ГЛАВА 15. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ О ПРОВЕДЕНИИ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

15Л. Классическая схема принятия решений

В основе управления риском лежит целенаправленный поиск и организация работы по снижению риска, получение и увеличение отдачи в неопределенной хозяйственной ситуации. В зависимости от стратегии развития фирмы и предпочтений ЛПР могут применяться различные правила принятия решений о выборе приема управления риском и варианта решений. Математической основой принятия решений в условиях неопределенности и риска является математическая теория исследования операций.

Рассмотрим схемы принятия решений на примере финансовых операций, которые почти всегда проводят в условиях неопределенности и, следовательно, их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции являются рискованными: при их проведении возможны как прибыль, так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, которую прогнозировали).

Операция называется рискованной, если она может иметь несколько исходов, не равноценных для ЛПР, заинтересованного в успехе операции (например, инвестора, вкладывающего деньги в ценные бумаги и т.п.).

Пример 15.1. Рассмотрим три операции (О,. 0₂, О,) — альтернативы — с одним и тем же множеством двух исходов — результатов А » В. которые характеризуют доходы, получаемые ЛПР:

Все три операции являются рискованными. Понятно, что особенно Рискованными являются первая и вторая операции, так как при их проведении возможны убытки. В третьей операции неудачей является возможность недобора дохода в 5 ден. ед. по отношению к его максимальному значению.

Понятие риска предполагает наличие рискующего, т.е. лица, заинтересованного в результате операции. Непосредственно риск возникает в том случае, если операция может окончиться исходами. не равноценными для него, несмотря на все усилия по управлению операцией. Будем считать, что результаты операций отличаются доходами и этого достаточно для их различения и оценки риска от операции. Итак, в условиях неопределенности операция кроме дохода приобретает еще одну характеристику — риск.

Оценим операцию с точки зрения ее доходности и риска. Предположим, что ЛПР рассматривает возможные решения х = (х,. ..., х„). Ситуация является неопределенной, понятно лишь, что имеются какие-то варианты (ситуации) у = (y_t, у_я). Если будет принято і-е решение (/ = 1, ..., п), а ситуация у-я (у = 1,..., /и), то организация получит доход ?у. Матрица V - (?_?) называется матрицей последствий (возможных решений). Какое же решение нужно принять ЛПР? В этой неопределенной ситуации могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации предварительного характера, которые необязательно будут приняты ЛПР. Многое будет зависеть, например, от его склонности к риску. Каким образом оценить риск в данной схеме?

Допустим, мы хотим оценить риск, который несет і-е решение. Нам неизвестна реальная ситуация у, но если бы мы ее знали (фиксируем у и рассматриваем столбец матрицы), то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Если ситах ?,.

туацияу-я, то было бы принято решение, дающее доход vj = ,

Значит, принимая і-е решение, мы рискуем получить не Vj, а только ?ц, т.е. принятие /-го решения несет риск недобрать Wj = ц- v,j. Матрица W= (и^), или

?(х,у)

max хе X

(15.1)

Щх,у) =

У(х,у)

называется матрицей рисков.

Пример 15.2. Допустим, имеется матрица последствий

Ситуация (исход) у 1 1, .... у, .. ., т ч>

S 5 2 8' 4 ' X

о и

II 2 3 4 12' а

о 8' 5' 3 10 а- I СЧ 8 п Составим матрицу рисков. Имеем ?, = ?_п = 8, ?₂ = 5, ?₃= 8, ?₄ = 12

/

(в исходной матрице выделены знаком «'»). Следовательно, в соответствии с правилом (15.1) матрица рисков

(3308)

H'=(w₀) =

6 2 4 0 0 0 5 2

7 16 4

Компонентами этой матрицы являются значения потерь, возникающих при принятии ;-го решения в случае, если реализуется у-я ситуация.

15.2. Методы принятия рациональных решений

Критерии принятия решений в условиях полной неопределенности. Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации (например, о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации, т.е. о функции распределения F_t(v) = Р(?, < ?)). Например, существует возможность отклонения будущего дохода от его ожидаемой величины и невозможно даже приблизительно указать вероятности наступления каждого возможного результата (исхода). Правила-рекомендации по принятию решений в этом случае следуют из классических критериев.

