Глава 4. Планирование финансов Цели

В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения некоторых задач планирования финансов. При определенных предположениях становится возможным выбрать такие способы вложения денег под проценты, совокупность которых позволяет минимизировать первоначальный вклад, необходимый для выплаты займа, или максимизировать доход. При решении задач финансового планирования можно учитывать риск и другие факторы, влияющие на выбор способов вложения денег.

После выполнения заданий, предлагаемых в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:

• вклад;

• целевой фонд;

• балансовое ограничение;

• индекс риска по вкладу.

Модели

Модель А минимизации целевого фонда. Предположим, что в определенные моменты времени необходимо выплачивать известные суммы денег по взятому ранее займу. Чтобы накопить эти суммы, можно заранее создать целевой фонд, а средства из этого фонда использовать для срочных вкладов. Каждый срочный вклад характеризуется моментом времени вложения, сроком погашения и доходностью. Задача состоит в том, чтобы определить минимальный размер целевого фонда и выбрать те виды срочных вкладов, которые следует использовать, чтобы сделать выплату по займу. Обозначения:

у — размер целевого фонда, создаваемого в нулевой момент времени;

t — текущий момент времени, t = 0, 1,.... Т;

d_t — размер выплаты по займу, которую надо произвести в момент времени t (t = 1, ..., Т);

j —индекс срочного вклада, j = 1,..., п;

Vj — момент времени вложения по срочному вкладу j;

Wj — срок выплаты по срочному вкладу j;

r — доходность срочного вклада j (процент по вкладу);

Х] — объем вложений по срочному вкладу j.

Предполагается, что для любого срочного вклада j момент Vj времени вложения фиксирован. Если по срочному вкладу/сделаны вложения в размере х_}-, то через Wj единиц времени вкладчику выплачивается сумма (1 + rjxj. Без ограничения общности можно считать, что для любого момента времени существует такой вклад, выплата по которому производится в следующий момент времени. При этом доходность такого вклада может быть нулевая. Использование вклада с нулевой доходностью означает, что деньги остаются на руках у владельца.

Пусть G_t — множество индексов j, таких, что t= Vj, т.е. по вкладу j сделано вложение в момент времени t, Q_t — множество индексов j, таких, что t = Vj + Wj, т.е. по вкладу j получена выплата в момент времени t.

Заметим, что для любого t множества Gt и Qt известны.

Тогда модель имеет следующий вид:

Здесь (1) — целевая функция (минимальный размер целевого фонда);

у -»min, (1) o'

II

о

II

Ч''

^r ’ (К

1 (2) X (1 + г ) X: t = 1, ..

;€<?, ^{3 3} jeG'³ ‘ T— 1, (3) X(1 +r_J)x,= d_l, t=T,

j* Q, ³³¹ (4) ^>0, Xj > 0, j = 1, n. (5) (2) —условие, характеризующее распределение целевого фонда по вкладам в нулевой момент времени;

(3) — соотношения, устанавливающие баланс между выплатами и вложениями;

(4) — условие, обеспечивающее выплату по займу;

(5) — условия неотрицательности переменных.

Модель В максимизации дохода. Предположим теперь, что вкладчик собирается делать вклады для того, чтобы через определенный период времени получить максимальный доход. Задача состоит в том, чтобы определить величину максимального дохода при фиксированном размере целевого фонда и выбрать те виды срочных вкладов, которые следует использовать.

Сохраним принятые ранее обозначения и введем новые:

z — размер дохода, который может получить вкладчик в момент времени Т;

Ut— размер вклада в момент времени t (t = 0, 1,..., Т— 1).

Тогда модель имеет следующий вид:

z -» max, (6) Д*j ^{= u}t> ^{/ = 0}’ (7) fcn!b? ^{+ r}J^)xJ ^{= u}" ^/=1’- 00

1 jhy^+,j^)xJ-^zz=0’ ^t=T’ (9) z>Q, Xj> 0, j=\,...,n. (10) Здесь (6) — целевая функция (максимальная величина дохода);

(7) — условие, характеризующее распределение вклада в нулевой момент времени;

(8) — соотношения, устанавливающие баланс между выплатами и вложениями;

(9) — условие, определяющее величину дохода;

(10) —условия неотрицательности переменных.

