Случайное блуждание
В главе 7 была описана статическая модель страхового риска, где риск моделировался всего одной случайной величиной, а именно суммарным страховым убытком по группе рисков S. Однако статические модели могут дать только ограниченное представление о риске. В этой и следующих главах рассматриваются более совершенные динамические модели, позволяющие изучать картину рисковых колебаний во времени.Случайные флуктуации во времени моделируются при помощи случайных процессов. По определению, случайный процесс представляет собой множество случайных величин {?}, определенных для всех или некоторых значений параметра времени t,t> 0. Процессы, определенные для некоторого промежутка времени, ге[0,Г], называются процессами с непрерывным временем; определенные для какого-то дискретного набора моментов времени — процессами с дискретным временем. Какой-либо конкретный набор значений ? называется траекторией или реализацией этого случайного процесса (см. раздел 12.1). Приращением процесса на интервале времени [/,,/2] называется разность его значений в конечных точках интервала, ^
Например, можно задать процесс суммарного страхового убытка по группе рисков 5,, положив его равным сумме произошедших убытков за промежуток [О, г] для каждого t > 0.
Случайным блужданием называют процесс ^ с дискретным временем, определенный для моментов t -Q,At,2At,2>At,..., такой, что его приращения независимы и одинаково распределены.
Обозначим функцию распределения этих приращений через F. Рисунок 8.1 иллюстрирует случайное блуждание: это процесс, каждое очередное значение которого выбирается случайно, в соответствии с распределением F, и независимо от предыдущей “истории” процесса. Таким образом, значение процесса представляет собой сумму константы и независимых одинаково распределенных случайных слагаемых; полагая для удобства At -1, можно записать
& =и + Л?і + Л?2 +...+ Д^,
где и = — начальное состояние процесса.
Величину At называют шагом блуждания.
Случайный процесс с дискретным временем всегда можно превратить в процесс с непрерывным временем, соединив точки его значений — точки плоскости с координатами (kAt,%kLt) — отрезками. Такая случайная ломаная изображена на рис. 8.1.
Обозначим через Vt величину баланса резервного фонда (капитала) некоторой страховой компании, образующегося за счет разницы между собираемыми нетто-премиями (премиями после вычета надбавок на расходы компании) и выплаченными страховыми возмещениями. Пусть начальный фонд ?0 = и.
Предположим, что за единичный период времени от t до t +1 страховая компания собирает нетто-премии в постоянном объеме Р и покрывает страховые убытки в размере ХІ+? Тогда резерв изменяется как
?І+І=?, + Р-ХІ+Г (8-1)
Если случайные величины X, независимы и одинаково распределены, то процесс Vt — случайное блуждание.
Предположение о независимости убытков за отдельные промежутки может приближенно выполняться для крупного страховщика. Но в целом это, конечно, очень упрощенная модель страхового бизнеса. Она, во-первых, не учитывает денежных потоков от инвестирования резерва. Кроме того, процесс (8-1) стационарен, что, конечно, на практике вряд ли когда-либо выполняется. Модель де Финетти — “первое приближение”, которое позволяет, однако, сделать некоторые теоретические заключения.
На примере процесса Vt введем важное в теории риска понятие вероятности разорения (ruin probability). Разорением будем называть событие, состоящее в том, что баланс Vt становится отрицательным, т.е. резервов недостаточно для покрытия обязательств. Определим вероятность разорения за время Т как величину
фт{и)~ Р(для некоторого t? [О,Г] Vt < О),
где и = ?0 — резерв в начальный момент времени.
Термин “разорение” в теории риска возник исторически. Более точно было бы называть это событие, например, “дефицитом”. Недостаточность резерва не означает разорения страховой компании в смысле приостановления ее операций или банкротства; термин “разорение” теории риска следует понимать как технический. Если баланс резервного фонда У, отрицателен, это еще не означает отрицательности баланса компании в целом, так как компания может иметь и иные источники погашения дефицита (например, собственные средства, займы и др.). С другой стороны, даже при положительном Vt компания может испытать финансовые трудности, если часть активов, в которые вложен резервный фонд, имеет низкую ликвидность (объекты недвижимости, драгоценные металлы и пр.). Таким образом, не следует смешивать вероятность разорения и с вероятностью неликвидности.
Событие разорения следует понимать скорее как некоторый аналитический индикатор, сигнализирующий о финансовом неблагополучии. Можно рассматривать также события, состоящие в снижении уровня резерва не до нуля, а до некоторого положительного минимума. Такой подход можно применять, например, для моделирования страхового бизнеса в условиях нормативного регулирования, предписанного в странах ЕС [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994]. В этом случае тот минимум, ниже которого не должен опускаться суммарный резерв, представляет собой минимальный нормативный уровень резерва — если резерв окажется ниже, операции страховщика будут приостановлены регулирующими инстанциями. Другой пример, иллюстрирующий ту же идею, приводится в следующей главе в связи с моделированием неплатежеспособности компаний (так называемые структурные модели кредитного риска). Легко заметить, однако, что задача о достижении процессом Vt (?0 = и) некоторого положительного уровня и< и математически эквивалентна задаче о достижении нулевого уровня процессом Vt - и, т.е. задаче о разорении для такого процесса.
Вероятность разорения за бесконечное время
ф{и) = Р(для некоторого t > О V, < 0).
Вероятность обратного события, т.е. того, что разорение не наступит, будем называть вероятностью неразорения.
Де Финетти сформулировал следующий парадокс теории риска.
Если капитал (резерв) страховой компании ограничен, то вероятность ее разорения равна единице.
Действительно, предположим, что Vt не может превышать числа К. В нетривиальном случае, когда вероятность того, что Vl+l < Vt положительна, существует число т, такое, что фт{К)> 0. Рассмотрим п интервалов времени длиной т. Каждый такой интервал страховая компания начинает с резервом, не большим К, поэтому вероятность разорения в течение интервала не меньше фт(К). Так как приращения процесса независимы, вероятность неразорения в течение п интервалов равна произведению вероятностей неразорения в течение отдельных интервалов. Поэтому для и< К можно написать
Отсюда
ф(и) = lim фТ(и) = 1.
На основании этого парадокса де Финетти критиковал вероятность разорения за бесконечное время как нереалистичную меру риска. Нужно сказать, что до него изучение этих вероятностей было для математической теории страхования определяющим (эта так называемая классическая теория риска излагается ниже в разделе 10.1). Одна из моделей, использующих другие, нежели вероятность разорения, критерии, описана в следующем примере.
