---

Разделы На главную История денег и экономики История экономических знаний Формы безналичных денег Международные финансы Экономические концепции Экономические теории Экономика в реальной жизни Экономический анализ и интеграция Макроэкономика Экономика и социальное общество Социальная экономика Социология Кризисная экономика Инфляция в экономике Экономика зарубежных стран Иностранные деньги Государственное регулирование Бюджетная система Политическая экономия Политология Законы денег Налогообложение Аудит Банкротство Теория рынка Конкуренция Международная торговля Товарная биржа Нефть и газ на бирже Логистика Банки - услуги и операции Банки в России Банковский кредит Недвижимость Ипотека в банке Инвестирование Стратегии инвестирования Инвестиционные фонды Ценные бумаги Акции Вексель Облигации Опционы Фьючерсы Биржевая торговля Биржа Forex Фондовый рынок Фондовый рынок России Волны Эллиотта Теория фракталов Торговая теория Ганна Фибоначчи на бирже Графический анализ на бирже Паттерны Биржевой анализ "Крестики-нолики" Японские свечи Технический анализ Математика на бирже Фундаментальный анализ Биржевая торговля Стратегии торговли Механические торговые системы Программирование МТС Управление торговым капиталом Управление портфелем Управление риском Страхование Профессия трейдер Практический трейдинг Технологии инфосистем Информационный рынок Безопасность информации Криптология и криптография Реклама PR - Public Relations Маркетинг Финансовая система Начало бизнеса Предпринимательство Малый бизнес Микроэкономика Торговля Ценообразование Работа в Интернете Сайты, софт, дизайн Управление качеством Управление предприятием Производство продукции Стратегический менеджмент Учебники по менеджменту Системы и организации Теория систем Планирование Статистика финансов Управление персоналом Трудовые отношения Бухгалтерия «1С:Бухгалтерия» Управленческий учет Делопроизводство и офис Автоматизация делопроизводства Рынок труда Карьера Менеджер Лидерство и бизнес карьера Лидерство и карьера Общение и переговоры Общение в бизнесе Бизнес переговоры Инновации в моделировании Экономическое моделирование Нейронные сети Нейролингвистика Логика нейросетей Программирование Пакет Excel Технологии программирования Языки программирования Практическая психология Психологические тренинги Психология в медицине Возрастная психология Ваши скрытые резервы Здоровье и долголетие Работа с эмоциями Пикап Управление временем Гипнотерапия Подсознание Трансовые техники Магия Здоровье советы Спорт для здоровья Йога Религии Эзотерика Мистицизм

---

Непрерывная модель

Термин хеджирование означает, в его наиболее широком смысле, обеспечение нужного профиля денежного потока инвестора. Хеджировать риск означает защититься от него при всех возможных обстоятельствах — как при повышениях, так и падениях цен. Некоторые примеры решений этих задач с помощью производных приводятся в следующих разделах. Хеджеры составляют, так сказать, основу финансового рынка. К их числу относятся, например, пенсионные фонды и страховые компании, преследующие в своих инвестиционных стратегиях прежде всего цели осуществления “планового” погашения своих обязательств. Объем инвестиций хеджеров огромен, хотя их торговая активность значительно ниже, чем активность других групп участников рынка — спекулянтов и арбитражеров.

Производным контрактом (деривативом) называется контракт, предусматривающий операции купли-продажи по определенному базовому активу. Опцион call (колл) — контракт, дающий право купить одну единицу базового актива (например, одну акцию) по определенной цене исполнения (strike price, exercise price). Использование опции контракта называется его исполнением. В случае колл-опциона, например, исполнение состоит в покупке акции. Срок действия опциона называют сроком исполнения. Простейшие типы опционов — европейский (может быть исполнен только в момент исполнения) и американский (может быть исполнен в любой момент в течение срока исполнения). Опционом put (пут) называют бумагу, дающую право продать одну единицу базового актива по цене исполнения.

Форвардным контрактом называют контракт о поставке актива в некоторый будущий момент с оплатой в момент поставки. Фьючерсный контракт, или фьючерс, — стандартизированный контракт типа форвардного, заключаемый при посредстве биржи, тогда как форвардный контракт заключается напрямую между покупателем и поставщиком. Фьючерс требует от участников внесения денежных сумм на их счета для поддержания так называемой маржи — залоговой суммы, гарантирующей выполнение сторонами условий контракта. В отличие от форварда, прибыли/убытки по фьючерсам фиксируются ежедневно (это делает биржа путем перечисления средств между маржевыми счетами участников такого контракта). См. пример ниже в этом разделе.

Понятия короткой и длинной позиций соответствуют позициям сторон в форвардном контракте: короткую позицию занимает сторона, несущая обязательства по поставке, длинную — сторона, “ждущая” поставки актива. Так, занять короткую позицию по акции значит коротко ее продать, т.е. продать акцию, взятую взаймы; занять длинную позицию значит купить акцию. В отношении опционов занятие короткой позиции означает продажу опциона (получить деньги, но иметь потенциальные обязательства), длинной позиции — покупку опциона. Короткие опционные позиции также требуют поддержания маржи.

Ниже рассматривается идеализированная модель рынка ценных бумаг, которая характеризуется следующими предположениями:

¦ инвесторы могут осуществлять продажи/покупки, в том числе короткие, ценных бумаг бесплатно (с нулевыми комиссионными, без налогов и других платежей), в любые моменты времени и в любых (в том числе дробных) количествах;

¦ на рынке присутствует безрисковый актив, доходность которого с непрерывным начислением постоянна и равна г,

¦ на рынке отсутствуют арбитражные возможности, т.е. “нельзя получать прибыль из ничего” без риска потерь;

¦ на маржевые счета начисляется сложный процент по ставке г.

Первое предположение вводится для исключения ненужных сложностей. Второе предположение означает, что участники рынка могут занимать/давать взаймы деньги по безрисковой ставке, осуществляя, соответственно, короткие продажи или покупки безрискового актива. В принципе, не важно, как именно реализуется безрисковая доходность. Для определенности можно считать, как и в разделе 8.3, что безрисковый актив — дисконтная облигация, цена которой B_t меняется по закону (8-15),

В, = В_І/⁽'~'^о), (9-1)

реализуя начисление сложного процента (1-6). Соображения в пользу “естественности” правила сложных процентов в условиях “идеального” рынка облигаций иллюстрируются упражнениями 9.1 и 9.2. На практике роль безрискового актива обычно играют надежные государственные облигации таких стран, как, например, США.

Третье предположение — условие отсутствия арбитража — можно формализовать таким образом: если портфель стоимостью, равной нулю в момент t₀, имеет в момент t >t₀ положительную стоимость при некоторых из возможных изменений цен, то при других возможных изменениях цен он обязательно должен иметь отрицательную стоимость.

Это условие должно приближенно выполняться на финансовых рынках, где есть инвесторы — арбитражеры, извлекающие прибыль путем продажи переоцененных бумаг и покупки недооцененных. В результате их деятельности спрос на недооцененные бумаги возрастает, поэтому их цена растет; для переоцененных бумаг возрастает предложение, поэтому их цена падает; таким образом, арбитражные возможности исчезают. Их отсутствие соответствует равновесному состоянию рынка.

Условие отсутствия арбитража имеет простые, но важные следствия, которые будут часто использоваться ниже. Первое из них состоит в следующем.

Любой безрисковый портфель должен давать доходность, в точности равную доходности безрискового актива, г.

Действительно, предположим, что в момент t₀ есть возможность сформировать безрисковый портфель, доходность которого за период от t₀ до некоторого t выше г. Тогда инвестор мог бы занять по безрисковой ставке 1 долл., затратить его на покупку активов такого портфеля и в момент t продать эти активы по цене выше, чем 1-е^г('~'^о). Разница составила бы его чистую прибыль, полученную на портфель нулевой начальной стоимости без риска, а это противоречило бы условию отсутствия арбитража. Если, наоборот, можно сформировать безрисковый портфель, доходность которого ниже г, то арбитраж строится обратным образом: нужно коротко продать активы портфеля на 1 долл, и инвестировать этот доллар в безрисковый актив.

Второе важное следствие.

Пусть в момент t₀ известно, что портфель А будет стоить не меньше портфеля В в некоторый момент времени t>t_Q при любых возможных изменениях цен активов. Тогда в момент t₀ цена портфеля А должна быть тоже не меньше цены портфеля В.

В самом деле, если это не так, то легко строится арбитраж: переоцененный портфель нужно коротко продавать, а недооцененный — покупать. Читатель может проделать это упражнение самостоятельно.

Аналогично из равенства цен портфелей в момент t при любых возможных изменениях цен активов следует равенство цен в момент t₀.

Четвертое предположение — о начислении процентов на марже-вые счета — выполняется не всегда. Но оно удобно тем, что позволяет, в условиях постоянства ставки процента г и возможности занимать по этой ставке, фактически пренебречь маржевыми платежами при расчетах. Эти платежи становятся эквивалентны покупкам/продажам безрискового актива.

Как и выше, ограничимся иллюстрацией методов оценки и использования деривативов для бездивидендных базовых активов. Как правило, для определенности будем считать базовый актив акцией.

Приведем два несложных, но важных примера применения сделанных предположений.

Пример 9.1. Форварды и фьючерсы. Предположим, что два участника рынка в момент t₀ согласились о поставке одной единицы некоторого базового актива в некоторый будущий момент Т. Форвардный контракт в момент заключения не требует никаких платежей от сторон (имеет нулевую стоимость). Какова должна быть цена поставки F, если единица базового актива в момент г₀ стоит 5?

Эта справедливая цена поставки (форвардная цена), очевидно, есть

F = e^r(T-'°⁾-S, (9-2)

иначе существует арбитраж (покажите самостоятельно).

В случае заключения форвардного контракта никаких платежей до момента исполнения Т не производится: стороны просто ждут наступления этого момента, чтобы закрыть свои позиции и тем самым зафиксировать прибыли/убытки. В отличие от форварда, фьючерс требует от сторон ежедневной (как правило) фиксации прибылей/убытков. Эта процедура называется marking-to-market или клирингом и производится, как правило, по ценам закрытия биржи на каждый торговый день.

Можно показать, что в сделанных идеализированных предположениях о рынке справедливая цена поставки во фьючерсном контракте (фьючерсная цена) равна форвардной цене F, найденной выше. Подробнее по этому поводу см., например: [Hull, 2002]. Деятельность арбитражеров на финансовых рынках в основном связана с отслеживанием соотношения (9-2) между текущими ценами (ценами спот) и фьючерсными ценами и использованием отклонений в ту или иную сторону.

Если в момент заключения форвардный контракт имеет нулевую стоимость, т.е. является взаимовыгодным, то по прошествии времени он может стать невыгодным для одной стороны и выгодным для другой, поскольку цена базового актива изменится.

Предположим, что заключается форвардный контракт сроком на 6 месяцев на поставку 1000 баррелей нефти, которая на момент заключения контракта стоит 29 долл, за баррель. Предположим, что г = 0,09 (9%) и что через три месяца после заключения контракта нефть поднялась в цене до 32 долл, за баррель.

Сначала вычислим форвардную цену:

F = 1000 • е⁰'^{09 6/12} • 29 = 30334,801.

Если через три месяца нефть стоит на рынке 32 долл, за баррель, то владелец короткой позиции в заключенном форварде мог бы поставить свои 1000 баррелей по соответствующей форвардной цене 3-месячной поставки, равной

F = 1000- е⁰'^{09 3/12} • 32 = 32728,161.

Таким образом, он несет потери, а владелец длинной позиции, соответственно, выигрывает.

Найдем рыночную (безарбитражную) цену длинной позиции. Ее владелец может, например, вступить в 3-месячный форвард на поставку 1000 баррелей нефти по цене 32728,16 долл. Когда он получит нефть по цене 30334,80, он закроет свою короткую позицию и, таким образом, его безрисковая прибыль составит 32728,16 — 30334,80 = 2393,36 долл. Значит, за три месяца до поставки цена его позиции есть просто дисконтированная стоимость этой суммы: 2393,36 • _е~°^ттг = 2340,11.

Общая формула, как теперь легко увидеть, такова: если К — цена поставки в контракте, заключенном ранее, F — текущая форвардная (фьючерсная) цена, S — цена спот, то цена длинной позиции в форвардном контракте с моментом исполнения Т на момент t₀ есть

/ = e'^r{T4o)(F -K) = S- Ке~^г(ТЧо). (9-3)

Что касается фьючерсного контракта, то процедура marking-to-mar-ket поддерживает его цену на нулевом уровне. При этом платежи, очевидно, равны изменениям фьючерсной цены в течение биржевого дня, AF.

Отметим, что найденная в этом примере цена — рыночная. Ничто не может подсказать владельцу конкретной позиции, следует ли ему зафиксировать прибыль или, например, ждать еще три месяца, ничего не предпринимая. Это же относится ко всем ценам деривативов, находимым ниже: это цены, по которым их (теоретически) должен оценивать рынок. Отдельные инвесторы могут считать эти активы более или менее выгодными, в соответствии со своими целями и своими прогнозами цен, и, соответственно, покупать их или продавать.

Далее применим сделанные предположения о рынке для получения так называемого паритета цен (put — call parity) европейских пут- и колл-опционов на бездивидендные акции. Рассмотрим два ев-ропейких опциона, пут и колл, с одинаковым периодом действия [t₀,T] и одинаковой ценой исполнения X. Пусть цена единицы базового актива (акции) на момент t₀ равна S. Составим портфель А из 1 колл-опциона и денежной суммы, достаточной для его исполнения, вложенной в безрисковый актив, т.е. суммы, равной Хе~^г(Г~'^о). Портфель В состоит из 1 пут-опциона и 1 акции. Тогда, если цена акции в момент исполнения выше X, то владелец портфеля А исполняет свой опцион и остается с 1 акцией, владелец портфеля В не исполняет своего опциона и тоже остается с 1 акцией. Если же цена акции в момент исполнения ниже X, то владелец портфеля А не исполняет свой опцион и остается с денежной суммой X, владелец портфеля В исполняет свой опцион и тоже остается с такой же суммой. Итак, поскольку при любых изменениях цен портфели А и В имеют одинаковую стоимость в момент Т, в момент t₀ они должны стоить одинаково. Если с — цена колл-опциона, р — цена пут-опциона, то

с + Хе~^п'~'^о) =p + S. (9-4)

В этом примере мы видим, что комбинация пут-опциона и акции воспроизводит колл-опцион (с точностью до денег). Другой вариант составления портфелей дан в упражнении 9.3.

Это один из примеров того, как соотношения для цен производных устанавливаются путем рассмотрения портфелей из производных, базового актива (в дальнейшем будем считать его акцией) и безрискового актива. Такую модель рынка, где всего два первичных актива — безрисковые облигации (bonds) и рисковые акции (stock), часто называют (5,5)-рынком.

9.2

Биномиальные деревья

Начнем с простейшей ситуации. Рассмотрим дериватив со сроком действия [t₀,T] на акцию, стоящую S в момент t₀. Пусть этот дериватив “европейского типа”, т.е. не может быть исполнен прежде момента Т. Будем считать, что в момент Т цена акции может принимать всего два значения, S и и S d, где и >1, d <1 — некоторые числа. Таким образом, цена может либо повыситься, либо понизиться. Цену дериватива в момент Т обозначим, в зависимости от изменения цены акции, /_ц и f_d (рис. 9.1).

S и Рис. 9.1. Простейшее дерево цен (1 шаг) Оказывается, что в таком простом случае можно построить безрисковый портфель из базового актива и короткого дериватива. Обозначим количество базового актива в таком портфеле, приходящееся, на один дериватив, через Д. Выберем Д так, чтобы стоимость портфеля была одинаковой при повышении и понижении цены:

А-S -и- f_u = A- S ¦ d - f_d,

откуда

А = ¦. (9-5)

Su-Sd

Итак, портфель из А длинных акций и 1 короткого дериватива — безрисковый. Как утверждалось в разделе 9.1, такой портфель должен давать доходность г, т.е. его цена должна расти в е^г(Т~'^о) раз за период от t₀ до Т. Запишем:

[AS-f]e^riT-^^ASu-f_u,

где в левой части стоит цена портфеля в момент t₀, в правой — цена в случае повышения цены акции. Цена в случае понижения такая же. Отсюда, подставив выражение для А, нетрудно выразить /:

/ ₌ fu-fn ₊ “fd.Z^L _е-г*_? (9-6)

и-d u-d

где At = Т -t₀. Это дает цену дериватива на момент t₀.

Пример 9.2. Рассмотрим европейский колл-опцион со сроком исполнения через месяц и ценой исполнения 28 долл, на акцию, которая сегодня стоит 27 долл., а через месяц может стоить 30 или 25 долл. Тогда /_ц =2, f_d= О,

0,4.

