ГЛАВА 16. ПРЕДПОЧТЕНИЯ ПРИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ

16.1. Роль теории полезности при принятии решений

Риски имеют объективную основу из-за неопределенности внешней среды по отношению к рассматриваемому объекту, наличия случайных факторов, существование которых не зависит от деятельности организации. Внешняя среда включает объективные природные, экономические, социальные, политические и другие условия, в рамках которых организация осуществляет свою деятельность и к динамике которых вынуждена приспосабливаться. Неопределенность внешней среды обусловлена зависимостью ее состояния от множества факторов, динамику которых не всегда можно предсказать с приемлемой точностью.

Но риски имеют и субъективную основу, поскольку всегда реализуются через человека. Именно человек оценивает рисковую ситуацию, формирует множество возможных альтернатив и выбирает из них одну. Кроме этого, восприятие риска зависит от конкретного человека с его характером, складом ума, психологическими особенностями, уровнем знаний и опыта в определенной области деятельности. Поэтому фундаментальными вопросами, например, финансового анализа кроме объективных являются и субъективные: «Почему люди дают деньги взаймы?»; «Как и когда предпочитают их отдавать?»; «Какова для них ценность или полезность денег?»

Ранее были рассмотрены правила принятия рациональных решений без учета предпочтений ЛПР. Предпочтения людей в сфере выбора и принятия решений изучает теория полезности. Понятие полезности вводят для измерения меры предпочтительности. Мир полон желанных вещей, но разные люди готовы платить за них разную цену. И чем больше мы чего-то имеем, тем меньше склонны платить за то, чтобы получить больше. Например, полезность прибыли для инвестора в общем случае не пропорциональна величине прибыли. Существует эффект насыщения. С другой стороны, получение даже небольшого убытка (отрицательной прибыли) обычно болезненно воспринимается инвесторами. «Огорчение» инвестора при получении убытка более значимо, чем его «удовлетворение» при получении прибыли, равной ему по абсолютной величине. При определенных условиях предпочтения инвесторов могут быть представлены в виде функции.

Теория полезности позволяет ЛПР влиять на выбор альтернатив согласно своим оценкам их полезности. Предпочтения при принятии решений рассматривают для двух случаев:

без учета неопределенности и риска, т.е. используется детерминированный вариант теории полезности;

с учетом неопределенности и риска — используется теория ожидаемой полезности (стохастический вариант), основы которой были заложены Д.Бернулли в 1738 г., раньше детерминированного варианта. Основоположниками теории ожидаемой полезности в современном виде являются американские ученые Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн.

Введенное Д. Бернулли понятие полезности легло в основу закона спроса и предложения, стало основой объяснения процесса принятия решения и теории выбора. Понятие полезности лежит в основе теории игр, оно оказало решающее влияние на психологию и философию, потому что Д. Бернулли предложил стандарт для оценки разумности человеческого поведения.

16.2. Предпочтения при принятии решений в условиях определенности

Система предпочтений индивида. Будем считать, что поведение участника рынка—индивида (конкретного человека), а также домашнего хозяйства, предприятия, банка, полностью описывается следующей аксиомой: каждый индивид принимает решения о покупках, обмене, взятии денег в долг исходя исключительно из своей системы предпочтений. Последние определяют, что нечто является более желательным, чем что-то другое. Система предпочтений индивида указывает, какой из двух наборов товаров предпочтительнее для него.

Обозначим X = (х,, ..., х„) — некоторый набор товаров, где х, — количество /-го товара. Под товаром понимают некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время и в определенном месте. Каждый товар желателен для индивида. В число товаров входят и деньги ?. Потребитель различает наборы товаров, предпочитая один набор другому. Запись X < Y означает, что потребитель предпочитает набор У набору X либо не делает между ними различий (отношение слабого предпочтения). Для любого X Множество слабой предпочтительности Р_х выпукло. Выпуісюсть оз-

начает, что лучше иметь комбинацию товаров, допустим, в меньших количествах, чем только один из этих товаров (лучше иметь по-немногу соли, сахара, кофе, хлеба, чем одну только соль или один сахар, хотя и в большем количестве).

