---

Разделы На главную История денег и экономики История экономических знаний Формы безналичных денег Международные финансы Экономические концепции Экономические теории Экономика в реальной жизни Экономический анализ и интеграция Макроэкономика Экономика и социальное общество Социальная экономика Социология Кризисная экономика Инфляция в экономике Экономика зарубежных стран Иностранные деньги Государственное регулирование Бюджетная система Политическая экономия Политология Законы денег Налогообложение Аудит Банкротство Теория рынка Конкуренция Международная торговля Товарная биржа Нефть и газ на бирже Логистика Банки - услуги и операции Банки в России Банковский кредит Недвижимость Ипотека в банке Инвестирование Стратегии инвестирования Инвестиционные фонды Ценные бумаги Акции Вексель Облигации Опционы Фьючерсы Биржевая торговля Биржа Forex Фондовый рынок Фондовый рынок России Волны Эллиотта Теория фракталов Торговая теория Ганна Фибоначчи на бирже Графический анализ на бирже Паттерны Биржевой анализ "Крестики-нолики" Японские свечи Технический анализ Математика на бирже Фундаментальный анализ Биржевая торговля Стратегии торговли Механические торговые системы Программирование МТС Управление торговым капиталом Управление портфелем Управление риском Страхование Профессия трейдер Практический трейдинг Технологии инфосистем Информационный рынок Безопасность информации Криптология и криптография Реклама PR - Public Relations Маркетинг Финансовая система Начало бизнеса Предпринимательство Малый бизнес Микроэкономика Торговля Ценообразование Работа в Интернете Сайты, софт, дизайн Управление качеством Управление предприятием Производство продукции Стратегический менеджмент Учебники по менеджменту Системы и организации Теория систем Планирование Статистика финансов Управление персоналом Трудовые отношения Бухгалтерия «1С:Бухгалтерия» Управленческий учет Делопроизводство и офис Автоматизация делопроизводства Рынок труда Карьера Менеджер Лидерство и бизнес карьера Лидерство и карьера Общение и переговоры Общение в бизнесе Бизнес переговоры Инновации в моделировании Экономическое моделирование Нейронные сети Нейролингвистика Логика нейросетей Программирование Пакет Excel Технологии программирования Языки программирования Практическая психология Психологические тренинги Психология в медицине Возрастная психология Ваши скрытые резервы Здоровье и долголетие Работа с эмоциями Пикап Управление временем Гипнотерапия Подсознание Трансовые техники Магия Здоровье советы Спорт для здоровья Йога Религии Эзотерика Мистицизм

---

ГЛАВА 11. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ РИСКА

11.1. Выбор метода оценки показателя риска типа вероятности

Рассмотрим методы оценки (количественного вычисления) риска применительно к определению показателя риска типа вероятности Q некоторого негативного события (например, аварии; смерти по какой-либо причине, от определенной опасности и др.) для объекта анализа за интервал времени А/ Оценку можно проводить различными методами. Выбор адекватного метода оценки показателя риска определяется: его фактическим уровнем; требуемой точностью оценки; имеющимся объемом статистических данных (объемом наблюдений и числом реализовавшихся негативных событий); видом и объемом доступной дополнительной информации.

В результате все методы оценки имеют свою область применения (рис. 11.1, а). Учитывая, что вероятность Q представляет собой отношение числа негативных событий п к общему числу наблюдений N, то чем она меньше, тем труднее ее оценивать (необходимо больше наблюдений для того, чтобы реализовались негативные события). Инвариантом же, учитывающим как фактический уровень оцениваемого риска, так и имеющийся объем наблюдений, является число реализовавшихся негативных событий



Наиболее предпочтительным при наличии достаточной статистики является, конечно же, статистический метод, так как практика — критерий истины. Статистический метод применяют при минимальном числе допущений, но необходим большой объем статистической информации. Объем наблюдений должен превышать некоторую величину N₁ , зависящую от оцениваемой вероятности, при этом число реализовавшихся негативных событий за один год должно быть больше 100. Снизить требования к необходимому объему наблюдений позволяет объединение имеющейся статистической информации по проявлению рассматриваемого риска за прошедшие годы и в аналогичных объектах, подвергающихся той же опасности, а также привлечение дополнительной информации, в том числе знаний и опыта экспертов.

Области применения основных методов оценки показателя риска типа вероятности в зависимости от наличия статистической информации и математических моделей приведены на рис. 11.1, б.

Исторически сложилось так, что методы оценки риска развивались от наиболее простого статистического, применимого при наличии достаточной статистики, к теоретико-вероятностному, необходимость в котором возникла тогда, когда на повестку дня встали вопросы оценки рисков редких аварий на потенциально опасных объектах техносферы с тяжелыми последствиями.

11.2. Статистический метод — схема пуассоновского потока негативных событий

Так как речь идет о вероятности наступления негативного события за интервал времени Д/, на котором негативные события для рассматриваемого объекта скорее всего и не произойдут, то для получения необходимой статистики используют два способа (рис. 11.2):

1) увеличение интервала наблюдения Т » М за предшествующие годы;

2) расширение совокупности исследуемых объектов, в равной степени подверженных рассматриваемому риску — людей или объектов, проживающих (эксплуатирующихся) в одинаковых условиях.

Вероятность негативных событий за интервал времени Д/ можно оценить через их частоту (интенсивность) при рассмотрении последних как потока случайных событий. Если предположить, что условия реализации опасности в интервале наблюдения [-7". /₀] остаются неизменными (выполняются допущения простейшего пуассоновского потока случайных событий), частоту негативных событий для рассматриваемого объекта можно оценить по формуле

X = п/Т,

где п — число негативных событий за время наблюдения Т’ а вероятность хотя бы одного негативного события за интервал времени Д/ в соответствии с (5.2)

Однородные объекты

Негативное событие

71(і=1 ,N)

Опасность

Интервал ^/ оценки

Оцениваемый объект

7— интервал наблюдений

Горизонт прогноза

Рис. 11.2. Иллюстрация статистики негативных событий (І₀ — текущий момент времени; T_t — интервал наблюдения за і'-м объектом; T_N — интервал наблюдения за /?-м объектом)

Q(M) = I - ехр|-а(Д/)|,

где a(At) = XAt.