Пример 8.1. Задача о выплате дивидендов [Borch, 1974а]. Предположим, что, кроме страховых выплат, страховая компания может выплачивать излишки резервного фонда в виде дивидендов своим акционерам. Обозначим дивиденды, выплачиваемые в моменты времени t = 0,1,2,..., через s0,srs2,... соответственно. Динамика резерва теперь описывается уравнением
Vl+i=Vl+P-Xl+l-sr (8-2)
Здесь ?г обозначает капитал (резерв) на момент t после подведения итогов периода, т.е. учета поступивших премий и вычета оплаченных убытков, но до принятия решения о выплате дивидендов. Величины X, по-прежнему независимы и одинаково распределены. Будем считать, что их общее распределение имеет плотность /(х).
Методы решения динамических задач выбора такого типа рассматривались в разделе 1.5. Найдем оптимальную, с точки зрения акционеров, стратегию, или решающее правило, выплаты дивидендов. Пусть их предпочтения на последовательностях $0,$,,$2,... описываются средней дисконтированной стоимостью (раздел 1.3). Тогда задачу можно сформулировать в виде
¦И»
S'V —> шах.
/=0
Определим функцию Веллмана Щ?) как дисконтированную сумму дивидендов при оптимальной стратегии выплат, начиная с некоторого момента, если резерв в этот момент равен V. Обратите внимание, что эта функция одинакова для всех моментов времени; этот факт существенно упрощает решение задачи. Положим ІТ(?) = 0 для ?<0, т.е. в случае разорения операции компании прекращаются и дальнейшие выплаты дивидендов прекращаются.
Предположим, что компания выплатила дивиденд s в некоторый момент времени т, имея при этом капитал V. Тогда баланс по прошествии одного периода равен
V-s + P- х,
где х — величина страховых убытков в течение периода. При оптимальной стратегии выплат дисконтированная сумма дивидендов, начиная с момента т +1, будет равна WXV-s + P-jt). Ее математическое ожидание
?е|0,?|
Введем функцию
w(V-s + P)= f W(V-s + P-x)f(x)dx.
Jo
Требуется найти максимум функции g(s) = s + vw(V-s + Р). Будем предполагать, что эта функция дифференцируема, имеет единственный экстремум — максимум в точке s*, возрастает для s < s* и убывает для s > s*. Дифференцируя и приравнивая производную к нулю, имеем уравнение для s*
w(y-s* + P) = -.
V
Рассмотрим два случая, в зависимости от значения V: либо s*e [О, V], либо 5*g[0,V]. В первом случае V-s’ + P = z\ где z* — число, такое, что vv'(z') = 1/?. Так как s* единственно, z* тоже единственно. Тогда
j* = V-(z*-P).
Во втором случае предположим, что s*< 0. Тогда максимум достигается на краю интервала, и оптимальный дивиденд равен нулю. Если, наоборот, s"> V, то оптимальный дивиденд равен V, т.е. надлежит выплатить весь резерв в качестве дивиденда.
Все это приводит к выводу: оптимальная стратегия выплат — пороговая. Выплачиваемый дивиденд равен превышению капиталом некоторого постоянного уровня Z, т.е.
s,=[V,-Z]\
Итак, оптимальная стратегия состоит в том, чтобы выплачивать в качестве дивидендов излишки сверх некоторого фиксированного уровня резерва. В случае, если резерв ниже этого уровня, не следует выплачивать ничего.
Тривиальной стратегии, когда весь капитал выплачивается в виде дивидендов, формально соответствует случай Z = 0.
8.2
Винеровский процесс
Нормальное распределение часто служит моделью для случайных возмущений в разного рода системах. Популярность этого распределения объясняется его универсальностью. Как известно, множество разнородных процессов в природе, технике, экономике описывается нормальной моделью. Математически этот факт объясняется центральной предельной теоремой, утверждающей, что суммарное воздействие многих “мелких” возмущений должно давать флуктуации, распределенные “почти” нормально. Экономические системы являются сложными, как правило, характеризуются взаимодействием большого числа экономических агентов, и к ним эти соображения относятся в полной мере. Поэтому применение нормальных моделей (и связанных с ними, как, например, модель доходностей раздела 8.3) в экономике опирается на серьезную теоретическую базу.
Если у нас нет достоверной статистической информации о колебаниях какого-либо экономического показателя, то априори есть больше оснований предполагать их нормальными, чем какими-либо другими.
При построении экономических моделей нормальность часто бывает хорошим “первым приближением” для введения в модели случайности, или “риска”. Впоследствии, при развитии этих моделей, может возникать нужда в построении более точных приближений, учитывающих, например, асимметричность построенных по данным распределений, в противоположность симметричному нормальному распределению. Однако первые результаты, часто наиболее важные, во многих случаях удается получить уже в нормальной модели.
Для моделирования нормальных случайных флуктуаций в непрерывном времени широко используется так называемый винеровский процесс*, или процесс броуновского движения. Стандартный винеровский процесс wt (>?0 =0) определяется как процесс, обладающий следующими свойствами:
¦ траектории непрерывны;
¦ приращения на непересекающихся интервалах независимы: для любых tl<t2<sl< s2 случайные величины (??, - ?? ) и (w( - ??Л) независимы;
¦ приращения wr нормальны: величина (??, - и> ) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией t2~tr
Винеровский процесс со сносом, или обобщенный винеровский процесс — процесс вида
? =^0+Mt + crw„ (8-4)
где ?0, /л и а — некоторые числа, сг> 0.
Приращения обобщенного винеровского процесса,
= ptAt + crAw, (8-5)
независимы и распределены нормально со средним /лАt и средним квадратическим отклонением СГу[аІ.
Винеровский процесс можно приближенно представлять следующим образом. Ось времени разбивается на достаточно малые проме-
1 Н. Винер (Wiener) — американский математик XX в.
жутки А Г, приращение процесса (8-4) на этих промежутках моделируется случайной величиной вида
//A t + ?<Т\/аІ,
где ? — стандартно нормальные случайные величины, независимые для различных интервалов. Чем меньше At, тем точнее это приближение винеровского процесса.
pit + <т??,
То, что Аt входит в приведенное выражение в степени 1/2, объясняется следующим образом. Из того, что приращения процесса для непересекающихся интервалов времени независимы, следует, что дисперсия его должна расти линейно по времени. Действительно, если и (7?2л/Af2 — приращения, соответственно, на соседних интервалах Аг, и Аt2, то приращение на объединенном интервале имеет дисперсию <т(Дг, + Дг2), равную сумме дисперсий величин <теіУ[К^ и <Т?2Л/АТ2.