Отношение равноценности или безразличия X ~ У является эквивалентностью и разбивает пространство товаров на непересе-кающиеся подмножества, называемые классами или множествами равноценности (или безразличия), а в случае двух или трех товаров — кривыми, или поверхностями равноценности. Каждое отдельное множество или класс равноценности состоит из наборов товаров, одинаково привлекательных для потребителя. Типичная картина для двух видов товаров показана на рис. 16.1, а, где К_х, К_у — классы равноценности наборов X, У соответственно (X < У); заштриховано множество слабого предпочтения Р_у. Кривые (линии) безразличия соединяют потребительские наборы, имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивида. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия. Линия безразличия, расположенная выше и правее, соответствует большему удовлетворению потребностей.

Простой обмен наборами товаров может быть выгодным для обоих участников. А.Смит приводил пример такого обмена: дальнозоркий и близорукий имеют каждый не те очки, а в результате обмена получают ценные для себя вещи. Похожий вариант обмена показан на рис. 16.1, б. Допустим, первый участник имеет набор товаров Л, а второй — В. Теперь представим, что они поменялись этими наборами. Так как набор В лежит выше кривой равноценности первого участника (сплошная линия), на кото-

Рис. 16.1. Линии безразличия индивида для случая двух товаров: а — карта линий безразличия; 6 — иллюстрация варианта обмена наборами товаров А и В\ I — бюджетная прямая; 2, 3 — линии безразличия; Х\ и х₂ — соответственно количество товаров А к В

рой лежит прежний набор А, то набор В для него ценнее. Аналогично и для второго участника, кривая равноценности которого изображена пунктирной линией. Если одним из товаров являются деньги, то подобный вариант обмена является покупкой товара одним из участников у другого и эта сделка обоюдовыгодна.

Функция полезности. Привлекательность набора товаров количественно оценивается функцией полезности и(Х). Если набор А предпочтительнее набора В, то и(А) > и(В). Каждый потребитель имеет свою функцию полезности. Чем больше количество товара (блага) х, тем больше полезность от обладания им. Таким образом. полезность рассматривается как неубывающая функция и(х), и(0) = 0.

Линия безразличия является линией уровня функции полезности. Функция полезности потребителя определяется на множестве потребительских наборов (Х|, ..., х_п) и показывает потребительскую оценку индивидуумом этого набора, т.е. степень удовлетворения потребностей индивидуума, если он приобретает данный набор.

Задача рационального поведения потребителя на рынке заключается в выборе такого потребительского набора (для двух видов товаров х“, х§), который максимизирует его функцию полезности и(х|, х₂) при заданном бюджетном ограничении. Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на товары не могут превышать денежного дохода, т.е. С\Х\ + с^х₂ ^ Л где х, и х₂— количество единиц первого и второго товара соответственно; с, и с_г — рыночные цены одной единицы первого и второго товаров соответственно. Считают, что потребитель располагает доходом /, который он полностью тратит на приобретение благ (товаров), т.е. величина /— это не доход, а расход данного потребителя. Потребитель решает статическую задачу, т.е. в модели не учитываются межвременные предпочтения и возможность делать или расходовать сбережения. Математическая постановка задачи потребитель-ского выбора имеет вид:

max: u(X|,x₂)

Х|,Х₂ С|Х|+С₂Х₂</,

X, >0, х₂ >0.

Временная ценность денег для индивида. Математическая эквивалентность денежных сумм Vи ? в различные моменты времени Т и / при процентной ставке / выражается соотношением

?(Т) = Ц(/)(1 + (16.1)

Рис. 16.2. Математическая эквивалентность (а) денежных сумм в различные моменты времени и функции (б) временной ценности денег (пояснение в тексте)

На графике в координатах «время г — деньги К» (рис. 16.2, а) проведены две кривые безразличия, каждая из которых является классом эквивалентности, задаваемым уравнением (16.1). Можно сказать, что сумма ? в момент 1 эквивалентна «сиюмоментной» сумме ?( I + При этом можно ограничиться рассмотрением единичной суммы и неотрицательными моментами времени. Обозначим «сиюмоментную» ценность единичной суммы в момент t через S(r). График объективной функции временной ценности денег 5(0 = (I + /) ' изображен на рис. 16.2, б кривой 1.