Пример 11.1. За 107 лет наблюдений уровня воды на р. Ока в районе г. Серпухова случилось 7 наводнений. Следовательно, частота наводнений составляет X = 7/107 = 0,065 І/год.

Для редких событий (например, смерти человека от определенной причины, тяжелой радиационной аварии типа чернобыльской), когда a{At) « I (практически при а(Д/) < 0,1), приближенно можно считать, что

0(Д/) - а(Ы) = АД/. (11.2)

Нижнюю (X.) и верхнюю (А,*) доверительные границы для оценки X, а для редких событий — и 0(Д/), вычисляют по следующим формулам (см. ГОСТ 11.005—74):



где г, и г₂ — коэффициенты для односторонней доверительной вероятности у. а относительные погрешности соответственно для нижней и верхней границ

5. = 1-1; 5* =і_1. (11.3)

Г\ Г₂

При недостаточной точности оценки объединяют статистические данные о негативных событиях по совокупности N однородных объектов (групп людей, технических объектов), подверженных в равной степени рассматриваемой опасности. Негативные события в этом случае также представляют собой пуассоновский поток случайных событий, а оценку частоты негативных событий для /-го объекта (вернее, рабочего места, на которое после гибели одного работника берут другого; отказавший объект заменяют новым или восстанавливают) определяют по формуле

X, =у, І/год (/= 1, ..., N), ч

где rti — число негативных событий для /-го объекта за интервал наблюдения 7}, лет.

Усредненную частоту негативных событий для совокупности из N объектов, находящихся в одинаковых условиях, оценивают но формуле (11.4)



N

где п = ? л/ — суммарное число негативных событий по совокуп-

м

ности А'однородных объектов за их суммарную наработку в оди-

N

наковых условиях S = 27). При Т, = Г V/ = I...../V

м



Пример 11.2. Допустим, Q(At) = I ІО”⁴. Тогда в соответствии с (11.2) X = 1 ІО^-4 1/год. Этой частоте при /V = 1 000 тыс. объектов соответствует значение п = 100 негативных событий; при N = 100 тыс. объектов п = 10; при N = 10 тыс. объектов п = 1. Из табл. 6 (приведенной в ГОСТ 11.005— 74) при у = 0.9 находим: для п = 100Г| = 1,14, г>= 0,88; дія п = ІО/-, = 1,61, г₂ = 0,65; для п = I г, = 9,48, г₂ = 0,26. Относительные погрешности оценки X (а следовательно, и (?(Д/)). вычисленные по формулам (11.3), приведены в табл. 11.1.

Если условия проявления опасности изменяются (Х.(/) * const), то по формуле (11.2) оценивают среднюю вероятность Q(At) негативных событий в год от рассматриваемой причины за время наблюдения Т

Для частоты редких негативных событий (например, катастроф) статистическим методом, как правило, может быть определен лишь доверительный интервал. Пусть, например, имеется N опасных объектов. Полагая, что случайная величина числа катастроф при фиксированной продолжительности наблюдений распределена по

Таблица 11.1

Относительные погрешности оценки частоты (вероятности) негативных событий Число и реализовавшихся негативных событий Относительная погрешность, % 8. 8* 1 89,5 284 10 37,9 53,8 100 12,3 13,6 закону Пуассона, время до первой катастрофы (между катастрофами) будет распределено по экспоненциальному закону. При отсутствии катастроф выражения для доверительных границ их частоты для планов наблюдений |N, R, Т\, | А, М, Т\ имеют следующий вид согласно ГОСТ 11.005—74:

V =0; (11.6)

где S— суммарная продолжительность наблюдений за всеми объектами рассматриваемого вида, объект год. Коэффициент г₀ определяют по таблицам математической статистики и для односторонней доверительной вероятности у= 0,9 равен 2,30.

Допустим, имеется N = 10 опасных объектов — источников возможных катастроф, эксплуатирующихся в течение Т= 10 лет, причем за все время эксплуатации не было ни одной катастрофы. Тогда S = NT = ІО² объект год и по формулам (11.6) получим Х.5 = = 2,3- ІО'² (объект -год)^-1. Это означает, что усредненная за весь период наблюдений по всем объектам частота катастроф с доверительной вероятностью у = 0,9 находится в интервале |0; 2,3 І0 ² (объект - год'¹)].

Расчет по формулам (11.6) показывает, что при частоте катастроф 10'¹ 1/год ее оценку поданным наблюдений за 10лет можно сделать лишь с нижней и верхней относительными погрешностями 90 и 284% соответственно, а за 100 лет — 38 и 54%. Для достаточно точной оценки частоты редких событий с катастрофическими последствиями необходимы данные наблюдений за сотни лет. Естественно, что вследствие технического прогресса и сравнительно быстрого изменения условий жизнедеятельности людей такого интервала наблюдений, как правило, не бывает. С развитием техносферы не только осваиваются новые территории, но и изменяются условия перерастания опасных природных явлений в стихийные бедствия, исчезают одни и появляются другие виды ущерба и инициирующие события для них. Так, с появлением скоростных маі исгралей туман стал опасным природным явлением, способствующим авариям на автомобильных дорогах. Даже в стабильных рыночных экономиках с течением времени существенно изменяются условия хозяйственной деятельности.

11.3. Статистический метод — биномиальная схема

Анализ схемы пуассоновского потока случайных событий показывает, что при малых я(А/) (когда Q(At) 0, N -» °°) для числа событий в интервале времени А/ справедливо биномиальное распределение.

Для оценки вероятности негативного события для конкретного объекта рассмотрим совокупность однородных объектов объемом N, подверженных в равной степени рассматриваемой опасности, т.е. принадлежащих одной и также генеральной совокупности.

