ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДИНАМИКИ ДОХОДНОСТИ ЦЕННЫХ БУМАГ
Активное управление портфелем ценных бумаг предполагает знание закономерностей динамики их доходности. Поэтому в настоящей главе мы рассмотрим ряд наиболее существенных эмпирических закономерностей, которые обнаруживаются с помощью статистического анализа.
В качестве одной из возможных стратегий активного управления портфелем можно рассматривать приобретение акций при их первичном публичном размещении (ІРО). Данные статистики показывают, что покупка акций при ІРО и продажа их в первый день торгов, как правило, приносит сверхприбыль. Она возникает за счет того, что в среднем бумаги при ІРО недооценены. Согласно исследованиям R. Aggarwal, N. R. Prabhala и М. Puri средняя доходность бумаг ІРО в США в 1997-1998 годах за первый день торгов составляла 19,25%.' Они также отмечают, что доходность от ІРО неодинаково распределялась между институциональными и индивидуальными инвесторами. Доходность индивидуальных инвесторов меньше. По результатам своего исследования авторы обнаружили закономерность: чем больше ІРО распределяется между институциональными инвесторами, тем значительнее недооценены бумаги.
По данным авторов другой статьи J. R.Ritter и I. Welch, количество компаний США, которые становились публичными с 1980 по 2001 г., превышало 1 компанию в день. Они аккумулировали 488 млрд, долл. Выборка из 6249 фирм ІРО с 1980 по 2001 гг. показала, что средняя доходность их бумаг за первый день торгов составляла 18,8%. Около 70% ІРО завершили день с более высокой ценой, чем цена размещения, для 16% ІРО доходность за первый день была равна нулю.
В 1980-е годы ІРО привлекали в среднем в год 8 млрд, долл., в 1990-1994 гг. - 20 млрд, долл., в 1995-1998 гг. - 35 млрд, долл., в 1999-2000 - 65 млрд, долл, и в 2001 г. - 34 млрд. долл. Средняя доходность бумаг за первый день выросла с 7,4% в 1980-е годы до 11,2% в начале 1990-х годов, до 18,1% в середине 1990-х годов, до 65% в 1999 и 2000 годах, и снизилась до 14% в 2001 г.
Процент технологических фирм, осуществляющих ІРО, вырос с 25% в 1980-е и начале 1990-х гг. до 37% после 1995 г. и до 72% во время интернет бума, и в 2001 г. вернулся к 29%.
Перед началом процесса ІРО в 1980-е гг. только 19% фирм имели отрицательные доходы. К 1995-1998 гг. этот процент вырос до 37% и до 79% в период интернет бума. Следует подчеркнуть, что в 1960-1970-е гг. для престижных инвестиционных банков было не характерным размещать бумаги фирм, которые не показывали положительных результатов по крайней мере за последние четыре года. В 1980-е годы стандартом стал период положительных доходов в четыре квартала. В 1990-е гг. все меньше фирм придерживалось этого стандарта. Несмотря на это аналитики инвестиционных банков прогнозировали прибыль в течение года после того как фирма стала публичной.
С 1980 г. средний возраст фирмы, которая становилась публичной, был 7 лет. Во время интернет бума он сократился до 5 лет и в 2001 г. вырос до 12 лет.
В 1990-е гг. колебания в количестве фирм ІРО главным образом происходило за счет технологического сектора. Количество ІРО среди традиционных фирм было на уровне 100 до, во время и после интернет бума.
Согласно оценкам авторов другой статьи A.Ljungvist и W.Wilhelm, в 1996 г. доходность акций ІРО за первый день составила в среднем около 17%, в 1999 г. - 73%, и 58% в 2000 г. Доходность же ІРО интернет компаний в среднем равнялась 89% в 1999 и 2000 годах.
Акции компаний ІРО приносят прибыль при их скорой продаже. В долгосрочной перспективе - в течение трех-пяти лет - они показывают, как правило, результаты хуже, чем фондовые индексы и акции сравнимых компаний. В то же время, исследования показывают, что такой динамикой характеризуются компании ІРО, которые стали публичными в период экономических подъемов на рынке. Компании ІРО, ставшие публичными в условиях сдержанной конъюнктуры, демонстрировали в последующем хорошие результаты. P.Schultz объясняет феномен более низкой доходности большинства акций ІРО в долгосрочном периоде тем фактом, что компании, как правило, становятся публичными тогда, когда они могут выпустить бумаги по более высокой цене. Как не трудно понять, такие моменты чаще совпадают с периодами экономического подъема. В последующем экономический рост сменяется спадом, что и приводит в перспективе к более низкой доходности бумаг, поскольку они изначально были реализованы по высоким ценам. В рамках сравнимой закономерности P.Schultz обращает внимание на статью G.Webb (“Evidence of Managerial Timing: The Case of Exchange Listings”, Journal of Financial Research 22, 1999), который отмечает, что акции, которые после системы НАСДАК получили листинг на Ньй-Иоркской Фондовой Бирже показывали более высокие результаты до листинга, чем после него.
Авторы другой статьи Ch. J. Handlock и Ch. M.James приводят данные о том, что сообщение о получении банковского кредита фирмой приводит к росту котировок ее бумаг. Они рассматривают гипотезу о том, что банки более точно оценивают кредитоспособность фирм. Поэтому компании, недооцененные рынком, для финансирования своей деятельности выбирают банковские кредиты. В то же время, если бумаги фирмы переоценены на рынке, она стремится привлекать деньги за счет выпуска обыкновенных акций и в меньшей степени облигаций. По данным авторов объявление о выпуске фирмой обыкновенных акций отрицательно воспринимается рынком: в среднем такое сообщение приводит к отрицательной доходности - минус 2,39%. До объявления об эмиссии у данных фирм наблюдается наибольший рост курсовой стоимости. Объявление о выпуске фирмой облигаций также отрицательно влияет на доходность ее акций, но имеет незначительную величину. До объявления об эмиссии у них также наблюдается рост курсовой стоимости акций, но меньше, чем в первом случае. Напротив, сообщение о получении банковского займа вызывает положительную реакцию: рост средней доходности на 1,45%. До объявления о займе средняя доходность акций таких компаний равна минус 12,34%." Аналогичные выводы содержатся и в другом исследовании: J. Christopher “Some evidence on the uniqueness of bank loans”, The Journal of Financial Economics, 1987. Таким образом, сообщение о получении банковского кредита фирмой приводит к положительной реакции рынка.
Еще один интересный аспект, на который следует обратить внимание, заключается в реакции рынка на сообщения компаний о выкупе своих акций вместо выплаты дивидендов. Как пишут G. Grullon и R. Michaely, в прошлом американские корпорации преимущественно предпочитали выплачивать своим акционерам дивиденды, чем выкупать акции, даже несмотря на то, что второй способ вознаграждения был предпочтительным с точки зрения уменьшения налогов. Однако за последние 20 лет выкуп акций сильно вырос. Расходы по программам выкупа акций в общей сумме прибыли компаний выросли с 4,8% в 1980 г. до 41,8% в 2000 г. Кроме того, с 1980 по 2000 гг. среднегодовой темп прироста средств, направляемых на выкуп акций, составил 26,1%, а суммы, направляемые на выплаты дивидендов, имели темп прироста только 6,8%. В результате выкуп акций в процентах от выплаченных дивидендов вырос с 13,1% в 1980 г. до 113,1% в 2000 г.
Из общего количества фирм, выплачивающих средства акционерам, количество фирм, выкупающих акции, выросло с 31% в 1972 г. до 80% в 2000 г. Из общего числа фирм, которые только начали выплачивать средства акционерам, уд. вес компаний, выкупающих акции, вырос с 26,6% в 1972 г. до 84,2% в 2000 г. Количество фирм только выплачивающих дивиденды в общем числе фирм, выплачивающих средства акционерам, снизилось с 69,0% в 1972 г. до 20% в 2000 г. За этот же период общее количество фирм, выплачивающих дивиденды, оставалось практически неизменным. Таким образом, выкуп акций превратился в предпочтительный способ распределения средств между акционерами по сравнению с выплатой дивидендов.
Исследования показали, что если фирма реализует программу выкупа акций и снижает величину дивиденда, то реакция рынка в отношении курса ее акций незначительно отличается от нуля. Для фирм, не выкупающих акции, сообщение о снижении величины дивидендов приводит к существенному падению цены.
Более детально влияние на стоимость бумаг компании при объявлении программы о выкупе акций исследуют W.Maxwell и С.Stephens. Сверхдоходность, получаемая в результате объявления о программе выкупа, в среднем составляет от двух до трех процентов. Доходность акций больше в случае более масштабных выкупов. В то же время, если компания наряду с акциями выпустила облигации, то выкуп акций приводит к снижению цен облигаций. Цена облигаций не инвестиционного класса падает в большей степени, чем инвестиционного. Авторы объясняют данные факты тем, что выкуп акций ухудшает положение облигационеров, поскольку увеличивает у компании соотношение заемных и собственных средств. Объявление о выкупе может привести к изменению рейтинга облигаций, причем наиболее вероятно его понижение, чем повышение. Понижение рейтинга облигаций наиболее вероятно для компаний, объявивших о большом выкупе.
H.Chen и V.Singal исследуют такой феномен как эффект конца недели}6 Эффект конца недели является одной из аномалий с точки зрения теории эффективного рынка и говорит о том, что бумаги характеризуются высокой доходность в пятницу (т.е. в конце недели), и низкой в понедельник. На данную закономерность обратили внимание еще K.French (“Stock Returns and the Weekend Effect”, Journal of Financial Economics 8, 1980), M.Gibbons и P.Hess (“Day of the Week Effects and Asset Returns” Journal of Business 54, 1981). D.Keim и R.Stambaugh (“A Further Investigation of the Weekend Effect in Stock Returns”) нашли, что доходность бумаг в пятницу меньше, если торги проводятся также в субботу. R.Ariel (“High Stock Returns Before Holidays: Existence and Evidence on Possible Causes”, The Journal of Finance 45, 1990) определил, что доходность значительного количества бумаг выше в предпраздничные дни, чем послеп-раздничные. Более поздние исследования показали, что эффект конца недели для больших фирм стал незначительным. Предлагались разные объяснения такой динамики доходности бумаг.
H.Chen и V.Singal полагают, что эффект конца недели в значительной степени объясняется действиями спекулянтов, осуществляющих короткие продажи акций. Для снижения риска они закрывают свои позиции в пятницу, чтобы не держать их открытыми в течение длительного времени, когда торги не ведутся, и вновь открывают их в понедельник. Это и приводит к отмеченной динамике доходности бумаг. Данное объяснение согласуется также с фактом более высокой доходности в предпраздничный день по сравнению с послепраздничным и более низкой доходности в пятницу, если торги проводятся и в субботу. Согласно исследованиям авторов, эффект конца недели сильнее выражен для акций, для которых наблюдается относительно больше коротких продаж, по сравнению с акциями с относительно меньшим числом коротких продаж. Выводы авторы также проверили с учетом наличия торговли опционами пут на акции. Опционы пут на акции впервые появились в июле 1977 г. на Чикагской бирже опционов. По мысли авторов, в определенной степени их можно рассматривать как альтернативу короткой продаже. Поэтому некоторые спекулянты могут короткой продаже акции предпочесть покупку на нее опциона. Кроме того, короткие продажи обычно представляют собой более краткосрочные позиции по сравнению с опционными. Таким образом, если короткие продажи в существенной степени определяют эффект конца недели, то широкий рынок опционов пут по акции должен сокращать величину этого эффекта. Исследования авторов показали, что для акций с активным рынком опционов эффект конца недели уменьшился, в то время как для остальных акций сохранился. Еще одно подтверждение своему объяснению авторы получили на рынке акций ІРО. Рынок ІРО в первую очередь интересен тем, что короткие продажи не спекулятивного характера здесь менее вероятны, поскольку данные акции еще не входят в состав фондовых индексов, и поэтому по ним не распространен арбитраж. Они также не являются кандидатами на потенциальное поглощение. Кроме того, они характеризуются значительной волатильностью, что отталкивает не спекулятивных инвесторов. На акции ІРО нет развитого рынка опционов. Данные по рынку ІРО согласуются с гипотезой авторов: ІРО с относительно большим количеством коротких продаж характеризуются более сильным эффектом конца недели. Также авторы нашли, что более волатильные акции имеют более выраженный эффект конца недели. Они объясняют это тем, что такие акции являются более рискованными по сравнению с менее волатильными. Поэтому играющие на понижение спекулянты более склонны закрывать свои позиции на выходные по данным бумагам.
Как известно, значительный спрос на акции со стороны институциональных инвесторов приводит к росту их курсовой стоимости. Поэтому, в целях активного управления портфелем интересно выяснить закономерности действий таких инвесторов на рынке. Краткосрочный аспект данного вопроса затронут в исследовании J.Griffin, J.Harris и S.Topaloglu. Они проанализировали зависимость между дневной доходностью и торговой активностью институциональных и индивидуальных инвесторов на следующий день на примере акций, входящих в индекс НАСДАК 100, за период с 1 мая 2000 г. по 28 февраля 2001 г. На основе доходности бумаг за день они ежедневно формировали 10 портфелей по 10 акций в каждом. В первый портфель входили наиболее доходные акции, в последний - наименее доходные. На следующий день по каждому портфелю определялась пропорция акций, по которым институциональные инвесторы выступали чистыми покупателями, т.е. в большей степени покупали их, чем продавали.
Если с их стороны преобладали продажи акций, то чистыми покупателями считались индивидуальные инвесторы. Исследования показали: на следующий день в 65,2% случаях институциональные инвесторы в большей степени покупали, чем продавали акции из первых, т.е. самых доходных, портфелей. Одновременно для последних, т.е. наименее доходных портфелей, они выступали чистыми покупателями только для 41,3% акций. Таким образом, институциональные инвесторы на 23,9%=(65,2%-41,3%) больше склонны покупать акции, которые характеризовались более высокой доходностью за предыдущий день, чем акции с низкой вчерашней доходностью. Соответственно для последних бумаг преимущественными покупателями являются индивидуальные инвесторы. Авторы заключают, что “...институциональные инвесторы рассматривают недавние движения доходности в положительном направлении или новости, связанные с такими движениями, как сигнал к покупке, а индивидуальные инвесторы рассматривают положительную доходность как возможность продать” бумаги. Таким образом, возникает вопрос, “...почему две группы инвесторов так по-разному интерпретируют информацию, связанную с прошлым движением цены бумаги.”
Относительно новым явлением на финансовом рынке являются слияния инвестиционных взаимных фондов. В связи с этим важным представляется вопрос о реакции рынка на такие действия. Интересное исследование данного вопроса провели N. Jayaraman, A. Khorana и Е. Nelling. Авторы проанализировали слияния 742 открытых взаимных фондов (open-end mutual fund) за период с октября 1994 г. по декабрь 1997 г. Они выяснили, что до момента поглощения поглощаемые фонды показывали худшие результаты по сравнению с фондами, которые их приобретали. Кроме того, они были меньших размеров и характеризовались большими издержками. Через год наибольшую выгоду от поглощения получали акционеры поглощаемых фондов, поскольку после поглощения результаты деятельности фонда для них оказывались выше в сравнении с результатами периода до поглощения. В то же время, положение акционеров поглотившего фонда ухудшалось, поскольку показатели прибыльности фонда после слияния снижались.
В течение года до слияния поглощающий и поглощаемый фонды испытывали отток финансовых средств. Причем он был более существенным для поглощаемого фонда. После слияния в течение года тенденция к оттоку капитала из фонда даже усиливалась.
Были исследованы слияния двух типов: двух фондов, принадлежащих к одной семье, и фондов, относящихся к разным семьям. По мнению авторов, поглощение фонда в рамках одной семьи обусловлено плохими результатами его деятельности и преследует цель улучшить результативность в частности за счет экономии на масштабе, поскольку после слияния новый фонд обладает уже совместными активами. Поглощение фонда из другой семьи больше объясняется стратегическими мотивами, например, расширением инвестиционных целей.
Краткие выводы
Возможной стратегией активного управления портфелем является приобретение акций при их первичном публичном размещении (ІРО). Данные статистики показывают, что покупка акций при ІРО и продажа их в первый день торгов, как правило, приносит сверхприбыль.
Чем больше ІРО распределяется между институциональными инвесторами, тем значительнее недооценены бумаги.
Акции компаний ІРО приносят прибыль при их скорой продаже. В долгосрочной перспективе - в течение трех-пяти лет - они показывают, как правило, результаты хуже, чем фондовые индексы и акции сравнимых компаний. Однако такой динамикой характеризуются компании ІРО, которые стали публичными в период экономических подъемов на рынке. Компании ІРО, ставшие публичными в условиях сдержанной конъюнктуры, демонстрируют в последующем хорошие результаты.
Сообщение о получении банковского кредита фирмой приводит к росту котировок ее бумаг.
Объявление о выпуске фирмой обыкновенных акций обычно отрицательно сказывается на доходности ее бумаг.
Исследования показывают, что если фирма реализует программу выкупа акций и снижает величину дивиденда, то реакция рынка в отношении курса ее акций незначительно отличается от нуля. Для фирм, не выкупающих акции, сообщение о снижение величины дивидендов приводит к существенному падению цены.
Выкуп акций приводит к снижению цен облигаций. Цена облигаций не инвестиционного класса падает в большей степени, чем инвестиционного.
Эффект конца недели говорит о том, что бумаги характеризуются высокой доходность в пятницу и низкой в понедельник. Для акций с активным рынком опционов эффект конца недели уменьшился, в то время как для остальных акций сохранился. Более волатильные акции имеют более выраженный эффект конца недели.
Институциональные инвесторы рассматривают недавнее движение доходности бумаги в положительном направлении как сигнал к ее покупке, а индивидуальные инвесторы как сигнал к ее продаже.
ГЛАВА 8. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Настоящая глава посвящена вопросу принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности рыночной конъюнктуры. Вначале мы охарактеризуем функцию полезности инвестора, после этого остановимся на выборе оптимального портфеля. В заключение главы рассмотрим принцип стохастического доминирования и эффект выбора среднего портфеля.
8.1. Функция полезности инвестора
8.1.1. Концепция полезности и аксиомы рационального выбора
Один из основополагающих вопросов теории состоит в изучении поведения инвесторов на финансовом рынке, определении мотивов и закономерностей в принятия ими решений. Рыночная экономика - это экономика неопределенности и риска. Постоянное изменение конъюнктуры, которое проявляется в изменении собственно цен товаров, валютных курсов, курсов ценных бумаг, процентных ставок, приводит к тому, что большая часть решений участников финансового рынка принимается в условиях неполной информации. Ограниченность или неточность информации приводит к двум возможным ситуациям -принятию решений в условиях: а) риска и б) неопределенности. В первом случае лицо, принимающее решение, знает законы распределения случайных величин, входящих в модель принятия решения. Во втором случае информация о законах распределения случайных величин отсутствует.
В финансовой теории поведение инвестора рассматривают в рамках концепции полезности. Владение богатством, - оно может быть представлено в разной форме, например, в виде денег, финансовых активов, недвижимости и т.п., - приносит инвестору полезность. Полезность богатства для каждого человека является субъективным понятием и может включать разные аспекты. Так, владение определенным уровнем богатства обеспечивает инвестору определенный уровень потребления, позволяет занять определенное место в социальной иерархии, является фактором престижа, приносит дополнительное богатство и т.д., т.е. дает ему возможность удовлетворять свои потребности. Применительно к финансовому активу его полезность для инвестора целесообразно рассматривать с точки зрения приносимого им дохода или доходности. Приобретая рискованные активы, инвестор действует в условиях риска и неопределенности. В результате полезность, которую он может получить от владения активом, зависит от будущей конъюнктуры рынка. Разные ситуации, например, экономический подъем или спад, определят и разную полезность одного и того же актива, так как он принесет разные суммы денег. В результате возникнут разные возможности для удовлетворения потребностей инвестора. Будущая конъюнктура не поддается точному прогнозированию, поэтому полезность рискованно-го актива целесообразно оценивать как среднее значение полезностей, характеризующих в глазах инвестора данный актив для каждой возможной ситуации на рынке. В этом случае говорят об ожидаемой полезности актива, т.е. его средней полезности.
Пусть финансовый актив S может принести п различных результатов с известными вероятностями /?,, р2,...,рп, и каждому результату для инвестора соответствует полезность ?/,, U2,...,Un. Тогда ожидаемая полезность актива рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная величина, где весами выступают вероятности получения соответствующего уровня полезности:
І=1
где - ожидаемая полезность, приносимая инвестору активом S;
{/(s) - функция полезности инвестора;
?/,(s) - полезность, приносимая инвестору активом S в случае наступления / -го события.
Приведенная выше формула соответствует случаю дискретной случайной величины, например, доходу, приносимому финансовым активом. Если случайная величина является непрерывной, например, рассматривается доходность актива, то ожидаемая полезность определяется как:
Гп
г\
где F - функция распределения доходности актива;
Г|; гп — крайние значения интервала доходностей, которые может принести
финансовый актив.
В условиях неопределенности рыночной конъюнктуры в основе принятия инвестором решений лежит функция ожидаемой полезности. С ее помощью можно сравнивать альтернативные варианты решений, сопоставляя каждому из них некоторый уровень полезности и обозначая его некоторым числом. Поэтому процесс принятия решения на финансовом рынке сводится к максимизации функции ожидаемой полезности. Такую теоретическую посылку можно использовать только в том случае, если принятие решений инвесторами основывается на определенных принципах рационального поведения. Аксиомы рационального поведения человека в условиях неопределенности были разработаны Дж.Фон-Нейманом и О.Моргенштерном. Они сводятся к следующим положениям.
Аксиома сравнимости. Она говорит о том, что инвестор всегда может сравнить альтернативные варианты решений по степени их предпочтительности. Если имеются две альтернативы (например, два актива или два вероятностных исхода) -А и 2?, то либо А предпочтительнее В (А>В), либо В предпочтительнее А (А<В), либо они эквивалентны (А~В).
Аксиома транзитивности или устойчивости. Она предполагает устойчивость сравнимых предпочтений инвестора. Это означает, что если А>В и В>С, то А>С, т.е. А предпочтительнее С. Аналогично, если А~В и В~С, то А~С, т.е. А эквивалентно С.
Аксиома независимости. Она говорит о том, что отношения предпочтения сохраняются между двумя альтернативами и в случае, если они входят в состав более сложных альтернативных решений. Пусть а - это число в диапазоне от нуля до единицы (например, доля, с которой активы А и В входят в состав инвестиционного решения, или значения вероятности событий А и В). Тогда для каждого из случаев: А>В, А<В и А~В должны соответственно выполняться предпочтения выбора:
Аа+( 1 -а)С>/?а+( 1 -а )С,
Аа+( 1 -а)С<ва+( 1 -а )С,
А а+( 1 -а)С~2?а+( 1 -а )С
Аксиома непрерывности или измеримости. Пусть между активами существует порядок предпочтений А>В>С. Тогда существует такое значение 0 < а<1, что для него выполняется отношение эквивалентности:
Аа+(\-а)С~В
Из аксиомы следует, что любой актив, каким бы менее предпочтительным он ни был (в нашем случае это актив С), может быть выбран инвестором в комбинации с другими активами, поскольку эта комбинация эквивалентна некоторому промежуточному инвестиционному решению. Из нее также вытекает, что, принимая решения, инвестор не будет автоматически отбрасывать одни активы и делать однозначный выбор только в пользу других. Название измеримости в аксиоме означает, что величину а можно использовать в качестве меры измеримости комбинированной альтернативы, поскольку она эквивалентна некоторой известной промежуточной простой альтернативе.
Аксиома ранжирования. Пусть между альтернативами существует порядок предпочтений А>В>С и A>D>C, и существуют значения 0<а<1 и 0<Р<1 такие что:
Аа+(\-а)С~В, (8.1)
ЛР+(1-р)С~/> (8.2)
Тогда для случаев а>р, а<Р и а=Р должен выдерживаться порядок предпочтений соответственно: B>D, B
На основе данной аксиомы также можно определить степень предпочтительности комбинированных альтернатив. Так, если а>р, то альтернатива (8.1), состоящая из А в пропорции а и С в пропорции (1-а) предпочтительнее альтернативы (8.2), в которую А и С входят соответственно в долях Р и (1-р). Получив количественную оценку каждой из альтернатив, можно решать задачу максимизации значения функции ожидаемой полезности инвестора.
Еще одним важным условием анализа поведения инвестора является положение о том, что инвесторы предпочитают большее количество богатства его меньшему количеству, а также положение о не насыщаемости потребности инвестора в богатстве и, соответственно, росте его общей полезности с ростом богатства. Если можно допустить полное насыщение потребностей человека вследствие потребления какого-либо товара или услуги и предположить отрицательный эффект от его дальнейшего потребления, то этого нельзя сказать одновременно о всех товарах и услугах. Поэтому рост богатства, открывая доступ к потреблению все большего разнообразия и качества товаров и услуг, ведет к росту общего уровня полезности.
8.1.2. Общая характеристика функций полезности и ожидаемой полезности
В основе концепции полезности лежит функция полезности инвестора. Она представляет собой зависимость между полезностью, получаемой инвестором от владения богатством, и уровнем этого богатства. Поскольку полезность является субъективным понятием для каждого человека, она трудно сравнима между разными лицами. Однако использование функции полезности позволяет дать характеристику действиям конкретного инвестора и, соответственно, лучше понять общий вектор принятия решений участниками рынка.
Чтобы анализировать поведение инвестора с помощью функции полезности, необходимо определить ее форму. Как было отмечено в параграфе 8.1.1, разумно предположить, что инвестор всегда предпочтет большее количество богатства его меньшему количеству, поскольку больший уровень богатства открывает дополнительные возможности для реализации его потребностей. Поэтому функция полезности должна иметь возрастающую форму.
Владение богатством (деньгами, активами) приносит инвестору полезность. Рост количества богатства приносит ему дополнительную, т.е. предельную полезность. С ростом богатства увеличивается общая величина полезности. Однако следует подчеркнуть, что, предельная полезность не обязательно пропорциональна количеству получаемого дополнительного богатства. Кроме того, для разных инвесторов единица богатства может обладать разной полезностью. Проиллюстрируем сказанное на примере.
Пример.
Инвестиции в 100 тыс. руб. с равной вероятностью могут принести доход либо в 200 тыс. руб., либо нулевой доход. Тогда ожидаемый доход от инвестиций равен:
200-0,5+ 0-0,5 = 100 тыс. руб.
Можно ли такой ожидаемый результат рассматривать как приемлемый для инвестора? Ответ на вопрос не в последнюю очередь зависит от его финансового положения. Если 100 тыс. руб. - это вся сумма, которой располагает инвестор, то скорее всего рассчитанный результат для него не подходит: потенциальный риск потерять всю сумму денег не компенсируется адекватным потенциальным вознаграждением - получением в случае успеха 200 тыс. руб. Напротив, если инвестор располагает большим капиталом, например, в 1 млн. руб., то риск для него может оказаться приемлемым. Таким образом, индивидуальная полезность одной и той же суммы денег (100 тыс. руб.) не одинакова для первого и второго инвесторов. Для второго лица она меньше, поэтому оно готово рискнуть, несмотря на возможность потерять деньги.
Большая часть решений в экономике принимается в условиях неопределенности будущей конъюнктуры. Поэтому выбор инвестора в условиях риска основывается на функции ожидаемой полезности. Поскольку результат от владения активом точно не определен, то, принимая решение о его покупке, необходимо учитывать как возможный доход, так и риск неполучения этого дохода. В связи с этим в качестве аргументов функции ожидаемой полезности следует рассматривать ожидаемый доход (богатство) и риск неполучения данного дохода. Как было показано в приведенном выше примере, принятие инвестиционного решения зависело не только от абсолютной величины ожидаемого результата, но и его возможной дисперсии, т.е. риска неполучения положительного результата. В примере абсолютная величина дисперсии результата изменялась от полной потери инвестированных денег до получения 200 тыс.
руб. Такая дисперсия была неприемлема для первого инвестора и допустима для второго.
В примере ожидаемый результат - потенциальный прирост богатства - и его дисперсия были представлены в абсолютных величинах, в рублях. Картина принципиально не изменится, если от абсолютных величин перейти к относительным, т.е. представить ожидаемый результат показателем доходности инвестиций, а риск - показателем дисперсии доходности.
Всех инвесторов можно разделить на три группы: а) не склонных к риску; б) склонных к риску и в) нейтральных к риску. Инвестор считается не склонным к риску, если из двух активов с одинаковой ожидаемой доходностью, но разным риском, он выберет менее рискованный актив, т.е. актив с меньшей дисперсией результатов. В финансовой теории полагается, что большинство инвесторов не склонны к риску. Это, однако, не означает, что они не готовы идти на более высокий риск. Это говорит лишь о том, что в случае увеличения риска актива в качестве потенциальной компенсации они требуют и более высокой ожидаемой доходности с его стороны.
Инвестор считается склонным к риску, если из двух активов с одинаковой ожидаемой доходностью, но разным риском, он выберет более рискованный актив, т.е. актив с большей дисперсией результатов. Такой инвестор предпочитает рискнуть в надежде получить более высокую доходность в случае благоприятного исхода, однако может понести и потери при неблагоприятном развитии событий. Он рассчитывает получить дополнительную полезность от дополнительного риска.
Инвестор считается нейтральным к риску, если он не учитывает его при принятии инвестиционных решений. Это означает, что инвестор безразличен в выборе между двумя активами с одинаковой ожидаемой доходностью, но разным риском. Как правило, инвесторы нейтральны к риску для его небольших значений.
Как было отмечено выше, функция полезности, т.е. зависимость полезности от уровня богатства, является возрастающей. Однако ее форма должна отличаться в зависимости от степени склонности инвестора к риску. Для выяснения формы функции полезности каждой группы инвесторов, определим их несколько иначе, чем было сделано выше. Пусть инвестор может выбирать между покупкой актива и гарантированным получением суммы денег равной по величине ожидаемому доходу этого актива. В первом случае возникает риск, так как фактический доход по активу может оказаться как выше, так и ниже его ожидаемого дохода. Инвестор, предпочитающий получить сумму денег равную ожидаемому доходу актива, чем купить актив, является не склонным к риску. Инвестор, выбирающий покупку актива, вместо получения суммы денег равной его ожидаемому доходу, является склонным к риску. Инвестор безразличный в выборе между получением суммы денег равной ожидаемому доходу актива и его покупкой является нейтральным к риску.
Переформулируем приведенные определения с использованием понятий функций полезности и ожидаемой полезности. Инвестор является не склонным к риску, если значение функции полезности от получаемой суммы денег равной ожидаемому доходу, больше значения функции ожидаемой полезности от покупки актива. Инвестор склонен к риску, если значение функции полезности от получаемой суммы денег равной ожидаемому доходу актива меньше значения функции ожидаемой полезности от покупки актива. Если оба значения для него одинаковы, он нейтрален к риску.
Пусть некоторый актив S может принести только два результата - доход а с вероятностью р и доход Ь с вероятностью (l-р). Тогда ожидаемый доход актива E(S) составляет:
E(s) = ар + b{\ - р)
Величина полезности, получаемая инвестором как функция от гарантированной суммы равной ожидаемому доходу актива, равна:
U{E(S)} = u[ap+b{l-p)],
где ?y[/r(iS)] - полезность гарантированно получаемой суммы, равной ожидае-
мому доходу актива.
Значение ожидаемой полезности іі[?/(5)] рискованного актива, на которое инвестор ориентируется при принятии решения о его покупке, определяется как средневзвешенная полезность каждого из возможных фактических результатов. Весами выступают вероятности исходов. В нашем случае она равна:
?[?/(S)]=t/(o)p + J/(4Xl-p) (8.3)
Функция (8.3) является линейной комбинацией полезностей 1/(а) и U(b) для разных значений вероятностей исходов. Поэтому графически она представляет собой прямую линию, соединяющую эти точки.
Выше мы определили, что инвестор не склонен к риску, если значение его функции полезности от суммы, соответствующей ожидаемому доходу, больше значения ожидаемой полезности от покупки актива, т.е. ФМ > ф(5)] или:
і/[ар+b(1 - /?)] > и(а)р + U{b\\ - р) (8.4)
Поскольку графически правая часть неравенства (8.4) - это прямая линия, то его левая часть должна представлять собой выпуклую вверх функцию на участке ab . Таким образом, неравенство (8.4) показывает, что функция полезности инвестора не склонного к риску имеет выпуклую вверх форму. Ее график представлен на рис. 8.1. По оси ординат откладывается полезность (и), по оси абсцисс - богатство (??). Как видно из графика, по мере роста богатства инвестора растет и его общая полезность, однако дополнительная, или предельная, полезность богатства падает. Это означает, что с увеличением богатства инвестора на одинаковую величину получаемая им предельная полезность уменьшается, т.е. функция предельной полезности его богатства является убывающей. Так, при росте богатства с w, до w2 полезность инвестора выросла с U] до U2. При дальнейшем росте богатства на такую же величину с w2 до ??3 предельная полезность выросла на меньшую величину - с и2 до иъ. График также показывает, что
изменение богатства на одну и ту же величину вызывает большее падение полезности инвестора при уменьшении богатства, чем при его росте. Если богатство инвестора в данный момент находится на уровне w2, то уменьшение его до величины W, приведет к большей потери полезности, чем ее увеличение при росте богатства до w3. Не склонный к риску инвестор при утрате части богатства теряет больше полезности, чем получает ее при приросте богатства на такую же величину. Поэтому среди рискованных активов с одинаковым уровнем ожидаемой доходности он всегда выберет менее рискованный. Поскольку функция полезности не склонного к риску инвестора является возрастающей, то ее первая производная положительна, т.е. ?/'(w)>0. Предельная полезность является величиной убывающей, поэтому вторая производная функции полезности отрицательна, т.е. U"(w)< 0.
