Глава 1. Обзор достигнутых результатов в сфере применения систем управления активами и пассивами

§1. Обзор Западного опыта

1.1. Общие замечания

Динамические модели управления активами и обязательствами (ALM) нашли свое наиболее успешное применение в сфере долгосрочного финансового планирования, где необходимость неоднократного принятия решений определяется существом процесса.

Примеры работы методики ALM включают такие реализованные модели, как модель Frank Russel Company для “Мицубиси” [18], модели для Швейцарского банка, для пенсионных фондов, страховых компаний и ряд других применений, описанных в литературе.

Данный краткий обзор посвящен использованию математических моделей и соответствующих вычислительных комплексов для выбора оптимальной инвестиционной политики долгосрочных инвесторов. При этом учитывается, что ограничения институционального характера, финансовые потоки со своими неопределенностями, операционные издержки, налогообложение и тому подобное являются главными моментами в практическом финансовом планировании.

Пользователи

Описываемые далее области применений включают в себя пенсионные программы, страховые компании, инвестиционные конгломераты, банки, университетские фонды, сбережения состоятельных физических лиц и простых граждан. Эти инвесторы имеют различные собственные цели и обязательства. В процессе принятия инвестиционных решений возникают риски, которые должны измеряться в контексте той финансовой ситуации, в которой оказалась организация или физическое лицо.

Трудности внедрения

Несмотря на очевидность того, что решения о распределении и перераспределении активов имеют существенное значение для инвесторов с диверсифицированными портфелями, многие инвесторы не проводят управление путем активного комбинирования своих стратегических активов. Почему же эти инвесторы игнорируют стратегическое планирование? Причина в следующем.

Имеются лишь немногие компьютерные системы для оценки решений по размещению активов. Для анализа необходимо учитывать единственный в своем роде многочисленный набор преходящих обстоятельств инвестора, и существующие системы не позволяют охватить все это разнообразие. Так, для каждого инвестора должен быть построен уникальный сценарий развития событий, который должен быть логически непротиворечивым и основываться на здравых экономических принципах. Параметры генератора сценариев должны подгоняться к архивной базе данных и к опыту прошлого развития. Стохастическая модель должна принимать в расчет изменчивость экономических условий, например изменение процентных ставок и валютное регулирование. Поведение конкретного инвестора и расположенность его к риску тоже должны приниматься в расчет. Оптимизационная модель должна учитывать управление активами, обязательствами и целевыми выплатами, растянутыми во времени. Все это представляет собой сложную техническую задачу объединения всех перечисленных элементов в единую систему стохастической оптимизации.

Практические приемы

У крупных инвесторов управление активами, т.е. перераспределение их между различными инвестиционными инструментами, обычно состоит из двух шагов. Сначала задаются гарантированные контрольные величины для главных категорий активов (крупные вложения в акционерный капитал, активы, приравненные к наличности, облигации, ценные бумаги обращающиеся на международных рынках и т.д.). После того как такие контрольные значения установлены, инвестор (или инвестиционный комитет) нанимает менеджеров, которые пытаются “превзойти индексы”. Они могут, например, покупать бумаги индексных фондов. (Индексный фонд -взаимный инвестиционный фонд, портфель которого привязан к определенному фондовому индексу, и капиталовложения делаются в ценные бумаги, входящие в данный индекс.) Обычно около одной четверти активных менеджеров “побивали опорные ставки”, но например с 1996 г. по 1998 г. в игре на широко распространенный индекс S&P 500 таких менеджеров было намного меньше. (Составной индекс S&P 500 из 500 акций, рассчитываемый и публикуемый агентством “Стандард энд Пурз”, - один из важнейших фондовых индексов США: 80 % стоимости ценных бумаг на Нью-йоркской бирже; включает акции 400 промышленных, 20 транспортных, 40 финансовых, 40 коммунальных компаний; цены взвешиваются в соответствии с количеством акций каждой компании, т.е. влияние каждой акции пропорционально капитализации компании; индекс рассчитывается непрерывно; базовый период 1941-1943 гг.; базовое значение - 10.) Активным менеджерам надлежит достигнуть или превзойти свой индекс, в противным случае они окажутся перед лицом увольнения. Портфельному менеджеру обычно дается несколько лет работы, чтобы убедиться в его профессиональной квалификации и снизить шансы на наличие случайной удачи в результатах его управления.

Периодически к вопросу стратегического размещения ценных бумаг возвращаются снова. Как правило, оценка качества решений по размещению финансовых средств дается, по крайней мере, раз в год на заседании совета директоров компании. В частности, этот вопрос исследуется в [19]. Рассматривается семь репрезентативных американских клиентов компании “Фрэнк Рассел”, которые длительное время использовали профессиональных финансовых менеджеров, чьей целью было “побить опорные ставки с уменьшенным (пониженным) риском” на протяжении 16 кварталов, начиная с января 1985 г. и кончая декабрем 1988 г. Определенный набор ценных бумаг с фиксированной структурой включал в себя: 50% обыкновенных акций американских компаний, 5% обыкновенных акций неамериканских компаний, 30% бумаг с фиксированным доходом (облигации и привилегированные акции, которые приносят фиксированную ставку процента или дивиденда; они более привлекательны в период низкой инфляции), 5% бумаг от вложений в недвижимость и 10% активов, приравненных к наличности. Набор формировался заново ежеквартально. Результаты, полученные исследователями, показывают, что такая “наивная политика” размещения средств сопровождается большой волатильностью (дисперсия целевой функции к году).

Оценки погрешностей

Статьи [20 - 22] касаются статических задач выбора портфеля при целевой функции в виде линейной комбинации среднего и дисперсии. В [20] показывается, что ошибки в оценке среднего значения оказывают решающее воздействие на точность формирования портфеля. При этом погрешности в оценке средних оказываются приблизительно в десять раз более существеннее, чем погрешности в оценке дисперсии. В [21] проводится дальнейшее изучение этой темы, рассматриваются способы отбора входной и выходной информации с целью получения лучших инвестиционных решений. В [22] разработана модель, которая позволяет проследить по истечении некоторого времени за воздействием различных источников на “результат работы” данного портфеля. А именно, капитал распределяется между разными портфелями: ранее предполагавшихся оптимальными, портфелями, интуитивно предпочитаемыми экспертами - менеджерами, портфелями, находящимися под воздействием юридических, политических, диверсификационных и иных ограничений.

Риски

Развитие стохастических моделей многошагового управления активами приводит к улучшению статических стратегий. Вместо прежнего, пассивного управления в интервале времени между заседаниями инвестиционного комитета методы динамического перераспределения активов позволяют постоянно держать портфель соответствующий изменяющимся внешним условиям. Во многих статьях указанного сборника работ [14] демонстрируется превосходство стохастических динамических моделей над стратегиями с фиксированной структурой портфеля, стратегиями купли - владения и т.п. (Стратегия купли - владения - инвестиционная стратегия, заключающаяся в покупке и владении акциями определенной компании на протяжении длительного срока.) Динамические стратегии формально устанавливают взаимоотношение между рисками, которым подвергнуты активы и обязательства, и достижением финансовых целей.