Допустим, я=1, уV— число негативных событий (например, смертей или аварий) в оцениваемом году по рассматриваемой причине, а /V— объем наблюдений, т.е. число наблюдаемых объектов (например, численность популяции), подверженных рассматриваемому риску. Если негативные события являются независимыми, то случайная величина числа негативных событий (например, погибших) % (п < \ < N) имеет биномиальное распределение

F(n) = Р{^<п)= У-—-Q^k (1 - О)"-*

с математическим ожиданием

Л/[^1 = У?(? (11.7)

и дисперсией

?Ч%\ = т\-<2). (и.8)

Из выражения (11.7) следует, что Q = а ее несмещен

ная оценка совпадает с оценкой максимального правдоподобия и вычисляется по формуле

Q = 4т, 1/(объект год). (11.9)

Это соотношение совпадает с формулой (11.5), если в последнем принять, что Т равно I году.

Дисперсию оценки ( 11.9) для редких событий с учетом (11.8) вычисляют по формуле

а²і0-^_т°чіа-^й!^-?, (п.ю)

а ее абсолютная статистическая погрешность Д(()| = г_то|(?І. где Z-, — квантиль нормального распределения уровня у.

Следователь но, в предположении биномиального распределения числа негативных событий (объектов, в которых произошли негативные события) из общего числа подвергающихся рассматриваемому риску объектов статистическая неопределенность оценки (11.9) характеризуется относительной погрешностью, оцениваемой по аналитической зависимости:

(ил)

При малых &А1) и больших N соотношения (11.3) и (11.11) приводят к одинаковым результатам, но для применения (11.11) не требуется использование таблиц.

Таким образом, чем меньше оцениваемый риск Q{At) и имеющийся объем наблюдений N, тем больше статистическая погрешность. Следовательно, для ее снижения следует увеличивать объем наблюдений.

Наложим на точность оценки показателя риска ограничение

5 = 8„ (11.12)

где 8_Т — требуемая точность или допустимое значение относительной погрешности оценки Q(At).

Получим из (11.11) соотношение для объема наблюдений, необходимого для выполнения ограничения (11.12):

N > N, = (11.13)

зависящего от уровня оцениваемой вероятности Q. Из выражения (11.11) с учетом (11.1) следует и ограничение на реализовавшееся число негативных событий:

П > Л| Допустим 5_Т = 1 - у. Тогда при 8_Т = 10 % Л| = 164. Для качественных оценок применимости статистического метода будем использовать условие п > 100 (см. рис. 11.1, а).

Статистический метод количественной оценки риска требует значительного объема данных, которые не всегда есть (особенно при оценке вероятностей редких событий), а их сбор и обработка могут весьма дорого обойтись. Поэтому при недостаточности информации для использования статистического метода (обеспечения требуемой точности оценки показателя риска) необходимо использовать другие методы (см. рис. 11.1), основанные на привлечении дополнительных данных. На точность получаемых с их помощью оценок влияет точность этой информации. Чем меньше объем наблюдений, тем больше необходимо дополнительной информации для обеспечения требуемой точности оценки.

В случае оценки показателей риска от редких событий, когда имеет место значительная статистическая погрешность оценки, т.е. имеющейся статистики по рассматриваемому объекту недостаточно для оценки показателя риска с приемлемой точностью (/?< <?|, п < 100), ее можно повысить за счет привлечения дополнительной информации. По ее виду различают способы объединения информации о величине оцениваемого параметра, которые в свою очередь подразделяют на методы объединения данных, оценок и привлечения информации о вероятностных распределениях.

Для повышения точности используют объединение однородных (включая байесовские методы объединения априорной информации и данных наблюдений (В.П.Савчук, 1989)) и неоднородных данных. Объединение однородных (принадлежащих одной генеральной совокупности) данных проводят путем их суммирования. Для объединения неоднородных данных необходимы процедуры пересчета, основанные на привлечении дополнительной информации о моделях переноса информации. К методам объединения оценок относятся линейное объединение независимых оценок, применение множественной регрессии для линейного объединения оценок и др.

Объединение однородных статистических данных. Для снижения статистической погрешности и обеспечения требуемой точности оценки показателя риска во многих случаях можно увеличить объем наблюдений за счет расширения интервала наблюдения, т.е. путем объединения статистических данных (при их наличии) за несколько лет — временной ряд.

Предположим, что условия реализации негативных событий в течение Г лет остаются неизменными, т.е. исследуемые ежегодные выборки являются однородными и принадлежат одной генеральной совокупности. Тогда показатель риска на рассматриваемый год оценивают по формуле

Іп,

(11.14)

Q(M) =

/=і

1=1 где n,wN, — число негативных событий и среднегодовой объем наблюдений в r-м году; Г= 1,..., Т — порядковый номер года; Т — общее число лет наблюдения (последнего в ряду) года.

Если N,= N V / = 1, Г, то получим соотношение (Э(Д/) = = ^~гі совпадающее с (11.5). Повышения точности оценки достигают за счет увеличения объема наблюдений в Граз. Домножив числитель и знаменатель в формуле (11.14) на 1/Т, получим

ср

N.

I ^т

где "ср = тг X~ среднегодовое число негативных событий по

! і=і

рассматриваемой причине; /?_ср = — ? -V, — среднегодовой объем

• ,=і

наблюдений (например, численность рассматриваемой популяции).

Повышение точности опенки вероятности в этом случае объясняется повышением точности оценки средних значений с увеличением числа интервалов наблюдений.

Аналогичный результат получим и в результате рассмотрения индивидуальной вероятности негативных событий за Т лет. Так как

І* 1

Q(TM) = , то Q(At) = -Q(TAr).

Л'ср Т

С увеличением периода наблюдения объем статистических данных возрастает, а точность оценки повышается. При использовании данного способа повышения точности неравенство (11.13) записывается в виде

N>N₂ = т.е. N₂ - N\/Т. Учитывая, что (11.1) записывается в виде п = QNT, то для Т= 10 лет получим п₂ = nJT = 100/10 = 10.