Винеровский процесс — математическая модель, впервые сконструированная для описания броуновского движения — движения маленькой частицы в жидкости под воздействием ударов молекул. Этим объясняется название “процесс броуновского движения”. Если удары молекул “очень часты” и независимы, винеровский процесс будет хорошей моделью изменения одной из координат частицы во времени. Этот процесс можно использовать как модель любой величины, подвергающейся “очень частым” независимым воздействиям. Например, страховой убыток по группе из п однородных рисков 5, будет приближаться обобщенным винеровским процессом тем лучше, чем больше п, и тем самым, чем чаще наступают “воздействия”, т.е. происходят отдельные страховые убытки. Если группа состоит из нескольких видов рисков, ожидаемое число ненулевых убытков по рискам каждого вида должно быть достаточно велико, в противном случае распределение приращений может быть далеко от нормального. В частности, это может быть так, если в группе присутствуют отдельные крупные риски, вероятные убытки по которым приводят к отличиям распределения суммарного убытка от нормального.
Принцип инвариантности
Если взять случайное блуждание с очень маленьким шагом At, то такой случайный процесс окажется близким к винеровскому процессу.
Начнем бесконечно “измельчать” время: положим At = At(n) = Tin. Рассмотрим случайные блуждания ?(|),?(2,,...,?<л),..., стартующие из нуля (т.е. ?0(1) =0) и такие, что ?(л) имеет шаг At (гг). Обозначим их приращения, Д?(л) = ?,<л) - ¦
Тогда, если выполнены условия нормировки
Е[Д?л)] = 0,
0[Д^(Л,] = ДГ, (8-6)
то при л —> °о вероятность попадания случайных ломаных блуждания ?((л) в прямоугольник [tvt2]y.[a,b], Г,,Г2 ? [0,7], на плоскости (г,?) стремится к соответствующей вероятности для траекторий винеровского процесса:
Р(?,(л) ? [a,b] для любых Г? [Г,,Г2]) —> Р(??, ? [a,b\ для любых Г?[Г,,Г2]). (8-7)
Таким образом, можно говорить о тождественности (в пределе) вероятностного поведения обоих процессов .
Соотношение (8-7) можно распространить с прямоугольников на многие другие множества (фактически произвольные, кроме множеств очень сложной структуры). Если оно выполнено, то говорят, что распределение случайных ломаных процесса ?,(л) для ге [О, Г] слабо сходится к распределению винеровского процесса wr
Предположим теперь, что случайное блуждание можно линейным преобразованием, положив
е«_?,~ЖО
' а
привести к такому виду, чтобы для нормированного процесса выполнялись условия (8-6). Поскольку ?(* приближается винеровским процессом wt, будет приближаться процессом
fi{t) + awr (8-8)
Из условий (8-6) получаются условия приближения таким процессом:
Е[Д?] = Ди(0,
D[A? ] = Е[Д? - Д и(іг)]2 = а1 At (8-9)
(см. упражнение 8.1). Более общая версия условий, которая будет использоваться в следующей главе, дана в упражнении 8.2.
Принцип инвариантности является обобщением центральной предельной теоремы (ЦПТ). Условия (8-6) играют такую же роль, как условия нормировки в ЦПТ (требования равенства нулю математического ожидания и единичности дисперсии суммы).
Винеровский процесс является предельным в схеме случайного блуждания, как нормальное распределение — предельным в схеме суммирования независимых случайных величин.
В следующих разделах будут необходимы некоторые факты стохастического дифференциального исчисления, или стохастического ана-
1 Этот важный факт называется принципом инвариантности', его часто называют принципом Донскера — Прохорова. М. Донскер (Donsker) — американский математик XX в., Ю.В. Прохоров — русский математик современности. См., например: | Прохоров, 1956; 1999, с. 194|.
лиза. Ниже они описаны кратко. Понятие стохастического дифференциала не определяется, но вводятся правила обращения с этим “оператором”. По поводу полной теории можно обратиться к специализированной литературе; некоторые источники указаны в конце раздела.
В “обычном” (нестохастическом) математическом анализе вводится понятие дифференциала неслучайной функции одной или нескольких переменных. Операцию взятия дифференциала функции обозначают строчной буквой d. Дифференциал df функции /, взятый в точке t0, является некоторой функцией. Здесь букву d можно понимать как обозначение “оператора дифференциала”, ставящего в соответствие функции / и точке t0 функцию df. Задаются определенные правила действий с дифференциалами, которых достаточно для решения прикладных задач. Уравнение, связывающее дифференциалы, называют дифференциальным уравнением. Если некоторая функция удовлетворяет такому уравнению, она называется его решением.
Рассмотрим теперь случайные процессы, т.е. случайные функции от времени. В этом случае мы введем операцию взятия стохастического дифференциала как некоторую математическую операцию. Взятие дифференциала от случайного процесса в фиксированной точке t0 дает некоторый случайный процесс d?t, называемый дифференциалом процесса %г Строгого определения операции взятия дифференциала дано не будет. Можно считать, что d есть обозначение некоторого оператора, который ставит в соответствие процессу %t и точке t0 некоторый случайный процесс dgr Ниже будут указаны только некоторые правила действий с дифференциалами, которых окажется достаточно.
Уравнение, включающее стохастические дифференциалы, называется стохастическим дифференциальным уравнением. Его решением будем называть такой процесс, который при подстановке его в уравнение и взятии дифференциалов приводит уравнение к равенству. Так же, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, решения стохастического дифференциального уравнения обычно представляют собой некоторое множество процессов. Чтобы выделить одно конкретное решение, задают краевые условия — например начальное условие, фиксируя значение процесса в начальный момент времени.
Введем некоторые формальные правила обращения со стохастическими дифференциалами и дифференциальными уравнениями.
Во-первых, результат взятия стохастического дифференциала от неслучайного процесса (функции) совпадает с обычным дифферен-йиалом.
Во-вторых, операция взятия стохастического дифференциала является линейной. Если и 77, — два случайных процесса, то
d{a^t+b7]t) = ad^t+bd7]r (8-10)
Из этих двух правил легко следует, что обобщенный винеров-ский процесс (8-4) является решением стохастического дифференциального уравнения
d%t = /xdt + <rdwt. (8-11)
Нетрудно увидеть аналогию между этим уравнением и (8-5). В-третьих, введем основное правило оперирования со стохастическими дифференциалами — так называемую формулу Ито. Процесс, определяемый как решение уравнения
d% = /г(г, %)dt + a(t, ^)dw, (8-12)
(индекс t здесь и иногда ниже мы для краткости опускаем) называется процессом Ито. В отличие от (8-4), здесь ц и а уже могут быть функциями от t и
Лемма (Ито). Пусть — процесс Ито, заданный уравнением (8-12). Пусть f = f (t,?) — дважды дифференцируемая функция. Тогда
df -dt + jkdZ + ±-^CJ2dt. (8-13)
dt dg 2 dg
Эта основная формула позволяет переходить от дифференциалов случайных процессов к дифференциалам функций от них и обратно. Отметим ее отличие от формул “обычного” анализа. Если бы речь шла о дифференциале функции от двух детерминированных переменных / = f(x, у), по хорошо известной формуле было бы
Э/ Э/
df =-f-dx + ^-dy. dx dy
Формула (8-13) отличается от этой последним членом, который поэтому называют “стохастическим”, подчеркивая отличие стохастиче-
ской ситуации. Если подставить в (8-13) выражение для d.% из (8-12), получим
Э/ Э/ о-2 Э2
— + ——і---
Эг 2 Э?2
dt + — adw.