Необходимо установить различие между внутренним и ситуативным риском. Внутренний риск относится к отдельно взятой разновидности ценных бумаг, например к акциям “Майкрософта”. Цена этих акций может увеличиваться или уменьшаться вслед за движением рынка. Такой риск не может быть устранен с помощью дивер-сификационных стратегий инвесторов, вкладывающих средства только в покупку активов. В противоположность этому риски, не имеющие отношения к движениям рынка, а именно несистемные риски (называемые также нерыночными), могут быть уменьшены с помощью диверсификации. Для инвесторов, имеющих долгосрочные финансовые обязательства, рыночные риски могут быть уменьшены, поскольку финансовое благополучие долгосрочных инвесторов является функцией не только лишь активов, но также и других факторов, среди которых находятся пассивы, процентные ставки (через посредство дисконтирования), целевые выплаты, возможная инфляция.

Классическая общепринятая формула для определения финансового благополучия выглядит следующим образом:

Богатство (Wealth) = Активы - Пассивы.

Мы определим альтернативную меру финансовой устойчивости под названием “избыточное богатство”, которая показывает финансовое положение данного инвестора по отношению к своим финансовым обязательствам и своим целевым задачам.

Избыточное Богатство = Активы - Пассивы (задолженность) -Пассивы (целевое финансирование).

Положительный избыток (положительное сальдо) показывает, что данный инвестор, вероятно, справится с будущими финансовыми обязательствами наряду с финансированием своих целевых задач. А отрицательное сальдо предвещает противоположное, и инвестору следовало бы переоценить свое финансовое положение.

Приведем схему оценки рисков.

Чтобы рассчитать избыточное богатство, мы должны расширить рамки традиционных понятий активов и пассивов. Должны быть построены модели целевых - выплат. Замысел заключается в восхождении по ступеням “эскалации риска” (показанном на схеме), в процессе которого система управления активами и пассивами охватывает все больше и больше деталей, чтобы более репрезентативно отображать финансовые условия инвестора. На верхней ступеньке “лестницы риска” избыточное богатство оценивается по методике “Совокупного интегрированного управления риском” TIRM [23]:

Ступень 5: Тотально-интегральное управления рисками.

Ступень 4: Динамическое управление активами и пассивами.

Ступень 3: Динамическое распределение активов.

Ступень 2: Статические портфели активов.

Ступень 1: Калькуляция цены на отдельную разновидность ценной бумаги.

Области применения

Заслуживают внимания следующие области применения:

• Пенсионные программы.

Специалисты по актуарным расчетам делают оценку пенсионных планов в долгосрочном аспекте с точки зрения будущих взносов в пенсионные фонды, предполагаемых выплат выгодоприобретателям и других будущих неопределенностей.

• Страховые компании.

Аналогично деятельности администрации пенсионных программ, деятельность страховых компаний требует активной политики управления при жестком государственном регулировании. Примеры методики ALM в области страхового дела широко представлены в [14].

• Банки.

Банки медленно реализуют на стратегическом уровне интегрированные системы управления рисками, несмотря на тяжелые проблемы, возникшие вследствие кризиса ссудно - сберегательной системы в США в 1980 гг. и банковский кризис в Японии в 1990 гг. Последний был вызван сильным спадом на земельном и фондовом рынках из-за завышенных оценок недвижимости и высоких процентных ставок. Первый кризис вызвали те аспекты государственного регулирования, что касались взаимоотношений фиксированных и плавающих процентных ставок. По поводу анализа этих кризисных ситуации см. соответственно [24 - 26]. Размещение финансовых средств все чаще основывают на показателе риска, носящего название “стоимость, подвергнутая риску, Value at Risk (VaR)”, или критерий допустимых потерь.

• Управление портфелями ценных бумаг и взаимными фондами.

Взаимный фонд - паевой инвестиционный фонд открытого типа, дающий инвесторам доступ к более высоким рыночным процентным ставкам, возможность диверсифицировать риск и экономить на брокерских комиссионных. Многие фондовые менеджеры таких фондов стремятся превзойти какой-нибудь специфический индекс типа упомянутого выше S&P 500 или “Рассел 2000”. (Индексы Рассела - взвешенные индексы рыночной капитализации, которые публикуются компанией Франка Рассела в США. Существуют индексы 3000, 2500, 2000, 1000, 500 и т.д. акций)

• Физические лица.

Отдельные лица могут извлекать выгоду, осуществляя управление активами и используя при этом динамические стратегии. В статье [27] описана система многошагового управления активами и пассивами, предназначенная для отдельных лиц, которые производят выбор оптимальных решений. В работе [28] описывается реализованная система, применявшаяся для индивидуальных клиентов крупного итальянского Банка Фидеурам в Риме, где использовалось многопериодное стохастическое программирование.

• Университетские фонды.

По самой своей природе университеты должны рассматривать долгосрочную перспективу, когда им приходится управлять активами собственных фондов. Это обсуждается в статье Р. Мертона [29]. Основная идея статьи: нужно размещать активы таким образом, чтобы использовать благоприятные инвестиционные возможности, которое тесно связаны с платежными обязательствами и финансовыми целями, уменьшая при этом риски. Примером здесь может послужить вложение средств в недвижимость для обеспечения жильем профессорско-преподавательского состава университета в окрестности, окружающей университет. Подобное инвестирование служит двум целям. Во-первых, оно сохраняет территориальную целостность - это достойная цель. Во-вторых, оно помогает компенсировать расходы на жилье преподавателям. Иначе говоря, в качестве добавки к их жалованию субсидируются их жилищные расходы.

• Страхование в промышленности.

Еще одна область применения связана со страхованием промышленных и других крупных предприятий, имеющих “катастрофные” риски потери собственности. В этом случае активами являются главные составные части работающего капитала компании. Выплаты задолженности относятся к решениям по заимствованию. Целевыми выплатами могут быть выплата дивидендов, покупка других компаний и т.д. В результате появляется обширная система управления риском предприятия, выстроенная вокруг генератора сценариев и многошаговой оптимизационной модели. Через посредство управления риском решения по страхованию делаются на самом высоком корпоративном уровне. Страхование в этом случае позволяет прогнозировать будущие прибыли более определенно. Решения такого рода является примером финансовой инженерии [30].

1.2. Структура модели

Процесс инвестирования состоит из t — 1,2,К , T временных шагов. Первый начинается с текущей даты. Конец периода планирования T называют горизонтом планирования. Обычно он отражает некую точку, в которой инвестор имеет определенный конечный замысел планирования. Например, это может быть дата погашения какого-то значительного долга.

