---

Разделы На главную История денег и экономики История экономических знаний Формы безналичных денег Международные финансы Экономические концепции Экономические теории Экономика в реальной жизни Экономический анализ и интеграция Макроэкономика Экономика и социальное общество Социальная экономика Социология Кризисная экономика Инфляция в экономике Экономика зарубежных стран Иностранные деньги Государственное регулирование Бюджетная система Политическая экономия Политология Законы денег Налогообложение Аудит Банкротство Теория рынка Конкуренция Международная торговля Товарная биржа Нефть и газ на бирже Логистика Банки - услуги и операции Банки в России Банковский кредит Недвижимость Ипотека в банке Инвестирование Стратегии инвестирования Инвестиционные фонды Ценные бумаги Акции Вексель Облигации Опционы Фьючерсы Биржевая торговля Биржа Forex Фондовый рынок Фондовый рынок России Волны Эллиотта Теория фракталов Торговая теория Ганна Фибоначчи на бирже Графический анализ на бирже Паттерны Биржевой анализ "Крестики-нолики" Японские свечи Технический анализ Математика на бирже Фундаментальный анализ Биржевая торговля Стратегии торговли Механические торговые системы Программирование МТС Управление торговым капиталом Управление портфелем Управление риском Страхование Профессия трейдер Практический трейдинг Технологии инфосистем Информационный рынок Безопасность информации Криптология и криптография Реклама PR - Public Relations Маркетинг Финансовая система Начало бизнеса Предпринимательство Малый бизнес Микроэкономика Торговля Ценообразование Работа в Интернете Сайты, софт, дизайн Управление качеством Управление предприятием Производство продукции Стратегический менеджмент Учебники по менеджменту Системы и организации Теория систем Планирование Статистика финансов Управление персоналом Трудовые отношения Бухгалтерия «1С:Бухгалтерия» Управленческий учет Делопроизводство и офис Автоматизация делопроизводства Рынок труда Карьера Менеджер Лидерство и бизнес карьера Лидерство и карьера Общение и переговоры Общение в бизнесе Бизнес переговоры Инновации в моделировании Экономическое моделирование Нейронные сети Нейролингвистика Логика нейросетей Программирование Пакет Excel Технологии программирования Языки программирования Практическая психология Психологические тренинги Психология в медицине Возрастная психология Ваши скрытые резервы Здоровье и долголетие Работа с эмоциями Пикап Управление временем Гипнотерапия Подсознание Трансовые техники Магия Здоровье советы Спорт для здоровья Йога Религии Эзотерика Мистицизм

---

ГЛАВА 5. СТРАТЕГИИ В УПРАВЛЕНИИ ПОРТФЕЛЕМ

В настоящей главе рассматриваются вопросы, связанные с управлением портфелем ценных бумаг. Вначале мы охарактеризуем пассивную и активную стратегии, рассмотрим механические стратегии при управлении портфелем. В заключение главы остановимся на сравнительном анализе доходности пассивных и активных стратегий.

5.1. Пассивные и активные стратегии

Управляя портфелем, менеджер должен решать две задачи. Во-первых, определить риск и ожидаемую доходность портфеля. Для этого ему необходимо выяснить предпочтения клиента относительно параметров риска и доходности, его налоговый режим, инвестиционный горизонт, оценить трансакционные издержки по формированию и управлению портфелем, определить риск и ожидаемую доходность активов-кандидатов на включение в портфель, степень корреляции их доходности. Во-вторых, определять реальную динамику показателей портфеля в процессе его управления и, в случае необходимости, пересматривать его, т.е. продавать и покупать активы.

На практике менеджер столкнется с двумя основными типами клиентов. Первый из них передает в управление свои средства и ориентирует менеджера на желаемые для него характеристики риска и доходности. Второй передает в управление средства, которые не являются его собственностью и относительно которых он сам несет обязательства перед собственниками. В связи с этим он, как правило, более заинтересован, чем первый клиент в поддержании определенных характеристик портфеля помимо риска и доходности, например, сроков, на которые приобретаются активы, уровня их ликвидности. Примером второй категории клиентов могут служить пенсионные фонды, страховые компании.

В управлении портфелем можно выделить две основные стратегии: пассивную и активную.

5.1.1. Пассивные стратегии управления портфелем

Пассивной стратегии придерживаются менеджеры, которые полагают, что рынок является эффективным. В таком случае нет необходимости часто пересматривать портфель, поскольку эффективный рынок всегда “правильно” оценивает активы, а одинаковые (в среднем) ожидания инвесторов относительно доходности и риска говорят о том, что все они ориентируются на одинаковые CML и SML. Пассивный портфель пересматривается только в том случае, если изменились установки инвестора, или на рынке сформировалось новое общее мнение относительно риска и доходности рыночного портфеля. Пассивный менеджер не ставит перед собой цель получить более высокую доходность, чем в среднем предлагает рынок для данного уровня риска. Для него характерно построение портфеля на рассмотренных выше принципах, т.е. он включает в него рыночный портфель и бумагу без риска на условиях заимствования или кредитования.

Пассивное управление портфелем состоит в приобретении активов с целью держать их длительный период времени. Если в портфель включены активы, выпущенные на определенный период времени, например, облигации, то после их погашения они заменяются аналогичными бумагами и т. д. до окончания инвестиционного горизонта клиента. При такой стратегии текущие изменения в курсовой стоимости активов не принимаются в расчет, так как в длительной перспективе плюсы и минусы от изменения цены активов будут погашать друг друга. Пассивная стратегия не предполагает активного пересмотра портфеля, поскольку в условиях эффективного рынка и одинаковых ожиданий инвесторов какой-либо индивидуальный отбор бумаг не имеет существенного значения, и менеджер при выборе активов руководствуется показателями их риска и доходности. Если портфель состоит из небольшого числа активов, он сохраняет значительную долю диверсифицируемого риска. Рассмотрим наиболее характерные пассивные стратегии.

5.1.1.1. Копирование индекса

Стратегия копирования индекса состоит в формировании портфеля, который по своему составу повторяет некоторый фондовый индекс, обычно индекс с широкой базой. Недостатком такой стратегии является то, что выплата дивидендов и процентов по бумагам, входящим в индекс, автоматически отражается в его стоимости. В то же время менеджер несет дополнительные издержки при реинвестировании полученных средств. Кроме того, для приобретения какого-либо актива может потребоваться определенное время для аккумулирования необходимой суммы денег. Точное копирование индекса может повлечь высокие трансакционные издержки, так как менеджеру приходится приобретать относительно малое количество большого числа разных активов. Кроме того, при изменении состава индекса также должны последовать изменения и в структуре портфеля. Обычно, при исключении какой-либо бумаги из состава индекса цена ее падает, в то же время цена включаемого в индекс актива возрастает. Поэтому менеджер несет дополнительные затраты в сумме разности цен продаваемого и покупаемого активов. Чтобы исключить указанные недостатки, можно копировать индекс на основе определенной выборки бумаг, входящих в индекс, которые наиболее близко повторяют его динамику. В этом случае сокращаются трансакционные расходы. Однако возникает вероятность отклонения результатов сформированного портфеля от результатов рыночного портфеля.

При не полном копировании следует отбирать в портфель бумаги, которые в наибольшей степени характеризуют его параметры. Для этого, прежде всего, необходимо разбить портфель на ряд подпортфелей с определяющими чертами. Например, для индекса акций подпорфелями могут служить бумаги одной отрасли. После этого определяются характеристики подпортфелей - доходность и

риск. Затем из каждого подпортфеля выбираются бумаги, наилучшим образом копирующие его характеристики. Конкретные удельные веса для включения отобранных бумаг в портфель можно определить на основе решения задачи минимизации ошибки копирования доходности индекса. Назовем ее ошибкой слежения (tracking error). Она показывает степень рассеяния доходности портфеля вокруг доходности индекса и рассчитывается по формуле:

?^?аг(^гр ~п),

ошибка слежения =

(5.1)

где г_р - доходность формируемого портфеля;

г, - доходность копируемого индекса;

?аг(-) - дисперсия.

Таким образом, задача сводится к минимизации стандартного отклонения разности между доходностью формируемого портфеля и копируемого индекса. В результате определяют уд. веса бумаг, в которых они включаются в портфель. Расчеты проводят на основе прошлых данных статистики. Большинство инвесторов оценивают доходность, по крайней мере, ежемесячно. Поэтому ошибка слежения определяется на основе помесячных данных доходности. После этого результат переводится в расчете на год умножением его на корень квадратный из двенадцати. Поскольку ошибка слежения измеряется стандартным отклонением, то для случая нормального распределения доходности она имеет простую вероятностную интерпретацию. Пусть ошибка слежения в расчете на год равна 1%. Тогда, если доходность индекса прогнозируется на уровне 10% годовых, то с вероятностью 68,3% можно ожидать, что доходность портфеля будет лежать в диапазоне от 9% до 11%, с вероятностью 95,4% - в диапазоне от 8% до 12% и с вероятностью 99,7% - в диапазоне от 7% до 13%.

Задачу определения уд. весов бумаг в копирующем портфеле можно записать как:

дисперсия доходности формируемого портфеля;

а) - дисперсия доходности копируемого индекса; со?_р/ - ковариация доходностей портфеля и индекса. Как известно, риск портфеля определяется по формуле:

п п і=і

ходности портфеля с индексом - это ковариация каждой бумаги в портфеле с индексом с учетом ее уд. веса.

Ограничение для данной оптимизационной задачи определяется как

п

У.?, = 1. Задачу можно решить с помощью множителей Лагранжа. Рассмотрим

/=і

технику определения копирующего портфеля, который бы минимизировал ошибку слежения фондового индекса.

Пример 1.

Фондовый индекс включает пятнадцать акций. Стандартное отклонение доходности индекса в расчете на год равно 0,32. Индекс копируется с помощью трех акций. Для этого разбиваем портфель на три подпортфеля по их однородности. В каждом из них определяем акцию, которая наилучшим образом копирует характеристики подпортфеля, т.е. имеет риск и доходность ближе всего соответствующие риску и доходности подпортфеля. Выбранные акции имеют следующие характеристики: стандартное отклонение доходности первой равно 0,28, второй - 0,3, третьей - 0,34. Ковариация доходностей первой и второй бумаг составляет 0,028, первой и третьей - 0,04, второй и третьей - 0,037. Ковариация доходностей индекса с первой акцией составляет 0,05, со второй - 0,08, с третьей - 0,09. Запишем функцию Лагранжа:

¹ = УУ^?і^?і ^со?У+?, cov_j7+л(у?, -1

(5.4)

>=1 7=1

/=1

і=1

Найдем производные функции Лагранжа по 0, и Л. в общем виде и приравняем

их к нулю:

з

2yjdj cov_;/ - 2 cov_(/ + Л, = 0; / = 1,...,3

7=1

dL

(5.5)

(5.6)

д?,

dL

дЯ

=2>,-i=o

Подставим цифровые значения задачи в уравнения (5.5) и (5.6) и объединим их в систему:

2?_Х 0,28² + 2?₂ 0,028 + 2?₃ 0,04 - 2 • 0,05 + Я = 0

_< 2?_г0,3² + 20,0,028 + 2?_Ъ0,037-2• 0,08 + Я-0

2?_} 0,34² + 20,0,04 + 2?_г 0,037 - 2 • 0,09 + Я = 0 ?у + ?₂ + ?₃ —1 = 0

или

0,07840, + 0,0280₂ "Ь O,O40j + 0,5Я — 0,05

(5.7)

0,0280, +О,О90₂ +О,О370з + 0,5Л = °>⁰⁸

0,040, + 0,03702 + 0,11560₃ + = 0,09

0, + 0₂ + 0₃ = 1

Решая систему уравнений (5.7) получим:

0, =0,010997; 0₂ =0,515711; 0₃ =0,473292

Таким образом, для того, чтобы копировать индекс с помощью портфеля из трех акций и минимизировать ошибку слежения, необходимо купить первую акцию в уд. весе 1,0997%, вторую - 51,5711%, третью - 47,3292%. Дисперсия такого портфеля составит за год величину 0,002231, а стандартное отклонение -0,047233 или 4,72%. Поэтому можно ожидать, что через год с вероятностью 68,3% доходность копируемого портфеля будет отличаться от доходности фондового индекса на 4,72%.

