А. Г. Шоломицкий - Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие предназначено в первую очередь для студентов старших курсов (в том числе студентов магистратуры) и аспирантов экономических, экономико-математических и финансовых специальностей. Оно представляет собой обзор современных идей, теорий и методов оценивания и моделирования риска и принятия решений при неопределенности. При изложении используются по возможности простые математические средства. Книга может служить введением в такие области, как экономическое поведение при неопределенности, моделирование рисков в страховых и пенсионных схемах и в финансах.

Анализ риска в различных областях экономики — чрезвычайно обширная и бурно развивающаяся область. Несомненно, что в одной книге просто невозможно уделить внимание всем ее задачам, даже главным. Моей целью была скорее иллюстрация некоторых проблем этой области и подходов к их решению, чем стремление к широте ее охвата. Вероятно, многие важные вопросы остались за рамками этой книги.

Центральные понятия, о которых пойдет речь ниже, — понятия неопределенности и риска. О неопределенности можно говорить как о непредсказуемости, в частности непредсказуемости будущей экономической ситуации и последствий принимаемых решений. Согласно классическому определению Ф. Найта [Knight, 1921], ситуации, связанные с риском, характеризуются известными вероятностями событий. Это выделяет их из более общего класса ситуаций неопределенности. В таком понимании термин “риск” означает любые непредсказуемые, но описываемые известными вероятностями изменения экономического положения субъекта, несущего риск, — и благоприятные, и неблагоприятные. Эта трактовка отождествляет риск с понятием “вероятностной неопределенности”. Последний термин более нейтрален и, возможно, более логичен: ведь слово “риск” часто употребляют именно в смысле возможности неблагоприятных, нежелательных изменений, в частности потерь. Построение математических моделей часто мотивируется потребностью оценки возможностей и последствий этих неблагоприятных изменений. Однако при таком моделировании обычно имеет смысл анализировать и всю картину (например, распределение вероятностей) отклонений как в “благоприятную”, так и в “неблагоприятную” стороны. Чтобы не создавать лишних сложностей, удобно пользоваться одним термином “риск” в “расширенном” понимании Найта.

Потребность в оценке или измерении риска возникает естественно. Говорят о высоком или невысоком, большом или малом риске. Оценка субъектом риска влияет на принимаемые им решения. Меры риска и правила принятия решений можно — впрочем, довольно условно — разграничить на “субъективные”, возникающие у людей без привлечения каких-либо техник, и “технические”. Первые используются экономистами при моделировании повседневного экономического поведения людей. Вторые применяются, например, в компьютерных программах, предназначенных для управления портфелями финансовых активов или расчетов в страховании имущества. Различные правила связывает общее понятие рациональности выбора и решений. Однако, хотя и можно установить некоторые общие законы рационального выбора, понимание рациональности может быть несхожим, в частности для “субъективных” и “технических” решений. Сопоставление первых и вторых в рамках одной книги само по себе полезно и интересно — ведь в конце концов все “технические” средства создаются людьми именно с той целью, чтобы помогать человеку в выборе наиболее рациональных решений.

Книга состоит из двух частей. Первая часть в основном посвящена индивидуальному выбору при риске и неопределенности. Эта область претерпела крупные изменения за последние три десятилетия. Теория ожидаемой полезности, долгое время бывшая парадигмой экономического анализа, была подвергнута критике и пересмотру. Сегодня уже общепризнано, что ожидаемая полезность может лишь грубо описывать экономическое поведение людей. Это поведение оказывается значительно более сложным, чем предсказанное ее моделью. Большие исследовательские усилия были направлены на описание различных феноменов экономического поведения и отражение их в моделях, обобщающих ожидаемую полезность.

Вторая часть (как и некоторые разделы первой части) посвящена “техническому” оцениванию риска, основанному на моделировании. В ней рассматривается несколько моделей, относящихся в основном к области страхования и финансов, а также пенсионного обеспечения. Это те области, где созданы, по-видимому, наиболее развитые модели анализа экономических рисков. Цель этой части — дать некоторый обзор современных идей такого рода моделирования. В то же время я стремился избежать фрагментарности изложения, чтобы заинтересованный читатель мог получить полноценное введение в затронутые в ней области. Насколько удалось совместить эти противоречивые цели, читатель может решить сам.

Современной тенденцией, продиктованной потребностями практики, является стремление к построению комплексных методик анализа различных видов риска. Применение таких методов в практике менеджмента стало возможным, главным образом, благодаря развитию компьютерных технологий. Одним из примеров служат комплексные модели денежных потоков, которым посвящена Книга, как уже отмечено выше, строится по обзорному принципу. Это позволило охватить в ней достаточно широкий круг результатов, в том числе современных, еще не отраженных в другой учебной и иногда даже монографической литературе. Такой способ изложения ориентирован на читателя, заканчивающего свое базовое образование и уже переходящего от чтения учебников к чтению научных статей. Полные доказательства теорем и утверждений, как правило, не приводятся, но всегда указываются источники, в которых их можно найти. Доказательства некоторых наиболее важных теорем приводятся или комментируются в конце, в разделе 12.3. Многие важные факты даны в виде упражнений и примеров. Последние вообще составляют важную часть книги, которой рекомендуется не пренебрегать. В тексте приводятся ссылки на литературу, которой читатель может пользоваться для дальнейшего самостоятельного изучения. Кроме того, для удобства читателя даны краткие сводки нужных для понимания отдельных тем сведений из теории вероятностей и математической статистики (раздел 12.1). Звездочками помечены разделы, содержание которых является более специальным. Упражнения повышенной сложности также помечены звездочками.

В основу текста легли курсы, читавшиеся в течение ряда лет студентам магистратуры Государственного университета — Высшей школы экономики. Я многим обязан своему учителю профессору В.И. Рота-рю. Его идеи и курс “Теория риска”, читавшийся им в ГУ ВШЭ и Российской экономической школе, во многом определили очертания и тематику этой книги. Я хотел бы поблагодарить профессоров Г.Г. Канторовича и А.С. Шведова за внимание к моей работе и поддержку, доктора экономических наук С.А. Смоляка — за заинтересованную критику и множество предложений и замечаний, способствовавших улучшению и обогащению книги. Я благодарен всем коллегам и студентам, обсуждавшим со мной затронутые в тексте вопросы. Книга написана при частичной поддержке инновационного проекта развития образования, финансируемого Всемирным банком при посредстве Национального фонда подготовки кадров. Я хочу также выразить свою благодарность анонимному рецензенту НФПК за сделанные им полезные замечания.

Часть I

ВЫБОР

ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

глава 1 ЗАДАЧА ВЫБОРА

В экономической теории правила выбора описываются при помощи отношений предпочтения. Функция, выражающая ценность альтернатив, называется критерием, или функцией полезности. Вид и свойства критериев выводятся из условий на предпочтения, обычно называемых аксиомами.