В некоторых моделях учитываются краевые эффекты, связанные с финансовой деятельностью в моменты T + 1,К ; см. [31, 32] об общей методике и [33] о применении этой методики в модели Russell-Yasuda Kasai, обсуждаемой в статье [34]. Например, при оптимизационном подходе в некоторых задачах предполагают, что двойственные цены в моменты T + 1,К за горизонтом планирования возрастают по отношению к процентной ставке. Это добавляет еще одно ограничение в модели для финансовых переменных.

В начале каждого шага инвестор выбирает решение, принимая во внимание совокупность активов, пассивов и целевых финансовых выплат. Кроме того, требуется учитывать неопределенные факторы и связи между ними. Например, состояние фондового рынка и доходность облигаций коррелированны.

При (количественном) анализе можно использовать систему стохастических дифференциальных уравнений для моделирования изменений стохастических параметров как функции времени в моделях установления цен на активы. Тем самым набор ключевых экономических факторов соотносится с остальными переменными модели, такими как показатели доходности активов и пассивов (см., например, систему Тауэра - Перрина под названием “CAP:Link”, обсуждаемую в работах [35 - 37]).

Основными переменными при принятии решений являются:

x^Sj_t - инвестиция в актив, y^skt - долговая выплата, u^slt - целевой

платеж. Эти величины соответствуют моменту времени t по сценарию s .

В каждый момент времени в модели состояние оценивается некоторой целевой функцией, а управление осуществляется путем перераспределения между категориями активов, корректировки выплат задолженности и осуществления заданных целевых выплат.

Выбор целевой функции представляет особый интерес (см. соответствующий раздел).

Кроме того, налагаются ограничения на динамический процесс: это задание предельных долей заемных средств, указание операционных издержек при купле/продаже ценных бумаг и финансовых инструментов, иные ограничения. Имеются несколько подходов к включению ограничений в состав модели. Указанные ограничения создают новые предпочтения в дополнение к целевой функции. Например, возникает полезность от ограничений на выплату задолженностей. Эти ограничения также изменяют вид целевой функции, которая во многих случаях, скажем, как в моделях Frank Russell Company, является просто максимальным значением ожидаемого конечного богатства (имеется в виду богатство за вычетом выплаченных неустоек и издержек связанных с прохождением текущих платежей и поступлений и т.д.).

Наша цель состоит в отыскании допустимой точки, где достигает максимального значения целевая функция, рассматриваемая как функция времени. Поскольку мы имеем дело с неопределенностями во времени, оптимальное решение будет выбираться из множества путей изменения богатства инвестора (вместо последнего можно пользоваться другими показателями, например упомянутым выше “избыточным богатством”).

Уравнения для финансовых потоков

Имеется два основных уравнения для финансовых потоков.

Для активов j -й категории

(j + j ) - j (1 +1,) + q^SLt (1 -1 + )

S

j,t+i

j,t

j,t

j,S

прибыль от актива j ,

где j - актив, t - время, s - сценарий, rj_s

pS _t - объем продаж актива j , qj_t - объем покупок актива j , t. -издержки по купле-продаже актива j для момента времени t по сценарию S .

Для потока платежей и поступлений

⁺Z р',.< (> -^r,)⁺w - Z y‘^s- -

^xlt₊i = ^(x% + r

l,t

3 ,t

11 к l

где W_t^s - приток поступлений в момент t по сценарию s, и поступление образует актив категории l.

Принципиально для многошаговой модели ограничение вида x^SJ_t = x^sj²t для всех сценариев s₁ и s₂, унаследовавших общее прошлое вплоть до момента t. Иначе говоря, все сравниваемые варианты должны иметь одинаковые предыдущие решения [38].

Целевые функции

Важным составным элементом управления активами и пассивами является нахождение компромисса между риском и денежным выигрышем (в случае принятия уровня риска).

Общепринятая теория размещения активов основывается на теории установления цен на капитальные активы (CAPM) или на арбитражной теории ценообразования, о которых говорится в статьях [39 - 41]. В работе [40] утверждается, что шесть фундаментальных факторов риска - четыре для акций и два для облигаций - объясняют собой большую долю обычной волатильности отдельно взятых международных акций и облигаций. Транснациональные составляющие факторов риска действуют сильнее в странах Европейского союза, чем где бы то ни было. В работе [41] приводится обзор моделей образования цен на активы с учетом факторов риска.

Существуют многочисленные способы оценки финансовых рисков, точно так же как существуют альтернативные способы измерения прибыльности.

Расчет кривых распределения связывает вместе главные неопределенности в любой финансовой организации. Имея в руках функции распределения, мы сможем оценивать не только риски, но и потенциал денежных вознаграждений за их принятие. Обычно мы оцениваем вознаграждение как его ожидаемое значение. Тогда, прибыль или убытки в следующем году: ^p_sz^s, где p _S - вероятность

seS

реализации сценария s , z^s - прибыль или убытки по сценарию s, а S - множество репрезентативных сценариев.

Имеются два базовых подхода к выбору целевой функции.

Во-первых, мы можем применить классическую теорию фон Неймана-Моргенштерна.

В соответствии с постулатами этой теории в условиях неопределенности модель оптимизации имеет вид

max E(v(w)) = ^ p_su(w^s),

s

где u(w^s) - функция предпочтения фон Неймана - Моргенштерна, w ^s - богатство инвестора по сценарию s , а p_s - вероятность реализации сценария s .

Во-вторых, мы можем подогнать параметры классической функции полезности под характеристики выходных переменных модели. Общепринятый подход состоит в выборе набора показателей, отражающих степень удовлетворения пожеланий инвестора. Например, можно определить риск как волатильность капиталоотдачи портфеля ценных бумаг, можно налагать штрафы на отклонения выбранных характеристик капитала в некоторые моменты времени от заданных величин и т.д. Штрафам можно приписывать определенные веса, чтобы отразить их относительную важность. Тем целевым выплатам и выплатам задолженностей, которые более “чувствительны” ко времени выплаты, может быть назначен более высокий приоритет, чем менее критичным целевым выплатам. Целевая функция в этом случае будет иметь вид

^{max f (}х) = ^max(^gi^(x) + Я₂g₂ ^(x) +К + A_kg_k ^(x)},где g_i (х) показатель, относящийся к i -й выплате, а A_i - коэффициент относительной важности для i -й цели.

Выбор целей и установка приоритетов являются сложной задачей удовлетворения привычек, склонностей, меняющихся во времени вкусов и мотивов.

У каждой теории имеются многочисленные варианты, которые могут использоваться в конкретных прикладных задачах в зависимости от особенностей ситуации.