4f —
(8-14)
Эту формулу обычно и называют формулой Ито. Из нее видно, в частности, что процесс /(г,?() тоже является процессом Ито, т.е. решением уравнения вида (8-12). Это говорит о том, что класс процессов Ито весьма широк, если произвольная функция от такого процесса и времени не выводит за пределы этого класса.
Эвристический вывод формулы Ито, проливающий свет на происхождение “стохастического” члена, приведен в разделе 12.3.
Описанные правила позволяют выполнять простейшие операции со стохастическими дифференциалами. Попробуем эвристически пояснить их.
Как уже было сказано, приращение винеровского процесса на интервале времени длиной At можно представить в виде Д??, = ?у[Кі, где ? — стандартно нормальная случайная величина. Стохастический дифференциал dwn так же, как в “обычном” анализе, можно понимать как случайную величину, являющуюся приближением Д??,. Различия в свойствах этих величин являются исчезающе малыми при At —? 0, т.е. при малых At.
Эвристически можно понимать эти обозначения по аналогии с соответствующими концепциями “обычного” анализа. Перейдя от (8-5) к (8-11), мы перешли к бесконечно малым приращениям при At —> О, обозначив такие приращения знаком дифференциала d. В “обычном” анализе оказывается, что для восстановления значения функции путем интегрирования достаточно главной (линейной) части ее приращения. Все прочее может быть отброшено, т.е. приращение может быть “упрощено”. То же самое делается в случае стохастических переменных. Дифференциалы случайных процессов d? или dw следует понимать как главную часть их приращений Д? и Д?? при At —» 0, т.е. на малых отрезках времени. Чем At меньше, тем дифференциал d? точнее воспроизводит приращение Д?
Приведенных “отрывков” из стохастического анализа будет достаточно для приложений, которые мы намереваемся рассмотреть ниже. Читатель, желающий более полно познакомиться со строгой математической теорией стохастических дифференциальных уравнений, может обратиться к специальной учебной и монографической литературе, например, к книгам Вентцеля [Вентцель, 1996], Ширяева [Ширяев, 1989; 1998], Оксендаля [Оксендаль, 2003].
8.3
Модель цен финансовых активов
Попытки построить вероятностные модели цен и доходностей ценных бумаг предпринимались еще с начала XX в. Французский ученый Л. Башелье, опубликовавший свою работу в начале 1900-х гг., предложил нормальную модель для цен финансовых активов и товаров. Соображения в пользу нормальности распределения были изложены выше: они основаны на центральной предельной теореме.
Пусть А0 и Ат — цены некоторого актива, соответственно, в моменты 0 и Г. Будем считать, что владение активом не приносит денежных доходов (актив бездивидендный), т.е. весь доход состоит в повышении цены актива. Доходность за период [0, Т] есть
Нетрудно заметить, что если цена Ат распределена нормально (цену Л0 считаем известной), то и доходность г" нормальна. Разобьем интервал [0,Г] на п малых промежутков длиной Т/п. Если считать, что изменения цены актива на каждом из промежутков независимы и одинаково распределены, то Ат должно быть приближенно нормально.
В течение XX в. предположение о нормальности цен и доходностей использовалось во многих моделях; в частности, мы видели примеры выше в разделах 2.1 (модель выбора портфеля Марковица — Шарпа) и 2.3 (методика RiskMetrics [Introduction, 1995]).
Оказывается, однако, что гипотеза о нормальности цен и доходностей приемлема только на очень небольших интервалах времени. При увеличении интервалов она обычно плохо соответствует данным. Лучше соответствует данным так называемая логнормальная модель. Оказывается, что лучше считать независимыми и одинаково распределенными не изменения цен, а доходности или относительные изменения цен на “малых” интервалах времени. Это связано с тем, что цены акций или, скажем, товаров не имеют каких-то “номинальных” значений, которые можно было бы использовать для их, так сказать, калибровки. Можно рассуждать так: допустим, некоторая компания выпустила 1 млн. акций, которые сегодня стоят по 100 за акцию. Это значит, что сегодня рыночная капитализация компании равна 100 млн. Та же компания с тем же успехом могла бы выпустить 10 млн. акций, которые стоили бы по 10 за акцию. Ясно, что количество акций никак не должно влиять на рыночную капитализацию компании и ее колебания. Поэтому изменение цены акции в первом случае на 10 руб. означает то же, что изменение на 1 руб. во втором. Важны только относительные изменения, или доходности.
Пусть опять интервал [0,Г] разбит на п малых промежутков длиной Tin. Обозначим г* доходность актива на і-и промежутке. Тогда
1 + г* =(1 + <)(1 + ^).. .(1 + 0.
Логарифмируя, имеем
іп(і + г*) = Хіп(і + »;*).
1
Поскольку г’ — независимые и одинаково распределенные случайные величины, величины 1п(1 + т;*) также независимы и одинаково распределены. Поэтому в силу центральной предельной теоремы их сумма при большом п приближенно нормальна. Это означает, что величина (1 + г*) распределена приближенно логнормально. Поэтому г* имеет логнормальное распределение со сдвигом, АТ — логнормальное распределение.
Опишем ту же логнормальную модель в случае, когда цены активов описываются случайными процессами. Пусть 5, — цена безрисковой бескупонной облигации. Пусть цена меняется по закону
Я,=?> (8-15)
где г — безрисковая ставка с непрерывным начислением, т.е. рост цены облигации реализует начисление сложного процента с постоянной
силой роста г. Как показывает упражнение 9.1, именно так и должна расти цена облигации на “идеальном” финансовом рынке. При этом В' есть решение обыкновенного дифференциального уравнения
Смысл его в том, что для “малого” промежутка времени можно считать, что доход начисляется по правилу простого процента, т.е. только на сумму В, но не на проценты на нее (процент на процент — бесконечно малая более высокого порядка, чем процент на основной капитал).
Пусть теперь Ат — цена некоторого рискового (со случайной доходностью) актива на момент t > 0. Будем снова считать, что владение активом не приносит каких-либо дополнительных денежных доходов.
Если задать уравнение для цены актива в виде
(8-16)
то инвестор, владеющий активом, будет получать от роста его стоимости постоянную доходность с непрерывным начислением //.