Правая часть неравенства (8.5) является прямой линией. Следовательно, его левая часть должна быть функцией выпуклой вниз на участке аЪ. Таким образом, неравенство (8.5) показывает, что функция полезности инвестора склонного к риску имеет выпуклую вниз форму. Она изображена на рис. 8.2.
Поэтому график его функции полезности представляет собой прямую линию, как показано на рис. 8.3. Для него величина предельной полезности остается неизменной при изменении богатства.
(і — р). Ожидаемый доход актива составляет:
E(s)~ ap + b(l-р)
Ожидаемая полезность от покупки рискованного актива равна ?[{/(?)]. На рис. 8.4 ее значение найдем, опустив перпендикуляр из точки е на ось ординат. Не склонный к риску инвестор не будет покупать данный актив, поскольку полезность от получения гарантированной суммы E(S) согласно графику составляет и она больше величины ?[?/(?)]. В то же время на графике функ
ции полезности существует точка g, соответствующая доходу с, в которой полезность инвестора такая же как и в точке е. Это говорит о том, что с точки зрения полезности инвестор безразличен в выборе между гарантированным получением суммы с и покупкой рискованного актива с ожидаемым доходом 4s). Уровень дохода с является эквивалентным гарантированным доходом, соответствующим ожидаемому доходу .
Для не склонного к риску инвестора разность [?’(5)-с] является величиной положительной. На основе сказанного можно сделать вывод о том, что не склонный к риску инвестор выберет рискованный актив, если премия за риск для него больше премии за риск Марковца и актив без риска, если она меньше. При равенстве данных величин оба актива для него являются одинаковыми.
Рассмотрим на примерах, как можно определить величину гарантированной эквивалентной суммы для рискованных инвестиций и премию за риск Марковца.
Если лотерейный билет стоит больше 12,5 руб., то инвестору следует не участвовать в лотерее, так как полезность суммы стоимости лотерейного билета больше ожидаемой полезности от лотереи.
Премия за риск Марковца равна:
E(s)-wc= 50-12,5 = 37,5руб.
Если премия за риск Марковца больше 37,5 руб., т.е. билет стоит меньше 12,5 руб., то инвестор будет участвовать в лотерее, если она меньше, он не примет в ней участия. Сумму в 37,5 руб. можно определить как ту страховку, которую готов уплатить инвестор, чтобы гарантированно получить сумму равную ожидаемому доходу лотереи, т.е. 50 руб. Данную сумму можно рассматривать как меру ценности для инвестора гарантированной суммы дохода в 50 руб.
Пример 2.
В примере 1 мы не учитывали состояние богатства инвестора. Рассчитаем премию Марковца для случая, если начальное богатство инвестора составляет 1000 руб. Из этой суммы инвестор покупает лотерейный билет.
Полезности от всего богатства инвестора в случае реализации первого и второго исходов лотереи соответственно равны:
и(100) = ?і000+ 100 = 10,3228,
t/(o)=Viooo+o=io
Ожидаемая полезность богатства с учетом ожидаемых результатов лотереи составляет:
E(U) = 0,5 • 10,3228+ 0,5 • 10 = 10,1614
Гарантированная эквивалентная сумма, полезность которой равна ожидаемой полезности богатства с учетом возможного результата лотереи, составляет:
??с = 10,16143 = 1049,206^6.
Величина ожидаемого богатства инвестора с учетом лотереи равна:
44?)] =0,5-1000 + 0,5 • 1100 = 1050руб.
Отсюда премия Марковца составляет:
1050-1049,206 = 0,794руб.
Таким образом, инвестор готов уплатить сумму (страховку) в 0,794 руб., чтобы гарантировать получение суммы эквивалентной ожидаемому доходу лотереи, т.е. 50 руб., чем испытывать случайный результат выиграть 100 руб. или ничего не выиграть.
Как было отмечено выше, с ростом богатства не склонного к риску инвестора его предельная полезность уменьшается. Приведенные примеры характеризуют данную ситуацию. Пример 1 можно рассматривать как случай с нулевым начальным богатством инвестора. Во втором примере начальное богатство составляло 1000 руб. В первом примере ценность гарантированной суммы равной ожидаемому доходу лотереи, т.е. 50 руб., была для инвестора выше, чем во втором. Для обеспечения ее получения он готов был уплатить страховку в 37,5 руб., а во втором примере - только 0,794 руб., т.е. ценность единицы денег для инвестора во втором случае уменьшилась. Поэтому он готов уплатить за гарантированное получение того же результата меньшую стоимость.
8.1.4. Коэффициенты абсолютной и относительной не склонности к риску
Склонность инвестора к риску определяется выпуклостью функции полезности. Поэтому в качестве меры не склонности к риску можно взять показатели, которые бы говорили о ее выпуклости. Используют два показателя: коэффициент абсолютной не склонности к риску и относительной не склонности к риску.
Коэффициент абсолютной не склонности к риску называют мерой Эрроу-Пратта (Arrow-Pratt). Для небольших значений риска он показывает величину компенсации, которую требует инвестор за принимаемый риск. Он равен:
(8.9)
Л_ Ц'М
U'(w) ’
где А - коэффициент абсолютной не склонности к риску;
U’iyv) - первая производная функции полезности, и U'(w) ф 0;
U"(w) - вторая производная функции полезности.
Первая производная функции в некоторой точке определяет наклон кривой в этой точке, вторая производная - изменение наклона кривой в этой точке. Таким образом, коэффициент А представляет собой относительное изменение наклона функции полезности в каждой данной точке, т.е. изменение наклона кривой при изменении уровня богатства на небольшую величину, деленное на величину наклона кривой в этой точке. Поскольку предельная полезность инвестора не склонного к риску является величиной убывающей, то вторая производная функции полезности отрицательна. Поэтому, чтобы сделать коэффициент не склонности к риску величиной положительной, в формуле (8.9) ставим знак минус. Чем больше значение второй производной (по абсолютной величине), тем выпуклее функция. Поэтому большее значение коэффициента характеризует большую не склонность инвестора к риску.
Если по мере роста богатства инвестор направляет все больше средств в рискованные активы, то он характеризуется убывающим коэффициентом абсолютной не склонности к риску. Если сумма средств, размещаемых в рискованные активы, остается неизменной, его коэффициент является постоянным. При уменьшении инвестиций в рискованные активы по мере роста богатства коэффициент является возрастающим.
Между премией за риск Марковца для небольших значений риска и коэффициентом абсолютной не склонности к риску можно установить определенную зависимость. Пусть инвестор располагает богатством ??0 и приобретает на
него рискованный актив S (величина w0 = S ), ожидаемый доход которого равен нулю. Полезность, соответствующая такой стратегии инвестора, равна:
?/(w0+s) (8.10)
В выражении (8.10) величину s следует понимать как случайную переменную (доход по активу), которая может принести как положительный, так и отрицательный результат к его начальному богатству w0. Таким образом, полезность
является функцией текущего уровня богатства и случайной переменной, определяющей доход актива.
Разложим выражение (8.10) в ряд Тейлора в окрестности точки w0 до слагаемого второй степени:
U(w„ + s ) » U(w0 )+ U'{w0 > +1 ?/'(% У (8.11)
Возьмем математическое ожидание от обеих частей выражения (8.11):
?[C/(Wo+i)]»?
[/(%)+?/'(%)* Лі/'КУ
ИЛИ
E\u(w, +i)]*C/(w0)+(/Vo№)+i(/"KH^) (812)
В правой части выражения (8.12) второе слагаемое равно нулю, поскольку нулю равен ожидаемый доход актива, т.е. E(s) = 0. В третьем слагаемом элемент
e(s2) представляет собой не что иное как e[s - E(.s)]2 = сг2, т.е. дисперсию дохода актива S. Поэтому выражение (8.12) принимает вид:
E[tf(w0+s)]*tf(>0+|tf'VoW (8.13)
Пусть гарантированной эквивалентной суммой для ожидаемого дохода рискованного актива S выступает величина (w0-z), где z можно рассматривать как сумму страховки, которую готов уплатить инвестор, чтобы исключить риск. Полезность данной суммы для инвестора равна:
U{w()-z) (8.14)
Разложим выражение (8.14) в ряд Тейлора в окрестности точки w0 до первых двух слагаемых:
U(w0-z)*U(w0)-U'(wa)z (8.15)
Величина (w0 - z) является для инвестора гарантированной эквивалентной суммой ожидаемого дохода рискованного актива S. Поэтому ожидаемая полезность владения активом и полезность гарантированной эквивалентной суммы равны, т.е.:
?[?/(w0+s)] = C/(w0-z)
В результате можно приравнять выражения (8.13) и (8.15):
U{wa)+\u-(wa)al *UM-U'(wc)z
ИЛИ
^U”(w0)a2s « -U'(w0)z,
ИЛИ
(8.16)
и'Ы^
U'M 2
U"(w0) crl
Поскольку A =----, to z « A—
U (w0) 2
Представленные выше рассуждения можно рассматривать и как вывод коэффициента абсолютной не склонности к риску. Так, величина z представляет собой разность между начальным богатством инвестора ??0 и уровнем богатства, соответствующим гарантированной эквивалентной сумме - обозначим ее через wc. Поэтому, z = w0 - wc. Данная величина измеряет абсолютную не склонность инвестора к риску. Чем она больше, тем менее он склонен к риску, поскольку в этом случае рискованный актив должен предложить ему более значительный ожидаемый доход по сравнению с величиной wc, чтобы он был безразличен в выборе между рискованным активом и гарантированной эквивалентной суммой. В выражении (8.16) для каждого данного рискованного актива сомножитель {аЦі) является постоянной величиной. Поэтому абсолютную не склонность риска инвестора можно измерить отношением второй и первой производной его функции полезности, т.е.: А = . Можно также отметить,
U'iyv)
что если функции полезности инвесторов отличаются только на некоторую константу, то их коэффициенты абсолютной не склонности к риску будут одинаковыми, поскольку такие функции имеют одинаковые производные.
Коэффициент, обратный коэффициенту Эрроу-Пратта называют коэффициентом допустимости риска. Он равен: где Т - коэффициент допустимости риска, и А * 0.
Еще одной мерой не склонности инвестора к риску является относительный коэффициент не склонности к риску Эрроу-Пратта. Его можно рассматривать как отношение абсолютной величины не склонности к риску инвестора к его начальному богатству. Получим формулу данного коэффициента на основе рассуждений, которые были использованы применительно к выводу коэффициента абсолютной не склонности к риску.
Для начального уровня богатства ??0 и гарантированной эквивалентной
суммы wc абсолютную не склонность к риску мы обозначили как z = w0-wc. Поэтому относительная не склонность к риску есть величина (z') равная:
(8.17)
т.е. это отношение абсолютной величины не склонности к риску к начальному уровню богатства. Величина z' есть не что иное как премия за риск, представленная как превышение доходности рискованного актива над ставкой без риска. Выразим из (8.17) абсолютную не склонность к риску:
(8.18)
Доходность, приносимая рискованным активом rs, равна:
Подставим в него значения z и s из (8.18) и (8.20):
Разложим величину U{w0 + w0r5) в ряд Тейлора в окрестности точки гаемого второй степени:
E{rs )]2 = сг2, т.е. дисперсию доходности актива S. Поэтому выражение (8.22) принимает вид:
E[u(w0 + w0rs)] ~ U(w0)+^U"(w0 )wl
2
Разложим выражение U{w0-wQz'^ в ряд Тейлора в окрестности точки ??0 до первых двух слагаемых:
U(w0 - w0z')« U{w0)-U'(w0)w0z' (8.24)
На основе равенства (8.21) приравняем правые части выражений (8.23) и (8.24):
uM+^u”{w0)w20crl *U{w0)-U'{w0)w0z'
ИЛИ
ИЛИ
u’M'
z' * -¦w0 -2- (8.25)
и'Ы 2
В выражении (8.25) сомножитель [p'IJ'l) является постоянной величиной. Поэтому относительную не склонность риска инвестора (я), опустив коэффициенты при параметре w, можно определить как:
U\w)
R = -w-
(8.26)
U\w)
гг л С/?) то.
Поскольку А =--1— > то.
U\w)
R = wA
Коэффициент абсолютной не склонности к риску можно рассматривать как показатель, который говорит о процентном изменении предельной полезности при абсолютном изменении богатства инвестора. В свою очередь, коэффициент относительной не склонности к риску можно рассматривать как показатель, который говорит о процентном изменении предельной полезности при процентном
изменении богатства инвестора. Проиллюстрируем сказанное, преобразовав формулы (8.9) и (8.26). Соответственно для коэффициентов абсолютной и относительной не склонности к риску получим результаты:
U\w) U\w)
dU
dw1 dw
d2U dU dw2 dw
U\w)
U'(w)
j dU dw
R = -w
--w
= -w
dw
Если функция полезности характеризуется убывающей относительной не склонностью к риску, то для нее R' < 0. Следовательно, инвестор увеличивает пропорцию средств в рискованных активах по мере роста его богатства. При постоянном значении относительной не склонности к риску R’ = 0. Поэтому процент средств, инвестированных в рискованные активы, остается неизменным. Для функции полезности с возрастающим коэффициентом относительной не склонности к риску R' > 0. В этом случае процент инвестированных в рискованные активы средств уменьшается с ростом богатства.
В качестве функций полезности инвестора можно выделить следующие:
• логарифмическую U(w) = ln(vv) ,
• степенную t/(w) = -w_1 ,
• квадратичную U(w) = aw-bw2,
где а и b - константы.
Для логарифмической функции U'(w) = —, U"(w)
—Т ¦ Поэтому Л — — и
W W
R-1. Соответственно А' = —- < О и R’ = 0. Следовательно, логарифмическая
w
функция характеризуется убывающим коэффициентом абсолютной не склонности к риску и постоянным коэффициентом относительной не склонности к риску при росте w.
1 2 2
Для степенной функции U\w) = —-, U”{w) = —г-. Отсюда А- — и R = 2,
w w w
2
и A’ = —г- <0 и R' = 0. Следовательно, степенная функция как и логарифмиче-w
ская характеризуется убывающим коэффициентом абсолютной не склонностью к риску и постоянным коэффициентом относительной не склонности к риску при росте w.
Для квадратичной функции U’(w) = а-2bw, U”(w) = -2b. Предельная полезность инвестора должна быть положительной величиной, поэтому необходимо
2 b 2 bw
выполнение условия U\w) = а-2bw>0. Поэтому А =--— и R =--—, и
а - 2bw а - 2bw
, 2b(a-2bw)+4b2w
и R =——-->0. Следовательно, квадратичная
(а - 2 bwy
?1
А' =
>0
(а - 2 bwf
функция характеризуется возрастающими коэффициентами абсолютной и относительной не склонности к риску при росте w.
Из представленных трех функций в наименьшей степени для характеристики не склонного к риску инвестора подходит квадратичная функция, поскольку оба коэффициента по мере роста богатства являются возрастающими. Это говорит о том, что инвестор с ростом богатства становится все менее склонным к риску. Такое поведение не совсем соответствует действительности, поскольку по мере роста богатства инвестор не склонный к риску готов все больше инвестировать средства в рискованные активы. Кроме того, как видно из рис. 8.7, график квадратичной функции вначале возрастает до максимального значения полезности для богатства на уровне wm и после этого убывает. Точку wm можно найти следующим образом. Выше мы определили, что первая производная функции полезности по богатству равна:
U'(w) = a-2bw
Чтобы найти максимум функции, приравняем ее к нулю:
U'(w) - а- 2 bw - 0
Отсюда:
??„
=fb пре-
Таким образом, при росте богатства инвестора свыше уровня
дельная полезность богатства становится отрицательной. В результате убывает общий уровень полезности, что противоречит здравому смыслу, поскольку дополнительное богатство открывает дополнительные возможности для удовлетворения потребностей в разных областях. Если можно допустить полное насыщение вследствие потребления какого-либо товара или услуги и предположить отрицательный эффект от его дальнейшего потребления, то этого нельзя сказать одновременно о всех товарах и услугах. Поэтому рост богатства должен вести к большему уровня полезности. Соответственно необходимо ограничить
г) +1U"(r\r - г)2
Возьмем от нее математическое ожидание:
ф(г)] = ?
или
Е\и{г)] = U (г)+U' (г)Е(г -r)+hu" (ir)E(r - г)2, (8.27)
где г - фактическая доходность рискованных инвестиций;
г - ожидаемая доходность инвестиций;
U{г) - полезность от ожидаемой доходности инвестиций;
U'(г) - первая производная функции полезности по ожидаемой доходности; она показывает, как изменится полезность инвестора при небольшом изменении ожидаемой доходности актива;
U11 (г) - вторая производная функции полезности по ожидаемой доходности; она показывает, как изменится предельная полезность инвестора при небольшом изменении ожидаемой доходности актива.
В равенстве (8.27) выражение Е{г — г) равно нулю, так как это математическое ожидание отклонения доходности инвестиций от их средней доходности. Выражение Е{г — г)2 представляет собой дисперсию доходности инвестиций (а2), поэтому уравнение (8.27) приводится к виду:
E[U(r)] = U(r)+±U"(r)a2 (8.28)
Уравнение (8.28) показывает, что ожидаемая полезность инвестора является функцией ожидаемой доходности и риска инвестиций, измеренного дисперсией их доходности. Поэтому в общем виде функцию ожидаемой полезности инвестора Е(и) можно записать как:
Е(и)=Е[и{г, а2)]
Функция ожидаемой полезности зависит от ожидаемой доходности и дисперсии доходности. Ее график можно представить в трехмерном пространстве, как показано на рис. 8.8. На графике на гори зонтальной плоскости по одной оси откладывается дисперсия доходности инвестиций, по другой - ожидаемая доходность инвестиций, по вертикальной оси - значения функции ожидаемой полезности. Значения функции образуют поверхность аосЪ. Данную поверхность можно представить в виде набора линий уровня, которые получаются, если разрезать ее горизонтальными плоскостями параллельными плоскости a1 or . Каждая линия уровня характеризуется тем, что значение функции на всем ее протяжении является определенной константой. На графике представлены четыре линии уровня - это сплошные линии под номерами 1, 2, 3 и 4. Линии уровня можно спроецировать на плоскость a2or . На графике проекции линий уровня обозначены пунктирными линиями с теми же номерами. В экономической теории проекция графика линии уровня называется кривой безразличия, а набор таких проекций - картой кривых безразличия. Таким образом, функцию ожидаемой полезности инвестора можно представить в виде проекций линий уровня на плоскость a2or , т.е. как карту кривых безразличия. Для анализа по-
ведения инвестора функцию ожидаемой полезности удобно использовать именно в виде карты кривых безразличия.
dE[u{r)] = d[u(r )\+d
или
dE\u(r)^ = U' (r)dr +^UW +Uj" (r)da1 =0 (8.29)
(Поскольку для каждой линии уровня ожидаемая полезность является константой, то в уравнении (8.29) d?[t/(r)] = 0).
Примем третью производную по ожидаемой доходности ит{г) за ноль. Тогда уравнение (8.29) запишется как:
dE\u{r)\ = U'(r)dF + hj"(r)do-2 = 0 (8.30)
Разделим уравнение (8.30) на U'(r):
dE[u(r)] = dr +]-^Jprd(j2 =0 (8.31)
2 U (г)
U" (г)
Выражение--ггх есть коэффициент абсолютной не склонности к риску. Уч-
U (г)
тем его в формуле (8.31) вместе с сомножителем (1/2) и обозначим через RA:
1 и" (г)
А 2 U'{г)
Тогда формулу (8.31) можно записать как:
dE[u(r)]-dr -RAda2 = 0 (8.32)
Величина обратная RA называется коэффициентом допустимости риска (т?г),
т. е. RT — ——. С учетом этого формула (8.32) примет вид:
Ra
(8.33)
dE[u{r)] = dr——dcr2 =0 RT
Проинтегрируем уравнение (8.33):
Ф(г)] = г-±*2
-/vj'
Выразим из него значение ожидаемой доходности:
г =е[і/ (г)]+—сг2
(8.34)
RT
Уравнение (8.34) является уравнением кривой безразличия. Величина Е[и(г)] представляет собой точку, в которой график уравнения (8.34) пересекает ось ординат. Она соответствует ожидаемой полезности инвестора для случая,
когда риск портфеля равен нулю. Величина —или соответственно RA пред
ку.
ставляет собой тангенс угла наклона графика к оси абсцисс. Таким образом, коэффициент не склонности к риску измеряет угол наклона кривой безразличия к оси абсцисс, т.е. он измеряет риск в единицах ожидаемой доходности. Он говорит о том, сколько единиц ожидаемой доходности приходится на единицу риска, или на сколько единиц должна возрасти ожидаемая доходность инвестиций для вкладчика, чтобы компенсировать увеличение риска на одну единицу. Чем больше значение RA, тем инвестор менее склонен к риску, и наклон графика кривой безразличия является более крутым. Это означает, что инвестор требует большего вознаграждения при дополнительном увеличении риска. На основе сказанного коэффициент абсолютной не склонности (или неприятия риска) можно определить как:
д,=
dEk)
dcri
Поскольку коэффициент допустимости риска RT является величиной обратной Ra , то он говорит о том, сколько единиц риска готов принять инвестор при увеличении ожидаемой доходности портфеля на одну единицу или, сколько единиц риска приходится на единицу ожидаемой доходности. Соответственно его можно определить как:
С или D. В то же время кривые безразличия характеризуются тем, что любой портфель, который расположен на более высокой кривой безразличия, приносит инвестору большую ожидаемую полезность. Так активы С и D предпочтительнее для вкладчика по сравнению с активами А и В. Если сравнить активы А и С, то риск у них одинаковый, однако ожидаемая доходность актива С выше, поэтому он предпочтительнее для инвестора. Кривые безразличия не могут пересекаться, поскольку каждой из них соответствует свой уровень полезности инвестора.
?W = 0m?('*J+(1-0j'/> (8-35)
где Е{гт) - ожидаемая доходность рыночного портфеля; rf - ставка без риска.
Риск портфеля А пропорционален риску рыночного портфеля и равен:
(836)
где сгт - риск рыночного портфеля.
Из уравнения (8.35) уд. вес рыночного портфеля можно представить как:
(8.37)
(8.38)
ЯЫ-Г,
Е(гяУ
Подставим значение ?т из уравнения (8.37) в уравнение (8.36):
ЕІга)-гА 2
E(rm)-rf\
Продифференцировав уравнение (8.38) по е{га), получим значение коэффициента допустимости риска:
Пример.
Ставка без риска равна 20%, ожидаемая доходность рыночного портфеля -40%, портфеля из безрискового актива и рыночного портфеля - 35%, риск рыночного портфеля - 30%. Определить коэффициент допустимости риска. Решение.
Он равен:
302 = 67,5
RT =
2(35-20) (40-20)2
Задача менеджера состоит в том, чтобы определить наиболее высоко расположенную кривую безразличия, доступную инвестору. Для этого достаточно определить значениеE\U(г)], принадлежащее кривой безразличия, которая является касательной к эффективной границе. Доходность в точке іі[?/(г)] называют гарантированной эквивалентной доходностью, так как с точки зрения полезности она эквивалентна доходности портфеля в точке касания кривой безразличия эффективной границы. ?Г[с/(г)] определяется из уравнения (8.34):
Ф(г)] = гр~^р, (8.39)
ivj'
где гр - ожидаемая доходность портфеля инвестора;
(г2р - риск портфеля инвестора.
Допустим, менеджер должен максимизировать значение ^[[/(г)] в уравнении (8.39). Ему необходимо определить, какое количество различных активов следует включить в портфель при известном значении RT. Задача для случая возможности отрицательности уд. весов активов в портфеле решается с помощью метода множителей Лагранжа. Ее можно сформулировать следующим образом. Максимизировать значение функции (8.39) при условии, что:
II
^1
/=1 І=1 7=1
Г(
It-1
, СО?.
R,
Т 1=1 j=1
V 1=1
Найдем частные производные функции L по ?хи Я и приравняем их к нулю:
“--о
д?,
(8.44)
..........., i = l,2...n
дЛ
Решаем систему уравнений (8.44).
Найти уд. веса активов в портфеля, максимизируя значение функции (8.43), можно с помощью программы Excel.
8.3. Выбор оптимального портфеля при пассивной стратегии
При осуществлении пассивной стратегии инвестор на основе рыночного портфеля формирует заемный или кредитный портфель в зависимости от своей склонности к риску. Оптимальные портфели представлены на рис. 8.13. Они располагаются в точках касания кривых безразличия эффективной границы. Портфель 1 является кредитным, портфель 2 - заемным. Для формирования данных портфелей инвестору необходимо определить пропорцию включения в портфель рыночного портфеля М и безрискового актива на условиях заимствования или кредитования. Это можно сделать на основе следующих рассуждений.
угол наклона равен:
drp __ E{rm)~rf
(8.45)
На основе уравнения кривой безразличия (8.34) он составляет:
drn 2(7 п d<7 р RT
(8.46)
Приравняем уравнения (8.45) и (8.46):
(8.47)
(8.48)
E(rm)~rf = 2q~P RT
Риск портфеля, формируемого в рамках пассивной стратегии, равен:
сг = ?т(Т„
р m п,
где ?т - уд. вес. рыночного портфеля в пассивном портфеле;
<гт - риск рыночного портфеля.
Подставим значение а из (8.48) в (8.47):
E(rm)~rf 2 ?тат
°т RT
Отсюда:
в = ДгИ'-.)-'/] (8.49)
2 <
Таким образом, если менеджер имеет представление о значении коэффициента допустимости риска, то по формуле (8.49) он получит уд. вес рыночного портфеля в формируемом пассивном портфеле.
Соответственно, из формулы (8.49) можно получить значение коэффициента RT:
Rj
Данную формулу можно использовать для определения коэффициента допустимости риска, если инвестор имеет представление о пропорции, в которой бы он хотел включить в пассивный портфель рыночный портфель.
8.4. Максимизация количества стандартных отклонений между доходностью портфеля и целевым уровнем
В ряде случаев при управлении портфелем менеджер будет иметь определенные обязательства перед клиентом по уровню доходности. В свою очередь, он инвестирует средства в более доходные активы. Поэтому менеджеру целесообразно построить портфель таким образом, чтобы его доходность никогда не опускалась ниже взятых обязательств. В мире неопределенности возможен любой исход событий. Однако менеджер, принимая инвестиционное решение, должен минимизировать вероятность того, что доходность его портфеля окажется ниже взятых обязательств.
Если предположить, что доходность портфеля подчиняется нормальному распределению, то менеджер должен сформировать портфель таким образом, чтобы между его ожидаемой доходностью и доходностью по взятым обязательствам клиента располагалось максимально возможное значение стандартных отклонений доходности портфеля, т. е. он должен максимизировать величину:
Пример.
Портфели А, В и С имеют следующие характеристики:
Е(га) = 30%, аА = 40%, Е(гв) = 25%, ав = 30%, Е(гс) = 20%, ас = 18%, г = 15%.
Какой портфель следует выбрать, чтобы максимизировать значение стандартных отклонений между его доходностью и доходностью по обязательствам инвестора.
Решение.
Величина d для портфеля А равна:
30-15
40
dA
0,375
и соответственно dB — 0,33;dc - 0,28. В данном случае менеджеру следует остановить свой выбор на портфеле А.
Если портфели с различными параметрами риска и доходности имеют одинаковое значение d, то любой из них соответствует целям менеджера. Преобразуем формулу (8.50) следующим образом:
E(rp)=r + dap (8.51)
Тогда формулу (8.51) можно рассматривать как функцию ожидаемой полезности инвестора, т.е. кривую безразличия, которая пересекает ось ординат в точке г (см. рис. 8.14). В данном случае получается веер кривых безразличия, которые проходят через одну точку г. Кривая безразличия с более крутым наклоном приносит инвестору большую полезность. Оптимальный портфель будет располагаться в точке касания эффективной границы АВС графиком кривой безразличия. На рис. 8.14 это портфель В.
E[U(l)]>E[U(2)] (8.52)
Тогда с учетом функций распределения доходности портфелей неравенство (8.52) эквивалентно неравенству:
гп гп
\U(r)dF(r)> \u(r)dG(r) (8.53)
r\ r\
Неравенство (8.53) выдерживается в том случае, если
F{r) < G{r) для всех г, (8.54)
и
F(r)
т.е. функция распределения G для каждого данного значения г имеет по крайней мере такое же или большее значение, чем функция распределения F. Таким образом, функция распределения доходности более предпочитаемого портфеля никогда не превосходит функции распределения доходности менее предпочитаемого портфеля.
Условие (8.54)-(8.55) является условием стохастического доминирования первого порядка. Оно означает: вероятность того, что первый портфель принесет доходность меньше некоторого значения г меньше вероятности того, что второй портфель принесет доходность меньше этого значения г. Другими словами, вероятность того, что доход составит величину меньше г меньше для первого портфеля, чем для второго. В этом случае инвестор всегда предпочтет первый портфель второму. Таким образом, первый портфель (вероятностное распределение F ) доминирует над вторым портфелем (вероятностным распределением G) в рамках стохастического доминирования первого порядка.
Графически условие стохастического доминирования первого порядка проиллюстрировано на рис. 8.15. На рисунке функция распределения F расположена ниже функции распределения G для любого значения г. Поэтому первый портфель характеризуется меньшей вероятностью принести доход меньше чем второй портфель для любого значения г. Так, например, вероятность того что доходность второго портфеля составит меньше величины г * равна 50%, а первого портфеля - только 25%.
Значение
функции
распределения
JF(x)dr < IG{x)dx для всех г (8.56)
и
^F{x)dx < |g(x)c/x по крайней мере для одного г. (8.57)
к располагается в интервале от г, до гп.
Таким образом, критерий стохастического доминирования второго порядка основан на сравнивании не функций распределения доходности портфелей, а интегралов от этих функций, т.е. площадей под функциями распределения. Определим зависимость величины данной площади от значения г как накопленную функцию распределения. Тогда можно сказать, что первый портфель предпочтительнее второго, если накопленная функций распределения его доходности никогда не превосходит, и по крайней мере в одном случае меньше, накопленной функции распределения второго портфеля.
Значение
функции
распределения
(и’У
ит
~W+
А'
(8.58)
В правой части (8.58) второе слагаемое является величиной положительной, поскольку стоит во второй степени. В первым слагаемом U' > 0. Поэтому для выполнения условия А' < 0 необходимо, чтобы Um > 0. Еще одно условие доминирования третьего порядка состоит в том, что ожидаемая доходность первого портфеля больше ожидаемой доходности второго портфеля, т.е. инвесторы предпочитают распределения с большей правосторонней скошенностью.
Условие стохастического доминирования третьего порядка записывается как:
\DF(y)dy< \DG{y)dy
для всех г, и
\DF{y)dy< \Da(y)dy
по крайней мере для одного г, где DG = J(j(x)c&: и DF = jF(x)t/x, и z распо-
лагается в интервале от гх до гп.
Если через D обозначить функцию, которая является накопленной функцией накопленной функции распределения (НФНФР), то можно сказать, что первый портфель предпочтительнее второго, если функция НФНФР его доходности никогда не превосходит, и по крайней мере в одном случае меньше, функции НФНФР доходности второго портфеля.
Если сравнить стохастическое доминирование со средне-дисперсионным анализом, то можно отметить, что стохастическое доминирование дает инвестору более общий подходом к оценке рискованных портфелей.
Вывод условий стохастического доминирования приводится в приложении 2 к настоящей главе.
8.6. Эффект выбора среднего портфеля
как крайний вариант. При выборе из набора трех портфелей - А, В и С портфель С является крайним. При выборе из набора портфелей В, С и D - средним. Если решение инвесторов в большей степени определяется их отношением к риску и доходности, чем набором возможных альтернатив, то предпочтения между портфелями В и С должны не зависеть от того, доступны ли портфели А и D. Если же существует эффект extremeness aversion, то привлекательность портфеля С будет наибольшей, когда он расположен в середине выбора.
По схеме случайного выбора авторы предложили респондентам три набора портфелей. Первый состоял из портфелей А, В и С, т.е. портфель С являлся в нем крайним выбором. Второй набор включал портфели В и С, т.е. портфель С являлся крайним, но не средним. В третий набор входили портфели В, С и D, т.е. портфель С являлся средним выбором. Extremeness aversion предполагает, что портфель С менее привлекателен в наборе АВС и наиболее привлекателен в наборе BCD.
Портфель А был безрисковым и гарантировал инвесторам получение ежемесячно 900 долл. Портфели В, С и D были рискованными, и их результаты зависели от конъюнктуры рынка. Так, например, портфель В приносил с вероятность 50% ежемесячный доход или 1100 или 800 долл. Портфели Си/) предлагали больший ожидаемый доход, но и больший риск.