I. Правило Вальда (критерии крайнего пессимизма, или принцип гарантированного результата), в соответствии с которым рациональное решение определяется по правилу:

.. arg max min V(x, у)' хе X При принятии решения /* получаем такое значение показателя у*, которое мы можем гарантировать при наихудшем для нас значении неопределенного параметра у.

min v₂ j j

min t;₃y j

шіппіу ₌₂

j

= 2,

Так, в примере 15.2 имеем

mini;,:

. -I. Теперь из чисел 2, 2, 3, 1 находим максимальное — 3.

Значит, правило Вальда рекомендует принять третье решение, приносящее доход в 12 ден. ед.

Критерий максимакса, или оптимизма. Этот критерий определяет решение, которое максимизирует максимальный результат Лля каждой альтернативы:

argmax/ max У(х,у)

' ~ xeX{yeY

Так, для примера 15.2 это будет второе решение.

Однако этот критерий слишком оптимистичен, поэтому чаще применяют критерий Гурвица, «взвешивающий» пессимистический и оптимистический подходы к ситуации и состоящий в выборе решения по правилу

arg max хе X

_а min ^U,y) _{+ (l a)} max V(x,y) ye Y ye Y

где а принимает значения от 0 до 1. При а = 1 получается пессимистический подход к принятию решения на основе правила Вальда; при а = 0 — оптимистический подход (критерий максимакса). Значение а выбирается из субъективных соображений (экспертная опенка).

Задача. Какое решение будет принято в соответствии с критерием Гурвица в условиях примера 15.2, если а = 0,7?

Правило (критерий) Сэвиджа (минимаіьного риска, іии минимаксный критерий). Данный критерий соответствует позиции крайней осторожности. Вначале по матрице (15.1) находят матрицу риска W, показывающую потери (отклонения от наилучшего значения) для каждого решения хе X при всех значениях параметра у е Y. Критерий Сэвиджа состоит в выборе решения на основе матрицы риска Щх, у) с использованием принципа гарантированного результата:

min max max У(х,у) хе X уе к[хе X

Уо

-У(х,у)

_ maxww maxiv,. , тахнч, ,

Так, в примере 15.2 имеем = а, -о, =5,

J J J

п дх 4j _ 1 у_епер_{Ь из} чисел g_t 6, 5, 7 выбираем минимальное,

т.е. 5. Значит, правило Сэвиджа рекомендует принять третье решение.

Правила Вальда и Сэвиджа приводят к одинаковым решениям, поэтому их применяют в зависимости от имеющейся информации.

Принятые по рассмотренным правилам решения никто не считает окончательными, самыми лучшими. Это лишь первый шаг. некоторые предварительные соображения. Далее пытаются узнать

что-то о вариантах реальной ситуации, в первую очередь о возможности (вероятности) того или иного варианта. Оценка вероятности варианта предполагает повторяемость рассматриваемой схемы принятия решений: что-то уже было в прошлом или произойдет в будущем, или это повторяется где-то в пространстве, например в филиалах фирмы.

Критерии принятия решений в условиях частичной (вероятностной) неопределенности. Предположим, что в рассматриваемой схеме для каждого /-го решения известны вероятности р_утого, что реальная ситуация развивается по варианту j с соответствующим результатом v_(j. В ситуации частичной неопределенности решения принимают в соответствии со следующими правилами.

Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый фирмой при реализации /-го решения, является случайной величиной V_t с плотностью распределения вероятностей f(v), т.е. вероятностямир_арезультатов (гистограммой), приведенными в табл. 15.1 (считаем эти вероятности для всех решений равными как вероятности различных состояний, оказывающих влияние на результат реализации решения среды), т.е. р_? = р, V /.

Поданным табл. 15.1 для каждого решения рассчитываем средний ожидаемый доход V/ = Л/|К, J = ? р_;?₀. Правило рекомендует

принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход:

_ arg max V_ti = 1, .... n

Предположим, что в схеме примера 2 вероятности р/. '/₂, '/₆, '/₆, 'А- Тогда ?\ = ?₂ + ²/₆ + ?ь + Vt = "Л, Vi = ²⁵/б. V) =1,?а = ¹⁷А-Максимальный средний ожидаемый доход равен 7 и соответствует третьему решению.

Правило Лапласа (равновозможности или безразличия). Это правило применяют иногда в условиях полной неопределенности.