Если допущение об однородности не выполняется, то по формуле (11.14) оценивают среднюю вероятность Q негативного события в год от рассматриваемой причины за интервал наблюдения, которая при наличии тенденции к снижению (повышению) частоты реализации опасности может стать весьма далекой от истинной. В результате будет иметь место некоторая систематическая погрешность Д,.^ оценки (рис. 11.3).

Рис. 11.3. Временной ряд и его аппроксимация линейной функцией Объединение неоднородных данных за несколько лет. Повышение точности оценок требует увеличения объема статистических данных, что связано с увеличением интервала наблюдения. Однако под влиянием множества противоречиво влияющих неконтролируемых факторов число п негативных событий является случайным (имеется случайный разброс по годам). Кроме того, с течением времени меняются и условия проявления рассматриваемой опасности. Это приводит к тому, что статистические данные уже не принадлежат исследуемой генеральной совокупности, т.е. являются неоднородными. Например, на железных дорогах наблюдается долговременная устойчивая тенденция к снижению аварийности за счет внедрения новых технических средств. Для повышения точности оценивания показателя риска в рассматриваемом году с учетом данных за прошлые годы, принадлежащих разным генеральным совокупностям, необходимо использовать методы объединения неоднородных данных. Имеющиеся данные можно пересчитать на условия оцениваемого года при известной модели динамики (при этом возникают вопросы точности используемой модели) числа негативных событий.

Так как на основе полученных оценок показателей принимают долгосрочные решения, то при оценке риска в рассматриваемом году целесообразно ориентироваться не на реализовавшееся число негативных событий п, а на детерминированную составляющую ряда (тренд) (В. Н. Афанасьев, 2001). Задача ставится следующим образом. Необходимо по имеющейся статистике за Г лет дать на рассматриваемый Т-й год оценку (или прогноз на Т+ І-й год) математического ожидания числа (частоты) а(Аг) негативных событий.

Математическое ожидание числа негативных событий на рассматриваемый год можно оценить по статистике за несколько лет (временному ряду) с помощью интерполяции (см. рис. 11.2)

а(Г)=Дп...... п_т), (11.15)

а прогнозировать с помощью экстраполяции:

а(Г+т) = ф(л₁.....я_г), (11.16)

где т = 1,2, ... — горизонт прогноза.

Вообще прогноз числа негативных событий возможен, если имеется адекватная математическая модель. При ее отсутствии обычно проводят обработку имеющихся статистических данных п|, л₂,.... п_т (временных рядов), представляющих собой запись поведения объекта в прошлом. При наличии такой информации возможно: построить систему уравнений, с определенной точностью воспроизводящую поведение наблюдаемого объекта; дать прогноз будущего поведения временного ряда я_г+ ,, п_т+2, ... .

Будем интерполировать (экстраполировать) математическое ожидание числа негативных событий от некоторой причины с помощью линейной модели, построенной по статистическим данным за несколько лет:

(11.17)

а(і) = а + ()/,

где t — номер года.

Точность оценки (прогноза) а(АІ) по модели (11.17) определяется через характеристику колеблемости ряда а„ Так как исходный временной ряд рассматривают как выборку из генерального ряда, продолжаемого и в прошлое, и будущее, то при вычислении а_п следует учитывать потерю степеней свободы колеблемости:

V ' "бі=I

где g — число параметров в уравнении тренда (для (11.17) g = 2).

Среднегодовые объемы наблюдений за определенный интервал представим рядом N,, N₂, .... Л„ N_T. Допустим N = const. Тогда вероятность негативного события в рассматриваемом году оценивают по формуле

Дг<А/) N '

Qr( Л') =

(11.18)

где a,(At) = а + рТ — оценка по выражению (11.17) математического ожидания числа негативных событий в Т-м году, точность которой характеризуется величиной а„.

Так как наряду со статистической погрешностью необходимо учитывать и случайный разброс числа негативных событий по годам под воздействием различных неконтролируемых факторов, то точность оценки Q_r(At) по (11.18) определяют по формуле а@ =

где а² вычисляют по формуле (11.10). Тогда относи

+ cr

У?

тельную погрешность оценки вероятности негативного события с учетом (11.11) определяют по формуле

z-,yJo²n + а² NQ ‘

Вероятность негативного события в рассматриваемом году оценивают также по формуле

Qr(At) = Q + \j>T,

где Q вычисляют по формуле (11.14). Точность этой оценки зависит от статистической погрешности расчета Q и погрешности определения коэффициента модели |3, учитывающей флуктуации

числа негативных событий по годам: о² = + - Тар.

При изменяющемся объеме наблюдений вероятность негативного события в рассматриваемом году можно оценить по формуле ОгШ) = “о + РуТ, где а_у и Ру — параметры модели Q(t) = a_Q + Ру/, устанавливаемой но временному ряду Q_u ..., Q_T. Можно получить выражения для оценки показателя риска и для случаев, когда тренд аппроксимируется кусочно-линейной либо нелинейной функцией.

11.4. Вероятностно-статистический метод

Суть метода. Вероятностно-статистический метод основан на привлечении дополнительной информации о распределении ущербов для объекта анализа от рассматриваемой опасности в случае ее реализации. Допустим, распределение f(w) негативных событий (несчастных случаев на производстве) по ущербу (рис. 11.4) для рассматриваемых условий деятельности известно. Тогда q =

= J f(w)dw — доля катастрофических событий от общего числа

КС

негативных событий (здесь КС — критериальное значение для классификации негативных событий как катастрофических). Считая эту долю постоянной q(r) = const либо прогнозируя по временнб-

Рис. 11.4. Распределение f(w) несчастных случаев на производстве по тяжести (w): легкое (ЛНЗ) и тяжелое (ТНЗ) нарушение здоровья: КС — катастрофическое событие (смертельный исход)

Статистика дорожно-транспортных происшествий в России Характеристика Численность по годам 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Чисто пострадавших 179 401 187 790 215678 243919 251 386 274 864 Число погибших 29 594 30916 33 243 35 602 34 509 33 957 Доля погибших, q 0,142 0,141 0,134 0,127 0,121 0,110 му ряду с помощью некоторой модели ее значение на заданный момент времени (табл. 11.2), можно построить методику оценки вероятности катастрофического события.