Примеры

Пример 1. Вложение денег под проценты.

Петр Перфилов — управляющий компанией, которая только что заключила контракт на покупку нового оборудования для консервирования овощей. В соответствии с договором компания должна выплатить поставщику в общей сложности 750 тыс. руб. Причем 150 тыс. руб. необходимо уплатить через два месяца, а остальные 600 тыс. руб. — через шесть месяцев после того, как оборудование будет поставлено и испытано. Петр считает, что сразу после подписания договора следует образовать целевой фонд и использовать эти средства для вложения денег под проценты. Поскольку такие инвестиции породят дополнительную наличность к тому времени, когда придется вносить деньги за оборудование, Петр понимает, что целевой фонд должен быть меньше чем 750 тыс. руб. А вот сколько именно — зависит от имеющихся возможностей инвестирования.

Вид

вклада Срок вклада, месяцы Возможные моменты вложения (начало месяца) ’ Процент по вкладу A 1 1,2, 3,4, 5, 6 1,5% В 2 1,3,5 3,5% С 3 1,4 6,0% D 6 1 11,0% Проанализировав варианты, Петр решил сосредоточиться на 12 возможных способах вложения денег под проценты. Виды вкладов, их продолжительность, возможные сроки вложения и проценты по вкладу приведены в следующей таблице: __

Данные о возможностях вложений и возврата денег (в руб.) представлены в следующей таблице: Вклад Начало месяца 1 2 3 4 5 6 7 А в месяце 1 1,00- ->1,015 А в месяце 2 1,00- ->1,015 А в месяце 3 1,00- ->1,015 А в месяце 4 1,00- ->1,015 А в месяце 5 - 1,00— >1,015 А в месяце 6 1,00— >1,015 В в месяце 1 1,00- ->1,035 В в месяце 3 1,00- ->1,035 В в месяце 5 1,00- >1,035 С в месяце 1 1,00- -> 1,06 С в месяце 4 1,00- ->1,06 1 1 1 С учетом этих возможностей необходимо минимизировать размер целевого фонда, обеспечивающего оплату оборудования.

Вопросы:

1. Каков минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты?

2. Какова стоимость в начальный момент времени одного рубля, который надо выплатить в начале седьмого месяца (через шесть месяцев)?

3. Какова стоимость в начальный момент времени одного рубля, который надо выплатить в начале пятого месяца (через четыре месяца)?

Решение. Введем следующие обозначения: у — размер целевого фонда;

Аі — размер вклада вида А в месяце і;

Bi — размер вклада вида В в месяце i;

Сі — размер вклада вида С в месяце і;

Di — размер вклада вида D в месяце i.

Так как в любой момент времени можно сделать вклад на один месяц, хранить деньги на руках невыгодно. С учетом этого условия задача минимизации целевого фонда может быть описана следующей моделью:

Целевая функция у ® min при условиях

У Af Ві С,-Я, ^— О, і,015А₁-А₂ = 0,

і,0\5А₂ + 1,0355, - А₃ - 5₃ = 150,

1,0154₃ + 1,060С, - А₄ - С₄ = 0,

1,0154, + 1,0352?з - А₅ - В₅ = 0,

1,015Л₅ —4₆ = 0,

1,0154₆ + 1,035В₅ + 1,060С₄ + 1,1100, = 600.

Эту модель можно представить в следующей, более наглядной форме:

У 41 51 Cl Cl A2 АЗ 53 А4 С4 А5 55 Аб Minimize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 / Начало месяца 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 Начало месяца 2 0 1,015 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 = 0 Начало месяца 3 0 0 1,035 0 0 1,015 -1 -1 0 0 0 0 0 = 150 Начало месяца 4 0 0 0 1,06 0 0 1,015 0 -1 -1 0 0 0 = 0 Начало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 1,035 1,015 0 -1 -1 0 85 0 Начало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,015 0 -1 = 0 Начало месяца 7 0 0 0 0 Ml 0 0 0 0 1,06 0 1,035 1,015 = 600 Проводя вычисления, получаем следующие результаты:

