие реализует свою продукцию, допустим, через фирменный магазин).
Затраты фабрики в течение апреля — мая на единицу продукции составили: платья — 8 денежных единиц, костюмы — 27, а цена реализации равняется соответственно 16 и 48. По данным наблюдений за прошлое время, фабрика может реализовать в течение этих месяцев в условиях теплой погоды 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде — 625 платьев и 1000 костюмов.
Задача заключается в максимизации средней величины дохода от реализации выпущенной продукции, учитывая капризы погоды. Фабрика располагает в этих ситуациях двумя следующими стратегиями: в расчете на теплую погоду (стратегия А); в расчете на холодную погоду (стратегия В).
Если предприятие примет стратегию А, т.е. продукция, соответствующая теплой погоде (стратегия природы — С), будет полностью реализована, то доход фабрики в этой ситуации составит:
600(48 — 27) + 1975(16 — 8) = 28400.
Если продажа осуществляется в условиях прохладной погоды (стратегия природы — Д), то костюмы будут проданы полностью, а платья только в количестве 625 шт. Доход предприятия в данном случае составит:
600(48 — 27) + 625(16 —8) —(1975 —625)-8 = 6800.
Аналогично определим доход предприятия в случае применения им стратегии В. Для условий теплой погоды доход фабрики опеределится в сумме:
600(48 — 27) + 625(16 —8) —(1000—600) 27 = 6800.
Применение той же стратегии, но в условиях холодной погоды приведет к другим результатам:
1000(48 — 27) + 625(16 — 8) = 26000.
Рассматривая предприятие (Р,) и природу (Р2) в качестве двух игроков, получим так называемую платежную матрицу следующего вида (табл. 6.11)
по
строкам
по столбцам
Оптимизация смешанной стратегии позволит игроку Р, всегда получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии игрока Р2. Для иллюстрации этого продолжим начатый пример.
Обозначим частоту применения игроком Р, стратегии А через х, тогда частота применения им стратегии В будет равна
О—*).
Если игрок Рх применяет оптимальную смешанную стратегию, то и при стратегии С (теплая погода), и при стратегии Д (холодная погода) игрока Р2 он должен получить одинаковый средний доход:
28400* + 6800(1 —х) = 6800х + 26000(1 —х);
28 400х — 6800х—6800х + 26000х = 26000 — 6800;
40 800х = 19200;
Действительно, при стратегии С игрока Р2 средний доход предприятия составит:
28 400 • — 4- 6800 ¦ — = ^-{227 200 + 61 200) = — • 288 400 «
«16965;
при стратегии Д игрока Р2 средний доход предприятия составит:
6 800 • — + 26 000 • — = —(54 400 + 234 000) = — • 288 400 »
17 17 17 • 7 17
т 16965.
Следовательно, игрок Р? применяя чистые стратегии А и В, в соотношении 8:9, будет иметь оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае средний доход в сумме 16965, т.е. средний платеж, равный 16965 единицам.
Средний платеж, который получается при реализации оптимальной стратегии, называется ценой игры.
В заключение определим, какое количество платьев и костюмов предприятие должно выпускать для максимизации
8
своего дохода: (600 костюмов + 1975 платьев)- —+ (1000 ко-
9 1
стюмов + 625 платьев) • — = —(4800 костюмов + 15 800 пла-
17 17
тьев + 9000 костюмов + 5625 платьев) = ^13 800 костюмов + 21 425 платьев) = 812 костюмов + 1260 платьев.
Значит, оптимальная стратегия предприятия означает выпуск 812 костюмов и 1260 платьев; тогда при любой погоде оно получит средний доход в сумме 16965.
6.6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Теория массового обслуживания впервые применялась в телефонии, а затем и в других областях хозяйственной деятельности.
Например, организация нормального процесса обслуживания покупателей связана с правильным определением следующих показателей: количества предприятий данного торгового профиля, численности продавцов в них (в том числе и «механических»), наличия соответствующих основных фондов, частоты завоза товаров, численности обслуживаемого населения, плотности обращаемости и потребности в соответствующих товарах (по групповому и внутригрупповому ассортименту). Если предположить, что предприятие располагает необходимыми основными фондами, торгует товарами, имеющимися в достаточном количестве (при нормальной частоте завоза), то и тогда в процессе обслуживания остаются такие переменные величины, которые могут существенно повлиять на качество обслуживания. Надлежит, следовательно, выбрать такой оптимальный вариант организации торгового обслуживания населения, при котором время обслуживания будет минимальным, качество — высоким, не будет излишних народнохозяйственных затрат. Математический аппарат теории массового обслуживания облегчает решение этой задачи. При этом различают две формы обслуживания: с неявными потерями и с явными потерями.