Если п_г — общее число негативных событий для рассматриваемого объекта в оцениваемом году, то индивидуальную вероятность негативного события для него вычисляют по формуле

ОгШ) = n_z(M)/N, а вероятность катастрофического события

(2(А/) = Qt(Af)q. (11.19)

Если считать значение q известным точно, относительную статистическую погрешность оценки (2(Д/) можно определить соотношением



а необходимый объем наблюдений для его оценки с требуемой точностью может быть установлен из условия

N > N₃ Благодаря тому, что Q?» Q, требования к необходимому объему наблюдений снижаются в \/q = п_г/п раз.

При совместном использовании объединения информации за несколько лет и дополнительной информации о распределении негативных событий по размеру ущерба условие для выбора необходимого объема наблюдений можно записать в следующем виде:

N±N< = Jg-₂.

TQb]

Пример 11.1. Оценка профессионального риска по составляющей, связанной с несчастными случаями со смертельным исходом (см. под-разд. 19.2), с учетом общего числа несчастных случаев.

Пример 11.2. Оценка частоты ЧС отдельных видов с учетом общего числа ЧС.

В общем случае статистическая погрешность оценки Q{M) по (11.19) определяется соотношением

<*о =

где cj — дисперсия оценки д.

Долю

q/= P(wxf_Cj~\ < и»цсj) (11.20)

рассматриваемого класса негативных событий (например, ЧСу'-го класса по степени тяжести) можно определить двумя способами:

по формуле (11.9) как долю негативных событий j-го класса от общего числа негативных событий в рассматриваемом году. Для снижения статистической погрешности опенки qj необходимо объединять статистические данные за интервал наблюдения;

по известному распределению негативных событий по ущербу. Однако частота негативных событий с тяжелыми последствиями, находящихся на «хвосте» распределения негативных событий по размеру ущерба (например, катастроф), мала, т.е. они являются редкими событиями (происходят не каждый год либо для объекта анализа не происходили до рассматриваемого момента времени вообще). Для таких событий даже при использовании объединенной выборки за интервал наблюдения характерна значительная статистическая неопределенность оценок как вероятности реализации, так и их доли д_г определяемой по формуле (11.9) (относительные погрешности могут составлять сотни процентов). Поэтому для прогноза доли негативных событий, находящихся на «хвосте» распределения (катастроф), целесообразно использовать условие (11.20) и теоретическое распределение негативных событий по ущербу, которое устанавливают по статистическим данным известными методами проверки согласия опытного распределения с теоретическим (табл. 11.3). В табл. 11.3 Ф( ) — функция Лапласа. Можно использовать и другие распределения негативных событий по размеру ущерба, относящиеся к классу распределений с «тяжелыми правыми хвостами».

Объединение неоднородных данных по ущербу на основе моделей динамики. Для негативных событий, классифицируемых как катастрофические, точность оценки qj по (11.20) существенно зависит от точности определения вида и параметров формы распре-

Соотношения для вычисления доли негативных событий j-го класса в их распределении по ущербу Распределение F{w) Соотношение для вычисления q_t Параметры Нормальное усеченное со степенью усечения, равной 0,5 2 )-^фМ о² = D[W\ Логарифмически

нормальное Ф ІПИ'чсу-р'і

а ( ІП??чсу-І -Ц

[ о ) р = M\\nW] Вейбулла ехр - И’чсу-і 1

^а J -ехр ;И а, b Экспоненциальное ехр ^w4Cy-l

9 j-cxp ^W4Cy \

9 ) w=M\W\ деления F(w). Для ее повышения также необходимо увеличить объем статистических данных, что связано с расширением интервала наблюдения. Однако с течением времени условия проявления рассматриваемой опасности меняются и статистические данные уже не принадлежат исследуемой генеральной совокупности; при этом изменяется не только число п негативных событий, но и их распределение Л» по ущербу. Это означает, что прямое объединение статистик невозможно. Для объединения данных по ущербу от негативных событий в некотором интервале времени наблюдения необходимо пересчитывать с учетом тенденций изменения их распределения по ущербу.

Допустим, имеются статистические данные негативных событий за Г лет, включающие данные об ущербах в п_ь п_г,л_гнега-тивных событиях. Будем считать условия реализации негативных событий меняющимися по годам, а в течение одного года неизменными. Тогда случайные величины \?_{,И-?, характеризующие последствия негативных событий, различаются, т.е. в общем случае имеющиеся данные о негативных событиях принадлежат различным генеральным совокупностям, описываемым своими функциями распределения F_{{w),.... F_T{w). При этом параметры (в первую очередь математические ожидания Л/| И-І), а возможно, и виды Распределений, различаются. Указанные функции распределения отличаются и от функции распределения F_T(w) = Р( W_T < w) возможных последствий W_T негативных событий в оцениваемом году.

Объединим известные статистические данные о негативных событиях за Т лет. Предположим, что виды распределений случайных величин И'',, W₂,W_T близки, а различаются лишь масш-

табы распределений, т.е. математические ожидания М| И^/І1, М[\?_г\, ..., МI W_rj. Приведем известные статистические данные о последствиях негативных событий за указанные годы к оцениваемой генеральной совокупности негативных событий, описываемой функцией распределения F_T(w) - P(W_T< w). Для этого воспользуемся теорией стохастического подобия. Инвариантом подобия различных выборок при одинаковых законах распределения является равенство математических ожиданий:

М\Щ = idem V / = 1, .... Т.