Однако у конкретного индивида эквивалентность «время—деньги» необязательно совпадает с математической. Положение вполне аналогично отношению конкретного индивида к деньгам и ценам на разные товары: в магазинах установлены ценники на товары и все это создает эквивалентность на пространстве наборов товаров вместе с деньгами — это так называемая всеобщая эквивалентность — аналог математической. Вместе с тем у каждого индивида есть свое конкретное отношение к деньгам, товарам, времени, и поэтому своя функция временной ценности денег, которая может отличаться от математической. Например, у человека, который через год вступит во владение большим наследством, она может выглядеть как кривая II на рис. 16.2, б, а у человека, доходы которого через два года значительно уменьшатся — как кривая ill. Можно выделить три типа функций временной ценности денег, называя их по отношению к объективной пессимистической (111), нейтральной (1) и оптимистической (II). Тогда принцип дачи и взятия денег в долг состоит в том, что берут взаймы в промежутки большей ценности денег, а отдают в промежутки меньшей ценности.

Полезность денег. Хорошо известно различное отношение людей к деньгам. Обозначим функцией и(?) — полезность денежной суммы о для индивида (рис. 16.3). Функция и(?) обладает свойством ВОГНУТОСТИ — U(Vі + Vi) < U(V|) + «(lb) ДЛЯ ЛЮбЫХ СУММ ?\ и

і»2, т.е. полезность денег уменьшается с увеличением их количе-

Рис. 16.3. Зависимость полезности денег (и) для индивида от их количества (?) (пояснение в тексте)

ства. Эго аксиома, характеризующая поведение индивидуума и подтверждаемая всей человеческой практикой. С помощью функций полезности денег можно выразить характерное отношение к ним индивида. На рис. 16.3 изображены функции полезности денег индивидов А и В. Можно сказать, что индивид А хотел бы и будет доволен, если его доход лежит на промежутке | р. </). В случае превышения такого дохода он начинает ценить деньги меньше, возможно, переключится на другие «радости» жизни. Для индивида В такое состояние наступает при больших суммах.

16.3. Предпочтения при принятии решений в условиях риска (теория ожидаемой полезности)

Отношение ДПР к риску имеет важное значение для анализа принятия им различных решений. Теория полезности требует от разумного человека способности оценивать полезность, на этой основе делать выбор и принимать соответствующие решения в условиях неопределенности. На выбор решения, например о реализации инвестиционного проекта, влияет несколько факторов: ожидаемая доходность; временные предпочтения; вероятностные оценки риска; степень неприятия риска ДПР, связанная с его отношением к риску, и др. Один и тот же человек может в одних обстоятельствах идти на риск, а в других — избегать его.

В подразд. 16.2 были рассмотрены предпочтения ДПР в зависимости лишь от количества товара х (или размера дохода ?). При этом не учитывалось влияние различных факторов на предпочтения ДПР и. следовательно, на вид кривых полезности. В том случае, когда речь идет о случайных величинах, для формализации предпочтений используют теорию ожидаемой полезности.

Оценим влияние на полезность некоторого дохода ? степени возможности р его получения.

Простейшие лотереи. Если индивид покупает лотерейный билет при вероятности р = 0,5 выигрыша (дохода) ?= 100 р. за сумму Щ У] = рУ= 0,5 ¦ 100 = 50 р., равную математическому ожиданию выигрыша, то он — «объективист». Если он согласен заплатить за билет менее М[ К), то он «пессимист» — не любит рисковать, не верит в выигрыш. Если же он согласен заплатить за билет более М\?\, т.е. верит в выигрыш, то его отношение к риску положи-

цена _лбилета V

Распределение ЛПР по отношению к риску Рис. 16.4. Зависимость покупной цены лотерейного билета (Р) от вероятности выигрыша и склонности ЛПР к риску (р) (пояснение в тексте) тельное и его можно назвать «оптимистом» или «любящим риск». Будем теперь изменять р. В результате получим графики покупной цены такого билета (рис. 16.4) для оптимиста А(р), объективиста В(р) и пессимиста С(р). Понятно, что экономическое поведение по типу С, при котором человек больше боится потерять, чем желает приобрести, будет отличаться от поведения типов А и В в пользу осторожных решений и умеренных действий.