1.1

Выбор и предпочтения

Экономическая наука представляет экономику как сложное взаимодействие множества агентов — индивидуумов, фирм, государственных структур и пр. Каждый из этих агентов или субъектов относительно свободен в принимаемых им решениях — конечно, в пределах доступных ему альтернатив. Субъект свободно выбирает среди доступных альтернатив, с его точки зрения, наилучшие. Этим выбором определяются его дальнейшие действия, например: купить/продать тот или иной товар, принять/отвергнуть то или иное решение (скажем, вложить деньги в освоение нефтяного месторождения) и т.д. Поэтому моделирование выбора играет важную роль в экономике.

Простейшая задача выбора — выбор из двух альтернатив, представленных числами. Пусть х и у обозначают количества некоторого товара либо денег, которые будут получены субъектом в результате принятия одного из двух возможных решений. Ясно, что в этом случае правило выбора обычно простое: “чем больше, тем лучше”. Из двух чисел выбирается большее.

Однако задача уже не так проста, если при выборе учитывается еще какой-либо фактор, кроме товарно-денежного. Это, например, может быть фактор времени. Пусть х и у — суммы денежных доходов, t_x и t_y — соответственно моменты их получения. Тогда ситуацию выбора можно описать сравнением двух пар чисел: (х,Г_?) и (y,t_y). Обычно более раннее получение дохода предпочтительнее. Теперь уже нельзя установить единого и очевидного правила выбора: выбор определяется конкретной ситуацией, в которой находится субъект, принимающий решение, и его (субъекта) целями, установками, потребностями и т.д. То же можно сказать и о случае, когда выбор производится из наборов двух товаров: (х,,х₂) и (у,,у₂). В этих парах первое число обозначает количество первого товара, второе — количество второго товара. Модели выбора между наборами (векторами) товаров используются в экономических теориях рынков и равновесий. Постановку задачи можно расширить. Например, х, может быть мерой усилий/времени, которые предстоит затратить на некоторую работу, а X, — доходом от этой работы. Или, например, х, — оценка эффективности программы повышения квалификации сотрудников фирмы, а х₂ — затраты на ее реализацию. Такого рода задачи выбора участники экономики вынуждены решать постоянно, находя некоторые наилучшие, с их точки зрения, комбинации двух или более факторов.

Нужно отметить, что задача выбора на парах или векторах может быть такой же тривиальной, как в одномерном случае. Это возможно тогда, когда одна из сравниваемых альтернатив лучше другой (других) по каждому из факторов выбора. Например, если программа А повышения квалификации персонала и эффективнее, и дешевле программы В, то, очевидно, ее и следует выбрать. В том случае, когда альтернатива А превосходит альтернативу В по каждому из факторов, взятых в отдельности, говорят, что А доминирует В. Так, пусть речь идет о векторах количеств товаров вида (х,,...,х_п), где х, обозначает количество і -го товара. Говорят, что вектор х = (х,,..., х_п) доминирует (нестрого) вектор у = (у,,...,у_п), если х_і>у_і для всех і = 1,...,«. Если, в дополнение к этому неравенству, для некоторого j выполнено строгое неравенство Xj>yj, то х строго доминирует у. Нетривиальные задачи выбора возникают в случаях, когда доминирования нет: по одним факторам лучше одна альтернатива, а по другим — другая.

Полезно сразу разделить две точки зрения, с которых обычно смотрят на цели теории выбора: нормативную и дескриптивную. Первая состоит в том, чтобы выработать рациональные правила, методики, процедуры выбора, которым должны следовать лица, принимающие решения. С дескриптивной точки зрения цель теорий выбора в том, чтобы моделировать правила принятия решений, реально наблюдаемые в экономике и считающиеся экономическими агентами рациональными. Эти две точки зрения, конечно, не совпадают, но нельзя считать их и полностью противоположными.

Центральным понятием экономической теории выбора является понятие предпочтения. Введем множество альтернатив Л, из которого может производиться выбор. Отдельные альтернативы из этого множества будут обозначаться заглавными буквами, например А,В,С,... Вообще говоря, альтернативы выбора могут быть произвольной природы.

Зададим отношение нестрогого предпочтения У на множестве Л как бинарное отношение, т.е. отношение на парах элементов из Л. Запись АУ В читается как “А нестрого предпочтительнее і?” или, проще, “А не хуже В”. Отношение У называется полным или нестрогим упорядочением (complete order), если:

(а) У полно, т.е. для любых А, В из Л имеет место хотя бы одно из соотношений А У В или В У А;

(б) У транзитивно, т.е. (А У В, В У С) => (А У С).

Из (а) следует рефлексивность отношения У, т.е. для любого А Е А имеем (А У А).

Полному упорядочению У ставятся в соответствие отношения безразличия - и строгого предпочтения >- по следующим правилам:

(А ~ В) <=> (А ^ В, В У А),

(А>В)а(АУ В, не (В У А)).

Если У — полное упорядочение, то:

¦ отношение - представляет собой отношение эквивалентности, т.е. оно рефлексивно: А - А , симметрично: (А - В) => (В - А) и транзитивно: (А - В, В - С) => (А ~ С);

¦ отношение >- представляет собой слабое или строгое упорядочение (weak order), т.е. оно асимметрично: (А >- В) => не (В >- А) и отрицательно транзитивно: (не (А >- В), не (В >- С)) => не (А >- С).

Можно задавать отношение >-, являющееся слабым упорядочением, как первичное, а отношения и ~ определять через него (упражнение 1.3). В дальнейшем мы почти всегда, если не оговаривается противное, будем считать У полным упорядочением. В этом случае, как легко проверить, предпочтение имеет простую структуру.

Отношение предпочтения на А — полное упорядочение тогда и только тогда, когда множество А можно разбить на непересекающиеся подмножества безразличных между собой альтернатив — классы безразличия. Между двумя альтернативами из различных классов безразличия обязательно имеет место отношение строгого предпочтения.

Введем некоторую функцию ?(А) на множестве Л, обозначающую относительную “ценность” альтернатив. Оговоримся, что эта ценность именно относительная, т.е. имеет значение лишь в качестве критерия сравнения альтернатив.

Функция V называется согласованной с отношением предпочтения У, если

(?(Д)>?(Я))<=>(ЛЬЯ). (1-1)

В этом случае говорят также, что V сохраняет упорядочение У . Предпочтения, отвечающие условию (1-1), будем называть порожденными функцией V. Функцию V будем называть критерием выбора или просто критерием.

Нетрудно заметить, что критерий определяется с точностью до монотонного преобразования: если U — строго возрастающая функция, то V*-U (у (Л)) тоже будет критерием, т.е. будет удовлетворять (1-1).

Читатель, знакомый с микроэкономической теорией, может усмотреть аналогию между V и функцией полезности. Ниже, в главах 3—5, будет рассматриваться именно теория полезности и выработанные ею критерии. Однако в слово “полезность” в экономической теории часто вкладывается более определенный смысл. Так, полезность интерпретируется как “мера психологического удовлетворения”, соответствующая той или иной альтернативе. Однако ниже рассматриваются также и критерии, вряд ли допускающие подобную интерпретацию, например полученные из каких-то “технических” соображений. С этой оговоркой читатель вполне может в дальнейшем понимать V как аналог функции полезности ‘.