У 41 51 а 51 42 43 53 44 С4 45 55 46 Minimize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Начало месяца 1 1 -1 -1 -і -1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 -1 Начало месяца 2 0 1,015 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 = 0 -0,985 Начало месяца 3 0 0 1,035 0 0 1,015 -1 -1 0 0 0 0 0 = 150 -0,966 Начало месяца 4 0 0 0 1,06 0 0 1,015 0 -1 -1 0 0 0 = 0 -0,943' Начало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 1,035 1,015 0 -1 -1 0 = 0 -0,929 Начало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,015 0 -1 = 0 -0,916 Начало

месяца? 0 0 0 0 1,11 0 0 •о 0 1,06 0 1,035 1,015 = 600 -0,890 Solution 678,93 0 144,98 533,99 0 0 0 0 0 566,04 0 0 0 678,93 Следующая таблица содержит границы устойчивости по коэффициентам целевой функции:

Далее приводятся границы устойчивости по правым частям ограничений:

Constraint Dual Val Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound Начало месяца 1 -1 0 0 -678,9 Infinity Начало месяца 2 -0,985 0 0 0 Infinity Начало месяца 3 -0,966 0 150 0 Infinity Начало месяца 4 -0,943 0 0 -566,0 Infinity Начало месяца 5 -0,929 0 0 0 Infinity Начало месяца 6 -0,916 0 0 0 Infinity Начало месяца 7 -0,890 0 600 0 Infinity В этой модели особый интерес представляет интерпретация двойственных оценок. Например, двойственная оценка последнего ограничения равна —0,89. Это означает, что для выплаты через полгода одного дополнительного рубля необходимо увеличить размер целевого фонда на 0,89 руб. Таким образом, величина двойственной оценки есть стоимость одного рубля, выплачиваемого через полгода, приведенная к начальному моменту времени.

Ответы: 1.678,93 тыс. руб. 2.0,89руб. 3.0,929руб.

Вопросы

Вопрос 1. Срочный вклад характеризуется:

1) суммой вклада и процентом по вкладу;

2) моментом вложения, сроком погашения, прибылью и процентом по вкладу;

3) размером вклада, моментом вложения, сроком погашения и процентом по вкладу;

4) размером вклада, моментом вложения, сроком погашения, прибылью и процентом по вкладу.

Вопрос 2. Целью модели минимизации целевого фонда является:

1) минимизация целевого фонда, необходимого для накопления определенной суммы;

2) максимизация целевого фонда, необходимого для накопления определенной суммы;

3) минимизация размера срочного вклада, необходимого для накопления определенной суммы;

4) максимизация размера срочного вклада, необходимого для накопления определенной суммы;

5) минимизация целевого фонда, необходимого для получения максимального дохода.

Вопрос 3. Целью модели максимизации дохода является:

1) максимизация целевого фонда, необходимого для получения максимального дохода;

2) минимизация целевого фонда, необходимого для получения максимального дохода;

3) выбор срочного вклада с максимальной доходностью;

4) минимизация дохода при фиксированной величине целевого фонда;

5) максимизация дохода при фиксированной величине целевого фонда.

Задачи

Задача 1. Константин Иванов — управляющий компанией «Золотой колос», специализирующейся на выпуске пива. Компания закупила оборудование для выпуска популярного сорта пива «Двойное золотое». Стоимость оборудования 900 тыс. руб. В соответствии с условиями контракта 200 тыс. руб. необходимо выплатить через два месяца, когда оборудование будет поставлено, а оставшиеся 700 тыс. руб. — через шесть месяцев, когда оборудование будет смонтировано.

Чтобы расплатиться полностью, Константин предполагает тотчас же образовать целевой фонд, который можно использовать для инвестиций. Поскольку такие инвестиции породят дополнительную наличность к тому времени, когда придется вносить деньги за оборудование, Константин знает, что ему следует отложить меньше чем 900 тыс. руб. А вот сколько именно — зависит от имеющихся возможностей инвестирования.

Константин решил сосредоточиться на 12 возможностях инвестирования.