Известно, что разные люди относятся к риску по-разному: одни не любят рисковать, другие считают себя «счастливчиками», которым непременно повезет. Отношение разных ЛПР к риску можно оценить долей / площади под соответствующими кривыми на рис. 16.4 по отношению к площади квадрата: для объективиста/= 0,5 — его отношение к риску нейтральное; для пессимиста 0 </< 0,5 — он риска не любит и чем меньше /, тем больше он не любит риск; для оптимиста 0,5 </< I и чем ближе /к 1, тем благожелательнее его отношение к риску.

Большинство людей не любит рисковать и вообще во всех серьезных решениях риск предпочитает уменьшать. Поэтому поведение инвестора, например, наиболее адекватно описывает кривая

С(р).

Рассмотрим лотерею не с конечным множеством исходов, а более общую ситуацию. Когда множество исходов является множеством всех неотрицательных денежных сумм R* = |0, ~|, лотерея задается функцией распределения F(v) = Р(?< ?) случайной величины дохода Vв лотерее. Если для ЛПР определена функция полезности и(?), то средняя ожидаемая полезность Лотереи Vрассчитывается по формуле

М\и(?)\ = J u(v)f(v)dv,

R‘

где f(v) — плотность распределения вероятностей случайной величины V. Ее дискретный аналог — где Ха ^{= 1}

і

Средняя ожидаемая полезность лотереи М\и(У)\ — это. во-первых, размер денежной суммы, который для ЛПР равноценен

величине J u(v)dF(v), а во-вторых, аналог покупной цены лоте-r•

рейного билета.

Пример 16.1. Допустим, функция полезности и(?) = >1?, а выигрыши лотереи равномерно распределены в интервале |0, 11. Тогда средняя ожидаемая полезность лотереи М\и(?)\ = J -Jvdv =

о

Обозначим средний выигрыш в лотерее V = M\V]= J vdF(v).

я-

Свойство вогнутости функции полезности и(?) эквивалентно выполнению неравенства

М\и{У)\ = J u(v)dF(v) < и

J vdF(v)

= и(У),

(16.3)

т.е. для ЛПР ценность усредненной денежной суммы больше усредненной полезности этих денежных сумм. Таким образом, поведение ЛПР напоминает поведение «пессимиста». _

Ожидаемая полезность лотереи М\и(?)\ нс больше и(У) — полезности среднего ожидаемого размера денежной суммы, которую ЛПР может выиграть в лотерее У Величину М\и(У)\ называют безусловным эквивалентом лотереи V (эквивалентом без всяких вероятностных соображений). Разность и(У)- М\и(У)\ показывает степень неприятия ЛПР риска и характеризует сумму, от которой Л П Р готово отказаться, чтобы не принимать на себя риск. В теории полезности считают инвестора не склонным к риску, если он предпочитает гарантированное получение выигрыша У Участию в лотерее, выигрыш которой описывается случайной величиной У. Это означает, что полезность выигрыша У для инвестора выше, чем полезность участия в лотерее:

и(У) > М\и(У)\.

Детерминированным эквивалентом лотереи, выигрыш которой является случайной величиной V, называется такая величина V, при которой инвестор безразличен в выборе лотерее и получением V наверняка. Величина равенства и( V ) = М\и( У)|, т.е.

между участием в V определяется из

V = іг'М\и(?)\.

Г?.

2/3 получим

Так, в условиях примера 16.1 из равенства V = 4/9.