Задачу копирования индекса можно решать на основе использования многофакторных моделей. В этом случае выделяют экономические факторы, от которых зависят доходности бумаг и копируемого индекса, и составляют уравнение регрессии.

Допустим, доходности бумаг определяются следующей двухфакторной моделью:

доходность і -й бумаги в отсутствии влияния на нее рыночных факторов;

F_x, F₂ - экономические факторы, от которых зависит доходность і -й бумаги, например, уровень инфляции, валового внутреннего продукта и т.п.;

Д„Д, - коэффициенты чувствительности доходности і-й бумаги соответственно к первому и второму факторам;

е,- независимая случайная переменная. Ее среднее значение равно нулю,

дисперсия постоянна, ковариация с экономическими факторами равна нулю; ковариация с нерыночным риском других активов равна нулю.

Доходность копирующего портфеля на основе формулы (5.8) составляет:

(5.9)

^Гр ~^ар + Pp\^F\ ⁺ Pp2^F2 ^+?р >

где /З_рХ,/З_р1 - коэффициенты чувствительности доходности копирующего портфеля соответственно к первому и второму факторам.

Уравнение регрессии копируемого индекса имеет вид:

(5.10)

При неполном копировании задача формирования портфеля сводится к минимизации ошибки слежения. Поэтому копирующий портфель следует построить таким образом, чтобы при изменении экономических факторов его доходность изменялась аналогично изменению доходности индекса. Для этого необходимо выполнение следующих условий:

(5.11)

Рр\ ~ Рп Рр2 ⁼ Рп

п

В формуле (5.9) р_рХ = ^в,Р_п и

і=1

уравнений (5.11) запишем как:

п

/»,₂=2>а. С учетом этого систему

;=і

2>,Л,=А,

(5.12)

І=1

Решая систему (5.12), получим значения уд. весов бумаг для формирования портфеля при неполном копировании.

Количество факторов F_t определяет количество уравнений составляемой

системы. Если их меньше чем количество бумаг, объединяемых в портфель, т.е. неизвестных параметров, то система будет иметь много решений. В таком случае из возможного множества решений оптимальным будет то, которое минимизирует ошибку слежения. Оно находится путем подстановки в уравнение

(5.3) уд. весов бумаг для каждого решения системы. Логическим объяснением изложенного подхода является то, что изменение доходности индекса и портфеля прежде всего определяются общими для них экономическими факторами. Поэтому для минимизации ошибки слежения портфель следует сформировать из таких бумаг и в таких пропорциях, чтобы их коэффициенты чувствительности были одинаковы.

5.1.1.2. Определение оптимального портфеля при копировании индекса с помощью программы Excel

Программа Excel позволяет решать задачу определения портфеля, копирующего фондовый индекс, с минимальной ошибкой слежения. Для этого служит команда Поиск решения в меню Сервис. Рассмотрим использование Excel для определения копирующего портфеля на примере.

Пример.

Фондовый индекс включает пятнадцать акций. Стандартное отклонение доходности индекса в десятичных значениях равно 0,32. Индекс копируется с помощью трех акций. Стандартное отклонение доходности первой равно 0,28, второй - 0,3, третьей - 0,34. Ковариация доходностей первой и второй бумаг составляет 0,028, первой и третьей - 0,04, второй и третьей - 0,04. Ожидаемая доходность (в десятичных значениях) первой бумаги равна 0,12, второй - 0,16, третьей - 0,22. Ковариация доходностей индекса с первой акцией составляет 0,05, со второй - 0,08, с третьей - 0,09.

Решение.

Расположим в ячейках А1, В2, СЗ значения дисперсий первой (0,0784), второй (0,09) и третьей (о,115б) акций; в ячейке А2 - ковариацию доходностей первой и второй бумаг (о,028), в АЗ - первой и третьей (о,04), в ВЗ - второй и третьей (о,037). В ячейке D1 укажем значение ковариации доходности индекса с первой акцией (о,05), в ячейке D2 - со второй (о,08), в ячейке D3 - с третьей (о,09). В ячейке Е1 представим дисперсию доходности индекса (о,1024). Зададим произвольно уд. веса акциям для некоторого начального портфеля. Пусть уд. вес первой бумаги в десятичных значениях равен 0,2, второй - 0,2, третьей - 0,6. Соответственно расположим их в ячейках F1-F3. В ячейке F4 представим сумму ячеек с FI по F3. Это можно сделать, напечатав в ячейке F4 следующую формулу:

=F1+F2+F3 ,

и нажав клавишу Enter. Поскольку сумма всех весов акций в портфеле должна равняться единице, то в данной ячейке появится единица. В ячейку G1 помещаем формулу дисперсии ошибки слежения, - формулу (5.3), - т.е. печатаем:

= А\* F\^A2 + В2* F2^A2 + СЗ * F3^A2 + 2* F\* F2* А2 +

+ 2*F\*F3*A3 + 2*F2*F3*B3 + E\--2* F\* D\-2* F2* D2-2* F3* D3

В данной ячейке должна появиться цифра 0,011472.

Рассчитаем уд. веса активов в копирующем портфеле с минимальной ошибкой слежения. Для этого выбираем курсором меню Сервис и щелкаем мышью. Появляется выпадающее меню. Курсором выбираем команду Поиск решения и щелкаем мышью. Появляется окно диалога “Поиск решения”. В поле строки “Установить целевую ячейку” вносим ячейку G1, поскольку в ней отражается ошибка слежения. Для этого наводим курсор на знак 3 в поле данной строки и щелкаем мышью. Окно “Поиск решения” превращается в поле строки. Наводим курсор на ячейку G1 и нажимаем левую клавишу мыши. Вновь наводим курсор на знак 3 и щелкаем мышью. Окно “Поиск решения” появляется целиком. В следующей строке окна стоит слово “Равной”. Напротив него два круглых поля с надписями “максимальному значению” и “минимальному значению”. Выбираем поле “минимальному значению”, поскольку необходимо минимизировать значение дисперсии ошибки слежения. Если оно уже активизировано, то в нем стоит точка. Если поле является чистым, то наводим на него курсор и щелкаем мышью. В поле появилась точка. Следующая строка называется “Изменяя ячейки”. В поле под данной строкой вводим ячейки от F1 до F3. Для этого наводим курсор на знак 5І в поле данной строки и щелкаем мышью. Окно “Поиск решения” превращается в поле строки. Наводим курсор на ячейку F1, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее, доводим до ячейки F3, отпускаем клавишу. Вновь наводим курсор на знак Щ и щелкаем мышью. Окно “Поиск решения” появляется целиком. Ниже расположена надпись “Ограничения”. В поле под этой надписью вводим ограничение модели. Оно заключается в том, что сумма всех уд. весов активов должна равняться единице. Ограничение задаем следующим образом. Наводим курсор на кнопку “Добавить” и нажимаем левую клавишу мыши. Появляется окно диалога “Добавление ограничения”. В нем три прямоугольных поля. В левое поле под строкой “Ссылка на ячейку” вносим адрес F4. Для этого наводим курсор на знак 2$ в поле этой строки и щелкаем мышью. Окно “Добавление ограничения” превращается в поле строки. Наводим курсор на ячейку F4 и щелкаем мышью. Вновь наводим курсор на знак 3 и щелкаем мышью. Окно “Добавление ограничения” появляется целиком. В среднем поле наводим курсор на треугольник с правого края и нажимаем левую клавишу мыши. Открывается выпадающее меню. Курсором выбираем знак “=” и щелкаем мышью. В правом поле “Ограничение” печатаем цифру 1. Ограничение введено, поэтому курсором выбираем команду ОК и щелкаем мышью. Появляется окно диалога “Поиск решения”. Курсором выбираем команду “Выполнить” и щелкаем мышью. В ячейках F1-F3 появилось решение, т.е. уд. веса акций в копирующем портфеле, а именно значения 0,010997, 0,515711, 0,473292. В ячейке G1 появилось значение дисперсии ошибки слежения - 0,002231. Соответственно стандартное отклонение ошибки слежения равно ^0,002231 = 0,047233 .

Если копирующий портфель насчитывает большое количество акций, то формулу (5.3) удобно ввести с использованием матриц, как было показано в главах 1.2.7 и 4.3. Представим решение нашей задачи с использованием матричного исчисления. Заносим в блок А1:СЗ ковариационную матрицу, в ячейки D1-D3 - ковариации доходности индекса с акциями, в ячейку Е1 - дисперсию доходности индекса, в ячейки F1-F3 - первоначальные уд. веса бумаг в копирующем портфеле. В блок А5:С5 транспонируем уд. веса матрицы столбца F1:F3. В ячейках А7-С7 размещаем произведение матрицы строки А5:С5 на ковариационную матрицу А1:СЗ. В ячейке Е7 риск копирующего портфеля, т.е.

п п

компонент сг²р - со\у формулы (5.3). Для этого перемножаем матри-

;=і 7=1

цу А7:С7 на матрицу уд. весов F1:F3. В ячейке G7 печатаем формулу:

=2 *СУММПРОИЗВ(Б 1 :D3;F1:F3)

В ячейке G1 печатаем:

=E7-G7+E1

Сказанное представлено на рабочем листе на рис. 5.1.

После этого решаем оптимизационную задачу с помощью команды “Поиск решения” как было показано выше. Рабочий лист по итогам решения задачи представлен на рис. 5.2.

Цкнига2 8,5%, одномесячного - 6%. Финансовый менеджер страховой компании полагает, что кривая доходности в течение следующего месяца сохранит восходящую форму, и доходность пятимесячного ГКО будет 8,5%. Поэтому страховая организация по договору страхования привлекает средства на один месяц под 6% годовых на сумму 956937,8 руб. и покупает на них 1000. Стоимость ГКО равна 956937,8 руб. Прогноз конъюнктуры менеджером оказался верным, и через месяц доходность ГКО с погашением через 5 месяцев равна 8,5%. Страховая компания продает ГКО и получает сумму:

Рис. 5.3. Кривая доходности

961722,49 = 4072,28руб.