2-0

30-25

Стоимость портфеля из А акций и одного короткого опциона на момент исполнения равна 0,4-30-2 = 0,4-25 = 10. Предположим, что г = 0,08, тогда стоимость портфеля сегодня равна 10 •е“^0,08/|2= 9,934. Так как этот портфель состоит из 0,4 акции ценой 27 и короткого опциона ценой с, записываем уравнение для его сегодняшней стоимости:

27-0,4-с = 9,934,

откуда с = 0,866 (долл.).

Предположение о том, что цена акции может иметь только два возможных изменения, конечно, очень неточно. Можно уточнить его, построив двухступенчатое биномиальное дерево цен. Разделим промежуток [Г₀,Т] пополам, положив At = (Т-t₀)/2. Будем считать, что в течение каждой половины интервала цена акции может либо возрастать, умножаясь на и, либо убывать, умножаясь на d. Тогда в момент t₀+Al цена акции может принимать два значения, 5м и Sd, а в момент Т — уже три значения: 5м², Sud, Sd². Это уже чуть более точно описывает возможные изменения цен. Соответствующие цены дериватива обозначим f_uu, f_url, f_M. Двухступенчатое дерево цен изображено на рис. 9.2. Описанный выше способ дает возможность вычислять цены производных в прошлые моменты времени по будущим ценам. Так вычисляются цены дериватива в узлах дерева на момент t₀ + At, обозначенные ниже как f_u и f_d. По ним уже тем же методом вычисляется цена в момент t₀.

24,2 Рис. 9.2. Дерево цен для примера 9.3 Пример 9.3. Рассмотрим американский колл-опцион на бездивидендную акцию ценой 5 = 20 долл, в момент t₀= Ос периодом исполнения 6 месяцев (7 = 0,5) и ценой исполнения X =18 долл. Будем оценивать такой опцион при помощи двухступенчатого дерева цен, считая и = 1,1, d = 0,9. Пусть безрисковая норма доходности г = 0,1.

Цена акции через 3 месяца (в момент t₀ + At = 0,25) может составить 20-1,1 = 22 либо 20-0,9 = 18, еще через 3 месяца (в момент г = 0,5) — 20-1,1-1,1 = 24,2, или 20-1,1-0,9 = 19,8, или 20-0,9-0,9 = 16,2. В первом из этих трех случаев опцион выгодно исполнить, что принесет 6,2 долл, чистой прибыли, следовательно, цена опциона /_ии =6,2. Во втором случае, аналогично, /_шІ = 1,8. В третьем случае опцион невыгодно исполнять, и цена его равна нулю. Соответствующее дерево цен приведено на рис. 9.2. Сверху над узлами дерева показаны цены базового актива, под ними — цены дериватива.

Начнем вычислять цены опциона в узлах дерева по формуле (9-6).

В узле В

_е-о,м,25 _ 4 444

6,2-1,8 1,11,8-0,96,2 1,1-0,9 1,1-0,9

Это цена, которую имеет опцион, если его держатъ. Так как опцион американский, его можно немедленно исполнить. Немедленное исполнение принесло бы 22—18 = 4 долл. Поэтому выгоднее держать опцион до конца периода исполнения.

Вообще, правило определения цен производных в узлах дерева состоит в том, что за цену дериватива принимается максимальная из цен, которые он имел бы при исполнении возможных опций, т.е. цена при наилучшем решении инвестора. Почему это так, достаточно очевидно.

В узле С



Здесь тоже невыгодно исполнять опцион, так что эта цифра дает его цену. Теперь для узла А



4,444-1,1 1,1-1,1-0,9 4,444

1,1-0,9 ⁺ 1,1-0,9

Немедленное исполнение дало бы только 2, поэтому цена опциона с = 3,116 долл.

В этом примере оказывается, что раннее (т.е. до момента Т) исполнение опциона невыгодно. Можно показать, что для американского колл-опциона это всегда так. Для этого рассмотрим портфель А (1 американский колл-опцион плюс Хе^г(Т~'^о) денег) и портфель 5(1 акция). Если держать опцион до конца срока исполнения — момента Т, то цена портфеля А в этот момент составит max(5_r, X), что всегда не меньше цены портфеля В, равной S_T. С другой стороны, если предположить раннее исполнение в некоторый момент т, то цена портфеля Л в этот момент составит S_T - X + Хе^ф~'^о) < S_T, т.е. меньше цены портфеля В. Так как в момент т известно, что портфель А будет стоить не меньше портфеля В в момент Т, цена А на момент г тоже должна быть не меньше.

Таким образом, рыночная цена американского колл-опциона должна быть выше прибыли от его раннего исполнения, т.е. такой опцион всегда выгоднее продать на рынке, чем исполнять. Поскольку раннее исполнение никогда не оптимально, американский колл-опцион должен стоить столько же, сколько европейский. Для американского пут-опциона это, однако, неверно: раннее исполнение может быть выгодно. Нетрудно догадаться, почему это так. Американский колл-опцион есть право купить актив по определенной цене; нет смысла реализовывать это право раньше, т.е. раньше платить. Для пут-опциона ситуация обратная: это право продать, и его исполнение может быть выгодно, т.к. выгоднее получить деньги раньше.

После перехода от одноступенчатых деревьев к двухступенчатым уже ясно, как можно получать еще более точные оценки. Будем дробить интервал [г₀,Г] на все большее число отрезков. Длину одного такого отрезка обозначим At и назовем шагом дерева. Соответствующие многоступенчатые деревья цен будут все точнее приближать возможные движения цен базового актива. Для каждого такого дерева путем пересчета от конца к началу согласно описанному алгоритму можно получать оценку для /.

Чтобы применить этот способ к реальным данным, нужно решить вопрос о калибровке параметров нашей модели, а именно о выборе и и d. Изменения цен реальных акций описываются вероятностыми моделями, параметры которых оцениваются по данным статистическими методами. Такова модель геометрического броуновского движения для цен акций, введенная в главе 8. Свяжем модель биномиальных деревьев с этой моделью.

В главе 8 было установлено, что процесс броуновского движения (винеровский процесс) является приближением для случайного блуждания, если шаг случайного блуждания мал. При измельчении шага At приближение становится все более точным.

Определим случайное блуждание по биномиальному дереву цен. Для этого зададим вероятность изменения цены за один шаг, обозначив ее через р. Будем считать, что если в некоторый момент t цена акции равна S_t, то в момент t + At она повышается до S_l+&t - Su с вероятностью р и понижается до 5_(+Л( =Sd с вероятностью 1 — р.

Так как такой процесс S_t задает не абсолютные, как обычное случайное блуждание, а относительные изменения цен, он называется геометрическим случайным блужданием.

Рассмотрим величину In S_l+il. Она принимает значение In S, + In и с вероятностью р и значение lnS,+lnd с вероятностью 1 - р. Поэтому процесс для величины In S, — “обычное” случайное блуждание,

lnS,_+i, =lnS, +?, (9-7)

где время t принимает значения t - 0, At,2At,..., величины независимы для разных t и каждая из них принимает значения In м с вероятностью р и In d с вероятностью 1 — р.

В главе 8 была введена модель для цены актива, являющейся решением стохастического дифференциального уравнения (8-18) и подчиняющейся геометрическому броуновскому движению (8-19). Для удобства читателя перепишем еще раз эти уравнения, подставив в них процесс цены акции S_r Цена акции является решением стохастического дифференциального уравнения

(9-8)

(9-9)

dS_l = juS'dt + crS'dW' и описывается процессом

s,=s₀e^[ '

или

In S' = In S₀ + t + <TW', (9-10)

где W' — стандартный винеровский процесс.

Итак, построены два формально различных случайных процесса для In S', а именно модель случайного блуждания (9-7) и модель обобщенного винеровского процесса (9-10). Однако при малых At эти модели эквивалентны, если предположить выполнение условий (8-37). Осталось подобрать параметры случайного блуждания и, d, р так, чтобы эти условия выполнялись при At —> 0.

В (8-37) следует приравнять параметры:

а

м~—

Aju(t) =

At, а -о.

(9-11)

Соотношения (8-37) дают два условия на три параметра случайного блуждания и, d, р. Поэтому возможны разные способы выбора этих параметров. Приведем здесь два наиболее распространенных.

Первый набор параметров появляется, если наложить дополнительное условие ud = 1. Тогда

г г е^' -d

U — € у и — € , р —-. (У-12)

u-d

Другой набор параметров соответствует случаю, когда вероятности повышений и понижений цен равны,

(9-13)

• d = е'

Читателю предоставляется самостоятельно проверить, что эти наборы параметров удовлетворяют требуемым условиям (упражнения 9.4 и 9.5).

При выборе параметров согласно (9-12) или (9-13) модели геометрического случайного блуждания и геометрического винеровского процесса в пределе (при малых At) эквивалентны.

Все сделанное уже дает возможность оценивать опционы и другие деривативы. Для этого можно пользоваться описанным выше методом, рассчитывая Д в каждом узле дерева. Оказывается, однако, что этот метод можно существенно упростить.

9.3

Риск-нейтральное оценивание

Будем пользоваться параметрами (9-12). Обратим внимание на следующее интересное обстоятельство: процедура оценки производных, описанная в предыдущем разделе, зависит только от вида биномиального дерева, но не от вероятностей прийти в тот или иной его узел. Так, в формуле (9-6) из параметров (9-12) участвуют только и и d, но не р. Величина Д, определяющая безрисковый портфель, не зависит от вероятностей. Это естественно, так как портфель этот строится так, чтобы изменение его цены соответствовало изменениям цены опциона во всех узлах дерева. Поэтому вероятности р можно задать иным образом — так, чтобы упростить расчеты.

Покажем, как можно упростить уравнение (9-6) для цены дериватива. Перепишем его в виде

у _ Л ~ /гі і ^ufа ~ ^df_u .-гы ₌

u-d u-d

u-d



(9-14)

где



Если e^r“>d, то величина р лежит между нулем и единицей. Если придать р смысл вероятности, то равенство (9-14) приобретет очевидный смысл: цена дериватива равна ожидаемой дисконтированной стоимости денежного потока, даваемого деривативом. Это свойство очень удобно для расчетов.

Определим случайное блуждание, обладающее этим свойством для одноступенчатых “поддеревьев”. Зададим такое блуждание, вместо вероятностей р в (9-12), вероятностями р, оставив и и d неизменными. Посмотрим, каковы свойства такой “модифицированной” модели.

Оказывается, что отмеченное выше удобное свойство одноступенчатых деревьев распространяется на деревья любого размера и любые деривативы. Это можно пояснить следующим образом. Рассмотрим, например, двухступенчатое дерево для некоторого дериватива, изображенное на рис. 9.3. Треугольниками отмечены моменты исполнения дериватива. Буквами D с соответствующими индексами обозначим денежные потоки от дериватива в тех узлах, где “жизнь” дериватива кончается (либо он исполняется, либо срок его “жизни” кончается без исполнения). Когда дериватив конвертируется в другой актив, то денежный поток считается по текущей рыночной стоимости этого актива очевидным образом. Оценим дериватив по методу, описанному в пре-

дыдущем разделе; еще раз подчеркнем, что цены в узлах, величины D и моменты исполнения не зависят от вероятностей повышения и понижения цен.

У' Рис. 9.3. Дерево цен (треугольниками отмечены моменты “окончания жизни” дериватива) Цена дериватива в узле В, f_B, равна прибыли от исполнения, D_B. То же справедливо для узлов Е и F. Пути после узла В отмечены пунктиром, так как дериватив должен быть исполнен раньше, следовательно, эти пути не нужно принимать во внимание. Цена в узле С, согласно (9-14),

/с=^е~^ГЛ,[р/Е + Я/р]>

где <7 = 1- р. Снова согласно (9-14), цена в узле А

/д = ^е~"'Мв + ^е~^ШЯІс = ^е~^ШМв + ^е~^2Шя[ Me + QIf ) =

= pD_B + е~^2гы qpD_E + е‘^2гл' q ²D_F.

Теперь можно заметить, что вероятности p,qp,q², входящие в это выражение, как раз равны вероятностям того, что случайное блуждание, начавшись из точки А, приведет в узлы В, Е и F соответственно, т.е. что “жизнь” дериватива закончится в этих узлах, породив, соответственно, денежные потоки D_B, D_E и D_F. Поэтому полученное выражение для /_д есть действительно математическое ожидание дисконтированной стоимости денежного потока дериватива.

Аналогично (действуя по индукции) можно показать то же самое для дерева с произвольным числом шагов п. Если обозначить через D(0 случайный чистый денежный поток (прибыль от исполнения) дериватива в момент t, можно написать:

П (9-15)

где тильда над знаком математического ожидания указывает, что ожидаемое значение вычисляется по вероятностям р, At-T/n.

Для деривативов “европейского типа”, т.е. не допускающих раннего исполнения, эта формула упрощается и превращается в соотношение



(9-16)

поскольку цена дериватива в момент его исполнения равна чистому денежному потоку (прибыли) от исполнения.

Замечательный факт состоит в том, что обобщения этим отнюдь не ограничиваются. В частности, свойство (9-15) сохраняется, если мы перейдем от геометрического случайного блуждания к “предельному” для него геометрическому броуновскому движению.

Современная теория чрезвычайно широко обобщает свойство (9-15). В частности, оно обобщается на случай, когда процентная ставка г непостоянна и даже случайна, а также на широкий класс других вероятностных моделей цен базового актива. Фундаментальная теорема оценки активов утверждает следующее: для существования такой вероятностной меры, что цена любого финансового инструмента представима как ожидаемая дисконтированная стоимость его денежного потока, необходимо и достаточно условие отсутствия арбитражных возможностей на рынке. Если же рынок полон (т.е. любой актив воспроизводим комбинацией других), то эта вероятностная мера единственна. Эти глубокие экономически и математически красивые результаты выходят, к сожалению, за рамки этой книги; читатель, желающий ознакомиться с ними, может обратиться, например, к книгам: [Ширяев, 1998; Financial Economics, 1998].

Модель цен, обладающую свойством (9-15), называютриск-нейт-ральной моделью. В частности, риск-нейтральными называют соответствующие процессы, их распределения и вероятности. Так, р будем называть риск-нейтральными вероятностями.

9-Теория риска

Итак, построены две разные модели случайного процесса цен. Во-первых, реальная модель, в которой параметры случайного блуждания задаются (9-12), а параметры предельного геометрического броуновского движения есть ц и ег. Во-вторых, риск-нейтральная модель, в которой параметры случайного блуждания выглядят как

гЫ _ 1

(Т?д/ . I -(Т?д/ ~ (Z Cl /Л 1*7\

и -е \ а - е ; р --. (9-17)

и- d

Набор параметров (9-17) определяет так называемую модель Кокса — Росса — Рубинштейна.

Сравнивая выражения для р и для р из (9-12), легко понять, каковы параметры предельного риск-нейтрального геометрического броуновского движения: вместо //ид параметрами будут гид. Таким образом, средняя доходность любых акций в риск-нейтраль-ной модели равна безрисковой доходности г. Все это можно подытожить следующим образом.

Риск-нейтральная модель представляет собой искусственное построение, упрощающее расчеты. В этой модели выполняется удобное свойство (9-15) — (9-16): цены деривативов равны средним дисконтированным стоимостям соответствующих чистых денежных потоков. Риск-нейтральная модель может использоваться для оценки производных, так как их цены в риск-нейтральной модели совпадают с ценами в модели “реальной” динамики цен. В риск-нейтральной модели средние доходности всех финансовых инструментов равны безрисковой доходности г.

Смысл названия “риск-нейтральная” можно понять так. В реальном мире средняя доходность активов тем выше, чем выше волатильность. Инвесторы в среднем демонстрируют неприятие риска, поэтому спрос на рисковые активы ниже, соответственно их цена ниже, а доходность выше. Высокая средняя доходность является “компенсацией за риск”. Пользуясь образным выражением Дж. Халла [Hull, 2002], можно сказать, что риск-нейтральная модель соответствует “риск-нейт-ральному миру”, в котором инвесторы оценивают активы только по их средней доходности и не требуют никакой компенсации за риск.

Пример 9.4. Американский пут-опцион. Оценим американский пут-опцион на бездивидендную акцию с ценой спот S = 18 долл. Пусть цена исполнения опциона X = 20 долл., срок до исполнения 8 месяцев, г = 0,1. Пусть годовая волатильность базового актива <г = 0,3, или 30%.

Пользуясь (9-17), находим параметры случайного блуждания, и = 1,189; d =0,841; р = 0,554.

Построим двухступенчатое дерево так же, как в предыдущих примерах. Примем те же обозначения для его узлов, что на рис. 9.3. В узле D цена актива 5м²= 25,45, цена опциона /_ци =0. Для узлов Е и F, соответственно, находим цены актива, Sud-lS и Sd² -12,73, и цены опциона, f_ud = 2 и f_M=l,21.