Для “малого” промежутка времени At можно приближенно написать
снова считая доходность с непрерывным начислением приближенно равной “обычной” доходности.
Наложим на доходность актива случайные возмущения (случайный “шум”), которые будем моделировать нормально распределенной случайной величиной с нулевым математическим ожиданием. Будем считать, что “шумовые” возмущения для непересекающихся интервалов времени независимы. Описанная выше модель для таких возмущений — винеровский процесс ??(. Итак, запишем
ДА л
— = uAt + oAw,.
А
Это дает идею того, как должно измениться дифференциальное уравнение (8-16). Введем следующую модель для процесса цены актива АТ: будем определять его как решение стохастического дифференциального уравнения
dA
— = /J.dt + adwr (8-17)
Здесь а — положительное число, называемое волатильностью цены актива. Как видно из уравнения, волатильность характеризует степень случайной изменчивости цены актива: чем она выше, тем “более рисковым” является актив. Обратите внимание на то, что “шум” добавляется к величине относительного приращения цены актива; это означает, что случайные колебания приносимой активом доходности не зависят от цены актива. Если цена актива задается уравнением (8-17), то ц играет роль средней доходности.
Переписав стохастическое дифференциальное уравнение (8-17) в виде
dA = fiAdt + crAdW', (8-18)
мы видим, что АТ является процессом Ито. Чтобы найти решение (8-18), т.е. выразить Ат в явном виде, применим формулу Ито к функции / = 1п(Л). Имеем:
^ = 0 і?=І
dt дА А’ дА2 А2
Подставляя это в (8-14), получаем
Лп( А) = — + - ~ a2S2dt = А 2 S
<7
"-т
dt + <7dw.
Это уравнение аналогично уравнению (8-11), написанному для обобщенного винеровского процесса (8-4), с точностью до констант. Это, согласно сказанному в предыдущем разделе, указывает решение уравнения: это обобщенный винеровский процесс. Для того, чтобы полностью его задать, нужно указать начальное условие. Зафиксируем цену актива в момент 0, считая ее равной А0. Тогда
< а^ ц--
V 2,
откуда
(8-19)
Процесс вида (8-19) называется геометрическим броуновским движением (рис. 8.3).
('“О ИДИС-
ное распределение с математическим ожиданием
_2
Персией о2
(8-20)
1п(а,)-1п(а,о) = ЛГ
Следовательно, сама цена актива At имеет логнормальное распределение, описанное в разделе 12.1. По этой причине описываемую модель цен активов называют логнормальной моделью. Кривая плотности логнормального распределения изображена на рис. 8.4. Это распределение с положительной асимметрией; по сравнению с нормальным, мода (максимум плотности) смещена влево, а правый хвост более тяжел.
Пользуясь формулами для математического ожидания и дисперсии логнормального распределения (см. раздел 12.1), выпишем выражения для математического ожидания и дисперсии А,:
'0) -і].
г(и
(8-21)
DA, = А
ЕЛ, = А. е
1 ч
0,30 0,24 0,18 0,12 0,06 0,00
0 2 4 6 8 10
Рис. 8.4. Плотность логнормального распределения
8.4
* Модель страхования, включающая инвестиции
Выше рассматривалась модель денежного резерва страховой компании в случае только одного источника неопределенности — страхового риска. В действительности страховые компании держат лишь небольшую часть резервных средств в денежной форме; основная часть средств инвестируется в различные активы (ценные бумаги различных эмитентов, банковские депозиты, недвижимость и др.). Посмотрим, как с помощью модели предыдущего раздела можно ввести инвестиционный риск в модель страхования, и попробуем сделать некоторые выводы о соотношении этих типов риска.
Не принимая пока во внимание инвестиционный риск, положим
У, =V0+^t + (7W,,
или
dVt = fldt + <7 dwr (8-22)
Это модель изменения резерва за счет “чисто страхового” денежного потока — страховых премий и убытков. Нормальная модель применима, если поток поступлений и выплат подвержен действию многих “мелких” независимых случайных возмущений. В главе 7 обсуждалась применимость нормальной аппроксимации для суммарного страхового убытка St. Здесь мы применяем ее для потока убытков в сумме с потоком поступлений страховых нетго-премий. При этом предполагается, что этот поток моделируется обобщенным винеровским процессом. Это означает, что в среднем он обладает постоянной интенсивностью //, которая представляет собой разность между средней суммой нетго-премий и средним суммарным убытком в единицу времени. Случайные колебания при этом независимы и нормальны.
Приращение фонда начальной величины А в течение малого промежутка времени длиной dt описывается (8-18). Предположим, что резервный фонд страховой компании, имеющий объем V, инвестирован в актив со средней доходностью // и волатильностью <7*. Тогда его приращение за счет изменения стоимости актива составит f/Vdt + а*Vdw. Это, так сказать, “инвестиционная” составляющая приращения фонда. Кроме того, имеется “страховая” составляющая приращения, описываемая (8-22). Поэтому полное приращение можно записать в виде
dV = f/Vdt + <т *Vdw* + fidt + odw. (8-23)
Это стохастическое дифференциальное уравнение описывает процесс ?г Он, как видно из уравнения, принадлежит к классу процессов Ито. Здесь wt и w* — два различных стандартных винеровских процесса, которые будем считать независимыми. Иначе говоря, предполагается, что инвестиционный и страховой риск не связаны друг с другом. Чтобы задать процесс полностью, нужно определить также некоторое начальное значение ?0 = и.
Для малого Дt можно приближенно записать
ДV - f/VAt + о*?Ае* + fiAt + стАе,
где ? и е" — независимые стандартно нормальные случайные величины. Пучок смоделированных траекторий такого процесса, выходящих из точки = и - 1, показан на рис. 8.5. Этот пучок представляет результат имитационного моделирования. Каждая из траекторий процесса получена при помощи датчика случайных чисел. С помощью имитационного моделирования можно оценивать различные характеристики риска. Например, вероятность разорения в течение какого-то промежутка времени [О,Г] можно оценить, подсчитав относительное число траекторий, хотя бы раз зашедших в область отрицательных значений в течение [О,Г]. При помощи имитационного моделирования можно исследовать гораздо более сложные и реалистичные процессы в страховании, финансах и других областях. Эта тема далее обсуждается в главе 11.
Начав с простых схем и вводя новые факторы (в частности, новые факторы риска) шаг за шагом, можно добиваться все большей реалистичности построенных моделей.
Более полная схема денежных потоков страховой компании описана в разделе 11.1. Модель этого раздела имеет то преимущество, что в ней удается получить некоторые аналитические результаты, описанные ниже.