Разность Л = V -У между ожидаемым выигрышем в лотерее и ее детерминированным эквивалентом называют премией (надбавкой) за риск (рис. 16.5). Премию за риск требует, например, инвестор, когда ожидаемый доход является случайной величиной, или кредитор от не вполне надежного заемщика, добавляя ее к процентной ставке по предоставляемому кредиту.

В условиях примера 16.1 А = '/₂ - У, = '/_ls.

Степень неприятия риска ЛПР. Она зависит от вида его функции полезности денег и(?). Для представления предпочтений инвестора в теории ожидаемой полезности обычно используют следующие функции:

квадратичная

и{?) = ^v~~y< v < 1/А;

экспоненциальная

и(?) = 1 - е-^ь\ А > 0;

Рис. 16.5. Ожидаемый выигрыш, детерминированный эквивалент и премия за риск (пояснение в тексте) логарифмическая

u(v) = log(t> + b). v>-b.

Для характеристики степени неприятия риска в различных точках области ее определения используют локальную несклонность ЛПР к риску:

и"(?) иЬ) '

которая в конкретной точке ? определяет коэффициент Эрроу-Пратта неприятия риска.

Такой вид характеристики выбран из следующих соображений:

степень неприятия риска определяется вогнутостью функции полезности. Математически степень вогнутости определяется величиной второй производной. Однако одной второй производной недостаточно: если функцию полезности увеличить, например, в 2 раза, то система предпочтений ЛПР не изменится, но вторая производная тоже возрастет в 2 раза, хотя неприятие риска, очевидно, не изменилось. Для устранения этого применяют отношение производных;

для функции полезности первая производная положительна, а вторая — отрицательна. Дія отношения производных г(?) > О V ?.

Если функция г(в) положительна при всех ?, то и(?) — выпукла, а ЛПР — не склонно к риску.

Пример 16.2. Найти коэффициент Эрроу—Пратта неприятия риска для ЛПР с функцией полезности и(?) = 1 - е~^ь?, b > 0 в некоторой точке !>„. Имеем и’(?) = be¹"’, и"(?) = -ti^le~^bv. Значит, r{v) = b, т.е. локальная несклонность к риску ЛПР постоянна и положительна, так как 6 > О, а коэффициент Эрроу—Пратта r(ifo) = b.

Локальная несклонность к риску для квадратичной функции

I полезности определяется зависимостью

г(?) = -^—.

При ?< I/Ь функция г(?) является положительной и возрастающей.

В случае логарифмической функции полезности г(?) = 1/(? + b). Поскольку v > -b, то r(v) > О V ?. Рассматриваемая функция полезности характеризует инвестора с убывающей несклонностью к

Риску.

Функция полезности и(?) для рационального инвестора долж-^{11 а} обладать следующими свойствами:

I) и'(?) > 0 (ненасыщаемости богатства). Чем больше богат-^во, тем больше полезность от обладания им, т.е. и(?) — неубы-

вающая функция (см. рис. 16.4). Один из двух постулатов, принятых Г. Марковицем при построении современной теории портфельного инвестирования заключается в том, что при двух вариантах инвестирования ЛПР выбирает вариант с большей доходностью (Н.Markovitz, 1952); второй постулат состоит в том, что при равной доходности инвестор выбирает вариант с меньшим риском;

2) и"(?) < 0 (несклонности к риску). Несклонность к риску объясняется следующими факторами: уменьшением ценности денег с увеличением их количества — имеет место эффект насыщения (см. рис. 16.4); риском потери того, что уже есть, в попытке получения дополнительного богатства, которое к тому же становится все менее ценным. А богатые люди нс склонны рисковать заработанным;

3) u"(t>) > 0 (осторожности);

4) и""(?) < 0 (сдержанности).

Для описания склонности или несклонности Л П Р к риску воспользуемся следующими понятиями:

простого шанса (лотереи) L = (И,, Vj/p), где V, и ?_г — выигрыши с вероятностями р и (I - р) соответственно;

детерминированного эквивалента У.

Под детерминированным эквивалентом понимают:

а) такой гарантированный доход, который для данного лица эквивалентен простому шансу;

б) сумму, которую ЛПР согласно заплатить за участие в простой лотерее, т.е. за (100 р)%-й шанс выиграть Р, рублей.