Данные для задачи финансового планирования представлены в следующей таблице:

Вид

вклада Срок вклада, месяцы Возможные моменты вложения (начало месяца) Процент по вкладу Индекс риска А 1 1,2, 3, 4, 5,6 1,7% 3 В 2 1,3,5 3,5% 10 С 3 1,4 5,5% 7 D 6 1 10,5% 9 Для каждого вида вкладов известна экспертная оценка риска задержки выплаты по вкладу.

Составьте модель линейного программирования для определения минимального размера целевого фонда, позволяющего сделать необходимые выплаты.

Вопросы:

1. Каков минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты без учета риска?

2. Какова стоимость в начальный момент времени одного рубля, который надо выплатить в начале седьмого месяца (через шесть месяцев)?

3. Каков минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты, если средний риск в каждый момент времени не должен превышать 6?

4. Какова «плата» за снижение риска (в руб.)?

Вид

вклада Срок вклада, месяцы Возможные моменты вложения (начало месяца) Процент по вкладу Индекс риска А 1 1,2, 3,4, 5,6 1,7% 3 В 2 1,2' 3,5% 9 с ¦ 3 3,4 6,5% 8 D 6 1 11,5% 5 Задача 2. У Василия Иванова есть 50 тыс. руб., которые можно инвестировать. Необходимо максимизировать денежную наличность к концу шестимесячного периода. Возможные виды инвестиций представлены в следующей таблице:_

Для каждого вида вкладов известна экспертная оценка риска задержки выплаты по вкладу.

Составьте модель линейного программирования для определения максимального размера дохода, который может получить Василий Иванов через полгода, использовав имеющиеся у него возможности для вложения 50 тыс. руб.

Вопросы:

1. Каков максимальный размер дохода через полгода?

2. Какой максимальный доход можно получить через полгода от вложения одного рубля в начальный момент времени?

3. Какой максимальный размер дохода можно получить через полгода, если средний риск в каждый момент времени не должен превышать б?

4. Какова «плата» за снижение риска (в руб.)?

5. В начале четвертого месяца Василий предполагает вложить еще 20 тыс. руб. На сколько возрастет его доход через полгода с учетом риска?

Задача 3. Пять проектов конкурируют за получение инвестиционных фондов компании.

Проект 1 предполагает вложение денег в 2003 г., получение 30% по вкладу в 2004 г. и возврат вложенных средств (без процентов)

в 2005 г.

Проект 2 предполагает вложение денег в 2004 г., получение 30% по вкладу в 2005 г. и возврат вложенных средств (без процентов) в 2006 г.

Проект 3 предполагает вложение денег в 2003 г. и получение 1,75 руб. на один вложенный рубль в 2006 г.

Проект 4 предполагает вложение денег в 2005 г. и получение 1,4 руб. на один вложенный рубль в 2006 г.

Проект 5 предполагает вложение денег в 2003 г. и получение 1,2 руб. на один вложенный рубль в 2005 г.

Максимальная сумма, которая может быть вложена в любой проект, не должна превышать 10 млн руб.

Деньги, полученные в результате инвестиций в один проект, можно реинвестировать в другие проекты.

Компания также может получать 6% годовых по краткосрочному (на один год) банковскому вкладу.

К началу 2003 г. инвестиционный фонд компании составит 20 млн руб. Целью компании является максимизация дохода от инвестиций к 2006 г.

Вопросы:

1. Какова максимальная сумма денег, которую можно получить в 2006 г.?

2. Какую сумму следует вложить во второй проект?

3. В каком году следует вложить деньги в банк под 6% годовых?

4. Какой максимальный доход можно получить в 2006 г., вложив 1 руб. в 2003 г.?

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—4, 2 — 1, 3—5.

Задача 1. Решение.

Пусть у — размер целевого фонда. А_и Bi, G, А — размеры вкладов вида А, В, С, D в i-м месяце. Так как в любой момент времени можно сделать вклад на один месяц, хранить деньги на руках невыгодно. С учетом этого условия задача может быть описана следующей моделью:

Целевая функция у ® min при условиях У - А, - В, - С, - D, = 0,

1,017/1, — А_г = 0, '

1,0І7Л₂ + 1,0355, - А, - В_} = 200,

1,017А_} + 1,055 С, - А₄ - С₄ = 0, і,017Л₄ + 1,0355₃ - A_s - В₅ = 0, l,017^₅-^ = 0,

1,017Л₆ + 1,0355₅ + 1,055 С₄ + 1,1057), = 700.