Рассмотренная техника управления портфелем называется скольжением по кривой доходности. При ее использовании дополнительный доход получается за счет того, что страховая компания должна через месяц вернуть заимствованную сумму с начисленными на нее 6% годовыми. Однако она размещает ее на один месяц под более высокую процентную ставку - 9% годовых.

Отмеченная стратегия связана с риском. Если через месяц ставки на рынке повысятся, то от продажи ГКО страховая компания может получить сумму денег, которая окажется ниже принятых обязательств. Чтобы оценить вероятность потерь, целесообразно рассчитать процентную ставку, при которой данная стратегия принесет нулевой результат. Это можно сделать следующим образом. Чтобы стратегия дала нулевой результат, от продажи ГКО через месяц страховая компания должна получить 961722,49 руб., т.е. сумму денег равную ее обязательствам. Для этой суммы доходность пятимесячной ГКО составит:

' 1000000 _? 961722,49

— = 0,0955 или 9,55% 5

-1

Таким образом, если менеджер полагает маловероятным рост доходности пятимесячной ГКО через месяц до 9,55%, то он может использовать стратегию скольжения по кривой доходности.

5.1.1.4. Иммунизация портфеля облигаций

Одним из приемов пассивного управления портфелем является его иммунизация. Главный риск в отношении облигаций состоит в возможности изменения процентной ставки и, соответственно, цены облигации. Если менеджер стремится застраховаться от изменения стоимости портфеля облигаций к определенному моменту времени, то он должен сформировать его таким образом, чтобы дюрация портфеля соответствовала требуемому периоду времени. Тогда в случае изменения процентной ставки потери (выигрыши) в стоимости облигаций будут компенсироваться выигрышами (потерями) от реинвестирования купонов. Рассмотрим технику иммунизации вначале на примере портфеля, в который входит одна облигация.

Пример 1.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год, время до погашения четыре года. Процентная ставка одинакова для всех периодов времени и равна 10% годовых, т.е. кривая доходности параллельна оси абсцисс на графике кривой доходности. Предполагается, что в случае изменения процентных ставок в течение времени обращения облигации кривая доходности будет смещаться параллельно. Купоны, получаемые по облигации, реинвестируются под текущий процент.

Дюрация Маколея облигации равна 3,49 года. Это означает, что, если инвестор купит облигацию по текущей цене и продаст через 3,49 года, то он обеспечит по инвестициям в облигацию доходность 10% годовых, независимо от того, как будут изменяться процентные ставки на рынке. Данный факт проиллюстрирован расчетами, приведенными в таблице 5.1.

В таблице приведены три варианта конъюнктуры на рынке. В третьей колонке представлена ситуация, когда процентная ставка оставалась неизменной в течение всех последующих четырех лет. От реинвестирования купонов под данную ставку до момента продажи облигации через 3,49 года и продажи облигации в это время инвестор в сумме получил 1394,63 руб. В четвертой колонке показано, что за первый год обращения облигации процентная ставка выросла на 1% и оставалась неизменной в течение следующих трех лет. Поэтому все расчеты сделаны на основе 11%. В сумме инвестор получил 1394,72 руб. В пятой колонке конъюнктура соответствует случаю, когда в течение первого года ставка упала на 1% и оставалась неизменной на протяжении оставшегося времени. В итоге инвестор получил 1394,64 руб.

Таблица 5.1. Платежи по облигации ГОДЫ платеж по

облигации

(руб.) реинвестирование купонов под % 10% 11% 9% 1 100 100(і,і)²’⁴⁹ =126,78 100(l,l l)²*⁴⁹ = 129,67 100(l,09)²’⁴⁹ = 123,93 2 100 100(l,l)'-⁴⁹ = 115,26 100(1,11)¹⁴⁹ =116,82 100(l,09)^1,49 = 113,70 3 100 100(l,l)°’⁴⁹ = 104,78 100(1,11)⁰’⁴⁹ =105,25 100(l,09)°’⁴⁹ =104,31 3,49 1100 (при погашении) ПОО(і,і)"*^5,= 1047,81 1100(1,11)^-0’⁵¹ =1042,98 1100(l,09)^⁰⁵¹ = 1052,70 сумма 1394,63 руб. 1394,72 руб. 1394,64 руб. Таким образом, на момент времени равный дюрации облигации инвестор обеспечивает себе сумму денег порядка 1395 руб. независимо от изменения процентных ставок на рынке в течение обращения облигации. Данная сумма денег соответствует доходности в 10% годовых, так как инвестор купил обли

1394,6

1000

гацию за 1000 руб. и получил через 3,49 года 1394,6 руб.: ^З і-

-1 = 0,1 или

10%.

Почему в примере в конце периода равного дюрации облигации инвестор обеспечивает себе одинаковую сумму денег независимо от изменения процентных ставок? Купонной облигации с погашением через четыре года можно поставить в соответствие во времени некоторую бескупонную облигацию. По бескупонной облигации инвестор гарантированно получает в момент погашения ее номинал. Если найти такое временное соответствие между облигациями, то по купонной облигации в этот момент инвестор также должен гарантированно получить сумму, равную номиналу данной бескупонной облигации. В нашем примере таким эквивалентом четырехлетней облигации с купоном 10% выступает бескупонная облигация с номиналом 1394,6 руб., которая погашается через 3,49 года.

Пример 2.

Процентная ставка одинакова для всех периодов времени и равна 10% годовых. Компания хотела бы инвестировать 620921,32 руб. под данный процент, чтобы обеспечить через пять лет выплату по своим обязательствам в размере 1 млн. руб. Если инвестировать данную сумму средств в пятилетнии бескупонные облигации, то через пять лет она дорастет до 1 млн. руб.:

620921,32 • 1,1⁵ = ІОООООО/туб.

Допустим, что на рынке отсутствуют такие облигации. Поэтому компания решает инвестировать средства в купонные облигации. Купоны выплачиваются один раз в год. Первая облигация только что выпущена, погашается через четыре года, номинал 1000 руб., купон 10%, дюрация Маколея 3,49 года. Вторая облигация имеет номинал 1000 руб., купон 12%, погашается через восемь лет. Ее цена равна 1106,7 руб., дюрация Маколея 5,69 года.

Чтобы застраховаться от изменения процентных ставок в течение следующих пяти лет, инвестору следует построить портфель таким образом, чтобы его дюрация была равна пяти годам, т.е. времени погашения обязательства. Поэтому суммы, на которые следует купить первую и вторую облигации, можно определить из системы уравнений:

3,49#4 + 5,69б₈ = 5 лет ?₄+?_?=1

где ?₄ - уд. вес четырехлетней облигации в портфеле;

?_? - уд. вес восьмилетней облигации в портфеле.

Решая систему, получим: ?₄ =0,3136; ?_? =0,6864 Четырехлетнюю облигацию следует купить на сумму:

= 194,72 или 195 облигаций.

620921,32 0,3136 = 194720,93руб. Ее цена составляет 1000 руб. Поэтому необходимо купить: 194720,93

1000

Восьмилетнию облигацию покупаем на сумму:

620921,32 • 0,6864 = 426200,39дуб.

в количестве:

426200,39

1106,7

= 385,11 или 385 облигаций.

Рассмотрим динамику стоимости портфеля при изменении процентной ставки на рынке. Пусть в течение первого года ставка выросла на 1 %. По первой облигации купоны реинвестируются до момента ее погашения под 11 %. За следующие четыре года полученная сумма от реинвестирования купонов и погашения номинала одной облигации равна:

^(і,11⁴ -1)+1000 = 1470,97руб.

За пятый год данная сумма также реинвестируется под 11%:

1470,97-1,11 = 1632,78руб.

Общая сумма средств, полученная по четырехлетним облигациям, составит:

1632,78-195 = 318392,1дуб.

По восьмилетней облигации сумма средств от реинвестирования купонов за пять лет равна:

—(і,11⁵-і)=747,34дуб.

0,11^? ’

От продажи облигации через пять лет будет получена сумма:

120 (__1_

1,11^J

1000 .

0,11

- +-_г = 1024,44руб.

? ,,Л^Ъ) 1,11³

Общая сумма денег по одной восьмилетней облигации равна:

747,34 +1024,44 = 1771,78руб.

По всем восьмилетним облигациям она составляет:

1771,78 -385 = 682135,3руб.

Стоимость портфеля через пять лет равна:

318392,1 + 682135,3 = 1000527,4руб.

Таким образом, через пять лет инвестор будет располагать Імлн. руб. для погашения своих обязательств.

Рассмотрим другую ситуацию. Пусть в течение первого года ставка понизилась на 1%. По первой облигации купоны реинвестируются до момента ее погашения под 9%. За следующие четыре года полученная сумма от реинвестирования купонов и погашения номинала одной облигации равна:

—(l,09⁴ -1)+1000 = 1457,31руб.

0,09^? '

За пятый год данная сумма также реинвестируется под 9%:

1457,31-1,09 = 1588,47руб.

Общая сумма средств, полученная по четырехлетним облигациям, составит:

1588,47-195 =309751,65руб.

По восьмилетней облигации сумма средств от реинвестирования купонов за пять лет равна:

—(і,09⁵ -і)=718,17дуб.

0,09^? ’

От продажи облигации через пять лет будет получена сумма:

^ 1000 .

+ ——- = 1075,94руб.

120

0,09

1,09 J 1,09

Общая сумма денег по одной восьмилетней облигации равна:

718,17 +1075,94 = 1794,11руб.

По всем восьмилетним облигациям она составляет:

1794,11-385 = 690132,35руб.

Стоимость портфеля через пять лет равна:

309751,65 + 690732,35 = 1000484,0руб.

Таким образом, и в случае понижения процентной ставки инвестор будет располагать 1 млн. руб. через пять лет.

Портфель с требуемым значением дюрации можно построить из отдельных облигаций с разными величинами дюрации, так как дюрация портфеля является средневзвешенной дюрацией отдельных облигаций. В то же время, если в портфель включены облигации с дюрациями, существенно отличающимися друг от друга, возникает риск иммунизации, который состоит в том, что при изменении конъюнктуры рынка кривая доходности не будет смещаться параллельно. Иммунизация портфеля дает эффективный результат для небольших изменений в процентных ставках.

Данная стратегия содержит в себе элементы активных действий, так как портфель необходимо пересматривать при существенных изменениях процентной ставки и по прошествии некоторого времени. В последнем случае уменьшение времени и сокращение периода дюрации могут не совпадать. Поэтому портфель следует время от времени пересматривать с учетом новых процентных ставок и инвестиционного горизонта.

5.1.1.5. Определение дюрации Маколея и модифицированной дюрации облигации с помощью программы Excel

Программа Excel позволяет решать задачу определения дюрации облигации и соответственно дюрации портфеля облигаций. Рассмотрим расчет дюрации Маколея и модифицированной дюрации облигации на примере 1 из параграфа 5.1.1.4.

Пример 1.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год, погашается 1 февраля 2009 г. Инвестор покупает облигацию 1 февраля 2005 г. по номиналу. Процентная ставка одинакова для всех периодов времени и равна 10% годовых. Проценты по облигации начисляются из условия, что в каждом месяце 30 дней, в году - 360 дней. Рассчитать дюрацию Маколея облигации и модифицированную дюрацию.