Если критерий выбора V определен на всем Л, то очевидно, что порождаемое им по правилу (1-1) отношение предпочтения У полно и транзитивно (покажите это). Следовательно, оно представляет собой полное упорядочение. Возникает вопрос о том, всегда ли это так, т.е. всякому ли полному упорядочению соответствует какая-либо согласованная с ним функция V. Следующий пример показывает, что это, вообще говоря, не всегда так.

¹ В экономической теории подход, сводящий роль функции полезности V исключительно к порождению предпочтений, известен как ординалистский.

Пример 1.1. Лексикографические предпочтения. Пусть А — множество пар чисел. Примем следующее правило сравнения пар (х_А,у_А) и (х_в,у_в), соответствующих альтернативам А и В: если первые числа не равны, например х_А > х_в, то считаем А> В\ если же х_А=х_в, то предпочтительнее считается та пара, в которой больше второе число, например если х_А = х_в, у_А > у_в, то А>- В\ Если же х_А = х_в, у_А=у_в, то А~ В. Так определенное на всевозможных парах (х, у) отношение предпочтения называется лексикографическим. Очевидно, оно представляет собой полное упорядочение. Однако оказывается, что ему нельзя сопоставить никакой сохраняющей его функции V (доказательство см. в разделе 12.3).

Оказывается, для существования функции V, сохраняющей предпочтение У , нужно наложить на У еще одно условие.

Назовем подмножество Н множества А плотным по упорядочению У в А, если для любых альтернатив А, В из А, А>- В, существует Н е 7і, такое, что либо АУН>В, либо А>- Н У В.

Теорема 1.1. Сохраняющая предпочтение У функция V на А существует тогда и только тогда, когда в А существует плотное по упорядочению У конечное или счетное подмножество.

По поводу этой теоремы и ее доказательства см. раздел 12.3.

В дальнейшем, как правило, рассматриваются предпочтения, для которых существует согласованная с ними функция V. Такие отношения предпочтения называются исчислимыми.

Правило выбора из подмножества альтернатив С с А формулируется как

?(А)—> max. (1-2)

АеС

Будем называть альтернативу А оптимальной в С, если для любой Be С верно неравенство ?(А)>?(В).

Подход к принятию решений, состоящий в выборе альтернативы на основе какого-либо критерия по правилу (1-2), будем называть оптимизационным. Такой подход кажется весьма привлекательным теоретически. Однако во многих практических задачах, как мы увидим ниже, оптимизационный подход в чистом виде не удается применить. При решении сложных задач выбора часто применяется эмпирический подход, состоящий в выделении нескольких основных факторов, существенных для выбора альтернативных решений. Каждый такой фактор выражается отдельным критерием. Альтернативы сравниваются по совокупности этих промежуточных показателей, без формального сведения всех их в один общий критерий оптимизации. Такой подход будем называть оптимизацией по частным критериям. Употребляется также термин многокритериальная оптимизация. Такой подход часто позволяет лицу, принимающему решения, лучше ощутить особенности конкретной ситуации. Этот метод может дополняться моделированием развития ситуации в различных сценариях.

1.2

Выбор из векторных альтернатив

В микроэкономической теории важную роль играет выбор из наборов товаров, или некоторых благ, уже рассматривавшийся выше. В этом случае роль альтернатив играют вектора (обычно конечномерные) количеств благ, А - (.Хр...,дс_п). Если речь идет о затрачиваемых количествах, например затратах некоторого ресурса или работы, то можно учитывать их с обратным знаком. Тогда каждая компонента вектора может трактоваться как число, увеличение которого ведет к более предпочтительной альтернативе.

Предпочтения на векторах благ обычно характеризуют функцией полезности

?(А) = и(х₁,...,х_п).

Функция полезности и выбирается непрерывной, возрастающей по каждому аргументу и вогнутой. Ее непрерывность соответствует тому требованию, что “если количества благ в двух векторах почти совпадают, то и полезности таких векторов должны быть близки”. Возрастание функции полезности соответствует требованию монотонности предпочтений относительно доминирования (доминируемые альтернативы “хуже”). Вогнутость и выражает принцип уменьшения маргинальной полезности благ. Он заключается в том, что одинаковое приращение количества одного блага (при постоянстве количеств прочих) дает тем меньшее приращение полезности, чем большим количеством этого блага уже обладает экономический агент.

Вогнутость функции полезности приводит к выпуклости множеств точек М" вида |(дс,,...,дс_л)|и(дс₁,...,х_п) > с]. Выпуклое множество харак-

Выбор из векторных альтернатив

теризуется тем, что если точки А = (х,,...,х„) и В = (у,,...,у_п) принадлежат такому множеству, то и точка (АВ)_Х с координатами (Ах, + (1-А)у,,...,Л.х„ + (1-Л.)у_п), Яе [0,1] принадлежит ему. Множество всех таких точек описывает отрезок в пространстве R", имеющий концы А и В (рис. 1.1).

На том же рисунке изображены кривые безразличия. Это множества альтернатив (векторов благ), безразличных между собой, т.е. принадлежащих одному классу безразличия. Каждую такую кривую (или каждый класс) можно задать уравнением

н-(х,,...,х„) = с,

где с — число. Таким образом, они представляют собой линии уровня функции и.

Рис. 1.1. Кривые безразличия для вогнутой функции полезности

в случае п = 2 ' Возрастание предпочтения

Часто встречающиеся примеры функций полезности — так называемая функция Кобба — Дугласа (Cobb, Douglas)

и(х₁,...,х_п) = х-x“^J

(1-3)

а также ее обобщение — функция Стоуна — Джири (Stone, Geary)

Здесь а₍ >0, ^.<аг₍ =1, >0; первая функция определена для

х_[ > 0, вторая — для х_{ > k_t.

Можно заметить, что эти функции могут быть преобразованы с сохранением предпочтений, т.е. монотонным преобразованием, к виду аддитивно-сепарабельной функции полезности

и(х_?...,х_п) = и_](х_і) + ...+ и_п(х_п). (1-5)

В данном случае таким преобразованием является взятие логарифма.

Основное условие на предпочтения, которое влечет за собой аддитивную сепарабельность функции полезности, можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим три вектора, X = (х_?...,х_п), У = (у,,..,у_п) и А = (а_?...,а_п). Предположим, что некоторые из значений Xj и у_і совпадают. Обозначим через X' - (х',...,х'_п) и Y' = (у',..., у'), соответственно, вектора, у которых совпадающие значения заменены на компоненты вектора А, т.е. если х_{ = у₍, то положим х'-у'-а_і. Если же значения не совпадают, х_і Ф у₍ , то положим х' - х,, у'_: - у_гДля таких векторов должно выполняться следующее соотношение:

(X ^К)«(Х?У').

Словами можно сформулировать это условие так: предпочтение между векторами-альтернативами определяется только их несовпадающими компонентами. Это условие является необходимым и достаточным для аддитивной сепарабельности функции полезности [Debreu, 1960].

Ниже условия такого типа используются неоднократно. В частности, идейно схожий вид имеют условия (РЗа) и (РЗЬ) из следующего раздела, аксиомы (01) в разделе 5.2 и (Р2) в разделе 6.2.