1.3. Основные подходы к решению задач

Для решения задач управления общей является последовательность шагов: генерирование стохастических параметров, выработка целевых установок на весь плановый период, выбор алгоритма решения сформулированной задачи, содержательный анализ полученных результатов.

В рассматриваемых работах для решения задач управления активами и пассивами широко используется четыре основных подхода: решающие правила, наращивание капитала, стохастическое управление, стохастическое программирование.

Решающие правила

Решающим правилом выбора стратегий является функция для расчета значений инвестиций, выплат и других финансовых показателей в каждый элементарный период времени t. Рассматриваются управляющие функции вида

^xj ,t = ^h(a],t, ^bj,t^,К К

где a, b - параметры, описывающие развитие процесса. Переменные проиндексированы моментом времени и номером характеристики, но необязательно индексом сценария.

Простым примером служат стратегии с фиксированной структурой активов. В конце каждого периода времени инвестор продает переоцененные активы и покупает недооцененные активы, сохраняя при этом целевой уровень соотношения категорий активов, например 60 % акций - 40 % облигаций. Правило фиксированной структуры записывается следующим образом

^ej =

i^Xj-‘

где e . - фиксированная доля актива j .

Решающие правила в таком виде легко реализуемы и удобны для использования. В работе [14] отмечено, что стратегии с фиксированной структурой снижают риск и улучшают капиталоотдачу по сравнению с пассивной стратегией купли - владения. Имея несколько решающих правил, инвестор в состоянии построить многопериодную модель управления активами и пассивами для оптимизации некоторой целевой функции. Однако такие оптимизационные задачи (сравнительно небольшие по объему вычислений) зачастую приводят к невыпуклым моделям и к необходимости решения глобальнооптимальных задач.

Наращивание капитала

Данная стратегия определяется как локально - оптимальная стратегия, когда потенциальный инвестор, стремясь максимизировать долгосрочный рост активов, оптимизирует активное богатство шаг за шагом, принимая некоторую функцию полезности. В работе [42] показано, что при определенных допущениях это достигается путем максимизации ожидаемого значения логарифма активного богатства. В работе показано, что такая стратегия на самом деле асимптотически максимизирует долгосрочное активное богатство и минимизирует время достижения одной специфической цели для целевых выплат. При всех своих достоинствах крупным недостатком данного подхода является тот факт, что стремление к локальному наивысшему темпу роста капитала сопровождается колебаниям богатства с большой волатильностью. К настоящему времени разработаны различные модификации данного подхода, что позволило получить неплохие результаты долгосрочного инвестирования на основе архивных данных для США в период с 1934г. по 1988 г. [43]. Как показал анализ рынка, эти стратегии помогли сделать множество больших личных состояний для лиц, которые не побоялись принять на себя значительный риск.

Стохастическое управление

Данный подход восходит к работам [44 - 46]. Ключевая идея подхода состоит в использовании уравнений в непрерывном времени для описания динамики изменения финансовых переменных: цен на активы, потока платежей и т.д. В качестве критерия оптимальности рассматривается интегральный показатель математического ожидания функции полезности в полном соответствии с классическими аксиомами фон Неймана - Моргенштерна. В работе [15] отмечаются классы задач, для которых применение данного подхода оказывается успешным. В частности, в статье [47, 48] используется модель с непрерывным временем мертоновского типа, где капиталоотдача активов зависит от таких фундаментальных факторов, как процентные ставки, дивидендный доход, отношение P / E цены акции к ее доходу и т.п. Показывается, что высокодоходные активы с повышенным риском представляются более безопасными, если горизонт управления более удаленный.

Стохастическое программирование

Задачи стохастического программирования возникают при использовании процессов с дискретным временем для описания изменений финансовых переменных в динамике. Ключевая идея состоит в генерировании множества сценариев реализации случайных параметров в виде дерева и выборе управлений в вершинах дерева. Этому подходу будет уделено основное внимание в настоящей работе. Практическое использование подхода стохастического программирования позволяет учитывать в моделях разнообразные обстоятельства.

В работе [15], опираясь на опыт коллектива исследователей Frank Russell Company, приводится перечень тех возможных характеристик, которые могут быть учтены в многошаговых моделях стохастического программирования:

• Наличие многих периодов принятия решений; краевые эффекты задаются в виде наступления некоторого стационарного состояния за горизонтом планирования.

• Согласованность с экономической и финансовой теорией.

• Дискретные сценарии для случайных переменных: капиталоотдачи, стоимости задолженности, динамики валютных курсов и т.д.

• Учет дополнительных стохастических характеристик.

• Институциональные, юридические и политические ограничения.

• Наложение штрафов за нарушение целевых ограничений.

• Компромисс между краткосрочными, среднесрочными и долгосрочными целями.

• Моделирование производных финансовых инструментов и неликвидных активов.

• Моделирование операционных издержек, налогов и т.д.

• Разнообразное описание риска в терминах, понятных для лиц, принимающих решения.

• Максимизация ожидаемой полезности финального богатства за вычетом стоимости штрафов и неустоек.

Приобретенный к настоящему времени опыт позволяет решать весьма реалистичные многопериодные задачи на рабочих станциях с использованием алгоритмов математического программирования. В [34, 49 - 52] приводятся примеры успешного применения модели. Так, в работе [34] на простой трехпериодной модели, использовавшейся на протяжении пяти лет, демонстрируется, каким образом претерпевает изменения стратегия с течением времени и в процессе выявления характеристик неопределенности.

Плюсы и минусы четырех подходов

Каждый из четырех подходов к динамическому инвестированию имеет в себе нечто привлекательное. Решающие правила гораздо проще для реализации, а соответствующие оптимизационные задачи не заставляют нас прибегать к крупномасштабным процедурам линейного и нелинейного программирования. Они могут быть без труда протестированы на выбранных сценариях (путем имитации) и обеспечивают приемлемые доверительные интервалы для рекомендаций. Они интуитивно ясны для большинства профессиональных инвесторов. Однако они способны привести к невыпуклым моделям оптимизации, которые требуют интенсивных расчетов для нахождения глобально-оптимального решения. Кроме того, правила, естественно, могут привести к субоптимальному поведению. Стохастическое программирование дает основу для построения моделей общего назначения, которые могут принимать во внимание особенности реального мира, такие как ограничения на оборотные средства операционные издержки, неприятие риска, налоги, предельные ограничения на группы активов и иные соображения. Оно требует высокоэффективных алгоритмов для решения задач из-за огромного числа переменных, участвующих в решении, особенно в многошаговых задачах с четырьмя и более этапами. Типичные прикладные модели исследовательской группы компании Фрэнка Рассела [14] являются пятиэтапными. Рекомендации группы могут подвергаться практической проверке, однако вычислительные издержки здесь настолько высоки, что он оказывается практически неприемлемым для многих пользователей. Лимитирующим фактором является и выбор сценариев на основе стохастической модели.