Опрос показал, что для набора АВС 29,2% респондентов предпочли портфель С портфелю В. Во втором наборе ВС, когда портфель С был крайним, но не средним, 39,0% респондентов предпочли портфель С портфелю В. Для набора BCD 53,8% респондентов предпочли портфель С портфелю В. Таким образом, портфель С оказался наименее привлекательным, когда он составлял крайний выбор, и наиболее привлекательным в случае среднего выбора.
Как отмечают авторы, полученные результаты поднимают вопрос в отношении формирования эталонных портфелей (model portfolio), которые предлагаются менеджерами на выбор клиентам. Допустим, менеджер предлагает три варианта эталонных портфелей. В первом акции составляют 0%, во втором -40%, в третьем 70%. Тогда выбор скорее всего придется на портфель с 40% акций. Предположим теперь, что предлагается другой набор портфелей. Акции в них составляют соответственно 40%, 70% и 100%. Тогда инвесторы скорее всего предпочтут средний портфель с 70% акций. Таким образом, в зависимости от того, какие наборы предлагаются менеджером, разным будет и выбор инвесторов.
Краткие выводы
Функция полезности инвестора представляет собой зависимость между полезностью, получаемой инвестором от владения богатством, и уровнем этого богатства. Функция полезности является возрастающей.
Всех инвесторов можно разделить на три группы: не склонных к риску; склонных к риску и нейтральных к риску. Инвестор считается не склонным к риску, если из двух активов с одинаковой ожидаемой доходностью, но разным риском, он выберет менее рискованный актив. Инвестор считается склонным к риску, если из двух активов с одинаковой ожидаемой доходностью, но разным риском, он выберет более рискованный актив. Инвестор считается нейтральным к риску, если он не учитывает его при принятии инвестиционных решений.
Для каждого инвестора и рискованного актива гарантированная эквивалентная сумма - эта сумма денег, при которой инвестор безразличен в выборе между ее гарантированным получением и покупкой данного актива. Премия за риск Марковца представляет собой разность между ожидаемым доходом актива и гарантированной эквивалентной суммой.
Коэффициент абсолютной не склонности к риску (мера Эрроу-Пратта) показывает величину компенсации, которую требует инвестор за принимаемый риск для небольших значений риска. Коэффициент, обратный коэффициенту Эрроу-Пратта называют коэффициентом допустимости риска.
Коэффициент относительной не склонности к риску позволяет судить об изменении пропорции средств в общем богатстве инвестора, которые он размещает в рискованные активы, при изменении уровня его богатства.
Особенность принципа стохастического доминирования состоит в том, что он не требует точного знания функции полезности инвестора или вероятностного распределения доходности активов. Относительно функции полезности накладывается только следующее ограничение: она должна быть монотонной и не убывающей. Стохастическое доминирование первого порядка предполагает, что инвестор предпочитает большее количество полезности меньшему количеству, т. е. его функция полезности является возрастающей. Стохастическое доминирование второго порядка накладывает дополнительное ограничение на функцию полезности: она должна быть выпуклой вверх, т.е. добавляется условие не склонности инвестора к риску. Стохастическое доминирование третьего порядка накладывает на функцию полезности еще одно ограничение: инвесторы характеризуются убывающей абсолютной не склонностью к риску.
Стохастическое доминирование дает инвестору более общий подход к оценке рискованных портфелей по сравнению со средне-дисперсионным анализом.
Приложение 1.
Определение формы функции полезности инвестора
Определим форму функции полезности инвестора не склонного к риску.
Инвестор приобретает рискованный актив S, текущая цена которого равна S. В следующий момент в результате изменения конъюнктуры его цена с равной вероятностью может составить величину (S + х) или (S' - х). Ожидаемый доход актива e(s) равен:
(П.8.1)
45)=І(5 + *)+І(5-л:М
Полезность гарантированной суммы равной ожидаемому доходу на основе (П.8.1) составляет:
t/(S + x)+^t/(S-x) (П.8.5)
Разложим правую часть неравенства (П.8.5) в ряд Тейлора в окрестности точки равной ожидаемому доходу актива, т.е. S:
|t/(S + x)+^t/(S-x) =
?/(5)+?/'(5)х + ^?/%5)х2
+ слагаемые более высокого порядка
(П.8.6)
слагаемые более высокого порядка
U(S) - U'{s)x +1 U”(s)x2 +
слагаемые более высокого порядка
= U{s)+U"{s)x2 +
Устремим значение х к нулю. Тогда в (П.8.6) слагаемыми более высокого порядка можно пренебречь и (П.8.6) принимает вид:
i U(S + х)+1 U(S - х) = U(s)+U”(s)x2 (П.8.7)
Подставим полученный результат в (П.8.5):
?/(s)>?/(s)+t/%S)x2 (П.8.8)
В (П.8.8) слагаемые U(s) в правой и левой частях неравенства одинаковые. Следовательно, чтобы оно выполнялось, величина {/"(S')*2 должна быть отрицательной. Так как х2 > 0, то отрицательной является вторая производная функции полезности ?/"(5). Отрицательность второй производной функции на участке [(5 - х), (S + х)] говорит о том, что она является выпуклой вверх на этом участке. Для инвестора склонного к риску справедливо неравенство:
С учетом результатов (П.8.2) и (П.8.7) оно принимает вид:
C/(S) (П.8.9)
Чтобы условие (П.8.9) выполнялось, величина U"(S) должна быть больше нуля. Положительное значение второй производной функции на участке [(5 — x},{S + х)] говорит о том, что она является выпуклой вниз на этом участке. Для инвестора безразличного к риску справедливо равенство:
C/[?(S)]=?[C/(S)]
С учетом результатов (П.8.2) и (П.8.7) оно принимает вид:
l/(1S)=C/(1S)+l/',(1S)x2 (П.8.10)
Поскольку х^О, то для выполнения условия (П.8.10) величина U”{S) должна быть равна нуля. Нулевое значение второй производной на участке [(5 - х); (5 + х)] говорит о том, что график функции представляет на ней прямую линию.
Приложение 2.
Вывод условий стохастического доминирования портфеля
Условия стохастического доминирования первого порядка (8.54)-(8.55) можно получить на основе следующих рассуждений.
Пусть первый портфель с функцией распределения доходности F приносит инвестору большую полезность по сравнению со вторым портфелем с функцией распределения доходности G . Поэтому:
^U(r)dF(r)>^U{r)dG{r) (П.8.11)
п г\
или
]u(r)dF(r)- ]u(r)dG(r)> 0 ,
г\ г\
ИЛИ
гп
yj(r)d\F{r)-
п
Проинтегрируем интеграл (П.8.12) по частям. Обозначим и = 1і(г) и dw = d[F{r) - G(r)]. Отсюда w - F(r) - G(r). Tогда:
}u(r)d[F(r)-G(r)]= ?/(rjF(r)- G(r)]; -
r' r„ (П.8.13)
- J[F(r)— G{r^J'{r)dr
n
Согласно свойствам функций распределения значения вероятностей в крайних точках равны F{rn)-G(rn) = 1 и F(^) = G(rl) = 0. Поэтому первое слагаемое в правой части (П.8.13) равно нулю. Для выполнения условия (П.8.11) необходимо, чтобы интеграл в правой части (П.8.13) был отрицательным. Поскольку функция полезности инвестора возрастающая и U'{r) > 0, то выражение F(r)-G(r) должно быть меньше нуля. Отсюда следует, что F(r) < G(r) для всех г и F{r) < G{r) по крайней мере для одного значения г.
Критерий стохастического доминирования второго порядка можно получить на основе следующих рассуждений.
Первый актив приносит инвестору большую полезность, поэтому:
]u(r)dF{r)> ]u{r)dG{r)
При доказательстве критерия доминирования первого порядка для данного условия мы получили результат (П.8.13), из которого следовало, что:
(П.8.14)
}[F(r)-G(r)]C/'(r>/r<0
Для удобства обозначим интеграл (П.8.14) через / и проинтегрируем его по частям. Обозначим u=U'{r) и dw— [F(r) - G(r)\dr. Отсюда
dw = d |[f(x) - G(x)]dx И w = /и х)- G(x)]dx, к располагается в диапазоне от
ъ до Г„. Тогда:
I = Uf{r)^\F{x)~ G{x^x- j[/"(r) j[F(x)- G{x^ixdr
или
I = W(r,)$F(x)-G(x)\k -
- |t/"(r)J[F(x)-G(x)]dxdr
или
1 = U'(rn)§F(x)-G(x)\(k- ]u"(r)§F(x)-G(x)\fkdr (П.8.15)
По условию U'{rn)> 0, поэтому, чтобы первое слагаемое в правой части (П.8.15) было отрицательным, необходимо выполнение условия:
|[f(x)- G(x)]dx < О
гі
или
Гп Гп
< j*G(x)(ix;
Ч ч
По условию U”{rn) < 0, поэтому, чтобы второе слагаемое в правой части (П.8.15) было положительным, необходимо выполнение условия:
к
|[f(x) - G(x)]dx < О
л
для всех г и
к
J[f(x)— G(x)]cbc < О ч
по крайней мере для одного г. Отсюда следует вывод:
JF{x)dx < IG{x)dx
для всех г и
JF{x)dx < |g(x)Jx
по крайней мере для одного г.
Критерий стохастического доминирования третьего порядка можно получить на основе следующих рассуждений.
Первый актив приносит инвестору большую полезность, поэтому:
]u(r)dF(r)> ]u{r)dG{r)
При доказательстве критерия доминирования второго порядка для данного условия мы получили результат (П.8.15), из которого следовало, что:
\un{r)\[F{x)-G{x)\lxdr
Проинтегрируем второй интеграл в (П.8.16) по частям, обозначив его через у.
к
Обозначим также и = U"{r) и dw= j[/^x) - G(x))dxcb- Отсюда
ч
dw=d\§F(y)-G(yfyfydx и w = JJ[F(y)-G(y)]dydx, z располагается в диапа-ч ч ч ч
зоне от г, до гп. Тогда:
J = Jt/"(r)|[F(x)- G(x)]dxdr =
п п
= Un(r) J J[F(y)- G(y)\iydx\r” - }c/w(r)J §F{y)-G(y)\fydxdr
r, r, rx rx rx
ИЛИ
r k
J = U’(r,)]j[F(y)-G(y)}fydx-
\ ** (П.8.17)
- |Иу)~ G(y)]c/yafrdr
n r\ n
Подставим интеграл (П.8.17) в ( П.8.16):
п г\ г\
rn z k (П.8Л 8)
+ jGw(r)J {Ну)- G{y)\fydxdr < О
r\ rl г\
гп
В первом слагаемом неравенства (П.8.18) U'(r)> 0. Интеграл {[.F(x)-G(x)]d&t
п
представляет собой разность между средними значениями распределения доходности F и G. По условию среднее значение F меньше G, поэтому интеграл отрицательный. В результате первое слагаемое в (П.8.18) отрицательное. Во втором слагаемом G"(rn)< 0. Следовательно, для того, чтобы оно было положительным, двойной интеграл должен быть отрицательным. В третьем слагаемом Um{rn)> 0. Чтобы оно было отрицательным, необходимо, чтобы второй интеграл был отрицательным. Таким образом (П.8.18) меньше нуля, если:
\\[F{y)-G(y))iydx<®
п п
ГЛАВА 9. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ VaR
В настоящей главе рассматривается методика определения риска портфеля, получившая название VaR. Мы определим понятия абсолютного и относительного VaR, диверсифицированного и не диверсифицированного VaR и приведем метод расчета параметрической модели VaR. В заключение главы определим понятие EaR.
9.1. Абсолютный и относительный VaR
В 90-е годы прошлого века теория и практика управления портфелем обогатилась концепцией VaR (Value at Risk). На русский язык VaR можно перевести как стоимость (портфеля), которой рискует инвестор. Появление методики VaR объясняется тем, что во многих случаях дисперсия не может рассматриваться как подходящий показатель измерения риска портфеля. Например, дисперсия не учитывает возможную скошенность в распределении доходности портфеля, если оно не является симметричным. Наиболее ярким случаем являются портфели, включающие значительную долю производных инструментов. Таким образом, VaR - это показатель, оценивающий риск портфеля. Следует подчеркнуть, что VaR оценивает рыночный риск. Он позволяет количественно оценить ожидаемые потери в стоимости портфеля в “нормальных условиях” функционирования рынка.
VaR - это показатель риска, который показывает, какую максимальную сумму денег может потерять портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью. Соответственно VaR также говорит о том, что потери в стоимости портфеля в течение этого периода времени будут меньше данной величины с определенной вероятностью. Доверительную вероятность можно определить как показатель, говорящий о том, какое количество раз из каждых 100 раз потери в стоимости портфеля не превысят данного уровня. Поэтому VaR призван ответить на следующий вопрос: “Какой может оказаться максимальная потеря в стоимости портфеля, например, в 95% случаев в течение следующего дня?” Уровень доверительной вероятности задается заранее и зависит от характера компании, владеющей портфелем, и от субъективного подхода управляющего портфелем к этому вопросу. Обычно он равен 95% или 99%. Следует подчеркнуть, что выбор того или иного уровня доверительной вероятности не говорит об отношении инвестора к риску, так как VaR - это только определенная точка в распределении ожидаемых результатов доходности портфеля.
Пусть стоимость портфеля инвестора составляет 100 млн. руб., VaR для одного дня равен 2 млн. руб. с доверительной вероятностью 95%. Данную информацию можно интерпретировать следующим образом: а) вероятность того, что в течение следующих 24 часов потери в стоимости портфеля составят меньше 2 млн. руб. равна 95% или б) вероятность того, что в течение следующих 24 часов потери в стоимости портфеля превысят 2 млн. руб. равна 5%, или
в) инвестор вправе ожидать, что в среднем его потери в течение 95 дней из каждых 100 дней не превысят 2 млн. руб., или что они окажутся больше 2 млн. руб. в течение 5 дней из каждых 100 дней.
При расчете VaR для некоторого временного интервала предполагается, что состав портфеля за этот период остается неизменным. В противном случае необходимо пересчитывать и значение VaR, так как новые активы, включаемые в портфель, как правило, изменяют и его риск.
Наиболее распространенный период, для которого рассчитывается VaR, -это один день или точнее - 24 часа. Однодневный VaR также обозначают как DEaR (Daily Earning at Risk). Базельский банк международных расчетов рекомендует банкам рассчитывать 10-дневный VaR с доверительной вероятностью 99% для определения минимального уровня собственных средств. Можно рассчитывать данный показатель и для более длительных периодов времени. Однако в этом случае состав портфеля должен оставаться неизменным. Для крупных институциональных инвесторов это условие вряд ли выполнимо. В целом, чем больше период времени, для которого рассчитывается VaR, тем больше будет и его величина, так как естественно, что на более длительном отрезке времени возрастает и вероятность более крупных потерь. Выбор более короткого периода VaR диктуется и самим подходом к статистической оценке данного показателя. Чтобы получить объективную оценку VaR, необходимо некоторое минимальное количество наблюдений. Например, если для оценки требуется 250 наблюдений, то однодневный VaR можно определить на основе данных за один год. Если же определяется десятидневный VaR, то 250 наблюдений с не перекрывающимися периодами в десять дней потребуют данных практически за семь лет. Для текущей оценки данные семилетней давности могут оказаться уже и не достаточно представительными. Кроме того, по ряду инструментов они могут просто отсутствовать физически.
При анализе риска с помощью VaR задача сводится к тому, чтобы построить распределение убытков и прибылей, которые может принести портфель инвестора в течение определенного периода времени и определить ту точку на этом распределении, которая бы соответствовала требуемому уровню доверительной вероятности. Существуют разные методики определения VaR. Все их можно разделить на две группы: параметрические модели (их еще называют аналитическими или дисперсионно-ковариационными) и непараметрические модели. Модель называется параметрической, если нам известна функция распределения случайной величины и параметры ее распределения. В параметрической модели VaR предполагается, что доходность финансовых активов следует определенному виду вероятностного распределения, обычно нормального. Используя прошлые данные статистики, определяют ожидаемые значения доходностей, дисперсий и ковариаций доходностей активов. На их основе рассчитывают VaR портфеля для заданного уровня доверительной вероятности по следующей формуле:
VARp=PpcrpZa , (9.1)
где VaRp - VaR портфеля;
Рр - стоимость портфеля;
<7 - стандартное отклонение доходности портфеля, соответствующее времени, для которого рассчитывается VaR;
Za - количество стандартных отклонений, соответствующих уровню доверительной вероятности а .
Примером параметрической модели VaR являются “Рискметрики” банка Дж.П.Морган, обнародованные им в 1994 г.
Пример 1.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции только одной компании. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на год равно 25%.
Решение.
Так как необходимо определить однодневный VAR, то вначале рассчитаем стандартное отклонение доходности акции для одного дня, учитывая, что в году 250 торговых дней:
о- = 0,25: V250 =0,0158
По таблице нормального распределения (функция Лапласа) находим, что уровню доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. VaR портфеля равен:
VARp = 10л*лн. • 0,0158 • 1,65 = 260,7тыс.руб.
Таким образом, в течение следующих 24 часов максимальные потери в стоимости портфеля инвестора с доверительной вероятностью 95% могут составить 260,7 тыс. руб. Другими словами, в течение следующих 24 часов вероятность потерять сумму денег меньше 260,7 тыс. руб. равна 95%, а сумму больше 260,7 тыс. руб. - 5%.
Существуют понятия абсолютного и относительного значения VaR. В приведенном выше примере был представлен абсолютный VaR. Абсолютный VaR можно определить как максимальную сумму денег, которую может потерять портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью. Относительный VaR отличается от абсолютного тем, что он рассчитывается относительно ожидаемой доходности портфеля. Его значение учитывает, что инвестор с заданной вероятностью не только может потерять сумму равную абсолютному VaR, но и не получить сумму равную средней ожидаемой доходности портфеля за рассматриваемый период. Так, в примере 1 однодневный абсолютный VaR с доверительной вероятностью 95% составлял 260,7 тыс. руб. Допустим, что на основании данных за прошлый год средняя доходность портфеля за день составляла 0,1%. От 10 млн. руб. это составляет 10 тыс. руб. Тогда относительный VaR равен:
260,7 тыс. + 10 тыс. = 270,7 тыс. руб.
Если ожидаемая доходность портфеля равна нулю, то значения абсолютного и относительного VaR совпадают.
Рассмотрим еще один пример на расчет абсолютного значения VaR.
Пример 2.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции двух компаний. Уд. вес первой акции в стоимости портфеля составляет 60%, второй - 40%. Стандартное отклонение доходности первой акции в расчете на один день равно 1,58%, второй - 1,9%, коэффициент корреляции доходностей акций равен 0,8. Решение.
Определяем стандартное отклонение доходности портфеля:
ар = (0,6 • 1,5 8 + 0,4 • 1,9 + 2 • 0,6 • 0,4 • 1,58¦ 1,9 • 0,sf = 1,62%
По таблице нормального распределения (функция Лапласа) находим, что уровню доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. По формуле (9.1) определяем VaR портфеля:
VaRp = 10 млн. • 0,0162 • 1,65 = 267,3тыс.руб.
Аналогично примеру 2 находится VaR для портфеля, состоящего и из акций большего количества компаний. В этом случае дисперсия доходности портфеля рассчитывается по формуле (1.30).
При расчете риска портфеля вместо формулы (1.30) удобно воспользоваться матричной формой записи (см. формулу (1.39)). Тогда дисперсию доходности портфеля в примере 2 найдем как:
где 2,4 - ковариация доходностей акций.
Стандартное отклонение доходности портфеля равно:
ар = -У2,628 = 1,62%
В примере 2 VaR можно определить также другим способом. Вначале определить VaR по каждой акции и после этого VaR портфеля. В этом случае VaR портфеля рассчитывается по формуле:
VaRp=JVTpV , (9.2)
где V - матрица-столбец значений VaR по каждой бумаге;
?Т- транспонированная матрица-столбец значений VaR по каждой бумаге, т.е. матрица-строка;
р - корреляционная матрица размерности пхп (п - число активов в портфеле).
Определим в примере 2 абсолютный VaR для первой акции:
VaRx = 10 млн. ¦ 0,6 • 0,0158-1,65 = 156,42тыс.руб.
Абсолютный VaR для второй акции равен:
VaR2 = 10 млн. • 0,4 • 0,019-1,65 = 125,4тыс. руб.
Абсолютный VaR портфеля составляет:
ковариация валютного курса и курса акции компании А.
В примере 2 мы привели еще один способ нахождения VaR портфеля с помощью формулы (9.2) на основе расчета VaR по каждому активу. Решим пример 3 с помощью данной формулы. Вначале определяем показатели VaR для акции (VaRj и валютного курса (VaRe):
VaRa = 10 млн.руб. • 0,0158 • 1,65 = 260,7тыс.руб.,
VaRe = Юмлн.руб. • 0,006 • 1,65 = 99тыс.руб.
VaR портфеля составляет:
Пример 4.
Курс доллара составляет 1долл.=28 руб., курс евро - Іевро =34 руб. Банк купил на спотовом рынке 357,143 тыс. долл, и осуществил короткую продажу 294,118 тыс. евро. Стандартное отклонение курса доллара в расчете на один день составляет 0,6%, евро - 0,65%, коэффициент корреляции равен 0,85. Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 95%.
Решение.
Рассчитаем VaR в рублях, так как банк закроет свои позиции в иностранных валютах, конвертировав их в рубли. Долларовая позиция банка в рублях составляет:
357,1 ЛЪтыс.долл. ¦ 28 руб. = Юмлн.руб.
Позиция по евро в рублях:
294,118тыс.долл. ¦ 34 руб. = 10 млн.руб.
Поскольку банк продал евро, то для дальнейших расчетов его позицию следует записать со знаком минус, т.е. -Юмлн.руб.
VaR по долларовой позиции равен:
Юмлн.руб. • 0,006 • 1,65 = 99тыс.руб.
VaR по евро равен:
- Юмлн.руб. ¦ 0,0065 • 1,65 = -Ю1,25тыс.руб. VaR портфеля согласно формуле (9.2) составляет:
^1 0,85
(99 -107,25
99 -107,25
VaRn =
' \
- 57,038тыс. руб.
0,85 1
В приведенных выше примерах мы рассчитывали однодневный VaR на основе стандартных отклонений для одного дня. Однако данные могут быть заданы в расчете на год. Один из вариантов расчета состоит в том, чтобы перевести годичное стандартное отклонение в однодневное по формуле:
__^ год_
^1 день /
д/количество торговых дней в году
После этого можно воспользоваться приведенными выше алгоритмами.
Другой подход состоит в том, чтобы матрицу ковариаций, составленную из годичных значений, перевести в матрицу с однодневными значениями. Кроме этого, данную матрицу также удобно сразу скорректировать в соответствии с заданным уровнем доверительной вероятности. Тогда годичную матрицу ковариаций следует умножить на коэффициент:
К _ [уровень доверительной вероятности)2
количество торговых дней в году
Пример 5.
Пусть в примере 4 годичное стандартное отклонение изменения курса доллара равно 9,4868%, а евро - 10,2774%, количество торговых дней в году 250. Определить однодневный VaR для доверительной вероятности 95%.
Решение.
Коэффициент К равен:
1
К = -2—— = 0,01089 250
Ковариационная матрица на основе годичных значений равна (стандартные отклонения берем в десятичных значениях):
- 0,0948682 0,0082875
г \
1^0,0082875 0Д027742
Умножим матрицу В на коэффициент К. Получим матрицу Q':
Q' = 0,01089
0,0948682 0,0082875 0,0082875 0Д027742
0,00009801 0,0000902509 " ?0,0000902509 0,000115026у
После этого VaR портфеля находим по формуле:
VaRp = 4CTQC , (9.3)
где С - матрица-столбец, представленная стоимостями входящих в портфель активов;
Q' - ковариационная матрица, скорректированная на требуемый уровень доверительной вероятности и временной период.
VaR портфеля согласно формуле (9.3) равен:
0,00009801 0,0000902509
10000
первого и второго активов соответственно равны сг,, ?х и <г2, ?2, стоимость портфеля составляет Р. Тогда VaR портфеля для уровня доверительной вероятности а равен:
VaRp = аОрР = а^?2сг? + ?\сг\ + 2?,?г axa2corrX2P
или
VaRp = ^ja202a2P2 + а2?\о\Р2 + 2а?хсг1Ра?2<т2Рсогги2 ,
или
VaRp = уJ(VaR{ )2 + {VaR2 )2 + 2VaR, ¦ VaR2 ¦ corrx 2 (9.4)
Если коэффициент корреляции между доходностями активов равен единице, то формула (9.4) принимает вид:
VaRp = ¦\J(VaRl f + (lVaR2 f + 2VaR, ¦ VaR, = yj(VaRl + VaR2 )2
или
VaRp = VaR} + VaR2 (9.5)
Формула (9.5) говорит о том, что в случае полной положительной корреляции между активами VaR портфеля является суммой индивидуальных VaR входящих в него активов. Поскольку корреляции могут изменяться со временем, то наряду с показателем диверсифицированного VaR целесообразно рассчитывать и не диверсифицированный VaR. Он покажет максимум возможных потерь (при нормальных условиях рынка) для данного уровня доверительной вероятности в случае неустойчивости корреляций или ошибки их оценок.
Допущение нормальности распределения доходности портфеля позволяет легко переводить значения VaR из одного уровня доверительной вероятности в другой. VaR портфеля для доверительной вероятности z, равен:
VaRi - Pazx, (9.6)
для доверительной вероятности z2:
(9.7)
(9.8)
VaR2 - Poz2
Выразим значение Per из формулы (9.6):
Ра =
VaRx
и подставим в формулу (9.7):
VaR2 = VaR, -2-
Таким образом, зная величину VaR] для доверительной вероятности z,, по формуле (9.8) легко получить VaR2 для доверительной вероятности z2.
Аналогичным образом можно пересчитывать значения VaR для разных периодов времени. Пусть VaR портфеля для периода t, равен:
VaR, = Per-Jt\z, (9.9)
VaR2 = Pa-yjt^z,
для периода t2:
(9.10)
Выразим значение Poz из формулы (9.9):
“исправленная” дисперсия;
Хі - значение случайной величины для і -ой выборки; X - среднее значение случайной величины;
п - количество выборочных данных.
Величина
имеет распределение хи-квадрат
/=і
с й-1 степенями свободы. Умножим обе части равенства (9.13) на (и-і):
Х:-Х
(9.14)
і=і
(п — l)s2 2
Выражение (9.14) показывает, что величина -j-— имеет х распределение
<у
с и—1 степенями свободы. Необходимо найти границы интервала, который бы с вероятностью у накрывал истинное значение дисперсии случайной величины. Это условие записывают как:
Ахі <Х2 <хі)= Г (9.15)
Значения конечных точек доверительного интервала обычно выбирают таким образом, чтобы вероятности событий j2 < хі и X1 > ХІ были одинаковыми. Пусть эта вероятность равна а. Тогда выражение (9.15) примет вид:
2 (и-lV 2
Ja < Г” < Xl-а
2
= 1-2 а
или
Хіа
а2
Ха
(9.16)
= 1-2а
(и-і)у
(и-і)у
Разделим единицу на каждую часть неравенства (9.16):
.2 Л. 1^.2 \
Хіа
Хі
= 1-2 а
По таблице квантилей распределения х1 находим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала дисперсии случайной величины. Квадратные корни из данных значений представляют собой нижнюю (<&н) и верхнюю (ав) границы доверительного интервала стандартного отклонения. Если в качестве случайной величины выступает доходность портфеля, то найденные значения сигм показывают доверительные границы стандартного отклонения доходности портфеля.
На основе полученных данных рассчитаем доверительный интервал для VaR портфеля по формулам:
VaRH=Pp crH Z, (917)
VaRe=Ppaez, (9.18)
где VaRH - нижняя граница доверительного интервала VaR;
VaRe - верхняя граница доверительного интервала VaR;
Рр - стоимость портфеля;
z - количество стандартных отклонений, соответствующих выбранной доверительной вероятности.
Пример.
В примере 2 параграфа 9.1 мы получили однодневный VaR портфеля из двух акций в 267,3 тыс. руб. Пусть данный результат был получен на основе данных по доходности акций за 101 день. Требуется определить доверительный интервал для VaR с коэффициентом доверия у = 0,95.
Решение.
Из соотношения у -1 - 2а находим значение а, соответствующее доверительной вероятности 95%:
0,025
1-0,95
2
Количество наблюдений случайной величины составило 101 день. Поэтому количество степеней свободы в примере равно 100. По таблице квантилей распределения х1 находим квантили zta и со степенями свободы 100: Z0,915=129.56; 025 = 74,22 _
Нижняя граница доверительного интервала для дисперсии равна:
2,06854,
(ц-1>2 100-2,628
*0,975 129>56
а стандартного отклонения
•Д06854 = 1,44%
Верхняя граница доверительного интервала для дисперсии равна:
ЦіУ=і00^628
Z.025 74,22
а стандартного отклонения
д/3,54083 = 1,88%
По формулам (9.17) и (9.18) находим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала для VaR портфеля:
VaRH -1 ООООтыс. • 0,0144 • 1,65 = 237,6 тыс.руб.
VaRe =Ю000тыс. -0,0188-1,65 = 310,2 тыс.руб.
Таким образом, с доверительной вероятностью 95% процентов можно быть уверенным, что действительное значение VaR лежит в границах от 237,6 тыс. руб. до 310,2 тыс. руб.
9.3. Ожидаемые потери портфеля в случае превышения значения VaR
VaR позволяет оценить максимальные потери инвестора для определенного уровня доверительной вероятности и ничего не говорит о том, какие в среднем убытки могут возникнуть в случае превышения значения VaR. Для этого служит показатель средних ожидаемых потеръ (expected shortfall). Он показывает величину средних потерь для данного уровня доверительной вероятности и периода времени в случае, если убытки превысят значение VaR. Таким образом, показатель средних ожидаемых потерь представляет собой условное математическое ожидание потерь при условии, что их величина оказалась больше значения VaR. Из теории вероятностей известно, что условная вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А, равна:
ФИ)
(9.19)
р(ав)
Ф)
ФИ)
- условная вероятность наступления события В при условии, что
где
событие А произошло;
р(ав) - вероятность совместного наступления событий А и В;
Р(А) - вероятность наступления события А.
На основе (9.19) для непрерывной случайной величины X, характеризующей убытки и доходы портфеля, можно записать:
значение VaR для уровня доверительной вероятности у;
f(x) - функция плотности распределения случайной величины X.
Для уровня доверительной вероятности у интеграл в знаменателе формулы
(9.20) равен:
VaRy
\f(x)dx = \-y, (9.21)
так как это оставшаяся часть площади под графиком плотности распределения для значений величины X за рамками доверительного интервала равного у (см. рис. 9.1). С учетом (9.21) формула (9.20) принимает вид:
Ы2к(Т
Подставим (9.23) в (9.22):
1 VaRy —
ЕІХ\х < VaR, = — f г— е !»'А =
1 ’ і-г і -Іьіа
1 1 VaRr _xL (9.24)
=---,— f xe 2al dx,
1 -У ?2лги _І
Найдем интеграл в правой части (9.24):
?*
-00
j хе 2
— —С
-00
'
1
VaR2
2аг
?аЦ
2<т2
E{x\x
Существуют параметрические и непараметрические модели VAR. В параметрических моделях обычно предполагается, что доходность финансовых активов следует нормальному распределению. Непараметрические модели лучше подходят для определения VAR портфелей, в которых значительный уд. вес приходится на производные инструменты.
VaR, рассчитываемый с учетом корреляций доходностей между активами портфеля, называют диверсифицированным, без учета корреляций - не диверсифицированным. Он представляет собой простую сумму индивидуальных VaR активов портфеля.
Показатель средних ожидаемых потерь говорит о величине средних потерь для данного уровня доверительной вероятности и периода времени в случае, если убытки превысят значение VaR.
EaR показывает, какую максимальную сумму дохода может принести портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью.
Приложение 1.
Распределение хи-квадрат
Пусть случайные величины Z,, Z2,..., Zn представляют собой независимые стандартные нормально распределенные величины, т.е. математическое ожидание каждой из них равно нулю и дисперсия равна единице. Сумма квадратов данных случайных величин:
Z12+Z2!+...+Z„! (П.9.1)
также является случайной величиной. Ее именуют хи-квадрат, а закон ее распределения - хи-квадрат распределением. Данное распределение определяется одним параметром - числом степеней свободы к. Число степеней свободы представляет собой разность между числом суммируемых случайных величин и числом линейных связей, которые ограничивают свободу их изменения. Поскольку в сумме (П.9.1) все слагаемые независимы, т.е. каждая составляющая может менять свое значение независимо от других значений, то число степеней
свободы данной случайной величины X равно их количеству, т.е.
і=\
к = п.
Пусть теперь имеется выборка из генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины X. Выборка осуществлялась таким образом, что полученные значения случайной величины независимы. (Их можно рассматривать как независимые нормально распределенные величины, имеющие одинаковое математическое ожидание и дисперсию.) На основе выборки находим математическое ожидание суммы данных величин а и дисперсию сг.