Представим модель в более наглядной форме:

У А\ В\ СІ 01 А1 /13 ЛЗ м С4 >15 Л5 м Minimize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Начало месяца 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 Начало месяца 2 0 1,017 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 = 0 Начало месяца 3 0 0 1,035 0 0 1,017 -1 -1 0 0 0 0 0 = 200 Начало месяца 4 0 0 0 1,055 0 0 1,017 0 -1 -1 0 0 0 = 0 Начало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 1,035 1,017 0 -1 -1 0 = 0 Начало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,017 0 -1 = 0 Начало месяца 7 0 0 0 0 1,105 0 0 0 0 1,055 0 1,035 1,017 = 700 Решая эту задачу, получаем следующие результаты:

7 41 «1 а ЛІ 42 43 ІЗ 44 С4 45 «5 46 Minimize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Начало месяца! 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 -1 Начало месяца 2 0 1,017 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 = 0 -0,983 Начало месяца 3 0 0 1,035 0 0 1,017 -1 -1 0 0 0 0 0 200 -0,966 Начало месяца 4 0 0 0 1,055 0 0 1,017 0 -1 -1 0 0 0 = 0 -0,948 Начало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 1,035 1,017 0 -1 -1 0 = 0 -0,932 Начало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,017 0 -1 = 0 -0,916 Начало месяца 7 0 0 0 0 1,105 0 0 0 0 1,055 0 1,035 1,017 = 700 -0,898 Solution 822,154 0 193,238 628,917 0 0 0 0 0 663,507 0 0 0 822,154 Следующая таблица содержит границы устойчивости по коэффициентам целевой функции

Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound У 822,154 0 1 0 Infinity А1 0 0 0 —6,87E—04 Infinity ВІ 193,238 0 0 — 1,59E—03 6,87E—04 а 628,917 0 0 -1 1.60E-03 DI 0 7,2 IE—03 0 -7,21 E-03 Infinity А2 0 6.76E-04 0 —6,76E—04 Infinity АЗ 0 2.20E-03 0 —2.20E-03 Infinity ВЗ 0 1.54E-03 0 — 1,54E—03 Infinity А4 0 0 0 —2.16E-03 1,51 E-03 С4 663,507 0 0 —Infinity 2,17E—03 AS 0 0 0 —2,76E—03 Infinity В5 0 2,12E—03 0 —2,12E—03 Infinity А6 0 2.72E-03 0 —2,72E-03 Infinity Далее приводятся границы устойчивости по правым частям ограничении:

Constraint Dual Val Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound Начало месяца 1 -1 0 0 -822,154 Infinity Начало месяца 2 -0,983 0 0 0 Infinity Начало месяца 3 -0,966 0 200 0 Infinity Начало месяца 4 -0,948 0 0 -663,507 Infinity Начало месяца 5 -0,932 0 0 0 Infinity Начало месяца 6 -0,916 0 0 0 Infinity Начало месяца 7 -0,898 0 700 0 Infinity Ограничение, учитывающее риск по вкладам, сделанным в месяце 1, может быть записано следующим

образом:

После преобразования система ограничений, учитывающих риск, имеет следующий вид:

-3/1, + 4В, +1 С, + ЗВ, ? О, -3А_г + 4В, +1С, + ЗВ, ? О, -ЗА_} + 4В₃ +1С, + ЗВ, 2 О, -ЗЛ₄ + 4В₃ +1С₄ + ЗВ, < О, -ЗА₅ + 4В₅ +1С₄ + ЗВ, < О, -3А₆ + 4В₅ +1С₄ + ЗВ, < О.