Решение.

В ячейке А1 печатаем время покупки облигации: 01.02.2005; в А2 - время погашения: 01.02.2009; в АЗ - купонную ставку: 0,1 в А4 - доходность до погашения: 0,1; в А5 - частоту выплаты купонов за год: 1; в А6 - условие начисления процентов по купону: О. Ответ получим в ячейке В2, поэтому наводим на нее курсор и щелкаем мышью. Наводим курсор на значок мастера функций и щелкаем мышью. Появляется окно диалога “Мастер функций”. В левом поле “Категория” курсором выбираем строку “Финансовые” и щелкаем мышью. Строка высвечивается синим цветом. Чтобы рассчитать дюрацию Маколея, в правом поле “Функция” выбираем курсором команду “ДЛИТ” и щелкаем мышью. Строка высвечивается синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появляется окно диалога “ДЛИТ” (см. рис. 5.4).

длит-

Дата_согл |Г Дата_вступл_в_силу ["” Купон Г"

3J-

~3-

~3-

*3-

Частота!

Возвращает ежегодную продолжительность действия ценных бумаг с периодическими выплатами по процентам.

Дата_согл - это дата соглашения для ценных бумаг, выраженная как дата в числовом формате.

цифру 3,486852.

Для расчета модифицированной дюрации облигации открываем окно диалога “Мастер функций”. В левом поле “Категория” курсором выбираем строку “Финансовые” и щелкаем мышью. Строка высвечивается синим цветом. В правом поле “Функция” выбираем курсором команду “МДЛИТ” и щелкаем мышью. Строка высвечивается синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появляется окно диалога “МДЛИТ”. В поле строки “Да-тасогл” указывается дата покупки облигации; вносим в нее ячейку А1. В поле “Дата_вступл_в_силу” указывается дата погашения облигации; вносим в нее ячейку А2. В строке “Купон” указывается купон по облигации; вносим в нее ячейку АЗ. В строке “Доход” указывается доходность до погашения; вносим в нее ячейку А4. В строке “Частота” указывается периодичность выплаты купонов в течение года; вносим в нее ячейку А5. В строке “Базис” указывается условие начисления купонных процентов; вносим в нее ячейку А6 (или оставляем ее пустой). Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. В ячейке В2 получили модифицированную дюрацию - цифру 3,169865.

5.1.1.6. Размещение и заимствование средств под форвардную ставку

В процессе управления портфелем может возникнуть задача обеспечить размещение или заимствование в будущем средств под определенную процентную ставку. Например, менеджер ожидает через несколько месяцев выплату по акциям дивидендов или купонов по облигациям и хотел бы уже сегодня гарантировать себе размещение данных средств под определенный процент. Другой случай, менеджер ожидает роста доходности бумаг в будущем и хотел бы уже сегодня обеспечить себе для их покупки кредит под определенный процент, который позволит ему получить прибыль на разнице процентных ставок. Один из возможных вариантов решения задач - это обеспечить размещение или заимствование средств в будущем под форвардную ставку, если ее величина устраивает менеджера. Рассмотрим технику осуществления таких операций на примерах для периода времени в рамках года.

Пример 1.

Ставка спот на шесть месяцев равна 20% годовых, на четыре месяца -19,8% годовых. Через четыре месяца на акцию выплачивается дивиденд в размере 10 руб. Инвестор хотел бы разместить дивиденд через четыре месяца на два месяца под форвардную ставку.

Для периода времени меньше года часто используются вычисления на основе простого процента. Зависимость между форвардной и спотовыми ставками на основе простого процента имеет следующий вид:

V t -t Л l + к ^{2 1}

1 + г,

1 + г,

2,1

^h база

^h база

база

где г - спот ставка для периода t₂; г - спот ставка для периода t_x; г₂, - форвардная ставка для периода t₂ ; Отсюда форвардная ставка равна:

1 + Г,

база

'² база

-1

(5.13)

^Г2,1 ^—

1 + г,

V ¹ бша

В соответствии с (5.13) форвардная ставка для двух месяцев через четыре месяца составляет:

^Г 1 + 0,2—

12

1 + 0,198—

12

12

= 0,191369 или 19,1369%.

-1

6-4

Чтобы гарантировать данный процент через четыре месяца, менеджер сегодня занимает под 19,8% годовых на четыре месяца сумму равную дисконтированной стоимости дивиденда, т.е.:

= 9,380863039руб.

10

1 + 0,198(4/12)

и размещает ее на шестимесячном депозите под 20% годовых.

Через четыре месяца по кредиту он должен вернуть:

( 4"і

9,380863039 1 + 0,198— =10руб.

V 12/

Сумма кредита возвращается за счет полученного в этот момент дивиденда. Через полгода по депозиту менеджер получает сумму:

9,380863039^1 +0,2^-j = 10,31894934руб.

Фактический процент, который он обеспечил себе на 10 руб. по двухмесячному депозиту через четыре месяца равен:

10,31894934

10

— = 0,1913696 2

-1

Таким образом, с помощью рассмотренных действий менеджер может гарантировать себе размещение денег в будущем под форвардную ставку.

Пример 2.

(сохраняются условия предыдущего примера по процентным ставкам).

Менеджер хотел бы через четыре месяца занять 10 руб. на два месяца под форвардную ставку 19,13696%. Тогда он сегодня занимает на шесть месяцев под 20% годовых сумму равную дисконтированной стоимости дивиденда (дивиденд дисконтируется под четырехмесячную ставку на четыре месяца):

-¹⁰, , _ч = 9,380863039руб.

1 + 0,198(4/12) ^

и размещает ее на четырехмесячном депозите под 19,8% годовых. Через четыре месяца по депозиту он получает:

9,380863039

4 ^

1 + 0,198— = 10руб.

12/

Через шесть месяцев менеджер должен вернуть сумму кредита:

9,380863039

1 + 0,2— =10,31894934руб.

f ьЛ

12

Фактическая ставка заимствования денег составила:

10,31894934

10

— = 0,1913696 2

-1

Таким образом, с помощью рассмотренных действий менеджер может гарантировать заимствование денег в будущем под форвардную ставку.

5.1.2. Активные стратегии управления портфелем

Активную стратегию проводят менеджеры, которые полагают, что рынок не всегда, по крайней мере в отношении отдельных бумаг, является эффективным, а инвесторы имеют разные ожидания относительно их доходности и риска. В итоге цена данных активов завышена или занижена. Поэтому, активная стратегия сводится к частому пересмотру портфеля в поисках финансовых инструментов, которые неверно оценены рынком, и торговле ими с целью получить более высокую доходность, чем предлагает рынок в условиях равновесия для данного уровня риска.

Формируя портфель, менеджер должен определить, в каких пропорциях включать в него активы различных классов, например, акции крупных компаний, акции небольших компаний, краткосрочные облигации, долгосрочные облигации, зарубежные акции, зарубежные облигации и т.п. Такое решение называется решением по распределению средств по классам активов (asset allocation). Оно зависит от оценок менеджером доходности и риска по данным классам активов и коэффициента допустимости риска клиента". Доходности активов в рамках каждого из классов обычно имеют высокую степень корреляции, поэтому более важно выбрать классы активов, которые принесут наибольшую доходность в будущих условиях, чем выбрать самые лучшие активы внутри каждого из классов. Данное решение предполагает, что доходность портфеля в первую очередь определяется выбором классов активов и только во вторую очередь выбором конкретных активов в рамках данных классов. Выделяют стратегическое решение по распределению средств по классам активов (strategic asset allocation) и тактическое решение по распределению средств (tactical asset allocation). Первое из них основывается на долгосрочных - до десяти лет -ожиданиях менеджера в отношении риска и доходности классов активов. Второе учитывает краткосрочные ожидания в отношении динамики риска и доходности данных классов активов. При тактическом решении обычно рассматривается временной период до года или меньше. В его рамках принимаются временные корректировки в составе портфеля по классам активов, например, на основе технического анализа или оценки текущей рыночной конъюнктуры. Тактическое решение по распределению средств может быть обусловлено заключением менеджера о текущей завышенное™ или заниженное™ курсов ценных бумаг. Поэтому он ожидает на рынке соответствующую коррекцию цен в краткосрочной перспективе. Вывод о неверной оценке рынком стоимости бумаг можно сделать, например, на основе таких коэффициентов как ставка дивиденда, текущая цена/балансовая стоимость акции, текущая цена/чистая прибыль на акцию. В качестве синонима понятия “тактическое решение по распределению средств” используют также термин “market timing”.

Тактическое решение может явится результатом оценок макроэкономической конъюнктурой на следующий период. Такой подход именуют “top-down asset allocation” - тактическое решение на основе анализа сверху вниз, - т.е. отталкиваясь от макроэкономики, состояние которой определяет доходность активов. Оценку доходности можно сделать на основе многофакторной модели, где факторами риска выступают фундаментальные экономические переменные:

^гс, = Л/і + Pi, h + — + Pn,h + ^?c, > (5.14)

где r_c - доходность i -го класса активов;

/,, /₂ ,.../„ - макроэкономические переменные;

Д , /?₂ - коэффициенты чувствительности доходности г-го класса ак

тивов к макроэкономическим факторам;

е_с - компонент доходности і -го класса активов, не зависящий от макроэкономических переменных.

Оценив коэффициенты чувствительности на основе прошлых данных статистики, менеджер с помощью уравнения (5.14) делает оценку доходности по классам активов, отталкиваясь от своих прогнозов краткосрочной динамики макроэкономических переменных.

На основе стратегического решения менеджер определяет долгосрочные уд. веса по- каждому классу активов в портфеле и временно корректирует их на каждый следующий год с помощью тактического решения. В случае изменения долгосрочных прогнозов экономической или политической ситуации менеджер будет пересматривать уд. веса классов активов в портфеле в рамках стратегического решения.

Удельные веса, которые придаются в портфеле каждому из классов активов, могут быть фиксированными или гибкими. В результате изменения стоимости активов их уд. веса в портфеле изменяются. Поэтому при поддержании фиксированных весов состав портфеля периодически пересматривают, например, ежегодно или после каждого значительного изменения конъюнктуры, чтобы вернуться к первоначальным пропорциям. При поддержании гибких уд. весов портфель пересматривают только после того, как уд. вес какой-либо категории активов вышел за рамки назначенного диапазона.

Менеджер должен выбрать конкретные активы в рамках каждого класса. Такое решение называется решением по выбору активов (security selection). Выбор актива имеет значение в том случае, когда менеджер в целом согласен с ситуацией на рынке относительно большей части активов, но полагает, что некоторые из них неверно оценены. В этом случае он покупает активы с положительной альфой и осуществляет короткие продажи активов с отрицательной альфой. Между решением по распределению средств и выбором активов может присутствовать промежуточная ступень, когда менеджер распределяет средства по группам внутри каждого класса, например, между кратко- средне- и долгосрочными облигациями, акциями по отраслям экономики.