Центрируем и нормируем полученные случайные величины, т.е. вычитаем из каждого значения математическое ожидание и делим на стандартное отклонение. В результате получаем случайные величины:
Они являются независимыми с математическим ожиданием ноль и дисперсией единица. Соответственно сумма квадратов данных величин:
Распределение хи-квадрат используется при построении доверительных интервалов для дисперсии.
Приложение 2.
Оценка VaR опционов с помощью дельты и гаммы
VaR опционных позиций можно оценить как на основе аналитических методов, так и с помощью метода Монте-Карло. Результаты по опционной позиции характеризуются не линейной структурой. Поэтому в большей степени для их оценки подходит метод статистических испытаний. В случае аналитического подхода опционную позицию следует разложить на ряд составляющих в соответствии с факторами риска опциона. Зависимость между премией опциона и факторами риска предполагается линейной. На практике она не линейна. Поэтому оценка VaR аналитическим способом дает приемлемый результат только для изменения факторов риска в небольшом диапазоне. Рассмотрим линейное приближение оценки VaR опциона.
Основополагающим фактором риска опциона выступает цена базисного актива. Зависимость между премией опциона и ценой базисного актива представлена дельтой опциона. Поэтому зависимость между ценой опциона в начальный и конечный моменты времени можно представить как:
Г,=Г„+Д (S,-S„), (П.9.3)
где ?0 - стоимость опциона в начале периода;
?х - стоимость опциона в конце периода;
А - дельта опциона;
S0 - цена базисного актива в начале периода;
S, - цена базисного актива в конце периода;
На основе формулы (П.9.3) можно записать равенство:
dV = AdS, (П.9.4)
где dV= ?\ - Vo - изменение стоимости опциона;
dS = 5, - S0 - изменение стоимости базисного актива.
Изменение цены базисного актива можно представить как произведение стандартного отклонения его доходности (<т) на цену, т.е.:
dS = oS
Тогда равенство (П.9.4) запишется как:
dV = AoS , (П.9.5)
VaR базисного актива определяется стандартным отклонением его доходности. Поэтому для линейной зависимости при использовании допущения нормальности распределения доходности базисного актива из равенства (П.9.5) следует, что:
VaR0=AVaRu, (П.9.6)
где VaR0 - VaR опциона;
VaRu - VaR базисного актива.
Недостаток равенства (П.9.3) состоит в том, что цена опциона в начале и конце периода связана линейной зависимостью. На практике она не линейна. Ошибка оценки тем больше, чем больше изменение цены базисного актива в модели. Кроме того, позиции покупателя и продавца опциона не симметричны. Уравнение не учитывает ограниченный риск покупателя и неограниченный риск продавца опциона. Дельта-оценка переоценивает риск покупателя опциона и недооценивает риск продавца опциона. Поясним это на примере опциона колл. При падении цены базисного актива дельта опциона уменьшается с ускорением. Это означает, что покупатель опциона теряет деньги с замедляющимся темпом. Однако уравнение (П.9.3) не учитывает уменьшение значения дельты. При росте цены базисного актива дельта опциона возрастает с ускорением. Поэтому продавец опциона теряет средства в возрастающем темпе. Выражение (П.9.3) в силу его линейности также игнорирует данный факт.
Поскольку дельта изменяется с изменением курса базисного актива, то лучшее приближение изменения стоимости опционной позиции можно получить на основе дельта-гамма оценки, дополнив равенство (П.9.3) гаммой опциона:
V^V'+MS + jridSf, (П.9.7)
где у - гамма опциона.
В то же время следует иметь в виду, что использование гаммы может в ряде случаев ухудшить оценку VaR. В Рискметриках банка J.P.Morgan в этой связи приводятся следующие рассуждения. Запишем равенство (П.9.7) как:
dV = AdS + ^ y(dSf, (П.9.8)
Умножим и разделим первое слагаемое в правой части равенства (П.9.8) на S, а второе слагаемое - на S2:
(П.9.9)
S l' U.
Величина — представляет собой доходность базисного актива. Формула S
(П.9.9) говорит о том, что изменение цены опциона определяется двумя пере-
Первая случайная величина распределена нормально, вторая - по закону хи-квадрат, т.е. посылка нормальности распределения, используемая в аналитической модели нарушается. Если гамма опциона имеет большое значение - опцион АТМили до истечения которого осталось мало времени, - то это может исказить оценку за счет значительного влияния распределения хи-квадрат. При изменении цены базисного актива гамма также изменяется, поэтому дельта-гамма оценка будет содержать ошибку для существенных движений курса.
ГЛАВА 10. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ VaR И СТРЕСС-ТЕСТИРОВАНИЕ
В настоящей главе рассматривается определение VaR портфеля на основе моделирования его будущей стоимости. Мы остановимся на методах исторического моделирования и Монте-Карло.
10.1. Историческое моделирование
Историческое моделирование основано на использовании статистических данных об изменении цен или доходностей активов, входящих в портфель, за предыдущие временные периоды. В рамках данного метода выбирают некоторый отрезок времени в прошлом и определяют для него фактические изменения цен или доходностей активов. С помощью полученных цифр моделируют прибыли и убытки существующего портфеля. После этого располагают цифры в порядке возрастания или строят гистограмму и определяют квантиль (персен-тиль), соответствующий требуемому уровню доверительной вероятности. VaR портфеля соответствует значению дохода для найденного квантиля.
Пример.
Портфель состоит из двух акций - А и В. В настоящий момент акция А стоит 100 руб., В - 200 руб. Портфель включает четыре акции А и три акции В. Необходимо определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 95%.
Решение.
Стоимость портфеля равна:
100 руб. ¦ Аакции + 200руб. ¦ Ъакции = 1000руб.
Удельный вес акции А в стоимости портфеля равен 40%, акции В - 60%.
Выбираем период времени для расчета изменения доходности акций. Пусть это предыдущие 101 день. Цену акций берем при закрытии биржи и определяем доходность акций за каждый день периода по формуле:
доходность акции за один день; St - цена акции в конце дня t;
Sl+l - цена акции в конце дня / + 1.
Таким образом, получаем 100 доходностей. Предположим, доходность акции А за первый день наблюдения выросла на 10%, акции В - на 5%. Используем полученные цифры для определения изменения доходности текущего портфеля. Оно равно:
0,4-10%+ 0,6-5% = 7%
Изменение стоимости текущего портфеля для такой конъюнктуры составит:
1000руб. • 0,07 = 10 руб.
Пусть для второго дня наблюдений доходность акции А упала на 10%, акции В - выросла на 2%. Изменение доходности текущего портфеля равно:
0,4 • (-10%)+ 0,6 • 2% = -2,8%
Изменение стоимости портфеля составит:
1000руб. • (- 0,028) = -28руб.
Аналогичным образом рассчитываются возможные прибыли-убытки в стоимости портфеля для оставшихся 98 дней. После этого располагают результаты в порядке возрастания и находят значение дохода, соответствующее пер-сентилю 5%. (Доверительной вероятности 95% соответствует персентиль 5%). Допустим, получен следующий ряд из ста цифр:
-42; -40; -37; -34; -30; -28; -27; ............57; 61; 65; 70
Для дискретной случайной величины значение равное искомому персентилю рассчитывается по формуле:
персентшь р% хи1-Х; / \
(значение) w,+] - ??;
где Xj - / -ев порядке возрастания значение случайной величины;
Wj - оценка относительного положения / -го значения случайной величины
в рассматриваемом наборе ее значений, и wi = -—- ;
п-1
п - количество значений случайной величины в рассматриваемом наборе данных.
В нашем примере значение -30 имеет порядковый номер пять, а -28 -
шесть. Соответственно = ——— = 0,0404 и ??, = ——— = 0,0505 . Значение
5 100-1 6 100-1
равное персентилю 5% равно: -30н--——^——^—(0,05-0,0404)= -28,1.
0,0505-0,0404? '
Таким образом, доходность, соответствующая персентилю 5%, равна -28,1#уб. Следовательно, VaR с доверительной вероятностью 95% равен - 28,1 руб.
Историческое моделирование имеет ряд преимуществ и недостатков по сравнению с аналитическим методом. Оно основано на фактическом историческом распределении доходностей (цен) активов. Поэтому для его реализации не требуется использовать модели динамики курсовой стоимости активов портфеля, делать допущения относительно вида распределения его доходности и соответственно расчета его параметров. Историческое моделирование основано на “фактических” корреляциях, существовавших между активами, в то время как другие методы учитывают тенденции движения активов в среднем на основе рассчитанных значений корреляций.
Распределение прибылей-убытков оцениваемого портфеля строится на основе фактических данных. Поэтому выбранный период наблюдения может оказаться не совсем представительным, что приведет к искажению оценки VaR. Метод исторического моделирования также может недооценить риск портфеля, поскольку придает всем значениям цен активов, которые не наблюдались в базовом периоде, нулевую вероятность. Выбирая определенный период для оценки VaR, менеджер фактически соглашается только с теми рисками, которые существовали в рамках данного периода и обусловили динамику курсовой стоимости активов. Такой подход может оказаться не всегда верным. Что касается выбора периода наблюдений и его продолжительности, то этот вопрос остается на усмотрение менеджера.
10.2. Использование программы Excel для исторического моделирования
Программа Excel позволяет легко осуществить вычисления, необходимые для исторического моделирования VaR. Рассмотрим технику расчета VaR на примере.
Пример.
В портфель входят акции трех компаний - X, Y, Z. Акция Xстоит ІО руб., Y - 20 руб., Z - 30 руб. Инвестор купил две акции компании X, одну акцию компании Y, и две акции компании Z. Для исторического моделирования выбран период за предыдущие 11 дней. Цены акций при закрытии за этот период представлены в таблице ЮЛ. (Десятый день - это день, предшествующий расчету VaR).
| Таблица ЮЛ. Курсовая стоимость акций на конец каждого дня (руб.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 90%. |
Расположим в ячейках интервала B2:L4 цены акций компаний X, Ки Z (см. рис. 10.2). В диапазоне В8:К10 получим доходности акций в расчете на день. Доходность определяем по формуле:
| г - | 1 |
Доходность акции X за первый день получим в ячейке В8. Поэтому печатаем в ней формулу (10.1) согласно адресам ячеек:
= С2/В2-1 (10.2)
и нажимаем клавишу Enter. В ячейке появилась цифра -0,11111.
Чтобы рассчитать доходности за оставшиеся дни для акции X, копируем формулу (10.2) из ячейки В8 в ячейки с С8 до К8. Для этого выделяем курсором ячейку В8. В нижнем правом углу выделенной рамки появился квадратик (маркер заполнения). Наводим на него курсор. Появился крестик. Нажимаем левую клавишу мыши и, не отпуская ее, протягиваем крестик до ячейки К8. Отпускаем клавишу мыши. В ячейках диапазона С8:К8 появились цифры доходности. Аналогичным образом получаем доходности акций Г и Z. Для этого печатаем в ячейке В9 формулу:
= СЗ/ВЗ-1
и копируем ее в диапазон С9:К9. В ячейке В10 печатаем формулу:
= С4/Д4-1
и копируем ее в диапазон С10:К10:
|
А \ І [ С і 0 I І ] F I~Q ! H ! ( i J ; К ; L Г ____ ЦЕНЫ АКЦИЙ _____ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ДОХОДНОСТИ АКЦИЙ X -0,11111 -0,125 0,142857 0,125 0,111111 0,1 -0,18182 0,111111 0,1 -0,09091 Y 0,05 -0,04762 -0,05 -0,05263 -0,05556 0,058824 0,055556 -0,05263 0,055556 0,052632 г 0,04 -0,03846 0,04 0,038462 -0,07407 0,04 0,038462 0,037037 0,035714 0,034483 |
2_і
з!
4
&
€
7
'8І
и 11 ; 151
13
14
"15 "I
Ш
17! 18 19І 2D] 21;] 22
КОЛ-ВО АКЦИЙ
2
1
2
ИЗМЕНЕНИЕ СТОИМОСТИ ПОРТФЕЛЯ СОГЛАСНО ИСТОРИЧЕСКИМ ДАННЫМ
1,177778 -5,76007 4,257143 3,755061 -3,33333 5,576471 -0,21756 3,391813 5,253968 1,303415
ПЕРСЕНТИЛЬ 10%
-3,57601
Рис. 10.2. Расчет VaR методом исторического моделирования
В ячейки В13, В14 и В15 печатаем текущие цены акций X, Y и Z, в ячейках D13, D14 и D15 - количество акций X, Y и Z.
В диапазоне В19:К19 получим смоделированные значения дохода портфеля за десять дней. Для этого активизируем курсором ячейку В19 и открываем функцию “СУММПРОИЗВ” мастера функций/ В первый массив вносим диапазон ячеек В8:В10, во второй массив - диапазон В13:В15, в третий - D13:D15 и щелкаем ок. В ячейке В19 получили цифру 1,177778. Активизируем ячейку С19, открываем мастер функций, и вносим в первый массив диапазон ячеек С8:С10, во второй массив - диапазон В13:В15, в третий - D13:D15 и щелкаем ОК. Аналогичным образом получаем доходность портфеля в остальных ячейках диапазона.
В ячейке F22 получим значение персентиля 10% (он соответствует доверительной вероятности 90%). Для этого открываем окно “Мастер функций”. В левом поле (“Категория”) выбираем курсором строку “Статистические” и щелкаем мышью. В правом поле окна (“Функция”) выбираем курсором строку “ПЕР-СЕНТИЛЬ” и щелкаем мышью. Строка высветилась синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появилось окно “ПЕРСЕНТИЛЬ”. В строку “Массив” вносим диапазон В19:К19, в строке “К” печатаем цифру 0,1 и щелкаем курсором ОК. В ячейке появилась цифра -3,57601. Она представляет собой искомый VaR портфеля с доверительной вероятностью 90%.
10.3. Оценка VaR с помощью метода Монте-Карло
Метод Монте-Карло представляет собой метод моделирования значений случайной величины с помощью статистических испытаний или “разыгрывания” случайной величины. Случайную величину можно моделировать либо непосредственно, проводя с ней требуемый эксперимент, либо в рамках специального эксперимента с требуемой вероятностной структурой. Первый подход часто трудно реализуем. В области финансов используют второй подход. Испытания проводят на основе модели, характеризующей динамику случайной величины. Параметры модели оценивают на основе предыдущих статистических данных. По результатам большого количества испытаний делают вывод о распределении случайной величины. Закон распределения случайной величины предполагается известным. Среднее значение смоделированных значений случайной величины принимается за ее будущее значение. Метод Монте-Карло используют в тех случаях, когда невозможно получить приемлемый результат более простыми способами.
Искомую случайную величину моделируют с помощью другой случайной величины. Она представляет собой непрерывную случайную величину с равномерным распределением на отрезке [0,1]. Случайные числа получают с помощью так называемого “генератора случайных чисел” на компьютере или из
3 Технику расчета с помощью программы “Мастер функций” см. в главе 1.1.6 пример 1 в.
специальных таблиц случайных чисел. Техника моделирования случайной величины представлена в приложении 1 к настоящей главе.
Метод Монте-Карло в первую очередь используют при расчете VaR портфелей, включающих активы с нелинейными зависимостями. При расчете VaR портфеля методом Монте-Карло определяют распределение его стоимости на конец интересующего периода и строят гистограмму выигрышей и проигрышей. Величина потерь, отвечающих квантили (персентилю) для требуемого уровня доверительной вероятности и является показателем VaR. Ключевым моментом данного метода является моделирование будущей стоимости портфеля. Рассмотрим принцип моделирования его стоимости вначале для одной акции, а затем для портфеля из нескольких бумаг.
10.3.1. Метод Монте-Карло для одной акции
Проиллюстрируем моделирование курса акции на примере. В качестве модели возьмем модель изменения курсовой стоимости акции, представленную уравнением:
AS = juSAt + oSs-ist , (10.3)
где S - цена спот акции;
/л - непрерывно начисляемая ожидаемая доходность; а - мгновенное стандартное отклонение; s - стандартная нормально распределенная величина;
At - период времени, за который рассматривается изменение стоимости акции.
Пример.
Ожидаемая доходность акции равна 20% годовых, стандартное отклонение 30% годовых, интервал времени один день. Смоделировать курс акции через два дня, если в конце нулевого дня она стоит 100 руб.
Решение.
Торговля акцией осуществляется только в торговые дни. Пусть в году 250 торговых дней. Интервал времени в один день равен: = 0,004 части года. Тогда
уравнение (10.3) принимает общий вид:
AS = 0,2 • S, ¦ 0,004 + 0,3 • S,ej0,004 , (10.4)
где S, - текущий курс акции в момент испытания.
Для начального момента времени курс акции равен 100 руб. Поэтому уравнение (10.4) запишем как:
AS = 0,2 -100 - 0,004 + 0,3-100sj 0,004
или
AS = 0,08 +1,897^ (10.5)
Пусть в результате первого испытания случайная величина е - -0,02. Подставив это значение в равенство (10.5), получим:
М = 0,08 +1,897 •(- 0,02) = 0,04206руб.
В начальный момент времени курс составляет 100 руб. В конце первого дня он равен:
100 + 0,04206 = 100,04206^уб.
На момент второго испытания курс акции составляет 100,04206 руб. Поэтому формула (10.4) принимает вид:
AS = 0,2 100,04206 • 0,004 + 0,3-100,04206 • sj 0,004 ,
или
М = 0,080034 +1,898165f (10.6)
Пусть в результате второго испытания случайная величина е - 0,4. Подставив это значение в равенство (10.6), получим:
М = 0,080034 +1,898165 • 0,4 = 0,8393руб.
В конце второго дня курс равен:
100,04206 + 0,8393 = 100, ?Шруб.
Мы получили значение курса акции в конце второго дня в результате одной серии испытаний. (Одна серия состоит из двух испытаний.) Проведя подобные серии испытаний большое количество раз, получим картину распределения курса акции через два дня. Для получения значений курса акции методом Монте-Карло можно использовать программу Excel.
10.3.2. Использование программы Excel для получения значений курса акции методом Монте-Карло
Рассмотрим моделирование курса акции методом Монте-Карло с помощью программы Excel на примере из параграфа 10.3.1.
Пример.
Ожидаемая доходность акции равна 20% годовых, стандартное отклонение 30% годовых, интервал времени 0,004 года. Смоделировать курс акции через два дня, если в конце нулевого дня она стоит 100 руб.
Решение.
Печатаем в ячейке А1 курс акции в конце нулевого дня (100), в ячейке А2 -ожидаемую доходность (0,2), в АЗ - стандартное отклонение (0,3), в А4 временной интервал (0,004).
Курс акции через два дня моделируем на основе уравнения (10.3). Для удобства моделирования перепишем его как:
St+i -St = juS'At + aS'SyfKt,
или
St+1 = S, (l + juAt + <у?л[аІ), (10.7)
где S, - курс акции в день t;
Sl+1 - курс акции в день t +1.
В круглых скобках равенства (10.7) выражение (//А/ + as л/а?) представляет собой нормально распределенную случайную величину со средним значением jxbd и стандартным отклонением ал[Кі. При моделировании она принимает вид формулы:
=НОРМОБР(С ЛЧИС(); А2 * А4; АЗ *КОРЕНЬ( А4))
Получим значение курса акции в конце первого дня в ячейке В1. Печатаем в ней формулу:
=А1 *(і +НОРМОБР(СЛЧИС();А2*А4; АЗ*КОРЕНЬ(А4)))
и нажимаем клавишу Enter.
Получим значение курса акции в конце второго дня с учетом ее курса в конце первого дня в ячейке В2. Печатаем в ней формулу:
=В 1 * (1 +НОРМОБР(СЛЧИС(); А2 * А4; АЗ *КОРЕНЬ( А4)))
и нажимаем клавишу Enter. Чтобы получить значения курса акции для второй серии испытаний, т.е. для периода следующих двух дней, нажимаем клавишу F9 и т.д.
10.3.3. Метод Монте-Карло для портфеля из нескольких акций
Рассмотрим существо метода Монте-Карло для портфеля из двух бумаг. Для портфеля, включающего большее количество активов, подход останется аналогичным.
Распределение стоимости портфеля зависит от степени коррелированности доходностей входящих в него активов. Наиболее просто получить распределение стоимости портфеля, когда доходности акций изменяются независимо друг от друга или когда между ними наблюдается корреляция +1.
Как отмечалось в параграфе 10.3.1, изменение цены акции можно смоделировать на основе уравнения (10.3). Поэтому изменение стоимости акций в портфеле можно представить равенствами:
AaSj 1 — Н\^\сГі5іЛЛ7 ? Д52і = /u2S2 0At + a2S2 0?2 ,
(10.8)
(10.9)
где А5[,; А52, - изменения курса первой и второй акций в первом периоде;
5,0; S2 0 - цены первой и второй акций в начальный момент времени;
//,; ц2- ожидаемые доходности первой и второй акций; сг,; <г2 - стандартные отклонения доходностей первой и второй акций; еху, е2х - реализации стандартной нормально распределенной случайной величины в первом периоде.
Расчеты применительно к портфелю ценных бумаг удобно осуществлять в матричной форме. Поэтому выражения (10.8) и (10.9) представим в матричной форме как:
?хл4а1 \S2,\ ?а? j
AS,/
as2>1
М^і.оА/
/j2S20At
(10.10)
0 a2S2fiJ
| Для простоты возьмем в выражении (10.10) период времени равным единице. Тогда оно примет вид: | |||||||||||||||
|
AS - это изменение стоимости акции. Его можно записать как:
AS = S, — St_x,
где St - курс акции в момент t:
и-1
курс акции в предыдущий момент t -1.
Учитывая сказанное, цены акций в выражении (10.11) можно представить как:
|
fs, Л ( Sl0 + ^xSxoAt'] *^2,0 №2^2,0^ |
|
А,
где Sx x; S2 X - цены акций в конце первого периода испытания.Стоимость портфеля в конце первого периода можно узнать, умножив выражение (10.12) на вектор количества акций в портфеле:
Vs,У '
Vs*.
|
рр = П\ п2 П\ п2 | ||||||||||||||
|
^2,0 "*¦ /^2^2,qA^
(10.13) где Р - стоимость портфеля;
и,; п2 - количества первой и второй акций в портфеле.
Формула (10.13) позволяет определить стоимость портфеля, когда корреляция доходностей бумаг равна нулю.
Если корреляция доходностей активов в портфеле равна +1 или -1 , то выражение (10.13) принимает вид:
^ УМ.
*^2,0 Рг^2,0^
|
Пл п. \S2,\J = \Щ «2 | |||||||||||||
|
°і,і
Vf2.1 J
его стоимости. Результаты испытаний задаются значениями вектора
, обо
значим его через s. Они должны отражать структуру корреляций доходностей активов. Требуемое условие можно смоделировать, воспользовавшись разложением Холецкого. Разложение Холецкого представляет собой симметрическую матрицу как произведение нижней и верхней треугольных матриц. Поэтому корреляционная матрица портфеля (іQ) представима как:
Q = АА ,
где А - нижняя треугольная матрица.
Запишем выражение (10.14) для портфеля из двух бумаг:
(10.14)
,Т
| (\ | Р' | "«11 | 0 " | «п я21 | |
| кР | О | ?«21 | «22/ | К 0 «22 У |
я,
я,
«11*21
«21 + «22 /
21
?«21
|
а гг) V 0 #22 ) \аг\а\ 1 Приравняем элементы корреляционной матрицы и матрицы произведений АА : | ||||||||||||||
|
СІ11 — lj і#2і — ^22 — ^
??11 — 1, ^21 “ Р' а22 ~ Ф Р Зададим значения вектора s как:
? = Ат ,
где г - вектор независимых стандартных случайных переменных. Тогда:
(10.15)
/72Г2
'2,1
| |||||||||||||||
| ~ Т\ |
стоимость портфеля с учетом структуры его корреляционной матрицы.
Для того чтобы можно было использовать разложение Холецкого, матрица А должна быть положительно определена. Если менеджер включит в модель дисперсии и корреляции, в которых учтены его экспертные оценки, то не исключен вариант, что матрица не будет определена положительно.
Точность оценки VaR зависит от количества проведенных испытаний. Возможная ошибка обратно пропорциональна корню квадратному из их количества.
В заключение данного параграфа остановимся еще раз на использовании формулы (10.3) для моделирования курсовой стоимости акции. Формула включает элемент juSdt. Он определяет тренд или скорость тенденции движения цены акции. За короткий период времени тренд фактически не определим, и изменение цены акции задается в основном стандартным отклонением. Поэтому, если курс акции моделируется для небольшого периода времени, то данное слагаемое можно опустить. Тогда формула (10.3) примет вид:
AS = ctS??а7 (10.16)
Таким образом, для моделирования курса акции для малых периодов времени можно воспользоваться вместо формулы (10.3) выражением (10.16). Разница в результатах тем меньше, чем меньше период времени берется для каждого испытания. При моделировании стоимости акций в портфеле с учетом их корреляций в формуле (10.16) значения s необходимо учитывать в соответствии с выражением (10.15).
10.4. Какой метод оценки VaR использовать
Мы рассмотрели три подхода к оценке VaR портфеля: аналитический, историческое моделирование и метод Монте-Карло. Какой из них предпочесть? Ответ на вопрос зависит от временного горизонта, для которого рассчитывается VaR, и состава портфеля. Если рассматривать портфель с линейными позициями, т.е. не включающий опционы, то оценки на основе всех трех методов не должны отличаться сильно. Поэтому выбор необходимо остановить на наиболее быстром и наименее затратном подходе. Таким подходом является аналитический метод. Он не требует выбора какой-либо модели оценки стоимости активов, а необходимые данные для расчета VaR доступны со стороны банка J.P.Morgan по интернету. Исторический метод также прост в осуществлении. Наиболее сложен метод Монте-Карло. Он требует выбора ценовых моделей для активов портфеля, и его осуществление может занять много времени. Время осуществления расчетов можно уменьшить за счет увеличения периода шага моделирования At. Однако чем больше величина At для каждого испытания, тем сильнее полученная динамика курсовой стоимости актива отличается от непрерывного процесса, характеризующего изменение цены актива. В дополнение к этому также следует упомянуть и модельный риск. Он состоит в выборе Модели, не адекватно описывающей динамику курсовой стоимости актива.
Много времени займет моделирование стоимости широко диверсифицированного портфеля. Так, например, для портфеля из 100 активов для имитации 10000 сценариев потребуется оценить I млн. активов.
Если портфель включает нелинейные позиции, то оценки в рамках аналитического метода, с одной стороны, и исторического и Монте-Карло, с другой, могут существенно отличаться. В общем случае предпочтительнее метод Монте-Карло. Однако, если временной горизонт расчета VaR небольшой, например, один день, то допустимо использовать и аналитический подход. Расхождения в оценках не должны оказаться большими, и будут тем меньше, чем меньше нелинейность портфеля. Говоря о нелинейных позициях, также следует учитывать их знак. Если в портфель входят опционы с противоположными позициями, т.е. длинные и короткие, то их возможные результаты должны в определенной степени компенсировать друг друга. Поэтому аналитическое приближение такого портфеля характеризуется меньшей возможной ошибкой по сравнению с портфелем, включающим опционы только одного знака.
10.5. Стресс-тестирование
VaR представляет собой оценку возможных потерь в стоимости портфеля для “нормальных” экономических условий. Вместе с тем история показывает, что время от времени на финансовом рынке происходят резкие изменения конъюнктуры, которые не учитываются адекватно стандартными моделями VaR, поскольку они строятся на ограниченной статистической базе. Однако повторение подобных событий может вызвать серьезные потери в стоимости портфеля. Например, средняя дневная волатильность доходности акций США с 1984 по 1988 годы составляла один процент. Однако 19 октября 1987 г. значение индекса S&P 500 упало на 20%. Предотвращение риска банкротства требует оценки возможных потерь стоимости портфеля при подобных ситуациях. Эту задачу решают с помощью стресс-тестирования. Оно заключается в определении возможных потерь в стоимости портфеля в различных негативных условиях. Управляющий портфелем определяет набор ситуаций, которые по его мнению могут произойти, и проводит для них оценку стоимости портфеля. После этого делает заключение относительно готовности пойти на такой риск или предусмотреть хеджирующие действия.
Стресс-тестирование показывает потенциальные потери для выбранных ситуаций, однако не говорит о вероятности их наступления. Поскольку выбор сценариев делается на субъективной основе, то ему должно предшествовать детальное изучение функционирования рынков инструментов, входящих в портфель. В качестве анализируемых случаев рассматриваются фактические кризисные ситуации на финансовых рынках, а также условные сценарии неблагоприятного изменения факторов риска. К фактическим ситуациям, например, относится кризис на мировых финансовых рынках в октябре 1987 г., дефолт по государственным обязательствам России в 1997 г., террористический акт в США в сентябре 2001 г. и т.п. На основе динамики курсовой стоимости или доходности активов в эти моменты времени менеджер определяет возможные потери в стоимости портфеля. В качестве условных сценариев можно, например, оценить последствия для портфеля снижения значения индекса Доу-Джонса за одну сессию на 5%, рост или падение процентной ставки в США на 1%, рост цены нефти в три раза в результате военных действий на Ближнем Востоке, и т.п. При осуществлении расчетов также необходимо учесть, что в условиях кризисных ситуаций изменяются не только стандартные отклонения доходностей активов, но и их корреляции. Как правило, их значения возрастают. Заслуживает внимания и ситуация, когда стоимость портфеля падает в течение нескольких дней, и, причем, потери за каждый день не выходят за рамки отведенных ограничений.
Одним из вопросов в кризисных ситуациях является проблема ликвидности. Поэтому, необходимо оценить степень ликвидности активов портфеля для таких случаев.
С точки зрения терминологии в рамках стресс-тестирования выделяют сценарный анализ и механический подход. Сценарный анализ ограничивается выбором определенных ситуаций и оценкой их влияния на стоимость портфеля. Механическое стресс-тестирование включает более широкий подход, поскольку заключается в использовании различных гипотетических комбинаций цен активов с целью определения наихудшей возможной ситуации. Как отмечает K.Dowd, “некоторые приемы механического стресс-тестирования также отличаются от сценарного анализа тем, что могут дать (хотя иногда довольно слабое) представление о вероятности (likelihood) различных исходов”. В частности, если менеджер оценивает стоимость портфеля для возможного изменения цен активов равного определенному количеству стандартных отклонений и предполагает нормальность распределения стоимости активов.
В целом стресс-тестирование является дополнением к анализу в рамках методик VaR, поскольку позволяет учесть разнообразные, порой далекие от стандартных ситуации, вероятность наступления которых на взгляд менеджера является незначительной.
Краткие выводы
Историческое моделирование основано на использовании статистических данных об изменении цен или доходностей активов, входящих в портфель, за предыдущие временные периоды. В рамках данного метода выбирают некоторый отрезок времени в прошлом и определяют для него фактические изменения цен или доходностей активов. С помощью полученных цифр моделируют прибыли и убытки существующего портфеля. Доход соответствующий персентилю для требуемого уровня доверительной вероятности составляет VaR портфеля.
Метод Монте-Карло представляет собой метод моделирования значений случайной величины с помощью статистических испытаний или “разыгрывания” случайной величины. Испытания проводят на основе модели, характеризующей динамику случайной величины. Параметры модели оценивают на основе предыдущих статистических данных. По результатам большого количества испытаний делают вывод о распределении случайной величины. Доход, соответствующий квантилю для требуемого уровня доверительной вероятности составляет VaR портфеля.
Приложение 1.
Моделирование случайной величины.
Использование Excel для моделирования случайной величины
Для моделирования искомой случайной величины используют случайную величину, которая принимает любые значения на отрезке [О, I] с равной вероятностью. На практике выбранное значение случайной величины будет иметь бесконечное число десятичных знаков. Поэтому ограничиваются только определенным количеством десятичных знаков. В связи с этим распределение случайной величины не строго равномерно. Следует также подчеркнуть, что получаемые значения случайной величины представляют собой “псевдослучайные” числа, поскольку они генерируются на основе определенного алгоритма. Данный алгоритм с определенной цикличностью повторяет одинаковую последовательность чисел. Если циклы относительно коротки, то получаемые значения не будут независимыми. Это может исказить оценку VaR, поскольку распределение стоимости портфеля окажется не полным.
Функция распределения случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке [а,Ь], имеет вид:
при а <х<Ь
(П.10.1)
О при х < а х-а
Ь-а
1 при х>Ь
Обозначим непрерывную равномерно распределенную на отрезке [0,1] случайную величину через R. Тогда, согласно выражению (П.10.1), ее функция распределения равна:
(П.10.2)
0 при jc < 0 г при 0 < л: < 1
1 при х>Ь
Отсюда видно, что вероятность попадания случайной величины на любой интервал отрезка [0,1] равна длине этого интервала:
P(rx
Для моделирования непрерывной случайной величины часто используют метод обратных функций. Суть его сводится к следующему. Искомая случайная величина X имеет функцию распределения F{x). С помощью генератора случайных чисел получают некоторое число rt случайной величины R. Это означает, что в данном эксперименте значение rt равно значению функции распределения величины X. Поэтому можно записать:
Н*,) = г, (П.10.3)
Из уравнения (П.10.3) находим значение , которое искомая случайная величина X в данном испытании приняла с вероятностью гх :
Функция распределения и плотность вероятности случайной величины связаны соотношением:
F(x,)= ]f{x)dx,
-00
где f(x) - плотность вероятности случайной величины X. Поэтому вместо уравнения (П.10.3) можно решить уравнение:
Аі
(П.10.4)
\f(x)dx = rt
С помощью рассмотренного метода наиболее часто моделируют нормально распределенную величину. Плотность стандартной нормально распределенной
г2
1 —
величины равна: ¦— е 2 . Тогда выражение (П.10.4) принимает вид:
V2 ж
функция стандартного нормального распределения.