Для узла В найдем цену актива, 5м = 21,40, и вычислим дисконтированное математическое ожидание

^е'^ы [ P.f_uu + ЧІші ] = 0,86

(здесь At - 4/12). Это цена опциона, если его не исполнять. Так как исполнение опциона невыгодно, /_и =0,86.

В узле С цена актива 15,14. Цена опциона, если его не исполнять,

e~^r“[~Pf_ul,+if,u] = 4,21.

Так как немедленное исполнение приносит 4,86, оно выгодно. Поэтому цена в этом узле f_d = 4,86.

В узле А находим

e-^ru[pfu+qf_d] = 2.56.

Так как немедленное исполнение принесло бы только 2, цена опциона /=2,56.

В этом примере мы видим, что, в отличие от американского колл-оп-циона, раннее исполнение пут-опциона на бездивидендный актив может быть выгодно. Цена его поэтому должна быть выше цены соответствующего европейского опциона (упражнение 9.6).

Концепция риск-нейтрального оценивания находит самые широкие применения в моделях фондовых рынков, в частности для оценивания различных финансовых инструментов. Отметим один из самых мощных методов оценки деривативов.

Метод Монте-Карло

В принципе, любой дериватив можно оценить на основе равенства (9-15) или (9-16) путем имитационного моделирования риск-нейтрального процесса цен. Единственным ограничением является мощность компьютера. Такой подход применяется обычно для оценки деривативов "европейского типа" (с фиксированным моментом исполнения). Если г постоянна, то (9-16) превращается в

f =_e-'«-^t[D(T)]. (9-18)

Моделируется достаточно большое число траекторий изменений цен, для каждой из них получается величина денежного потока, затем она усредняется по числу траекторий. В общем случае нужно моделировать все процессы, оказывающие влияние на цены дериватива, например в случае случайной процентной ставки — процесс для нее. Так можно получать, в том числе, оценки цен деривативов, зависящих от нескольких базовых активов. Несколько подробнее метод Монте-Карло описан в разделе 12.1.

Что касается деривативов “американского типа’’, то основная трудность состоит в имитации “правильных" (оптимальных) моментов исполнения. В принципе, конечно, можно осуществить достаточное число имитаций для каждой из всевозможных комбинаций моментов исполнения в узлах дерева, а потом взять максимальную из соответствующих оценок цены дериватива. Однако число имитаций при этом будет слишком велико. Поэтому нужно применять те или иные методы его сокращения. Постоянное повышение производительности компьютеров позволяет думать, что метод Монте-Карло будет получать все большее применение на практике.

9.4

Непрерывная модель

Применяя концепцию риск-нейтрального оценивания в логнормальной модели с непрерывным временем, можно прийти к известной формуле Блэка — Шоулза. Рассмотрим европейский опцион на бездивидендную акцию ценой в момент t₀ S_t = S, с моментом исполнения Т и ценой исполнения X. Найдем его цену с. Для такого опциона денежный поток может быть отличен от нуля только в момент исполнения Т. В этот момент он равен

D(T) = max (S_T-X,0).

Подставим это в равенство (9-16):

с = е~^г(Г~'^о)Ётах(5₇. - Х,0).

Риск-нейтральный процесс для S, — это геометрическое броуновское движение с параметрами г и <т. Поэтому величина S_T имеет логнормальное распределение. Такая величина может быть представлена в виде S_T = егде ?, — нормальная случайная величина с параметрами: средним гп = ^г--^-^(Г-Г₀) + In S и средним квадратическим отклонением <т* = (T^jT -1₀ (это следует из (8-20) с заменой fj, на г).

Поэтому

Ётах(5_г-Х,0) = Ётах(^-Х,0)= Г (е^у-Х)ф( y)dy =

' JlnX '

= f e^y<j>(y)dy-X f <j>(y)dy, (9-19)

J In X J In X

где ф{у) =--

2a*²

>[2Я<Т*

и <7*. Вычислим первый интеграл в этой формуле.

(?-т*)² ' + >

— нормальная плотность с параметрами т

(*+“ . (*+“ -(у-"» )' _{+ ?}

I e^y<p{y)dy - =— I e ^2cr*² dy -

Jmx урЫо Jmx

+oo y--2m*y-2&*-y+m' 2a*²

4

na J in

dy = |у-(т*+<т*²)|²

/*+<*

jn _ла*^г/2 1 Г

= г e - y—-¦ ^ I e \12ясг* JlnX

2 cr*²

„m" „cr'²l2/h I ^ ІПХ * = e e Ф ---+ <7

где O(jc) — функция стандартно нормального распределения. Второй интеграл, очевидно,

Г ф{у)(1у = ф{я^^Х

JinX V <7

Подставив эти выражения в (9-19), умножив на е~^г(Т '^о) и преобразовав, получаем знаменитую формулу Блэка — Шоулза,

c = S O(d_l)-Xe~^r(T~'⁰^(d₂),

m'-lnX

a <7,jT-t₀

d\ ~d₂+<7 - r-——

<7ylT-t₀

(9-20)

d₂ =

где

Цену р европейского пут-опциона можно вычислить, воспользовавшись паритетом цен (9-4). Из последнего и формулы Блэка — Шоул-за легко получается выражение

р = 5Ф(d,)-Хе~^г(Т~^,а)Ф{d₂) + Хе~^г(ТЧо) -S = = Х<Г [і - Ф (d₂)] - S [l - Ф (4)] =

(9-21)

= Х<Г^(Г-'^о)Ф (-d₂) - 5Ф (-4).

Формулы (9-20) и (9-21) широко применяются для оценки опционов. Функция стандартного нормального распределения Ф имеет вид



Эта функция не вычисляется явно. Для получения ее значений традиционно используются таблицы значений и приближенные формулы. Одна из таких формул приведена в разделе 12.1. Вычисление Ф реализовано во многих программных пакетах (например, MS Excel).

Поскольку раннее исполнение американского колл-опциона никогда не выгодно, этот опцион должен стоить столько же, сколько европейский колл-опцион, и тоже может оцениваться по формуле (9-20).

Американский пут-опцион, как уже говорилось, обычно должен стоить дороже европейского. Для расчета цены используется метод биномиальных деревьев или другой численный метод. Так, расчеты с помощью программы DerivaGem показывают, что цена полугодового американского пут-опциона на акцию с S = X при г = 9% выше цены соответствующего европейского опциона примерно на 10—15%, в зависимости от параметров волатильности и цены исполнения. Например, при <7 = 20%, S = X = 50 цена европейского опциона по формуле Блэка — Шоулза 1,79, а американского 2,01 для дерева с 20 шагами и 2,02 для дерева с 200 шагами. Для опционов с большей длительностью периода исполнения разница в ценах увеличивается (для годового опциона с теми же параметрами она равна примерно 25%). Эта разница, например, больше, чем в упражнении 9.7 при переходе от 2-сту-пенчатого дерева к 100-ступенчатому.

Пример 9.5. В январе 2003 г. российские биржи ММВБ и РТС объявили о начале торгов паями паевых инвестиционных фондов (ПИФов). Паи

ПИФов — бездивидендный актив, интересный как индекс фондового рынка. Фактически динамика их цен может рассматриваться как “индекс с реинвестированием дивидендов” (roll-up index), а также учитывающий управление активами. Оценим волатильность цены такого пая, чтобы получить некоторое ориентировочное представление о волатильности российского рынка акций.

В нижеследующей таблице приведены недельные данные о ценах паев ПИФа “ЛУКОЙЛ Фонд Третий”, портфель которого состоит из акций российских компаний, за период со 2 августа 2002 г. по 31 января 2003 г. (в порядке убывания дат) . Брались данные за пятницу каждой недели; если пятница была нерабочим днем, брался ближайший день.

Г 5. 1 f ^S ) f ⁵' ] і 5, , руб. In і 5,, руб. In 1 i S,, руб. In ?°/+і J \ °i+i J ^ °І+1 J 1 2035,86 0,04917 10 2045,80 0,04220 19 1742,65 0,03557 2 1938,18 -0,03524 11 1961,26 -0,00432 20 1681,76 -0,03816 3 2007,70 -0,01266 12 1969,75 0,03555 21 1747,17 0,01772 4 2033,28 0,04008 13 1900,95 -0,01407 22 1716,48 -0,03791 5 1953,39 -0,01192 14 1927,89 0,07179 23 1782,80 -0,01324 6 1976,82 -0,00321 15 1794,34 -0,01466 24 1806,56 0,03394 7 1983,18 0,00992 16 1820,83 0,04560 25 1746,27 0,02530 8 1963,60 -0,02286 17 1739,67 -0,01643 26 1702,65 -0,01504 9 2009,01 -0,01815 18 1768,49 0,01472 27 1728,45 Недельная волатильность оценивается средним квадратическим отклонением ряда чисел в третьей колонке: <5w = 0,030568. Чтобы перейти к годовой оценке, нужно умножить это число на >/52=7,211, поэтому <?год. = 0,030568-7,211 =0,2204, или 22,04%. Можно вычислять волатильность по дневным данным за дни, когда осуществлялась торговля паями; для этого нужно взять таблицу дневных цен. Для сравнения, оценка, полученная таким образом, в этом примере равна 0,2322. Если бы оценки по дневным и недельным данным отличались более существенно, это заставило бы усомниться в верности применяемой модели (почему?).

Предположим, что некоторый банк решил выпустить опционы на паи этого ПИФа. Оценим такой опцион на 11 февраля 2003 г., если срок до исполнения — полгода (T-t₀ =0,5). Текущая цена пая на эту дату была S = 2003,38 руб. Рассчитаем безрисковую доходность по доходности гособлигаций. 5 февраля 2003 г. состоялся аукцион по размещению ГКО серии 21166 с погашением 6 августа 2003 г.; ГКО были размещены по цене 95,255% к номиналу. Поэтому коэффициент дисконтирования на полгода равен 0,95255= е^_0’^5г. Отсюда годовая доходность с непрерывным начислением г = -21п(0,95255) = 0,0972.

Оценим пут-опцион с ценой исполнения X = 2000. Подставляя все числа в формулу (9-21), получаем цену 78,50 руб. Колл-опцион с ценой исполнения X =2100 должен стоить 125,84 руб.

В примере волатильность G оценивалась по данным о ценах за какой-то период времени. Волатильность, вычисленная таким образом, называется исторической волатильностью. Обычное эмпирическое правило состоит в том, что для ее расчета берется прошлый период такой же длительности, как период “жизни” дериватива.

Другой подход — вычисление так называемых подразумеваемыех (implied) волатильностей по рыночной цене какого-либо торгуемого опциона. Для этого нужно подставить в формулу Блэка — Шоулза г и все параметры опциона: T — t_Q, X, S. Тогда цена опциона с или р — строго возрастающая функция от о (упражнение 9.9). Поэтому существует единственное значение волатильности, соответствующее цене опциона, и его можно вычислить численно (фактически достаточно построить график с или р по <т). Подразумеваемая волатильность соответствует оценке рынком волатильности базового актива. Этот метод хорош тем, что дает “мгновенную”, “на сегодняшний день” оценку волатильности. Обычно выбирают наиболее часто торгуемый опцион и по нему рассчитывают подразумеваемую волатильность для оценки других опционов.

В логнормальной модели, поскольку о постоянна, подразумеваемые волатильности тоже должны быть постоянными по времени и одинаковыми для разных опционов. Однако на практике это не совсем так. В частности, часто наблюдается характерная зависимость подразумеваемой волатильности от цены исполнения опционов, называемая “смайл” (улыбка, smile) (рис. 9.4). Другой “стандартный” эффект — некоторое увеличение подразумеваемой волатильности в зависимости от срока исполнения опциона, T — t₀.





Рис. 9.4. Типичные “смайлы” — зависимости подразумеваемой волатильности а от цены исполнения X: слева — для валютных опционов; справа — для опционов на акции

Такие эффекты связаны с тем, что логнормальная модель описывает динамику цен лишь приблизительно. В частности, волатильность для различных периодов времени колеблется. Периоды низкой волатильности сменяются периодами более высокой волатильности. Реальные распределения логарифмов относительных приращений, например курсов валют и цен акций, имеют типичные отличия от нормальных. На рис. 9.5 приведена гистограмма логарифмов соотношений дневных цен паев российского ПИФа из последнего примера. Насколько можно судить, такой вид распределения вполне типичен для акций. Обратите внимание, что выборочная плотность более остро-вершинна, чем нормальная. Левый хвост кажется более тяжелым в области небольших отклонений от среднего, однако правый хвост длиннее. Коэффициент асимметрии для выборки положителен и равен 0,13. Волатильность в течение года действительно колеблется: например, дневная волатильность для первого полугодия 0,0199, а для второго — 0,0146, т.е. разница весьма существенная. То, что левый хвост тяжелее, а правый легче, соответствует картине “смайла” для акций (рис. 9.4). Например, если на самом деле отклонения цен в отрицательную сторону более вероятны, чем в рамках логнормальной модели, то это наибольшим образом сказывается на ценах опционов с низкой ценой исполнения. Можно грубо учесть этот хвост, повышая волатильность в формуле Блэка — Шоулза. Для валютных курсов распределения обыкновенно более симметричны (см., например: [Ширяев, 1998]) и “смайлы” более симметричны. Впрочем, все это достаточно условно; для тех или иных реальных данных картины могут отличаться, и очень сильно.



Источник:

Рис. 9.5. Логарифмы дневных относительных изменений цен пая ПИФа “ЛУКОЙЛ Фонд Третий” поданным за период с 1.02.2002 г. по 31.01.2003 г. (всего 252 дневных значения цен) в сравнении с нормальной плотностью

В настоящее время созданы более совершенные модели, способные отражать многие особенности поведения финансовых временных рядов, в частности колебания волатильности. Это, например, ARCH модель и ее обобщения или модели стохастической волатильности. Тем не менее, несмотря на наличие определенных искажений, модель Блэка — Шоулза является хорошим первым приближением. В частности, ряд исследований на реальных данных подтвердил, что она в основном правильно позволяет идентифицировать пере- и недооцененные деривативы, т.е. верно указывает арбитражные возможности. Обзор этих исследований можно найти, например, в книге Халла [Hull, 2002].

Об оценке разнообразных деривативов можно подробнее прочесть в специализированных учебниках [Там же]. Практически-ориентиро-ванные модели оценки процентных деривативов описаны, в частности, в книге Шведова [Шведов, 2001]. Широкий обзор моделей и методов расчетов деривативов можно найти, например, в книгах: [Financial Economics, 1998; Musiela, Rutkovsky, 1997; Ширяев, 1998].

Следующий пример дает одну идею распространения “опционных” методов.

Пример 9.6. Оценка корпоративных обязательств с учетом кредитного риска.

Этот пример был приведен Р. Мертоном для иллюстрации предложенного им метода учета кредитного риска в ценах корпоративных бумаг.

Активы холдинговой компании Berkeford Holdings (ВН) состоят из 1000 акций корпорации Teledyne, цена одной такой акции на текущий момент равна 127 долл. Других активов у ВН нет. ВН выпущены собственные бумаги: 1000 акций и 120 бескупонных облигаций номиналом 1000 долл, с погашением через полгода. Сколько стоят эти бумаги?

Ясно, что суммарная стоимость бумаг ВН равна стоимости фирмы, т.е. 127000 долл. Требуется определить, какую долю в этой стоимости составляют акции, а какую — облигации.

Будем предполагать, что:

(а) ВН может покрывать долговые обязательства за счет продажи активов;

(б) в случае дефолта по облигациям фирма объявляется банкротом и право собственности на ее активы переходит к держателям долговых обязательств; акции при этом аннулируются.

Обозначим через V стоимость активов ВН через полгода. Дефолт наступает в случае ?< 120000 долл. Стоимости бумаг ВН через полгода показаны в следующей таблице (суммы в тыс. долл.).

?<120 ?> 120 Облигации ВН V 120 Акции ВН 0 ?-120 Легко заметить, что акции ВН через полгода будут стоить столько же, сколько европейский колл-опцион на портфель активов ВН с ценой исполнения 120000 долл. Так как всего акций 1000, одна акция ВН будет стоить столько же, сколько колл-опцион на одну тысячную портфеля ВН, т.е. одну акцию Teledyne, с ценой исполнения 120 долл. Поэтому цена акции на текущий момент тоже должна быть равна цене этого колл-опциона.

Предположим сначала, для простоты, что именно такой опцион имеется на рынке, и его текущая цена 21 долл. Тогда текущая цена всех акций ВН должна быть равна 21 1000=21000 долл., а облигаций 127000—21000=106000 долл., поэтому цена одной облигации 106000/120 = 883,33 долл.