Модели наращивания капитала приводят к высокому росту активов, однако, при наличии значительного риска. Когда контроль политики наращивания капитала производится посредством модифицированных стратегий, такая политика приводит к выбору между потерей на одной ценной бумаге и приобретением на другой ценной бумаге, что в итоге обеспечивает повышенный рост капитала. Однако процесс генерирования активов в модели должен быть простым, с простыми соображениями в отношении пассивов. Здесь сравнительно нетрудно получать решения, если данные имеются в наличии. Политика выбора имеет тенденцию концентрироваться на небольшом числе лучших активов и, следовательно, может быть недостаточно диверсифицирована. Кроме того, как и при стохастическом управлении, политика распределения капитала по активам здесь весьма чувствительна к входным параметрам.

Стохастическое управление - это еще одна общая схема для решения задач общего характера. Он применим к тем задачам, где можно реально оперировать в пространстве состояний, т.е. к задачам с тремя или четырьмя (самое большое) переменными. Как и при стохастическом программировании, трудно сгенерировать доверительные пределы. Ошибки моделирования могут также возникать из-за аппроксимации в пространстве состояний. Трудность в точном определении общих ограничений на процесс сужает область приложений метода стохастического контроля. Однако метод имеет концептуальное превосходство над стохастическим программированием (в тех случаях, когда метод может быть реализован на практике), потому что здесь нет необходимости в выборочных сценариях. Требуется многое сделать, чтобы воплотить в жизнь лишь только модели для одних активов на базе существующей теории, в частности для случая ограничений на веса активов, - не говоря уже о разработке теории и приложений для управления активами и пассивами.

Подводя итог, мы констатируем, что среди четырех кандидатов нет явно выраженного победителя. Мы предлагаем, чтобы инвесторы начинали свои расчеты сразу на нескольких конкурирующих моделях и правилах принятия решений. Их можно без труда реализовать и оптимизировать. Избранные решающие правила могут служить отправными точками и ориентирами для более сложных моделей стохастического программирования и стохастического контроля. Можно также сочетать модели стохастического программирования и решающие правила для получения оценок доверительных интервалов при выдаче рекомендаций после моделирования. Желательны также и модели, комбинирующие элементы всех четырех описанных выше подходов.

1.4. Генерирование сценариев

Решающий аспект использования систем управления активами и пассивами связан с моделированием базовых стохастических параметров, таких как процентные ставки, показатели инфляции и доходности ценных бумаг. Любой сценарий описывает отдельно взятый, логически последовательный набор значений параметров на протяжении всего планового периода. Коэффициенты должны быть внутренне согласованы в рамках единого сценария. Например, доходы на облигацию должны соответствовать изменениям процентных ставок. (См. статью [53] по поводу однофакторной модели процентной ставки, которая была использована в многопериодном стохастическом программировании.) Барицентрическая аппроксимация этого процесса порождает дерево сценариев, где по каждому сценарию принимают в расчет разнообразные подвижки временной структуры. (Временная структура процентных ставок - система взаимосвязей между процентными ставками по определенному финансовому инструменту на разные сроки.) Эмпирические результаты установлены для шести - и восьмипериодных моделей (см. также [51, 52] по поводу подходов к генерированию дискретных сценариев на основе многомерных логарифмически-нормальных распределений). Доходы по валютным активам должны генерироваться с помощью динамики валютного рынка (см., например, статьи [54 - 57]). Принцип адекватности модели требует, чтобы небольшая совокупность экономических факторов определяла последующие результаты, как это записано ниже.

Экономические факторы (например, процентные ставки) - доходы по активам, поток платежей по задолженностям, учетные ставки и приведенная стоимость обязательств.

Поскольку подсчет избыточного богатства требует одновременного вычисления значения стоимости активов за вычетом текущей стоимости обязательств по какому-то заданному сценарию, необходимо описать такое движение процентных ставок, какое напрямую связано с доходностью активов, включая сюда государственные и корпоративные облигации. В общем случае предполагается, что процентные ставки отслеживаются и контролируются центральными банками, по крайней мере, стран Большой семерки.

Другая проблема, возникающая при выборе сценариев, состоит в необходимости строить дерево сценариев, когда речь идет об использовании моделей стохастического программирования. Такой проблемы нет при использовании решающих правил.

Оценивание “тяжелых хвостов” распределений, характерных для рынка активов, может быть проделано несколькими способами. Например, обработка статистических данных за 105 лет функционирования фондового рынка показала, что такие “хвосты” лучше всего описываются распределением Фреше [58]. Метод, использующий различие в ценах исполнения на опционы колл и пут в один и тот же момент времени, показал, что “хвосты” стали “тяжелее” после биржевого краха 1987 г. [59].

Существенное значение для постоптимального анализа имеет оценка чувствительности оптимальных значений критериев эффективности к параметрам сценариев, что может выполняться, например, с путем варьирования сценариев в моделях стохастического программирования.

Корреляции играют существенную роль в построении диверсифицированных портфелей. Оценивание этих характеристик обычно проделывают, используя исторические ряды прошлых данных. Когда наступают экстремальные события, здесь возникают проблемы, поскольку корреляции возникают именно во время напряженных периодов. Например, за семь лет вплоть до биржевого краха в октябре 1987 г. любая выборка из двадцати трех наиболее важных стран никогда не имела все показатели капиталоотдачи положительно коррелированными за любой отдельно взятый месяц. Однако это произошло в октябре 1987 г.

Наконец, агрегирование переменных и представление сценариев являются важнейшими частями работы при построении модели.

1.5. Алгоритмы решения

Стохастическое программирование

Вычислительные трудности возникают из-за свойств дерева сценариев, лежащего в основе подхода стохастического программирования. Число переменных, участвующих в решении, нарастает экспоненциально. В большинстве случаев можно обрезать дерево, намеренно сокращая число ветвей, исходящих из вершин, особенно для вершин, расположенных ближе к горизонту планирования.

Основные алгоритмы для получения решений в стохастическом программировании распадаются на три группы: прямые методы, прежде всего методы внутренней точки, методы декомпозиции Бандерса и методы декомпозиции на основе модифицированных функций Лагранжа. Эти методы высокоэффективны и используют специфику древовидной структуры множества сценариев. В настоящее время возможно решать задачи нелинейного стохастического программирования с числом сценариев свыше 10000. И что более важно, время счета по программе является линейной функцией числа сценариев. Таким образом, учитывая рост быстродействия компьютеров на 40 - 50 % в год, можно наращивать размерность задач стохастического программирования аналогичным образом. В то же время отметим, что необходим компромисс между реалистичностью модели и удобством ее использования.