Пример 1.
В результате испытания равномерно распределенная на отрезке [0,1] случайная величина приняла значение 0,492. Определить соответствующее ей значение стандартной нормальной случайной величины.
Решение.
На основе равенства (П.10.5) запишем:
ф(х,) = 0,4920
По таблице стандартного нормального распределения находим:
х, = -0,02
Значение стандартной нормально распределенной случайной величины вместо таблиц можно определить с помощью программы Excel. Найдем значение величины х, из примера 1. Ответ получим в ячейке АІ, поэтому активизируем ее. Открываем окно “Мастер функций”. Курсором выбираем раздел “Статистические” и щелкаем мышью. В окне “Функция” выбираем курсором строку “НОРМСТОБР” и щелкаем кнопку ОК. В строке “Вероятность” печатаем цифру 0,492 и щелкаем кнопку ОК.
Если необходимо смоделировать возможные значения нормально распределенной величины с математическим ожиданием а и стандартным отклонением а, то выражение (П. 10.5) примет вид:
х, - а
(П.10.6)
= г.
Пример 2.
По данным примера 1 определить значения нормально распределенной величины с математическим ожиданием 10 и дисперсией 2.
Решение.
На основе равенства (П.10.6) запишем:
дс, -10
= 0,4920
По таблице стандартного нормального распределения находим:
^1®=-0,02
2
ИЛИ
JC, =-0,02-2 + 10 = 9,96
Значение нормально распределенной случайной величины вместо таблиц можно определить с помощью программы Excel. Найдем значение величины де, из примера 2. Ответ получим в ячейке А1, поэтому активизируем ее. Открываем окно “Мастер функций”. Курсором выбираем раздел “Статистические” и щелкаем мышью. В окне “Функция” выбираем курсором строку “НОРМОБР” и щелкаем кнопку ОК. В строке “Вероятность” печатаем цифру 0,492, в строке “Среднее” - цифру 10, в строке “Стандартноеоткл” - цифру 2 и щелкаем кнопку ОК.
Программа Excel позволяет моделировать равномерно распределенную случайную величину на отрезке [0, 1]. Для этого служит функция СЛЧИС(). Получим в ячейке А1 первое значение случайной величины. Для этого печатаем в ней формулу: =СЛЧИС() и нажимаем клавишу Enter. В ячейке появилось значение случайной величины. Следующее ее значение в данной ячейке можно получить, нажав клавишу F9.
Для моделирования нормально распределенной случайной величины с некоторым средним значением а и стандартным отклонением а служит функция НОРМОБР. Пусть среднее значение нормально распределенной случайной величины равно 0,2, стандартное отклонение - 0,3. Печатаем значение 0,2 в ячейке А1 и 0,3 - в ячейке А2. Значение случайной величины получим в ячейке В1. Воспользуемся для генерирования значения случайной величины “Мастером функций”. Для этого открываем окно “Мастер функций”, щелкнув мышью на значок :і. В левом окне “Мастера функций” курсором выбираем строку “Статистические” и щелкаем мышью. Далее выбираем курсором функцию НОРМОБР и щелкаем мышью кнопку ОК. Появилось окно “НОРМОБР”. В первой строке (Вероятность) печатаем СЛЧИС0 Во вторую строку (Среднее) вносим среднее значение нормального распределения, т.е. ячейку А1. В третью строку (Стандартное откл) вносим значение стандартного отклонения распределения, т.е. ячейку А2. Выбираем курсором команду ОК и щелкаем мышью. В ячейке В1 появилось одно из значений случайной величины. Чтобы получить следующее значение случайной величины, нажимаем клавишу F9 и т.д.
Значение случайной величины в ячейке В1 можно получить, не прибегая к помощи “Мастера функций”. Для этого в ней необходимо напечатать формулу:
= НОРМОБР(СЛЧИС();А 1; А2) и нажать клавишу Enter.
11.1.
10.1.5.
ГЛАВА 11. ОТОБРАЖЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ С ПОМОЩЬЮ СТАНДАРТНЫХ ФАКТОРОВ РИСКА
В настоящей главе мы рассмотрим отображение основных финансовых активов с помощью стандартных факторов риска в соответствии с методикой принятой в Рискметриках банка J.P. Morgan.
Оценка риска индивидуальных активов не представляет большого труда. Оценка риска слабо диверсифицированного портфеля также не является трудоемкой задачей. Сложности возникают при работе с портфелем, включающим большое количество активов. Для определения риска такого портфеля необходимо располагать данными об их стандартных отклонениях и корреляциях. В результате значительно возрастает количество требуемой информации. Ее сложно хранить и обрабатывать. Также существует вероятность того, что квадратичная форма не будет определена положительно.1 Поэтому для расчета VaR большого портфеля в Рискметриках банка Дж.П.Морган предлагается следующий прием. Выбирают несколько активов, - назовем их стандартными активами или факторами риска, - через посредство которых выражают изменение цены (доходности) всех остальных финансовых активов. После этого риск портфеля определяют на основе данных стандартных факторов риска. В Рискметриках банка Дж.П.Морган такие стандартные активы названы «строительными блоками». В качестве стандартных выбирают активы, для которых известны дисперсии и корреляции доходностей с другими стандартными активами. Такой прием позволяет представить множество рисков, ассоциированных с множеством активов портфеля, с помощью нескольких стандартных активов, что существенно упрощает расчеты.
При изложенном подходе риск каждого финансового инструмента проецируют на соответствующий стандартный фактор риска, т.е. копируют с помощью стандартного актива. В ряде случаев финансовый инструмент представим только как комбинация нескольких стандартных факторов риска. В таком случае Рискметрики говорят о представлении его в виде потоков платежей. Следует подчеркнуть, что копирование инструментов портфеля с помощью набора стандартных активов не является абсолютно точным, а содержит определенную долю приближения. Однако это не умаляет значимости получаемых оценок VaR. В отсутствии такого подхода вряд ли было бы возможным относительно быстро определять VaR для больших портфелей.
При расчете VaR портфель представляется в виде набора стандартных активов. Поэтому непосредственно VaR определяется не для исходного портфеля, а для полученного синтетического портфеля, который близко его копирует. В
Рискметриках в качестве стандартных активов или факторов риска выступают основные фондовые индексы, валюты, бескупонные облигации с определенными сроками погашения и фьючерсные контракты. Прием декомпозиции актива на стандартные блоки хорошо соответствует инструментам с линейной структурой изменения доходов и слабо подходит для опционных позиций. Рассмотрим проецирование финансовых инструментов на соответствующие им стандартные активы.
11.1. Акции
В качестве стандартного актива или фактора риска для акции выступает фондовый индекс. Доходность акции связана с доходностью индекса с помощью коэффициента бета. Данная взаимосвязь представлена уравнением рыночной модели Шарпа:
Га=Га+РаГт+еа О11)
Как было определено в главе 3, на основе уравнения (П.І) дисперсия и стандартное отклонение акции соответственно равны:
(И-2)
<*a=(Pl;
Если стоимость данных акций в портфеле равна ?а, то VaR позиции по акции составит:
VaRa=acraVa, (П.4)
где а - количество стандартных отклонений, соответствующих требуемому уровню доверительной вероятности.
Уравнения (II.2) и (П.З) позволяют представить риск акции через риск рыночного портфеля. Риск акции содержит рыночный (д^сг^) и специфический
(o'2) компоненты. Однако для широко диверсифицированных портфелей нерыночный риск практически равен нулю. Поэтому риск портфеля определяется только на основе рыночных рисков каждой акции, т.е. слагаемого Р2о2т или
Ра°т-
С учетом сказанного получим формулу риска для широко диверсифицированного портфеля. Для простоты проведем рассуждения для портфеля из двух акций. Бета первой акции Д, второй - Д2, их уд. веса в портфеле соответственно составляют 0, и 02.
Доходности акций на основе уравнения (I І.І) равны:
ГІ=У\+ РхГт + *1 >
Г2 ~ У2 ¦*" РіГт + ?1
Поскольку мы рассматриваем ситуацию для широко диверсифицированного портфеля, то специфическими рисками бумаг можно пренебречь и работать с уравнениями вида:
гі=Гі+Р\Гт (11.5)
Г2 =У2+02Гт (П-6)
На основе уравнений (11.5) и (11.6) риск портфеля равен:
а2р = ?аг ((<9, (у, + Д гт); ?2 (у2 + р2гт)) =
= ?аФі (Гі + Р\Гт)) + ?аг(б,2 (у2 + р2гт)) +
+ 2 со?(0, (у, + рхгт)\?2 (у 2 + Р2гт)) =
= ?аг (?хрхгт) + ?аг (?2р2гт) + 2 cov(?,/?,rm; ?2Р2гт) =
= 0і2Pi yar(rm) + ?ІРІ ?аг(гт) + 2?х?2рхр2 со\{гт;гт) =
= ?ІРІсгі + ?ІРІсгІ + 2 ?РМсті =
= <ггя\$р;+?ІРІ+Щ?2рхр2)= ?2т(?хрх+?2р2)2 = аір]
Таким образом, риск портфеля равен риску рыночного портфеля, умноженному на бету портфеля. В свою очередь, как следует из приведенных преобразований, бета портфеля равна средневзвешенному значению коэффициентов бет акций, входящих в портфель. В результате можно записать:
VaRp =aamPpVp (11.7)
Формулу (11.7) можно также представить как:
VaRr =аатРг?р=аат(?Л +- + 8ЛУ,
ИЛИ
VaRr=aam{p,V,+p2V2 +... + ДД)=а<т., (11.8)
/= 1
где ?х - стоимость акций і -й компании в портфеле, она равна: ?х = ?х?р.
Широко диверсифицированный портфель будет состоять из акций компаний разных отраслей. Тогда портфель из стандартных активов может точнее копировать риск исходного портфеля, если для проецирования рисков индивидуальных акций использовать не рыночный индекс, а отраслевые индексы для акций каждой отрасли. В таком случае в качестве стандартных активов выступают отраслевые индексы, для которых известны стандартные отклонения и ковариации с другими стандартными активами.
Пример.
Портфель состоит из акций трех компаний, Рх = 0,8; Р2 = 0,9 ; Д = 1,2 .
Стоимость акций первой компании в портфеле равна 300 тыс. руб., второй - 200 тыс. руб., третьей - 500 тыс. руб., стандартное отклонение рыночного портфеля для одного дня составляет 2%. Определить однодневный VaR портфеля для доверительной вероятности 95%.
Решение.
На основании формулы (11.8) VaR портфеля составляет:
1,65 • 0,02 • (0,8 • 300+0,9 • 200+1,2 • 500) = 33,66тыс руб.
Формулы (11.7) и (11.8) позволяют найти VaR широко диверсифицированного портфеля. Поэтому возникает вопрос о том, какой портфель можно считать таковым. Как отмечалось в главе 3, в современных условиях с полным основанием таким портфелем можно считать портфель, включающий не менее 50 акций.
11.2. Валюта
Портфель инвестора может включать спотовую позицию в иностранной валюте. В результате возникает риск потерь за счет неблагоприятного изменения валютного курса. Фактором риска в этом случае выступает обменный курс иностранной валюты по отношению к национальной. Если на иностранную валюту не начисляются проценты, то, полагая, что курс распределен нормально, VaR позиции в национальной валюте рассчитывается по формуле:
VaRc = ааее Vf, (11.9)
где сте - стандартное отклонение валютного курса;
е - спотовый обменный курс в прямой котировке;
Vf - сумма в иностранной валюте.
Пример.
Российский инвестор имеет спотовую позицию в 100 тыс. долл. Обменный курс доллара равен 30 руб. за I долл. На основе данных за прошедшие два месяца дневное стандартное отклонение валютного курса составило 0,7%. Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95%.
Решение.
В соответствии с формулой (11.9) VaR позиции инвестора составляет:
1,65 • 0,007-30руб. ¦ 100000долл = 34650руб.
11.3. Облигации
Для небольших изменений процентной ставки определить VaR отдельной облигации можно на основе ее модифицированной дюрации. При таком подхо-де мы делаем допущение о параллельности сдвигов кривых доходностей. Как известно, зависимость между изменением цены облигации и изменением ее доходности до погашения приблизительно равна:
dP - -DmPdr , (11.10)
где Dm - модифицированная дюрация облигации.
На основе уравнения (11.10) можно записать:
°Р = DmP(Jdr ,
где <7 - стандартное отклонение изменения цены облигации;
<7dr - стандартное отклонение изменения процентной ставки (величины dr);
В Рискметриках используется несколько иной подход. Равенство (11.10) можно записать как:
dP = -DmP—r (11.11)
г
Тогда:
°Р = Dmp°rr,
где стг - стандартное отклонение процентного изменения процентной ставки dr
(величины —).
г
Такой поход более согласуется с определением волатильности на рынке, поскольку для финансового актива стандартное отклонение определяют для ве-dS .
личины —, где S - курс актива.
S
Определив стандартное отклонение цены облигации на основе полученных формул, VaR облигации рассчитаем как:
VaR=opZajT ,
где Za - количество стандартных отклонений, соответствующих уровню доверительной вероятности;
Т - отрезок времени, для которого рассчитывается VaR.
Формулу (11.10) можно переписать как:
dP
Р
= ~Dmdr
Тогда:
где а - стандартное отклонение процентного изменения цены облигации (ве-dp.
личины —). р
Формулу (11.11) можно представить как:
Тогда:
<у = D су г
В таком случае VaR облигации рассчитаем на основе формулы:
VaR =
где Р - цена облигации.
На развитом финансовом рынке обращается большое количество облигаций. Поэтому, как и в отношении акций, целесообразно свести все их разнообразие к нескольким стандартным облигациям, на которые можно было бы проецировать облигации в портфеле при расчете VaR.
Главным фактором риска по облигации выступает изменение процентной ставки. Конъюнктура процентных ставок описывается кривой доходности или временной структурой процентных ставок. Для аналитических целей используют кривую доходности спот на основе доходности до погашения облигаций с нулевым купоном. Поэтому в качестве стандартных активов для проецирования облигаций используют облигации с нулевым купоном.
С увеличением сроков до погашения облигаций дисперсия процентной ставки уменьшается и возрастает корреляция между процентными ставками для соседних временных периодов. Поэтому кривую доходности можно с допустимой точностью приближения представить доходностями бескупонных облигаций для нескольких периодов. В качестве таких периодов можно взять один день, одну неделю, один, три и шесть месяцев, один, два, три, четыре, пять, семь, девять, десять, и тридцать лет. В Рискметриках такими моментами времени выступают один, три, шесть месяцев, один, два, три, четыре, пять, семь, девять, десять, пятнадцать, двадцать и тридцать лет. Выбранные сроки погашения для стандартных бескупонных облигаций называют вершинами (vertices). Они представляют собой факторы риска при описании кривой доходности.
Портфель инвестора содержит облигации, которые погашаются не только в стандартные сроки. Поскольку облигации портфеля копируют с помощью данных стандартных бескупонных облигаций, то в этом случае облигации представляют в виде потока платежей (cash flows). Процесс представления позиции в виде потока платежей называется отображением (mapping). Для бескупонной облигации со сроком погашения отличным от стандартного принцип представления в качестве потока платежей заключается в следующем. Вначале определяют дисконтированную стоимость облигации, т.е. ее цену. После этого цену облигации делят на две части между ближайшими стандартными вершинами. Например, бескупонная облигация погашается через один год и восемь месяцев. Ее цену представят в качестве двух потоков платежей со стандартными сроками один и два года.
Для купонной облигации данный принцип сводится вначале к представлению ее в качестве портфеля бескупонных облигаций и затем делению дисконтированной стоимости каждой полученной бескупонной облигации на два потока платежа с двумя стандартными соседними вершинами. Например, купонная облигация номиналом 1000 руб. и купоном 10% погашается через год и восемь месяцев. Купон выплачивается один раз в год. Данная облигация вначале представляется как две бескупонные облигации. Первая с номиналом равным первому купонному платежу, т.е. 100 руб. и погашением через восемь месяцев. Вторая - с номиналом 1100 руб. и погашением через год и восемь месяцев. После этого определяют их дисконтированные стоимости. Затем цену первой бескупонной облигации делят на два потока платежа с вершинами шесть месяцев и один год, второй - на два потока платежа с вершинами один и два года.
Для деления цены бескупонной облигации на два потока платежа между соседними стандартными вершинами необходимо найти их удельные веса. Данную задачу решают следующим образом. Цену облигации можно представить как линейную комбинацию потоков платежей:
уд. вес потока платежа в цене бескупонной облигации;
Pt_{ - поток платежа для вершины t -1;
Pt+l - поток платежа для вершины м-1;
Pt - цена бескупонной облигации.
Чтобы представить дисконтированную стоимость облигации Pt в качестве потоков платежей Pt_{ и РІ+І, необходимо определить уд. веса а и (і-«).
Спроецированная позиция должна иметь такую же дисперсию как и бескупонная облигация. Поэтому уд. веса потоков платежей находят из равенства:
(11.13)
сг? = а1 а]_х +(\-а)2 af+l + +2a(l -a)crt_xcrt+lpt_lt+l
где а? - дисперсия цены облигации Pt (или процентного изменения цены);
сгД, - дисперсия цены стандартной бескупонной облигации Pt_{ (или процентного изменения цены);
<т,2+1 - дисперсия цены стандартной бескупонной облигации РІ+] (или процентного изменения цены);
Рі-и+\ ~ коэффициент корреляции между ценами бескупонных облигаций
(или процентных изменений цен).
Преобразуем уравнение (11.13) следующим образом:
Ь±лІЬ2 -4ас
(11.15)
«1.2=-
где а — сгм + сг;+1 2сг,_,сг(+1/?(+1 ,
2 2
c = cr,+1-cr(
Поскольку а - это уд. вес потока платежа в цене облигации, то его значение должно лежать в пределах от нуля до единицы. Поэтому в качестве решения уравнения (11.14) из двух значений а следует взять то, которое соответствует указанным границам. Рассмотрим пример определения потока платежей для бескупонной облигации.
Пример 1.
Бескупонная облигация номиналом 1000 руб. погашается через год и восемь месяцев. Доходность годичной и двухгодичной стандартных бескупонных облигаций соответственно равны 8% и 10%. Однодневное стандартное отклонение процентного изменения цены первой облигации равно 0,2%, второй -0,3%. Коэффициент корреляции между однодневными процентными изменениями цен первой и второй облигаций равен 0,8. Представить облигацию в виде потоков платежей.
Решение.
Потоки платежей определяются на основе дисконтированной стоимости облигации. Поэтому найдем цену облигации. Для этого необходимо рассчитать ставку дисконтирования. Ставку дисконтирования определяем на основе интерполирования доходности между доходностями годичной и двухгодичной облигаций:
10%-8% 0 О0 п„0/
-ъмесяцев + 8% = 9,33%
1 Імесяцев
Дисконтированная стоимость облигации равна:
1000
1,09331,667
861,83/зуб.
Стандартное отклонение процентного изменения цены облигации определим линейной интерполяцией между стандартными отклонениями процентных изменений цен годичной и двухгодичной облигаций:
———— Ъмесяцев + 0,2% = 0,27%
1 Імесяцев
Подставим найденные значения в формулу (11.13):
0,00272 = а20,0022 +(і-а)20,0032 +
+ 2«(l - or)0,002 • 0,003 • 0,8
или
а2 0,0000034 - а0,0000084 + 0,00000171 = 0 Согласно алгоритму (11.15) решения уравнения составляют:
ах = 2,2467; а2 = 0,2239
Из двух ответов подходит второй, поскольку он лежит в диапазоне от нуля до единицы. Это означает, что 22,39% стоимости облигации должно приходится на годичную стандартную бескупонную облигацию, а (100-22,39) =77,61% на двухлетнюю стандартную облигацию. Таким образом, первый поток платежей со стандартной вершиной в один год равен:
861,83 • 0,2239 = 192,96руб., второй с вершиной два года:
861,83-0,7761 = 668,87руб.
После того как облигация представлена в виде портфеля потоков платежей для стандартных вершин, VaR определяют обычным способом.
Пример 2.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для бескупонной облигации из примера 1.
Решение.
В примере 1 облигация была представлена в качестве двух потоков платежей со стандартными вершинами в один год и два года. Определим VaR для первого потока платежа:
VaR, = 1,65 • 0,002 • 192,96 = 0,64руб.
VaR для второго потока платежа равен:
VaR1 = 1,65 • 0,003 • 668,87 = 3,31руб.
Не диверсифицированный VaR бескупонной облигации составляет:
VaR = 0,64 + 3,31 = 3,95руб.
Диверсифицированный VaR равен:
VaRdm = ?о,642 + 3,312 + 2 • 0,64 • 3,31 • 0,8 = 3,84 руб.
Если мы определяем VaR для купонной облигации, то вначале представляем ее как портфель бескупонных облигаций. После этого дисконтированную стоимость каждой бескупонной облигации делим на два потока платежа между соседними стандартными вершинами. Для каждой вершины суммируем потоки платежей, которые на нее приходятся. Определяем VaR относительно суммарной дисконтированной стоимости каждой вершины. После этого находим VaR купонной облигации на основе VaR вершин.
Пример 3.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации один год восемь месяцев. Данную облигацию представляем как две бескупонные облигации: первая с номиналом 100 руб. и погашением через восемь месяцев; вторая - с номиналом 1100 руб. и погашением через один год восемь месяцев. Дисконтированную стоимость первой облигации делим на два потока платежа с вершинами шесть месяцев и один год. Пусть мы получили соответственно потоки 21 руб. и 74 руб. Дисконтированную стоимость второй облигации делим на два потока платежа с вершинами один год и два года. Пусть они соответственно равны 212 руб. и 736 руб. Получили потоки платежей для трех стандартных вершин: шесть месяцев, один год и два года. Первой вершине соответствует поток платежа в 21 руб. На вторую вершину приходятся два потока платежа: 74 руб. по первой облигации и 212 руб. по второй облигации. Суммируем их и получаем 286 руб. На третью вершину приходится поток платежа в 736 руб. Таким образом, купонная облигация представлена в качестве портфеля из трех стандартных бескупонных облигаций с ценами 21 руб., 286 руб., и 736 руб. Далее, как и в предыдущем примере определяем VaR для каждой стандартной бескупонной облигации. Их сумма дает не диверсифицированный VaR. С учетом корреляций между ценами данных облигаций получаем диверсифицированный VaR.
11.4. Облигации с плавающим купоном
Отличие облигации с плавающим купоном от облигации с твердым купоном состоит в том, что для нового купонного периода устанавливается новая процентная ставка, соответствующая текущей конъюнктуре. Поэтому необходимо спрогнозировать величину будущих купонов. Однако в Рискметриках данная проблема решается более простым способом. В каждый данный момент времени наилучший прогноз рынка - это форвардная ставка для соответствующего периода времени в будущем. Кроме того, для дисконтирования купонов облигации вместо показателя доходности до погашения, который является одинаковым для всех периодов дисконтирования, можно использовать спотовую процентную ставку для соответствующего временного периода. Поэтому будем дисконтировать будущие платежи по такой облигации под соответствующие спотовые процентные ставки.
Пусть ставка спот для периода времени (l-f), когда выплачивается первый купон, равна г]ч, второй купон - г2_,, ..., последний купон - rn_t, где t - текущий момент времени. Форвардная ставка для периода времени до выплаты первого купона равна спотовой ставке, для периода времени в будущем для второго купона (Гф2): для третьего купона гфЪ: последнего купона гфп:
(іи-V, Г
(1 + у,-,
Цена облигации равна:
Р =
С,
C+N
с,
(11.16)
(1 + Г,_,)Ы (1 + г2_,)24 (\ + гп_,У~' ’
где С, - величина первого купона;
С2 - величина второго купона;
С„ - величина последнего купона;
N - номинал облигации;
В момент начала первого купонного периода спотовая ставка равна гх. Поэтому величина первого купона составляет: С, = Nr{. Величина второго купона на основе форвардной ставки составляет:
C2=N
О + у, )J' ,
G + rJ
третьего купона:
(1+у,Г' , (і+у,Г ".
(i+y,)"' (і+у-,Г" .
С3 =N
п -го купона:
C=N
Подставив значения купонов в формулу (11.16), после преобразования получим:
С, +N
Таким образом, цена бескупонной облигации находится дисконтированием очередного купона и номинала под спотовую процентную ставку. Поэтому облигацию с плавающим купоном можно представить как бескупонную облигацию, номинал которой равен сумме очередного купона и номинала и погашаемую в день выплаты очередного купона. Если текущий момент времени совпадает с днем выплаты купона, то цена облигации будет равна номиналу:
р C\+N Nrx + N N
1 + П 1 + r,
11.5. Процентный своп
Процентный своп можно представить как портфель из двух облигаций -твердокупонной и с плавающим купоном с номиналами равными условному номиналу свопа. По одной из них инвестор занимает длинную, а по другой короткую позиции. После этого облигацию с твердым купоном представляют в виде потока платежей серии бескупонных облигаций, как было показано в параграфе П.З. Облигацию с плавающим купоном представляют в виде одной бескупонной облигации, как в параграфе 11.4.
11.6. Соглашение о форвардной ставке (FRA)
Соглашение о форвардной ставке позволяет инвестору обеспечить себе в будущем процентную ставку по депозиту равную форвардной ставке, которая определяется текущими ставками спот. Допустим, инвестор купил трехмесячное FRA через шесть месяцев. Форвардная трехмесячная ставка через шесть месяцев (Гф) определяется из соотношения:
I + г9 — = 912
12
12
Инвестор может обеспечить себе размещение денег под форвардную ставку и помимо FRA, взяв сейчас кредит на шесть месяцев под спотовую ставку г6 и разместив данную сумму на депозите на девять месяцев под спотовую ставку г91. Поэтому позиция по FRA эквивалентна покупке девятимесячной бескупонной облигации и продаже шестимесячной бескупонной облигации. Номиналы облигаций равны номиналу FRA. Таким образом, FRA можно представить как портфель из двух бескупонных облигаций, по одной из которых инвестор занимает длинную, а по другой - короткую позиции.
11.7. Форвардный валютный контракт
Форвардный контракт можно рассматривать как портфель, состоящий из двух облигаций с нулевым купоном. Номинал одной из них представлен в иностранной валюте, другой - в национальной. Номиналы облигаций соответственно равны суммам, которые обмениваются в рамках контракта. Рассмотрим позицию по форвардному контракту, когда инвестор покупает иностранную валюту и продает национальную.
Ее можно рассматривать как покупку инвестором облигации в иностранной валюте и выпуск облигации в национальной валюте. На дату истечения контракта покупатель получает сумму номинала первой облигации в иностранной валюте и уплачивает национальную валюту, погашая вторую облигацию. Позицию по облигации в национальной валюте можно представить таким же образом, как было показано в параграфе 11.3. По облигации в иностранной валюте необходимо учесть валютный риск и риск изменения иностранной процентной ставки. Пусть по облигации на момент истечения контракта инвестор получит сумму Nf,
обменный курс равен е, ставка процента по иностранной валюте - rf. Тогда приведенная стоимость облигации/^ в национальной валюте составит:
(11.17)
eNf
р -_L_
f \ + rf(t/6a3a)
Как видно из формулы (11.17), факторами риска для облигации выступают обменный курс и иностранная процентная ставка. Поэтому для определения стандартного отклонения цены облигации разложим изменение цены облигации в ряд Тейлора по данным факторам риска в точке, соответствующей текущей цене облигации:
дР, dPf dP, -—-de-\--—dr
(11.18)
(11.19)
(11.20)
де
dr
На основании формулы (11.17) получаем:
дРг
Nt
де \ +г At/база)
и
dPf eNf (t/ база)
drf [l + rf{tj база)\
Подставим выражения (11.19) и (11.20) в (11.18):
_Nf eNjjt/база)
f 1 + rf(t/6a3a) [l + rf (t/6a3a)f f Pf [l + rf (t/базаре р[і + rf (t/база^і/база)
[l + rf{t/6a3a^ [l + rf(t/6a3a)f J
ИЛИ
dr
,n Pf j Pf itIбаза)
dPf -—^-de--—-г
e 1 + rf\t I база)
или
dPf de rf (t/ база) dr
(11.21)
/ e 1T7lt/UWJU/ 7
На основе формулы (11.21) дисперсия процентного изменения цены облигации равна:
2
Pf e 1 + rf{tIбаза) rf
(t/база)
(t/база)
'/
<+2
со?
1 + г At! база)
\ +г At! база)
е,Г/ 9
где <Тр - дисперсия процентного изменения цены облигации; а] - дисперсия процентного изменения валютного курса; сг2Г{ - дисперсия процентного изменения процентной ставки; cove rf - коэффициент ковариации между процентными изменениями валютного курса и процентной ставки.
Рассчитав стандартное отклонение процентного изменения цены облигации, мы можем определить удельные веса для представления ее в качестве потоков платежей, как было показано в параграфе 11.3.
Краткие выводы
В Рискметриках банка Дж.П.Морган риск портфеля определяют на основе стандартных факторов риска. В качестве стандартных выбирают активы, для которых известны дисперсии и корреляции доходностей с другими стандартными активами. Это позволяет представить множество рисков, ассоциированных с множеством активов портфеля, с помощью нескольких стандартных активов.
Если финансовый инструмент представим только как комбинация нескольких стандартных факторов риска, то его отображают в виде потоков платежей.
Прием декомпозиции актива на стандартные блоки соответствует инструментам с линейной структурой изменения доходов.
В качестве стандартного актива для акции выступает фондовый индекс, для проецирования облигаций используют облигации с нулевым купоном.
Сроки погашения для стандартных бескупонных облигаций называют вершинами.
Если облигации погашаются не в стандартные сроки, то их представляют в виде потока платежей. Процесс представления позиции в виде потока платежей называется отображением.
Облигацию с плавающим купоном можно представить как бескупонную с номиналом равным сумме очередного купона и номинала и погашаемую в день выплаты очередного купона.
Процентный своп можно рассматривать как портфель из двух облигаций -твердокупонной и с плавающим купоном с номиналами равными условному номиналу свопа. По одной из них инвестор занимает длинную, по другой - короткую позиции.
FRA можно представить как портфель из двух бескупонных облигаций, по одной из которых инвестор занимает длинную, а по другой - короткую позиции.
Форвардный контракт можно рассматривать как портфель, состоящий из двух облигаций с нулевым купоном. Номинал одной из них представлен в иностранной валюте, другой - в национальной.
<=1 7=1
ГЛАВА 12. ДЕЛЬТA- VaR, КОМПОНЕНТНЫЙ VaR И КаД-БЕТА
12.1. Концепция дельта-VaR и предельный VaR
В настоящей главе мы рассмотрим использование в расчете VaR портфеля таких инструментов как дельта- VaR, компонентный VaR и VaR-бету.
При оценке риска портфеля на основе VaR предполагается, что его состав остается неизменным. При изменении портфеля необходимо определять и новое значение VaR. Для активных стратегий управления портфелем возникает необходимость определения VaR в режиме реального времени. Рассчитать новое значение VaR можно стандартным способом. Однако для широко диверсифицированных портфелей эта задача обычно трудно выполнима: большой объем вычислений требует значительного времени. М. Гарман разработал методику, которая позволяет пересчитывать VaR портфеля в режиме реального времени. По его методике новый VaR рассчитывается с определенной погрешностью. Однако она не умаляет его значения в вопросе управления портфелем, особенно широко диверсифицированным. Методика, предложенная М.Гарманом, называется дельта-VaR или дель-VaR или VaR-дельта.
Методика дель- VaR позволяет оценить влияние на VaR портфеля планируемых сделок в рамках дисперсионно-ковариационной модели. Она показывает, как изменится VaR при изменении потоков денежных средств на единицу, т.е. говорит о предельном изменении VaR. Взаимосвязь между Каі?-дельтой и VaR аналогична взаимосвязи между дельтой опциона и ценой опциона, т.е. она измеряет чувствительность VaR относительно единицы денежного потока в каждой вершине. Как было показано выше, VaR портфеля определяется по следующей формуле:
матрица ковариаций, скорректированная на требуемый уровень доверительной вероятности;
р - матрица-столбец потоков денежных средств; рТ - транспонированная матрица-столбец потоков денежных средств. Продифференцируем формулу (12.1) по вектору р и получим значение VaR-дельты:
столбец (вектор) размером их 1, где и - число вершин ковариационной матрицы. Компоненты вектора Del VaR измеряются в десятичный значениях. Если их умножить на 100%, то получим величины в процентах.