1.3

* Выбор из последовательных платежей. Дисконтирование

В разделе 1.1 уже была поставлена простейшая задача выбора из двух денежных сумм с учетом времени их получения. Рассмотрим задачу в более общей постановке. Будем считать альтернативы из Л денежны-

ми потоками, т.е. последовательностями платежей (которые могут быть как положительными, так и отрицательными, т.е. как доходами, так и расходами). Каждому платежу будет сопоставляться время платежа. Альтернативы выбора имеют вид

Платеж

Момент времени

х,

Платежи считаются детерминированными (неслучайными); моменты времени могут быть произвольными, г, < t₂ < г_ъ <...

Рассмотрим сравнение таких альтернатив и их оценивание. Введем, как и выше, отношение предпочтения >z и согласованную с ним функцию (критерий сравнения) ?{А) на Л.

Говоря об оценивании денежных потоков, можно сразу указать на очевидную особенность, превалирующую как в экономической науке, так и на практике: это правило предпочтительности более ранних доходов'. Рубль сегодня лучше, чем рубль завтра. Наиболее очевидное объяснение этого эффекта в том, что покупательная способность денег, как правило, снижается, т.е. имеется инфляция или риск инфляции в будущем. Эффект, однако, этим не исчерпывается. Учет инфляции — отдельная тема, которая здесь не будет рассматриваться; чтобы исключить влияние фактора инфляции, предположим, что все денежные суммы дефлированы, т.е. выражены в реальных ценах некоторого начального момента времени.

Более ранняя возможность распорядиться деньгами открывает больше возможностей. Например, сумма может быть инвестирована под процент или использована для покупки подарков к Новому году — и в том, и в другом случае лучше получить ее раньше. Кроме того, отдаленность во времени получения каких-то сумм обязательно связана с неопределенностью. Человек не может абсолютно точно быть уверен в получении определенной суммы к определенному моменту и не может с уверенностью предсказывать собственное положение на тот момент. За это время могут произойти различные случайности, которые вызовут потребность в деньгах, человек не может быть уверен, что вообще доживет до их получения, и т.д. Таковы наиболее очевидные соображения в обоснование рациональности принципа “нетерпения”.

' Американский экономист Ирвинг Фишер (Fisher) ввел термин “impatience” — “нетерпение”.

Правило предпочтительности более ранних доходов обычно выражается в дисконтировании денежных потоков. Дисконтирование можно связать с наличием инвестиционной доходности. Ниже приводятся основные формулы (для читателя, не знакомого с понятиями сложного процента и дисконтирования, они более подробно описаны в разделе 12.4).

Правило начисления сложного процента состоит в том, что вложенный в момент t = 0 капитал 5(0) растет по закону

(1-6)

5(0 = 5(0)(1 + г*)' = 5(0)е",

где время измеряется в годах, г* — годовая процентная ставка, г = 1п(1 + г*) — сила роста, или процентная ставка с непрерывным начислением (force of interest, continuously compounded rate of return). Упражнение 9.1 в главе 9 показывает, что правило сложных процентов есть естественное правило роста: на “идеальном” финансовом рынке капитал, вложенный в ценные бумаги с фиксированным доходом, должен расти согласно (1-6).

Предположим, что в момент t предстоит произвести выплату в сумме С. Какова ее текущая (современная, приведенная, дисконтированная) стоимость (present value), т.е. какую сумму надлежит инвестировать в момент времени 0 по фиксированной ставке г*, чтобы покрыть этот будущий платеж? Очевидно, эта сумма равна

где ? = —= е~^г — коэффициент дисконта. 1 + г*

Ставку г называют краткосрочной ставкой доходности с непрерывным начислением, соответствующей г*, а также силой или интенсивностью роста. Процентную ставку г* или г, используемую для расчета коэффициента дисконта ?, называют дисконтной ставкой.

Текущая стоимость детерминированного (неслучайного) потока платежей (расходов) х₀,Х[,...,х_п,..., осуществляемых в моменты времени t₀,t_v...,t_n,... соответственно, есть

(1-7)

Эта текущая стоимость в точности совпадает с той суммой, которую нужно инвестировать сегодня (в момент 0), чтобы покрыть все расходы.

Вообще говоря, дисконтирование в экономике выражает изменение ценности денег не только в связи с инвестиционным доходом. Для произвольной последовательности платежей (не только расходов) ее дисконтированную стоимость можно определить тем же соотношением (1-7) как сумму, ценность которой в текущий момент равна суммарной ценности будущих платежей.

Простейшее правило оценки и сравнения последовательностей платежей состоит в оценивании их по дисконтированной (текущей, современной) стоимости.

Оценивая потоки платежей по дисконтированной стоимости, мы выбираем в качестве критерия ?(А) величину дисконтированной стоимости (1-7).

Этот метод оценки чрезвычайно распространен в экономической теории и на практике. Дисконтирование — стандартный и удобный прием финансовых расчетов.

NPV и премия за риск

Когда требуется оценивать денежные потоки в условиях риска (например, при оценке инвестиционных проектов), на практике часто пользуются следующим эмпирическим методом. Чистая дисконтированная стоимость ожидаемого потока вложений и доходов (net present value — NPV ) рассчитывается по повышенной на так называемую премию за риск дисконтной ставке. Это означает, что более отдаленные по времени доходы (и расходы!) сильнее “усчитываются”. Закономерность "выше доходность — выше риск” характерна для рынков инвестиций. Можно рассуждать так: если инвестор закладывает в оценку проекта высокую норму доходности, это означает высокую норму доходности инвестиций, “альтернативных" данному проекту — следовательно, их повышенную рисковость, — таким образом, инвестор соотносит данную инвестицию с более высоким уровнем риска.

При оценке инвестиционных проектов выделяют факторы риска, каждый из которых оценивают отдельно. Например, выделяют страновой риск, риск ненадежности участников проекта и несистематический риск. В последнем выделяют такие факторы, как неопределенность цен и спроса на продукцию, необходимость разработки новой технологии, нестабильность производства, спроса, внешней среды и т.д. Оценка каждого фактора добавляет несколько процентов (в пределах соответствующего интервала, например 2—5% в случае применения новых технологий) к дисконтной ставке.

По поводу критики (конечно, сильно упрощенного) метода “премии за риск” см.: [Виленский, Лившиц, Смоляк, 2002; Смоляк, 2002].

На фондовом рынке облигации, оцениваемые рынком как менее надежные (с большей вероятностью дефолта), имеют более высокие доходности. Разность между их доходностью и доходностью надежных облигаций (безрисковой доходностью) называется кредитным спрэдом (credit spread). В различных моделях оценки кредитного риска этот спрэд часто интерпретируется как та же премия за риск и считается, что инвесторы дисконтируют денежные потоки от вложений в рисковые облигации по более высоким дисконтным ставкам (немного подробнее в примере 9.7). Нужно отметить, однако, что на самом деле поведение инвесторов гораздо более сложно. Вообще говоря, из наличия кредитных спрэдов вовсе не следует возможность такой их интерпретации.

