Анализ Фурье

9.1. Введение.

В этой главе излагается метод аппроксимации эмпирической зависимости тригонометрическим рядом Фурье. Даны формулы, позволяющие по реальной выборке вычислить коэффициенты Фурье, амплитуду и фазу гармоник. Рассказано, как строится амплитудно-частотная характеристика разложения, и как она используется для выделения гармоник с максимальной амплитудой.

9.2. Численный анализ Фурье.

Пусть выборка значений фактора Х и отклика Y задана в виде массива (x_n,y_n),n = 0,...,N, содержащего N +1 точку,

причем все значения фактора Х упорядочены по возрастанию и равноотстоят друг от друга. Будем считать, что величина Х изменяется в интервале (0, X_max ), следовательно выборка фактора

Х задается рядом x_n = X_max • n / N .

Если принято решение о том, что связь переменных Х и Y носит периодический характер, то аппроксимировать зависимость Y от Х на интервале (0, X_max ) необходимо тригонометрическим рядом, то есть функцией вида:

a_m cos m

2лх ' ₇ . ( 2лх

- + b_m sin m-

max J V max J

X ^m X

^ mov / V X\. )

Данная функция зависит от (2М+1) параметра (a₀,a₁,...,a_M,b₁,...,b_M) . Так как количество неизвестных параметров 2M +1 не должно превышать объем выборки N +1 , то M < N/2.

Наилучшим приближением будет тригонометрический ряд с таким набором параметров, который минимизирует сумму квадратов отклонений этого ряда от выборочных значений отклика Y, то есть

^S = Z ^[Уп ^{- f (x}n ^)]2 ^ ^min

n=1

Без доказательства приведем формулы для искомых параметров:

определения

2 ( 2 т Л

N

2wn

_т =—X y_n cos| m-I 0 < m < M

^N n=0 2 ^N—

^Ьт = N X Уп ЙПІ ^m— I 1 < ^m < ^M

Определенные по этим формулам параметры называют коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд с такими коэффициентами является рядом Фурье. Тогда аппроксимация величины Y рядом Фурье в точке x_n = X_max п / N будет равна:

a ^M

fn = ^a+X

² m=1

( 2m Л ₇ . ( 2m

a_m cos| m-I + b_m sin| m-

При увеличении количества гармоник М эта аппроксимация все точнее описывает выборочные значения величины Y, и наконец при M = N /2 для любого п становится справедливым

р^{авенство} Уп = ^fn.

Однако, наша задача состоит не в том, чтобы с абсолютной точностью аппроксимировать исходную выборку, то есть включить в математическую модель все наблюдающиеся особенности конкретной выборки, в том числе и те, которые в действительности носят случайный характер. Нам нужно найти всего несколько наиболее значимых гармоник, то есть гармоник, имеющих максимальную амплитуду. Для этого необходимо построить и проанализировать амплитудно-частотную характеристику разложения.

9.3. Амплитудно-частотная характеристика.

Введем параметры (R_m,?_т), которые назовем амплитуда и фаза соответственно. Эти величины связаны с параметрами (a_m, b_m ) следующими соотношениями:

^bm

-arctg—^m

^am

^Rm =V ^al + ^bm ^am = ^Rm ^C0^m

?

m

^bm

R_m sin ?„

133

Тогда, заменив параметры (a_m, b_m ), разложение Фурье можно

переписать в виде

м

fn =

^-0

2

z

m=1

м

R_m cos ?_т cosl m

2m

- R_m sin ?„ sinl m

2m

2m _

m-+ ?„

f_n = — + Z R_m cosl

2 m=i [ n j

Назовем частотой колебаний величину о _m = m / N . Полный

набор частот называется спектром разложения. Тогда окончательно получаем a ^м

fn = -f +Z Rm

² m =1

Смысл приведенных выше преобразований состоит в том, чтобы перейти от ряда из синусов и косинусов к ряду из одних косинусов. Если теперь построить график, где по оси абсцисс отложена частота, а по оси ординат отложена амплитуда, то есть график в координатах (о _m, R_m ), то наглядно будет видно, при каких значениях частоты наблюдаются максимумы амплитуды. Такой график называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). С помощью АЧХ мы получаем возможность выбрать из разложения Фурье только самые значимые гармоники и пренебречь остальными. Заметим, что период колебания связан с частотой соотношением T_m = 1/ o_m.

При необходимости аналогичным образом можно построить фазочастотную характеристику (ФЧХ), то есть график в коорд^{инатах (о} m ?m ⁾ .

cos

((топ + ? _m)

mm

9.4. Пример выделения основной гармоники с помощью анализа Фурье.

Рассмотрим выделение основной гармоники с помощью анализа Фурье на примере выборки, состоящей из 256-ти точек (^хп,У_п),п = 0,...,255. График исходных данных приведен на рисунке.

134

б-.

¦ Исходные данные

4-

2-

¦¦¦Л

¦ ¦ ¦

.*ч* ?* ч

¦ ¦>*

<*

¦<г

-2-

-4-

¦Л#е

¦ ¦¦¦

¦ ¦ *>/¦

%^^?

« ¦

/л

¦ ¦¦% ¦

20^-4

¦ ²⁵V* *\ ¦ <* П*

*?/

250

300

-б-І

Этот график дает основания предположить, что связь переменных Хи Y носит периодический характер. По методике, изложенной в предыдущих 2-х параграфах, представим аппроксимирующую функцию рядом Фурье и построим амплитудночастотную характеристику.

АЧХ

Максимум амплитуды находится в начальной части спектра. Рассмотрим подробнее этот участок.

135

АЧХ

частота

При ближайшем рассмотрении оказывается, что максимум амплитуды приходится на частоту а ~ 0.01 (период T ~ 100). Учитывая, что а _m = m / N, рассчитаем для этого значения частоты коэффициенты разложения Фурье: ^am = ^a(Pm ⁾ = -°.¹⁰49 bm = b(a_m ) = -2.8918

Используя эти данные, вычисляем амплитуду и фазу основной гармоники:

Rm = 2.8934

?m = 1.6070

Таким образом, Фурье-аппроксимация исходных данных и

ошибки модели будут вычисляться по формулам

f_n = R_m cos(2n®_mn + ?_п )= 2.8934 • cos(2n- 0.01- n +1.607)

e = y - f

n У n J n

Приведем график исходных данных вместе с Фурье-аппроксимацией и график остатков (ошибок модели).

136

6-,

¦ Остатки

4-

¦ ¦ ¦ .

К *4 4«l V »\|» Ч~ $^fH ' *»4*%t4»* *»f⁴4l*

2

0

-2

-4-1

¦ > V»' ¦* »V.¦ >Л? ^т,г ¦ <

: У*⁴⁴ *¦ 30^*\ 4*0Ю^# ** ^5о % /200_#WV *250

І ¦ ¦¦ * ¦ « ¦ * 4 »4

4 ¦ ¦

300

-6

Очевидно, что ошибки аппроксимации носят непериодический характер. В противном случае нужно было бы повторить всю процедуру, используя в качестве исходной выборки эти ошибки, и повторять ее до тех пор, пока не будут выделены все значимые гармоники.

Па практике, при изучении динамики цен активов не рекомендуется использовать для аппроксимации этих рядов более трех гармоник Фурье.