Таблица 15.1

Распределение возможных результатов /-го решения Характеристика Результат реализации решения 1 j m Доход ?, Р/і ?_? V_im Вероятность р, его реализации Рі Pj Pm Таблица 15.2

Распределение потерь при принятии і'-го решения Характеристика Результат реализации решения 1 J т Потери и», W/i ?т Вероя шости Pj их реализации Р\ Pj Pm предполагая, что каждое из возможных состояний среды может наступить с равной вероятностью pj= р = 1/я V j = I, т.

Правит минимизации среднего ожидаемого риска. Потери ЛПР при реализации /-го решения являются случайной величиной W, с вероятностями реализации pj (табл. 15.2).

Для каждого решения вычисляют риск (средние ожидаемые

т

потери) R, = M\W,\= Y. Pj^wij¦ Правило рекомендует принять ре-

П

шение, в результате которого риск (средние ожидаемые потери) будет минимален:

.. _ arg min R,

¹ ¦ i = l...,n '

Вычислим средние ожидаемые потери при указанных выше вероятностях. Получаем R, = ^м/₆, /?₂ = 4, R₃ = ⁷/₆, Л, = ³²/₆. Минимальные средние ожидаемые потери равны ⁷/₆ и соответствуют третьему решению.

При значительном наборе вариантов классические критерии целесообразно использовать в качестве «фильтра» для отсеивания неуместных вариантов решения.

Стохастическое программирование. Данный метод является обобщением нелинейного программирования на тот случай, когда нет точной информации о целевой функции и ограничениях экстремальной задачи. Задачи стохастического программирования возникают при выборе оптимальных решений в ситуациях, когда каждое решение приводит к неоднозначному исходу и с каждым решением связана величина целевой функции, зависящая от случайных параметров, описываемых заданным или неизвестным вероятностным распределением.

Принятие решений в условиях поведенческой неопределенности.

Решения в игровых ситуациях, когда в этом процессе участвует несколько сторон (игроков), принимают методами теории игр. Теория игр впервые была систематически изложена Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1944 г. (Дж. Нейман, 1970). Если интересы игроков противоположны, то игры называют антагони-

стичесКими; если игроки могут объединиться для получения более высокого выигрыша, то игры называют кооперативными. Если конфликт может возникать не только в результате сознательных действий различных участников, то говорят об «играх с природой».

Для характеристики игровой ситуации используют следующие понятия: «игроки (участники)» — множество заинтересованных сторон; «стратегии» — возможные действия каждой из сторон; «функции выигрыша (платежи)» — числовые характеристики, выражающие интересы игроков. Стратегии бывают «чистыми» и «смешанными». Чистая стратегия ориентирована на определенное поведение игрока-противника, а смешанная — на несколько его возможных стратегий поведения.

Игры классифицируют по следующим признакам:

числу игроков — игры с двумя, тремя и большим количеством участников (в частном случае при одном игроке получаем задачу математического программирования);

количеству стратегий, которыми располагают игроки — конечные и бесконечные игры. Так, в системе «продавец—покупатель» каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и количество продаваемого (покупаемого) товара;

свойствам функции выигрыша — игры с нулевой суммой (антагонистические), т.е. игры, в которых есть прямой конфликт и выигрыш одного участника равен проигрышу второго, и игры с постоянной разностью, в которых игроки проигрывают и выигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща;

возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры — кооперативные и некооперативные игры.

Алгоритм формулировки задачи в игровой постановке:

1) определение участников игры (игроков). Анализируют условия задачи, выделяют участников игры и определяют суть конфликта между ними;

2) определение стратегий игроков, следующих из их целей. В матричных играх с нулевой суммой цели игроков прямо противоположны;

3) определение выигрышей (платежей) игроков при использовании каждой стратегии в количественном выражении, являющихся показателями степени достижения их целей. Выигрыши определяются для различных сочетаний стратегий игроков;

4) представление матрицы выигрышей (платежей) в нормальной форме.

Основным принципом решения матричных антагонистических игр является предположение о том, что каждый игрок стремится обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых Действиях партнера. В этих условиях оптимальной стратегией игро-

ка № 1 вне зависимости от стратегии противника будет стратегия, максимизирующая минимальный выигрыш (максиминная стратегия), а для игрока № 2 оптимальной тогда является минимаксная стратегия. Фундаментальным результатом теории игр является теорема о мшшмаксе, которая утверждает, что сформулированные задачи для иіроков № I и 2 всегда имеют решение для любой матрицы выигрышей и решения совпадают.