Приведем без доказательства один общий результат [Norberg, 1996]. Вероятность разорения за бесконечное время для процесса (8-23)
h{z)dz
ф{и) =
(8-24)
f h(z)dz
Jo
Z// +//
-2f
С — нормирующая константа.
где h{z) = С exp
¦dz
2/ ¦*ч2
Z (сг )
Ее можно выбирать из условия, чтобы интеграл от функции h равнялся единице, т.е. h была плотностью вероятности.
Рассмотрим три частных случая: отсутствие инвестирования (//*=0, а* = О); безрисковое инвестирование (//>0, <7*=0j; наконец, рисковое инвестирование (//* > 0, а* >0).
В случае отсутствия инвестирования резерва, когда ji- 0, о*- 0, процесс (8-23) превращается в “обычный” обобщенный винеровский процесс, выражение для которого совпадает с (8-4). При этом (8-24) дает
+ cr
ІЕ
(У1 J
ф{и) = ехр
(8-25)
Это выражение для вероятности того, что обобщенный винеровский процесс (8-4) с начальным значением и когда-либо окажется в области отрицательных значений. Аналогичную формулу можно найти, например, в справочнике [Borodin, Salminen, 1996].
В случае безрискового инвестирования >0, о* =о) выражение для h превращается в
= С ехр
Выделяя полный квадрат в выражении в показателе экспоненты и учитывая, что С выбирается из соображений нормировки, можно видеть, что h — плотность нормального распределения со средним -ц!2ц* и дисперсией a1 !2fi. Поэтому интегралы, стоящие в (8-24),
вычисляются по формуле
JL
2//*
л/2/7
Интересно использовать эти результаты для изучения влияния инвестирования на страховой риск. Приведем асимптотические оценки для ф(и) при и —» +°°, т.е. при больших значениях начального капитала. При /л" - 0, а* = О
ф{и) = о\е-2миІ,т1\
Аналогичная экспоненциальная асимптотика получается в классической модели Лундберга, где тоже лишь один источник неопределенности — страховой риск, но модель для него другая (см. раздел 10.1). При /л > 0, а* = 0
ф{и)<е-м'и1іа1-е-1ми1а\
т.е. мы видим, что инвестирование в безрисковый актив существенно улучшает асимптотику вероятности разорения. В третьем случае, при /л* >0, <7* > 0, имеем
0(ц) = о(м"?/(<т‘)2).
Таким образом, в случае наличия инвестиционного риска асимптотика намного хуже. Интересно, что асимптотическое поведение вероятности разорения целиком определяется параметрами инвестиционного риска. Это значит, что при больших и, т.е. для страховой компании, имеющей большие денежные запасы, инвестиционная неопределенность является основным фактором риска.
Изучение вероятностей разорения будет продолжено в главе 10.
8.5
ARMA процессы
Процессы, описанные выше, обладали свойством независимости приращений. Часто, однако, возникает потребность в моделях, дающих более богатый ассортимент картин случайных флуктуаций, в том числе с зависимостью. В этом разделе очень кратко описываются так называемые процессы авторегрессии — скользящего среднего (autoregressive moving average, ARMA), очень распространенные в практике статистического моделирования. При простоте своей “конструкции” эти процессы представляют удобный и достаточно гибкий инструмент для моделирования многих видов случайных колебаний.
Подробное изложение теории ARMA процессов выходит за рамки настоящей книги. По этому поводу читатель может обратиться к руководствам по теории временных рядов и эконометрике, например: [Hamilton, 1994; Айвазян, Мхитарян, 1998; Магнус, Катышев, Пересецкий, 2001; Канторович, 2002].
Авторегрессионный процесс первого порядка — AR( 1) процесс ? определяется соотношением
(8-27)
? =8 + у?,_1+о?„
где S, у, а — некоторые постоянные, et — последовательность независимых (для разных t) одинаково распределенных случайных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Величины et называют “остатками”, они представляют случайные помехи, или, как говорят, “шум”. Таким образом, параметр а (будем считать его положительным) представляет собой среднее квадратическое отклонение “шума”. Чаще всего в качестве ?t используют независимые стандартно нормальные случайные величины. Однако нередки случаи, когда распределения остатков обнаруживают асимметрию; в этих случаях можно использовать, например, гамма- или логнормальные распределения.
Процесс (8-27) можно представить в виде
(8-28)
= 1-/0 + ОЕ,,
Этот вид записи показывает, что при ІТІ<1 процесс обладает следующим свойством: если на (Г-І)-м шаге процесс отклонился от своего среднего ц на Д = - /х, то на следующем шаге это откло
нение будет в среднем равно у А, что по модулю меньше Д. Это свойство называется возвращением к среднему. Условие | у |< 1 обеспечивает стационарность AR(1) процесса; если у> 1, то процесс “расходится”, т.е. его траектории уходят в бесконечность. Такие процессы при моделировании экономических временных рядов обычно не используют.
Последовательно применяя (8-28), можно получить
?-М = Уі[€о-м\ + <т'ЕіУі-І?г
(8-29)
і=і
Отсюда видно, что при | у\< 1 процесс приближается к равновесному распределению, т.е. распределению, на которое не влияет начальное состояние ?0. Если считать = ц, то влияние начального состояния вообще “не ощущается”. Теоретически равновесное распределение достигается при t — Из (8-29) можно оценить близость распределения к равновесному. Величина отличается от “равновесной” величины на
к=п
где ек — та же последовательность остатков, но в измененной нуме-рации. Как легко подсчитать, дисперсия “ошибки”
Так как Т] распределена нормально с нулевым математическим ожиданием, с вероятностью 0,95 ее значение попадает в интервал ±1,96^/D(A) = ±l,96oyn/yJl^ у2, где 1,96 — квантиль уровня 0,975 стандартно нормального распределения. Это неравенство позволяет оценить близость распределения к равновесному.
Например, ниже AR процессы используются для моделирования таких показателей, как уровень инфляции и инвестиционная доходность. При этом характерные значения о меньше единицы. Легко подсчитать, что при у = 0,5 и <7 = 0,1 отличие уже 8-го члена от “равновесной” величины с вероятностью 0,95 не превысит 0,001. Впрочем, скорость сходимости сильно зависит от величин параметров, в особенности параметра у.
Как можно видеть, вычисляя математические ожидания и дисперсии обеих частей (8-29) и устремляя t к бесконечности, характеристики равновесного распределения таковы: математическое ожидание
ML) = m = -^-
1-у
дисперсия
Предельная (при достаточно больших t) автокорреляционная функция, т.е. коэффициент корреляции ^ и gl+k,
У-
p(k) =
1-Г
При у = О AR(1) процесс вырождается в белый шум — процесс, в котором значения независимы и нормальны. Такой процесс часто используют как модель “абсолютно хаотических” возмущений. При у = 1 процесс превращается в случайное блуждание с нормально распределенными приращениями — дискретный аналог обобщенного ви-неровского процесса. При промежуточных значениях у процесс (8-27) генерирует случайные колебания “псевдопериодического” характера. При возрастании у процесс становится более стабильным (рис. 8.6).