Активную стратегию менеджер может строить на основе приобретения рыночного портфеля в сочетании с кредитованием или заимствованием. Ее отличительной особенностью являться то, что он включает в портфель активы с положительной альфой в большей пропорции, чем их удельный вес в рыночном портфеле, а активы с отрицательной альфой в меньшей пропорции.

Вследствие изменения конъюнктуры рынка менеджер периодически будет пересматривать портфель. Покупка и продажа активов влечет дополнительные комиссионные расходы. Поэтому, определяя целесообразность пересмотра портфеля, следует учесть в издержках данные расходы, поскольку они снижают доходность портфеля.

Сложно быть специалистом по всем активам. В связи с этим в случае формирования большого портфеля целесообразно разбить его на несколько небольших подпортфелей по группам активов, каждый из которых будет управляться отдельным менеджером. В такой ситуации целесообразно также иметь еще одного менеджера, который следил бы за общим риском портфеля.

Приведем несколько примеров активного управления портфелем.

5.1.2.1. Использование инструментов денежного рынка

Пример 1.

Менеджер полагает, что краткосрочные ставки будут падать. Тогда целесообразно брать краткосрочные кредиты и размещать средства в более долгосрочные активы. Допустим, одномесячный кредит можно взять под 2% годовых. ГКО с истечением через три месяца приносит доходность 3% годовых и стоит 992,56 руб. Менеджер полагает, что на второй месяц одномесячный кредит можно будет взять под 1,8% годовых, а на третий месяц - также под 1,8%. Он берет одномесячный кредит на сумму 992,56 руб. под 2% годовых и размещает его в трехмесячное ГКО. Допустим, он оказался прав относительно будущей конъюнктуры процентных ставок. Для погашения первого кредита он берет второй месячный кредит под 1,8%. Для погашения второго кредита - третий месячный кредит под 1,8%. Общая сумма, выплаченная менеджером по кредитам за трехмесячный период, составила:

992,56(1 + 0,02 /12Хі + 0,018 /12)² = 997,2руб.

При погашении ГКО через три месяца менеджер получает сумму 1000 руб. Его доход составил:

1000-997,:2 = 2,8руб.

Если менеджер ошибся с прогнозом конъюнктуры, и процентные ставки в будущем выросли, то он мог понести и убыток.

Пример 2.

Менеджер ожидает, что краткосрочные ставки вырастут. Поэтому он берет более долгосрочный кредит и размещает его последовательно в ряд более краткосрочных активов. Допустим, ставка по трехмесячному кредиту равна 2,2% годовых. ГКО с погашением через месяц приносит 2% годовых и стоит 998,34 руб. Менеджер полагает, что в последующие месяцы доходность одномесячных ГКО повысится, поэтому он берет кредит на три месяца в сумме 998,34 руб. и покупает ГКО с погашением через один месяц. Через месяц процентные ставки на рынке выросли, и при погашении ГКО он покупает на второй месяц одномесячное ГКО с доходностью 2,5%, а еще через месяц одномесячное ГКО с доходностью 2,8%. По кредиту менеджер должен вернуть сумму:

998,34[і + 0,022(3/12)] = 1003,83руб.

По ГКО он получит сумму:

998,34(1 + 0,02 /12Хі + 0,025 /12Хі + 0,03 /12) = 1004,59руб.

Его доход составил:

1004,59-1003,83 = 0,16руб.

Если менеджер ошибся с прогнозом конъюнктуры, и процентные ставки в будущем упали, то он мог понести и убыток.

5.1.2.2. Использование кривой доходности

Кривая доходности обычно имеет восходящую форму как показано на рис.

5.3, т.е. краткосрочные ставки меньше среднесрочных, а они в свою очередь меньше долгосрочных. Однако временно на рынке в силу каких-либо причин может сложиться ситуация как показано на рис. 5.5. Однако через некоторое время кривая примет свою обычную восходящую форму. Поэтому можно предположить, что доходность среднесрочной облигации А вырастет, и цена ее упадет, а доходность долгосрочной облигации В понизится, и цена ее увеличится. Поэтому целесообразно осуществить короткую продажу облигации А и купить облигацию В. После того как кривая доходности примет свою обычную форму надо купить облигацию А и продать облигацию В.

г, модифицированная дюрация - D_m. Облигация страхуется с помощью другой облигации, назовем ее хеджирующей облигацией. Цена ее равна P_h, доходность до погашения - r_h, модифицированная дюрация - D_mh. Для страхования стоимости позиции необходимо создать хеджирующий портфель, включив в него хеджируемую и хеджирующую облигации. Стоимость хеджирующего портфеля (р ) равна:

P_p=P + hP_h,

где h - количество хеджирующей облигации.

При изменении процентной ставки стоимость портфеля изменится на величину dP_p:

dP_p = dP + hdP_h ,

где dP - изменение стоимости хеджируемой облигации; dP„- изменение стоимости хеджирующей облигации.

Инвестор заинтересован в сохранении неизменной стоимости портфеля. Поэтому необходимо построить его таким образом, чтобы:

dP_p =dP+hdP_h =0 (5.15)

Изменение стоимости первой и второй облигаций можно представить как:

dP = -D_mPdr (5.16)

(5.17)

(5.18)

(5.19)

dPh — P*mhPyA^rh

Подставим выражения для dP и dP_h в (5.15):

-D_mPdr-hD_mhP_hdr_h =0

Найдем из равенства (5.18) величину h:

, P>_mPdr h =--z-

Р*тиРи^^ГЬ

Выражение (5.19) определяет количество хеджирующей облигации в портфеле инвестора. Знак минус говорит о том, что вторую облигацию необходимо продать.

В случае параллельности сдвигов кривых доходностей при изменении процентных ставок dr = dr_h, и равенство (5.19) принимает вид:

(5.20)

Р_тР

PmhPh

В формулах (5.19) и (5.20) использована модифицированная дюрация. Если кривая доходности параллельна оси абсцисс, т.е. доходность до погашения для любых временных периодов одинаковая, то вместо модифицированной дюрации можно использовать дюрацию Маколея:

(5.21)

DP D Р ’

¹-'h^rh

где D и D_h дюрации Маколея соответственно первой и второй облигаций.

Пример.

Портфель инвестора состоит из пяти одинаковых облигаций, которые погашаются через восемь лет. Номинал облигаций 1000 руб., купон 12%, выплачивается один раз в год, цена 1106,7 руб. Портфель страхуется с помощью продажи четырехлетних облигаций. Их номинал 1000 руб., купон 10%, выплачивается раз в год, цена 1000 руб. Кривая доходности параллельна оси абсцисс. Дюрация Маколея четырехлетней облигации равна 3,49 года, восьмилетней - 5,69 года. Определить какое количество четырехлетних облигаций следует продать инвестору.

Решение.

В соответствии с формулой (5.21) на каждую восьмилетнюю облигацию следует продать:

5,69 1106,7 ₁₀ *

-= 1,8 четырехлегтих облигации.

3,49 1000

Для страхования портфеля надо продать:

5 • 1,8 = 9 четырехлегтих облигаций.

5.1.2.4. Хеджирование портфеля облигаций с помощью показателей дюрации и кривизны

Хеджирование с помощью показателя дюрации страхует позицию инвестора только от небольших изменений процентной ставки. При значительных изменениях конъюнктуры необходимо наряду с дюрацией использовать и показатель кривизны'⁵. Для этого формируют хеджирующий портфель, в который входит первоначальный портфель инвестора и, по крайней мере, два хеджирующих актива. Обозначим стоимость, модифицированную дюрацию и кривизну первоначального портфеля через Р₀, D_m0 и соп?₀, а стоимости, модифицированные дюрации и кривизну хеджирующих активов соответственно через Р_І и Р₂, D_ml и D_ml и соп?_х и соп?₂. Актив инвестора будет иммунизирован от изменения процентной ставки, если в результате ее изменения стоимость хеджирующего портфеля останется неизменной. Поэтому можно записать:

dP_p = dP₀ + h_xdP_x + h₂dP₂ = 0, (5.22)

где dP_p - изменение стоимости хеджирующего портфеля;

/г, - количество первой облигации в хеджирующем портфеле; h₂ - количество второй облигации в хеджирующем портфеле.

Представим изменения стоимости портфеля инвестора и хеджирующих облигаций с помощью показателей дюрации и кривизны:

dP₀ = -D_m0P₀dr₀ + ^conv₀P₀(dr₀f, ^dpx =-D_m\P\dr_x + ^conv_xP_x{dr_x)², dP₂ =-D_m2P₂dr₂ + ^ conv₂P₂ (dr₂ f

Подставим данные формулы в формулу (5.22):

- Аио^сА +^conv₀P₀(drJ-h_xD_mXP_xdr_x + h_x ^conv_xP_x(dr_xf

(5.23)

- h₂D_m2P₂dr₂ + h₂ ^conv₂P₂{dr₂)² = 0

На основе равенства (5.23) составим два равенства, объединив в первое слагаемые, содержащие показатели дюрации, а во второе - показатели кривизны:

(5.24)

(5.25)

-^Dm0^p0^dr0 - ^hi^Dm\^p\dr_x ~ h₂D_m2P₂dr₂ = 0,

1 2 1 2 1 2 -conv₀^p0(dr₀) +h_x-conv_xP_x(dr_x) + h₂-conv₂P₂(dr₂) =0

Допустим, что при изменении процентных ставок кривые доходности смещаются параллельно, т.е. dr₀ = dr_x = dr₂. Тогда равенства (5.24) и (5.25) можно переписать как:

Гh_xD_mXР_х + h₂D_m2P₂ — D_m0P₀ ^ 2^

\h_xconv_xP_x + h₂conv₂P₂ = -conv₀P₀

Стоимость хеджирующего портфеля зависит от уд. весов хеджирующих облигаций, которые определяем из системы (5.26).

Пример 1.

В портфель входят сто облигаций номиналом 1000 руб., купоны выплачиваются один раз в год. До погашения облигаций 8 лет, купон 12%, доходность до погашения 11%, цена 1051,46 руб., модифицированная дюрация 5,07, кривизна 39,05.

Инвестор хеджирует портфель с помощью двух облигаций номиналом 1000 руб. До погашения первой бумаги 4 года, купон 10%, доходность до погашения 10%, цена 1000 руб., модифицированная дюрация 3,17, кривизна 13,72. Вторая облигация погашается через 10 лет, купон 14%, доходность до погашения 12%, цена 1113,0 руб., модифицированная дюрация 5,49, кривизна 44,26. Предполагается, что кривая доходности будет смещаться параллельно. Необходимо определить количество хеджирующих облигаций в хеджирующем портфеле.

Решение.