С учетом риска получаем модель с 13 переменными и 13 ограничениями:

У Л\ ?1 С1 01 А2 АЗ ?3 М 04 AS BS А6 Minimize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Начало месяца ! 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 — 0 Начало месяца 2 0 1,017 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 = 0 Начало месяца 3 0 0 1,035 0 0 1,017 -1 -1 0 0 0 0 0 = 200 Начало месяца 4 0 0 0 1,055 0 0 1,017 0 -1 -1 0 0 0 = 0 Начало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 1,035 1,017 0 -1 -1 0 = 0 Начало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,017 0 -1 = 0 Начало месяца 7 0 0 0 0 1,105 0 0 0 0 1,055 0 1,035 1,017 = 700 Риск 1 0 -3 4 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 0 Риск 2 0 0 4 1 3 -3 0 0 0 0 0 0 0 <= 0 РискЗ 0 0 0 1 3 0 -3 4 0 0 0 0 0 <= 0 Риск 4 0 0 0 0 3 0 0 4 -3 1 0 0 0 <= 0 Риск 5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 -3 4 0 <= 0 Риск 6 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 4 -3 <= 0 Решая эту задачу, получаем следующие результаты:

У А\ ?1 С1 ?1 А2 АЗ ?3 м С4 AS ?5 А6 Minimize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Начало месяца 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 -1 Начало месяца 2 0 1,017 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 = 0 -0,983 Начало месяца 3 0 0 1,035 0 0 1,017 -1 -1 0 0 0 0 0 = 200 -0,967 Начало месяца 4 0 0 0 1,055 0 0 1,017 0 -1 -1 0 0 0 = 0 -0,949 Начало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 1,035 1,017 0 -1 -1 0 = 0 -0,931 Начало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,017 0 -1 = 0 -0,915 Начало месяца 7 0 0 0 0 1,105 0 0 0 0 1,055 0 1,035 1,017 = 700 -0,900 Риск 1 0 -3 4 I 3 0 0 0 0 0 0 0 0 < 0 9Е-05 Риск 2 0 0 4 1 3 -3 0 0 0 0 0 0 0 < 0 0 РискЗ 0 0 0 1 3 0 -3 4 0 0 0 0 0 < 0 6Е-04 Риск 4 0 0 0 0 3 0 0 4 -3 1 0 0 0 < 0 6Е-04 Риск 5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 -3 4 0 < 0 9Е-05 Риск 6 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 4 -3 < 0 0 Solution 823,152 266,2 80,5 476,3 0 270,7 158,7 0 166,0 498,0 167,6 1,2 170,4 823,1 Границы устойчивости по коэффициентам целевой функции:

Окончание таблицы

Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound У 823,152 0 1 0 Infinity АІ 266,233 0 0 —6,87E—04 Infinity В\ 80,593 0 0 —4,5 IE—03 6,87E—04 а 476,326 0 0 -1,322 2,58E—03 т 0 1,00Е—02 0 — 1,00E—02 Infinity А2 270,759 0 0 —6,75E—04 Infinity АЗ 158,775 0 0 —2,49E—03 Infinity Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound B3 0 8,04E—03 0 —8,04E—03 Infinity /14 ' 166,000 0 0 —2,44E—03 Infinity C4 498,000 0 0 -1,275 2.45E-03 A5 167,612 0 0 ' —6,40E—04 Infinity B5 1,210 0 0 —4,22E—03 6.40E-04 A6 170,462 0 0 —6,29E—04 Infinity Границы устойчивости по правым частям ограничений:

Constraint Dual Val Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound Начало месяца 1 -1 0 0 -823,152 Infinity Начало месяца 2 -0,983 0 0 -191,304 4,570 Начало месяца 3 -0,967 0 200 5,444 Infinity Начало месяца 4 -0,949 0 0 -663,999 23 728,72 Начало месяца 5 -0,931 0 0 -676,594 2,834 Начало месяца 6 -0,915 0 0 -688,299 2,861 Начало месяца 7 -0,900 0 700 0 25 715,27 Риск 1 9,82Е—05 0 0 -564,317 13,480 Риск 2 0 13,578 0 -13,578 Infinity Риск 3 6,28Е—04 0 0 -1958,698 578,841 Риск 4 6,11Е—04 0 0 -1995,853 8,359 Риск 5 9,14Е—05 0 0 -8,466 8,486 Риск 6 0 8,548 0 -8,548 Infinity Ответы: 1. 822154 руб. 2. 0,9 руб. 3. 823152 руб. 4. 998 руб.