Рис 8.6. 10 траекторий AR(1) процесса с /г = 0,1, <7 = 0,05: (а) у = -0,6; (б) у = 0,2; (в) / = 0,8
Авторегрессионный процесс первого порядка, являясь обобщением случайного блуждания, сохраняет присущее последнему так называемое марковское свойство, состоящее в том, что значение E,t зависит только от , но не от значений процесса в более ранние моменты времени. Если зависимость от прошлого процесса хотят сделать более “глубокой”, используют процессы авторегрессии более высокого порядка,
?,-М = Гі{?,-і-М) + Гг{1-г-М)+-+ГР(?-р-м) + Юг (8-30)
Такой процесс называется авторегрессионным процессом порядка р — AR( р ) процессом.
Чтобы лучше представлять себе авторегрессионные процессы, полезно выяснить, как они ведут себя при <7 = 0, т.е. в детерминированном случае. На рис. 8.7 показаны четыре примера. Видно, что во всех случаях начальное отклонение от среднего порождает затухающие флуктуации. В структуре колебаний прослеживается периодичность, соответствующая порядку процесса, которая может быть достаточно сложной. Например, в случае (б) каждые три идущие подряд точки образуют форму, подобную образованной предыдущими тремя, но с зеркальным отражением. AR процессы (8-30) представляют собой суперпозиции, т.е. наложения такого рода затухающих колебаний, порождаемых случайными возмущениями на каждом шаге, моделируемыми “шумовыми членами” e{t).
• , * >
0
-2
0
' А
(a) AR(1) процесс с у{ = -0,8; (б) AR(2) процесс с у{ = 0,8, у2=-0,8;
(в) AR(3) процесс с у = -0,8, у2 = -0,8, у3 = -0,6;
(г) AR(3) процесс с у{ =0,8, у2= 0,8, у3 =-0,7
Процессом авторегрессии — скользящего среднего — ARMA( p,q) процессом называется процесс
? -м=К(?-. -м)+Гг(?-2-и) +• • -+УР(?.„-м) +<?? +0[5ч +• • (8-31)
Процессы, получающиеся из него при отсутствии “авторегрессионных” членов, т.е. ARMA(0,g) процессы, называются процессами скользящего среднего порядка q — MA(g) процессами. Ясно, что чем выше порядок такого процесса, тем больше зависимы его соседние значения и тем больше “глубина” зависимости от прошлого.
Пример использования авторегрессионных процессов для моделирования рисков дает известная модель Уилки [Wilkie, 1986; Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994; Financial Economics, 1998]). Эта модель была разработана для применения в актуарных целях, т.е. для практически-ориентированного моделирования инвестиционных рисков страховых компаний и пенсионных фондов в Великобритании. Аналогичные модели были созданы для других стран, в частности Канады и США.
Пример 8.2. Модель Уилки представляет собой группу взаимосвязанных моделей финансовых временных рядов: уровня инфляции, цен и доходностей акций и государственных облигаций Великобритании (так называемых Consols), цен на недвижимость, рентных доходов от недвижимости и др. Модель имеет “каскадную” структуру: вначале моделируется один из показателей, затем, с использованием первого, другой, затем следующий показатель может моделироваться с использованием первых двух и т.д. В модели Уилки таким “первичным” показателем является инфляция, а остальные уже “привязываются” к нему. Чтобы проиллюстрировать идеи, в этом примере рассмотрим модели инфляции и привязанные к ней модели цен и доходностей акций.
Обозначим через /( значение индекса потребительских цен на момент t = 0,1,2,... (время измеряется в годах). Годовой уровень инфляции потребительских цен
Уилки использовал простую AR( 1) модель для логарифма 1 + it,
In (l +1(+1) — і =у[\п(і + і')-і~\ + сгі?І, (8-32)
где і, сг и у — некоторые числа, et — последовательность независимых стандартно нормальных случайных величин. Эта модель показывает хорошее согласие с данными; в частности, оно не хуже, чем для моделей большей глубины авторегрессии. Оказывается, что инфляция в Великобритании зависит от прошлого только через индекс цен предыдущего года (этому есть свои экономические причины, см. [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994]).
Модель подгонялась по данным для разных стран и за различные периоды времени. Например, значения параметров, предложенные Уилки для данных по Великобритании за 1919—1982 гг., таковы:
і =0,05; у, =0,6; сг. =0,05.
Рассмотрим модель для доходности акций. Доход от инвестиций в акции имеет две составляющие: доход от роста цен акций и денежный доход в виде дивидендов. В модели Уилки цены и дивиденды моделируются отдельно.
Пусть Б, — индекс акций, т.е. цена одной денежной единицы, инвестированной в портфель акций в начальный момент 0, без реинвестирования доходов; dt — индекс дивидендов, т.е. полная сумма дивидендов, полученных в течение периода от г -1 до г на портфель акций стоимостью 1 денежная единица в момент t\ yt — дивидендная доходность,
Любые две из этих величин однозначно определяют третью. В модели Уилки моделируются yt и dr Процесс для у: задается как
In у, =nt +<уу1п(і + і,), (8-33)
где второй член “отвечает” за влияние инфляции, а первый представляет собой авторегрессионный процесс первого порядка,
п, = In Му + Гу [ V, - In Му ] + <т,?, > (8-34)
остатки rjt независимы и стандартно нормальны.
Процесс для dt выглядит таким образом:
= codmt + a In (1 + і,) + //,, + ?<ХД-, + Ya<*A-. + <*A> ^8-35)
где ? независимы и стандартно нормальны,
тІ =<Уіп(і + і() + (і —(8-36)
Эти модели были подогнаны по данным для индексов британских акций за различные периоды. Так, использовался Financial Times-Actuaries All-Share Index. Предложенные Уилки значения параметров для периода 1919-1982 гг.:
Му =0,04; уу =0,6; соу =1,35; ау =0,175; со, = 0,8;? = 0,2;<эг = 0,2; ? = -0,2; //, =0; у, =0,375; сг, =0,075.
Модели, подобные модели Уилки, ориентированы на моделирование сильно диверсифицированных портфелей страховых компаний и пенсионных фондов. Именно поэтому для подгонки параметров брались данные по индексам акций. Конечно, можно использовать и данные подругам портфелям акций. Одно из возражений против подгонки по длинным временным рядам состоит в том, что эти данные содержат шоковые падения цен, связанные с кризисами. Возможно, более правдоподобную картину можно получить, моделируя инвестиционные показатели отдельно для “спокойных” периодов и тем или иным образом накладывая на эти данные шоки, задаваемые сценарно либо генерируемые стохастически (например, рис. 12.1).