Подставим данные задачи в систему уравнений (5.26):

Г 3,17 1000/г, +5,49-1113/г₂ =-5,07-105146 [13,72-1000/г, + 44,26-1113/г₂ =-39,05 105146

или

(5.27)

3170/г, +6110,3 7 /г₂ =-533090,22 13720/г, +49261,3 8/г₂ =-4105951,3

Систему уравнений (5.27) удобно решить в матричной форме. В матричной форме систему можно записать как:

Ah = B (5.28)

Ее решение имеет вид;

/г = А~'В ,

где А ¹ обратная матрица к матрице А. В нашем примере:

^ 3170 ,13720

6110,37"

49261,38,

533090,22"

,-4105951,3,

Поэтому уравнение (5.28) можно представить как;

^ 3170 6110,37 Y /г, ^ - 533090,22"*

-4105951,3

13720 49261,38

Соответственно его решение равно:

V ^ 3170 6110,37" -1 '-533090,22" '-16,203 Г ,13720 49261,38, ,-4105951,3, ,-78,8375, Полученный ответ говорит о том, что для формирования хеджирующего портфеля следует продать первую и вторую облигации в количествах соответственно 16,2031 и 78,8375 штук. Поскольку нельзя дробить облигации, то надо продать 16 первых облигаций и 79 вторых облигаций. Стоимость хеджирующих облигаций в портфеле инвестора в сумме составит:

1000/губ. • 16+1113руб. • 79 = 103921руб.

Допустим, что в примере 1 инвестор хотел бы, чтобы сумма стоимости хеджирующих облигаций в портфеле равнялась стоимости первоначального

портфеля. Тогда необходимо использовать еще одну облигацию, и решить следующую систему уравнений:

цена третьей облигации;

D_m3 - модифицированная дюрация третьей облигации;

соп?₃ - кривизна третьей облигации;

А₃ - количество третьей облигации в хеджирующем портфеле.

Пример 2.

В портфель входят сто облигаций номиналом 1000 руб., купоны выплачиваются один раз в год. До погашения облигаций 8 лет, купон 12%, доходность до погашения 11%, цена 1051,46 руб., модифицированная дюрация 5,07, кривизна 39,05.

Инвестор хеджирует портфель с помощью трех облигаций номиналом 1000 руб. До погашения первой бумаги 4 года, купон 10%, доходность до погашения 10%, цена 1000 руб., модифицированная дюрация 3,17, кривизна 13,72. До погашения второй бумаги 5 лет, купон 10%, доходность до погашения 10,2%, цена 992,46 руб., модифицированная дюрация 3,78, кривизна 19,28. Третья облигация погашается через 10 лет, купон 14%, доходность до погашения 12%, цена 1113,0 руб., модифицированная дюрация 5,49, кривизна 44,26. Предполагается, что кривая доходности будет смещаться параллельно. Необходимо определить количество хеджирующих облигаций, если стоимость хеджирующего портфеля должна остаться равной стоимости портфеля инвестора.

Решение.

Подставим данные задачи в систему уравнений (5.29):

1 OOCfc, +992,46ft₂ +1113ft, = ¦-105 Г46

< 3,17 • 1 ООСА, +3,78-992,46^ +5,49-11Щ =-5,07-105146 13,72-1000ft, +19,28-992,46ft, +44,26-1113^ =-39,05-105146

или

(5.30)

1000ft, +992,46ft₂ +1113ft₃ = -105146 < 3170ft, +3751,5ft₂ +6110,37ft₃ =-533090,22 13720ft, +19134,63ft₂ +49261,3 8A, =-4105951,3

Решим систему уравнений (5.30) в матричной форме:

^ 1000 992,46 1113 УаЛ Г -105146 "

3170 3751,5 6110,37 ft₂ = -533090,22

_?13720 19134,63 49261,38J^A₃ J [-4105951,3,

м ^1000 992,46 1113 ^ -1 ' -105146 ^ ^-29,038" h₂ = 3170 3751,5 6110,37 -53309Q22 = 13,674 _v13720 1913463 4926 tf 8, _v—410595 l,3_{y v}-80,574_y Полученный ответ говорит о том, что для формирования хеджирующего портфеля следует продать первую и третью облигации в количестве соответственно 29,038 и 80,574 штук и купить 13,674 штук второй облигации. Поскольку нельзя дробить облигации, то надо продать 29 первых облигаций и 81 третью облигацию и купить 14 вторых облигаций.

5.1.2.5. Выбор актива при пересмотре портфеля

При активном управлении портфелем менеджер периодически будет пересматривать его состав с целью получить более высокую доходность. Одним из способов отбора новых бумаг в портфель может служить правило Шарпа, основанное на использовании коэффициента Шарпа.

E(^ri)~^rf

Коэффициент Шарпа =-— (5.31)

где Е (а*) - ожидаемая доходность / -го актива; r_f- ставка без риска;

сг - стандартное отклонение доходности / -го актива.

В числителе выражения (5.31) представлена ожидаемая доходность актива сверх ставки без риска, т.е. премия за риск, в знаменателе - риск актива. Чем больше данный показатель, тем более привлекателен актив для включения его в портфель. В то же время, поскольку риск портфеля зависит от корреляции доходностей активов, то принять решение о целесообразности включения нового актива в портфель можно, определив коэффициент Шарпа для текущего портфеля и портфеля с новым активом. Коэффициент Шарпа для портфеля рассчитывается по формуле:

ИЛИ

Коэффициент Шарпа - ожидаемая доходность портфеля; r_f- ставка без риска;

а_р- стандартное отклонение доходности портфеля.

Если значение коэффициента для нового портфеля больше чем для текущего, то актив целесообразно включить в портфель. В то же время, если ориентир ожидаемой доходности инвестора остался неизменным, то также должно выдерживаться условие, что ожидаемая доходность нового портфеля не меньше ожидаемой доходности текущего портфеля. В формулах (5.31) и (5.32) в числителе присутствует ставка без риска. Поскольку она является константой для каждого данного момента времени, то инвестиционные решения можно принимать только на основе ожидаемой доходности и риска портфеля (актива).

Инвестиционные решения можно принимать также с использованием показателя VaR , Данный подход предложил К.Доуд. Допустим, инвестор решил включить в текущий портфель новый актив А с ожидаемой доходностью Е(г_Л).

Согласно коэффициенту Шарпа, критерий принятия решения о его включении можно записать как:

ожидаемая доходность нового портфеля;

е(г_р ) - ожидаемая доходность текущего портфеля;

<у_р - риск нового портфеля;

<у_р - риск текущего портфеля.

Уд. вес актива А в новом портфеле составляет ?_А, уд. вес текущего портфеля в новом портфеле равен \ — ?_А. Тогда ожидаемая доходность нового портфеля составит:

VaR портфеля;

Р_р - стоимость портфеля;

<7 - стандартное отклонение доходности портфеля, соответствующее времени, для которого рассчитывается VaR;

Z_a - количество стандартных отклонений, соответствующих уровню доверительной вероятности а .

Из (5.37) стандартные отклонения текущего и нового портфелей соответственно равны:

VaR_n

O’ =--

Р„ р 2

Ра ^а

VaR_n

а =-—

^р° Р Z

Ра ^а

(5.38)

Если инвестор сохраняет стоимость нового портфеля равной стоимости текущего портфеля, то знаменатели выражений (5.38) являются одинаковыми, поскольку VaR рассчитаны для одинакового уровня доверительной вероятности а. Отсюда отношение стандартных отклонений нового и текущего портфелей равно отношению их значений VaR, т.е.:

а_п VaR_n

Ра _ Ра

(5.39)

VaR

Ро

Ро

Подставим в (5.36) вместо отношения стандартных отклонений портфелей их значение из (5.39):

VaR

Е(гМЕ{г_р.\

Ра

(5.40)

?_Л

VaR_n

Ро

VaR нового портфеля равен VaR текущего портфеля плюс приростный VaR (incrVaR), т.е.:

(5.41)

VaR_n =VaR_n +IncrVaR

Pa Po

Подставим значение VaR^ из (5.41) в (5.40):

%.)

VaR„ + IncrVaR

(5.42)

?_Л

VaR.

Ро

После преобразования получим:

/ ч ЕІг)

^fIncrVaR^

VaR

Ро J

или

^ 1 Іпсг?аГ

1 +

Е(г_а)>-Е{г_к)

(5.43)

?_Л VaR

Ро J

Таким образом, если ожидаемая доходность актива А больше чем правая часть неравенства (5.43) то актив целесообразно включить в портфель.

5.1.3. Оценка вероятности поступления на фондовый рынок информации, влияющей на курс ценной бумаги

Курсы ценных бумаг изменяются в связи с поступлением на рынок новой информации. Ее появление часто носит случайный характер. В связи с этим в рамках активной стратегии управления портфелем при принятии решений может оказаться полезным оценить вероятность поступления на рынок значимой информации в следующие моменты времени. Такую оценку можно получить на основе аналитического аппарата теории случайных процессов.

Будем рассматривать поступление информации на рынок как поток событий, наступающих в случайные моменты времени t_n. Событием будем

считать каждое новое сообщение, оказывающее существенное влияние на фондовый рынок, например, обнародование очень позитивной или негативной информации об экономическом развитии страны, моратории государства по выплатам в счет своих долговых обязательств, банкротстве компании, входящей в категорию голубых фишек, крупном террористическом акте и т. п. Такой поток событий является дискретным. События могут поступать в любой момент времени. Поэтому это поток с непрерывным временем. Число событий, поступающих за один временной интервал, как правило, не зависит от числа событий, наступивших за другой не пересекающийся с ним отрезок времени. Такой поток называют потоком без последействия. Отсутствие последействия означает, что события потока представляют собой независимые случайные величины.

Практика показывает, что информация, вызывающая большие изменения курсов ценных бумаг, поступает на рынок не часто. Поэтому можно сказать, что вероятность наступления за короткий отрезок времени двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, т.е. события в потоке появляются поодиночке. Такой поток называют ординарным. Вероятность поступления на рынок нового сообщения за некоторый отрезок времени не зависит от момента его начала, а зависит только от его длины. Поток событий с таким свойством называется стационарным. Стационарность означает, что его вероятностные характеристики не изменяются с течением времени. Поток событий, характеризующийся свойствами отсутствия последействия, ординарности и стационарности, называется простейшим или стационарным пуассоновским потоком. Среднее число событий, приходящееся на единицу времени, называется интенсивностью или плотностью потока. Для стационарного потока его интенсивность является величиной постоянной. Можно также подчеркнуть, что если накладываются несколько независимых, стационарных и ординарных потоков с несильно отличающимися интенсивностями, то в сумме получается поток близкий к простейшему. Его интенсивность равна сумме интенсивностей входящих в него потоков.

Для простейшего потока вероятность наступления на отрезке времени длинной г ровно к событий определяется по закону Пуассона:

Р{Х(т) = к} = ^-е~*’ , (5.44)

к\

где х(т) - случайная величина, равная числу событий, наступающих в простейшем потоке на отрезке времени длинной г;

Я - интенсивность простейшего потока; произведение (Ят) представляет собой среднее число событий, наступающих за время г.

Поток событий, оказывающих существенное влияние на конъюнктуру фондового рынка, теоретически можно рассматривать как простейший пуассоновский поток. Поэтому формула (5.44) позволяет оценить вероятность поступления на рынок существенных событий за интересующий интервал времени.

Пример 1.

Наблюдения за несколько лет показали, что среднее число событий, оказавших сильное влияние на курс акции, составило в среднем два события в месяц. Необходимо определить вероятность того, что в течение следующих двух месяцев: а) не наступит ни одного существенного события; б) наступит одно событие; в) наступит более одного события.

Решение.