Систему массового обслуживания с неявными потерями (правило очередей) можно показать на примере обслуживания рабочих необходимым инструментом (из обособленных кладовых промышленного предприятия).
Допустим, что в инструментальной кладовой работают два кладовщика. Требуется определить, в какой мере они своевременно обеспечивают заявки на обслуживание, поступающие от рабочих; не обходятся ли простои рабочих в очереди за инструментом дороже, чем дополнительное содержание еще одного или двух кладовщиков?
Расчет полного числа приходов рабочих в кладовую
прихо
дов
в единицу времени (за 15 мин)
даемая
частота
при
ходов,
%
15 мин)
Частота прихода двух рабочих при 300 наблюдениях равна
0,33 трех — 1 и т.д.
Для определения среднего числа приходов в единицу времени (А.) исчисляется полное число приходов (N) как сумма произведений числа приходов (количества пришедших в кладовую рабочих) на наблюдаемое число приходов.
Таким образом, среднее число требований на обслуживание, т. е. среднее число приходов в единицу времени (А,), составит
N 4064
X =-=-- = 0,903 чел.-мин.
Т 4500
Чтобы определить распределение вероятностей для длительности обслуживания при предположении, что закон распределения экспоненциальный', вычислим среднюю продолжительность одного обслуживания (Г^); она равна 1,6 мин.
После этого можно установить интенсивность обслуживания (ц):
і і
гобсл = —; ц = гк = °’625 чел-мин-
1 обсл Ь0
В случае, когда А, < ц, увеличения очереди не возникает, так как удовлетворение требований происходит не ранее их поступления. В нашем примере А. > ц (0,903 > 0,625) и в кладовой образуется очередь.
Точно определить величину очереди как случайную нельзя. Можно вычислить вероятность того, что в момент времени (I) очередь будет характеризоваться числом требований Рп(0'-
Ря(0 = cf(l— с);Р0(0 = (1— а);сг=-?,
где P()(t) — вероятность отсутствия очереди.
В тех случаях, когда о>, 1, вероятность отсутствия очереди (ф обычно берется из графиков (в нашем примере ст= 1,445).
Для построения таких графиков воспользуемся таблицей значений Р0 для различных значений ст и п (и — количество кладовщиков в инструментальной кладовой).
1 Закон распределения случайной величины, обладающей следующим свойством: промежутки времени между любыми двумя соседними событиями и его среднее квадратическое отклонение равны 1 /X, где X — интенсивность потока, являющегося экспоненциальным, или показательным.
По данным табл. 6.13, в нашем случае рассматривается многолинейная система, когда п > 1 (количество кладовщиков превышает единицу).
Значения Р0
Т — Т 4- т
л с л ож * -* обсл*
В том случае, когда в системе работает п кладовщиков, среднее время ожидания в очереди определится по формуле при п = 2:
при /і = 3:
Тс = 1,613 + 1,6 = 3,213 мин;
= 0,199;
3-310,625(1 — —-}
Т = 0,199 + 1,6 = 1,799 мин;
при п = 4:
1,4454'0,306
1,334
38,325
= 0,035;
4-410,625 1
Т = 0,035 + 1,6 = 1,635 мин и т. д.
Предположим, что у рабочего потери от простоев составляют 5, а содержание кладовщика — 4 ден. ед. в единицу времени. За период времени Т в систему поступает XT заявок, т.е. 1,445Г заявок.
Потери вследствие простоя рабочих при различном числе кладовщиков, расходы на заработную плату кладовщиков, а также суммарные затраты и потери приведены в табл. 6.14.
Порядок исчисления показателя качества обслуживания с явными потерями покажем на примере для условий простейшего потока требований.
Стол заказов при крупном универсаме оборудован четырьмя телефонами. Среднее число вызовов в течение часа составляет 96, среднее время, затрачиваемое на прием одного заказа, — 2 мин. Требуется определить, как полно загружены приемщики заказов, какова вероятность отказа в обслуживании.
