Глава 4 Количественные приемы экономического анализа на базе математической статистики
4.1. Способы изучения корреляционных взаимосвязей
Используемые в экономическом анализе количественные методы базируются на приемах элементарной и высшей математики. Первые образуют блок логико-экономических способов (рис. 2.2) и рассматривались в предыдущих главах. В основе экономикоматематических приемов лежит методика расчетов, применяемая в высшей математике. Для нее характерно изучение вероятностных зависимостей, возникающих в условиях неопределенности, связанных с получением приблизительных результатов, которые могут быть использованы для принятия управленческих решений и в прогнозировании хозяйственной деятельности.Даже краткий перечень экономико-математических способов и приемов позволяет убедиться в их многообразии и значимости для управления бизнесом. Такой перечень включает:
• способы изучения и оценки вероятности в условиях неопределенности при решении хозяйственных проблем, например в управлении рисками (теория вероятности);
• способы изучения линейной и нелинейной зависимости, соотношений в хозяйственных ситуациях для принятия реалистичных деловых решений и составления базисных прогнозов (методы корреляции и регрессии);
• способы изучения и оценки пригодности и надежности применяемых методов прогнозирования деловой активности, сравнения их эффективности и точности; прогнозирование на основе временных радов (методы выделения трендов);
• модели управления запасами и оптимального размера заказа; сложные модели с учетом неопределенного спроса, используемые в перерабатывающей промышленности, в отраслях материально-технического снабжения, в торговле и службе сервиса; поиск компромиссных решений проблем, связанных с затратами на хранение излишних запасов и рисками невыполнения заказов при поддержании запасов на незначительном уровне; модели непрерывной и периодической проверки;
• решение задач оптимизации в условиях ограничений; поиск выхода из ситуаций, требующих максимизации или минимизации зависимости от различных ограничений (линейное программирование, симплексный метод решения задач линейного программирования с более чем двумя переменными, методы решения транспортных задач);
• моделирование в целях анализа возможных альтернативных решений в управлении запасами, при использовании ресурсов, в производственном бизнес-планировании, при анализе рисков, в том числе связанных с рынком производных финансовых инструментов, т.е. с работой на изменчивых и непредсказуемых рынках (разработка имитационных моделей, применение случайных чисел при моделировании переменных, решение задач массового обслуживания);
• приемы сетевого анализа при планировании и реализации взаимосвязанных мероприятий при осуществлении сложных проектов; использование понятий неопределенности и вероятности в ходе оценки сроков и определении ожидаемой продолжительности действий (сетевые графики и графики Ганта, вероятностная оценка проекта методом ПЕРТ).
Использование достаточно сложных количественных приемов анализа деятельности становится весьма актуальным в современном бизнесе, поскольку облегчает принятие менеджерами реалистичных хозяйственных решений.
В данной главе рассматриваются способы изучения соотношений на основе стохастического, корреляционного анализа, а также базовые способы и модели прогнозирования деловой активности.
Стохастические связи между различными явлениями и их признаками в отличие от функциональных, жестко детерминированных, характеризуются тем, что результативный признак (зависимая переменная) испытывает влияние не только рассматриваемых независимых факторов, но и подвергается влиянию ряда случайных (неконтролируемых) факторов. Причем полный перечень факторов не известен, так же как и точный механизм их воздействия на результативный признак. В этих условиях значения зависимой переменной тоже не могут быть измерены точно. Их можно определить с определенной вероятностью, поскольку они подвержены случайному разбросу и содержат неизбежные ошибки измерения переменных.
При изучении стохастических взаимосвязей аналитика должны интересовать не только наличие и количественная оценка соотношений, но форма связи результативного и факторного признаков, ее аналитическое выражение. Решить эти проблемы помогает корреляционный и регрессионный анализ.
Корреляционный анализ ставит задачу измерить тесноту связи между варьирующими переменными и оценить факторы, оказывающие наибольшее влияние на результативный признак.