Приростный VaR (IncrVaR) в связи с планируемой новой сделкой с картой денежных потоков at приблизительно равен:
IncrVaR — at • DelVaR (12.3)
М.Гарман отмечает, что вектор DelVaR зависит не от выбора того или иного актива для новой сделки, а только от текущего портфеля. Поэтому, пока портфель инвестора не изменился существенно, необходимо только один раз рассчитать значение вектора DelVaR. Следует подчеркнуть, что элементы вектора DelVaR рассчитываются применительно не к отдельным активам, входящим в портфель, а относительно стандартных факторов риска.
Пример.
Курс доллара 1 долл. = 28 руб., курс евро - 1 евро = 34 руб. Банк купил на спотовом рынке 357,143 тыс. долл, и осуществил короткую продажу 294,118 тыс. евро. Стандартное отклонение курса доллара в расчете на один день составляет 0,6%, евро - 0,65%, коэффициент корреляции равен 0,85 и ковариация составляет 0,3315. Определить вектор DelVaR портфеля для однодневного VaR с доверительной вероятностью 95%, предельный VaR в случае покупки банком еще 10 тыс. долл, и короткой продажи 10 тыс. евро и новый общий VaR портфеля.
Решение.
В данном примере (см. решение примера 4 в главе 9) однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 95% равен 57,038 тыс. руб. Подставим цифровые значения в формулу (12.2):
10000
-10000
1,65 -0,006 1,65 - 0,00003315
1,65 • 0,00003315 1,65 • 0,0065
Qp_
VaR„
VaRDelta =
51,038
' 0,00152 > ^-0,00485,
Полученные значения вектора DelVaR интерпретируются следующим образом. Если увеличить долларовый фактор риска портфеля в эквивалентных цифрах еще на один рубль, то VaR портфеля вырастет приблизительно на 0,00152 руб.
Если же увеличить фактор риска по евро в эквивалентных цифрах на один рубль, то VaR портфеля приблизительно уменьшится на 0,00485 руб.
В случае покупки банком еще 10 тыс. долл, и короткой продажи 10 тыс. евро предельный VaR портфеля определим в соответствии с формулой (12.3), представив позиции в рублях:
0,00152 Л - 0,00485,
IncrVaR = { 10-28 -10-34
= 2,076тыс. руб.
Новый VaR портфеля равен сумме начального значения VaR портфеля и предельного VaR:
Новый VaR = 51,038 + 2,076 = 53,114тыс.руб.
12.2. Компонентный VaR
Умножим вектор р карты денежных потоков портфеля на вектор Del VaR. Получим VaR портфеля:
рТ • DelVaR = рт -М— = VaR,
' '
Это говорит о том, что элементы VaR портфеля обладают свойством аддитивности, т.е. их можно складывать между собой. Поэтому, если портфель состоит из п векторов pt, то VaR портфеля можно представить как:
у<*,=ІХр1-DelVaR,) (12.4)
;=і
Такое представление VaR портфеля М.Гарман назвал компонентным VaR (component VaR). Следует не забывать, что в качестве элементов компонентного VaR выступают компоненты денежных потоков, а не конкретные активы. В то же время, учитывая аддитивность слагаемых компонентного VaR, можно разделить карту денежных потоков по отдельным активам, а также типам активов и временным периодам. Например, инвестор определил состав компонентного VaR по видам активов:
| Вид актива | Компонента VaR |
| Акции компании А | 20 тыс. руб. |
| Облигация компании В | 50 тыс. руб. |
| Опцион на акцию С | -ІО тыс. руб. |
| Итого | 100 тыс. руб. |
Как отмечалось выше, VaR - это оценка риска портфеля с некоторым приближением. Поэтому, чем меньше значение какой-либо компоненты VaR, тем она точнее передает риск по данной позиции. Поэтому в нашем примере наименьшей погрешностью в оценке риска характеризуется позиция по опциону.
12.3. VaR- бета
Учитывая формулу (12.4), можно определить, какой процент в общем риске портфеля приходится на каждую стандартную вершину. Данная концепция получила название VaR-бета. VaR-бета для вершины pt равна:
VaRbeta =
р] VaRDeltap VaRp
или
?аЕЬе,-Щ!ШЛ
¦JTqp pQp
С помощью данного подхода также можно определить вклад в общий риск портфеля отдельных сделок или активов.
Краткие выводы
Методика дельта- VaR позволяет пересчитывать VaR портфеля в режиме реального времени в рамках дисперсионно-ковариационной модели. Она показывает, как изменится VaR при изменении потоков денежных средств на единицу. Элементы вектора DelVar рассчитываются относительно стандартных факторов риска.
В качестве элементов компонентного VaR выступают компоненты денежных потоков.
VaR-бета говорит о том, какой процент в общем риске портфеля приходится на каждую стандартную вершину.
Приложение 1.
Вывод формулы VaR портфеля с учетом вектора дельта-VaR
Имеется портфель Р. р представляет собой вектор столбец потоков платежей, соответствующих каждой вершине после отображения активов портфеля с помощью стандартных факторов риска. Инвестор покупает новые активы, представленные вектором At. В результате отображения их с помощью стандартных факторов риска получаем вектор карты потока платежей at. Обозначим количество, в котором приобретается вектор а, через ?. Это количество является небольшим положительным числом. С учетом новой сделки вектор столбец вершин нового портфеля (р, ) равен:
Рі=Р + Щ
VaR нового портфеля VaR(pi) есть функция переменной ?. Обозначим его через ??Д^). Он равен:
^M=^p!(^)Qp1(s)
Разложим функцию ??( (р) в ряд Тейлора в точке ? = 0:
w,(f) = w,(0)+ ?а] • Vw,(0) + (п l2 2)
+ слагаемые более ввысоких порядков ’
где ???;(о) - производная ??( (г) или вектор Del VaR.
Величина ??;(о) представляет собой не что иное как VaR первоначального портфеля VaRp. Поэтому выражение (П.12.1) можно записать как:
wt = VaRp + saf • Del VaR +
+ слагаемые более высоких порядков
Если ? небольшая величина, то изменения VaR определяются преимущественно знаком и величиной второго слагаемого ряда Тейлора и слагаемыми более высоких порядков можно пренебречь. Однако возникает вопрос, насколько правомерно считать ? небольшой величиной. М.Гарман отмечает, что для большинства институциональных инвесторов такое допущение правомерно, так как новая сделка скорее всего окажется незначительной по сравнению с их портфелями. Если же сделка является большой то использование подхода VaR-дельта может привести к существенной погрешности.
ГЛАВА 13. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ
В настоящей главе рассматриваются вопросы оценки деятельности менеджера по управлению портфелем. Вначале мы остановимся на приемах определения доходности портфеля, охарактеризуем показатели эффективности управления. В заключение главы приведем технику оценки опытности менеджера на основе разложения риска.
Управление портфелем может быть пассивным и активным. Пассивный менеджер ориентируется на доходность рынка для соответствующего уровня риска и не стремится получить сверхприбыль. Поэтому с теоретической точки зрения нет необходимости оценивать эффективность управления пассивным портфелем, так как его результаты должны повторять конъюнктуру рынка. При активном управлении менеджер пытается получить более высокие результаты по сравнению с рынком. В связи с этим целесообразно оценить эффективность деятельности такого менеджера. Кроме того, важно ответить и на вопрос, в какой мере хорошие показатели управления портфелем явились следствием мастерства менеджера или простой удачи.
Для оценки результативности управления портфелем необходимо определить: во-первых, фактическую доходность портфеля за рассматриваемый период; во-вторых, фактический риск портфеля; в-третьих, эталонный портфель, т. е. портфель, который бы использовался в качестве точки отсчета для сравнительного анализа.
13.1. Оценка доходности и риска
13.1.1. Доходность за период
Наиболее просто определяется доходность портфеля, если некоторая сумма средств инвестируется на определенный период времени. В этом случае доходность портфеля за период определяется по формуле:
доходность портфеля за период п\
Р - стоимость портфеля в начале периода п;
Рп - стоимость портфеля в конце периода п.
Рассматриваемый период может быть любым, например, месяц, квартал, год, несколько лет и т.д. Для того чтобы сравнить доходность одного портфеля с другим, показатели их доходности необходимо привести к единому временному периоду, как правило, году.
Пример 1.
Стоимость портфеля в начале периода составляла 5 млн. руб. Через пять лет она выросла до 15 млн. руб. Доходность за период равна:
г =--1 = 2 или 200%.
р 5
Доходность в расчете на год составляет:
г — \1--1 = 0,2457 или 24,57%.
Пример 2.
Стоимость портфеля в начале периода составляла 5 млн. руб. Через три квартала она выросла до 8 млн. руб. Доходность за период равна:
8 ,
г =--1 = 0,6 или 60%.
р 5
В расчете на год на основе простого процента она составила:
60%
3
•4 = 80%
где 4 - количество кварталов в году.
Эффективная доходность в расчете на год равна:
(і + 0,б)з -1 = 0,8714 или 87,14%.
Эффективную доходность в этом случае можно определить и по следующей формуле:
з_
?і + 0,6-1 = 0,8714
13.1.2. Доходность на основе средней геометрической
Случаи, когда портфель формируется за счет инвестирования какой-либо суммы только в начальный момент и на весь период времени, являются скорее исключением, чем правилом. Обычно в ходе управления портфелем средства из него как изымаются, так и дополнительно вносятся. Поэтому, рассчитывая доходность портфеля, необходимо учесть данные изменения в его стоимости, чтобы они не исказили его действительную доходность. Для этого поступают следующим образом. Разбивают весь период времени управления портфелем в рамках года на подпериоды, когда происходило добавление или изъятие средств из портфеля, и определяют доходности для каждого из этих периодов. Далее на их основе рассчитывают действительную доходность портфеля в расчете на год. Проиллюстрируем сказанное на примере.
Пример 1.
В начале года в портфель инвестировали 10 млн. руб. Через три месяца его стоимость выросла до 11 млн. руб., и на следующий день в портфель внесли дополнительно 2 млн. руб. В конце следующего квартала стоимость портфеля составила 12 млн. руб., и из него изъяли 3 млн. руб. Еще через три месяца стоимость портфеля составила 10 млн. руб. и в него добавили 1 млн. руб. В конце года стоимость портфеля составила 12 млн. руб. Определить доходность управления портфелем.
Решение.
За первый квартал стоимость портфеля выросла с 10 до И млн. руб. Поэтому доходность за первый квартал равна:
11 1_П1
~~ 1-ОД или 10%.
В начале второго квартала в портфель добавили 2 млн. руб., и стоимость его в этот момент составила 13 млн. руб. За второй квартал стоимость портфеля снизилась с 13 млн. руб. до 12 млн. руб. Доходность за второй квартал равна:
12
~ — 1 — —0,07692 или -7,692%.
В начале третьего квартала из портфеля изъяли 3 млн. руб. и его стоимость в этот момент составила 9 млн. руб. За третий квартал стоимость портфеля выросла до 10 млн. Доходность портфеля за третий квартал оказалась равной:
~ —1 = 0,1111 или 11,11%.
В начале четвертого квартала в портфель добавили 1 млн. руб., и его стоимость составила 11 млн. руб. За четвертый квартал стоимость портфеля выросла до 12 млн. Доходность портфеля за четвертый квартал равна:
—-1 = 0,09091 или 9,091%.
Доходность за год составила:
(1 + 0,lXl - 0,07692X1 + 0,111 lXl + 0,09091) -1 = 0,23076
или 23,076%.
Для определения доходности можно не вычислять отдельно доходности для каждого периода, а записать одно уравнение, используя стоимости портфеля в начале и конце каждого временного отрезка с учетом добавлений и изъятий капитала в каждом периоде. Тогда решение задачи примет вид:
(13.2)
— . — . — . —-\ = 0,23076 10 13 9 11
На основе алгоритма, представленного выражением (13.2), формулу определения доходности портфеля в рамках года в общем виде можно записать следующим образом:
(13.3)
стоимость портфеля в начале года;
Рх - стоимость портфеля в конце первого периода;
Р2 - стоимость портфеля в начале второго периода;
Р2- стоимость портфеля в конце второго периода;
Рт - стоимость портфеля в начале последнего периода;
Р'т - стоимость портфеля в конце года.
Поскольку изъятия и поступления денег в портфель в рамках года могут происходить в любые моменты времени, то в формуле (13.3) временные периоды, на которые делится время в рамках года, также могут быть любыми.
Пример 2.
В начале года стоимость портфеля составляла 10 млн. руб. Через 200 дней она выросла до 14 млн. руб. и в этот момент в портфель было добавлено еще 6 млн. руб. По завершении года стоимость портфеля составила 25 млн. руб. Определить доходность портфеля за истекший период.
Решение.
Согласно формуле (13.3) доходность портфеля за год составила:
----1 = 0,75 или 75%.
10 20
Выше мы определили доходность портфеля в рамках одного года. Часто эффективность управления портфелем будет оцениваться за ряд лет. Поэтому вначале следует рассчитать доходность для каждого года и после этого определить среднюю доходность в расчете на год за период управления портфелем по формуле:
- знак произведения; он говорит о том, что перемножаются годы с до-
/=1
ходкостями, начиная с гх до гп.
Пример 3.
Доходность за первый год составила 20%, за второй - 40%, за третий -минус 10%. Доходность портфеля в расчете на год (средняя доходность) за трехлетний период равна:
[(1 + ОДХі + 0,4Xl - 0,l)]% -1 = 0,1477 или 14,77%.
13.1.3. Определение доходности методом оценки стоимости
единицы капитала
Определить доходность портфеля для случая, когда в процессе управления из него изымались или добавлялись суммы денег, можно с помощью метода оценки стоимости единицы капитала (unit value method). Суть метода состоит в следующем. В начале периода управления портфелем инвестированная сумма представляется как определенное количество единиц капитала, и рассчитывается стоимость одной единицы капитала. На момент добавления или изъятия средств из портфеля определяется текущая стоимость единицы капитала на основе полученных менеджером результатов. Изымаемая или добавляемая сумма денег также представляется в количестве единиц капитала с учетом их текущей стоимости. Рассчитанное количество единиц капитала соответственно отнимается или прибавляется к начальному количеству единиц капитала в портфеле. Аналогичные расчеты осуществляются при каждом изъятии или добавлении средств в портфель.
Изъятия или добавления средств приводят не к изменению стоимости единицы капитала, а только к изменению стоимости портфеля. По результатом управления рассчитывают темп прироста стоимости единицы капитала за весь период. Поскольку стоимость единицы капитала определяется на основе фактических результатов, полученных менеджером, а не вследствие добавления или изъятия денег из портфеля, то прирост стоимости единицы капитала за период управления портфелем эквивалентен показателю доходности портфеля. Поясним сказанное на примере.
Пример 4.
В начале года стоимость портфеля составила 500000 руб. Через четыре месяца она выросла до 600000 руб., и из портфеля изъяли 12000 руб. Еще через четыре месяца стоимость портфеля выросла до 612500 руб., и в него добавили 20000 руб. В конце года стоимость портфеля составила 683100 руб. Определить доходность портфеля за год.
Решение.
Пусть количество единиц капитала, входящих в портфель, равно 500. Тогда стоимость одной единицы капитала составляет:
50т°РУб¦ = 1000руб.
500
Через четыре месяца стоимость портфеля выросла до 600 тыс. руб. Поэтому стоимость единицы капитала в этот момент составила:
600000РУ6- -1200руб.
Из портфеля изымают 12 тыс. руб. По текущей стоимости единицы капитала данная сумма эквивалентна:
Ш№=10 единицам 1200руб.
Поскольку из портфеля изымают 12 тыс. руб., то в портфеле остается:
500 -10 = 490 единиц капитала.
Проверим, чему равна стоимость единицы капитала в портфеле после изъятия средств:
-1200руб.
600000-12000
490
Таким образом, стоимость единицы капитала соответствует результату менеджера, полученному за первый период управления. Она не изменилась в результате изъятия 12 тыс. руб., а изменилось лишь количество единиц капитала.
В конце второго периода стоимость портфеля составила 612500 руб. Стоимость единицы капитала выросла до:
М.250.)/.?.1. = п50руб
В портфель добавили 20 тыс. руб. Эта сумма по текущей стоимости единицы капитала эквивалентна:
20000руб.
-= 16 единицам капитала.
1250руб.
Поскольку в портфель добавляют 20 тыс. руб., то портфель теперь состоит из:
490 + 16 = 506 единиц капитала.
Проверим, чему равна стоимость единицы капитала в портфеле после добавления средств:
= 1250руб.
612500 + 20000 506
Стоимость единицы капитала соответствует результату менеджера, полученному за второй период управления. Как и в первом случае, она не изменилась в результате добавления 20 тыс. руб., а лишь увеличилось количество единиц капитала в портфеле.
Стоимость единицы капитала в конце года составила:
вгъшру?. =п50руб
За весь период управления портфелем, т.е. за год, стоимость единицы капитала выросла с 1000 руб. до 1350 руб. Следовательно, темп прироста стоимости единицы капитала составил:
1350руб. 1000руб.
-1 = 0,35 или 35%.
Таким образом, доходность портфеля равна 35% годовым. Проверим полученный результат по формуле (13.3):
600000 612500 683100 , л
------1 = 0,35 или 35%
500000 588000 632500
Проверка подтвердила результат.
13.1.4. Оценка риска
Оценка деятельности управляющего предполагает определение фактического риска портфеля за рассматриваемый период. Риск широко диверсифицированного портфеля измеряется величиной бета, слабо диверсифицированного - стандартным отклонением. Менеджер определяет эти параметры на основе фактических данных доходности портфеля за рассматриваемый период.
13.2. Показатели эффективности управления
портфелем
13.2.1. Коэффициенты Шарпа, Трейнора и эффективности
портфеля облигаций
Показатели доходности и риска представляют собой результаты деятельности менеджера по управлению портфелем. Если сравнивать портфели только на основе их абсолютных значений, то, как правило, сложно получить объективное суждение о мастерстве менеджера. Например, доходность одного портфеля за год составила 50%, второго - 70%. Результаты управления вторым портфелем кажутся более предпочтительными. Однако, если его риск был в два раза больше риска первого портфеля, то более успешным оказался первый менеджер.
Неадекватность оценки только на основе показателя доходности для большей наглядности можно проиллюстрировать графически. На рис. 13.1 представлены линии характеристики двух портфелей. Ожидаемая доходность и первого и второго портфелей равна ожидаемой доходности рыночного портфеля. Однако первый портфель имеет более высокое значение коэффициента бета, чем второй. Поэтому его доходность сильнее изменяется при изменении конъюнктуры рынка. Так, в случае экономического подъема он принесет доходность выше доходности второго портфеля. Однако при экономическом спаде его доходность окажется ниже доходности второго портфеля. Поэтому для оценки эффективности управления портфелем используются относительные показатели, учитывающие как его доходность, так и риск.
г„ — г,
Коэффициент Шарпа - ——(13.5)
где гр - средняя доходность портфеля за рассматриваемый период;
rf - средняя ставка без риска за данный период; обычно она рассматривается как средняя геометрическая;
<гр - стандартное отклонение доходности портфеля.
Коэффициент Шарпа учитывает доходность портфеля, полученную сверх ставки без риска, и весь риск, как рыночный, так и не рыночный. Графически, в координатах [?(г); <т], коэффициент Шарпа представляет собой угловой коэффициент наклона линии, проходящей через ставку без риска и оцениваемый портфель, как показано на рис. 13.2.
На рисунке представлена иллюстрация коэффициентов Шарпа для портфелей А и В. По сравнению с рыночным портфелем, расположенном на CML, портфель В управлялся более эффективно, а портфель А менее эффективно.
Коэффициент Шарпа непосредственно следует из уравнения CML. Уравнение С ML можно переписать следующим образом:
г -г, г - г,
Второй показатель - это коэффициент Трейнора. Он равен:
г —rf
Коэффициент Трейнора-—-— (13.7)
Рр
В отличие от коэффициента Шарпа в качестве меры риска в нем учитывается бета портфеля. Графически, в координатах [^(г), Р], коэффициент Трейнора представляет собой угловой коэффициент наклона линии, проходящей через ставку без риска и оцениваемый портфель, как показано на рис. 13.3. На рисунке представлена иллюстрация коэффициентов Трейнора для портфелей А я В. По сравнению с рыночным портфелем, расположенном на SML, портфель В управлялся более эффективно, а портфель А менее эффективно.
Е(г)
это коэффициент Трейнора оцениваемого портфеля, правая часть - коэффициент Трейнора рыночного портфеля. В условиях, когда доходность оцениваемого портфеля равна его равновесной доходности, значение его коэффициента Трейнора равно величине Tm—rf. Если коэффициент Трейнора портфеля больше rm—rf, то менеджер получил более высокое вознаграждение за риск по сравнению с требованием рынка в рамках пассивной стратегии. Если же коэффициент оказался меньше rm - rf, то менеджер показал результаты хуже рынка.
Третий показатель - коэффициент эффективности портфеля облигаций. В качестве меры риска используется относительная дюрация. Он равен:
Коэффициент эффективности гр - г,
(13.10)
портфеля облигаций DplDm ’
где Dp/Dm - отношение дюрации портфеля облигаций к дюрации рыночного портфеля облигаций.
Коэффициент Шарпа в качестве меры риска учитывает стандартное отклонение. Поэтому его следует использовать инвестору, портфель которого не является широко диверсифицированным, хотя в общем случае с его помощью можно сравнивать любые портфели, поскольку учитывается весь их риск. Коэффициент Трейнора следует применять лицам с широко диверсифицированным портфелем, поскольку мерой риска здесь выступает величина бета. Если портфели сопоставляются с использованием одного из приведенных выше показателей, то, чем выше его значение, тем лучше результаты управления.
Определяя эффективность управления портфелем, целесообразно сделать два сравнения. Во-первых, сравнить его с другими портфелями на основе коэффициентов Шарпа или Трейнора, или коэффициента эффективности облигаций. Во-вторых, сравнить его с результатами рынка, т. е. с аналогичным по степени риска пассивным портфелем.
Пример 5.
Средняя ставка без риска за некоторый период равна 15%, средняя доходность первого портфеля - 24%, второго - 21%. Бета первого портфеля - 1,2, второго - 0,8. Показатель Трейнора первого портфеля равен: второго портфеля:
21-15
0,8
Таким образом, с точки зрения эффективности управления портфели оказались одинаковыми, т.е. на единицу риска менеджеры получили 7,5 единиц вознаграждения.
Допустим, что фактическая SML имеет следующее уравнение:
г =15% + Д (22% -15%)
Тогда доходность рынка для риска, соответствующего бете 1,2, т.е. доходность портфеля, расположенного на SML, составила:
15% +1,2(22% -15%) = 23,4%,
а показатель Трейнора:
23,4-15
1,2
Для портфеля с бетой 0,8, расположенного на SML, показатель Трейнора также равен 7. Таким образом, в рассмотренном случае активные стратегии позволили получить более высокую доходность по сравнению с равновесной доходностью рынка. Можно предположить, что, поскольку показатели Трейнора для портфелей были выше чем для аналогичных по риску портфелей, расположенных на SML, менеджеры, видимо, получили более высокую доходность за счет правильно выбранного времени покупки и/или продажи активов.
SML
Сравнить портфели друг с другом можно и графически, как показано на рис. 13.4. Здесь представлена фактическая SML, на которой располагаются пассивные портфели. Если сравниваемый портфель находится ниже SML, это означает, что менеджер получил результат хуже рыночного. Если портфель расположен выше SML, то активное управление принесло более высокую доходность чем пассивный портфель с аналогичным уровнем риска.
Допустим теперь, что стандартное отклонение доходности первого портфеля составило 30%, второго - 15%. Тогда показатель Шарпа для первого портфеля равен:
= 0,3
= 0,4
24-15
30
для второго:
21-15
15
На основе данных результатов можно сделать вывод о том, что второй портфель управлялся более эффективно: менеджер второго портфеля на каждую единицу риска получил вознаграждение в размере 0,4 единиц доходности, а первого - только 0,3 единиц.
Сравним теперь портфели с аналогичными по риску портфелями на CML. Пусть стандартное отклонение доходности рыночного портфеля равно 20%, и уравнение CML имеет вид:
-о-„
20 р
Тогда доходность портфеля на С ML для риска в 30% равна:
22 -15
15+ —--30 = 25,5% ,
20
а коэффициент Шарпа:
= 0,35,
25,5-15
30
Доходность портфеля на С ML для риска в 15%:
22-15
15+ 15 = 20,25,
20
а коэффициент Шарпа:
= 0,35
20,25-15
15
Коэффициент Шарпа для второго портфеля равен 0,4, в то время как для портфеля на С ML - 0,35. Это означает, что второй менеджер показал умение в выборе конкретных активов, т. е. включил в портфель активы с более высоким нерыночным риском, но и получил более высокую компенсацию. Результаты управления портфелями можно сравнить наглядно, как показано на рис. 13.5.
Выше мы отметили, что, согласно коэффициенту Шарпа, первый менеджер оказался менее опытным в выборе активов чем второй. В то же время, при оценке деятельности по управлению портфелем не следует исключать и фактор возможной удачи. Чтобы судить более объективно о навыках управляющего, необходимо рассмотреть его результаты за относительно длительный период, как минимум несколько лет.
Таким образом, сравнивая коэффициенты Трейнора и Шарпа, можно получить разные оценки управления портфелем относительно результатов рынка. Данное отличие возникает в связи с тем, что портфели могут содержать различную степень специфического риска даже при одинаковых значениях беты или иметь различную бету при одинаковых стандартных отклонениях.
13.2.2. Индекс Дженсена, модифицированный индекс Дженсена
Оценить эффективность управления портфелем можно на основе определения величины его альфы. В зависимости от степени диверсификации портфеля, а также его вида (т. е. акций или облигаций) следует определять альфу или на основе уравнения SML или С ML для акций или облигаций. Чем выше окажется значение альфы, тем лучше результативность менеджера. Для определения альфы на основе SML вначале определяется ожидаемая доходность портфеля соответствующего уровня риска с помощью SML:
E{rp) = rf+Pp+{rm-rf) (13.11)
После этого рассчитывается альфа по формуле:
“„“'•„-М'-,). (13.12)
где гр - фактическая доходность портфеля;
- ожидаемая доходность портфеля согласно фактической SML; гт - фактическая доходность рыночного портфеля; ар - альфа, рассчитанная на основе фактической SML.
Индекс Дженсена положителен для портфелей, показывающих лучшие результаты, чем предполагается рынком для соответствующего уровня риска, и отрицателен для портфелей с худшими результатами, чем предполагается рынком для их уровня риска. С помощью индекса Дженсена можно сравнивать эффективность управления разными портфелями, но только в этом случае они должны характеризоваться одинаковой бетой. Соответственно, чем больше альфа портфеля, тем лучше управлялся портфель.
Индекс Дженсена может служить для оценки результатов не только активной, но и пассивной стратегий. Менеджер, следующий пассивной стратегии, не ставит перед собой задачу получить более высокую доходность, чем доходность рынка. Поэтому он ориентируется на результаты, представленные для портфелей, расположенных на SML. Если фактическая альфа оказывается не равной нулю, то это говорит о том, что менеджер недостаточно опытен в прогнозировании будущей конъюнктуры рынка.
Как отмечалось, САРМ является моделью одного временного периода, для которого существует одно значение rf и гт. Если рассматривать более продолжительный период (период Т, состоящий из нескольких отрезков времени Г), то
для каждого периода t будет изменяться и конъюнктура. Поэтому для каждого следующего временного периода будет возникать и новая SML с новыми значениями Гу и rm. На основе значений rf и rm для каждого отрезка времени ti
можно рассчитать SML для периода Т, для которой гу и гш - это средние значения ставки без риска и доходности рынка для периодов tt. В результате получим SML на основе средних значений:
средняя доходность портфеля за период Т\ rf - средняя ставка без риска для периода Г; rm - средняя доходность рынка для периода Т.
Таким образом, значение J , полученное как отклонение средней реальной
доходности портфеля от его предполагаемой доходности согласно SML, покажет умение пассивного менеджера предвидеть будущую конъюнктуру.
В отношении активного менеджера положительное значение индекса Дженсена в рамках одного периода t (т. е. в рамках модели одного периода, когда конъюнктура не меняется) говорит о его умении выбрать недооцененные активы. Для длительного периода Т (состоящего из отдельных периодов t) это может явиться результатом как умелого выбора конкретных активов, так и времени их покупки и/или продажи.
Показатель J для облигаций определяется на основе SML для облигаций с использованием относительной дюрации в качестве значения беты.
Перепишем уравнение (13.13), раскрыв в нем значение Е[гр ):
JP=rp-rf-Pp{rm~rf) (13Л4>
Разделим обе части уравнения (13.14) на Р :
(13.15)
В уравнении (13.15) первое слагаемое в правой части есть не что иное как коэффициент Трейнора. Обозначим его через Тр. Поэтому уравнение (13.15) можно переписать как:
J- = Tp-(r.-rf)
Показатель JplPp К.Смит и Д.Тито назвали модифицированным индексом Дженсена.
13.2.3. Недостатки индексов Шарпа, Трейнора и Дженсена
Оценка эффективности управления портфелем с помощью индекса Шарпа в теории предполагает наличие CML, которая проходит через рыночный портфель и представляет собой прямую линию. Предположим, однако, что инвесторы не имеют возможности формировать заемные портфели, но могут предоставлять деньги в кредит. Тогда эффективная граница примет форму как показано на рис. 13.7.
Пусть сравниваемые портфели А, В, С и D расположились точно на эффективной границе rfBD. Поэтому их менеджеры характеризуются одинаковым
уровнем мастерства. В то же время оценка на основе коэффициента Шарпа покажет, что наиболее успешными были менеджеры портфелей А и В. Для них коэффициент Шарпа оказался одинаковым. Наименьшим коэффициентом характеризуется менеджер портфеля D. Такой результат получился потому, что, как следует из рис. 13.2, коэффициент Шарпа измеряется угловым коэффициентом наклона линии, соединяющей ставку без риска с оцениваемым портфелем. Поскольку на рис. 13.7 портфели А и В расположены на линии rfB, то угловой коэффициент
сгр - риск оцениваемого портфеля;
сгт - риск рыночного портфеля;
dp - уд. вес заимствования или кредитования в портфеле сгп; он положителен для заемного портфеля и отрицателен для кредитного портфеля.
Из формулы (13.16) получаем:
d = — -1 (13.17)
сг
В выражении (13.20) величина <гт является константой, так как это риск рыночного портфеля. Поэтому, с точки зрения сравнительной оценки портфелей ее можно исключить из формулы (13.20). В результате получаем коэффициент Шарпа:
Доходность портфеля п равна:
r„ = (l + dp)rp-dprf,
где rf - ставка без риска.
Подставим величину dp из формулы (13.17) в формулу (13.18):
(13.18)
-=--1
У
г =—1-г -
¦ <Г, '
ИЛИ
r*=^r(rp-rf)+rf
(13.19)
Обозначим премию за риск оцениваемого портфеля через ер, т.е. ер = rp—rf,vi перепишем с учетом данного обозначения формулу (13.19):
гп =~^Гер +г/
Тогда премия за риск портфеля п равна:
еп=Гп-Г/ =
Величина М =—е представляет собой индекс Модильяни (Мр).
Таким образом, индекс Модильяни определяет премию за риск для портфеля, созданного на основе оцениваемого портфеля, риск которого равен риску рыночного портфеля. С помощью данного индекса можно оценивать результативность управления разными портфелями. Поскольку сравниваются созданные портфели с одинаковым риском (риск каждого равен <гт), то лучшим результатом характеризуется портфель с наибольшим значением М , поскольку оно показывает величину премии за риск.
Следует, однако, отметить, что индекс Модильяни по своей сути есть не что иное как несколько модифицированная форма индекса Шарпа. Запишем индекс Модильяни, раскрыв в нем величину ер:
(гр~г/)
мр= —
(13.20)
rp~rf
коэффициент Шарпа
13.2.5. Учет асимметрии и эксцесса. Коэффициент Сортино
Для корректной интерпретации показателей эффективности управления портфелем их следует рассматривать только в рамках соответствующей модели, связывающей риск и доходность активов. Так, коэффициент Шарпа является показателем оценки эффективности управления портфелем в рамках модели САРМ. В то же время, он может дать не объективную картину в тех случаях, где не выдерживаются условия этой модели. В САРМ весь риск портфеля представлен стандартным отклонением его доходности. Поэтому восприятие риска основано на предположении о нормальном распределении доходности. Однако распределение фактической доходности активов может отличаться от нормального. Само понятие риска также следует трактовать более комплексно с учетом асимметрии и эксцесса распределения доходности. Особенно это характерно для портфелей, содержащих значительный уд. вес производных инструментов. В качестве примера асимметрии и эксцесса доходности можно привести результаты по фондам хеджирования. Они представлены в таблице 6.3 в главе 6. Поэтому для оценки эффективности управления портфелем с учетом скошенности и эксцесса распределения доходности целесообразно использовать другие показатели. Учесть скошенность распределения доходности портфеля можно, воспользовавшись коэффициентом Сортино. Он равен:
г —г
коэффициент Сортино = , 𠦦 таг.......-==¦ , (13.21)
таг _
У (г.— г )
/ j \ і таг ) і=1
где гр - доходность портфеля;
гтаг - минимально допустимая доходность (minimum acceptable return); nmar ~ количество наблюдений, в который доходность была ниже или равна значению гтаг. В знаменателе формулы (13.19) учитываются только те значения т*, которые были ниже или равны гтаг.