Конечно, такое точное совпадение вряд ли вероятно. Однако если на рынке есть европейский опцион с другими параметрами, например с другими ценой и сроком исполнения, его цену можно использовать для расчета подразумеваемой волатильности, а затем вычислить цену нужного опциона по формуле Блэка — Шоулза.

Кредитный риск: структурные модели

Подход к измерению кредитного риска, использованный в предыдущем примере, можно суммировать следующим образом.

¦ Сумма активов фирмы ?_: моделируется случайным процессом (в данном случае — обобщенным броуновским движением).

¦ Дефолт по обязательствам наступает в случае, если на момент Т погашения долга значение V_t оказывается меньше суммы долга D_T.

Модели, основанные на этих принципах, называют структурными моделями кредитного риска. Они используют, по сути, ту же идею, что и моделирование "разорений” страховых компаний в главе 8. Использование этого подхода применительно к кредитному риску восходит к Р. Мертону. Он получил развитие, например, в таких прикладных методиках, как CreditMetrics, CreditMonitor (по поводу обзора этих методик см., например: [Crouhy, Galai, Mark, 2000]).

Итак, в построенной модели облигации могут рассматриваться как “деривативы” от “базового актива” — стоимости фирмы. Поскольку эта стоимость есть стоимость акций фирмы, денежный поток от облигации может быть воспроизведен или хеджирован портфелем из акций фирмы и безрискового актива. Тогда справедливы все те соображения, которые выше привели нас к равенству (9-15). В это равенство в качестве D(t) следует подставить денежный поток от облигации.

Модели оценки кредитного риска обычно имеют своей целью получение оценок вероятностей дефолтов и “справедливых” кредитных спрэдов, что дает возможность оценивать “справедливые” цены облигаций. Часто пользуются следующей упрощенной конструкцией, которую мы опишем в виде примера.

Пример 9.7. Кредитный спрэд как “премия за риск”. Рассмотрим бескупонную (дисконтную) облигацию. Обозначим S(t₀,T) стоимость на момент t₀ одного рубля капитала, вложенного в облигацию и подлежащего выплате в момент Т Предположим, что риск-нейтральная вероятность дефолта p_d и доля выплаты в случае дефолта равны R. Тогда в риск-нейтральной модели денежный поток принимает значения единица и R в момент Т с вероятностями 1 - p_d и p_d соответственно. Подставляя в (9-15), имеем

S{t₀,T) = (l-p_d + p_dR_ll)e-^r(T-'°⁾.

Как уже говорилось в главе 1, кредитным спрэдом называется разность между доходностью облигации и безрисковой доходностью. В моделях оценки кредитного риска его часто используют по аналогии с “рисковой премией” в составе дисконтной ставки.

Предположим, что инвесторы дисконтируют денежные потоки от облигаций по более высокой дисконтной ставке, чем безрисковая, с учетом кредитного риска. Пусть у — кредитный спрэд, добавляемый к величине безрисковой доходности г. Тогда современная стоимость на момент t₀ одного рубля капитала, вложенного в облигацию и подлежащего выплате в момент Т, есть

S(t₀,T) = e-^(r+y)(T-'^o).

Из написанных формул можно выразить спрэд как

у = ^г—'^п(^[-р<_і + рЛ)- <⁹~<sup>22)

1</sup> ‘о

Однако нужно сказать, что эта зависимость лишь весьма приближенно описывает отношение рынка к кредитному риску. Например, из нее следует, что спрэды для дисконтных облигаций не должны зависеть от безрисковой ставки. Некоторые авторы, однако, отмечают, что наблюдаемые спрэды обычно отрицательно коррелированы с безрисковыми процентными ставками. Это говорит о том, что реальная оценка риска инвесторами сложнее, чем следует из сделанных предположений. Последнее относится как к предположению о риск-нейтральной оценке кредитного риска, так и к предположению о дисконтировании денежного потока по постоянной, но “поправленной на риск” ставке дисконта (что мы уже отчасти видели из примеров раздела 4.6).

9.5

Деривативы и риск-менеджмент

В главах 2 и 3 уже рассматривались некоторые подходы к решению задачи выбора инвестиционного портфеля. “Оптимизационные” подходы, такие, как основанные на моделях САРМ или ожидаемой полезности, можно суммировать следующим образом. Строится некоторый агрегированный критерий эффективности инвестиций V, зависящий от параметров портфеля и отражающий желательность для инвестора тех или иных его качеств; затем производится выбор оптимального портфеля исходя из максимизации критерия. Используемые критерии, конечно, не ограничиваются описанными выше простейшими формами и могут быть самыми разными.

Оптимизационный подход теоретически весьма привлекателен, но применение его в практике финансового менеджмента связано с трудностями. Одной из основных трудностей является та, что построить сбалансированный критерий, который хорошо бы отражал интересы инвестора в постоянно меняющейся ситуации финансового рынка, нелегко, а может быть, и не всегда возможно. По крайней мере, это потребовало бы серьезной аналитической работы. Поэтому оптимизационный подход наиболее применим в долгосрочном, стратегическом управлении инвестициями.

Конечно, обычно финансовые менеджеры пользуются своей интуицией. Однако управлять сложными портфелями, включающими производные, без дополнения интуиции аналитическими методами тяжело.

Для решения более “локальных” задач средне- и краткосрочного управления инвестициями часто используется подход, который выше был обозначен как “оптимизация по частным критериям”. Не пытаясь строить каких-то агрегированных критериев, исследуют поведение отдельных характеристик портфеля, так или иначе показывающих его “рисковость” в ее отдельных аспектах. Ниже описываются некоторые характеристики и методы, обычно используемые при работе с портфелями, включающими деривативы. Часто методы анализа характеристик портфеля дополняются другими, в частности анализом сценариев.

Первой характеристикой, одной из наиболее важных, является дельта. С этим понятием тесно связано понятие дельта-хеджирования.

Инвестор, продавший опцион, принимает на себя риск. Однако он может построить “зеркальный” к своим обязательствам, т.е. хеджирующий, портфель (хедж). Оценивание опционов методом биномиальных деревьев выше основывалось на построении безрискового портфеля из короткого опциона и Д единиц базового актива. Фактически это и означает построение хеджа.

Пример 9.8. Дельта-хеджирование. Построим портфель, хеджирующий опцион из примера 9.4. Предположим, что опцион короткий, т.е. проданный. От его продажи инвестор получил 2,56 долл. Рассмотрим два портфеля: первый, состоящий из короткого опциона (О), и второй, формируемый инвестором в качестве хеджа (Н) на полученные от продажи опциона 2,56 долл.

В узле А

-0,639.

_ 0,86-4,86 Su-Sd 21,40-15,14

Поэтому в портфеле Н должно быть 0,639 коротко проданных акций. Вырученная сумма плюс изначально имевшиеся 2,56 долл., т.е. всего 0,639-18 + 2,56= 14,062 долл., инвестируются в безрисковый актив.

Предположим, что цена акции повысилась, т.е. траектория цены акции привела в узел В. В узле В опцион стоит 0,86 долл. Выигрыш владельца портфеля О составляет 2,56—0,86=1,70 долл. Цена портфеля Н 0,639-21,40 + 14,062-е^О1/3=0,86 долл., что равно цене опциона, поэтому убыток владельца портфеля Н тоже 1,70.

Найдем дельту в узле В:

-0,268.

0-2

21,40-18

Таким образом, если траектория цены акции привела в узел В, то нужно переформировать хеджирующий портфель таким образом: купить 0,639 — 0,588 = 0,371 акции по цене 21,40. Итак, портфель Н в этом узле состоит из —0,268 акции и 14,062-е^01/3-21,4-0,268 = 6,609 денег, инвестированных в безрисковый актив.

В узле С стоимость опциона составляет 4,86 долл. Цена портфеля Н 0,639 • 15,14 +14,062 • <?°'^1/3= 4,86.

_ 2-7,27 _ ^с 18-12,73

Это понятно: поскольку в этом узле опцион оптимально исполнить, хеджирующий портфель должен был бы содержать 1 короткую акцию. В более реальных, многоступенчатых деревьях так и происходит: по мере приближения к узлам, где исполнение пут-опциона оптимально, дельта приближается к — 1.

Описанная в этом примере схема называется дельта-хеджированием. Мы видим, что цена хеджирующего портфеля повторяет цену опциона во всех узлах. Хедж строится из Д единиц базового актива и некоторого количества безрисковых облигаций. Величина Д изменяется в каждом узле дерева, т.е. происходит покупка/продажа акций — портфель перебалансируется. Теоретически, когда шаг дерева стремится к нулю, перебалансировка должна быть непрерывной. При этом цена активов в портфеле такова, что ее в точности достаточно для формирования хеджа на следующий шаг. Хеджирующий портфель, будучи раз сформирован, уже не требует новых денежных вливаний. Портфель с таким свойством называется самофинансируемым. Самофинансируе-мость хеджа как раз и обеспечивает защиту от риска.

Дельта-хеджирование обязательств есть метод построения самофинан-сируемого портфеля — хеджа, стоимость которого зеркально отражает принятые на себя обязательства. Такой портфель должен периодически перебалансироваться (в идеале — непрерывно).

Схему дельта-хеджирования можно обобщить, сделав следующее замечание. Приведенное выше выражение для Д,

Su-Sd’ можно интерпретировать следующим образом: дельта есть изменение цены дериватива, Af - f_u- f_d, отнесенное к соответствующему изменению цены базового актива, AS = Su-Sd,

AS Переходя к непрерывному случаю, естественно положить



Эту величину, радную производной цены опциона по цене актива, называют дельтой опциона. Аналогично для произвольного портфеля стоимостью П положим



Дельта является первой важной характеристикой портфелей, включающих деривативы. Она измеряет чувствительность цены портфеля к изменениям цены базового актива.

Полезное свойство дельты портфеля — линейность. Если портфель включает несколько различных производных в количествах Ь_{, то дельта портфеля



(9-24)

где Д, — дельта і'-го актива.

Найдем величины дельта для рассмотренных выше активов.

г) С

1. Дельта базового актива равна единице: Д = = 1.

оЬ

2. Дифференцируя (9-3), видим, что дельта форвардного контракта тоже равна единице.

3. Прибыль/убыток инвестора, занимающего позицию во фьючерсе, равняются изменениям фьючерсной цены F (9-2). Дифференцируя эту цену по S, получаем, что дельта фьючерса равна е^г(Т~'°\

4. Пользуясь (9-19), для европейского колл-опциона можно найти

(9-25)

л = | = ф(4).

где

Іп(М)+ г + Л_ (Г-г₀)

W^r-'o

(упражнение 9.14).

5. Для пут-опциона можно вычислить, дифференцируя (9-21),

^д = ^ = ^фЦ)-1- (9-26)

Безрисковый портфель, использовавшийся для оценки деривативов выше, состоял из одного короткого дериватива и длинных акций в количестве, равном дельте дериватива. Как легко видеть, дельта такого портфеля равна нулю.

Для безрискового портфеля Д = 0. Чтобы сделать портфель нечувствительным к изменениям цены базового актива, нужно поддерживать его дельту на нулевом уровне. Портфель с нулевой дельтой называют дельта-нейтральным.

Нужно заметить, что дельта-хеджирование означает покупку базового актива при повышении его цены и продажу при ее понижении. Это было видно в примере 9.7. Это связано с тем, что дельта монотонно возрастает в зависимости от S (упражнения 9.15, 9.16). Поэтому схемы дельта-хеджирования приводят к “плановым” убыткам (хедж имеет цену). Кроме того, при массовом применении эти схемы могут приводить к “раскачиванию” рынка, вызывая “цепную реакцию” продаж при падении цен и покупок при повышении.

Страхование портфелей

"Имитирующие" опционы стратегии называют синтетическими опционами. Портфель Н из примера 9.7, фактически, представляет собой синтетический пут-опцион. Вместо того, чтобы страховаться от падения цен активов путем покупки пут-опционов, можно динамически поддерживать дельту портфеля на уровне, равном дельте портфеля с включенным в него таким опционом. Такие схемы страхования портфепей особенно широко применялись в США до 1987 г. Считается, что их широкое применение способствовало кризису рынка в октябре 1987 г., вызвав “цепную реакцию" падения цен за счет массированных продаж акций, когда рынок пошел вниз. При таком резком падении цен синтетические опционы неэффективны, так как не удается осуществлять плановые продажи активов по предусмотренным ценам, а только по значительно низшим. После этого кризиса популярность схем страхования портфелей в США значительно упала.

Следующая часто используемая характеристика — гамма портфеля. Она определяется как

(9-27)

ЭЛ _ Э²П dS ~ dS² '

Гамма показывает чувствительность дельты к изменениям цены базового актива. Если портфель близок к гамма-нейтральности (т.е. его гамма мала), то только относительно крупный сдвиг цены базового актива может привести к серьезным изменениям стоимости портфеля П.

Единственные активы из перечисленных выше, гамма которых отлична от нуля, это опционы. Дифференцируя (9-25), получаем выражение для гаммы европейского колл-опциона:

ЭД

(9-28)

42л Scr^T -t₀

dS

Как видно из (9-26), гамма европейского пут-опциона такая же.

Из-за трансакционных издержек частая перебалансировка портфеля для поддержания его дельта-нейтральности бывает невыгодной. Поэтому в дополнение к дельта-нейтральности стремятся поддерживать на нулевом уровне и гамму портфеля. Это иллюстрируется следующим примером.

Пример 9.8. Вернемся к примеру 9.8, где речь шла об оценке опционов (реально не существующих) на паи ПИФа “ЛУКОЙЛ Фонд Третий”. Предположим, что инвестор занимает следующие позиции:

(а) 1000 коротких колл-опционов с ценой исполнения 2150 и сроком исполнения 3 месяца;

(б) 600 длинных колл-опционов с ценой исполнения 2100 и сроком исполнения 6 месяцев;

(в) 500 коротких пут-опционов с ценой исполнения 2000 и сроком исполнения 6 месяцев.

Пользуясь формулами, приведенными выше, получаем: дельта колл-опциона из пункта (а) равна 0,35743; его гамма равна 0,00169. Для колл-опциона из пункта (б) дельта равна 0,53488, гамма равна 0,00127.

Гамма этого опциона, очевидно, такая же, как и гамма колл-опциона. Подставляя в эту формулу параметры пут-опциона из пункта (в) выше, получаем, что его дельта равна —0,34436, а гамма равна 0,00118.

Полная дельта позиции инвестора

-1000-0,35743 + 600-0,53488 - 500 • (-0,34436) = 135,675; гамма позиции

-1000-0,00169+ 600-0,00127-500-0,00118 = -1,516.

Для того чтобы сделать портфель гамма-нейтральным, нужно занять позицию по какому-либо торгуемому опциону. Например, можно увеличить длинную позицию по колл-опциону из пункта (б) выше. Количество опционов, которые нужно купить, равно 1,516/0,00127=1191,21. Предположим, что куплено 1200 опционов (т.е. опционы на 1200 паев). Тогда гамма портфеля станет равной

-1000-0,00169 +1800-0,00127-500-0,00118 = 0,011, т.е. очень небольшой, а его дельта

-1000-0,35743 + 1800- 0,53488 - 500 • (-0,34436) = 777,528.

Теперь, чтобы сделать портфель дельта-нейтральным, нужно продать (возможно, коротко) именно такое количество базового актива, т.е. примерно 778 паев.

Часто для изменения позиций вместо базового актива используют фьючерсы. Это связано, в частности, с тем, что трансакционные издержки в этом случае ниже. Читателю предоставляется самому вычислить дельту фьючерса (с каким-либо сроком) и число контрактов, в которых нужно занять короткую позицию.

Для европейских опционов дельта и гамма вычисляются явно, благодаря формуле Блэка — Шоулза. Для других деривативов, цены которых вычисляются только численно, численно же вычисляют их дельта и гамма. Задавая малые изменения цен AS, приближенно оценивают Д как -^2.. Аналогично вычисляют гамма.

LЛО

В управлении риском портфелей используют также другие характеристики, такие, как тэта, ро и вега, измеряющие, соответственно, чувствительность цены портфеля к изменениям времени, безрисковой доходности и волатильности,

_ эп эп „ эп

? = —; /0 = —; ? = —.

ot_n or осг

В реальном управлении инвестиционными портфелями, конечно, далеко не всегда можно сделать портфели дельта-, гамма- и т.п. нейтральными. Сама по себе, такая нейтральность далеко не всегда преследуется, особенно учитывая то, что частая перебалансировка портфеля связана с высокими трансакционными издержками.

Внимание инвестиционных менеджеров сосредоточено обычно скорее на оценке риска. Риск портфеля может оцениваться различными методами; если он оказывается неприемлемо большим, портфель пере-балансируется. В качестве агрегированных показателей риска могут быть использованы различные меры риска. В 1990-е гг. большое распространение в самых разных областях, связанных с финансовым менеджментом, получила такая мера риска, как VaR.