Регрессионный анализ предназначен для выбора формы связи, типа модели, для определения расчетных значений зависимой переменной (результативного признака).
Методы корреляционного и регрессионного анализа используются в комплексе. Наиболее разработанной в теории и широко применяемой на практике является парная корреляция, когда исследуются соотношения результативного признака и одного факторного признака. Это — однофакторный корреляционный и регрессионный анализ. Именно такой анализ является основой для изучения многофакторных стохастических связей.
Сосредоточим внимание на методике однофакторного корреляционного и регрессионного анализа.
Для анализа близости соотношения двух переменных может использоваться достаточно объективный показатель, каким является линейный коэффициент корреляции (г). Он измеряет степень линейной зависимости между двумя переменными, одна из которых — результативный показатель (у), а другая — факторный (х). Величина коэффициента корреляции находится в пределах от —1 до +1. Наличие определенной зависимости между двумя переменными характеризуется значениями г, близкими к +1 или —1. Алгоритм расчета этого коэффициента следующий:
у — средняя арифметическая результативного показателя; п — число данных в выборке.
Рассмотрим зависимость между выручкой от продаж и расходами на рекламу (без учета инфляции) и оценим характер соотношения между обеими переменными с помощью коэффициента корреляции. Результативным показателем является выручка от продаж (у), а факторным — затраты на рекламу (х). Исходная информация с января по июль:
Производные величины для определения коэффициента корреляции
х = 1936; у = 5266,4. Теперь есть все необходимые данные для расчета коэффициента корреляции:
_22418-7x44x72,57_
^/(13664 - 7x193б)х (37 042 - 7 х 5266,4)
=_Ytxy~nxy_
-6^4._ = 66-44 = 0,4716. ф9 846,4 140,88
Полученное значение коэффициента корреляции достаточно трудно истолковать, поскольку оно является промежуточным между единицей и нулем, т.е. между высокой корреляцией и ее отсутствием. Значимость коэффициента корреляции во многом зависит от объема выборки. При выборке 50 пар значений коэффициент корреляции, равный 0,35, будет иметь ббльшую значимость, чем 0,63 при выборке 10 пар.
Для того чтобы коэффициент корреляции был более доказательным, необходимы дополнительные исследования выборки за более продолжительный период.
Альтернативным показателем степени зависимости между двумя переменными является коэффициент детерминации, представляющий собой возведенный в квадрат коэффициент корреляции (г2). Коэффициент детерминации выражается в процентах и отражает величину изменения результативного показателя (у) за счет изменения другой переменной — факторного показателя (х).
По результатам нашего примера, приведенного выше, коэффициент детерминации составил: г — 0,47162 = 0,2224 = 22,24%. Это означает, что более 22% изменений в выручке от продаж связаны с изменениями в расходах на рекламу.
Надо отметить, что в зарубежной практике уже 20%-ный уровень зависимости выручки от продаж от расходов на рекламу является сигналом для продолжения рекламирования.
В практических расчетах могут встречаться ситуации, когда переменные не могут быть измерены точно или достаточно достоверно. В подобном случае целесообразно соотношения между двумя переменными измерить с помощью коэффициента ранговой корреляции:
' -»--——>
л(л2-1)
где d — разница между парами рангов.
Используем этот алгоритм для расчета указанного коэффициента корреляции на основе исходной информации о соотношении изменений выручки от продаж и затрат на рекламу с января по июль, приведенной выше. В табл. 4.2 сопоставлены результаты ранжирования.
Производные величины для определения коэффициента корреляции ранжирования
ир-l) 7(49-1)
180
336
= 1-0,5357 = 0,4643 ;
г2 = 0,46432 =0,2156x100 = 21,56 %.
Из примера видно, что ранее рассчитанный коэффициент корреляции (0,4716) и коэффициент корреляции ранжирования (0,4643), исчисленный на основе тех же исходных данных, очень близки по своему значению. Однако возможны случаи, когда корреляция между рангами двух наборов данных не будет сопровождаться корреляцией между фактическими значениями этих наборов. В таком случае целесообразно увеличить выборку, получить дополнительную информацию и более убедительные результаты расчетов.