а) В качестве единицы временного интервала возьмем один месяц, тогда г = 2. Интенсивность потока Я = 2. Вероятность того, что за два месяца не наступит ни одного существенного события, согласно формуле (5.44) равна:

Р{Х( 2) = 0} = ^р-е-²² =0,0183

б) Вероятность наступления за два месяца только одного события составит:

Р{Х( 2) = 1} = ^L_e-²² = 0,0733

в) Более одного события за два месяца наступит с вероятностью:

р{х(2) > 1} = 1 - 0,0183 - 0,0733 = 0,9084

В примере мы рассматривали вероятность появления или не появления событий за определенный промежуток времени, полагая, что они окажут влияние на курс акции. Однако в конечном итоге инвестора интересует не столько факт наступления события как такового, а реакция на него рынка. Поэтому интенсивность потока можно определить не по числу собственно значимых событий, а по степени изменения курса акции за день. Допустим, инвестор полагает, что важная информация приводит к изменению курса бумаги более чем на 2% в день. Тогда интенсивность потока определяется как среднее количество дней за единицу времени (в нашем примере за месяц), когда курс изменялся более чем на 2%. Поэтому задачу можно сформулировать следующим образом: определить вероятность того, что в течение следующих двух месяцев дневное изменение курса акции: а) не превысит 2% и т.д.

Интерес может представить вероятностная оценка длины интервала времени, который может пройти между наступлениями двух существенных событий. Чтобы ответить на данный вопрос, надо найти распределение интервала времени Т между двумя произвольными событиями простейшего пуассоновского потока. Оно задается показательным (экспоненциальным) законом. Его функция распределения имеет вид:

P{T<t} = \-е~^л' , (5.45)

где Р{Т < /} — вероятность того, что интервал времени Т будет меньше задаваемого отрезка времени t;

Л - интенсивность простейшего потока.

Пример 2.

Для условий примера 1 найти вероятность того, что между двумя существенными событиями пройдет время: а) меньше двух недель; б) не меньше двух недель.

Решение.

В качестве единицы временного интервала мы взяли один месяц, тогда период времени в две недели равен значению 0,5. Интенсивность потока Л = 2.

а) Вероятность того, что между двумя существенными событиями пройдет меньше двух недель согласно формуле (5.45) равна:

Р{Т < 0,5}= 1-е^-20’⁵ =0,6321

б) Вероятность того, что между двумя существенными событиями пройдет не меньше двух недель составляет:

Р{Т > 0,5} = 1 - (1 - е~²'^0,5) = 0,3679

5.1.4. Использование программы Excel для определения вероятности наступления события

Программа Excel позволяет решать вероятностные задачи, приведенные в предыдущем параграфе. Рассмотрим их последовательно.

Пример 1, задача а.

Внесем в ячейку А1 временной интервал, т.е. цифру 2, в ячейку А2 - интенсивность потока, т.е. цифру 2, в ячейку АЗ - цифру 0, т.е., что не наступит ни одного события. В ячейке В1 получим произведение Лт. Для этого выделяем ее мышью и печатаем:

= ПРОИЗВЕДИ 1; А2)

и нажимаем клавишу Enter.

Ответ получим в ячейке С1. Поэтому выделяем ее мышью. Открываем окно “Мастер функций”, в левом поле выбираем курсором строку “Статистические” и щелкаем мышью. В правом поле курсором выбираем строку “ПУАССОН” и щелкаем мышью кнопку ОК. Появилось окно “ПУАССОН”. В первую строку под названием “X” вводим ячейку АЗ, во вторую строку - ячейку В1, в строке “Интегральный” печатаем цифру 0 (или слово ЛОЖЬ) и щелкаем мышью кнопку ОК. В ячейке С1 появился ответ - цифра 0,018316.

В качестве альтернативного способа решения задачи можно в ячейке С1 напечатать:

=ПУАССОН(1 ;4;0) или =ПУАССОН(АЗ;В1;0) и нажать клавишу Enter.

Пример 1, задача б.

Задача б решается в такой же последовательности, как и задача а. Единственное отличие заключается в том, что в ячейке АЗ печатаем цифру 1 и, соответственно, вводим адрес этой ячейки в первую строку “X” “Мастера функций”. В ячейке С1 получим ответ - цифру 0,073263.

Пример 1, задача в.

Для ответа на вопрос о вероятности того, что за рассматриваемый период наступит более одного события, вначале необходимо определить вероятность появления не более одного события, т.е. не наступит ни одного события или только одно событие. Данный вопрос решается аналогично алгоритму примера 1, задачи б. Отличие состоит в том, что в строку “Интегральный” следует поставить цифру 1 или напечатать слово “ИСТИНА”. В ячейке С1 получим цифру 0,091578. После этого получим в ячейке С2 вероятность появления более одного события. Для этого выделяем данную ячейку и печатаем в ней формулу:

= 1-С1

и нажимаем Enter. В ячейке появится цифра 0,908422.

Пример 2, задача а.

Внесем в ячейку А1 временной интервал, т.е. цифру 0,5, в ячейку А2 - интенсивность потока, т.е. цифру 2. Ответ получим в ячейке В1. Поэтому выделяем ее мышью. Открываем окно “Мастер функций”, в левом поле выбираем курсором строку “Статистические” и щелкаем мышью. В правом поле курсором выбираем строку “ЭКСПРАСП” и щелкаем мышью кнопку ОК. Появилось окно “ЭКС-ПРАСП”. В первую строку под названием “X” вводим ячейку А1, во вторую строку под названием “Лямбда” - ячейку А2, в строке “Интегральный” печатаем цифру I и щелкаем мышью кнопку ОК. В ячейке В1 появился ответ — цифра 0,632121.

5.2. Механические стратегии по размещению средств по классам активов

Механические стратегии по размещению средств по классам активов основаны на следовании менеджером определенному правилу. Рассмотрим возможные варианты механических стратегий.

5.2.1. Стратегия постоянной пропорции между классами активов

Стратегия постоянной пропорции предусматривает инвестирование средств в разные классы активов в определенной пропорции и поддержание выбранного соотношения на протяжении всего периода управления портфелем. Изменение цен активов на рынке будет нарушать установленную пропорцию. Для ее восстановления менеджер периодически должен пересматривать портфель. Пересмотр портфеля целесообразно осуществлять после каждого существенного движения конъюнктуры рынка и/или с равной периодичностью. Данная стратегия хорошо подходит для волатильного рынка. Она позволяет получить более высокую доходность по сравнению с пассивной стратегией, однако принесет более низкий результат по сравнению с пассивной стратегией на растущем или падающем рынках. Поясним сказанное на примерах.

Пример 1.

Имеется два портфеля, состоящих из акций и облигаций в пропорции 70% к 30%. В первом портфеле указанная стоимостная пропорция активов поддерживается на постоянном уровне, второй управляется пассивно. В результате подъема на рынке цена акций выросла, что привело к стоимостной пропорции активов в портфелях 80/20. Для сохранения первоначальной пропорции менеджер первого портфеля продает часть акций и на вырученные деньги покупает облигации. Допустим, рост курса акций продолжается. Тогда дальнейший прирост стоимости первого портфеля происходит более медленным темпом по сравнению со вторым, поскольку в нем количество акций меньше чем во втором.

Пример 2.

Пусть в примере 1 на рынке наблюдается понижающаяся конъюнктура. Для поддержания постоянной ценовой пропорции между активами менеджер первого портфеля продает часть облигаций и покупает акции. Если падение курсов продолжается, то первый портфель в большей степени теряет стоимость по сравнению со вторым, в котором количество акций осталось неизменным.

Пример 3. (Сохраняются начальные условия примера 1).

На рынке наблюдается частая волатильность. Цены акций выросли. Менеджер первого портфеля продал часть акций и инвестировал деньги в облигации. В следующий момент курсы акций упали. По сравнению со вторым портфелем первый портфель потерял меньшую сумму за счет того, что он включает меньшее количество акций. По итогам падения курсов акций первый портфель пересматривается в сторону увеличения количества акций за счет продажи части облигаций. В следующем периоде на рынке наблюдается подъем. Стоимость второго портфеля восстанавливается до первоначального уровня. Первый портфель приносит дополнительную доходность за счет прироста курса большего количества акций. Таким образом, в результате частого изменения курсовой стоимости акций первый портфель будет показывать лучший результат по сравнению с пассивной стратегией.

Рассмотренную механическую стратегию следует проводить менеджеру, который обладает способностью предсказывать изменение краткосрочных рыночных трендов.

5.2.2. Стратегия диапазона

Разновидностью предыдущей стратегии является стратегия плавающего диапазона. Ее особенность состоит в следующем: выбирается пропорция, в которой классы активов включатся в первоначальный портфель. Например, исходная пропорция составляет 70% акций и 30% облигаций. Портфель пересматривается только в том случае, если пропорция акций в нем превысит 80% или станет меньше 60%. Если в результате подъема на рынке уд. вес акций превысил 80%, то часть их продается для восстановления первоначальной пропорции 70/30. Если вследствие падения рынка уд. вес акций оказывается меньше 60%, то продаются облигации и докупаются акции до 70% стоимости портфеля. Такая стратегия в меньшей степени характеризуется недостатками, представленными в примерах 1 и 2, так как в случае роста рынка пропорция акций в портфеле уменьшается не сразу, а только после достижения верхней границы. Поэтому стоимость портфеля будет возрастать при сохранении повышающейся конъюнктуры аналогично пассивному портфелю. Соответственно при падении стоимости акций их количество будет увеличиваться не сразу, а после достижения нижней границы. Поэтому при сохранении понижающейся тенденции потери в стоимости портфеля не будут увеличиваться в большей степени, чем пассивного портфеля до достижения нижней границы.

5.2.3. Стратегия плавающей пропорции

Стратегия плавающей пропорции похожа на стратегию диапазона. Ее отличие заключается в том, что при достижении границ пересмотра портфеля уд. веса активов возвращаются не к первоначальной пропорции, а к верхнему или нижнему значениям новой пропорции. Например, первоначальный портфель формируется из 50% акций и 50% облигаций и пересматривается, если стоимость акций превысит 70% стоимости портфеля или окажется ниже 30% его стоимости. При превышении уровня в 70% новая пропорция акций устанавливается не в 50%, а в 40%. При уменьшении стоимости акций ниже 30% их пропорция увеличивается до 60%.

Данная стратегия обладает теми же сравнимыми преимуществами, что и стратегия диапазона и в большей степени позволяет увеличивать стоимость портфеля на волатильном рынке, если менеджер хорошо прогнозирует рыночные тренды. Так, в результате роста стоимости акций до 70% стоимости портфеля их пропорция уменьшается до 40%. Если в следующем периоде произойдет падение курсов акций, то стоимость портфеля снизится в меньшей степени вследствие сократившегося числа акций. Напротив, если уд. вес акций упадет ниже 30% стоимости портфеля, они докупаются, и их пропорция возрастает до 60%. Последующий подъем на рынке приводит к более высоким доходам по сравнению с пассивной стратегией за счет большего количества акций в портфеле.