Задача 2.

Решение.

Пусть z — размер дохода, Аі, Ві, Сі, D_t — размеры вкладов соответствующего вида в i-м месяце. Так как в любой момент времени можно сделать вклад на один месяц, хранить деньги на руках невыгодно. Без учета риска задача может быть описана следующей моделью:

Целевая функция z ® max при условиях

А, + 5, + 5, = 50,

1,017Л, - А₂ - В₂ = 0,

1,017Л₂ + 1,0355, - А₃ - С₃ = 0, 1,017Л₃ + 1,0355₂ - А₄ - С₄ = 0, 1.017Д, - Л₅ = 0,

1,017^₅ + 1,065 С₃ - А₆ = 0,

1,017Л₆ + 1,065С₄ + 1,1155, - г = 0.

Представим модель в более наглядной форме

г А\ ВІ 01 XI ВІ АЗ 0 М а AS 46 Maximize - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Начало месяца 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 50 1,121 Начало месяца 2 0 1,017 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 = 0 -1,102 Начало месяца 3 0 0 1,035 0 1,017 0 -1 -1 0 0 0 0 = 0 -1,083 Начало месяца 4 0 0 0 0 0 1,035 1,017 0 -1 -1 0 0 = 0 -1,065 Начало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1,017 0 -1 0 = 0 -1,047 Начало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 1,065 0 0 І,-017 -1 = 0 -1,017 Начало месяца 7 -1 0 0 1,115 0 0 0 0 0 1,065 0 1,017 = 0 -1 Solution 56,051 50 0 0 0 50,850 0 0 0 52,630 0 0 56,051 Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound z 56,051 0 1 0 Infinity А\ 50 0 0 0 7.71E-04 51 0 0 0 —7,7 IE—04 0 51 0 0,121 0 —Infinity 0,121 Л2 0 7,57Е—04 0 —Infinity 7,57E—04 52 50,850 0 0 0 0,014 АЗ 0 0 0 —Infinity 0 СЗ 0 0 0 —1,35E—02 0 А4 0 0 0 -Infinity 1.31E-02 С4 52,630 0 0 0 Infinity А 5 0 1.29Е-02 0 —Infinity 1.29E-02 А6- 0 0 0 -Infinity 0 Границы устойчивости по коэффициентам целевой функции:

Границы устойчивости по правым частям ограничений:

Constraint Dual Val Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound Начало месяца I 1,121 0 50 3,8 IE—06 Infinity Начало месяца 2 -1,102 0 0 -Infinity 50,85 Начало месяца 3 -1,083 0 0 0 51,75 Начало месяца 4 -1,065 0 0 -Infinity 52,63 Начало месяца 5 -1,047 0 0 0 53,52 Начало месяца 6 -1,017 0 0 0 55,11 Начало месяца 7 -1 0 0 —Infinity 56,05 Система ограничений, учитывающих риск, имеет следующий вид:

-за, + зв, - id, < о,

-ЗЛ₂ + 3В, + ЗВ₂ - 1D, < О,

—ЗА} + 3В₂ + 2С₃ — \D,< О,

-ЗЛ₄ + 2С₃ + 2С₄ - ID, < О,

-3A_S + 2 С} + 2 С₄ - 10, <0,

-3А₆ + 2 С₄ - 1D, < 0.