В главе 2 уже были приведены примеры применения основанной на VaR методики RiskMetrics™. Приведем еще один пример — пример оценки риска портфеля, включающего деривативы.

Пример 9.9. В методике RiskMetrics™, как говорилось в разделе 2.3, оцениваются дневные показатели VaR (так называемые DEaR). Доходность базового актива в течение дня считается нормально распределенной с нулевым средним,

S А5 S где е — стандартно нормальная случайная величина, a_d — дневная волатильность цены, At равно одному дню.

Рассмотрим оценивание риска позиций, включающих деривативы, в связи с колебаниями цен базовых активов. Обозначим цену дериватива на момент t через f(S_t) = f(S). Учитывая только два первые члена тейлоровского разложения, можно приближенно написать:

Af = f{S_l+iI)-f{S,) = S-AS + ±y{AS)²,

Д Л 2

где 8 = / — дельта дериватива, у = -2— /

— его гамма (вычисленные

дБ

dS

на момент t). Заменив в этой формуле AS на Sa_d?, получим приближение так называемым “дельта-плюс-гамма эквивалентом” (delta-plus-gam-ma equivalent) изменения цены дериватива,

Д/ = S-Sa_d? + ±y-S²(J²?².

Будем считать Д/ тоже приближенно нормальным. Чтобы оценить VaR (относительную, см. упражнение 2.22), найдем дисперсию этой величины. Учитывая, что

Ег = 0, Ее²=і Е?³=0, Е?⁴=3,

второй момент

Е(Д/)² = S²S²a_dE?² +2SScr_d -^y-S²(7_dE?² +^y²S^cr_dE?^ =

= S²S²a²+ly²S*a*.

Математическое ожидание

ЕД f = \y-S²a²d.

Поэтому

0(д/) = Е(Д/)²-(ЕД/)² = 8²S²a] +±y²sw_d.

Тогда 0,95-VaR позиции из 1 опциона оценивается как VaR = 1,645S^8²a] +±y²S²a_d.

Оценки VaR различных позиций агрегируются согласно правилу (2-10). При этом возникают задачи оценки корреляций цен деривативов и других активов.

Сделанные в этом примере аппроксимации применимы, однако, лишь для опционов с ценами исполнения, близкими к текущей цене базового актива (т.е. когда опцион “у денег” или “около денег”). В других случаях RiskMetrics™ применяет процедуру оценки методом Монте-Карло. Подробнее см., например: [Phelan, 1995].

VaR портфеля, как было отмечено в разделе 2.3, представляет собой лишь один его показатель, не всегда хорошо отражающий риск, особенно в средне- и долгосрочной перспективе. Для более тщательного анализа финансовых рисков применяется также моделирование денежных потоков и цен портфеля в различных сценариях цен активов, процентных ставок и т.д. Сценарии могут задаваться детермини-рованно или стохастически. Общие методы такого анализа риска описаны в главе 11. Эту методологию часто связывают с понятием динамического финансового анализа (DFA).

Как говорилось выше, появление таких деривативов, как опционы, напрямую связано с потребностью участников рынка обеспечить себе защиту требуемой формы от риска колебаний цен. Пут-опцион можно рассматривать как фактически страхование против понижения цены актива ниже определенного уровня. Купив такой опцион, инвестор, занимающий длинную позицию по активу, страхует себя от риска падения цен. При этом возможность получать прибыль от повышения цены актива остается. Этим опцион отличается от форвардного (фьючерсного) контракта.

Инвестор, желающий фиксировать не только нижний, но и верхний предел колебаний цены актива, может сочетать покупку пут-опциона с ценой исполнения X, с покупкой колл-опциона с ценой исполнения Х₂, Х₂> Х_? Такая комбинация называется коллар и часто используется для управления риском обменных курсов и процентных ставок.

Опционы могут самым различным образом комбинироваться для обеспечения желаемого профиля стоимости портфеля в зависимости от цен. Рассматриваемые как “строительный материал”, они обеспечивают значительную гибкость в его формировании.

В качестве примера формирования того или иного профиля стоимости рассмотрим некоторые опционные стратегии.

Стратегии, основанные на опционах одного типа (колл- или пут-опционах), называются спрэдами (spreads). Один из простейших и популярных спрэдов — “спрэд быка”, состоящий из длинного (купленного) колл-опциона с некоторой ценой исполнения X, и проданного (короткого) колл-опциона на тот же актив с ценой исполнения Х₂, Х₂ > Х_і (см. пример ниже).

Стратегии, основанные на опционах разного типа, называются комбинациями. Одна из простейших комбинаций — так называемая “straddle”, т.е. длинный колл-опцион и длинный пут-опцион с одинаковыми ценами и датами исполнения.

Пример 9.10. Простейшие опционные стратегии. Пусть в настоящий момент цена акции S = 25. На рис. 9.6 изображены профили прибыли/ убытка, точнее, изменения стоимости портфеля, к моменту исполнения опционов Т (одному и тому же для всех опционов; все опционы европейские) в зависимости от цены базового актива S_T, при следующих стратегиях.

(а) Инвестор, владеющий 1 акцией, купил пут-опцион с ценой исполнения 20. Если цена акции упадет ниже 20, опцион исполняется, поэтому прибыль/убыток не может быть меньше -5 - р, где р — цена опциона. Обратите внимание, что по форме этот профиль совпадает с профилем прибыли/убытка для колл-опциона, т.е. можно сказать (с точностью до денежных сумм), что “1 длинная акция + 1 длинный пут-опцион = 1 длинный колл-опцион”. Этот факт уже использовался при выводе паритета цен (9-4).

(б) Инвестор, владеющий 1 акцией, построил коллар, т.е. купил пут-опцион с ценой исполнения 20 и продал колл-опцион с ценой исполнения 30. Как только что было замечено, “ 1 длинная акция + 1 длинный пут-опцион = 1 длинный колл-опцион”. Поэтому такая комбинация дает профиль, аналогичный портфелю “1 длинный колл-опцион с ценой исполнения 20 + 1 длинный колл-опцион с ценой исполнения 30”, т.е. спрэду быка.

(в) Пример более сложного спрэда: “спрэд-бабочка” (butterfly spread). Инвестор создал портфель из 1 длинного колл-опциона с ценой исполнения 20,2 коротких колл-опционов с ценой исполнения 25 и 1 длинного колл-опциона с ценой исполнения 30. Положительная прибыль получается, когда S_T не слишком отклоняется от S\ в противном случае будет небольшой убыток, вызванный разностью цен проданных и купленных опционов.

(г) Комбинация “straddle”: длинный колл-опцион и длинный пут-опцион с одинаковыми ценами исполнения 25. Эта комбинация, наоборот, прибыльна в случае значительных колебаний цен, т.е. отклонений S_T от S.

Читателю рекомендуется самостоятельно воспроизвести графики рис. 9.6. Дальнейшие примеры см. в упражнениях 9.11—9.13. Описание использования различных комбинаций можно найти, например, в книгах: [McMillan, 1993; Галиц, 1998].







Рис. 9.6. Зависимость прибыли Р от цены актива на момент исполнения S_T для опционных стратегий из примера 9.10

9.6

* Активы с дивидендами

В этом разделе кратко описывается одно практически важное распространение методов этой главы и приводятся соответствующие формулы. Предположим, что базовый актив обладает постоянной дивидендной доходностью с непрерывным начислением, которую обозначим q. Эта модель охватывает следующие случаи.

¦ Базовый актив — индекс акций. В этом случае в качестве q берется предполагаемая дивидендная доходность от инвестирования в индексный портфель. Так как такой портфель обычно очень диверсифицирован, можно приближенно считать, что он приносит постоянную дивидендную доходность.

¦ Базовый актив — иностранная валюта. Инвестор, имеющий валюту, вкладывает ее в инструменты, приносящие безрисковую доходность в данной валюте. В этом случае q = r_f, где r_f — безрисковая доходность в иностранной валюте.

¦ Базовый актив — фьючерс. Для оценки таких опционов применяется так называемая модель Блэка. Оказывается, что для оценки

9.6

Активы с дивидендами

деривативов (например, опционов на фьючерсы) нужно брать q-r (подробнее см., например: [Hull, 2002]).

Оценка деривативов в данном случае опирается на следующее соображение. Выше неоднократно использовался тот факт, что риск-нейтральная средняя доходность активов равна безрисковой доходности г. Если считать, что активы приносят доходность не только в виде повышения их цены, но и в виде денежных дивидендов, то безрисковой доходности должна равняться суммарная средняя доходность актива. Поэтому средняя доходность от повышения цены актива должна быть равна г - q .

Таким образом, в формулах (9-17) следует заменить р на

(9-29)

e^ir-^q)“ -d u-d

оставив и и d без изменений. С такими параметрами применима модель случайного блуждания по биномиальному дереву цен, описанная выше. Соответственно модель риск-нейтрального геометрического броуновского движения будет той же, что и выше, с заменой параметров {г, (Г) на (r-q,(T).

Формула паритета цен (9-4) принимает вид



(9-30)

Читатель может самостоятельно попытаться построить соответствующие портфели, аналогично тому, как было сделано выше при доказательстве (9-4).

Формулы Блэка — Шоулза (9-20) и (9-21) также можно вывести аналогично тому, как это было сделано выше, используя риск-нейт-ральный процесс с заменой г на r-q. Формула для цены колл-оп-циона принимает вид

с = 5е“'^7<г_,о)Ф(^₁) - Хе~^г(Т-‘^о)Ф (d₂), (9-31)



где

Формулу для цены пут-опциона можно получить из этой формулы и паритета цен (9-30).

Изменятся также прочие формулы. В частности, для дельта европейского колл-опциона имеем

Д _{= е}-^-'о)ф (d,),

пут-опциона

Соответственно гамма этих опционов отличается от гамма опционов на бездивидендный актив множителем e~^q(r~'^a>.

9.7

Упражнения к главе 9

Упражнение 9.1. Представим себе “идеальный” рынок безрисковых облигаций, на котором имеются две бескупонные облигации со сроком 1 год, “тождественные” в том смысле, что цена каждой облигации от выпуска к погашению эволюционирует одинаково. Обозначим эту цену В_п где t — время с момента выпуска облигации. Пусть одна из этих облигаций выпущена в момент 0, а другая — в момент 1/2. Покажите, пользуясь соображениями отсутствия арбитража, что В± - yjВ₀В_?

Покажите, что если на рынке имеются такие “тождественные” облигации со всевозможными моментами выпуска, то цена должна расти в соответствии с правилом сложного процента (1-6) и (8-15).

Упражнение 9.2. Выведите правило сложных процентов (1-6) для роста цены бескупонной безрисковой облигации из такого предположения: доходности инвестиций в облигацию для двух любых промежутков времени одинаковой длительности должны совпадать.

Упражнение 9.3. Составьте портфель, воспроизводящий европейский пут-опцион, из колл-опциона, акции и безрискового актива. Выведите отсюда соотношение паритета цен (9-4).

Упражнение 9.4. Покажите, что выбор параметров и, d и р согласно (9-12) удовлетворяет условиям (8-37) при подстановке pi(t) и а из (9-11).

Упражнения к главе 9

Упражнение 9.5. Сделайте то же самое, что в предыдущем упражнении, для параметров (9-13).

Упражнение 9.6. Найдите цену европейского пут-опциона с параметрами, равными параметрам американского опциона из примера 9.4, пользуясь построенным там деревом цен.

Упражнение 9.7. Постройте 2-ступенчатое дерево и найдите с его помощью цену американского пут-опциона на бездивидендную акцию со следующими параметрами: t-t= 0,5, S = 30, <т=0,4, г = 0,12, X = 30. Сравните с ценой, рассчитанной по 3-ступенчатому дереву. Используйте программу “DerivaGem” или другое программное обеспечение для расчета цены по 100-ступенчатому дереву.

Упражнение 9.8. Покажите, что параметры (9-13) для получения риск-нейтральной модели нужно изменить на



(9-32)

Упражнение 9.9. Покажите, что цены опционов, рассчитанные по формулам (9-20) и (9-21), растут с ростом волатильности <7. Верно ли то же самое для американских опционов? Проверьте это

¦ вручную, на модели 2-ступенчатого дерева;

¦ с помощью программы “DerivaGem”.

Упражнение 9.10. По формуле (9-21) найдите цену европейского пут-опциона со следующими параметрами: t-t₀ = 0,333, 5=40, <7 = 0,25, г = 0,12, X =45. Сравните с ценой, рассчитанной по 2-ступенчатому дереву.

Упражнение 9.11. Постройте стратегии с графиками прибыли, зеркальными к графикам рис. 9.6, т.е. с прибылью -Р.

Упражнение 9.12. Реализуйте стратегии из примера 9.10 при помощи других инструментов; в частности, используйте опционы типа пут вместо колл-опционов.

Упражнение 9.13. Постройте графики прибыли, аналогичные приведенным на рис. 9.6, для следующих опционных стратегий: (б) комбинации “strangle”: 1 длинный колл-опцион с ценой исполнения 30 и 1 длинный пут-опцион с ценой исполнения 20.

Упражнение 9.14. Получите формулы (9-25).

Упражнение 9.15. Постройте графики дельты в зависимости от цены актива S для европейских опционов (можно воспользоваться программой “DerivaGem”). Убедитесь в том, что дельта растет с ростом S.

Упражнение 9.16. Рассмотрите инвестора, который имеет некоторое количество акций, стоящих в настоящий момент по 40 долл, за акцию. Для защиты от риска падения цен ниже 35 долл, за акцию инвестор создает пут-опцион синтетически. Для этого он поддерживает дельту портфеля на том же уровне, какой бы она была, если бы в портфель были включены пут-опционы с ценой исполнения 35 долл. Покажите, что при росте цен акций такой инвестор должен покупать акции для поддержания дельты на нужном уровне (воспользуйтесь результатом предыдущего упражнения).

10

глава

МОДЕЛЬ

КОЛЛЕКТИВНОГО РИСКА

Это более совершенная модель страхового риска по сравнению с моделью индивидуального риска главы 7. Она рассматривает процесс наступления страховых убытков по группе рисков, не связывая отдельные убытки с конкретными полисами.

10.1

Классическая теория риска

Модель коллективного риска берет свое начало с теории, предложенной шведским математиком Ф. Лундбергом (Lundberg) в начале XX в. Рассмотрим некоторый “коллектив” (группу) рисковых единиц, например застрахованных объектов, и будем рассматривать процесс появления страховых убытков. В теории коллективного риска не играет роли, с какой из рисковых единиц связан конкретный страховой убыток — этим она отличается от теории индивидуального риска. “Коллектив” можно рассматривать просто как “генератор” страховых убытков. “Генерируемые” им убытки имеют случайные размеры и происходят в случайные моменты времени. Состав “коллектива” рисков может быть непостоянным. Единственное, что важно — это порождаемый “коллективом” процесс убытков.

Время появления страховых убытков в классической теории моделируется пуассоновским процессом с некоторой постоянной интенсивностью Л. Пуассоновский процесс — широко используемая статистическая модель последовательного наступления “абсолютно случайных”, никак не связанных друг с другом отдельных событий (см. раздел 12.1). Обозначим через N(t) число страховых убытков, появившихся за период [О,Г]. Эта величина имеет распределение Пуассона с параметром Л-t,

P(N(t) = k) = ^f-e-*. (10-1)

Согласно известным формулам для математического ожидания и дисперсии пуассоновского распределения

EN(t) = Xt, DN(t) = At. (10-2)

Обозначим через Х_х, Х₂,...,Х_п... случайные величины убытков в порядке их появления. Будем считать эти величины одинаково распределенными с некоторой общей функцией распределения F_x, а также независимыми между собой и относительно процесса N{t). Величины X_t будем называть единичными или отдельными страховыми убытками.

N0)

Суммарный убыток за период [0, Г] обозначим S_t=^X_r

і=1

Предположим, кроме того, что страховые нетто-премии поступают с постоянной интенсивностью с (т.е. сумма нетто-премий, поступивших за время At, составит с At). Тогда процесс для резервного фонда V\ страховщика имеет вид

N0)

V^u + ct-^X,, (10-3)

і=і

где, как и в разделе 8.1, и = ?₀ — начальный резерв.

Процесс (10-3) называется процессом риска. Вид его траекторий изображен на рис. 10.1. Убытки появляются в случайные моменты времени В каждый из моментов г. величина V_t совершает

скачок вниз случайного размера Х_п а в промежутках между моментами убытков — линейно по времени растет. Коэффициент наклона прямых отрезков роста резерва на рисунке равен интенсивности поступления премий с. Распределение времени между моментами двух убытков (т.е. времени “ожидания” очередного убытка) для пуассоновского процесса, как известно, экспоненциальное с параметром Л. Поэтому среднее время ожидания очередного убытка равно 1/ Л. Чем интенсивность процесса Л выше, тем убытки в среднем чаще.