При пересмотре портфеля необходимо определять новое количество акций, которое должно входить в портфель. Если портфель состоит из акций только одной компании, то их новое количество при пересмотре можно определить по следующей формуле:

количество стоимость портфеля

=--— --пропорция (5.46)

акций цена акции

Пример 1.

Формируется портфель с постоянной пропорцией акций и облигаций 70/30 и пересматривается всякий раз при ее нарушении. Стоимость портфеля составляет 1000 руб. Стоимость одной акции и облигации равна 10 руб. Поэтому приобретаются 70 акций и 30 облигаций. Допустим, в момент пересмотра курс акции составил 11 руб. Тогда новое количество акций, которое должно входить в портфель, равно:

\Q10py6. qj _ 68 09 ндн 68 акций.

11 руб.

Это означает, что необходимо продать две акции и на вырученные деньги купить облигации.

Если портфель включает разные акции, но пропорция каждой из них в общей стоимости портфеля поддерживается на постоянном уровне, то по формуле (5.46) можно определить новое количество каждой акции в портфеле.

Пример 2.

Формируется портфель из акций компаний А, В и облигаций с постоянными пропорциями. Уд. вес акции А должен составлять 40% стоимости портфеля, акции В - 30%, облигаций - 30%. Стоимость портфеля составляет 1000 руб. Стоимость одной акции компании А равна 10 руб., акции компании В - 5 руб., облигации - 10 руб. Поэтому приобретается 40 акций компании А, 60 акций компании В и 30 облигаций. Допустим, в момент пересмотра портфеля курс акции компании А составил 11 руб., компании В -4 руб. Тогда новое количество акций А в портфеле должно составить:

•0,4 = 35,6

11 руб. ¦ АОакций + 4 руб. ¦ бОакций + 10 руб. ¦ ЗОоблигаций

11 руб.

или 36 штук, т.е. продается 4 акции.

Новое количество акций В в портфеле должно составить:

•0,3 = 73,5

11 руб. ¦ АОакций + 4 руб. • 60 акций + 10 руб. ¦ ЗОоблигаций

4 руб.

или 74 штуки, т.е. покупается 14 акций.

Новое количество облигаций в портфеле должно составить:

0,3 = 29,4

11 руб. • 40 акций + 4 руб. ¦ бОакций + 10 руб. • 30 облигаций

10 руб.

или 29 штук, т.е. продается одна облигация.

5.2.4. Стратегия страхования портфеля

В рамках данной стратегии менеджер устанавливает минимальный допустимый уровень стоимости портфеля. Относительно этого показателя по формуле (5.47) определяется стоимость, которая должна приходиться на акции:

стоимость минимально допустимая портфеля стоимость портфеля

стоимость

(5.47)

акции

При изменении конъюнктуры изменяется стоимость портфеля и, соответственно, пересматривается количество акций в портфеле. Коэффициент к устанавливается в зависимости от склонности инвестора к риску. Более склонный к риску инвестор выберет более высокое значение коэффициента.

Пример.

Формируется портфель стоимостью 1000 руб. и устанавливается первоначальное соотношение акций и облигаций как 60/40. Минимально допустимая стоимость портфеля равна 800 руб. Из данных соотношений определяем коэффициент к:

600 = ?(1000-800) (5.48)

Отсюда к = 3, и формула (5.48) принимает вид:

стоимость акций = 3 (стоимость портфеля - 800)

Пусть в следующем периоде курс акций снизился, и стоимость портфеля опустилась до 900 руб. Тогда стоимость акций в портфеле в соответствии с формулой (5.48) должна составить:

3(900 - 800) = 300руб.

Поэтому менеджер продает часть акций и покупает на эти деньги облигации. Если в следующем периоде стоимость портфеля выросла до 1100 руб., то стоимость акций в портфеле должна составлять:

3(і 100 - 800) = 900руб.

Акции докупаются за счет продажи части облигаций.

Рассмотренная стратегия призвана застраховать менеджера от потерь ниже минимального уровня, поскольку при падении рынка средства все в большей степени изымаются из акций и переводятся в облигации. Напротив, на растущем рынке данная стратегия позволяет увеличивать доходы за счет перевода средств в акции. Стратегия в меньшей степени подходит для волатильного рынка, поскольку при частых колебаниях курса акций их придется покупать по более высокой цене при росте рынка и при последующем падении конъюнктуры продавать по более низкой цене. Чтобы уменьшить отрицательный эффект, можно установить границы, после достижения которых портфель пересматривается. Однако в случае падающего рынка данная корректировка снизит эффективность страховки. Таким образом, стратегия в большей степени рассчитана на растущий рынок с одновременной страховкой на случай его падения.

Страховка должна обеспечить сохранение стоимости портфеля не ниже предусмотренного уровня. Поэтому предполагается динамичность ее осуществления, т.е. частный пересмотр портфеля. В связи с этим следует обратить внимание на степень ликвидности рынка. Если она не велика, то при сильном падении курсов бумаг может оказаться невозможным быстро закрыть требуемое количество позиций по акциям. В результате, при финансовом крахе на рынке страховка может не сработать эффективно. Для кризисной ситуации в большей степени подходит страхование стоимости портфеля с помощью производных инструментов.

5.3. Активные или пассивные стратегии

Одной из важных проблем управления портфелем ценных бумаг является ответ на вопрос, показывают ли в среднем менеджеры, проводящие активные стратегии, более высокие результаты по сравнению с пассивными менеджерами. Определенные выводы можно сделать, если сравнить динамику доходности активно управляемых взаимных фондов с пассивно управляемыми или с рыночными индексами. Результаты исследований западных ученых говорят о том, что в среднем пассивно управляемые фонды показывают лучшие результаты по сравнению с активно управляемыми. Так, М.Gruber (“Another Puzzle: The

Growth in Actively Managed Mutual Funds”, Journal of Finance 51, 1996) нашел, что за период с 1985 г. по 1994 г. доходность среднего взаимного фонда была ниже доходности рыночных индексов на 65 базисных пунктов. M.Grinblatt и Sh.Titman (“Mutual Fund Performance: An Analysis Quarterly Portfolio Holdings”, Journal of Business 62, 1989; “Performance Measurement Without Benchmarks: An Examination of Mutual Fund Returns”, Journal of Business 66, 1993) и R.Wermers (“Momentum Investment Strategies of Mutual Funds, Performance Persistence, and Survivorship Bias”, Working Paper, University of Colorado, 1997) пришли к выводу, что менеджеры обладают способностью выбирать активы, которые приносят более высокую доходность по сравнению с эталонными индексами. Но этот результат не учитывает издержек.

R.Wermers проанализировал динамику доходности взаимных фондов с 1975 г. по 1994 г. Исследования говорят о том, что активы фондов в среднем включали акции, которые показали результаты на 1,3% в ежегодном исчислении выше, чем взвешенный по стоимости рыночный индекс CRSP. Однако эта величина приблизительно соответствует расходам и трансакционным издержкам фондов. Аналогично, в течение 13 из 20 рассматриваемых лет средний фонд располагал портфелем, доходность которого была выше доходности индекса S&P 500 (без корректировки на трансакционные издержки). В то же время чистая доходность среднего фонда была на 1 % в расчете на год ниже доходности индекса CRSP.

Краткие выводы

Пассивной стратегии в управлении портфелем придерживаются менеджеры, полагающие, что рынок является эффективным. Пассивное управление не предполагает частого пересмотра портфеля. В условиях эффективного рынка и одинаковых ожиданий инвесторов индивидуальный отбор финансовых активов не имеет существенного значения. Оценивается только их ожидаемая доходность и риск. Пассивный менеджер не ставит перед собой задачу получить более высокую доходность, чем в среднем предлагает рынок для данного уровня риска. Для пассивной стратегии характерным является приобретение рыночного портфеля в сочетании с заимствованием или кредитованием.

Стратегия копирования индекса заключается в формировании портфеля, который по своему составу повторяет некоторый фондовый индекс.

Стратегия иммунизации портфеля облигаций состоит в построении его таким образом, чтобы его дюрация была равна периоду времени, на который планируется застраховать стоимость портфеля от изменения процентной ставки на рынке.

Активную стратегию проводят менеджеры, полагающие, что рынок не является эффективным, поэтому цена отдельных активов может оказаться завышенной или заниженной. Активная стратегия предусматривает частый пересмотр портфеля в поисках неверно оцененных рынком активов.

Механические стратегии по размещению средств по классам активов основаны на следовании менеджером определенному правилу.

Результаты исследований западных ученых говорят о том, что в среднем пассивно управляемые фонды показывают лучшие результаты по сравнению с активно управляемыми.

Приложение 1.

Решение системы линейных уравнений с помощью программы Excel

Рассмотрим решение системы линейных уравнений с помощью программы Excel на примере I из параграфа 5.1.2.4. В примере была получена система уравнений:

Г 3170/*! +61 10,37/*₂ =-533090,22 [13720/*, +49261,38/*2 =-4105951,3

В общей форме она была записана как:

Ah = B,

где

"-533090,22

,-4105951,3 \ Г/*Л ; /* = 1 ) Л, ^ 3170 6110,37"

,13720 49261,38_у

Ее решение имеет вид;

/* = А~'В

А ' является обратной матрицей к матрице А. Соответственно решение системы равно:

V "3170 6110,37" -1 "-533090,22" ,13720 49261,38, ,-4105951,3, Для получения значений /г, и И₂ необходимо найти обратную матрицу А ¹ и затем умножить ее на матрицу В.

Занесем в блок А1:В2 элементы матрицы А, в ячейки D1 и D2 элементы матрицы В. Обратную матрицу А~' получим в блоке А4:В5. Поэтому выделяем его. Для этого наводим курсор на ячейку А4, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее, доводим его до ячейки В5, отпускаем клавишу. Открываем окно “Мастер функций”. В левом поле “Категория” курсором выбираем строку “Математические” и щелкаем мышью. Строка высвечивается синим цветом. В правом поле “Функция” выбираем курсором команду “МОБР” и щелкаем мышью. Строка высвечивается синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появляется окно диалога “МОБР”. В окне представлена одна строка “Массив”. Заводим в нее блок А1:В2. После этого нажимаем вместе клавиши Ctrl, Shift и Enter. В блоке А4:В5 появилась матрица А '. Получим результат умножения обратной матрицы А~' на матрицу В в блоке D4:D5. Для этого выделяем данный блок. Открываем окно “Мастер функций”. В левом поле “Категория” курсором выбираем строку “Математические” и щелкаем мышью. В правом поле “Функция” выбираем курсором команду “МУМНОЖ” и щелкаем мышью. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появляется окно диалога “МУМНОЖ”. В строку “Массив 1” заносим блок А4:В5, в строку “Массив 2” заносим блок D1:D2 и нажимаем вместе клавиши Ctrl, Shift и Enter. В блоке D4:D5 получили ответ. Решение задачи представлено на рис. 5.6.

А В С I __ Р J Е 1 3170 6110,37 -533090 2 | 13720 49261,38 -4105951 “зі 4 J ! 0,000681 -8.44857Е-05 -16,2031 ' 5"! -0,00019 4.38304Е-05 -78,8375 '6 1 Рис. 5.6. Решение системы линейных уравнений в матричной форме

---

---