Эксцесс распределения в определенной степени поддается оценке с использованием показателя VaR. Оценить эффективность управления портфелем можно с помощью коэффициента доходность/ VaR:
VaRp - VaR портфеля.
Поскольку в числителе стоит относительная величина (доходность), а в знаменателе абсолютная величина VaRp, то с его помощью можно сравнивать портфели, которые имеют или одинаковую доходность сверх ставки без риска или одинаковый риск. Соответственно VaRp должен рассчитываться для одинаковых значений доверительной вероятности.
VaRp можно использовать для сравнительной характеристики портфелей и с разными показателями риска и доходности, но в этом случае следует перейти к относительному представлению значения риска. Мы получим относительный показатель риска на основе VaR, если поделим величину VaR портфеля (и*,) на его первоначальную стоимость [Рр), т.е VaRpJPp . Полученное отношение показывает долю риска портфеля, представленного VaRp, в его первоначальной стоимости. Тогда сравнить разные портфели с одинаковым уровнем доверительной вероятности можно с помощью показателя
VaR/Pn '
р! Р
13.3. Показатели спосоности менеджера прогнозировать доходности активов и конъюнктуру
13.3.1. Коэффициент информированности
При осуществлении активной стратегии менеджер стремится выбрать неверно оцененные бумаги. Его способность принимать правильные решения можно оценить с помощью определения коэффициента информированности (information coefficient). Суть метода сводится к следующему. До начала инвестиционного периода менеджеру предлагают ранжировать акции на основе его прогнозов их будущей доходности. Самой доходной акции менеджер присваивает первый ранг, менее доходной - второй ранг и т.д. по убыванию доходности. По завершении инвестиционного периода определяется фактическая доходность выбранных акций, и им присваиваются ранги в соответствии с полученными результатами, т.е. самой доходной - первый ранг и т.д.
Зависимость между прогнозируемыми и фактическими рангами бумаг можно представить следующим уравнением регрессии:
прогнозируемый^
ранг
фактический
ранг
(13.22)
где Іс - коэффициент информированности;
а - ордината точки, в которой график уравнения (13.22) пересекает ось ординат;
s - ошибка.
Как следует из уравнения (13.22), коэффициент информированности представляет собой тангенс угла наклона линии регрессии к оси абсцисс. Поэтому он определяется как коэффициент регрессии по формуле:
ФР
I =¦
(13.23)
согг,
где <уФр - стандартное отклонение фактических рангов;
<у пр - стандартное отклонение прогнозируемых рангов; соггфР.пр ~ коэффициент корреляции между фактическими и прогнозируемыми рангами.
Поскольку диапазон “выборки” по прогнозируемым и фактическим рангам является одинаковым, т.е. от 1 до п (где п - число бумаг, предложенных менеджеру для оценки), то величина офр равна величине сг пр. Поэтому, согласно формуле (13.23) значение коэффициента информированности определяется только коэффициентом ранговой корреляции между фактическими и прогнозируемыми рангами, т.е.:
Іс=соггфрпр (13.24)
Если менеджер способен на 100% предсказывать фактический ранг бумаги, то расхождения между фактическими и прогнозируемыми рангами равны нулю, поэтому ? — 0 и а = 0, и график уравнения (13.19) представляет собой прямую линию, восходящую под углом сорок пять градусов. Поэтому в этом случае Іс = 1. При меньшем мастерстве прогнозирования менеджера а будет отличаться от нуля и тангенс угла наклона, т.е. Іс, окажется меньше единицы. На
практике значение коэффициента на уровне 0,15 рассматривается уже как свидетельство хорошего умения менеджера выбирать активы.
13.3.2. Коэффициент информации
Менеджер, осуществляющий активное управление портфелем, стремится получить сверхдоходность за счет выбора отдельных активов и времени совершения сделок. Результаты деятельности получают оценку в показателе альфа портфеля, который в этом случае, как правило, отличается от нуля. Альфа портфеля рассчитывается относительно базисного индекса, используемого в качестве точки отсчета для определения результативности активной стратегии. Например, таким индексом для широко диверсифицированного портфеля может служить индекс S&P500. Менеджер стремится получить более высокую доходность в сравнении с доходностью пассивного портфеля, копирующего индекс, за счет выбора недооцененных или переоцененных на его взгляд бумаг, определения времени их покупок или продаж и варьирования удельными весами активов в портфеле по Сравнению с их весами в индексе. Действия менеджера связаны с дополнительным риском, поскольку в этом случае увеличивается специфический риск портфеля. Он представляет собой отклонение фактической доходности портфеля от доходности базисного индекса, т.е. возникает ошибка слежения или остаточный риск. Ошибка слежения представляет собой не что иное как стандартное отклонение альфы портфеля менеджера. Поэтому на основе альфы портфеля и ошибки слежения определяется еще один коэффициент, позволяющий прогнозировать устойчивость результатов активно управляемого портфеля. Его именуют коэффициентом информации (information ratio). Данный показатель был предложен Дж.Трейнором и Ф.Блэком. Он определяется как отношение альфы портфеля к ошибке слежения:
/К = — , (13.25)
где IR - коэффициент информации;
ар - альфа портфеля;
<г? - ошибка слежения.
Таким образом, коэффициент информации - это отношение сверхдоходности, получаемой менеджером, к стандартному отклонению этой сверхдоходности. Он показывает, сколько единиц сверхдоходности приходится на дополнительную единицу риска портфеля. Значение коэффициента дает представление об устойчивости результата, получаемого менеджером. Чем меньше величина ошибки слежения, тем устойчивее результат от положительной альфы портфеля. Небольшая ошибка слежения говорит о том, что существует большая вероятность получить доходность близкую по значению к альфе портфеля. Другими словами, коэффициент информации определяет степень уверенности в получении положительного результата. Фактически он позволяет судить о том, насколько менеджер лучше информирован о будущей результативности работы компаний, включенных в портфель, по сравнению с другими участниками рынка. Поэтому он проводит в отношении данных бумаг активные стратегии с целью получить более высокую доходность по сравнению с эталонным рыночным индексом.
Чем больше значение коэффициента, тем выше мастерство менеджера в вопросе выбора активов и времени осуществления сделок. Значение коэффициента информации на уровне 0,5 можно рассматривать как хорошее, 0,75 - как очень хорошее, а 1 - как отличное. Для расчета коэффициента следует взять статистические данные за относительно длительный период, чтобы снизить значения случайных событий на оценку результативности менеджера. Большее количество наблюдений даст более надежный результат. Целесообразно использовать помесячные данные как минимум за трехлетний период. Альфа портфеля определяется как средняя величина полученных отклонений доходности портфеля от доходности базисного индекса, т.е. она представляет собой среднюю сверхдоходность портфеля. На основе данных отклонений определяется их стандартное отклонение, которое является ошибкой слежения.
Пример.
Среднегодовое значение альфы составляет 2%, ошибки слежения - 2%. Коэффициент информации равен:
это средняя сверхдоходность портфеля. Ошибка слежения - это стандартное отклонение возможного фактического результата от среднего значения сверхдоходности. Допустим, доходность и, следовательно, сверхдоходность распределены нормально. Тогда не трудно дать вероятностную оценку мастерству менеджера. На основе правила трех сигм можно сделать вывод о том, что с вероятностью 68,3% доходность портфеля менеджера в следующем периоде будет располагаться в интервале одного стандартного отклонения от значения сверхдоходности. В нашем примере это диапазон от нуля до четырех процентов. С физической точки зрения данный результат можно представить еще следующим образом. Если оценка коэффициента информации получена на основе помесячных наблюдений за период 100 месяцев (т.е. 8,3 года), то при многократном повторении наблюдений за такой же период времени менеджер в среднем будет получать доходность портфеля, которая располагается от средней сверхдоходности в диапазоне от нуля до 4% в каждых 68 месяцах из 100.
При оценке мастерства разных менеджеров на основе коэффициентов информации их необходимо рассчитывать для одинаковых временных периодов с одинаковой частотой наблюдений. Более диверсифицированный портфель должен характеризоваться и более высокой величиной коэффициента, так как ошибки слежения будут в большей степени погашать друг друга вследствие эффекта диверсификации. Широко диверсифицированный портфель характеризуется только рыночным риском. Не рыночный риск для него отсутствует. Поскольку коэффициент информации учитывает только не рыночный риск портфеля, то он не подходит для сравнительной оценки между собой широко и слабо диверсифицированных портфелей.
Данные для расчета коэффициента информации можно определить и на основе регрессионного анализа. Если уравнение регрессии доходности портфеля на доходность базисного индекса записать как:
гр =ар+Рг1+?р >
где г1 - доходность базисного индекса, то величина ар будет соответствовать среднему значению альфы портфеля, а е - ошибке слежения.
Коэффициент информации рассчитывается на основе прошлых данных статистики. Однако прошлое вряд ли в точности повторится в будущем. Поэтому интересно определить продолжительность времени, в течение которого менеджеру следует управлять портфелем, чтобы с заданной вероятностью получить результат, соответствующий рассчитанному коэффициенту информации. Данный вопрос можно решить следующим образом.
Формула (13.25) фактически показывает, какое количество стандартных отклонений сверхдоходности укладывается в интервале доходности от нуля до значения альфы. Поэтому запишем:
количество стандартных ос
= — (13.26)
отклонений сверхдоходности <г?р
Как известно, доходность возрастает пропорционально рассматриваемому периоду времени, а риск - пропорционально квадратному корню из этого периода. Поэтому количество стандартных отклонений за время Т в формуле (13.26) составит:
количество стандартных ссрТ
отклонений сверхдоходности <ге 4т
или
количество стандартных _ сср ^ отклонений сверхдоходности сг?р
или
количество стандартных отклонений сверхдоходности
= IRyff
(13.27)
Как видно из формулы (13.27), количество стандартных отклонений, укладывающихся в диапазон альфы портфеля при постоянном значении коэффициента информации пропорционально корню квадратному из времени, в течение которого управляется портфель. Поэтому, если в будущем портфель будет управляться Т лет, то при мастерстве менеджера, соответствующего коэффициенту информации IR, мы должны получить количество стандартных отклонений согласно формуле (13.27). В то же время, поскольку распределение доходности портфеля предполагается нормальным, то формула (13.27) позволяет охарактеризовать полученный результат с вероятностной точки зрения. Другими словами, если за период времени Т сверхдоходность портфеля попадает в интервал от нуля до среднего значения альфы, соответствующий Z стандартным отклонениям сверхдоходности, то в рамках нормального распределения такой результат соответствует определенной доверительной вероятности. Так, например, доверительной вероятности в 90%, считая от нуля как среднего значения и выше, соответствует интервал в 1,645 стандартных отклонений, доверительно вероятности в 95% - интервал в 1,96 стандартных отклонений.
Выразим из формулы (13.27) величину Т :
количество стандартных ^ отклонений сверхдоходности
(13.28)
т
Формула (13.28) позволяет ответить на вопрос, какое количество лет следует менеджеру управлять портфелем, чтобы с заданной доверительной вероятностью получить сверхдоходность портфеля, соответствующую его коэффициенту информации.
Пример.
Коэффициент информации менеджера равен 0,75. Определить, какое количество лет необходимо управлять портфелем, чтобы получить результат, соответствующий определенному мастерству менеджера с доверительной вероятностью 95%.
Решение.
Доверительной вероятности 95% соответствует 1,96 стандартных отклонений. Чтобы получить требуемый результат с заданной вероятностью необходимо управлять портфелем:
= 6,8 года.
Г1,96 У
.0,75,
В заключение данного параграфа следует отметить, что, согласно У.Шарпу, коэффициент информации можно понимать как более общий случай коэффициента Шарпа, в котором вместо доходности без риска используется доходность рыночного индекса:
а„ г, -F
//? = - = -—- (13.29)
В формуле (13.29) гт - это средняя доходность рыночного индекса, с которым сравнивается оцениваемый портфель, а величина гр-7т=ар соответствует коэффициенту Дженсена портфеля.
Поскольку коэффициент информации по своей структуре аналогичен коэффициенту Шарпа, то он также как и коэффициент Шарпа может дать неверную сравнительную оценку для портфелей, которые показали отрицательную доходность сравнительно с эталонным рыночным индексом.
13.4. Омега
В параграфе 13.2.5 мы остановились на вопросе сравнительной оценки эффективности портфелей для случая, когда доходности не имеют нормального распределения. В качестве еще одной меры такой оценки может служить показатель омега. Мы рассматриваем данный коэффициент вне параграфа 13.2.5, поскольку омега является более комплексным индикатором. На его основе можно сравнивать как портфели с нормальным распределением доходности, так и с отличными от него распределениями. Кроме того, он позволяет шире взглянуть на проблему выбора инвестором портфеля в сравнении с традиционными подходами, основанными на учете коэффициентов Шарпа, Трейнора, Дженсена или Сортино. Обычно омега покажет другие результаты для портфелей, чем перечисленные выше коэффициенты, поскольку она обладает более полной информацией о распределении доходности портфелей. Данный показатель предложили в 2002 г. С.Keating и W.F.Shadwick.
Прежде всего следует отметить, что при расчете данного показателя, как и у коэффициента Сортино, используется некоторый порог доходности, относительно которого инвестор рассматривает свои выигрыши и проигрыши. Для коэффициентов Шарпа и Трейнора - это ставка без риска. Однако у инвестора может быть свой порог допустимой доходности. Он может определяться, например, его склонностью к риску, в том числе в зависимости от возраста, уровнем инфляции, уровнем затрат по формированию портфеля, к которым следует отнести помимо издержек по совершению сделок также и вознаграждение, выплачиваемое менеджерам. Кроме того, минимальный уровень доходности может устанавливать законодательство для определенных категорий институциональных инвесторов. Так, в Швейцарии законом установлена минимальная доходность для пенсионных фондов.
Функция омега дает полную характеристику распределения результатов портфеля с точки зрения его риска и доходности. Поэтому, как отмечают С.Keating и W.F.Shadwick, в математическом смысле, она эквивалентна распределению доходности. Омегу можно использовать для сравнительной характеристики разных портфелей без учета функции полезности инвестора. Решения принимаются только на основе одного принципа, что инвестор предпочитает большее меньшему.
Пусть порог допустимой минимальной доходности портфеля равен X, и возможные значения его доходности располагаются в диапазоне от а до Ь. Пусть F(r) - функция распределения доходности портфеля. Тогда возможный выигрыш по портфелю, взвешенный по вероятности, будет равен площади заштрихованной фигуры G, а возможный проигрыш - заштрихованной фигуры L, как показано на рис. 13.14. Отношение G/L можно рассматривать как меру качества инвестиционного выбора. Сравнивая два портфеля на основе данного показателя относительно одинакового порога доходности, следует сделать выбор в пользу портфеля, для которого значение этого отношения больше.
a g[i-F(-r).l
L IF(X)
Приблизительно площадь фигуры G = g^X-F^X)] на рис. 13.14 равна площади верхнего прямоугольника G, на рис. 13.15, а площадь фигуры L = /F(X) соответственно площади нижнего прямоугольника L,.
Если мы хотим получить точное значение площадей фигур G и L на рис.
ь
13.14, то необходимо использовать интегралы. Тогда G = J[l-F(r)]
X
X
L = IF(r)dr, и отношение G/L соответственно принимает вид:
а
Ь X
гралов /, (г) = J[l-F(r)]c/r и /2(г)= ^F{r)dr. Это не представляет проблемы
X а
для аналитических распределений, определенных на бесконечном интервале. Это также не представляет сложности и на практике, поскольку статистические данные получают на основе дискретных наблюдений значений доходности. Важно подчеркнуть, что функция омега непосредственно рассчитывается на основе наблюдаемых значений доходности, поэтому она включает всю информацию, которую содержит само распределение доходности, и она настолько же статистически значима насколько значим и сам ряд распределения доходности портфеля.
Омега представляет собой монотонно убывающую гладкую функцию как показано на рис. 13.16. Из формулы (13.30) следует, что, независимо от распределения доходности портфеля, в точке его средней доходности значение омеги равно единице. На рис. 13.16 представлена функция омега доходности портфеля со средним значением 4% и стандартным отклонением 3%. Соответственно для доходности 4% значение омеги равно единице.
Опционы имеют одинаковые цены исполнения и истекают в один и тот же момент времени. В то же время, как отмечают авторы, цены опционов следует рассчитывать не на основе принятого подхода в рамках риск-нейтральной вероятности, а использовать действительную вероятностную меру, которой характеризуются оцениваемые инвестиции.
13.5. Разложение доходности на составляющие компоненты
В области инвестирования различные менеджеры обладают неодинаковым мастерством. Например, у одного больше навыков в выборе неверно оцененных активов, другой - лучше предвидит изменение общей конъюнктуры рынка. Поэтому целесообразно определить, в какой мере полученный менеджером результат можно объяснить тем или иным навыком. Данная задача решается разложением доходности на отдельные составляющие, которые покажут опытность менеджера в области инвестирования при осуществлении активных стратегий. Рассмотрим вариант разложения доходности, который предложил Е. Фа-ма. В его модели мерой риска выступает величина бета.
Предположим, что за некоторый период времени доходность портфеля составила гЛ, а риск - РА , как показано на рис. 13.18. Менеджер получил неплохой результат, поскольку доходность портфеля располагается выше линии рынка актива (SML). Для портфелей с бетой Р А доходность должна была бы составить ге. Таким образом, положительная альфа портфеля равна гл - ге. Доходность портфеля состоит из двух компонентов: ставки без риска и премии за риск. В нашем примере это соответственно отрезки {rf — о) и {гА — rf), где rf - ставка без риска. В свою очередь, отрезок {гА — Гу ) можно разделить еще на несколько частей.
Возникает вопрос, насколько целесообразно было идти на более высокий не диверсифицируемый риск. Не получил ли менеджер доходность, соответствующую доходности широко диверсифицированного портфеля (А ), т.е. расположенного на SML, общий риск которого равен общему риску портфеля А. Портфель А можно найти следующим образом. Допустим, что общий риск портфелей А и А равен а1 = 200. Так как портфель А расположен на SML, то
для него это не диверсифицируемый риск. Как известно, он равен р2г<У2т. Тогда <т2а = Р2А"<У2т. Предположим, что сг2т = 150, откуда:
Менеджер получил еще более высокую доходность на величину (гА - гА„). Ее именуют доходностью в результате чистого выбора активов.
Как следует из рис. 13.18, доходность портфеля можно представить следующим образом. Отрезок (re - гf) - это доходность, соответствующая рыночному риску. Она состоит из суммы доходностей, эквивалентных риску клиента и риску менеджера. Отрезок (гА - ге) - это доходность, соответствующая нерыночному риску. Она равна сумме доходностей, эквивалентных диверсифицируемому риску и риску в связи с чистым выбором активов.
Разложение риска на отдельные компоненты позволяет определить сильные и слабые стороны менеджера в области инвестирования. Например, если {га -ге) положительная величина, то он обладает опытом в выборе активов.
Отрицательное значение говорит о недостатке данного навыка. Последний случай представлен на рис. 13.19. Менеджер сформировал портфель с риском РА , т.е. правильно определил повышающийся тренд, и для широко диверсифицированного портфеля получил бы доходность равную ге. Однако реальная доходность составила только гА . Отрицательное значение {гА -ге) говорит о том, что менеджер не верно выбрал активы, и поэтому они принесли ему низкую доходность. Если (ге —гс) положительная величина, то менеджер опытен в определении будущего тренда на рынке, отрицательное значение данной величины свидетельствует об обратном.
Коэффициенты Шарпа и Трейнора являются показателями оценки эффективности управления портфелем в рамках модели САРМ. Поэтому они могут дать не объективную картину в тех случаях, где не выдерживаются условия этой модели.
Индекс Дженсена представляет собой разность между действительной и ожидаемой доходностью портфеля. Если он положителен, это говорит об умении активного менеджера правильно выбирать активы или определять моменты их покупки и продажи. Для пассивного менеджера отличие данного показателя от нуля свидетельствует о слабом опыте в прогнозировании конъюнктуры рынка.
Способность менеджера принимать правильные решения можно оценить с помощью коэффициента информированности.
Коэффициент информации определяется как отношение альфы портфеля к ошибке слежения. Значение коэффициента дает представление об устойчивости результата, получаемого менеджером.
Функция омега позволяет более объективно оценить результаты управления портфелем и принять инвестиционное решение, в том числе в отношении портфеля, распределение доходности которого не является нормальным.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Материалы фондовой биржи РТС «Инструменты и технологии срочного рынка РТС»
Фьючерсы на акции российских эмитентов на Срочном рынке РТС
Фьючерсы, базовым активом которых являются отдельные акции российских эмитентов, уже много лет успешно торгуются на Срочном рынке PTC (FORTS). Список акций, на которые вводятся в обращение фьючерсные контракты, постоянно пополняется. Эмитенты акций, являющихся базовыми активами для фьючерсных контрактов, представляют практически все важные сегменты российской экономики: нефтедобычу, энергетику, связь, металлургию, банковский сектор.
Фьючерсные контракты на отдельные акции могут использоваться для достижения различных целей при управлении портфелями акции. Высокая чувствительность цен фьючерсов на акции по отношению к ценам базовых активов обеспечивает полное хеджирование инвестиционных портфелей (страхование рисков неблагоприятного изменения цен). Фьючерсы на акции могут эффективно использовать как инвесторы с небольшим объемом средств, так и крупные участники рынка.
Расширение возможностей управляющих портфелями акций при помощи фьючерсов на акции:
• Возможность снижения риска портфеля акций.
• Возможность осуществления «коротких» продаж, т.к. продажа и покупка фьючерса - симметричные и одинаково простые операции (в отличие от «продаж без покрытия» на рынке акций - short sale).
• Использование «эффекта плеча» на акциях, которое в среднем составляет 1:5—1:7.
• Снижение транзакционных издержек при работе с акциями:
о более низкие комиссионные издержки (в частности, отсутствие депозитарного сбора),
о бесплатное «плечо» (плата взимается только за открытие и закрытие позиции на срочном рынке, за поддержание открытой позиции сборы не взимаются).
• Построение краткосрочных «синтетических» облигаций.
• Построение различных стратегий с использованием фьючерсов и опционов на фьючерсы.
Спецификации фьючерсов на акции российских эмитентов
Общие характеристики всех фьючерсов на акции
актив
новен
ные
акции
РАО
«ЕЭС
России»
венные
акции
ОАО
«Газ
пром»
венные
акции
ОАО
«Лукойл»
венные
акции
ОАО
«Ростеле
ком»
венные
акции
ОАО «ГМК «Норильский никель»
венные
акции ОАО
«Сбербанк
России»
кон
тракта
акций
акций
мальный
размер
гаран
тийного
обеспе
чения
<мм>.<
гг>
<мм>.<гг
>
<мм>.<гг>
<мм>.<гг>
<мм>.<гг>
<мм>.<гг>
<мм>.<гг>
код
контракта в бирже-
<г>
<г>
<г>
системе
Reuters3
r>:RTS
r>:RTS
:RTS
:RTS
RTS
>:RTS
RTS
контракта в
системе
Bloom-
berg3
<м><г>
RU
UITY>
м><г>
RU
UITY>
рация
сделок
перские
опера
ции
рация
внесис
темных
сделок
зация
испол
нения
С другой стороны, инвесторы, владеющие портфелем акций, с помощью фьючерсных контрактов могут взять краткосрочный кредит путем продажи бумаг и покупки фьючерса. Срок кредита равен сроку до исполнения фьючерса. Эта операция является аналогом операции «прямое репо», когда участник берет кредит под залог своих бумаг.
Открытие противоположных позиций по фьючерсу на Индекс РТС и по фьючерсам на акции - «голубые фишки» - позволяет создать пози
На Срочном рынке PTC (FORTS) впервые в России создан ликвидный рынок опционов на фьючерсные контракты, базовым активом которых являются отдельные акции российских эмитентов. Опционы на фьючерсные контракты предоставляют широкие возможности для страхования (хеджирования) рисков на рынках акций и фьючерсов на акции, а также позволяют осуществлять операции с высокой доходностью, низкими издержками и ограниченными рисками.
Особенности рынка опционов FORTS:
- Самые широкие возможности для инвесторов.
- Самый удобный инструмент управления рисками, в том числе и как инструмент для хеджеров.
- Возможность получения неограниченного дохода при ограниченных рисках-Максимальный «эффект плеча».
- Построение различных стратегий с использованием фьючерсов и опционов-Возможность клиринга внебиржевых сделок.
- Опционы могут эффективно использовать как инвесторы с небольшим объемом средств, так и крупные участники рынка.
- Издержки при проведении операций на срочном рынке FORTS значительно ниже, чем на рынке акций.
Спецификации опционов на фьючерсы, базовыми активами которых являются акции
• для «длинных» опционов - за два торговых дня до дня исполнения фьючерса, являющегося базовым активом опциона;
• для «коротких» опционов - за месяц/2 месяца до исполнения фьючерса, являющегося базовым активом опциона.
При исполнении одного опциона фиксируется сделка купли-продажи одного фьючерсного контракта, являющегося базовым активом опциона, по цене равной цене страйк (цене исполнения) опциона.
актив
базового
фьючерса
страйка
<мм>.<гг>_<дд><м м><гг>СА ххххх
EERU-
<мм>.<гг>_<дд><м м><гг>РА ххххх
<мм>.<гг>_<дд><м м><гг>СА ххххх
GAZR-
<мм>.<гг>_<дд><м м><гг>РА ххххх
<мм>.<гг>_<дд><м м><гг>СА ххххх
LKOH-
<ММ>.<ГГ>_<ДЦ><М
м><гг>РА ххххх
<мм>.<гг>_<дцхмм ><гг>СА ххххх
RTKM-
<мм>.<гг>_<дд><мм ><гг>РА ххххх
системе
Reuters2
RTS
RTS
RTS
RTS
7 ххххх - цена-страйк, <м> - месяц экспирации, <г> - год экспирации.
Для месяцев экспирации приняты следующие обозначения: ______
которых являются акции
Покупка опционов обеспечивает защиту от рисков неблагоприятного движения цены и одновременно предоставляет возможность сполна получить прибыль от благоприятного движения.
• убытки при осуществлении данной операции ограничены размером выплаченной премии;
• потенциальные прибыли не ограничены.
Точка безубыточности на момент окончания срока обращения для опциона «на покупку» (Call) равна сумме цены исполнения (страйк) опциона и выплаченной премии, а для опциона «на продажу» (Put) - разности цены исполнения и выплаченной премии.
¦ вертикальными (создаются из опционов с одинаковой датой экспирации, но разными страйками),
¦ горизонтальными (из опционов с одинаковыми страйками, но разными датами экспирации) и
¦ диагональными (из опционов с разными страйками и датами экспирации).
Такие стратегии позволяют ограничить убытки при неблагоприятном движении цен акций и фьючерсов, однако часто (но не всегда) ограничивают прибыль в случае движения цены базового актива в ожидаемом направлении.
волатильности
Фьючерсы и опционы на фьючерсы на Индекс РТС предоставляют широкий набор возможностей для хеджирования рисков по портфелям акций и для игры на росте или падении фондового рынка. Производные инструменты на Индекс РТС одинаково доступны как инвесторов с небольшим объемом средств, так и для крупных участников рынка.
Фьючерсы на Индекс РТС - это стандартные контракты, которые исполняются не путем поставки базового актива, а путем денежных расчетов. Заключая сделки с фьючерсами на Индекс РТС, участники торгов принимают на себя обязательства оплатить или получить разницу (вариационную маржу) между ценой сделки и ценой исполнения фьючерсного контракта. Цена исполнения определяется исходя из среднего значения Индекса РТС за последний час торгов в последний день торгов по фьючерсу. Фьючерсы на Индекс РТС также являются базовым активом для опционных контрактов.
Индекс РТС - официальный индикатор Фондовой биржи РТС - является с 1995 года общепризнанным показателем состояния российского фондового рынка. Индекс РТС рассчитывается в режиме реального времени в течение всей торговой сессии на основании данных о сделках, заключенных на Классическом рынке РТС (с 10:30 до 18:00 по московскому времени). В базу расчета этого индикатора входят 50 акций российских эмитентов. Данные о динамике Индекса РТС публикуются на web-сервере РТС, транслируются на рабочие станции и распространяются информационными агентствами.
Спецификация фьючерсного контракта на Индекс РТС
(в рублевом эквиваленте, рассчитанном исходя из официального курса ЦБ РФ на день проведения торгов)
где <м> - месяц исполнения, <г> - год исполнения.
Для месяцев исполнения приняты следующие обозначения: март - Н, июнь - М, сентябрь - U, декабрь - Z.
Год исполнения указывается одной цифрой, например, для
2005 года - 5.
(<м> и <г> - аналогично предыдущему пункту)
Bloomberg
Покупатели могут потребовать исполнения в любой день в течение срока действия опциона. По окончании торгов в последний день срока действия опциона Клиринговый центр самостоятельно, без получения от держателей заявлений на востребование своих прав по опционам, производит исполнение опционов находящихся в состоянии «в деньгах», относительно расчетной цены фьючерсного контракта.
Put - RTS-
где RTS-
дата экспирации, ххххх - цена-страйк опциона.
где ххххх - цена-страйк (цена исполнения) опциона, <м> - месяц экспирации, <г> - год экспирации.
Для месяцев экспирации приняты следующие обозначения: для опционов Call: март - С, июнь - F, сентябрь -1, декабрь - L; для опционов Put: март - О, июнь - R, сентябрь - U, декабрь - X. Год экспирации для опционов всех видов указывается одной цифрой, например, для 2005 года - 5.
• Игра на росте/падении всего фондового рынка, а не изменении котировок отдельных акций.
• Возможность хеджирования (страхования) рисков по портфелям акций.
• Выгодная альтернатива операциям на спот-рынке по созданию портфеля из акций, ориентированного на структуру Индекса РТС:
о более низкие комиссионные издержки (в частности, отсутствие депозитарного сбора),
о бесплатное «плечо» (плата взимается только за открытие и закрытие позиции на срочном рынке, за поддержание открытой позиции сборы не взимаются).
• Повышение эффективности управления портфелями акций, не совпадающими по структуре с Индексом РТС.
• Возможность «короткой» продажи сразу целого портфеля акций, т.к. продажа и покупка фьючерса - симметричные и одинаково простые операции (в отличие от «продаж без покрытия» на рынке акций - short sale).
• Создание синтетического фьючерса на индекс акций «второго эшелона».
• Построение различных арбитражных, спекулятивных и хеджерских стратегий с использованием фьючерсов и опционов на Индекс РТС, а также фьючерсов и опционов на отдельные акции российских эмитентов на Срочном рынке FORTS.
Стратегии использования фьючерсов и опционов на Индекс РТС
Размер «плеча» по операциям с фьючерсами составляет 1:10 (минимальный размер гарантийного обеспечения - 10% от стоимости фьючерсного контракта).
Покупка опционов является привлекательной, поскольку при осуществлении данной операции участник торгов имеет возможность получить неограниченную прибыль, а рискует только выплаченной премией. Кроме того, по операциям с опционами можно добиться еще большего «эффекта плеча», чем при работе с фьючерсами («плечо» зависит от размера уплаченной премии).
РТС
волатильности
Кроме того, с помощью комбинаций производных на Индекс РТС и фьючерсов и опционов на отдельные акции можно создавать сложные стратегии с различным соотношением риск/доходность.
Фьючерсы и опционы на фьючерсы на курс доллара США являются важными инструментами для валютных дилеров, для управляющих портфелями ценных бумаг, для участников внешнеэкономической деятельности, а также для частных инвесторов, так как позволяют страховать (хеджировать) валютные риски, связанные с неблагоприятным изменением курса доллара США, или зарабатывать на колебаниях курса доллара США.
Расширение возможностей участников валютного рынка при помощи фьючерсов и опционов на фьючерсы на доллар США:
• Возможность снижения валютного риска.
• Использование эффекта «плеча» - аналог спекулятивных операций на рынке FOREX.
• Возможность осуществления «коротких» продаж.
• Снижение транзакционных издержек при работе с валютой.
• Проведение операций репо на валюте.
• Проведение арбитражных операций между российскими биржами и западными валютными рынками.
• Построение различных стратегий с использованием фьючерсов и опционов.
• Возможность клиринга внебиржевых сделок.
где <мм> - месяц исполнения, <гг> - год исполнения (указываются арабскими цифрами)
где <м> - месяц исполнения, <г> - год исполнения.
Для месяцев исполнения приняты следующие обозначения: март - Н, июнь - М, сентябрь - U, декабрь - Z.
Год исполнения указывается одной цифрой, например, для 2005 года - 5.
Put - 8і-<мм>.<гг>_<дд><мм><гг>РА ххххх;
где Si-
экспирации, ххххх - цена-страйк (цена исполнения) опциона.
где ххххх - цена-страйк (цена исполнения) опциона, <м> - месяц экспирации, <г> - год экспирации.
Для месяцев экспирации приняты следующие обозначения: для опционов Call: март - С, июнь - F, сентябрь -1, декабрь - L; для опционов Put: март - О, июнь - R, сентябрь - U, декабрь - X. Год экспирации для опционов всех видов указывается одной цифрой, например, для 2005 года - 5.