Оптимальные решающие правила

Главная вычислительная трудность при решении оптимизационных задач в моделях на основе решающих правил вызвана невыпуклостью. Затруднительно напрямую использовать стандартные алгоритмы нелинейного программирования, поскольку они ориентированы на поиск только точек локального оптимума. Обычно повторно запускают алгоритм из множества случайно выбранных точек и сравнивают полученные оптимальные значения. В качестве альтернативы можно пытаться использовать любые методы глобальной оптимизации, ограничиваясь решением задач с умеренным числом переменных.

Наращивание капитала

Этими моделями описываются набор однопериодных статических представлений о выборе из одних активов, меняющихся с течением времени. В этих случаях оптимизация связана с нахождением оптимума вогнутой функции на выпуклом многограннике или в общем случае на выпуклом множестве, а следовательно, могут привлекаться стандартные программы нелинейного программирования.

Стохастическое управление

После того как пространство переменных определено (как правило, не более четырех), непрерывная задача разрешается с помощью стандартных подходов, таких как метод динамического программирования или метод конечных разностей. Варианты инвестиционной политики, получаемые из этих моделей, выражаются в виде долей активов, входящих в портфель, которые резко меняются во времени, что очень сильно влияет на оценки среднего значения, которые модель и пытается предсказать. Тем не менее модели стохастического управления обеспечивают обоснование для некоторых классов решающих правил.

1.6. Перспективы на будущее

Итак, приведен обзор сферы применения систем динамического стохастического управления активами и пассивами. Предложено четыре альтернативных подхода к моделированию: многошаговые решающие правила, стохастическое программирование, наращивание капитала и стохастическое управление. Каждый подход имеет свои преимущества над другими, и ясно, что среди них нет наилучшего. Кроме того, на практике широко применяются имитационное моделирование и варианты модели “среднего - дисперсии” (типа Марковица). Весьма значительные суммы ставятся на карту, когда разрабатываются стратегические планы для инвесторов с портфелями ценных бумаг, стоящих миллиарды долларов. Малый процентный доход, накапливаясь в течение ряда лет в виде сложных процентов, дает в результате большую прибыль. Таким образом, для многих организаций возможные доходы от систематического инвестирования перевешивают сомнения по поводу проблем, связанных с реализацией динамической стратегии инвестирования.

Каковы возможные направления будущих исследований?

Во-первых, существует логически обоснованная потребность в оценках робастности (таких, как доверительные интервалы) предлагаемых рекомендаций определенной модели управления активами и пассивами. И стохастическое программирование, и стохастическое управление испытывают недостаток в этом. Многообещающее направление связано с комбинированием решающих правил и стохастического программирования, которое выполняется при помощи техники уменьшения дисперсии [60]. Могут оказаться возможными и другие гибридные подходы.

Во-вторых, для успеха долгосрочного планирования будет иметь решающее значение общепринятое определение риска с учетом факторов времени. Необходимо стремиться к компромиссу между кратковременным страданием и долговременным процветанием. Трудно принимать компромиссное решение, не имея ориентира на жизнеспособные позиции в будущем. Теория многоцелевой оптимизации владеет рядом многообещающих технических приемов для оказания помощи инвесторам при анализе их будущих возможностей.

В-третьих, сейчас имеется подходящая возможность оформлять ценные бумаги по индивидуальному заказу, чтобы приспособить их к окружающей обстановке для отдельного инвестора. Например, активное сальдо у инвестора могло бы быть восприимчиво к внезапному скачку вверх процентных ставок, а также к падению американского доллара. Хотя такое сочетание событий могло бы оказаться сравнительно редким, (потому что процентные ставки и валютные курсы в принципе положительно коррелированны), но институциональный инвестор не должен целиком игнорировать этот сценарий. Система управления активами и пассивами может сформировать оценку относительно привлекательности любой ценной бумаги, оформленной по индивидуальному заказу. Система управления активами и пассивами способна также формировать основу для ценообразования на упомянутые индивидуализированные ценные бумаги, скажем, с помощью двойственных переменных из задач нелинейного оптимального программирования. В будущем инвесторы окажутся в состоянии конструировать ценные бумаги со специфицированной схемой доходов (капиталоотдачи), разумеется, в заданных пределах. Финансовая инженерия создает все возрастающие возможности для управления риском, причем упор здесь делается на учет временного фактора. [10, 61]. Таким образом, мы смогли бы покупать ценную бумагу, которая приводила бы в исполнение особую стратегию динамического инвестирования. Системы динамического управления активами и пассивами идеальны для оценивания этих новых, комплексных финансовых возможностей.

Самые изощренные модели управления активами и пассивами разработаны североамериканскими и британскими исследователями, которые хорошо представлены в [14]. Но, быть может, более продвинутое использование таких моделей осуществлено голландцами, в значительной степени благодаря традиции, а также из-за ситуации с регулированием фондового рынка в Голландии.

1.7. Исторический экскурс

Три концентрических круга на рисунке показывают, хотя и схематично, развитие событий на рассматриваемом поле деятельности, начиная от основания Данцигом, Беллманом, Марковитцем, Мертоном стохастической оптимизации в 1950 гг. и 1960 гг. Далее идут ранние модели Бредли и Крэйна, Чарнеса и его учеников, Зи-ембы и его учеников в 1970 гг. и 1980 гг. Затем имело место значительное продвижение в развитии подобных моделей многими исследователями в 1990 г., чему содействовали новые вычислительные возможности и огромные суммы ресурсов, которыми нужно было управлять в остро конкурентной обстановке. Поле исследований быстро расширяется, однако их приложения все еще пребывают в младенческом состоянии. Потенциальные возможности моделей стохастического программирования по улучшению результатов деятельности инвесторов и избежанию финансовых бедствий, несомненно, значительно возрастут в будущем. Большие конференции, такая как состоявшаяся в августе 1998 г. [ALM meeting in Vancouver], обсуждали и документально подтвердили достижения теории и практики использования моделей управления активами и пассивами.