Приведем аксиоматизацию правила оценивания денежных потоков по дисконтированной стоимости согласно Смоляку [Смоляк, 2002].

Для простоты ограничимся рассмотрением денежных потоков с некоторой фиксированной и конечной последовательностью моментов платежей t_],t₂,...,t_n. Не ограничивая общности, можно принять за моменты платежей моменты 0,1,2,...,и-1. Тогда денежные потоки можно описывать векторами платежей А-(х_],х₂,...,х_п). Будем считать, что А содержит все такие вектора. Поскольку единицу измерения времени можно выбирать произвольно и сделать сколь угодно малой, такой модели достаточно для практических целей. Если в потоке отсутствуют платежи в какие-то из моментов 0,1,2,...,и-1, условимся ставить на место “отсутствующих” платежей нулевые.

Определим операцию сложения денежных потоков очевидным образом. Если А и В — два денежных потока, то суммарный денежный поток А® В определяется как поток с платежами, равными суммам соответствующих платежей потоков А и В. Например, если А — такой поток платежей: -1 в момент 1, 3 в момент 2, 1 в момент 3, а В — такой поток: 1 в момент 2, -2 в момент 3, 3 в момент 4, то суммарный поток

А ? В = (0, -1,3,1,0) ? (0,0,1, -2,3) = (0, -1,4, -1,3).

Потребуем выполнения следующего условия, которое можно назвать условием независимости (смысл названия раскрывается в разделе 2.4).

(D1) Для любых А,В,СеА если А>^ В, то А® С >z В® С.

Обозначим через Е_ь поток, состоящий из единственного платежа размером Ъ в момент 0. Наложим условие “согласованности”

(D2) Для любого Ь ?(Е_ь) = Ь.

Это требование означает, что оценка потока V в данном случае представляет собой не абстрактную меру полезности или ценности, как обычно предполагается в этой книге, а выражается в денежных единицах.

Из этих двух аксиом следует аддитивность критерия (упражнение 1.5):

?(А?Я)=?(А) + ?(Я). (1-8)

Еще одно условие представляет собой формализацию предпочтительности более раннего получения доходов (“нетерпения”, impatience). (D3) Если А = (х,,х₂,...,х_п_₁,0), В = (0,х,,х₂,...,х_п_,), причем ?(А)>0, то Ау В.

Другими словами, если поток имеет некоторую положительную ценность, то при отсрочке всех платежей, т.е. их перенесении на следующие моменты времени, ценность потока уменьшается.

Следующее утверждение представляет собой следствие (с небольшой переформулировкой) утверждения, доказанного Смоляком [Смоляк, 2002].

Теорема 1.2. Пусть на А существует согласованная с предпочтением функция ?(А) = ?(х,,...,х_п), строго возрастающая по каждой из переменных и такая, что выполнены аксиомы (Dl), (D2) и (D3). Тогда

V(x,,...,x_n) = 2]x_tvⁱ"¹, (1-9)

k=1

где 0 < ? < 1.

Теперь перейдем к обобщению модели дисконтированной стоимости (1-9) — модели дисконтированной полезности, предложенной Са-муэльсоном (Р. Samuelson) в 1937 г. Критерий дисконтированной полезности имеет вид

?(А) = ?Чх„...,х_п,...) = Х^м(*>*Л (1-10)

k=1

где и(х) — некоторая функция полезности денег.

Здесь полезность дохода х_к не зависит от предшествовавших изменений уровня богатства, т.е. от значений x,,...,x_t_,. Все полезности соответствуют моменту, когда происходит выбор, например моменту t = О, поэтому используется одна и та же функция полезности денег для всех х_к.

Нужно, однако, отметить, что прозрачный смысл дисконтирования как выражения начисления инвестиционного дохода здесь утрачивается, так как дисконтирование применяется уже не к реальным денежным суммам, а к полезностям. Коэффициент дисконта и, соответственно, дисконтная ставка приобретают в этой модели иной смысл: они, так же как и функция м(х), выражают предпочтения субъекта. Если функция м(х) выражает предпочтения в отношении денег, то коэффициент дисконта ? — предпочтения в отношении времени платежей. Чем выше дисконтная ставка (и, соответственно, ниже коэффициент дисконта), тем больше ценности теряют денежные доходы при их отсрочке. Другими словами, величина дисконтной ставки характеризует степень субъективного обесценивания доходов по времени.

Величина коэффициента дисконта характеризует степень изменения полезности денег при переносе момента платежа от более раннего момента времени к более позднему.

Ниже описывается аксиоматическое построение дисконтированной полезности согласно Купмансу [Koopmans, 1960]. Доказательство его опирается на более раннюю работу Дебре [Debreu, 1960].

Как и выше, будем рассматривать денежные потоки, описываемые векторами, однако теперь включим в рассмотрение и бесконечные вектора сумм платежей, А = (x,,x₂,...,x_t,...), соответствующих моментам времени (0,1,2,...,it-1,...). Будем считать, что Л содержит все вектора такого вида, такие, что х_к — числа из некоторого интервала [а,Ь], а<Ь. Сразу отметим, что бесконечность рассматриваемых денежных потоков существенна (см. ниже).

Определим “расстояние” между денежными потоками А = (х_],х₂,..) и А' = (х',х₂,...) формулой

d(A, A') = sup|x_t -х[\.

к

Теорема 1.3. Пусть выполнены следующие условия.

(Р1) На Л существует согласованная с предпочтением функция ?(А) = ?(х₁,...,х_п,...), возрастающая по каждой из переменных и удовлетворяющая свойству равномерной непрерывности:

для любого ? > 0 можно указать число S > О, такое, что d(A, A')<S=> |V( A) -V(A')I < e.

(P2) Существуют денежный поток А = (л,, х₂,...) и число х_х, такие, что

?(х_х,х₂,х₃,..)>?(х_х,х₂,х₃,..).

(РЗа) Для любых (л,, х_г, х₃, х₄,...), (х_х ,х₂,х₃,х₄,...)

?(х_х, х₂, х₃, х_4>...) > ?(х_х, х₂, х₃, х₄,...) =>

V (Л|, х₂, х₃, х₄,...) ^ V (х_х, х₂, х^, х₄,...).

(РЗЬ) Для любых (х_х,х₂,х₃,х₄,..), (х_х,х₂,х₃,х₄,..)

V (-^і > х₂, х₃, Х₄,...) ^ V (х_х, х₂, х₃, Х₄,...) =>?(х_х,х₂,х₃,х₄,...)>?(х_х,х₂,х₃,х₄,...).

(Р4) Для любого х_х и любых (х_х,х₂,х₃,х₄,..), (х_х,х₂,х₃,х₄,..)

V(л,,х₂,х₃,х₄,..)>?(х_х,х₂,х₃,х₄,...) <t=>

<=> ?(х₂,х₃,х_4>...) > ?(х₂,х₃,х₄,...).

(Р5) Существуют А, А G А, такие, что для любого Ag А

V(А) < V(А) < V(А).

Тогда V имеет вид (1-10), где и(х) — некоторая неубывающая функция, ? G (0,1).