Склонность или несклонность ЛПР к риску определяется в зависимости от соотношения ожидаемого выигрыша в простой лотерее ?= М\?\ =

А

= р?\ + (1 -р)?г и гарантированного эквивалента ?\ если

?>?, (16.4)

то ЛПР считается склонным к риску; если

?<?, (16.5)

то это ЛПР не склонно к риску; если

У = У, (16.6)

то данное ЛПР безразлично к риску.

Полученные условия позволяют сделать вывод о виде функции рисковой полезности м( У). В соответствии с формулой (16.2) значение функции рисковой полезности на примере простой лотереи определяется выражением:

Л/|и( У)\ = и( У,, ?т/р) = 5>и(К,) = ри( У,) + (I-р)и(У₂).

/-І

Соответствие простой лотереи гарантированному эквиваленту и(И) означает, что их полезность для инвестора одинакова:

и(У) = и( У_ь V-Jp) = ри( У,) + (I ~р)и{ У₂).

С учетом условия (16.4) для ЛПР, склонного к риску, имеем

и(У) = ри( У,) + (I-р)и(У₂) > и\рУ, + (I-р)У₂1,

т.е. функция рисковой полезности и(?) является выпуклой.

Если ЛПР не склонно к риску, то с учетом условия (16.5) имеем

и(У) = ри( У,) + (I - р)и( ?₂) < и{рУ, + (1 -р) У₂\

и функция и( У) — вогнутая.

Если ЛПР безразлично к риску, то с учетом условия (16.6) верно равенство

и(И) = ри( И,) + (1 - р)и( ?₂) = и\р?, + (1 - р) У₂] и функция и(У) — линейная.

Для практического использования функции рисковой полезности ее необходимо построить для каждого ЛПР. Для этого проводят опрос методом простого шанса (простой лотереи).

Пример 16.3. Допустим, начальный капитал У₀ ЛПР составляет 4 тыс. р., а его функция полезности денег u(v) = -Jv. Ему предлагают лотерею, в которой возможен выигрыш К, = 12 тыс. р. с вероятностью р_{ = 0,5 и «выигрыш» У₂ = 0 р. с вероятностью /ь = 0,5. Следует ли ЛПР участвовать в такой лотерее?

Решение. Полезность 4 тыс. р. для ЛПР равна и(У₀) = и(4) = ?^4 =2. Полезность его капитала в случае принятия решения об участии в лотерее и выигрыша 12 тыс. р. равна и(4 + 12) = 4, а после «выигрыша» 0 тыс. р.

2

"(4) = 2. Средняя ожидаемая полезность лотереи М\и(У)] = Хл^м(Ю =

= 0,5 • 4 + 0,5 • 2 = 3, что больше первоначальной. Следовательно, ему Целесообразно участвовать в лотерее. А сколько ему можно заплатить за право участия в этой лотерее? Плата s определяется из условия

?р,и(К -я)>и(У₀).

м

Тогда из уравнения 0,5(4 - s + 12) + 0,5(4 - s) = 2 находим: s = 3,75 тыс. р.

Учет отношения ЛПР к риску. Введем в рассмотрение функцию полезности м(г, с), с помощью которой ЛПР оценивает операцию с риском R и эффективностью (средней ожидаемой доходностью) V. Любая линия уровня функции и, определяемая из условия и(г, ?) = const, дает операции, равноприемлемые для ЛПР (кривые безразличия). В зависимости от отношения ЛПР к риску эти функции могут быть трех видов (рис. 16.6):

соответствуют неприятию риска; двигаясь по кривой безразличия. ЛПР компенсирует увеличение риска все большим увеличением дохода (платой за риск). При этом чем круче вверх идут ветви кривых, тем выше степень избегания риска ЛПР (см. рис. 16.6. о);

соответствуют нейтральному (безразличному) отношению к риску (см. рис. 16.6, б);

соответствуют благожелательному отношению к риску, когда ЛПР считает, что ему непременно повезет, и предпочитает более рискованные операции (см. рис. 16.6, в).