Для определения зависимости между двумя или более переменными используются методы регрессии, когда зависимость между результативной переменной (у) и факторной переменной
(х) может быть представлена в математическом виде, например для линейной зависимости таким алгоритмом:
у = а+Ьх.
Это уравнение линии регрессии — прямолинейное уравнение, отражающее взаимосвязь у их, позволяющее исчислить ожидаемое значение у при заданном значении х. В необходимых случаях такие расчеты могут быть использованы при прогнозировании.
В приведенном уравнении прямой а и Ь являются параметрами регрессии, которые надо определить. Коэффициент а выступает как константа — постоянная величина результативного показателя, не зависящая от изменения фактора. Параметр b отражает среднее изменение результативного показателя вслед за изменением величины фактора.
Для определения параметров регрессии (а и в) используют систему уравнений, полученных по способу наименьших квадратов:
f?y = «a=ft?jc;
Напомним, что под п имеется в виду количество наблюдений.
Рассчитаем параметры регрессии, используя приведенную выше информацию (табл. 4.1) о зависимости выручки от продаж от затрат на рекламу.
Подставим конкретные производные величины из табл. 4.1 в систему уравнений:
508 = 7d + 3086,
22 418 = 308<з +136646 .
Умножим все члены первого уравнения на среднюю величину х, которая в нашем случае равна 44:
44 х 508 = 44 х 7а + 44 х 3086.
Тогда система уравнений примет вид:
(22352 = 308а + 13 5526,
[22 418 = 308а+ 13 6646 '
Если из второго уравнения вычесть первое, то получим:
66 = 1126; 6 = 66:112 + 0,5893.
Параметр а рассчитывается на основе первого уравнения в их системе по алгоритму:
У у-ЬУх
(2 = —-— '
П
508-0,5893x308 „, ,.
а =-:-= 46,64 .
7
Подставив полученные значения параметров а и Ь, можно составить уравнение связи, описывающее зависимость выручки от продаж от затрат на рекламу в нашем примере:
у= а + Ьх = 46,64 + 0,5893*.
Полученное уравнение связи можно использовать для прогнозирования суммы продаж, если затраты на рекламу, например, изменятся и составят 65 тыс. руб.
у = 46,64 + 0,5893* = 46,64 + 0,5893x65 тыс. руб. = 85 тыс. руб.
Зависимость между изучаемыми явлениями может быть не только прямолинейной. При увеличении одного показателя значения другого могут снижаться после определенного роста и уровня. Именно такая зависимость существует, например, между производительностью труда и возрастом работников, себестоимостью продукции и объемом производства. В этих случаях речь должна идти о криволинейной зависимости между результативными и факторными переменными.
Для математического отражения криволинейной зависимости используется уравнение гиперболы:
ь
у=а+—. д;
Параметры а и b определяются с помощью такой системы уравнений:
Существуют разные типы математических уравнений для определения характера и степени зависимости между изучаемыми переменными: гиперболы, параболы второго, третьего и четвертого порядков, квадратические, степенные функции и др. Аналитик должен выбрать математическое уравнение, адекватное характеру соотношения между переменными, соответствующее целям экономического анализа, необходимой степени его детализации, техническим возможностям проведения.
Качество корреляционно-регрессионного анализа обеспечивается выполнением ряда условий, среди которых — однородность исследуемой информации, значимость коэффициента корреляции, надежность уравнения связи (регрессии).
Однородность информации оценивается в зависимости от относительного ее распределения около среднего уровня. Критериями служат среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации, определяемые по каждому факторному и результативному показателю.