В этой теореме основными условиями являются (РЗа, РЗЬ) и (Р4). Смысл условий (РЗа, РЗЬ) в том, что выбор из двух денежных потоков, различающихся только первыми двумя значениями платежей, определяется только этими различающимися значениями. Это основное условие, приводящее к аддитивной по периодам времени форме критерия, или к “разделению” периодов. Нетрудно заметить его сходство с условием аддитивной сепарабельности функций полезности, сформулированным в конце предыдущего раздела. Условие (Р4) Купманс [Коор-mans, 1960] называет условием стационарности. Его смысл в том, что денежные потоки можно “как угодно перемещать во времени” и предпочтение при этом не меняется. Это особенно ясно видно, если положить в этой аксиоме *, =0. Последовательно применяя (Р4), можно, например, установить, что если поток (-1,4) хуже потока (1,1), то и поток (0,0,0,-1,4) хуже потока (0,0,0,1,1) (здесь, как и выше, ненаписанные платежи считаются нулевыми, т.е. нужно считать потоки продолженными бесконечным числом нулей).

Условие (Р2) говорит о том, что критерий V должен быть чувствителен к изменению отдельных значений платежей. Например, функция

?(*,,*₂,*₃,*₄,...) = lim sup*,

г->+~ ,>г

удовлетворяет всем условиям теоремы, кроме (Р2). Такая функция полезности могла бы быть у субъекта, ориентирующегося только на “предельное поведение” последовательности *,.

Из условий теоремы становится ясно, почему существенна бесконечность потоков платежей (jc,,jc₂,jc₃,...). Так, функция (1-10) при ? > 1 удовлетворяет всем условиям теоремы. Однако такая функция не определена для всех рассматриваемых последовательностей. Например, ряд в правой части (1-10) расходится для любой последовательности постоянных платежей вида (*,*,*,...). Поэтому условие ?<1 вытекает только из требования сходимости ряда в правой части (1-10). Можно сказать, что это условие — чисто математическое. Это соображение проливает свет на происхождение “нетерпения” в рамках данной теоремы: в отличие от условий теоремы 1 выше, здесь это требование не накладывается явно, но выводится из прочих условий, причем важную роль играет конечность функций полезности.

Вообще говоря, основной результат работы Купманса [Коор-mans, 1960] имеет именно такой характер. Если несколько ослабить условия (РЗ), то функция полезности уже не обязательно будет иметь вид (1-10). Однако свойство “нетерпения” остается: если ?>0, то

V(xi,x₂,...,x_k + ?,...,x_k+m,..) >V(x_],x₂,...,x_k,...,x_k+m + f,...).

1.4

Выбор в условиях риска

В этом разделе будем предполагать, что с каждой альтернативой А можно связать некоторую репрезентативную случайную характеристику Х_А и функцию распределения этой характеристики F_A. Такой характер имеют задачи выбора, описанные в этой и последующих главах, до главы 5 включительно: выбор полностью описывается вероятностным распределением репрезентативной случайной характеристики. В этом смысле можно говорить о задаче выбора из альтернатив, представленных вероятностными распределениями. Такую задачу называют задачей выбора в условиях риска (choice under risk). В главе 6 рассматривается более общая задача выбора в условиях неопределенности (choice under uncertainty).

Так как каждой альтернативе А сопоставляется некоторая репрезентативная случайная характеристика Х_А с функцией распределения F_a, условимся также писать ?(Х_А) и V(F_A), т.е. считать функцию V заданной на множестве случайных величин или функций распределения. Такое же соглашение примем и для отношения предпочтения >:.

Детерминированным эквивалентом (certainty equivalent) альтернативы А называется число е-е(А), такое, что ?(Х_А) = ?(е). Если, например, альтернативы выбора — некоторые предприятия, дающие случайные доходы Х_А (будем называть такие альтернативы играми или лотереями), то естественно понимать детерминированный эквивалент как цену участия в игре. (См. также упражнение 5.13.)

Зададимся теперь вопросом о том, какими хотелось бы видеть отношение предпочтения и критерии выбора в условиях риска. Есть определенные свойства, которым, по-видимому, должны соответствовать любые рациональные предпочтения. Прежде всего, к таким свойствам относится правило “чем больше, тем лучше”. Рассмотрим, например, две игры (лотереи). Подбрасывается монета. В первой игре (назовем ее А) можно выиграть 1000 долл, при выпадении герба (с вероятностью 1/2) либо не выиграть ничего при выпадении решки. В игре В можно выиграть 1100 долл, при выпадении герба либо ничего в противном случае. Естественно предполагать, что любой рациональный выбор, если есть возможность выбирать между играми А а В, будет в пользу игры В. На рис. 1.2 показаны функции распределения величины выигрыша в играх А и В, F_A(х) и F_b(jc). Можно заметить, что график F_B либо совпадает с графиком F_A, либо лежит ниже его (на интервале от 1000 до 1100). Таково общее правило: смещению распределения вероятностей в область больших значений соответствует понижение графика функции распределения.

Рис. 1.2. Функции распределения выигрышей в лотереи А к В Пусть F(x) и G(x) — две несовпадающие функции распределения. Говорят, что функция распределения F(x) доминирует функцию распределения G(x) в смысле стохастического доминирования первого порядка (обозначим это F >-,G), если для любого х F(x) < G(x). Для краткости будем употреблять также термин первое стохастическое доминирование.

Можно показать, что если F >- ,G, то существуют случайные величины X и Y с функциями распределения F(x) и G(x) соответственно, такие, что X > Y, причем при некоторых случайных исходах имеет место строгое неравенство (упражнение 1.6). Это еще одно пояснение по поводу того, почему стохастическое доминирование первого порядка является аналогом правила “чем больше, тем лучше” для случайных денежных альтернатив.

Разумно потребовать согласованности отношения предпочтения со стохастическим доминированием первого порядка, или, как говорят, монотонности относительно первого стохастического доминирования. Сформулируем соответствующее условие на предпочтения.

(Mj) Если F_a то А> В.

Так называемое неприятиие риска (risk aversion) тоже часто рассматривается как естественное условие на предпочтения относительно рисковых альтернатив. Однако оно не так бесспорно, как правило “чем больше, тем лучше” (М,). Рассмотрим, например, выбор между игрой А, в которой можно выиграть 1000 долл, с вероятностью 1/2 и ничего с вероятностью 1/2, и игрой В, состоящей в детерминированном получении 500 долл. Заметим, что математические ожидания выигрышей равны. Как правило, когда такой выбор предлагают группам людей, большинство отвечает, что они выбрали бы В, однако находятся и такие, кто предпочел бы А. Если, однако, некто предпочитает А, можно было бы предложить ему выбор между В и игрой А', в которой можно выиграть 21000 долл, с вероятностью 1/2 и проиграть 20000 долл, в противном случае (математические ожидания выигрышей по-прежнему равны 500 долл.). Многие, по-видимому, просто откажутся играть в игру А', не говоря уже о том, чтобы предпочесть ее игре В. Во многих ситуациях отказ от риска выглядит рационально, и в реальных экономических ситуациях часто неприятие риска доминирует. Например, на фондовом рынке облигации, риск которых оценивается рынком как более высокий, имеют и большую доходность: спрос на них ниже и ниже цены, т.е. инвесторы в целом демонстрируют неприятие риска.