Степень загруженности приемщиков определяется по формуле
По условиям примера п = 4 (4 телефона, 4 приемщика заказов), X = 96 (число вызовов в течение часа); среднее время, затрачиваемое на прием одного заказа, составляет 2 мин, или
^ = jjj единицы времени; значение параметра у = 1: ^ = 30,
следовательно, ~ = = 3,2. Величины вероятностей Р?Р-Х,Р?РЪ
приведены в табл. 6.15. Значение членов второго столбца найдено по формуле
рк іт (з,2)*
Р0 k'} У' И '
Как известно,
отсюда
при Л) =
М)
19,151
0,0522.
Умножая каждое из значений ^ на Р0 = 0,0522, получим
величину Рк. Затем, умножая значение членов третьего столбца на значения первого столбца (на 0), второго (на 1) и т.д. и суммируя их, получим математическое ожидание числа занятых приемщиков:
ц.=іІ-Р,= 2,4693.
*=1 *
Величины вероятностей
приемщиков
Л>
Следовательно, каждый приемщик заказов будет занят в среднем 0,62 рабочего дня (- 2,~93 ).
Ответим на второй вопрос: какова вероятность отказа в обслуживании?
Для этого найдем вероятность того, что все приемщики будут заняты в момент обращения очередного клиента:
І-ЦАу
Подставляя значения — = 3,2, п = 4, найдем значение Р :
Ра
(3’2)447
(3,2)*
41
(3,2 У (3,2)3
, + 3’2^ + -зГ +
4,369
104,86 — 24
Элементы матрицы прямых затрат А представляют собой коэффициенты прямых затрат продукции /-го вида на производство единицы продукции j-го вида. В нашем примере эти коэффициенты будут такими:
Элементы вектор-столбца у определяют величину конечного продукта, идущего на внешнюю реализацию:
Для определения валового (общего) выпуска продукции 1-го и 2-го видов воспользуемся следующей формулой:
х = (Е—А)г'у,
где Е — единичная матрица;
(Е—А)—матрица полных затрат;
10
4
Определитель этой матрицы равен:
4 4 / 1 W 1 \ 16 1 123
~5~ 5 ' НМ ' Т' ~25~40 ~~200 ‘
Получим обратную матрицу В = (Е—А)-1 методом алгебраических дополнений.
Матрица алгебраических дополнений D формируется следующим образом:
42 = (-1)1+2(-|)
1
4’
Т
4
У’
Транспонируя матрицу D и умножая на величину -у , получаем матрицу полных затрат В:
т
1
To
Т ІО
1 4
7 7
123
36900
123
123
160 20 ТгГ Тгз
50 160
І23 І23
160 130 20 190 \
123 +І23 I
50 130 160 190 I
123 + 123 /
200 \ Ж '
Таким образом, валовой выпуск продукции первого цеха составляет 200, а второго цеха — 300.
Распределение продукции между цехами на внутреннее потребление определяется по формуле
x,j = a.jXj-
1 1 хп =у-200 = 40; х,2 = — • 300 = 30;
0,23.
потребление
Специалисты считают, что выбор оптимального варианта из тысячи альтернативных, если он определяется вручную, потребовал бы времени, равного человеческой жизни долгожителя. Расчеты сейчас намного облегчаются применением быстродействующей вычислительной техники. Но тем не менее глубокий и комплексный экономический анализ — дело весьма трудоемкое.
Перефразируя блестящее метафорическое определение поэзии В. Маяковским, можно сказать, что:
Экономический анализ — та же добыча радия,
В грамм добыча, в год труды.
Изводишь единого показателя ради,
Тысячи тонн цифровой руды.
6.8. ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Математическая теория нечетких множеств, созданная в 60-е гг. для решения узкой утилитарной задачи распознавания образов, в настоящее время имеет приложения в самых различных областях научной и хозяйственной деятельности — от работ по созданию искусственного интеллекта в ЭВМ пятого поколения до управления сложными технологическими процессами.
В основе данной теории лежат понятия нечеткого множества и функции принадлежности, определение которых приводятся ниже.
Пусть Е — множество, счетное или нет, их — элемент Е. Тогда нечеткое подмножество А множества Е определяется как множество упорядоченных пар {(х, цА(х))}, ?хе Е, где ц-А(х) — характеристическая функция принадлежности, принимающая свои значения во вполне упорядоченном множестве М, указывающая степень принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М называется множеством принадлежностей.