15.3. Методы оптимизации решений по управлению рисками

В условиях полной определенности, когда исходы каждой операции (решения) известны, для принятия рациональных решений используют методы оптимизации: математическое (линейное, нелинейное, динамическое) программирование, сетевое планирование и др. При этом имеющиеся случайные факторы учитывают в параметрах моделей: например, ожидаемые доходы являются случайными величинами, а количественно характеризуются их средними значениями и средними квадратическими отклонениями, содержащими информацию о рисках.

Выбор наилучшего решения осложняется тем, что каждое решение имеет две характеристики — средний ожидаемый доход V и средние ожидаемые потери (риск) R, т.е. имеем многокритериальную задачу. При этом возможны различные постановки задач оптимизации варианта решения.

Оптимальность по Парето. Допустим, X — некоторое множество операций (решений). Каждая операция хе X имеет две числовые характеристики: эффективность ?(х) и риск Щх). Разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции желательно, чтобы в среднем эффективность V была больше, а риск R меньше. Наилучшую операцию ищут на гак называемом множестве Парето. Множество Парето образуют такие альтернативы решения одной и той же многокритериальной задачи, если относительно любой их пары нельзя сказать, какая из них лучше. На множестве Парето каждая из характеристик V и R — однозначная функция другой, т.е. если операция принадлежит множеству Парето, то по одной ее характеристике можно однозначно определить друіую.

Продолжим анализ рассмотренного ранее примера 15.2. Каждую операцию (решение) (Л, У) отметим как точку на графике (рис. 15.1)Д"1олучим четыре точки. Предпочтение следует отдавать точке (Я, V), расположенной выше и левее.

Для нахождения лучшей операции в этом случае иногда применяют подходящую взвешивающую функцию f(R, V), выражающую отношение ДПР к доходу и риску, которая для операции х с характеристиками (Л(х), ?(х)J дает одно число, по которому и

Рис. 15.1. Выбор наилучшей операции на у множестве Парето (пояснение в тексте)

определяют лучшую операцию. Например, при взвешивающей формуле f (х) = IV(х) - R(x) человек, принимающий решение, согласен на увеличение риска операции на две единицы, если ее доход увеличится при этом не менее чем на одну единицу. Тогда для операций (решений) примера 15.2 имеем: Дс,) = 2 - 29/6 — 20/6 = = 6,33; f(x₂) = 4,33; f(x₃) = 12,83; f(x₄) = 0,33. Видно, что третья операция — лучшая, а четвертая — худшая.

Методы математического программирования. На практике более прибыльные варианты, как правило, являются и более рискованными. Для поиска рационального решения в этих случаях применяют методы математического программирования, сводящие двухкритериальную оптимизационную задачу к поиску решения, доставляющего максимум (минимум) одного из параметров при ограничении на другой параметр. Постановка задачи математического программирования предполагает наличие целевой функции. ограничений, критерия (максимум или минимум) оптимальности и оптимизируемых параметров (вариантов решения).

Задача на максимум состоит в том, что из возможных вариантов, содержащих риск решений, выбирают тот, который обеспечивает максимальный результат (эффективность, доход, прибыль и т.п.) при приемлемом для ЛПР риске:

max: V

хеХ R<R_up , (15.2)

*€*_лоп

где V — средний доход; R и R„_p — соответственно риск и его приемлемое значение; X —.множество возможных вариантов решения с различающимися V и /?; Х_юп — множество допустимых вариантов.

Критерий минимума риска (в экономике используют корпорации, добившиеся устойчивого положения на рынке):

min: R

хе X

(15.3)

?>?„_Р , ХеХ_т

^Где Кир — приемлемое значение дохода.

Задачи (15.2) и (15.3) решаются методами линейного и нелинейного программирования. Например, в задаче оптимизации портфеля активов в качестве оптимизируемых параметров рассматриваются портфельные веса, описываемые вектором X = (дг,, ..., x_h ..., Jt„), где Xj — доля инвестиций в /-й актив, п — число активов в портфеле, а в качестве риска R — разброс доходности, характеризуемый его средним квадратическим отклонением о =

= JW\- Для поиска оптимального решения в этих задачах используют методы квадратической оптимизации.