Сформулируем условие неприятия риска в следующем виде.

Будем говорить, что функция распределения F_A получена из функции распределения F_B сохраняющим среднее рассеиванием (mean preserving spread), если F_A{x) и F_B(x) — две несовпадающие функции распределения, математические ожидания которых равны, т_А=т_в=т, и F_a(x) > F_B(x) для любого х<т, F_A(x) < F_B(x) для любого х > т. (RA) Если функция распределения F_A получена из функции распределения F_B сохраняющим среднее рассеиванием, то F_B >¦ F_A.

Рис. 1.3 и 1.4 иллюстрируют это свойство. Если функции распределения имеют плотности, то они могут выглядеть так, как изображенные на рис. 1.3. Плотность с большей дисперсией (сплошная линия на графике) соответствует функции распределения F_A, полученной сохраняющим среднее рассеиванием. Функции распределения, построенные по таким плотностям, показаны на рис. 1.4. Функция F_Aимеет больший разброс, давая “более рисковое” распределение, поэтому, с точки зрения отвергающего риск лица, представляет менее выгодную альтернативу. На рисунках изображены симметричные плотности и распределения, однако определение применимо к произвольным распределениям.

т

Рис. 1.3. Две нормальные плотности, имеющие одинаковое среднее т

и разные дисперсии Еще одно условие, которое мы введем, объединяет в себе условия стохастического доминирования первого порядка и неприятия риска. Пусть опять F(x) и G(x) — две неодинаковые функции распределения. Будем говорить, что функция распределения F(x) доминирует функцию распределения G(x) в смысле стохастического доминирования второго порядка (обозначим это F >- _nG), если для любого t

Для краткости будем употреблять также термин второе стохастическое доминирование. Введем соответствующее требование монотонности. (М_п) Если F_Ay_uF_B, то Ау В.

Очевидно, что если F_A y_}F_B, то F_A >_aF_B. Кроме того, рис. 1.4 показывает, что из двух симметричных распределений с общим центром распределение, имеющее меньший разброс, доминирует другое в смысле второго стохастического доминирования. Действительно, в силу симметрии, площадь S, тонированной области, лежащей между двумя функциями от —оо до точки их пересечения т, для любого конечного t не меньше площади S₂ тонированной области от точки пересечения до t. Фигурирующий в определении интеграл равен разности площадей S₂ -S,, которая, как мы видим, не положительна.

Из всего сказанного следует, что требование (М„) является более сильным, чем (М,) и (RA), т.е. можно написать:

(М„) => (RA).

Провести доказательство предоставляется читателю.

Рис. 1.4. Второе стохастическое доминирование Нужно заметить, что на рис. 1.3 и 1.4 изображены нормальные плотности и функции распределения. Для нормальных распределений больший разброс определяется большей дисперсией, т.е. если дисперсия одного распределения больше, то оно доминирует другое в смысле второго стохастического доминирования. Однако обычно это не так. При других распределениях большая дисперсия не может гарантировать наличие стохастического доминирования. Однако верно обратное: если F_Ay_nF_B и т_А=т_в, то <7_А<<7_В, где через тисс соответствующими индексами обозначены, как и выше, математические ожидания и средние квадратические отклонения (упражнение 2.7).

Кроме понятия критерия выбора в литературе используется также понятие мер риска (risk measures). Мера риска — не то же самое, что критерий выбора, хотя в некоторых случаях эти понятия почти тождественны. Математически мера риска R определяется так же, как критерий выбора V: это некоторая числовая функция на множестве случайных величин или их функций распределения. Под мерами риска будем понимать вообще числовые характеристики, позволяющие судить о величине или значимости риска, т.е. как-либо измерять риск. Меры риска часто (хотя и не всегда) мыслятся в денежном выражении. В этом случае такая мера понимается как сумма, которую нужно зарезервировать под определенный риск для покрытия возможного убытка. Сфера применения мер риска — в основном финансы и страхование; они используются инвесторами, страховщиками, биржами, государственными регуляторами в этих областях.

Использование мер риска в задачах выбора, в принципе, представляет самостоятельный вопрос. Однако если решается задача минимизации риска, оцениваемого соответствующей мерой, критерий и меру риска можно фактически отождествить. Условимся определять критерии на величинах дохода X, а меры риска — на убытках -Х\ тогда (только в рамках задачи минимизации риска!) можно положить

V{X) = -R{-X). (1-11)

В этом случае максимизация критерия эквивалентна минимизации меры риска. В общем случае критерий выбора не обязательно равен мере риска; величина риска или необходимого резерва может быть лишь одним из многих факторов, учитываемых при принятии решений.

Если мера риска R понимается как денежная (например, как необходимый резерв), то естественно требовать от нее выполнения свойства сохранения масштаба (однородности)'.

R{AX) = AR{X). (1-12)

Действительно, если это свойство не выполнено, то возникает проблема единицы измерения денег: при переходе, например, от измерения в рублях к измерению в тысячах рублей оценка может измениться.

Некоторые примеры мер риска приводятся в главе 2.

Решения далеко не всегда принимаются только исходя из минимизации риска. Часто риск является лишь одним из частных факторов в многокритериальных задачах выбора. Одним из примеров является задача о выборе инвестиционного портфеля на основе сопоставления доходности и риска, рассматриваемая в следующей главе. На финансовом рынке повышение доходности влечет повышение риска, т.е. два этих критерия противоречивы. Высокий доход, даваемый инвестициями, может заставить инвестора пойти на риск. Приведем другой пример.

Пример 1.2. Выбор трассы магистрального газопровода [Ларичев, 2002]. При выборе вариантов трассы газопровода в Грузии в 1984 г. использовались оценки экспертами вариантов проекта по следующим факторам:

• затраты: приведенная стоимость затрат (П), капитальные затраты на основную трассу газопровода (С,) и на строительство отводов (С ₂);

• удобство эксплуатации (Э);

• надежность эксплуатации (Н);

• влияние на окружающую среду (В);

• связь с региональными планами развития (Р);

• условия строительства (У);

• безопасность (Б).

Все параметры проектов, кроме затрат, характеризовались экспертами вербально (“лучший”, “худший” и т.д.). Всего обсуждалось три базовых варианта проекта. Крупные решения такого рода принимаются обычно на основе согласования интересов различных заинтересованных лиц и групп. В данном случае таких групп было четыре: региональные власти, заказчик, подрядчик и проектировщик. Все эти группы по понятным причинам ориентируются в большей мере на разные аспекты проектов. В результате анализа трех вариантов два из них оказались предпочтительными по всем факторам. Результатом процесса всех обсуждений стал доработанный вариант одного из этих двух проектов.