Фьючерсы и опционы на фьючерсы на курс доллара США могут служить
валют
Срок кредита равен сроку до исполнения фьючерса.
арбитраж
Фьючерсные контракты на величину ставки краткосрочного кредита
- первые производные финансовые инструменты российского рынка межбанковских кредитов. Их появление на рынке открывает новую веху в развитии финансовых отношений и обеспечивает участникам поистине уникальные возможности. Как известно, рынок краткосрочных кредитов является самым чувствительным индикатором повышения рисков денежной системы страны в целом. Недаром говорят, что деньги - это кровь экономики. Как только появляются предвестники увеличения рисков экономики, начинают дорожать денежные средства, и происходит рост ставок на рынке межбанковских кредитов. Изменение ставок краткосрочных кредитов сказывается на всех сегментах финансового рынка без исключения, поскольку определяет стоимость денежных ресурсов и влияет на относительную привлекательность любого вида вложений.
Теперь абсолютно все категории участников могут заработать на росте или падении уровня процентных ставок на рынке краткосрочных кредитов. Брокерские дома, банки, инвестиционные институты и частные инвесторы заинтересованы в том, чтобы снизить зависимость своего бизнеса от колебаний стоимости денег. Использование данного контракта позволяет с успехом решить эту задачу. Производственные компании, используя данные контракты, могут более эффективно покрывать дефицит средств, не опасаясь взлёта процентных ставок по привлечению средств. Крупные финансовые институты, размещая средства текущих операций на краткосрочные периоды, с помощью данных контрактов имеют возможность застраховаться от снижения доходности таких операций. Частным инвесторам и профессиональным спекулянтам данные контракты открывают доступ к одному из самых волатильных рынков - рынку ставок overnight.
На фондовой бирже РТС одновременно обращаются сразу два фьючерсных контракта на ставки краткосрочного кредита: фьючерс на значение ставки по трёхмесячному кредиту MosPrime, и фьючерс на среднее значение ставки MosIBOR overnight. Базовые активы этих контрактов - основные индикаторы рынка краткосрочных кредитов России, поскольку рассчитываются на основе ставок предоставления краткосрочных кредитов наиболее авторитетных и финансово устойчивых банков страны. Оба фьючерсных контракта расчетные, их исполнение происходит не путем поставки базового актива, а путем денежных расчетов.
Фьючерс на среднюю ставку межбанковского однодневного кредита -
стандартный расчетный контракт, в основе которого лежит средняя ставка рублевого однодневного кредита (депозита) на Московском межбанковском рынке MosIBOR - Moscow Inter-Bank Offered Rate (MosIBOR overnight).
Участник, заключивший контракт по определённой ставке и продержавший позицию по контракту открытой до дня исполнения, получит в течение этого периода времени в виде вариационной маржи разницу между доходом, который бы ему принесло ежедневное инвестирование средств под ставку MosIBOR на период до исполнения фьючерса, и доходом, который он мог бы получить, инвестируя эти средства под ставку равную цене заключения контракта. Объём средств, инвестируемых на этот период, и соответствующих одному фьючерсному контракту, указывается для справки в Торговой системе.
Пример: Цена фьючерса равна 6%, до исполнения фьючерса осталось 10 дней. Объём средств для инвестирования, указанный в Торговой системе и приходящийся на один контракт равен 998 360 рублей. Участник продаёт фьючерс по этой цене и держит открытую позицию до дня исполнения контракта. Параллельно с этим, участник вкладывает 998 360 рублей на 1 день под ставку MosIBOR и затем осуществляет ежедневное реинвестирование полученных средств под MosIBOR в течение 10 дней (до дня исполнения фьючерса). Финансовый итог: независимо от того, как колебались ставки MosIBOR в течение этих 10 дней, участник, суммируя результат инвестирования с вариационной маржой, за 10 дней получит доход равный доходу от ежедневного реинвестирования средств под ставку 6%.
Обратная ситуация - участник привлекает средства через последовательность однодневных кредитов в течение определенного периода времени. Общей платой за кредит для данного участника будет средняя процентная ставка, которая сложится за этот период на рынке однодневных кредитов. В случае если на рынке произойдет рост ставки, расходы по кредиту участника могут значительно увеличиться. Для того чтобы зафиксировать для себя среднюю ставку по набору таких кредитов участнику достаточно купить фьючерс по определенной цене. В этом случае потенциальное изменение процентной ставки на рынке будет полностью компенсировано вариационной маржей, которую получит (уплатит) данный участник по фьючерсному контракту.
Пример: Требуется привлечь на срок 3 недели кредит объемом 500 млн рублей. При этом точный срок, на который потребуются данные средства, неизвестен и, возможно, что использование этих средств продлится лишь часть этого периода. Одним из наиболее удобных способов кредитования в данном случае является набор однодневных кредитов. При этом самым эффективным способом исключения риска роста процентных ставок по такому кредиту является покупка фьючерсных контрактов. В случае если ставка кредита участника обычно в 1,2 раза выше ставки MosIBOR, в результате покупки 500*1,2 фьючерсов на среднюю ставку MosIBOR по цене 3 % участник фиксирует для себя стоимость кредита на уровне 3 %. Компенсацией за рост ставок ежедневного кредитования в этом случае будет положительная вариационная маржа по фьючерсному контракту.
Спецификация фьючерсного контракта на однодневную процентную ставку
Для месяцев исполнения приняты следующие обозначения: март - Н, июнь - М, сентябрь - U, декабрь - Z, год исполнения указывается одной цифрой, например, для 2006 года - 6
Заключив контракт, участник фиксирует для себя ставку трехмесячного депозита на дату исполнения. Так, купив фьючерс, он получит финансовый результат, равный разнице между прибылью от трёхмесячного депозита размером 1 млн рублей по зафиксированной при покупке контракта ставке и прибылью от депозита такого же размера по рыночной ставке на дату исполнения. Использование данного контракта значительно расширяет возможности по страхованию рисков будущих краткосрочных размещений (привлечений).
Спецификация фьючерсного контракта на трехмесячную процентную ставку
шага цены
Для месяцев исполнения приняты следующие обозначения: март -Н, июнь - М, сентябрь - U, декабрь - Z, год исполнения указывается одной цифрой, например, для 2006 года - 6
помощи фьючерсов на короткие ставки:
• Арбитраж между рынком ставок overnight и рынком ставок на более длительные промежутки времени, а также между процентными свопами, и набором фьючерсных контрактов.
• Оценка ставки на период 3 и 6 месяцев, поскольку в системе одновременно будет торговаться несколько контрактов с поквартальным исполнением.
• Страхование рисков изменения краткосрочных ставок до полугода.
• Спекулятивные операции ограниченного риска: игра на спрэде ставок, с одновременным заключением фьючерсных контрактов с разными датами исполнения.
• Спекулятивные операции, направленные на получение прибыли от изменения среднего значения ставки overnight за период с применением «плеча».
• Хеджирование средней ставки overnight будущих периодов времени путем одновременного открытия противоположных позиций по фьючерсам с ближним и дальним сроками исполнения.
• Спекулятивные операции, направленные на изменение формы кривой доходности в сегменте краткосрочных ставок.
• Построение синтетических процентных свопов и определение их рыночной цены.
Примеры стратегий использования фьючерсов на краткосрочные процентные ставки
ставок
На фондовой секции рынка фьючерсов и опционов РТС представлена широкая линейка процентных деривативов. Базовыми активами таких контрактов являются федеральные, муниципальные и корпоративные облигации. В настоящее время по многим фьючерсным контрактам на облигации ликвидность торгов превышает ликвидность базового актива. Данный вид контрактов интересен широкому спектру участников, поскольку позволяет существенно расширить их возможности при работе на долговом рынке.
Параметры фьючерсов на облигации
контрак
та
Reuters ***
регистрации сделок (включая НДС)
облигации
городского
облигационного
(внутреннего)
займа Москвы
RTS
ОАО «Газпром»
RTS
облига
ций
выпуска
облига
ций)
ОАО "РЖД"
ОАО "ФСК ЕЭС"
** <мм> - месяц исполнения, <гг> - год исполнения (указываются арабскими цифрами), уу - четвертая и пятая цифры номера выпуска облигаций, ххх - последние три цифры номера выпуска облигаций.
*** <м> - месяц исполнения, <г> - год исполнения, хх - две последние цифры номера выпуска облигаций. Для месяцев исполнения приняты следующие обозначения: март - Н, июнь - М, сентябрь - U, декабрь - Z. Год исполнения указывается одной цифрой, например, для 2007 года - 7.
**** Сделки, приводящие к открытию и закрытию позиций в течение одной торговой сессии.
Расчетные фьючерсные контракты на нефть и нефтепродукты на Срочном рынке РТС
Фьючерсный контракт на нефть сорта Urals - это первый биржевой контракт на нефть сорта Urals, которая занимает существенную долю в мировой добыче. В последнее время объемы торговли по Urals превышают объемы по Североморским сортам нефти - Brent, Forties, Oseberg, в связи с этим Urals приобретает значение одного из ведущих эталонов на мировом рынке высокосернистой нефти.
Энергетические рынки пользуются всё большей популярностью, поэтому новый биржевой сорт нефти, особенно с такими высокими показателями добычи и экспорта, может быть положительно оценен игроками во всем мире. Фьючерсные контракты на Urals привлекают внимание российских и европейских нефтетрейдеров, профессиональных участников рынка нефти, спекулянтов, частных инвесторов.
Проведение операций с нефтяными фьючерсами является общепринятой практикой ведения бизнеса профессиональными участниками нефтяного рынка. Покупка и продажа фьючерсного контракта позволяет зафиксировать цену покупки/продажи нефти в будущем и тем самым захеджироватся от неблагоприятной ценовой конъюнктуры. Высокая степень корреляции цен на нефть с динамикой цен акций нефтяных компаний и российского фондового рынка в целом делает данный контракт интересным инструментом для проведения арбитражных операций.
Демократичный вход на рынок фьючерсных контрактов дает возможность любой категории инвесторов играть на изменении цен на «черное золото».
Характеристика рынка нефти
Объем добычи нефти в России за 2005 год составил 470 млн. тонн, из них 210 млн. тонн было экспортировано. Объем добычи в денежном выражении составляет порядка 165 млрд долларов (при средней цене 350 долларов за тонну), а объем экспорта - порядка 90 млрд долларов. Участниками рынка нефти являются крупные вертикально интегрированные нефтяные компании (Роснефть, Лукойл, Сургутнефтегаз, ТНК-ВР, Татнефть, Башнефть и т.д.) на рынке присутствует порядка 20 крупных и более 1000 небольших трейдеров по торговле нефтью и нефтепродуктами.
Характеристика рынка нефтепродуктов
Экспорт нефтепродуктов составляет порядка 80 млн тонн, что в денежном выражении составляет около 35 млрд долларов. Основными продуктами экспорта являются мазут и дизельное топливо.
Расчетный фьючерсный контракт - это стандартный контракт купли/продажи определенного количества базового актива, заключающийся на бирже, в соответствии с которым стороны обязуются на определенную дату в будущем выплатить разницу между ценой, оговоренной в контракте, и рыночной ценой актива, являющегося предметом фьючерсного контракта на дату расчетов.
Исполнение фьючерсных контрактов гарантируется биржей.
Процедура исполнения контрактов
Поставка физического товара по расчетным фьючерсным контрактам не производится. Денежные расчеты осуществляются на базе рыночных цен по котировкам Platts в день исполнения фьючерса.
Platts (www.platts.сот, ) - ведущее мировое информационное агентство в области энергетики, имеющее почти вековой опыт по освещению рынков нефти, нефтепродуктов и других энергетических продуктов. Цена товарных активов, формируемая Platts, является ориентиром для всех участников мирового рынка энергоносителей — промышленных потребителей, нефтедобытчиков, нефтетрейдеров и т.д.
Фьючерсы на нефть - новые возможности для участников финансового рынка
• «Черное золото» является основным экспортным товаром России, поэтому ценовая конъюнктура на рынке нефти непосредственно влияет на экономику страны. Фьючерсы на нефть можно использовать как инструмент хеджирования рисков изменения цен в различных сегментах экономики, которые зависят от конъюнктуры рынка нефти.
• Рынок нефтяных контрактов представляет интерес для проведения арбитражных операций между фьючерсами на нефть и акциями отдельных нефтяных компаний, а также фьючерсом на Индекс РТС.
• Инвестиции в товарные активы является альтернативой инвестициям в фондовые активы.
• Нефтяные фьючерсы являются популярным инструментом для проведения спекулятивных операций.
Спецификация фьючерсного контракта на сырую нефть сорта Urals
цены
= тик (0,01 доллара) х на объем контракта (10 баррелей)
где <м> - месяц исполнения, <г> - год исполнения.
Для месяцев исполнения приняты следующие обозначения: январь - F, февраль - G, март - Н, апрель - J, май - К, июнь -М, июль - N, август - Q, сентябрь - U, октябрь -V, ноябрь -X, декабрь - Z.
Год исполнения указывается одной цифрой, например, для 2006 года - 6.
20 февраля 2007 года в Срочной секции РТС - FORTS начались торги поставочными фьючерсными контрактами на дизельное топливо Л-0,2-62 (ГОСТ 305-82) высший сорт.
Поставочный фьючерсный контракт на дизельное топливо - планомерный шаг РТС в развитии биржевого товарного рынка производных инструментов. Это первый в России поставочный фьючерсный контракт на нефтепродукты, который будет полезен в работе всем потребителям и производителям дизельного топлива, нефтрейдерам и нефтяным компаниям, а так же профессиональным участникам фондового рынка и частным инвесторам.
Данный контракт позволяет застраховать риски связанные с изменением цены на дизельное топливо, снизить стоимость привлечения денежных ресурсов, эффективно планировать экономическую деятельность как частных компаний, так и компаний с государственным участием. Повышение эффективности работы предприятий и развитие цивилизованного финансового рынка способствуют ускорению экономического роста страны. Также данный инструмент расширит инвестиционные стратегии участников финансового рынка и позволит существенно увеличить клиентскую базу брокерских компаний.
Фондовая биржа «Российская Торговая Система» разработала специальную процедуру поставки по фьючерсным контрактам на дизельное топливо. Биржа выступает гарантом исполнения обязательств для всех участников рынка. Основным плюсам поставки является то, что самой процедурой занимаются не брокерские компании, а клиенты напрямую и обязательства по поставке приобретаются самими клиентами.
В качестве базиса поставки по новому контракту РТС была выбрана «Володарская» ЛПДС ОАО «Мостранснефтепродукт». Это крупнейшая нефтебаза Центрального региона России с возможностью прокачки нефтепродуктов со многих нефтеперерабатывающих заводов.
Опыт проведения первых поставок по фьючерсным контрактам продемонстрировал, что специалистам РТС удалось создать качественный, проработан-
ный до малейших деталей механизм, который позволяет поставщикам и потребителям нефтепродуктов эффективно управлять ценовыми и товарными рисками.
Спецификация фьючерсного контракта на дизельное топливо
шага цены
- год исполнения (указываются арабскими цифрами)
сделок
операции
на нефтепродукты
Хеджирование рисков потребителями и производителями нефтепродуктов
Спекулятивная игра на изменении цен на нефтепродукты.
Возможность получения прибыли на понижении цен на топливо
Фиксация маржи переработчиками нефти
Использование в качестве финансового инструмента- арбитраж (сезонность, дизельное топливо против нефти, внутренний рынок против внешнего)
Улучшение «клиентского сервиса» Переход на долгосрочные взаимоотношения по-ставщиков и потребителей с привязкой к биржевой цене
Решение проблем неопределенности будущих денежных потоков
Снижение стоимости заемных средств
Трансформирование риска из непредсказуемого в четко определенный_
«с плечом» на повышение/понижение цен на нефть
Цена на фьючерсном рынке - это не случайная величина, а результат взаимодействия спроса и предложения для реальных активов на наличном рынке, спроецированный в будущее. Наличный и фьючерсный рынки существуют параллельно и в момент истечения фьючерсного контракта существовавшие между ними ценовые различия исчезают. Параллельное движение этих рынков происходит в силу того, что факторы, ведущие к повышению или падению наличных цен, воздействуют на фьючерсные цены в том же направлении. Именно эта связь между наличным и фьючерсным рынками и дает возможность совершать операции хеджирования.
Хеджирование - снижение риска потерь, обусловленных неблагоприятными изменениями рыночных цен на товары, которые предстоит продать или купить в будущем.
Пример 1
Хеджирование продавца от падения цен, фиксация маржи трейдера (короткий хедж)
Рассмотрим действия компании трейдера, осуществляющей оптовую покупку нефтепродуктов с последующей продажей на мелком опте, с использованием срочного рынка РТС.
Пример 2
Хеджирование покупателя от роста цен (длинный хедж).
Рассмотрим действия компании, покупающей дизельное топливо, в условиях предполагаемого роста цен с использованием срочного рынка РТС.
Для открытия фьючерсного контракта требуется внесение гарантийного обеспечения в размере 10% от стоимости контракта. После закрытия позиций на срочном рынке гарантийное обеспечение возвращается.
По операциям с биржевыми фьючерсными контрактами, заключаемыми в целях уменьшения риска изменения рыночной цены базового актива в период торговли этими контрактами, доходы от купли-продажи фьючерсного контракта либо осуществления расчетов по ним увеличивают, а убытки уменьшают налогооблагаемую базу по операциям с базовым активом.
Фьючерсный контракт на золото на Срочном рынке РТС - FORTS
Фьючерсный контракт на золото - это уникальный финансовый инструмент, который обеспечивает всем желающим лицам доступ на рынок золота. Фактически это лучший способ торговли золотом по мировым ценам, доступная и удобная альтернатива традиционным инвестициям в золото, таким как слитки, монеты, акции золотодобывающих предприятий и обезличенные металлические счета.
Фьючерсы на золото являются одновременно объектом вложения капитала, средством накопления и спекулятивным инструментом. Они также представляют собой ценный инструмент для коммерческих производителей и пользователей металла, хеджирующих риски изменения цен. По удобству покупки и продажи активов, а также по транзакционным издержкам, фьючерсные контракты далеко превосходят остальные способы инвестиций в золото. Поэтому с запуском фьючерсов на золото на срочном рынке FORTS этот драгоценный металл стал доступным практически всем.
Расчетный фьючерсный контракт - это стандартный контракт купли/продажи определенного количества базового актива, заключающийся на бирже, в соответствии с которым стороны обязуются на определенную дату в будущем выплатить разницу между ценой, оговоренной в контракте, и рыночной ценой актива, являющегося предметом фьючерсного контракта на дату расчетов.
Исполнение фьючерсных контрактов гарантируется биржей.
Процедура исполнения контракта:
Поставка физического товара по расчетному фьючерсному контракту на золото не производится. Расчеты производятся в деньгах, на базе значения утреннего Лондоского фиксинга по золоту.
"Лондонский фиксинг" является главным ориентиром для всех участников рынка - добывающих и аффинажных компаний, промышленных потребителей, банков, ювелиров и других участников рынка золота. Цена "Лондонского фиксинга" используеся практически во всех контрактах, заключаемых на поставку физического золота.
Фьючерсы на золото: новые возможности для участников финансового рынка:
• Максимальное облегчение и упрощение финансовых операций с золотом.
• Золото может способствовать снижению общей волатильности портфеля и улучшению его инвестиционных характеристик.
• Золото является прекрасным диверсификатором из-за незначительной корреляции с фондовым рынком. Включение золота в портфель в целях
стабилизации в периоды высокой инфляции и политической/экономической неопределенности.
• Стоимость золота не зависит от состояния ни одной национальной экономики. Поэтому золото способно обеспечить защиту от кризисных явлений на валютном рынке.
• Ликвидность золота выше, чем у других защитных активов, например, недвижимости, поскольку оно может быть реализовано без больших затрат в любое время.
• В отличие от других сырьевых товаров золото способно сохранять свою реальную стоимость в долгосрочном периоде, т.е. обладает функцией консервации стоимости.
Спецификация фьючерсного контракта на золото
шага цены
где <мм> - месяц исполнения, <гг> - год исполнения (указываются арабскими цифрами)
где <м> - месяц исполнения, <г> - год исполнения. Для месяцев исполнения приняты следующие обозначения:
март - Н, июнь - М, сентябрь - U, декабрь - Z.
Год исполнения указывается одной цифрой, например, для 2005 года - 5.
золота
Цена на фьючерсном рынке - это не случайная величина, а результат взаимодействия спроса и предложения для реальных активов на наличном рынке, спроецированная в будущее. Наличный и фьючерсный рынки существуют параллельно, и в момент истечения фьючерсного контракта существовавшие между ними ценовые различия исчезают. Параллельное движение этих рынков происходит в силу того, что факторы, ведущие к повышению или падению наличных цен, воздействуют на фьючерсные цены в том же направлении. Именно эта связь между наличным и фьючерсным рынками и дает возможность совершать операции хеджирования.
Хеджирование - снижение риска потерь, обусловленных неблагоприятными изменениями рыночных цен на товары, которые предстоит продать или купить в будущем.
Пример 1
Хеджирование от падения цен
Рассмотрим действия компании производителя золота, в условиях предполагаемого падения цен с использованием срочного рынка РТС.
Пример 2
Хеджирование от роста цен.
Рассмотрим действия компании, потребляющей золото, в условиях предполагаемого роста цен с использованием срочного рынка РТС.
Для открытия фьючерсного контракта требуется внесение гарантийного обеспечения в размере 5% от стоимости контракта. После закрытия позиций на срочном рынке гарантийное обеспечение возвращается.
По операциям с биржевыми фьючерсными контрактами, заключаемыми в целях уменьшения риска изменения рыночной цены базового актива в период торговли этими контрактами, доходы от купли-продажи фьючерсного контракта либо осуществления расчетов по ним увеличивают, а убытки уменьшают налогооблагаемую базу по операциям с базовым активом.
Опционы на золото на Срочном рынке РТС - FORTS
На Срочном рынке PTC (FORTS) впервые в России создан рынок опционов, базовым активом которых является фьючерсный контракт на золото. Опционы на фьючерсные контракты предоставляют широкие возможности для страхования (хеджирования) рисков, а также позволяют осуществлять операции с высокой доходностью, низкими издержками и ограниченными рисками.
Особенности рынка опционов FORTS:
• Самые широкие возможности для инвесторов.
• Самый удобный инструмент управления рисками, в том числе и как инструмент для хеджеров. Возможность получения неограниченного дохода при ограниченных рискахМаксимальный «эффект плеча».Построение различных стратегий с использованием фьючерсов и опцио-нов.Возможность клиринга внебиржевых сделок.Опционы могут эффективно использовать как инвесторы с небольшим объемом средств, так и крупные участники рынка.Издержки при проведении операций на срочном рынке FORTS значительно ниже, чем на рынке базового актива.
Спецификация опционов на фьючерсы, базовым активом которых является золото
Общие характеристики всех опционов
• для «длинных» опционов - за два торговых дня до дня исполнения фьючерса, являющегося базовым активом опциона;
• для «коротких» опционов - за месяц/2 месяца до исполнения фьючерса, являющегося базовым активом опциона.
При исполнении одного опциона фиксируется сделка купли-продажи одного фьючерсного контракта, являющегося базовым активом опциона, по цене равной цене страйк (цене исполнения) опциона.
GOLD- мм.гг ддммггРА ххххх
• потенциальные прибыли не ограничены.
Точка безубыточности на момент окончания срока обращения для опциона «на покупку» (Call) равна сумме цены исполнения (страйк) опциона и выплаченной премии, а для опциона «на продажу» (Put) - разности цены исполнения и выплаченной премии.
¦ вертикальными (создаются из опционов с одинаковой датой экспирации, но разными страйками),
¦ горизонтальными (из опционов с одинаковыми страйками, но разными датами экспирации) и
¦ диагональными (из опционов с разными страйками и датами экспирации).
Такие стратегии позволяют ограничить убытки при неблагоприятном движении цен наличного рынка и фьючерсов, однако часто (но не всегда) ограничивают прибыль в случае движения цены базового актива в ожидаемом направлении.
волатильности
12 Скальперскими операциями с опционами считаются сделки, результатом которых является:
1. Н.С. Вентцель. Теория вероятностей. - М., 1999
2. X. Вэриан. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. - М., 1997
3. А.Ю. Козлов, В.Ф. Шишков. Пакет анализа MX Excel в экономическо-статистических расчетах. - М., 2003
4. А.Ю. Козлов, В.С. Мхитарян, В.Ф. Шишков. Статистические функции MX Excel в экономическо-статистических расчетах. - М., 2003
5. С.М. Лавренев. Excel, сборник примеров и задач. - М., 2003
6. Т. Уотшем, К. Паррамоу. Количественные методы в финансах. - М.,1999
7. У. Шарп, Т. Бейли, Дж. Александер. Инвестиции. - М.,1997
8. Энциклопедия финансового риск-менеджмента. Под ред. А.А. Лобанова, А.В. Чугунова. - М., 2003
9. O.N. Апгепс, V. Le Sourd. Portfolio Theory and Performance Analysis. - Wiley, 2003
10. J. Aragones, C. Blanco. Valor en Riesgo. Aplicacion a la gestion empresarial. -Madrid, Piramide, 2000.
W.J. Bessis. Risk Management in Banking. Second ed. - Wiley, 2002
12. P. Best. Implementing Value at Risk. - Wiley, 1999
13. C. Butter. Mastering Value at Risk: A Step-by-step guide to understanding and Applying Var. - Prentice Hall, 1999
14. J. Campbell, A. Lo, A. Mackinly. The Econometrics of Financial Markets. - 1996
15. M. Capinski, T. Zastawniak. Mathematics for Finance. An Introduction to Financial Engineering. - Springer, 2005
16. D. Dlake. Financial Markets Analysis. - L., 1999
17. X. Dowd. Beyond Value at Risk. The New Science of Risk Management. -Wiley, 1998
18. E. Elton, M. Gruber, S. Brown, W. Goetzmann. Modem Portfolio Theory and Investment Analysis. - Wiley, 2003
19. Ch. Gollier. The Economics of Risk and Time. - MIT Press, 2001
20. R. Haugen. Modem Investment Theory. Fifth ed. - Prentice Hall, 2001
21. Ph. Jorion. Value at Risk. Second ed. - N.Y., 2000
22. R. Knop, R. Ordovas, J. Vidal. Medicion de Riesgos de Mercado у Credito. -Barcelona, 2004
23. R. Kolb. Investments. - L.1986
24. G. Koop. Analysis of Economic Data. - Wiley, 2000
25. Y. Lengwiler. Microfoundations of Financial Economics. An Introduction to General Equilibrium Asset Pricing. - Princeton University Press, 2004
26. S. LeRoy, J. Werner. Principles of Financial Economics. - Cambridge University Press, 2001
27. M. Lopez de Prado, C. Illera. Invertir en Hedge Funds. Analisis de su Estructura, Estrategias у Eficiencia. - Madrid, Diaz de Santos, 2004
28. H. Markowits. Portfolio Selection. - Blackwell Publishers, 1995
29. L. Martellini, Ph. Priaulet, S. Priaulet. Fixed-Income Securities. Valuation, Risk Management and Portfolio Strategies. - Wiley, 2003
30. J. Moreno. Los Mercados Financieros у sus Matematicas. Una Guia Teorica у Practica para Comprender las Matematicas de los Mercados. - Ariel, Barcelona, 2004
31. J.I. Pena. La Gestion de Riesgos Financieros de Mercado у Credito. - Prentice Hall, 2002
32. RiskMetrics™ Technical Document. Third ed. -N.Y., 1995
33. RiskMetrics™ - Technical Document. Fourth ed. N.Y., 1996
34. G. Ruiz, J. Jimenez, J. Torres. La Gestion del Riesgo Financiero. - Madrid, Pira-mide, 2000
35. RutterfordJ. Introduction to Stock Exchange Investment. - L., 1993
36. E. Soldevilla. Los Fondos de Inversion. Gestion у Valoracion. - Madrid, Pira-mide, 1999
37. Suarez. Decisiones Optimas de Inversion у Financiacion en la Empresa. - Madrid, Piramide, 2003
38. The Handbook of Financial Instruments. Ed. by F.Fabozzi. - Wiley, 2002
39. The Handbook of Alternative Investments. Ed. by D.Jobman. - Wiley, 2002
40. Vince R. Portfolio Management Formulas Mathematical Trading Methods for the Futures, Options and Stock Markets. - N.Y., 1990
Буренин А. Н. - Управление портфелем ценных бумаг
В книге рассматриваются вопросы управления портфелем ценных бумаг, основные концепции и финансовые стратегии, используемые в этой области деятельности. В книге широко представлен материал по использованию программы Excel для финансовых расчетов и построения моделей.
Рекомендуется студентам, аспирантам, преподавателям ВУЗов и работникам финансовой сферы.
Вы держите в руках второе издание учебного пособия «Управление портфелем ценных бумаг». Это одна из самых востребованных книг признанного участниками финансового рынка России автора учебной литературы, заведующего кафедрой Фондового рынка МГИМО МИД России, доктора экономических наук Буренина Алексея Николаевича.
Учебник будет полезен широкому кругу лиц: студентам экономических факультетов, сотрудникам организаций, работающих на финансовом рынке: риск-менеджерам, трейдерам, управляющим инвестиционными портфелями, и всем тем, кто хочет инвестировать денежные средства в ценные бумаги.
Книга «Управление портфелем ценных бумаг» раскрывает вопрос оценки риска и доходности инвестиционных портфелей, рассказывает о разнообразных стратегиях управления портфелями ценных бумаг. Отдельно в учебнике представлены рекомендации по автоматизации финансовых расчетов и построении моделей.
Знания, полученные в процессе прочтения книги, помогут при работе с различными инструментами, обращающимися на фондовом рынке России.
Фондовая биржа «Российская Торговая Система»
ГЛАВА 1. ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ И РИСК ПОРТФЕЛЯ
В настоящей главе рассматриваются вопросы, связанные с расчетом ожидаемой доходности и риска портфеля ценных бумаг. Вначале мы остановимся на определении ожидаемой доходности портфеля, после этого перейдем к определению ожидаемого риска. Раскрывая последний вопрос, последовательно рассмотрим риск портфеля, состоящего из двух активов для различных вариантов корреляции их доходности, и риск портфеля, в который входит несколько ценных бумаг. В заключение рассмотрим эффективную границу Г. Марковца, кредитный и заемный портфели.
Портфель - это набор финансовых активов, которыми располагает инвестор. В него могут входить как инструменты одного вида, например, только акции или облигации, так и разные активы: ценные бумаги, срочные контракты, недвижимость. Цель формирования портфеля состоит в стремлении получить требуемый уровень ожидаемой доходности при более низком уровне ожидаемого риска. Она достигается, во-первых, за счет диверсификации портфеля по составу инструментов, т. е. распределения средств инвестора между различными активами, и, во-вторых, тщательного подбора финансовых инструментов. В теории и практике управления портфелем существуют два подхода: традиционный и современный. Традиционный основан на фундаментальном и техническом анализе. Он делает акцент на широкую диверсификацию ценных бумаг по отраслям. В основном приобретаются бумаги известных компаний, которые имеют хорошие производственные и финансовые показатели. Кроме того, учитывается более высокая ликвидность таких бумаг, возможность приобретать и продавать их в больших количествах и экономить на комиссионных.
Развитие широкого и эффективного рынка', статистической базы, а также быстрый прогресс в области вычислительной техники привели к возникновению современной теории и практики управления портфелем ценных бумаг. Она основана на использовании статистических и математических методов подбора финансовых инструментов в портфель, а также на ряде новых концептуальных подходов.
Главными параметрами при управлении портфелем, которые необходимо определить менеджеру, являются его ожидаемая доходность и риск. Формируя портфель, менеджер не может точно определить будущую динамику его доходности и риска. Поэтому свой инвестиционный выбор он строит на ожидаемых значениях доходности и риска. Данные величины оцениваются, в первую очередь, на основе статистической информации за предыдущие периоды времени. Поскольку будущее вряд ли повторит прошлое со стопроцентной вероятностью, то полученные оценки менеджер может корректировать согласно своим ожида-' Определение термина “эффективный рынок” и характеристику эффективного рынка см. в книге А.Н. Буренина “Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов”, М., “Научно-техническое общество им. академика С.И.Вавилова”, 2002, глава 8.1.
ниям развития конъюнктуры. Рассмотрим, каким образом рассчитываются отмеченные параметры.
1.1. Ожидаемая доходность портфеля
1.1.1. Ожидаемая доходность актива
Ожидаемая доходность портфеля рассчитывается на основе ожидаемой доходности активов. Каким образом определяется ожидаемая доходность актива? В этом вопросе можно воспользоваться двумя приемами. Первый состоит в том, чтобы на основе прошлых данных статистики доходности актива рассчитать ее среднеарифметическое значение по формуле:
П ожидаемая доходность актива;
fj - фактическая доходность актива в / -м периоде;
п - число периодов наблюдения; все периоды имеют одинаковую продолжительность.
Пример.
Данные о доходности актива за прошедшие 9 лет представлены в таблице:
Биржевая торговля: Управление капиталом - Портфель - Риск - Страхование