Классическая теория риска изучает вероятности разорения, введенные выше в разделе 8.1, в особенности вероятности разорения за бесконечное время ф(и). Как уже отмечалось там, термин “разорение” в теории риска носит технический смысл и не означает действительного разорения страховщика. Вероятность разорения следует рассматривать скорее как некоторый аналитический показатель, измеряющий риск страховых операций.

Ф. Лундберг был первым, кто ввел ф(и) в качестве меры риска. Впоследствии его труды развивались другими учеными, из которых наибольший вклад в развитие классической теории принадлежит Г. Крамеру (Cramer) и его школе. Нередко описанную выше модель называют моделью Лундберга — Крамера. Ниже приводятся некоторые результаты классической теории риска.

Для вероятности разорения ф(и) имеет место следующее равенство (см., например: [Актуарная математика, 2001]):

-Ru

е (10-4)

где Т* — момент разорения, V . — резерв в момент разорения (он отрицателен), R — так называемый подстроечный коэффициент или коэффициент Лундберга. Этот коэффициент определяется как положительный корень уравнения относительно переменной г

U *1

?₂ h t₄ t₅

Рис. 10.1. Процесс риска (10-3) (Ю-5)

Л + сг = Ag_x(r),

где g_x = Е^е^гХ ) — производящая функция моментов случайной величины единичного убытка X. (Свойства производящей функции моментов более подробно описаны в разделе 12.1.)

Напомним, что рисковая надбавка ?, введенная в разделе 7.1, связывает средний страховой убыток (чистую премию) т и нетто-пре-ми ю Р равенством

Р = (1 + ?)т.

В рассматриваемой модели аналогичное соотношение должно выполняться для страхового убытка и собранной премии за период времени t,

ct = (1 + 0)m_xAt,

т.е. ? определяется из равенства

с = (\ + ?)т_хА. (10-6)

Уравнение (10-5) всегда имеет тривиальное решение г = 0. Покажем, что если ? > 0, то у него есть единственное положительное решение. Вычислим средний суммарный убыток за период [0,г], пользуясь формулой полного математического ожидания:

то

Z*. =Е^Е р(вд=л)=

(N(1) \

V 1 У п V 1 У

=Z^n-m* •p(w(o=rc)=™*X^nP(^Aw=ⁿ)=

(10-7)

= m_xEN(t) - m_xAt,

где m_x — математическое ожидание случайной величины единичного убытка X. Разделив обе части (10-5) на А, имеем

1 + (1 + 0)m_xr = g(r)

(здесь и ниже для краткости пишем g(r) вместо g_x(r)). На рис. 10.2 изображены графики правой и левой частей этого уравнения. График правой части имеет вид возрастающей выпуклой функции, поскольку

g'(r) = E[Xe^rX^>0, так как X >0, и g"(r) - Е[х²е^гХ) > 0. Графикле-

вой части — прямая вида у - 1 + (1 + ?)т_х г. Так как g'(0)-m_x, касательная в точке 0 к графику функции y-g_x(r) имеет уравнение

у = 1 + т_хг. Угловой коэффициент прямой вида у = 1 + (1 + ?)т_хг больше, чем угловой коэффициент этой касательной. Таким образом, в области г > О должна иметься точка пересечения графиков правой и левой частей уравнения. Соответствующее этой точке положительное решение уравнения (10-5) и называется подстроечным коэффициентом R. Оно единственно.

Рис. 10.2. Определение подстроечного коэффициента R В общем случае математическое ожидание в знаменателе (10-4) не удается вычислить в явном виде, однако его можно оценить. Так как

?_г <0,е(

Го

^ЯІ/’’^{1 гт}’* j > 1 из (10-4) следует неравенство Лундберга

ф(и) < е

¦Ru

(10-8)

Хотя это неравенство дает лишь оценку сверху для вероятности разорения, можно показать, что при достаточно общих условиях на распределение величины единичного убытка X эта оценка асимптотически (при больших и ) дает верную скорость сходимости ф(и) к нулю, т.е.

ф(и) = при и—>+оо.

Напомним, что экспоненциальная асимптотика вероятности разорения при больших и была получена и в разделе 8.4 для случая, когда процесс риска был обобщенным броуновским движением.

Если распределение X такою, что \Х\< const, т.е. величина единичного убытка ограничена, то такая оценка следует непосредственно из (10-4) (упражнение 10.3).

Пример 10.1. Экспоненциальное рапределение единичных убытков. Пусть распределение единичного убытка экспоненциально с параметром /3, т.е. F_x (х) - 1 - e~^fix для х > 0 , F_x (х) = 0 для х < 0. Плотность распределения единичного убытка f_x (х) = (5е~^Рі (х > 0).

В этом частном случае удается явно вычислить математическое ожидание, стоящее в знаменателе правой части (10-4). Обозначим через X* убыток, причиняющий разорение, U — резерв непосредственно перед разорением. Тогда для произвольного у можно написать

Р^-?_г > у| = U, в момент Т* происходит разорение j = р|х* > у+ [/|х* >t/|j.

Для вычисления этой вероятности воспользуемся свойством отсутствия последействия, присущим экспоненциальному распределению (см. раздел 12.1). Так как X* распределен экспоненциально с параметром /3,

Эта величина не зависит от U, поэтому

P^-Vj.. > у| в момент Г* происходит разорение^ = е~^^у.

Теперь ясно, что условное распределение величины -V при условии, что разорение произойдет, тоже экспоненциальное с параметром /3. Нетрудно вычислить нужное математическое ожидание интегрированием по плотности этого распределения (Зе~^^у\



Подстроечный коэффициент для случая экспоненциального распределения X предлагается вычислить в упражнениях 10.1, 10.2. Он равен где рисковая надбавка ? определяется из равенства (10-6). Подставив полученные формулы в (10-4), получаем



(Ю-9)

Вероятность разорения ф{и) обычно не удается вычислить в явном виде. В общем случае можно получить интегральное уравнение для вероятности ф(и) или, эквивалентно, вероятности неразорения

ф(и) = 1-ф(и).

Пусть г, — момент появления первого убытка, Х_і — величина первого убытка. Обе этих величины случайны, причем первая имеет экспоненциальное распределение с параметром Л. При условии, что г, = t, X, = х и что первый убыток не привел к разорению, т.е. и + сг-л:>0, вероятность неразорения есть ф (u + ct-x). (Можно считать, что процесс как бы “заново стартует” с начального капитала u + ct- х). Если же и + ct - х < 0, то вероятность неразорения нулевая. Вероятность неразорения при условии, что t_i = t можно вычислить по формуле полной вероятности, интегрируя по распределению X,, в результате чего получим

u+ct

u + ct- x)dF_x (х). о Интегрируя по плотности распределения t_v вычисляем полную вероятность неразорения

+» U+Ct

(10-10)

ф(и)= j ф (u+ct- x)dF_x (x)dt.

Таким образом, получилось интегральное рекуррентное уравнение для вероятности неразорения. После некоторых преобразований (подробнее см. [Grandell, 1991, р. 5]) можно привести его к виду

и

ф(и) = ^^т>< +— j*0(u-z)(\-F_x{zj)dz. (10-11)

^С о

Хотя это уравнение в общем виде не решается, оно позволяет исследовать свойства вероятности разорения, в частности получать различные оценки.

10.2

Суммарный убыток: сложно-пуассоновская модель

Теория риска Лундберга — Крамера не получила практического применения в страховании. Выше уже рассказывалось, в частности, о парадоксе теории риска, показывающем нереалистичность такой меры риска, как вероятность разорения за бесконечное время. К тому же модель является слишком идеализированной. Основные ее недостатки — те же, что уже были отмечены по поводу модели раздела 8.1.

Однако идея моделирования страховых убытков таким процессом, как выше, оказалась плодотворной и практически значимой. Рассмотрим задачу моделирования суммарного убытка (ущерба) 5, по “коллективу” рисковых единиц за фиксированный промежуток времени [0,/]. В этом и следующем разделах будут описаны модели коллективного риска для суммарного убытка и их подгонка по статистическим данным. Пример применения теории коллективного риска приводится в разделе 10.5, где описывается модель добровольного медицинского страхования.

Поскольку промежуток времени [0,г] теперь фиксирован, будем обозначать число страховых убытков и суммарный убыток через N и S соответственно. Положим, для простоты, t = 1 (обычно время будем измерять в годах). Таким образом, модель убытка выглядит как

N і=і (10-12)

Полезно сравнить (10-12) с аналогичным выражением для модели индивидуального риска (7-1), также описывающим суммарный убыток по группе однородных рисков (страховых полисов). Эти суммы построены по разному принципу. В (7-1) фигурируют убытки Z- по отдельным полисам (j— номер полиса). Распределение Z_} таково, что с большой вероятностью величина убытка равна 0 (страховых случаев по полису не происходит). В (10-12), напротив, все слагаемые положительны, так как они соответствуют только появившимся страховым убыткам. Если по каждому полису возможен только один страховой случай, модель (10-12) можно свести к (7-1) простым переобозначением,

ПОЛОЖИВ N = I (Zj >0), где /(•) — индикатор события, и взяв в

качестве X_t г-й по счету отличный от нуля убыток. Распределение X будет совпадать с распределением величины Z/(Z > 0). Например, если речь идет о страховании некоторых объектов от полного разрушения, такая схема приемлема. Чаще, однако, на практике полисы страхования не прерываются после первого страхового случая, и существует возможность повторных страховых убытков. В этом случае для подгонки модели индивидуального риска по статистическим данным нужно знать “историю” выплат по каждому полису. Как правило, на практике приходится работать с большими объемами данных, из которых трудно, а иногда невозможно, извлечь “историю” каждого отдельного полиса (см., в частности, пример с реальными данными в разделе 10.5). Часто, применяя на практике модель индивидуального риска, пренебрегают возможностью повторных страховых убытков, если вероятность страхового случая q достаточно мала (это, например, делается в Методике (I) Росстрахнадзора, описанной выше).

Модель коллективного риска избавлена от этого недостатка. В этой модели убытки рассматриваются вне связи с тем, какой именно рисковой единицей они порождены. Мы говорим о “коллективном” риске (в противоположность “индивидуальному”) в том смысле, что здесь источником риска является “коллектив” рисков (например, застрахованных объектов) в целом. Можно считать, как уже говорилось, что этот коллектив порождает убытки как некоторые “импульсы” случайного времени наступления и случайного размера.

Модель индивидуального риска рассматривает условную статичную группу рисков. Мы не можем соотнести суммарный убыток S с каким-либо реальным промежутком времени. Это было бы возможно только в том случае, если бы все риски были застрахованы одновременно и на один и тот же срок. Реально страховые полисы продаются компаниями непрерывно, и в каждый момент времени все полисы страховщика имеют разные сроки до своего окончания. Таким образом, происходит непрерывная “ротация” состава страхуемых рисков, каждый день сроки одних полисов истекают, другие полисы начинают действовать. Реально такой постоянной по составу группы рисков, к которой можно было бы применить модель индивидуального риска, не существует. Модель же коллективного риска, в основе которой лежит поток страховых убытков, никак не связана с составом группы рисков, порождающих этот поток. Таким образом, эта модель более прямо применима к реальности.

Модель коллективного риска математически сложнее модели индивидуального риска, но лучше соответствует реальным данным. В настоящее время она фактически является стандартом теории риска для практического моделирования убытков в краткосрочном страховании.

Распределения сумм случайного числа случайных слагаемых, таких, как сумма в (10-12), называются сложными (compound) распределениями. В случае, когда процесс появления страховых убытков — пуассоновский и, следовательно, N имеет пуассоновское распределение, распределение S называется сложным пуассоновским (compound Poisson). Пользуясь формулой полной вероятности, функцию распределения можно представить в виде

F_s(x) = ?p(5<x|A^ = /:)P(^ = /:) = f;^w4r^> <^1(МЗ)

ІС=о к=0 к!

где F_x^k — к -я свертка функции распределения F_x с собой, т.е. функция распределения суммы к независимых случайных величин с распределением F_x.

Вероятности сложного пуассоновского распределения трудновычислимы. Для них существуют численные процедуры, рекуррентные и приближенные формулы, некоторые из которых обсуждаются ниже, в разделе 10.4. Однако можно вывести явные формулы для производящей функции моментов, а также для математического ожидания и дисперсии 5, выражающие их через соответствующие характеристики І? и X.

Производящая функция моментов

g_s(0 = Ee^fs = 2 ^EfV = и]^р№ = Я) =



m=n)=Y,{sAC))’m=n)=

П

_e"^_P(N = n) = _gN(\ng_x(C)).

(10-14)

Пользуясь этой общей формулой, выпишем выражения для производящей функции моментов сложного пуассоновского распределения. Пусть N имеет пуассоновское распределение с параметром At. Тогда

8ЛО=ы р(ж[у-і]),

поэтому

*₅(0 = ехр(Л/[*ЛО-і])- (Ю-15)

Формулы для математического ожидания и дисперсии S (а также, если нужно, старших моментов) можно получить дифференцированием g_s. В частности,

ES = EN-EX,

DS = EN-m+DN-(EX)². (10-16)

Для сложно-пуассоновского случая EN = DN = At, поэтому

Е5 = Atm_x,

T)S=At{a²x+m²x), (10-17)

где т_х — математическое ожидание, <г_х — среднее квадратическое отклонение величины единичного убытка Х_г

Пользуясь (10-15), можно также установить следующий важный факт: сумма независимых сложных пуассоновских величин — снова сложная пуассоновская величина. Пусть 5, и S₂ — две сложные пуассоновские величины, первой из которых соответствует интенсивность появления убытков А, и производящая функция моментов одного убытка g_v а второй — соответственно, А₂ и g₂. Тогда производящая функция моментов суммы

8s_]+Sl (О = 8s, (О • Ss_: (О = ехр(Л,Г[si(О -1]) • exp(Aj[_gl(О -1]) =

⁼ ехр'І(Л₁ +A₂)t

(10-18)

Ay + А^

Ay +A₂

Эта формула имеет простой смысл: сумме 5, + S₂ соответствует пуассоновский процесс появления убытков с интенсивностью А₁+А₂. При этом функция распределения единичного убытка имеет вид, соответствующий производящей функции моментов

Это “смесь” производящих функций моментов g, и g₂, взвешен-

4 К

ныхс положительными весами —*-=- и —Чг-, сумма которых равна

/4] +^2 /4] +^2

единице. Как нетрудно видеть (упражнение 10.6), распределение единичного убытка при этом представляет собой соответствующую смесь распределений. Это распределение соответствует ситуации, когда очередной убыток как бы выбирается наугад из двух групп, причем вероятности выбора пропорциональны соответствующим Л — интенсивностям убытков для двух групп (средним числам убытков в единицу времени).

10.3

* Смешивание

На практике часто оказывается, что группы (коллективы) рисков, к которым применяется теория коллективного риска, не вполне однородны. Степень подверженности риску объектов в группе, выражающаяся в вероятности появления страхового случая, может испытывать изменения во времени. Могут существовать факторы, влияющие на степень подверженности риску всех или многих объектов в коллективе. Временные изменения делят на долгосрочные тенденции (тренды), сезонные и краткосрочные колебания. Так, например, если мы будем изучать распределение числа страховых случаев на один полис автомобильного страхования в Москве, то нам придется взять статистические данные по некоторому типу автомобилей за определенный период. При этом неизбежно окажется, что некоторые из полисов в изучаемой совокупности будут относиться к более ранним, другие — к более поздним срокам страхования в пределах исследуемого периода. В связи с ростом интенсивности дорожного движения существует тренд повышения степени подверженности риску, в частности частоты аварий; поэтому ожидаемое число страховых случаев типа “авария” для более “поздних” полисов будет несколько выше, чем для более “ранних”. Зимой вероятности аварий выше, чем летом. Погодные условия (например, гололед, снегопад) могут приводить к краткосрочным (несезонным) “всплескам” вероятности аварии. Кроме временных неоднородностей, существуют еще неоднородности внутри группы, связанные с мастерством и физическим состоянием водителя, техническим состоянием автомобиля и т.д. Отчасти таких неоднородностей можно избежать, подразделяя полисы на более подробные категории, однако эта возможность ограничивается объемом имеющихся статистических данных и подробностью их классификации. Аналогичная картина наблюдается и во многих других видах страхования (хотя характер неоднородностей может быть разным и в каждом случае требует специального изучения).