В многокритериальной задаче выбора из последнего примера показателями, учитывающими риск вариантов проекта, являются показатели Н и Б. Нужно заметить, что оценка надежности производилась экспертами как вероятность аварий. Эта вероятность может рассматриваться как мера риска, хотя, очевидно, в этом качестве можно использовать и какие-то другие критерии. Неопределенность вовсе не обязательно (и не всегда удобно) учитывать в процессе принятия решений при помощи вероятностей. Этот вопрос подробнее освещается в последующих разделах.

1.5

*Динамическая задача выбора

Задача выбора в условиях риска может быть более сложной, если речь идет не об одной отдельно взятой ситуации выбора, а о последовательности таких ситуаций. Пусть Х₀,Х_?...,Х_Г... — конечная или бесконечная последовательность некоторых случайных величин. Будем считать, что эти величины выражают значения некоторого случайного фактора на соответствующий момент времени. Например, рассмотрим процесс деятельности некоторого финансового предприятия в условиях риска; в этом случае X_t могут быть значениями капитала, который находится в обороте на момент времени t (время измеряется в некоторых единицах). Предположим, что в каждый из моментов времени субъект должен принять некоторое решение d_t из множества возможных решений Т>. Например, это может быть решение о распределении капитала Х_г В простейшем случае d_t может обозначать долю капитала, изымаемую из оборота в целях потребления в период [f,f + l]. Тогда (X_t-d_t) есть капитал, который остается в обороте.

Если речь идет о распределении капитала, то решение d_t, принимаемое в момент t, должно зависеть, по крайней мере, от имеющегося капитала Х_г В задачах более общего типа оно может, вообще говоря, зависеть от всех прошлых значений Х₀, X,,..., Х₍_, и принятых в прошлом решений d_Q,d_l,...,d_t__l.

Введем критерий качества принимаемых решений

В задаче о распределении капитала, если d_t — суммы, направляемые на потребление, то естественно задать V как полезность потребления. В частности, часто используют ожидаемые значения критериев дисконтированной стоимости (1-7) и его обобщения — дисконтированной полезности (1-10) из раздела 1.3. Последний критерий в данном случае имеет следующий вид.

(1-13)

где ? — коэффициент дисконта, а сумма может браться как по конечному, так и по бесконечному множеству значений t, в зависимо-

Динамическая задача выбора

сти от постановки задачи. Критерий (1-13) выражает ожидаемую дисконтированную полезность потребления.

Таким образом, общая постановка задачи о выборе решения выглядит так: найти функцию d - d(t, Х₀,..., X_t__vd₀,...,J,_,), доставляющую максимум критерию V. Решение ищется на каком-либо множестве таких функций. Функции d называются стратегиями, или решающими правилами. Фактически стратегия описывает правило принятия решения во всевозможных ситуациях, характеризующихся случайными параметрами. Стратегия d*, доставляющая решение указанной задаче, называется оптимальной.

В этой книге будут рассмотрены только некоторые примеры таких задач динамической оптимизации. Это задачи о распределении капитала и потреблении: задача о распределении капитала инвестора в разделе 3.4 и задача о выплате дивидендов страховой компанией в разделе 8.1. При решении таких задач обычно используются методы динамического программирования. В их основе лежит принцип оптимальности Беллмана'. Последний состоит в следующем: оптимальное поведение на каждом шаге такое же, как если бы этот шаг был последним, а значения критерия оптимизации брались максимальными по всем альтернативам последующего поведения.

Часто задачи описанного здесь типа называют задачами динамического управления (dynamic control), а стратегии d — управлениями. Приведенная выше математическая модель может описывать влияния d_t некоторого управляющего субъекта (например, руководства фирмы) на процесс X_t (например, капитал фирмы). С помощью таких моделей можно описывать различного рода обратные связи в экономических системах — например моделировать реакции менеджмента фирмы на изменения ее финансового положения. Реалистичные модели такого типа, как отчасти увидит читатель ниже, получаются сложными, и обычно исследовать их приходится численными методами. Пример модели с обратными связями представляет модель пенсионной схемы из главы 11. В той же главе рассматриваются методы практического анализа динамических управляемых моделей, реализуемых на компьютере.

¹ Р. Веллман (Bellman) — американский математик XX п.

1.6

Выбор при неопределенности

В предыдущих разделах шла речь о выборе в условиях риска, т.е. выборе в ситуации неопределенности, когда вероятности будущих событий считаются известными. Согласно классической теории вероятностей, понятие вероятности тесно связано с понятием статистического эксперимента — серии независимых повторяемых испытаний. Вероятность может быть определена экспериментально как частота некоторого события в этих повторяющихся испытаниях, либо она может быть рассчитана как соотношение шансов (говоря современным языком, на основе математической модели эксперимента). Например, вероятность выпадения единицы при бросании кости дается соотношением шансов один к шести. При достаточно долгой серии бросаний кости частота выпадений единицы приближается к одной шестой.

Вероятности, которые могут быть надежно определены на основе статистического эксперимента или его модели, будем называть статистическими или физическими. Вероятности, которые нельзя определить статистически, обычно определяются путем экспертных оценок. Именно такие вероятности использовались в примере 1.2. Теоретическим основанием таких оценок является теория субъективных вероятностей (см. главу 6). Под субъективными вероятностями понимаются оценки возможности событий, получаемые, вообще говоря, нестатистическим путем. Субъективная вероятность — это оценка субъектом степени возможности какого-либо события.

Пример 1.2 дает очень хорошую иллюстрацию того, что использование понятия вероятности для измерения риска может быть чистой условностью. Действительно, в этом примере речь идет о новом, уникальном объекте (газопроводе); не существует статистических данных или математических моделей, которые позволили бы надежно определить вероятность аварии на газопроводе. Использование здесь вероятностного описания неопределенности есть, по сути, просто форма вопроса к эксперту.

В этом примере вероятностный показатель играет просто роль некоторого критерия надежности проекта с точки зрения данного риска, а вероятностного смысла на самом деле не имеет. В наборе показателей, которыми описывается проект и по которым производится сравнение проектов, можно с тем же или большим успехом использовать в качестве показателя риска какой-то более первичный показатель. Иногда можно встретить такие оценки: говорят, что вероятность аварии, скажем на АЭС, меньше одной сотой в год, или в среднем меньше одной аварии за сто лет. Нужно ли ставить вопрос эксперту в такой форме? Возможно, это выглядит несколько искусственно. Вероятностное описание неопределенности стало, наверное, слишком привычным в науке и на практике. А всякая неосознанная привычка может стать вредной.

Далеко не всегда есть смысл в вероятностном описании неопределенности. Это во многом определяется решаемой задачей. В некоторых случаях, наоборот, стремление ввести вероятностное описание вполне естественно. Так, например, пусть речь идет о страховании уникального риска — скажем, пожара в новом здании бизнес-центра. Хотя это здание, допустим, уникально, эксперты и актуарии страховой компании скорее всего попытаются как-то оценить вероятность пожара. Они захотят трактовать этот риск такими же методами, как, например, риск пожара в загородных коттеджах, по которым у них есть достаточно статистических данных и вероятность пожара может быть оценена статистическими методами. Нет никаких общих оснований говорить, что это неправильно и что они должны применять те или иные методики, не использующие понятия вероятности. Теория субъективных вероятностей (