Применение теории нечетких множеств в экономике проиллюстрируем на примере вычисления перспективного ассортимента оптового предприятия в одном товарном профиле при фиксированной торговой зоне. Под перспективным ассортиментом в данном случае понимается набор товаров, которые заведомо будут иметь спрос среди потребителей — в данном случае розничных торговых предприятий, входящих в район эффективной коммерческой деятельности оптовой организации. Нахождение перспективного ассортимента гарантирует оптовой организации формирование ассортиментного ядра, которое будет реализовано на рынке с минимальным риском, а также помогает отразить общие тенденции того потребительского рынка, на котором организация оптовой торговли осуществляет свою коммерческую деятельность.
Успешное решение задачи нахождения перспективного ассортимента позволяет принять решение о заключении сделки при анализе поступающего коммерческого предложения.
Дано:
X = \хг х2,..., хп} — множество товаров, имеющихся на складе оптового торгового предприятия или выдвигаемых в качестве коммерческих предложений.
Y — {у,, У2> ¦ ¦ ¦ > Ур} — множество признаков товаров.
Z = {zr z2,., zm} — множество рассматриваемых розничных торговых предприятий — потребителей оптовой организации.
Требуется определить перспективный ассортимент организации оптовой торговли, т.е. набор ху для удовлетворения предполагаемых запросов из Z.
Модель строится при следующих допущениях:
1) на рынке действуют поставщик и потребители — соответственно оптовая и розничные торговые организации;
2) коммерческие запросы от розничных торговых организаций Zy, z2,..., zm рассматриваются и по возможности удовлетворяются независимо от времени их поступления.
3) сделки между оптовой и розничными торговыми организациями имеют различный порядок, который определяется весовой функцией розничных организаций с помощью экспертной оценки по итогам предыдущей коммерческой деятельности;
4) товары хр х2,...,хп характеризуютсяр признаками;
5) степени принадлежности признаков уг у2,...,ур товарам варьируются между отдельными товарами х? х2,..., хп;
6) один товар предпочитается другому всякий раз, когда его признаки ?. по степени важности более близки к оценке потребителя z. (розничного предприятия).
Пусть л х Y -> [0, 1] — функция принадлежности нечеткого бинарного отношения R, определяемая с помощью эксперта.
Отношение R представляется в матричной форме следующим образом:
Уі У2 ... ур
?r(XI> Уі) ?r(X1> У2) • • • ?r(X1' Ур)
Ir(X2. У/) Zr(X2> У2) ¦ ¦ • Zr(X2> Ур)
?к(хп> у,) ^(Хп-Уі) • • • іЛ? .
В этой матрице элементы каждой строки выражают относительные степени принадлежности признаков определен. ным товарам. Чем выше значения, тем более важен признак.
Пусть fs:7xZ-> [0, 1]— функция принадлежности нечеткого бинарного отношения S. Для всех у е Y и всех zeZ ф5(у, z) равна степени совместимости розничного торгового предприятия z с признаком у. Чем выше значения функции, тем более данный признак совместим с конкретным предприятием розничной торговли.
В матричной форме это отношение имеет вид:
Уі %(Урz,)
у2 %(y2’zi)
Ф$(Уг z2> ¦ • • %(Уі' ZJ
%(у2> z2-> ¦ ¦ ¦ %(У2’ ZJ
Фз(Ур’ Z2-> ¦ ¦ ¦ Фз(У2’ ZJ ,
%(ур¦ zi)
Ур
Значение матрицы S отражают относительные степени важности признаков Yt при принятии предприятием z^ решения о закупке партии какого-либо товара у рассматриваемого нами оптовика.
Из матриц R и S получаем матрицу Т:
1
m
1
Р
? iR(x, у) ¦>l'(y,zi)
- , для всех х с X, у с Y, z с Z.
S ZR(x,y)
Сумма 2, фв(х, у) равна степени нечеткого подмножества,
у
указывающей число важнейших признаков у, которое присуще товару х с точки зрения предприятия розничной торговли. Далее строится матрица:
' ?л,(х? zl) Л PaJXi- z2) t*A (xl‘ zm-l) Л M A (xl’Zmh
\1*л,(хп- ... uA (x„,zm.j) Л ma (x„,zj)
где конъюнкция Л означает операцию попарного минимума.