Имея дело со статистическими совокупностями, мы не можем изучать каждый отдельный полис, а вынуждены иметь дело с распределением числа страховых случаев, усредненным по совокупности. Такое распределение соответствует случайно выбранному из совокупности полису. Предположим, что каждый отдельный полис “генерирует” в точности пуассоновский поток страховых случаев, возможно, с переменной интенсивностью. Можно показать, что распределение случайной величины числа страховых случаев для каждого отдельного полиса даже при переменной интенсивности пуассоновского потока остается пуассоновским (простейший случай в упражнении 10.7). Однако распределение числа страховых случаев на один случайно выбранный полис не будет в точности пуассоновским, даже если считать, что каждый полис “генерирует” в точности пуассоновский поток страховых случаев. Дело в том, что при выборе случайного полиса из совокупности мы “выбираем” и соответствующую интенсивность пуассоновского потока, которую обозначим Л\ отличая ее от интенсивности Л потока страховых случаев по всему коллективу рисков. Таким образом, при случайном выборе полиса его Л" тоже случайна, т.е. может испытывать случайные отклонения. Это возможно, повторим, в том случае, когда имеются неоднородности в совокупности, т.е. Л* для разных полисов могут быть разными в связи как с разными сроками действия полисов, так и с прочими неоднородностями.

Математически это описывается следующим образом. Пусть N* — число страховых случаев на один случайно выбранный полис. Распределение N* задается смешанными пуассоновскими вероятностями





(10-19)

где Н — функция распределения случайного параметра Л*. Смешанная пуассоновская вероятность (10-19) представляет собой математическое ожидание пуассоновской вероятности со случайным Л*. Распределение N* в этом случае называется смешанным пуассоновским (mixed Poisson).

Наиболее часто в теории риска используется одно из класса смешанных пуассоновских распределений — так называемое отрицательное биномиальное распределение или распределение Пойа¹, вероятности которого задаются формулой

р_П=С:_+П._іР^г(1-_РУ, (10-20)

где п, г и р — положительные параметры, р< 1. Заметим, что г и п не обязаны быть целыми; для нецелых параметров “число сочетаний”, входящее в (10-20), определяется при помощи гамма-функций (см. раздел 12.1). Если в (10-19) в качестве смешивающего распределения Н взять гамма-распределение с плотностью

В^а

h(x) = Н'(х) = х^а_1 е~^рх (х > 0), Г (а)

то получим вероятности (10-20). Таким образом, смешивание пуассоновского распределения со смешивающей гамма-плотностью дает отрицательное биномиальное распределение. При этом параметры связаны формулами

(10-21)

г = а, р =

Доказательство этого факта можно найти, например, в книге [Актуарная математика, 2001].

Часто бывает удобно записывать (10-19) в виде

(-Щ

Р,= Е

(10-22)

ехр

п\

где Л* = ЕЛ’\ Г] = ЛІЛ* — случайная величина, принимающая положительные значения и имеющая математическое ожидание, равное единице. Эту величину будем называть смешивающей случайной величиной.

Как и выше, нас интересует величина N количества страховых случаев или появившихся убытков по группе рисков. Например, предположим, что мы исследовали статистические данные по большому

' Г. Пойа (Polya) — венгерский математик XX в.

количеству уже окончившихся полисов страхования определенного типа и определили, что распределение числа убытков на один случайно выбранный полис N* можно считать смешанным пуассоновским. Как моделировать поток убытков по группе, например, из 100 полисов?

Предположим, что N* и — случайные величины количеств страховых случаев по двум различным рискам, имеющие одинаковое смешанное пуассоновское распределение (10-19). Какой вид может иметь распределение величины N = N* + N* — количества страховых случаев по “группе” из двух рисков? Пусть rj_x, rj₂, Г] — смешивающие величины для N*, N₂, N соответственно. Будем предполагать, что N* и N₂ зависят между собой только через смешивающие величины. Точнее говоря, будем считать N* и независимыми при условии (Т]_х =jc_p Г]₂ =х₂), где (jc,,jc₂) — произвольная пара чисел¹. Это предположение достаточно естественно. Например, числа аварий для двух групп автомобилей можно считать независимыми, если зафиксированы, скажем, погодные факторы, одновременно влияющие на вероятности аварий. Тогда при условии rj_x=x_x, Г]₂ = х₂ величина Л? = Л?* +N* есть_сумма независимых пуассоновских величин с параметрами Л*х_{ и Л*х₂ и, следовательно, имеет пуассоновское распределение с параметром Л^,х₁+Л*х₂. Поэтому, обозначая через р{х_?х₂) совместную плотность распределения 0]_Х,Т}₂), имеем



Из (10-19) можно видеть, что ЕN* = Л* (упражнение 10.8). Поэтому EN = EN_X +ENl =2/1*. Приводя (10-23) к виду (10-22), записываем

Такие случайные величины называются условно независимыми. ных величин представляет собой смешанно-пуассоновскую случайную величину, причем смешивающая величина суммы представляет собой среднее арифметическое смешивающих величин слагаемых. Аналогично можно показать, что смешивающая величина суммы к слагаемых есть

Ъ+?г

2

Таким образом, сумма смешанно-пуассоновских случай

где Т] =

(10-24)

iy,+iy₂+...+ 7_t к

Простейшим частным случаем является случай, когда смешивания нет. Тогда все Г]_і равны единице, = 1, и имеем r/ = 1. Это ситуация, когда сумма независимых пуассоновских случайных величин N* дает пуассоновскую величину N.

Вообще же говоря, вид распределения смешивающей величины (10-24) определяется зависимостью слагаемых. Рассмотрим два крайних случая.

(а) Смешивающие величины Т]_і в (10-24) независимы. Тогда при больших к, согласно закону больших чисел, величина г/ с большой вероятностью близка к математическому ожиданию одного слагаемого, т.е. к единице. В этом случае можно сказать, что смешивание вырождается. Это происходит потому, что случайные отклонения параметров различных рисков, при их взаимной независимости, “компенсируют” друг друга. При этом сг —> 0.

(б) Смешивающие величины rj_i одинаковы, Tj_i = rj₀ для любого і, где Т]₀ — некоторая случайная величина. Тогда (10-24) превращается в равенство т/ = т/₀, т.е. смешивающая величина остается той же при любом числе слагаемых. Это может быть в случае, когда все риски испытывают какое-либо общее влияние, так что случайные отклонения степени подверженности риску для всех объектов одинаковы. В этом случае о_ц - о_ц - const.

В практических ситуациях должны наблюдаться те или иные “промежуточные” варианты между случаями (а) и (б). Во всех случаях, однако, как следует из (10-24), среднее квадратичное отклонение смешивающей величины для N не превышает среднего квадратичного отклонения смешивающей величины, найденной для одного слагаемого, или для N*:

а_п<а_п>. (10-25)

Случай (б) представляет собой, таким образом, случай “максимального риска”, когда смешивание полностью сохраняется при суммировании.

Рассмотрим теперь случай отрицательного биномиального распределения N*. Так как среднее гамма-распределенных случайных величин уже не обязательно имеет гамма-распределение, rj в (10-24) может уже не быть гамма-распределенной и, строго говоря, N не будет иметь отрицательного биномиального распределения. Исключение составляет случай (б) выше, когда все смешивающие величины равны. На практике, однако, часто используют отрицательное биномиальное приближение как для N\ так и для N.

Для реальных данных о распределении числа убытков на один полис характерно то, что дисперсия больше среднего. Это говорит о “непуассоновости” N* и о наличии смешивания. Такой пример с реальными данными приведен ниже, в разделе 10.5.

Пример 10.2. Предположим, что число убытков на один полис страхования имущества N*, согласно имеющимся статистическим данным, имеет среднее m =0,0341 и дисперсию (<т*)² = 0,0483. Требуется построить отрицательные биномиальные приближения для распределения N* и величины N числа убытков по к - 100 полисов.

Вначале оценим параметры распределения N*. Для отрицательного биномиального распределения (10-20) математическое ожидание и дисперсия выражаются формулами (см. также раздел 12.1):

(10-26)

га 2 Щ

т = —, о =-4,

Р Р

где <7 = 1- р.

Используя метод моментов, получаем для параметров г* и р* (q*) распределения N’ систему уравнений

Разделив первое уравнение на второе, находим

0,706.

Подставив это в первое уравнение, получаем

г* = 0,0818867.

1-Р

Теперь, пользуясь (10-21), находим оценки параметров смешивающего гамма-распределения в (10-19)

« = г* =0,08189,

Р = —— = 2,40136.

1-р

Это оценки параметров распределения Л*, а нам требуются параметры а_п и Р распределения нормированной величины Г] = Л*ІЛ*. Гамма-плотность величины Л* имеет вид

/ =-@—х^а-^х e^fix.

^л Г(«)

Пользуясь формулой изменения плотности при линейном преобразовании случайной величины, получаем формулу для плотности г]\

/„(¦*) = Л*/_л {Л*х) = ^~ ^| ехр(~рЛ*х).

Это гамма-плотность с параметрами а_п = а = 0,08189 и Р = Л* р = т Р = 0,08189. Равенство параметров соответствует тому, что математическое ожидание г] равно единице. Попутно мы установили, что при умножении гамма-распределенной случайной величины на число масштабный параметр делится на то же число, а существенный параметр не изменяется.

Теперь перейдем к случаю к рисков. Воспользуемся правилом “максимального риска” (ситуация (б) выше), т.е. будем считать смешивающую величину г] той же, что для величины_ЛГ. Среднее число убытков для к рисков будет в к раз больше, Л=кЛ*. Если Л: = 100, то среднее число убытков станет равным кт* = 100 0,0341 = 3,41. Поскольку Г] = Л*ІЛ*, распределение Л* в (10-19) будет совпадать с распределением величины 3,41 • 77. Это гамма-распределение с параметрами « = 0,08189 и Р = 0,08189/3,41 = 0,0240. Согласно (10-21), параметры отрицательного биномиального распределения для N есть

/- = « = 0,08189,

= 0,02344.

Р

Кроме отрицательного биномиального распределения, и другие смешанные пуассоновские распределения могут давать хорошие приближения для N* и N. Например, для этой цели используют простейшее смешанное распределение — смесь двух пуассоновских распределений с некоторыми весами.

10.4

Распределение единичного убытка и общая модель

В предыдущем разделе было рассмотрено моделирование числа страховых убытков N для группы (коллектива) рисков. Как было сказано выше, если N моделируется пуассоновской величиной, суммарный страховой убыток S, определяемый (10-12), имеет сложное пуассоновское распределение. Если N, как в предыдущем разделе, имеет смешанное пуассоновское распределение, распределение S называется сложным смешанно-пуассоновским. В частности, если распределение N — отрицательное биномиальное, то распределение S — сложное отрицательное биномиальное.

Для того чтобы моделировать суммарный убыток S, необходимо промоделировать, кроме N, единичные страховые убытки Х_г Обозначим, как и выше, через X случайную величину с таким же распределением, как у всех Х_г Типичный вид гистограммы распределения X приведен на рис. 10.3 в следующем разделе. Это, как правило, асимметричное распределение с положительной асимметрией, нередко с тяжелым хвостом. Конкретная форма распределения единичного страхового убытка зависит, конечно, от вида страхования. Тем не менее есть несколько стандартных и часто применяемых моделей для распределения X.

Одна из таких моделей — уже знакомое читателю гамма-распределение со сдвигом, или трехпараметрическое гамма-распределение, плотность которого

8М = -^т-Лх-сГ¹е-^/Нх-^с\ х>с, (10-27)

(ог-1)!

математическое ожидание и дисперсия

а

т_? = — + с,

^Х Р

2 ОС X 01-

(10-28)

Кроме трехпараметрического гамма-распределения, для аппроксимации распределения единичного убытка часто используют также логнормальное распределение и распределение Парето. Иногда вместо аналитических приближений пользуются плотностью, просто воспроизводящей гистограмму наблюденных значений убытка (так называемым табулированным по данным распределением). Вопросы моделирования распределения единичного убытка подробно рассмотрены, например, Дэйкином, Пентикайненом и Песоненом [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994], а также в работе Хогга и Клагмена [Hogg, Klugman, 1984].

Перейдем к общей модели для суммарного убытка. Одна из наиболее часто используемых в приложениях моделей S — сложное отрицательное биномиальное распределение. Выпишем выражения для производящей функции моментов, математического ожидания и дисперсии в этом случае. Если N имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами г и р, то

1 -qe^s

(10-29)

(здесь, как и выше, q = 1- р), поэтому, согласно общей формуле (10-14),

8 s (С)

(10-30)

U-Я8х(0)

Формулы для математического ожидания и дисперсии можно получить как дифференцированием (10-30), так и с помощью формул (10-16). Имеем

rq

m_s =

(10-31)

₂ rq ₂ rq ₂

^<Ts= — <⁷x ⁺~T^mx

Варианты этих формул для случая, когда распределение N записано в виде (10-22), т.е. через смешивающую величину т], приведены в упражнении 10.10.

Обычно функцию или плотность распределения суммарного убытка (10-12) вычисляют численно. Для этого существуют различные методы. В частности, можно воспользоваться методом Монте-Карло. При этом случайные величины N и Х₍ моделируются при помощи датчиков случайных чисел. Получив достаточно большую выборку значений S, можно оценить нужные параметры распределения и другие характеристики статистическими методами. В частности, вероятность P(S < jc) = F_s(jc) приближенно равна относительному числу смоделированных значений S, меньших х.

Другой метод основан на численном вычислении сверток в выражении

F_s(х) = ? р;^п(дг)Р(N = n). (10-32)

k=0

Математические пакеты, такие, как “Mathematica”, позволяют делать такого рода вычисления, однако для ограниченного набора F_x. Метод Монте-Карло, лишенный этого недостатка, имеет здесь преимущество (как и во многих других случаях).

Численные методы позволяют вычислить F_s с большой точностью. Однако их применение требует некоторого времени и умения программировать. Часто бывают приемлемы приближенные формулы для F_s(x). Простейшая из них — нормальная аппроксимация для F_s,

F_s(x) = Ф

х-т_с

V ^as J которая уже применялась в главе 7. Нормальная аппроксимация, однако, может быть слишком неточна в случаях, когда убытки редки, а распределение одного убытка сильно асимметрично и имеет тяжелый хвост, что типично для данных в рисковом страховании. Оказывается, что можно улучшить нормальную аппроксимацию, учитывая, кроме первых двух, еще и третий момент распределения. Формула

F_s(*) = 0 Vs (10-33)

(9 , 6 х-Шг

—+ 1 +----

Vs определяет так называемую степенную нормальную аппроксимацию для F_s. Эта аппроксимация применима для правого хвоста F_s тогда, когда асимметрия y_s не превосходит единицу.

Интересно сравнить формулы для капитала под риском, возникающие как результат этих аппроксимаций. Напомним, что капитал под риском U определяется из равенства (7-3). Как мы уже неоднократно видели выше (главы 2, 7), для случая нормальной аппроксимации

U = m_s +a_scr_s,

где а_с — квантиль стандартно нормального распределения уровня е.

Для случая степенной нормальной аппроксимации капитал под риском имеет несколько иной вид:

U =m_s+ a_ea_s + ^y_s(,а² -1 )cr_s. (10-34)

о

Третий член, зависящий от коэффициента асимметрии y_s, равен нулю для нормального распределения и отличен от нуля для асимметричных распределений. Поэтому формулу можно рассматривать как полезное уточнение оценки капитала под риском (или VaR) с учетом асимметрии распределения. Типичное распределение убытка в страховании обладает положительной асимметрией и в целом имеет форму, подобную гамма-распределению (плотность показана, например, на рис. 2.2). Мы видим, что оценка капитала под риском для асимметричных распределений должна быть несколько скорректирована. Формула (10-34) говорит также и о том, что при наличии асимметрии недостаточно для оценки риска пользоваться только средним квадратическим отклонением. Все это относится и к другим случаям, например к оценке VaR в финансовых задачах, если данные говорят о наличии асимметрии.

Другой вариант аппроксимации — все то же трехпараметрическое гамма-распределение. Эта аппроксимация проста и очень хорошо “работает”, когда распределения единичного убытка тоже не слишком асимметричны.

Например, в магистерской диссертации М.Ю. Нехина¹ были с высокой точностью методом Монте-Карло промоделированы распределения суммарного убытка с коэффициентами асимметрии 0,53 и 1,18. Число убытков моделировалось отрицательной биномиальной случайной величиной, единичные убытки предполагались гамма-распреде-ленными. В нижеследующей таблице приводятся данные об относительной ошибке (в процентах) оценки квантилей функции распреде-

Защищена и ГУ ВШЭ it 2000 г.

ления F_s уровня е для трех аппроксимаций: нормальной, степенной нормальной (NP) и аппроксимации трехпараметрическим гамма-распределением.