§2. Пример задачи стохастического программирования

2.1. Многошаговая модель динамического управления портфелем ценных бумаг CALM [16]

Многошаговое стохастическое программирование находит широкое применение при постановке и решении финансовых задач, характеризующихся большим числом переменных состояния и, как правило, небольшим числом этапов принятия решения. Литература по применению многошагового рекуррентного моделирования для формализации сложных задач оптимизации портфелей ценных бумаг восходит к началу 1970 гг. ХХ в., когда были впервые взяты на вооружение финансистов методы решения проблемы портфеля ценных бумаг с фиксированной доходностью. Здесь описывается модель CALM, которая была разработана для учета влияния неопределенностей как на активы (и в самом портфеле, и на рынке), так и на пассивы (в форме зависящих от сценария платежей или стоимости займов). Портфельный менеджер, у которого имеется первоначальное богатство (W ealth), изыскивает способы максимизации конечного богатства на горизонте планирования, причем доходы от инвестирования моделируются как случайные векторы в дискретных точках пространства состояний. Векторы решений представляют из себя возможные инвестиции в рыночные активы или продажу последних из портфеля, а также владение ими (на протяжении какого-то времени). Другими компонентами вектора решений являются решения о заимствовании средств по какой-либо кредитной линии или с депозита в банке. В работе [16] результаты вычислительных экспериментов представлены для серии 10 шаговых портфельных задач, при решения которых использовались различные методы и библиотеки программ (OSL, CPLEX, OBI). Задача о портфеле на основе случайного векторного процесса, допускающего вплоть до 2688 реализаций на протяжении 10 летнего планового периода, была решена на IBM 6000/590. Получены решения 24 тестовых задач большой размерности с помощью программ симплекс-метода и барьерных методов из библиотеки CPLEX (последние для линейных или квадратичных целевых функций); метод внутренней точки с предиктором - корректором из библиотеки OBI; симплекс-метод из OSL; MSLiP - OSL - метод декомпозиции Бандерса с решением подзадач при помощи симплекс-метода OSL и нынешней версии MSLiP.

Описываемая далее вычислительная технология обеспечивает основу для рационального корпоративного финансового планирования на базе моделей, охватывавшего сроки порядка десятилетия. Подобное планирование становится возможным благодаря реалистическому характеру моделей этого типа, быстрому прогрессу в программном обеспечении и аппаратных средствах для повышения производительности компьютеров, благодаря наличию всеобщей потребности в моделировании, и ужесточению контроля за финансовыми рисками в современных глобальных корпорациях, начиная от банков и кончая производственными подразделениями, с использованием широкого набора технических приемов от самых простых до самых сложных.

Модель CALM выросла из исследований по стохастическому динамическому программированию, которые начались свыше двух десятилетий тому назад вместе с появлением работ [72, 73]. Перечень последующих работ, связанных с данным предметом исследований, изложен в публикациях [50, 74 - 77].

Быть может, самой важной из этих публикации является статья Бредли и Крейна [72], которые впервые предложили “инвентаризационный” подход к моделированию финансовых решений, где каждый актив или пассив в модели имеет на каждый (элементарный) период времени свой “приход”, “расход” и “наличный запас”, описываемые соответствующими переменными; статья Дем-пстера и Айерленда [75], которые исследовали неотъемлемые от таких моделей связи с информационными системами; статья [74], где разработано первое подлинно коммерческое приложение динамического стохастического программирования. Несмотря на тот факт, что до них существовало множество предшественников в разных финансовых учреждениях, но предшествующие работы можно рассматривать в лучшем случае как прототипы предложенной системы.

Многошаговые модели приводят к задачам большой размерности, весьма сложным, хотя и обладающим линейными ограничениями, причем структура ограничений линейно нарастает по размерам вместе с числом траекторий прохождения информации, или сценариев, которые представляют совокупность неопределенностей, возникающих у лиц, принимающих решение. Отсюда следует, что практические модели должны осуществлять свою работу с помощью таких средств программного обеспечения, которые обобщают и используют языки моделирования для линейного программирования (ЛП) вроде GAMS и MODLER (последний используется в данной работе).

2.2. Формулировка задачи

Рассматривается задача стохастического программирования в форме многошаговой рекуррентной задачи [78 - 81]:

T-l^{[min f}T ^(XT ^)])]}’

' Хт

^min Ц (*і) + Е_{т 2} ^[min( f₂ (х₂) +К + ^Е

х₁ еЯ"^{1 2} Х2 ^фг при условии

' Ах = bi,

^B2 ^Х1 + ^A2 ^Х2 ^{— b}2 ’ - B₃ x₂ + A₃ x₃ — b₃,

К

B_Tx_T_ ₁+ A_Tx_T — b.

T 5

l₁ < x₁ < u₁, l_t < x_t < u_t, t = 2,К ,T ,

в этой записи слагаемые функционалы f_t определяются для элементарных периодов, начиная с t = 1 вплоть до горизонта планирования T; матрица A₁ е Я"¹’”¹ и вектор b₁ е Я" определяют детерминированные ограничения на первом шаге решения, а для t — 2, К , T, матрицы A_t : Q ^ Я"’", матрицы B_t : Q ^ Я"¹-¹’”-¹' и вектора b_t : Q ^ Я" определяют области стохастических ограничений для последовательно выбираемых решений х₂,К , х_п. Через Е_|_ обозначаются условные математические ожидания функций от случайного вектора W_t информационного процесса Ш в момент времени t

при заданной истории Ш^₁ процесса до момента времени t. Из приведенной рекуррентной записи явно следует зависимость оптимальной политики, Х⁰ = (х°’ Х₂⁰,К , xT) от реализаций векторного информационного процесса Ш — (Ш₂, К , m_T ) .

Данная модель является стандартной задачей принятия решений в условиях неопределенности.

• Достижение цели при таком блочном представлении формализуется в виде последовательности оптимизационных задач, соответствующих различным шагам: в момент времени 1 лицо, принимающее решение, должно выбирать некое решение, последствия которого полностью зависят от будущих реализаций заданного многомерного стохастического информационного процесса.

• Соответственно для каждой реализации истории Ш^t информационного процесса вплоть до времени t рассматривается рекуррентная задача, в которой искомым решениям является (х*~¹, ю^t) . На каждом шаге предыдущие решения воздействуют на текущую задачу посредством матриц B_t, t = 2, К , T, вместе с последовательностью решений: решение - наблюдение, наблюдение - решение X —— ®2 —— К —— Ют —— Хт .

• Информационный процесс ю определен как векторный стохастический процесс с дискретным временем. Конечная выборка из его траекторий удобно представляется в виде дерева сценариев: каждый сценарий соответствует траектории процесса ю ^т = (ю₁, ю₂, К , ю_т ) на горизонте T .

• В сформулированной задаче, как и вообще в задачах финансового планирования, ограничения сверху и снизу, зависят от сценариев. Корректное генерирование выборочных траекторий информационного процесса для данной задачи является решающим фактором надлежащей формулировки задачи стохастической оптимизации.

Динамические задачи управления портфелем ценных бумаг легко формулируются в виде динамических рекуррентных соотношений. Впервые этот подход был применен к управлению портфелем [72] ценных бумаг с фиксированной доходностью. О других приложениях схемы рекуррентного принятия решений к финансовому планированию можно прочитать в перечисленных выше работах. Во многих из приведенных работ неопределенность проявляется в форме неизвестных будущих ставок дохода рыночных инвестиций и источников денежных потоков, равно как и в форме разбалансиро-ванности поступлений и платежей, а целевая функция обычно определяется в виде математического ожидания линейной или нелинейной функции полезности на горизонте планирования (иногда за горизонтом планирования).