Порог разделения / ассортимента ограничивается условием /<шіп шах min (и .(х, z.), и ,(х, z.J).
После того как порог I выбран, можно для любого z определить уровневое множество:
М\ = {х\ц (х)> minmaxmin(ii (х, г),'ц (х, z))},
Ух е Мг
Пусть oj(z) — весовая функция, задающая для каждого розничного торгового предприятия его вес по итогам предыдущей коммерческой деятельности.
Ассортимент предприятия оптовой торговли описывается объединением уровневых множеств:
М = U (o(z)Mr
І
Вычисление перспективного ассортимента помогает оптовому торговому предприятию определить:
как оптимизировать товарный ассортимент (какие товары обязательно следует иметь на складе при сохранении сложившейся структуры потребителей);
как изменить ассортиментную концепцию при заданном изменении зоны обслуживания, т.е. какие стратегические действия предпринять в случае выхода из числа обслуживаемых потребителей отдельных розничных организаций;
как оптимизировать зону обслуживания (в нашем случае это район эффективной коммерческой деятельности) при исключении из ассортимента тех товаров, признаки которых не удовлетворяют оптовую организацию, или включении тех товаров, признаки которых устраивают ее).
В качестве иллюстрации к данной задаче рассмотрим упрощенный числовой пример.
Пусть оптовая организация имеет на складе 6 потребительских товаров {х,, х2_____ х6} и осуществляет поставки трем
потребителям — zt (крупный универмаг), z2 (небольшой магазин) и z3 (палатка).
В качестве рассматриваемых признаков товаров возьмем следующие:
у3— «цена», у3—«внешний вид»
у2—«качество», у4—«сезонность»,
у5—«ступень жизненного цикла товара».
Пусть : X х Y -> [0, 1] и ij/s: Y х Z -> [О, 1] задаются следующими матрицами:
<o(z7) = 30, ш(^) = 20, co(z,) = 15.
Характеристики товаров, стоящие в матрице R, указывают, например, что товар х, — дорогой, высококачественный, внешне неброский, соответствует сезону, но несколько устарел технически (или, наоборот, только поступает на рынок и еще неизвестен покупателям).
Характеристики магазинов, стоящие в матрице 5, указывают, например, что второй потребитель — магазин z2 — стеснен в складских помещениях и поэтому предпочитает торговать товарами, соответствующими данному сезону, что следует из значения функции ф$(у4, zJ.
Вычисляем матрицу Т:
Попарными сведениями получаем матрицу W:
Далее находятся максимальные элементы в каждом из столбцов матрицы W:
тахтіп(цАі(х, zl)tjiAJx, z2))= 0,586;
тахтіп(цАі(х, г1),цА}(х, z3)) =0,525; maxminfnAJx, г2),цЛз(х, zs)) =0,5.
Минимальная из этих величин — 0,5. Далее в матрице Т выбираем для I наибольшее возможное значение, которое было бы меньше 0,5 и получаем I = 0,475. Применяя это значение в качестве порога разделения, получаем
М,= М2 — м3 =
{ Xj, Х2, Х3, Х4, Ху Ху } ,
{Ху Ху Ху х6),
{х4,Ху},
Таким образом, широкие возможности крупного универмага zt позволяют ему торговать всем спектром продукции, предлагаемой оптом, магазин z2 в силу недостатка складских помещений, избегает приобретать товары, реализация которых потребует длительного срока, а палатка z3 берет только броские и относительно недорогие товары. Большой спрос на товар х6 не случаен, это действительно товар с блестящими характеристиками: он имеет невысокую цену при среднем качестве, великолепно выглядит, соответствует сезону и достаточно известен розничному покупателю.
Воспользовавшись значениями весовой функции, получаем значения ассортимента:
М = {50Ху 30х2, 50х3, 45х4, 50х}, 105х6}
Результатами этой задачи легко воспользоваться при принятии решения о заключении сделки (при анализе поступающего коммерческого предложения).
Для этого следует, определив функцию принадлежности цредлагаемого товара хп +,, провести счет согласно приведенному алгоритму, и определить, в какой степени этот товар принадлежит множеству товаров перспективного ассортимента, а если принадлежит, то не вытеснит ли он каких-либо товаров из набора хг,..., хп, уже находящихся на складе предприятия оптовой торговли.
На основании этой оценки лицо, ответственное за заключение сделки, может принять положительное, выжидательное или отрицательное решение.