Z АІ 81 01 Л2 82 ЛЗ О А4 С4 Л5 А6 Maximize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Начало месяца 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 50 1,117 Начало месяца 2 0 1,017 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 = 0 -1,098 Начало месяца 3 0 0 1,035 0 1,017 0 -1 -1 0 0 0 0 = 0 -1,080 Начало месяца 4 0 0 0 0 0 1,035 1,017 0 -1 -1 0 0 = 0 -1,061 Начало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1,017 0 -1 0 = 0 -1,038 Начало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 1,065 0 0 1,017 -1 = 0 -1,017 Начало месяца 7 -1 0 0 1,115 0 0 0 0 0 1,065 0 1,017 = 0 -1 Риск 1 0 -3 3 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 0 1.3Е-05 Риск 2 0 0 3 -1 -3 3 0 0 0 0 0 0 <= 0 1,1Е—04 РискЗ 0 0 0 -1 0 3 -3 2 0 0 0 0 <= 0 І.2Е-05 Риск 4 0 0 0 -1 0 0 0 2 -3 2 0 0 <= 0 1.7Е-03 Риск 5 0 0 0 -1 0 0 0 2 0 2 -3 0 <= 0 0 Риск 6 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 2 0 -3 <= 0 0 Solution 55,846 2,525 13,763 33,712 2,546 2,1 Е—02 3,9Е—03 16,83 0 0,026 0 17,924 55,846 С учетом риска получаем задачу с 12 переменными и 13 ограничениями. Проводя расчеты, получаем следующие результаты: _

С учетом возможности вложения дополнительных 20 тыс. руб. четвертое ограничение будет иметь вид Решая модифицированную задачу, получаем следующий результат:

1 41 ВІ D\ 42 Bl 43 0 44 C4 45 46 Maximize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Начало месяца 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 50 1,117 Начало месяца 2 0 1,017 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 = 0 -1,098 Начало месяца 3 0 0 1,035 0 1,017 0 -1 -1 0 0 0 0 - 0 -1,080 Начало месяца 4 0 0 0 0 0 -1,035 -1,017 0 1 1 0 0 = 20 -1,061 Начало месяца 5 0 0 0 0 0 0 J 0 1,017 0 -1 0 = 0 -1,038 Начало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 1,065 0 0 1,017 -1 = 0 -1,017 Начало месяца 7 -1 0 0 1,115 0 0 0 0 0 1,065 0 1,017 ⁼ 0 -1 Риск 1 0 -3 3 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 0 0 Риск 2 0 0 3 -1 -3 3 0 0 0 0 0 0 <= 0 0 РискЗ 0 0 0 -1 0 3 -3 2 0 0 0 0 <= 0 0 Риск 4 0 0 0 -1 0 0 0 2 -3 2 0 0 <= 0 1,96E—03 Риск 5 0 0 0 -1 0 0 0 2 0 2 -3 0 <= 0 0 Риск 6 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 2 0 -3 <= 0 0 Solution 77,07 0 3,257 46,743 0 0 0 3,371 0 20 0 3,590 77,07 Ответы: 1. 56051 руб. 2. 1,12 руб. 3. 55846 руб. 4. 205руб. 5. 21019 руб.

Задача 3.

Решение.

Пусть х_ь Х5 — размер вклада в соответствующий проект, х₆, Х7, х₈ — размер вклада в банк, а х₉ —

размер дохода.

*1 Х2 Хі Х4 Х5 Х6 XI ЛЯ Х9 Maximize 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2003 1 0 1 0 1 1 0 0 0 = 20 2004 0,3 -1 0 0 0 1,06 -I 0 0 = 0 2005 1 0,3 0 -1 1,2 0 1,06 -1 0 = 0 2006 0 1 1,75 1,4 0 0 0 1,06 -1 = 0 Проект 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 10 Проект 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 <= 10 Проект 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 <= 10 Проект 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 10 Проект 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 10 Задача описывается с помощью модели линейного программирования:_

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

XI XI АЗ Л4 Х5 Х6 XI Х8 Х9 Maximize 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2003 1 0 1 0 1 1 0 0 0 = 20 1,4554 2004 0,3 -1 0 0 0 1,06 -1 0 0 = 0 -1,318 2005 1 0,3 0 -1 1,2 0 1,06 -1 0 = 0 -1,06 2006 0 1 1,75 1,4 0 0 0 1,06 -1 = 0 -1 Проект 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 10 0 Проект 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 <= 10 0 Проект 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 <= 10 0,2946 Проект 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 10 0,34 Проект 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 10 0 Solution 10 3 10 10 0 0 0 0,9 35,45 35,45 Ответы: 1. 35,45 млн руб. 2. 3 млн руб. 3. В 2005 г. 4. 1,45 руб.