Отсюда следует соотношение для коэффициента пересчета данных о негативных событиях, полученных в /-м году, на оцениваемый год:

V / = 1, _ MW_T\

^,,ср' M\W,\

Данные по ущербу в к-м негативном событии пересчитываются по формуле

^wkT~ k,_KpiW_k„

где к = 1, ..., п.

Объем объединенной выборки возрастает примерно в Т раз. Учитывая существенное увеличение объема статистических данных в объединенной выборке, более точно можно оценить параметры распределения F_T(w) на оцениваемый год, а после классификации данных об ущербах — доли q_t негативных событий различных классов.

II.5. Теоретико-вероятностный метод

Суть метода. Теоретико-вероятностный метод применяют для оценки частот или вероятностей редких негативных событий с тяжелыми последствиями, по которым статистика практически отсутствует (таких, например, как стихийные бедствия на определенной территории, техногенные катастрофы типа катастроф в Чернобыле, Бхопале и Севезо), происходящих в среднем один раз в несколько лет и даже десятков лет. Отсутствие катастроф даже в течение достаточно длительного времени не исключает их появления в будущем. Значительные последствия W катастроф делают их вероятное значение в течение заданного промежутка времени (риск) значимым фактором, требующим возможно более точного учета при планировании социально-экономического развития. Кроме экономических важны также социально-политические и психологические последствия катастроф.

Метод основан на использовании математических моделей, в основе которых лежат закономерности перерастания иницииру-

ющих событий в ЧС, декомпозиции задачи, оценке частных показателей и определении частоты (вероятности) редких негативных событий с учетом взаимосвязи частных показателей. Частные показатели определяют из анализа источников потенциальной опасности на рассматриваемой территории, статистики их реализации в форме инициирующих событий, предполагаемых сценариев развития и последствий. Теоретико-вероятностный метод достаточно трудоемок и имеет невысокую точность, но при отсутствии других оценок его использование оправданно.

Рассмотрим применение метода для оценки риска ЧС на некоторой территории. Для этого воспользуемся вероятностной моделью возникновения ЧС, основанной на установлении структуры риска по факторам, влияющим на его величину. Влияние этих факторов учитывается частными показателями, оцениваемыми по статистическим данным или теоретически на основе исследования фундаментальных закономерностей. В рамках этой модели ЧС рассматривается как сложное событие, происходящее при совместном наступлении следующих случайных событий:

возникновение опасного явления на рассматриваемой территории;

воздействие негативных факторов опасного явления на инфраструктуру рассматриваемой территории;

разрушение элементов инфраструктуры в результате действия негативных факторов опасного явления;

отказ системы безопасности объекта из-за различных сочетаний недостаточной надежности технических устройств и персонала («человеческий фактор») и других причин;

нанесение ущерба инфраструктуре территории, превышающего установленные критерии для его классификации как ЧС.

Влияние указанных факторов (опасности, угрозы, уязвимости, эффективности систем безопасности, ущерба) на возможность наступления ЧС оценивают с помощью частных показателей, приведенных в табл. 11.4. Таким образом, частота ЧС зависит не только от характеристик опасности территории, но и степени угрозы от источников опасности для объектов воздействия (пространственного, временного и ситуационного факторов угрозы), уязвимости (защищенности и стойкости) объектов, эффективности систем безопасности опасных или важных объектов, оснащенных специальными системами безопасности, а также размера ущерба.

Возможность наступления опасных явлений на рассматриваемой территории оценивается их частотой X. и распределением по силе.

Возможность воздействия негативных факторов опасного явления на стационарный объект в первом приближении характеризуется долей а„ площади территории, подвергающейся воздей-

Характеристика рискообразующих факторов для происшествий и ЧС Фактор

(свойство) Случайное событие Частный показатель Допущения при оценке Опасность

территории Возможность наступления опасных явлений на расе матри вае мой территории Частота X опасных явлений с силой и, не менее заданной. Распределение F_nax(u) опасных явлений по силе Простейший пуассоновский поток опасных явлений Угроза для объекта Возможность воздействия негативных факторов опасных явлений на объект Пространственный фактор угрозы а,, Временной фактор угрозы к, Ситуационный фактор угрозы к_с Равномерное распределение очагов опасных явлений и уязвимых обі»ек-тов по территории Уязвимость

объекта Возможность разрушения объекта Условная вероятность разрушения объекта

> t/«p) Известны F_mt(u) и распределение случайной величины критической нагрузки для объекта F_KP(u) Эффективность системы безопасности

объекта Возможность отказа системы безопасности объекта Вероятность перерастания аварийной ситуации на объекте в аварию <7а» Известна структурная схема надежности системы безопасности Ущерб от

ЧС на объекте Возможность причинения ущерба, превышающего установленные критерии Вероятность классификации последствий как ЧС у-го класса по степени тяжести дне Известно распределение F(w) ЧС на объекте по ущербу ствию негативных факторов. Для перемешаюшихся объектов необходимо также учитывать временной фактор к, — долю времени, в течение которого объект находится в зоне действия негативных факторов опасного явления в случае его реализации, а для объектов — потенциальных целей для злоумышленных действий — ситуационный фактор угрозы к_К.

Сила опасных явлений характеризуется распределением F_max(u) = = P(Un*x < и) случайной величины 0^, действующей от опасных явлений на элементы антропосферы нагрузки, а стойкость этих элементов к действию негативных факторов опасного явления — случайной величиной критической нагрузки U_Kp, при которой еше не наступает разрушение, описываемое функцией распределения F_Kp(u) = P(U_Kp< и). Уязвимость элементов антропосферы характеризуется условной вероятностью разрушения застройки (превышения действующей нагрузкой критической для объекта воздействия) при условии, что опасное явление произошло: q_p = = P(U_max>U_Kp).

Возможность отказа системы безопасности объекта характеризуется вероятностью q._M перерастания аварийных ситуаций в аварию, оцениваемой с помощью вероятностного анализа безопасности для различных сценариев развития аварии.