Среднеквадратическое отклонение (о) характеризует абсолютное отклонение индивидуальных значений от средней арифметической и рассчитывается по алгоритму
Относительную меру отклонений от средней арифметической, или коэффициент вариации (V), определяют по формуле
Незначительной признается вариация, не превышающая 10%. Нетипичные наблюдения надо исключить из расчетов, если коэффициент вариации превышает 33%.
Значимость коэффициента корреляции может быть оценена с помощью /-критерия Стьюдента. Алгоритм расчета этого критерия при линейной однофакторной связи такой:
Если полученное эмпирическое значение критерия (/э) будет больше критического табличного значения (/э > /Д, то коэффициент корреляции можно признать значимым.
Значимость коэффициентов простой линейной регрессии (а и Ь) также может быть установлена с помощью /-критерия Стьюдента. Кроме того, адекватность однофакторной регрессионной модели можно оценить с помощью /’-критерия Фишера, алгоритм которого выглядит таким образом:
где т — число параметров в уравнении регрессии;
п — объем выборки, количество наблюдений;
Су — дисперсия по линии регрессии;
о ост — остаточная дисперсия.
Если эмпирическое, расчетное значение /’-критерия окажется выше табличного (/э > /т), то уравнение регрессии надо признать адекватным, надежным, правомерным для использования в практических целях, поскольку чем выше величина критерия Фишера, тем точнее в уравнении связи представлена зависимость, сложившаяся между факторными и результативными показателями.
Деловые решения нередко связаны с необходимостью четко определить проблемную и наиболее эффективную в перспективе зону для направления усилий в конкретную область бизнеса. Для этого важно знать сравнительную силу влияния отдельных факторов, например, при использовании многофакторных регрессионных моделей, чтобы сделать правильный вывод о роли воздействия того или иного факторного признания на результативный. В таких случаях аналитикам может помочь использование коэффициентов эластичности и бэтта-коэффициентов.
'Частные коэффициенты эластичности (Э,) показывают, какого роста результативного признака в процентах можно ожидать с возрастанием факторного признака на один процент. Алгоритм расчета:
%=ьА.
Уі
Надо иметь в виду, что коэффициенты регрессии не отражают того, какой из факторов сильнее влияет на результативный признак, поскольку коэффициенты измерены в разных единицах, не учтена вариация факторных признаков, т.е. они несопоставимы.
Сопоставимыми переменные в уравнении регрессии будут в том случае, если их выразить в долях среднеквадратического отклонения (а), т.е. рассчитать стандартизированные бетта-коэф-фициенты (Р/):
где ахі — среднеквадратическое отклонение /-го фактора;
о, — среднеквадратическое отклонение результативного показателя.
Чем выше бетта-коэффициент, тем сильнее воздействие анализируемого фактора на результативный признак, так как р-коэф-фициент отражает, на какую часть своего среднеквадратического отклонения изменится результативный показатель с изменением факторного признака на величину одного его квадратического отклонения.
Аналитикам в необходимых случаях для выполнения квалифицированного корреляционного и регрессионного анализа целесообразно обратиться к специальной литературе по теории статистики.
4.2. Базовые способы и модели прогнозирования деловой активности
Получение надежных оценок будущих показателей, например, спроса на товары, стоимости материалов или готовой продукции, величины затрат — важный этап в процессе принятия текущих и долгосрочных управленческих решений. Выше были рассмотрены методы прогнозирования с помощью приемов регрессии при изучении причинно-следственных связей между показателями. Метод регрессии применяется также при прогнозировании временных рядов, исходя из прошлых, исторических данных.Анализируя значения временного ряда, надо иметь в виду его составляющие: тренд, циклические, сезонные и случайные колебания. Если тренд — это общая направленность изменений каких-либо значений, то колебания относительно линии тренда для периода свыше одного года представляют собой циклические колебания, как правило, соответствующие циклам деловой активности, — спаду, оживлению, росту, застою.