Модель Уилки является далеко не единственной прикладной моделью такого рода. Предлагались и другие модели, связывающие различные индексы и использующие для этого авторегрессионные процессы. Более подробный обзор можно найти в упомянутой книге [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994].
Одним из подходов к моделированию инвестиционных показателей является моделирование индекса с реинвестированием (roll-up index), где рост индекса включает в себя и дивидендный доход. Это позволяет получить более простые (но, конечно, не обязательно более адекватные) модели. В качестве такого рода инвестиционных показателей с включением дивидендного дохода могут быть использованы цены паев паевых инвестиционных фондов. Этот подход применим и для российского рынка инвестиций.
Моделирование инфляционных и инвестиционных рисков ARMA процессами рассматривается далее в главе 11 в применении к моделированию денежных потоков пенсионного фонда.
8.6
Упражнения к главе 8
Упражнение 8.1. Подставив в (8-6) вместо процесса процесс
г _ 5 -жо
а
где ju(t), а — некоторые неслучайные величины, получите соотношения (8-9).
^Упражнение 8.2. Покажите, что условия (8-9) приближения случайного блуждания обобщенным винеровским процессом можно обобщить до
(8-37)
ЕД?, = Aju(t) + a(At), DA?, = а2 At + P{At),
где a(At) - o(At), P{At) - o(At) — бесконечно малые, зависящие только от At.
Указание. Достаточно построить процесс |<л), удовлетворяющий условиям (8-9) и такой, что sup(?T | |(<л)-?/л) |—> 0.
Упражнение 8.3. Приращения винеровского процесса со сносом I;, = /j.t + awl независимы, поэтому ковариация
если интервалы [Г,,Г2] и [s,,s2] не пересекаются. Чему равна эта ковариация для пересекающихся интервалов?
Упражнение 8.4. Цена акции сегодня равна 60 долл. Предположим, что ее средняя годовая доходность ц, = 0,16, годовая волатильность а - 0,3. Какова вероятность того, что цена акции через полгода:
(а) окажется больше 70 долл.;
(б) окажется в интервале от 55 до 65 долл.?
Найдите ожидаемое значение цены акции через полгода.
Упражнение 8.5. Остается ли парадокс теории риска де Финетти (раздел 8.1) верным в модели страхового резерва с инвестициями раздела 8.4?
глава
ДЕРИВАТИВЫ
Технологии управления риском в экономике на современном этапе трудно себе представить без деривативов — производных финансовых инструментов. Компании самых разных отраслей используют их для управления рыночным риском.
9.1
Рынки производных
Деятельность фирм, финансовых институтов, индивидуальных предпринимателей в различных отраслях бизнеса подвержена рыночному риску — риску изменений цен. Инвестор, вкладывающий деньги в акции, подвергается риску падения цен на фондовом рынке. Авиакомпания, продавшая билеты на три месяца вперед, подвергается риску повышения цен на авиатопливо. В современном мире получили широкое распространение такие инструменты защиты от рыночного риска и его перераспределения, как производные ценные бумаги (derivative securities), или просто производные (деривативы, derivatives).
Рассмотрим в качестве примера опционы на поставку зерна, известные еще, по крайней мере, с XIX в. Производители зерна часто бывают заинтересованы в том, чтобы гарантировать продажу своего урожая заранее, возможно еще “на корню”, по определенной цене. Можно, пользуясь современной терминологией, заключить форвардный контракт, договорившись о поставке определенного количества зерна в определенное будущее время по определенной цене. При этом, однако, производитель рискует не выполнить свои обязательства в случае неурожая. С развитием торговли, когда сделки о поставках стали заключаться через биржи, появился инструмент, обеспечивающий потребности таких поставщиков — опцион (контракт с опционом). Это контракт, согласно которому определенное количество товара (зерна) при поставке в определенные сроки будет принято по определенной цене. Однако, в отличие от форвардного контракта, поставщик свободен от обязательств по поставке. Английское слово “option” переводится как опция — условие контракта, выполнение которого зависит от воли одной из сторон.
Этот пример показывает, как возникает спрос на производные: они удобны в том смысле, что соответствуют “профилю потребностей” отдельных участников рынка и их “профилю риска”. Начиная с 1970-х гг. наблюдается бурный рост рынков производных, в частности опционов, как по объему торгов, так и по разнообразию бумаг. Движущей силой этого процесса является спрос участников рынка на бумаги, обеспечивающие возможность гибкого видоизменения профиля денежных потоков, получаемых от их портфелей инвестиций.
Предположим, что инвестор имеет акции, которые в настоящий момент котируются по 60 долл, за акцию. Инвестор надеется получить прибыль от повышения цены, но опасается ее понижения. Тогда он может купить опцион, дающий право продать акции по цене, например, 52 долл. Однако предположим, что при повышении цены до 70 долл, инвестор намерен зафиксировать прибыль, продав акции. В случае такого повышения опцион ему уже не будет нужен. Для такого инвестора наилучшим решением будет так называемый барьерный опцион, прекращающий свое существование при достижении ценой акции уровня 70 долл., потому что такой опцион дешевле “стандартного” опциона.
Изменение финансовых рынков (рост их волатильности и распространение деривативов как “реакция” на этот рост) происходило параллельно с развитием финансовых технологий. Наиболее очевидные черты произошедших с начала 1970-х гг. изменений — компьютеризация рынков: мгновенная передача информации, быстрое заключение сделок, алгоритмизация торговли на фондовых рынках и управления портфелями, а также их (рынков) глобализация. Сегодня крупные финансовые компании имеют портфели, включающие тысячи бумаг, и оперируют одновременно на десятках торговых площадок по всему миру. Эффективно управлять операциями такого масштаба невозможно без “подсказок” компьютера. Неудивительно, что создание программного обеспечения для финансовых задач само по себе уже стало целой индустрией.
Теория деривативов — одно из самых плодотворных и практически востребованных направлений экономической науки XX в. Его развитие было начато в 1970-х гг. работами Блэка (Black) и Шоулза (Scholes), Мертона (Merton), Кокса (Сох), Росса (Ross), Рубинштейна (Rubinstein) и других ученых. Многие даже полагают, что развитие этой теории отчасти стимулировало развитие рынков производных, дав в руки инвесторов достаточно надежные инструменты анализа таких бумаг и уменьшив недоверие к ним. Так это или не так, но сегодня работу многих инвесторов — в особенности, конечно, крупных финансовых институтов — просто невозможно представить без использования моделей и результатов этой теории, в частности без компьютерных программ, реализующих основанные на этих моделях алгоритмы.