Размер ущерба зависит от многих факторов: числа объектов, попавших в зону действия негативных факторов опасного явления, возможности формирования в случае их разрушения вторичных негативных факторов для других объектов и людей и др. По совокупности возможных опасных явлений последствия инициированных ими ЧС характеризуются случайной величиной W. Вероятность классификации последствий негативного события как ЧС j-го класса по степени тяжести определяется по выражению (11.20).

Таблица 11.5

Взаимосвязь показателей опасности, угрозы, уязвимости и риска Источник Показатель опасное™ опасности угрозы уязвимости риска Постоянно

действу

ющие

вредные

факторы Местоположение (х, у) и площадь 5„(дг, у) зоны действия негативных факторов с уровнем

Р,™»(0 Условный — к,. Безусловный — кр, и =

= J PmtJDdr

Л/ Условный —

Я = Fф(и) =

= P(U*p<u). Безусловный — k,F*p(u) Q(M) =

= P(U₄,<kM) Опасные

явления Область возможного возникновения;

частота

1/год; распределение по силе F(u) сопутствующих

негативных

воздействий Условный — а,,к,. Безусловный -

«п*Л Условный — F^u) =

= P(U^<u). Безусловный — Х_чс = а_пк_І\Р(и>

> и,р) Условный — W.

Безусловный -

л/[»7д/|-= «ДО =

= о„к,Р(и>

>U_Kр)

A/Jw/(w)dw В рассмотренной модели все события кроме первого (инициирующего) являются условными и наступают при реализации предыдущих событий. Поэтому показатели угрозы, уязвимости, ущерба рассматриваются условными либо безусловными (табл. 11.5).

Определение частоты ЧС по известной частоте инициирующих событий с помощью распределения Пуассона. Некоторые из рассмотренных событий (случайных величин) являются стохастически зависимыми. Например, такие случайные величины, как сила опасного явления, площадь зоны действия его поражающих факторов и размер ущерба положительно коррелированы. Это приводит к зависимости между соответствующими показателями, в частности а,,, <7_Р и <7_ЧС, по общему режиму. В предположении независимости рассмотренных случайных величин и соответствующих им событий получим для рассматриваемой территории верхние (консервативные) оценки частоты ЧС у'-го класса по степени тяжести:

\₄Cj='b-a_nk_lq_pq_aBq_4CJ. 01.21)

Если существует прогноз вероятности q(Ai) наступления опасного явления в течение интервала времени At, то вероятность ЧС на рассматриваемой территории в этом интервале времени можно определить по формуле

Очс>(ДО = qW)a,_lk_lq_pq_aBq_4c J.

Точность определения частоты ЧС по формуле (11.21) зависит от точности оценок частных показателей. Считая средние квадратические отклонения о_Фі малыми (Ф* — факторы риска), разлагая зависимость Хчс = /(Ф|, .... Ф*. .... Ф/) в ряд Тейлора и ограничиваясь ввиду малости погрешностей линейными членами, получим соотношение для вычисления среднего квадратического отклонения погрешности определения частоты ЧС. Для некоррелированных составляющих

фипиенты чувствительности повторяемости ЧС к отдельным факторам: а_ь а_ц,а_?, а„—средние квадратические отклонения оценок частных показателей. Объекты инфраструктуры могут подвергнуться воздействию опасных явлений нескольких видов, как правило, разновременно. Следовательно, результаты их воздействия можно считать независимыми и оценивать частоту ЧС у'-го класса по формуле

^•ЧС j - X ^і^аіч^іЯр'ЯлшЯчСу-/-І

(11.22)

Вероятный ущерб на определенной территории за фиксированный интервал времени характеризуется риском, который количественно определяется произведением частоты чрезвычайных ситуаций на их последствия:

R(\t) = М [W/M] = а_чс(Д/)й\

где а_чс(Д/) = Хл|_СД/; w — средний ущерб от чрезвычайной ситуации в результате взаимодействия реализовавшеюся опасного явления с антропосферой.

Определение частоты ЧС по частоте инициирующих событий с помощью распределения Эрланга. Пусть а„, к„ q._m, <?_чс = 1. В этом случае опасное явление в некотором пункте с координатами х, подвергающемся воздействию негативных факторов процесса и(//х), приводит к ЧС при превышении его негативными факторами предела прочности элементов инфраструктуры к воздействию этих факторов, т.е. когда происходит разрушение объекта.

Случайный интервал времени между ЧС обозначим Г. Получим соотношение для распределения времени между ЧС F(r) = Р( Т< t) в рассматриваемом пункте х.

В предположении, что поток ЧС, гак же, как и поток опасных явлений, является простейшим, время между ЧС будет распределено по экспоненциальному закону с частотой, определяемой в соответствии с (11.21):

*чс =Ч- (11.23)

Однако поток ЧС, вызванных опасными явлениями, следует рассматривать как поток с ограниченным последействием, когда простейший поток опасных явлений «прореживается*, так как не все явления вызывают разрушение застройки и ЧС, а лишь те, амплитуда которых превышает стойкость элементов инфраструктуры. Если все опасные явления приводят к разрушению (q_p = 1), то получаем экспоненциальное распределение времени между ЧС с Х_чс = X. Если каждое второе опасное явление не приводит к ЧС (<7_Р = 1/2, к = \/q_p = 2 временных интервала до ЧС), то оставшиеся опасные явления, приводящие к ЧС, образуют поток Эрланга первого порядка. Поток Эрланга второго порядка получится, если к ЧС приводит каждое третье опасное явление (q_p = 1/3), а два промежуточных не приводят. Вообще потоком Эрланга (к - 1 )-го порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить каждую к-ю точку, а остальные выбросить, т.е. рассматривать к временных интервалов.