После анализа тренда и циклических колебаний следует вычленить из временного ряда сезонные колебания внутри года. Объем продаж и сумма выручки в зимние месяцы могут быть выше, чем в летние. Неравномерная в течение года динамика относится и к другим показателям деловой активности, например к ценам на отдельные виды товаров, транспортным издержкам, к расходам по сбыту и т.д.
Случайные колебания из названных выше составляющих временного ряда нельзя заранее предусмотреть. Это поставка материалов низкого качества, поломка оборудования, какие-либо чрезвычайные обстоятельства в хозяйственной деятельности. Такие колебания представляют собой беспорядочные отклонения, которые важно учитывать при оценке вероятной точности используемой модели прогнозирования.
Для выделения тренда используют разные приемы сглаживания, в том числе скользящих средних и экспоненциальное. Скользящие средние могут рассчитываться по трем, пяти, семи значениям временного ряда или по четным значениям. От количества точек при вычленении скользящих средних зависит степень сглаживания, снятие колебаний по отношению к линии тренда. Использование малого количества значений облегчает расчеты, однако снижает возможность получения объективного тренда.
Рассмотрим порядок расчета трехточечных скользящих средних на примере изучения динамики выручки от продаж в течение девяти лет, с 1992 по 1999 г. включительно (табл. 4.3). Для определения средней последовательно находят сумму трех значений и делят ее на три. Значение скользящей средней ставится в таблице по центру диапазона взятых значений. Для 1992 г. скользящая средняя рассчитана так: (280 + 220 + 210) : 3 = 236,67, для 1993 г. - (220 + 210 + 260) : 3 = 230,0 и т.д.
Для устранения колебаний в ряде значений можно использовать экспоненциальное сглаживание. Расчет сглаженных значений в этом случае производится по алгоритму
St = aXt +(1 -а)5,„і ,
где S, — текущее сглаженное значение;
"S/-1 — предыдущее сглаженное значение; X, — текущее значение временного ряда; а — сглаживающая константа.
Выделение тренда несколькими методами, млн руб.
скользящие
средние
Продолжим приведенный выше пример и рассчитаем экспоненциальные сглаженные значения (см. гр. 4 в табл. 4.3). Сглаженное значение 1991 г. совпадает с фактическим значением, поскольку предыдущие данные отсутствуют. Для 1992 г.) расчет будет таким при а = 0,3:
S, = 0,3JSf, + (1 - 0,3) SM = 0,3x220 + 0,7x280 = 262,0.
Для 1993 г.: S, = 0,3x210+0,7x262,0 = 246,4 и т.д.
Продолжим пример и определим прогнозные экспоненциально сглаженные значения временного ряда для 2000 и 2001 гг., используя метод регрессии. Расчет параметров регрессии а и Ъ производится на основе системы уравнений, полученных способом наименьших квадратов:
І2>=«2>+*2>2.'
Выше (п. 4.1) подробно описана методика расчетов показателей. Здесь мы обратимся к полученным результатам. В 2000 и 2001 гг. экспоненциально сглаженные значения соответственно составят 265,44 и 266,3 млн руб.
По прогнозу на эти годы сумма выручки от продаж в 2000 г. будет равна 234 млн руб. (0,3 Xt = 265,58 — 0,7 х 278,91 = 70,34; Xt = 70,34 : 0,3 = 234,47), а в 2001 г. - 268 млн руб. (0,3 Xt = = 266,30 - 0,7 х 265,58 = 80,39; Xt = 80,39 : 0,3 = 268).
С удалением горизонта прогноза достоверность расчетов будет снижаться.
Обратимся к сезонной составляющей временнбго ряда. Сезонные колебания достаточно часто сопровождают динамику, например, в торговой и сбытовой деятельности, в ряде производств добывающей и перерабатывающей, в пищевой промышленности. При оценке сезонных колебаний используются два метода — сложения и умножения.
Первый целесообразно применять тогда, когда сезонные составляющие относительно постоянны по всему анализируемому периоду. Значение временнбго ряда в этом случае представляет собой сумму тренда и сезонной составляющей.