Наиболее естественным представляется поведение ЛПР с неприятием риска. Функция полезности такого Л П Р может быть следующей: и(г, ?) = ?- 2г. Допустим, и(г, ?) = 0, тогда ? = 2г, т.е. ЛПР готово увеличить риск на 1 ед., если при этом эффективность увеличится на 2 ед.

Отношение ЛПР к риску посредством его функции полезности учитывают, например, при решении задачи об оптимальном портфеле ценных бумаг, среди всех портфелей л найти портфель Р. наиболее полезный для данного ЛПР, т.е. максимизирующий его функцию полезности:

(16.7)

max : «(Р) Ре л

Такой портфель надо искать среди портфелей л, оптимальных по Парето (или эффективных).

Рис. 16.6. Зависимость доходности от риска при различном отношении

ЛПР к риску

Множество портфелей с различными портфельными весами X характеризуется определенными значениями средней доходности ?_Р и риска (дисперсии доходности) R_h Естественной функцией полезности портфеля является такая, которая возрастает с увеличением его средней доходности У_Р и уменьшением риска R_P. Поэтому можно ограничиться лишь портфелями, оптимальными по Марковицу, т.е. имеющими максимальную среднюю доходность при данном риске или минимальный риск при данной средней доходности. В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели без коротких позиций (покупка в долг на короткий срок для последующей продажи актива или продажа актива без покрытия), т.е. инвестор по каждому активу находится в длинной позиции (купил актив за свои деньги для последующей продажи). Из-за недопустимости коротких позиций на пор-

П

тфельные веса кроме естественного условия = I наложено

условие неотрицательности х, >0?/.

Если построить зависимость между средней доходностью и средним квадратическим отклонением доходности для оптимизированных в соответствии с (15.2) или (15.3) портфелей, то получится кривая, вид которой изображен на рис. 16.7. Для каждого портфеля, представленного точкой из отрезка кривой АВ, существует портфель с таким же средним квадратическим отклонением и большей средней доходностью, которому соответствует точка на отрезке ВС. Таким образом, отрезок кривой ВС представляет множество наилучших портфелей, или, как говорят, эффективное множество. Из двух портфелей Р, и Р₂, принадлежащих отрезку ВС, если Р\ предпочтительнее Р₂ с точки зрения средней доходности, то Р₂ лучше Рі по дисперсии, и наоборот.

Рис. 16.7. Зависимость доходности от ее среднею квадратического откло-^Нения для оптимизированных портфелей Р₍ и Р₂ (пояснение в тексте):

~ эффективные портфели; о — допустимые, но неэффективные портфели; в — недопустимые порфели

Рис. 16.8. Выбор оптимального портфеля:

1,2 — кривые безразличия; 3 — кривая эффективного множества: /?_пр — возможное ограничение на риск; заімтрихована область недопустимых рисков либо

доходности Портфель эффективен, если он допустимый и, кроме того, для заданной доходности, например ?_Р, содержит меньший риск R_Pl по сравнению с другими портфелями, приносящими такую же доходность ?_Рі, или при определенном риске R_P, обеспечивает более высокую доходность ?_Р, по сравнению с другими комбинациями с R_Py

Выбор портфеля из эффективного множества зависит от отношения инвестора к риску. Для того чтобы определить это отношение, используют кривые безразличия (см. рис. 16.6). Все портфели, находящиеся на одной кривой, одинаково устраивают инвестора. Последний имеет бесконечное множество параллельных друг другу кривых безразличия. Если кривые вогнутые, то инвестор готов идти на увеличение риска только в том случае, если это даст увеличение средней доходности. Такого инвестора называют не склонным к риску.

Для того чтобы выбрать из эффективного множества наиболее подходящий портфель, инвестор должен изобразить свои кривые безразличия на одном графике с кривой эффективного множества (рис. 16.8). Наилучший портфель будет соответствовать точке, в которой кривая безразличия касается кривой эффективного множества (в нашем случае это точка О).