Найдем закон распределения времени между ЧС для территории в потоке Эрланга (к - 1)-го порядка. Обозначим Т, — промежутки времени между опасными явлениями на данной территории в простейшем потоке, которые представляют собой независимые случайные величины, имеющие экспоненциальное распределение с параметром X. Тогда время полного ожидания наступления Л-го события можно представить в следующем виде

T = tЪ-

Т»|

Если условная вероятность ЧС на территории при условии, что опасное явление произошло, равна q_p, то поток ЧС является потоком Эрланга порядка к - 1 = \/q_p. Функция распределения F(i) = = Р(Т< t) должна учитывать сумму экспонент, отвечающих пуассоновскому распределению событий:

*-і (\t\^m

F(t) = I - X ^-ехр(-Х/), (11.24)

m =0 m ¦

с математическим ожиданием

й*-і = *ро, гае Цо= ІА- и дисперсией

Дифференцируя выражение (11.24) по /, получим функцию плотности вероятности в виде

fit) = exp/> 0.

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия случайной величины Т равны соответственно

л/т«і/(ч>; d\t\ = \/(\\).

Следовательно, при уменьшении q_p (увеличении порядка потока Эрланга) увеличиваются как математическое ожидание, так и дисперсия времени между ЧС. При к = 1 последействие отсутствует, а при к -» °о между моментами ЧС существует жесткая функциональная связь.

На рис. 11.4 приведены рассчитанные по двум моделям функции распределения времени между ЧС на территории, подверга-

FU) I, лет

Рис. 11.5. Функции распределения времени до ЧС: сплошными линиями обозначено экспоненциальное распределение с Х_Ч( = Я^_р; пунктиром обозначено распределение Эрланга порядка А: — 1 = 1/^_р юшейся воздействию негативных факторов опасных явлений, происходящих с интенсивностью X = 1 1/год. Видим, что модель экспоненциального распределения времени между ЧС с интенсивностью (11.23) приводит к существенным отличиям расчетных значений вероятностей от фактических, которые возрастают при </р-> 0). При этом для к ц₍₎ вероятности ЧС занижаются, а для I > Цо — завышаются. Таким образом, при малых г использование экспоненциального распределения дает нижнюю оценку защищенности рассматриваемого пункта. Более опасной является ситуация с обеспечением защищенности территорий в больших интервалах времени, для которых использование экспоненциального распределения завышает защищенность.

Таким образом, можно сделать следующие выводы. Для слабозащищенных территорий допустимо использовать экспоненциальное распределение времени между ЧС и простейший пуассоновский поток этих ЧС. Для хорошо защищенных (слабоуязвимых)' территорий на больших временных интервалах после очередной ЧС использование экспоненциальной модели занижает вероятность ее наступления: если ЧС не произошла до сих пор, то скорее всего вот-вот произойдет!

Гиперэрланговское распределение. Распределение Эрланга описывается только при целых к. Однако для произвольных q_p порядок к является не целым числом. Теоретической моделью распределения времени между ЧС в этом случае является гиперэрланговское распределение (смесь распределений Эрланга), плотность распределения вероятностей которого

/(/) = I С, ехр(-Х/) (/ 2 0), (11.25)

Гі («-О!

C_m> 0, ?C_m = I, л = Enl(k) + I. Параметры C_mгиперэрланговского

m-\

распределения определяются следующим образом: С\ - 0,С„ ₂ = = 0, С_п_\ = к - Епі(к), С_я= І-С_я.,.

Вероятность ЧС за интервал времени |/, / + А/| при условии, что ЧС до момента времени / не произошла, вычисляют по формуле

Q(Al/l) = PU < Т < і + А// Т> і) = \ f\t/T>t)dt, (11.26)

/

где f’(t/T> I) — условная плотность распределения вероятностей времени до очередной ЧС при условии, что после нее и до момента времени / опасное явление не произошло. Вероятность определяется как усеченное распределение (11.25) со степенью усече-

I

ния, равной J/(/W(, где /(/) вычисляют по формуле (11.25). о .

Используют и другие теоретико-вероятностные модели оценки показателя риска.

Примеры. Оценка радиационного риска для персонала и населения по модели зависимости «доза—эффект» (см. подрала. 19.2); оценка риска аварий и катастроф с помощью вероятностного анализа безопасности (см. подрала. 20.2).

11.6. Экспертный метод

Экспертный метод основан на использовании знаний и опыта экспертов — высококвалифицированных специалистов в рассматриваемой предметной области. Экспертный метод оценки риска целесообразно применять в том случае (см. рис. 10.2), когда отсутствуют не только статистические данные по объекту (негативные события являются редкими), но и математические модели (задача является сложноформализуемой).

Сущность экспертного метода оценки показателей риска заключается в том, что экспертам предлагают ответить на вопросы о состоянии или будущем поведении объектов, характеризующихся неопределенными параметрами или неизученными свойствами. Экспертные оценки оформляют, в частности, в виде качественных характеристик или количественных значений вероятностей рассматриваемых событий, отнесенных к определенному отрезку времени. Важное значение при этом придают формированию оценочной шкалы, используемой экспертами. Оптимальная оценочная шкала должна иметь сравнительно небольшое число градаций (от 3 до 8); каждой градации приписывают определенный вероятностный интервал. Кроме того, каждая градация должна сопровождаться краткой текстовой качественной характеристикой.

Для интерпретации и математической обработки экспертных данных можно привлекать модели, основанные на использовании нечетких множеств.

К недостаткам экспертного метода относятся отсутствие гарантий достоверности полученных оценок, а также трудности в проведении опроса экспертов и обработке полученных данных. Второй недостаток может быть преодолен, а первый — имеет принципиальное значение. Повышение достоверности экспертных оценок требует соответствующих процедур отбора экспертов по многим критериям и количественных методов обработки их мнений. При правильной организации процедуры экспертизы и проверки согласованности мнений экспертов обеспечивается достаточная достоверность оценок. Повысить точность экспертных оценок можно путем приглашения экспертов более высокой квалификации и увеличения числа независимых экспертов.

---