Метод умножения целесообразно использовать, когда сезонные колебания пропорциональны значениям тренда по всему периоду. Значения временнбго ряда будут представлять собой произведение тренда и сезонной составляющей, рассчитанной как отношение исходного значения к значению тренда, который, в свою очередь, может быть определен на основе, например, скользящих средних.
Прогнозируемые показатели каждого сезона предстоящего года будут представлять собой сумму тренда и среднего значения сезонного колебания в соответствующем периоде. Рассмотрим пример расчета прогнозных значений временнбго ряда на основе данных табл. 4.4.
В данном примере для прогнозной оценки объемов продаж по сезонам 2000 г. использован метод сложения. Тренд выделен с помощью трехточечных скользящих средних, а значения 2000 г. рассчитаны уравнением регрессии. Прогнозируемые объемы продаж в каждом из периодов 2000 г. исчислены как сумма оценочных показателей тренда и средних значений сезонных колебаний в каждом сезоне (табл. 4.5). Например, среднее отклонение (колебание) за май — август 1997—1999 гг. определяется так: (9,33 + + 11,67 + 12,33 : 3 = 11,11) и тщ.
Исходные значения временнбго ряда объема продаж (тыс. т) и производные величины
продаж
чечные
скользящие
средние
нения
циенты
Средняя величина отклонений и коэффициентов за каждый сезон в течение трех лет
нение
фициент
нение
фициент
нение
фициент
сезонных отклонений будут равны частному от деления исходных значений на значения тренда, например на скользящие средние (см. коэффициент в табл. 4.4). В этом случае прогнозные показатели рассчитываются путем умножения тренда на средние значения коэффициента отклонений (метод умножения), рассчитанные для каждого сезона (табл. 4.5).
В нашем примере объем продаж в январе — апреле 2000 г. составит 78 млн т (76,46 х 1,02); в мае — августе — 92 млн т (78,77 х 1,17); в сентябре — декабре — 65 млн т (81,06 х 0,805). При сравнении результатов расчетов способами сложения и умножения заметны расхождения во втором и третьем сезонах 2000 г.
Иногда трудно выбрать метод расчета. Считается, что при почти одинаковых колебаниях исходных значений целесообразно применять метод сложения. Если колебания изменяются вслед за динамикой тренда, то более точным может быть метод умножения.
Вычленение и анализ такого элемента временных рядов, как случайные колебания, может использоваться для определения вероятных ошибок и оценки надежности модели прогнозирования. Случайные колебания расцениваются как ошибки прогноза. Разность между фактическими и прогнозируемыми значениями характеризует допущенную ошибку. Для оценки ошибок существуют статистические показатели — средняя ошибка и среднеквадратическая ошибка. Чем меньше значения этих критериев, тем больше надежность прогнозной модели.
Обычно для признания модели объективной ее проверяют путем сравнения фактических и прогнозных показателей, прежде чем использовать в дальнейших исследованиях. Эффективным может оказаться прием, когда прогнозная модель формируется исходя из усеченных исторических данных, т.е. фактические значения последнего периода исключаются из прогнозных расчетов и используются как фактические показатели для оценки прогноза. Надежность модели зависит от протяженности временного ряда, как правило, не менее 4—5 лет, причем без нетипичных данных.
У аналитика практически всегда есть выбор из нескольких моделей прогнозирования, и необходимо сделать его правильно, в пользу наиболее объективной модели, способной помочь в принятии эффективного делового решения.
На точность прогнозов могут оказать влияние непредвиденные обстоятельства и внешние факторы: стихийные бедствия, изменения валютнообменных курсов и процентных ставок, смена конкурентами политики ценообразования и т.д. Такие факторы
невозможно заранее предусмотреть, и они не включатся в модель прогнозирования. Однако аналитики должны иметь в виду определенную вероятность появления внешних дополнительных факторов и возможные их последствия, используя в аналитической практике подготовку нескольких вариантов прогнозов.