Исходной задаче может быть придано более компактное представление с использованием схемы динамического программирования, которая применима вследствие принятой структуры матрицы ограничений.

Для каждого момента времени t — 1, К , T — 1 нам нужно найти min ^{[/ (}x⁾ + ?_м⁽а^t,^x)].

^xt

При этом B_tx_{t 1} + A_tx_t — b_t, где u_t+1 выражает оптимальное ожидаемое значение критерия для шага t +1 при наличии истории решений х⁽ — (x₁,К , x_t) и реализованной истории случайного процесса a^t — (®^К ,a_t) . А именно,

°t+1^(wt,^xt) = ^Em \_m> [miⁿC/^(xt₊1⁾ + ^K + ^Em \_7St-1 miⁿC/T ^(xt^))].

^at+\\^ю x_{t +1} ®t\ ^ю Xt

Здесь минимизация проводится с учетом соответствующих ограничений, которые будут обсуждаться ниже при преобразовании исходной задачи к детерминированному варианту.

Соответственно портфельный менеджер в конце каждого (элементарного) периода времени на основе текущей информации выбирает оптимальное решение при наличии неопределенностей на момент принятия решения. Это решение должно быть допустимым решением по отношению к тем ограничениям, которые индуцированы будущими значениями случайного информационного процесса и текущим состоянием портфеля.

Благодаря выпуклости функции ?_м(ю^t,x⁽) по переменной

x⁽, рекуррентная задача может быть также сформулирована следующим образом:

найти min f_t (x_t) + 6_t

^xt

при наличии условий B_tx_t__x + A_tx_t = b_tv_t+l (a^t, x^t ) < 0_t.

Применение алгоритма секущей плоскости для решения этой задачи основано на простой декомпозиции путем аппроксимации целевой функции в момент времени t +1 множеством сечений вида d'x_t < 0_t, [79, 82 - 84]. Сечения также используются, чтобы наложить ограничения на текущие решения, которые обеспечивают допустимость последующих рекуррентных решений.

2.3. Стандартные методы решения задач стохастического программирования

Возможны две процедуры получения решений для детерминированного эквивалента исходной динамической портфельной задачи.

• Прямое решение задачи детерминированного эквивалента, в котором условные вероятности повторно вычисляются на каждом шаге для всех информационных траекторий. Программы для решения задач линейного и квадратичного программирования очень большой размерности имеются в наличии и способны решать задачи, используя соответственно стандартные алгоритмы линейного программирования (т.е. симплекс-метод и метод внутренней точки) и квадратичного программирования (итеративный алгоритм, или на основе метода внутренней точки).

• Или в качестве альтернативы первоначальная задача может быть подвергнута разложению в последовательность подзадач, которые с вычислительной точки зрения связаны пошагово, а затем может быть применен метод блочной декомпозиции Бандерса.

Приведем подробное описание для первого представления.

Предположим для простоты, что из каждой вершины дерева решений выходит одинаковое число ветвей в один элементарный период времени, а соответствующие условные вероятности обозначим через р^к2,къ^^,к‘, t = 2,К ,T . Эти допущения позволяют сформулировать детерминированный эквивалент исходной задачи в виде

тіпЩ Xj) +

Кз

K_T

YS-Pk f( 4’)+Y [pk"^k3 /j( Х’^) +k + Y pT ^,,K Vt (*k'*^,kT )]]]}

k ’ =1

кт =1

где

= *i,

Bk’ x₁ + Ak’ xk’ = bk’, к₂ = 1, К , К₂,

_Bk’^kxk’ + Ak’^kxk’^,k3 = bk’^,k3, k_t = 1,К ,K_t, t = ’,3,

ККККК

BT’^{K ,kT} x^if ’^kT-¹ + AT’ ^{K ,kT} XT’ ^{K ,kT} = bk’^K’^kT, k_t = 1, К , K_t, t = ’, К , T,

k’ ,K. , кт

< u_t, t = ’,K ,T.

/1 < 1 < ^u1, l_t < x_t

5 •> •>

здесь вектор переменных решения соответствует каждой вершине дерева решений.

В матричных обозначениях многошаговая линейная задача записывается следующим образом: найти min c'X при условии, что A x - b, x > 0,

X

где С = (c;,(p’c’)',K ,(р₂^К’c₂^K’Ш^К ,

,k,(р

К ’, К, К ’, К з

2 ^2 1,К ,11, К ,1

cr~’ )',К ,(p^ “^j c

К’ ,К ,Кт ~К’ ,К ,Кт W

)7

,к, xT^^k , ^хТ^К

,K ,b^^д,к ,b^²

)', )'.

г К2 ,К , Кт

Г Л	0	к			к			0
B1	Л	0	к		к			0
м		о			к			м
B^K2 ^1J2	0	к	A2^K2	0			к	0
0	BY			AY	0	к		0
м	м				о			0
0	B^lK3			к			к	0
			_BK2,K3 3	к		A₃K2,K3	к	0
м	м			м		м		м
						_BK2,K ,K₄ ^ 4
				к		м	о

_? о о к bK^2X,Kt к лК^гЛЛт

В общей T - шаговой задаче, где число локальных задач при вершине на шаге t равно K_s , а размерность матрицы ограничений равна (m_t,n_t), мы имеем С е Rⁿ, X е Rⁿ, b е R^m, Л е R^mn, где

П = n_x + K ₂(n₂ + K ₃(n₃ +K + K_Tn_T )), m = m_x + K ₂ (m₂ + K₃ (m₃ + К + K_Tm_T )),

что порождает в конечном счете задачи весьма большой размерности по мере нарастания числа сценариев.

Прямая задача линейного программирования:

найти min{?'x|ЛX - b, X > 0}

X I

Двойственная задача линейного программирования: найти min{В'щ fc'A < ?'}.

ft I

Эти задачи решаются с помощью симплекс - метода или метода внутренней точки. Главные проблемы, возникающие при решении этих задач, связаны с чрезвычайно большой размерностью, которой достигают подобные задачи линейного программирования.

§3. Примеры из отечественной практики

Отметим, что качественный уровень решения задач оптимального управления активами и пассивами в отечественной практике вполне соответствует мировому уровню. Достаточно привести пример работы, в которой непосредственно принимал участие автор [17]. В этой работе использованы все известные подходы в исследовании операций и системном анализе, которые были накоплены в практике решения задач рационального выбора управлений в условиях неопределенности для различных сфер экономики [1 - 3].

Кроме того, можно привести примеры построения имитационных моделей, моделей пассивного управления банком в период его пассивной эволюции и выбора оптимальной политики погашения обязательств при неопределенном спросе на депозиты, модели управления ресурсами финансовых институтов в виде задач оптимального управления и т.д. [62 - 70].

Большой информационный материал по управлению портфелем содержится в Интернете [71].