Вопросы и задания для контроля и обсуждения на практических занятиях
1. В чем состоят отличия стохастических связей от функциональных?2. Почему стохастический анализ имеет вспомогательный характер? Каковы задачи корреляционного и регрессионного анализа?
3. Линейная и ранговая корреляция: алгоритмы расчетов. Изложите порядок расчета и использования коэффициента детерминации.
4. Раскройте параметры однофакторной линейной регрессии (уравнения прямой): порядок расчета и интерпретацию.
5. Каковы методы измерения соотношений между разными переменными и направления использования результатов в целях управления. Как методы регрессии применяются для получения простых прогнозов?
6. Назовите базовые методы прогнозирования на основе анализа временных рядов, изложите способы вычленения нескольких составляющих из фактических (исторических) показателей.
7. Охарактеризуйте составные элементы временных рядов и их интерпретацию (тренд, сезонные, циклические и случайные колебания).
8.Оценка пригодности и эффективности модели, использованной для прогнозирования, и анализ ошибок.
9. Каковы внешние факторы, влияющие на переменные, и их воздействие на надежность прогнозов?
Тесты
1. Определите степень корреляции между месячными расходами на рекламу и выручкой от продаж по набору взаимозаменяемых товаров широкого потребления в течение трех кварталов. Прокомментируйте результаты.1)0,702; 2) 0,693; 3) 0,687.
затели
варь
раль
рель
густ
тябрь
1) 0,65; 2) 0,61; 3) 0,59.
3. Определите коэффициент детерминации по условию теста 1. Интерпретируйте уровень этого коэффициента.
1) 0,48; 2) 0,52; 3) 0,45.
4. Какой из трех коэффициентов корреляции более значим? Аргументируйте, почему.
1) г = 0,8 при выборке 10 пар значений.
2) г = 0,7 при выборке 10 пар значений.
3) г = 0,3 при выборке 200 пар значений.
5. При коэффициенте корреляции, равном нулю, может ли существовать определенная зависимость между переменными?
1) да; 2) нет; 3) в определенном случае.
6. Какая зависимость между переменными отражена в приведенных ниже уравнениях:
1) у = а + Ьх; 2) у = а+— .
х
1.1) однофакторная прямолинейная 2. 1) уравнение параболы; зависимость;
2) многофакторная криволинейная 2) однофакторная криво-
зависимость; линейная зависимость;
3) уравнение гиперболы. . 3) двухфакторная прямо
линейная зависимость.
7. А. Параметры какой регрессии рассчитываются с помощью приведенной ниже системы уравнений?
Б. Какой из параметров регрессии является константой?
[ = па + Ь^х
I?ху = аИх + ЪЦх2-
А. 1) криволинейная регрессия; Б. 1) а;
2) прямолинейная регрессия; 2) Ъ;
3) однофакторная прямо- 3) а и Ъ.
линейная регрессия.
8. Какими будут параметры регрессии, рассчитанные на основе исходной информации в тесте 1 о зависимости между выручкой от продаж и затратами на рекламу?
1) у = 0,7211 + 1,5545 х;
2) у = 0,5828 + 1,5546 х;
3) у = 0,6113 + 1,4008 X.
9. Какой будет прогнозируемая сумма выручки от продаж, если затраты на рекламу составят 5,5 тыс. руб.?
Для расчета используйте уравнение связи, полученное в тесте 8.
1) 9,3 тыс. руб.; 2) 9,1 тыс. руб.; 3) 8,3 тыс. руб.
10. Рассчитайте по тренду прогнозные значения временнбго ряда на 2000 и 2001 гг. Тренд выделите с помощью трехточечных скользящих средних. Прогнозные значения скользящих средних определите на основе уравнения регрессии.
2- Угооо = 304 тыс. шт.; 3. У2000 = 320 тыс. шт.;
Угооі = 310 тыс. шт. Угооі = 325 тыс. шт. У2001 340 тыс. шт.