е = 0,85 е = 0,90 е = 0,95 е = 0,99 Нормальная -0,58 -1,20 -2,50 -5,85 ^ = 0,525 NP -0,46 -0,19 -0,07 -0,43 Гамма -0,58 -0,29 -0,15 0,24 Нормальная 1,73 -2,03 -6,52 -14,90 У = \Л 8 NP 2,09 -2,00 -2,91 -2,24 Гамма -0,68 -0,08 2,10 5,69 Как правило, все приближенные формулы начинают “плохо работать”, когда распределения единичного убытка “плохие”, т.е. сильно асимметричны, имеют тяжелые хвосты. В этих случаях ничего не остается, как применять численные методы.

Подробнее по поводу описанных и других существующих аппроксимаций и их сравнения см., например: [Daykin, Pentikainen, Ре-sonen, 1994].

10.5

* Модель выплат

добровольного медицинского страхования

В качестве примера применения описанных выше методов приведем стохастическую модель выплат по договорам добровольного медицинского страхования (ДМС), разработанную в 1998 г. по данным одной из крупных российских страховых компаний — РОСНО [Шоломиц-кий, Рассказов, 1998]. Это поможет читателю познакомиться с проблемами, возникающими при таком моделировании, на примере реальной задачи.

Добровольное медицинское страхование осуществляется, как правило, компаниями — работодателями с целью обеспечения медицинским обслуживанием их сотрудников. Для этого страхователь заключает договор со страховой компанией, на основе которого работники компании-страхователя становятся обладателями полисов ДМС, гарантирующих их медицинское обслуживание в тех или иных лечебнопрофилактических учреждениях (ЛПУ). Как известно, стоимость услуг в различных ЛПУ разная. В рассматриваемой здесь схеме страхования застрахованные лица “прикреплялись” к тем или иным ЛПУ. Такая схема является простейшей; в более сложных схемах медицинского страхования застрахованным предоставляется ограниченная или даже неограниченная возможность самим выбирать ЛПУ. Мы ограничимся простейшей схемой, более того, лишь в той ее части, которая касается оплаты страховой компанией пребывания застрахованных лиц в стационарах (больницах). Эти случаи представляют, по сравнению с оплатой услуг поликлиник и других ЛПУ, наиболее “рисковую” часть страховых выплат. Страховые случаи происходят относительно редко, однако выплаты по ним могут достигать больших значений.

Для анализа использовалась база данных, содержавшая сведения о 28072 полисах ДМС, действовавших в течение одного года каждый в период 1996—1997 гг. Из этого количества по 1651 полису были страховые случаи интересующего нас типа (обращения в стационар). Данные содержали также информацию о числе дней пребывания в стационаре и выплаченной страховщиком сумме.

В первую очередь рассмотрим распределение числа страховых случаев на один полис. Это распределение, а также пуассоновское и отрицательное биномиальное приближения для него, приведены в нижеследующей таблице.

Число обращений в стационар Число

полисов Пуассоновское

приближение Отрицательное

биномиальное

приближение 0 26421 26186,3 26431,6 1 1411 1820,1 1387,2 2 197 63,3 206,5 3 29 0,60 37,4 4 11 0,03 7,4 5 2 0,00 1,5 6 1 0,00 0,3 Среднее число обращений в стационар на один полис равно 0,069535, выборочная дисперсия числа обращений 0,092130. Как уже отмечалось, то, что дисперсия больше среднего, характерно для страховых данных и указывает на наличие неоднородностей (смешивания). Для построения пуассоновского приближения пуассоновский параметр оценивается выборочным средним. Отрицательное биномиальное распределение подогнано методом моментов, аналогично тому, как это делалось в примере 10.2 (упражнение 10.13).

Из таблицы можно видеть, что отрицательное биномиальное распределение гораздо лучше приближает данные, чем пуассоновское распределение. Это подтверждают и статистические тесты. Видно, что реальное распределение имеет более тяжелый хвост, чем пуассоновское приближение. Это типичная картина для данных из различных областей страхования. Впрочем, основная масса выплат приходится на полисы с числом обращений, равным единице. Размеры относительной ошибки пуассоновского приближения предоставляется оценить читателю.

Приблизив таким образом распределение числа страховых случаев на один полис N*, мы можем переходить к любому числу полисов. Моделировать число N страховых случаев по группе полисов можно, например, так, как это делалось в примере 10.2, где мы предполагали смешивающую величину одной и той же для любого числа полисов (это соответствует максимальному риску). Чтобы действовать более тонко, можно было бы оценить уменьшение дисперсии смешивающей величины в зависимости от количества полисов в группе. Вопросы оценки смешивающих величин относятся к самым сложным.

Для моделирования суммарного страхоюго убытка S в виде (10-12) теперь нужно промоделировать распределение величины единичного страхового убытка. В рассматриваемом случае это распределение зависит от группы ЛПУ, к которой прикреплен застрахованный. Всего было выделено четыре таких группы, выбранные в зависимости от средней стоимости одного дня пребывания в том или ином ЛПУ. Таким образом, если в моделируемой группе рисков будут застрахованные, прикрепленные к ЛПУ различных групп, то суммарный убыток будет иметь вид суммы нескольких слагаемых вида (10-12). Опуская излишние детали, остановимся на проблеме моделирования распределения величины единичного убытка Х_і для какой-либо одной из выбранных групп ЛПУ.

При моделировании единичного убытка возникает еще одна проблема, характерная для многих областей страхования. Оказалось, что распределение единичного убытка для каждой из групп ЛПУ хорошо приближается гамма-распределением, за исключением области “самых больших” значений, т.е. реальное распределение имеет более тяжелый хвост, чем гамма-распределение. Ситуацию иллюстрирует рис. 10.3, где приведена гистограмма для одной из четырех групп ЛПУ (картины в других группах аналогичны). Из гистограммы видно, что гамма-приближение не позволяет верно оценить вероятности “очень больших” страховых убытков. Гамма-распределение приписывает таким убыткам практически нулевые вероятности, однако систематическое появление таких крупных убытков говорит о том, что их вероятности более существенны. Так как величины этих убытков могут быть достаточно велики, нужно уделить внимание их моделированию.

Число дней

Рис. 10.3. Выплаты на один случай пребывания в больнице для одной из групп ЛПУ с приближением гамма-плотностью Здесь можно было бы использовать методы теории экстремальных значений, описанные в разделе 2.5. Однако в данном случае “проблема хвоста” не настолько серьезна, чтобы прибегать к таким сложным методам. В ДМС вряд ли могут быть случаи убытков, которые можно считать “катастрофическими”, а суммарный вклад “хвоста” в общий убыток невелик. Кроме того, для решения проблемы оказывается возможным привлечь дополнительную информацию, а именно, данные о числе дней пребывания в стационаре. Дело в том, что почти все самые крупные страховые убытки относятся к случаям, когда застрахованный находился в стационаре достаточно долго. Однако оказывается, что разброс стоимости одного дня пребывания в стационаре уменьшается по мере увеличения продолжительности пребывания. Типичный график приведен на рис. 10.4 (читатель может самостоятельно объяснить это явление).

Рис. 10.4. Зависимость стоимости одного дня пребывания от продолжительности пребывания для одного из ЛПУ Кроме того, оказывается, что распределение числа дней пребывания больного в больнице гораздо лучше поддается приближению, чем распределение стоимости лечения. Сама по себе статистика здесь довольно любопытна. Оказывается, что распределение до срока пребывания, равного примерно 22—23 дням (рис. 10.5а), практически равномерно'. После же этого отчетливо заметного “рубежа” начинает действовать совершенно иной закон. Если, например, построить гистограмму для сроков пребывания, больших 24 дней (рис. 10.56), то мы увидим, что распределение ведет себя достаточно регулярно и может быть надежно приближено некоторой гладкой аналитической кривой (детали здесь опущены). Для целей нашего моделирования важны именно эти большие сроки пребывания в больнице.

Число дней (а)

(б) Рис. 10.5. Время пребывания в больнице:

(а) для случаев, когда оно не превышает 22 дней (вверху);

(б) для случаев, когда оно превышает 24 дня (внизу) Итак, распределение величины единичного убытка X (отдельно для каждой из четырех групп ЛПУ) моделировалось в виде

F_x (х) = (1 - p)F_x (л) + pF₂ (х),

где через р обозначена вероятность того, что срок пребывания в больнице превысит R дней. Рубеж R выбирался для каждой из групп ЛПУ из эмпирических соображений (как правило, 25—30 дней). Распределение F, — это условное распределение убытка при условии, что застрахованный пробудет в больнице не более R дней. Вид его гистограммы практически такой же, как на рис. 10.3, только имеющиеся там “выбросы” (очень большие убытки) почти исчезают. Статистические тесты подтверждают согласие с гамма-распределением.

Распределение F₂ строилось как распределение случайной величины ?•//, где ? — число дней, проведенных в больнице, ц — некоторое число, несколько большее средней стоимости одного дня пребывания в больнице при условии, что срок пребывания превысит R. Число ц оценивается по графикам типа 10.4. Для надежной оценки хвоста можно брать в качестве /л максимальное из наблюденных значений. Можно заменить ц случайной величиной, но это не приведет к существенному изменению модели в целом. В качестве кривой плотности распределения Е, (числа дней пребывания в стационаре) при условии Е, > R можно взять любую кривую, хорошо приближающую данные (рис. 10.56).

10.6

Упражнения к главе 10

Упражнение 10.1. Пусть случайная величина одного убытка X имеет экспоненциальное распределение с параметром /3 (как в примере 10.1). Покажите, что производящая функция моментов

g_x(^s) = -^—

P-s

Упражнение 10.2. Воспользовавшись результатом упражнения 10.1, покажите, что в случае экспоненциально распределенных единичных убытков

R-4-.

1 + ?

Упражнение 10.3. Покажите, что если |х| < 1, то из (10-4) следует, что ф{и) = 0{e~^Ru) при и —> -и».

Упражнение 10.4. Получите формулы (10-16) при помощи дифференцирования (10-14)в нуле.

Упражнение 10.5. Согласно статистическим данным, среднее число страховых случаев по некоторой группе рисков составляет 88,3 в год. Выпишите выражение для производящей функции моментов S для случаев:

(а) экспоненциального распределения X с т_х - 360 долл.;

(б) равномерного отОдо 1900 долл, распределения X.

Упражнение 10.6. Пусть F_x и F₂ — две функции распределения единичного убытка, g, и g₂ — соответствующие им производящие функции моментов. Покажите, что функция распределения единичного убытка, соответствующая производящей функции моментов

_А_

Aj + /%2

8(0 =

8,(0 +

8г( О.

стоящей в (10-18), имеет вид смеси

F(x) = тF, (х)+-Ь— F₂ (х).

Aj +/^2 Aj +/^2

Покажите, что такое же распределение имеет случайная величина, с вероятностью . ^ . равная X,, невероятностью . ^. равная Х₂, где Л^ + Л2 Л^ + Л2

X, и Х₂ — случайные величины с функциями распределения F, и F₂ соответственно.

Упражнение 10.7. Полис автомобильного страхования действует один год. Наступление страховых случаев в течение первого полугодия описывается пуассоновским процессом с интенсивностью Л,*, в течение второго полугодия — пуассоновским процессом с интенсивностью Л^. Оба процесса независимы. Покажите, что общее число страховых случаев в течение годового срока действия полиса имеет пуассоновское распределение с параметром, равным среднему Л,* и Л^.

Упражнение 10.8. Выведите из (10-19) равенство

т' =л\

где Л* — ожидаемое значение параметра Л*, имеющего функцию распределения Н.

Упражнение 10.9. Получите формулы (10-31).

Упражнение 10.10. Пусть S имеет вид (10-12), где распределение N задается смешанными пуассоновскими вероятностями (10-22). Покажите, что

m_s = Л * •т_х,

<7_S² = Л'' • а\ + Л'* • т^гх + (Л * )² • т²х • <7².

Упражнение 10.11. Получите рекуррентную формулу для вероятностей пуассоновского распределения

Рп-

Рп+І

Упражнение 10.12. Получите рекуррентную формулу для вероятностей отрицательного биномиального распределения

Рп+1

где р₀ = р^г.

Упражнение 10.13. Оцените параметры методом моментов и постройте пуассоновское и отрицательное биномиальное приближения для числа страховых случаев (обращений в стационар) в примере раздела 10.5. Для вычисления вероятностей воспользуйтесь рекуррентными формулами упражнений 10.11 и 10.12.



МОДЕЛИ

ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ

Моделирование денежных потоков — перспективный практический метод анализа рисков корпораций, финансовых институтов, различных проектов.

11.1

Модели бизнеса

В предыдущих главах этой части были рассмотрены некоторые модели страховых и инвестиционных рисков. В этой главе мы рассмотрим некоторые подходы к решению более масштабной задачи — построению модели бизнеса в целом. Под бизнесом будем понимать либо деятельность некоторой корпорации, либо, как частный случай, какое-то отдельное направление такой деятельности — например, какой-то новый инвестиционный проект или будущее поведение существующего инвестиционного портфеля и др. Бизнес может относиться к реальному сектору, финансовой сфере или быть каким-то иным.

Основной принцип моделирования и анализа рисков заключается в построении моделей денежных потоков бизнеса. Для этого бизнес представляется в виде своих финансовых результатов. Конкретная специфика бизнеса, конечно, учитывается при построении моделей, но принципиальная форма модели денежных потоков одна и та же для любого вида бизнеса. Задача такой модели — позволять анализировать финансовые результаты бизнеса на кратко-, средне- или долгосрочный период.

Один из ранних примеров попытки построить модель денежных потоков для случая страховой компании — классическая теория риска

Лундберга, рассмотренная в главе 10. К сожалению, как там уже было отмечено, эта модель содержит слишком много упрощений, чтобы служить адекватной моделью реального бизнеса страховщика. Такие упрощения неминуемо должны были быть сделаны, так как иначе модель оказалась бы слишком сложна для исследования аналитическими методами. Как мы видели, даже в том виде, как она описана в разделе 10.1, классическая модель Лундберга непроста для исследования. Аналитические результаты, которые в ней удается получить, в основном имеют форму оценок для вероятностей разорения. На этом примере мы видим вторую причину ограниченности моделей: есть определенный предел их усложнения, связанный со сложностью моделей.

Во времена Лундберга указанный барьер был непреодолим: не существовало иных путей анализа моделей, кроме аналитического исследования. Без преувеличения можно сказать, что модель, не дававшая явных аналитических формул или хотя бы приближенных оценок, была в те времена просто бесполезной.

Ситуация, однако, кардинально изменилась с появлением мощных и общедоступных компьютеров. Компьютер позволяет человеку, немного умеющему программировать, реализовать программно и численно просчитать ту же модель Лундберга или другую модель с различными усложнениями. При этом, как правило, используется метод имитационного моделирования. Он состоит в том, что при помощи датчиков случайных чисел получаются траектории нужного процесса. Удобно представлять их визуально, в графической форме. Пример такого моделирования был приведен выше для процесса страхования с инвестициями (рис. 8.5).

Построение модели бизнеса начинается с того, что бизнес представляется в виде денежных потоков. Выделяются составляющие (блоки) денежных потоков и разрабатывается их общая схема.

Пример 11 Л. Модель денежных потоков страховой компании. В книге [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994], приводится общая модель денежных потоков страховой компании рискового (non-life) страхования. Страховая компания создает резервы, необходимые для будущего покрытия обязательств по страховым договорам. Эти резервы инвестируются в активы, стоимость которых может меняться во времени. Таким образом, средства страховой компании можно представить себе в виде некоего “резервуара”, поступления — в виде “втекающих” в него потоков, выплаты — в виде “вытекающих”. Изменения рыночной стоимости активов, в которые инвестированы резервы компании, можно учитывать, включая их в инвестиционный доход (который, в таком случае, может быть отрицательным).

Входящие денежные потоки страховой компании (все — за период от t -1 до t):

¦ поступления премий Pit)-,

• инвестиционный доход, включая процентный доход, дивиденды, рентные доходы с недвижимости, а также, как сказано выше, с включением сюда изменений стоимости активов;

¦ перестраховочные покрытия, полученные с перестраховщиков,

х„И)\

• новый капитал, полученный от выпуска и размещения акций,

u_new(ty,

¦ новый капитал, полученный от размещения и выпуска облигаций,

W_nw(t).

Исходящие денежные потоки:

¦ выплаты по покрытию страховых убытков, X (t)\

• выплаченные комиссионные, административные, операционные и прочие расходы, E(t)\

• премии перестраховщикам за риски, переданные в перестрахование, Р_ге(0;

¦ дивиденды акционерам и бонусы держателям полисов, D(t).

Тогда уравнение, выражающее изменение стоимости активов V страховой компании за период от t -1 до г, выглядит таким образом:

V(t) = V(t -1) + P{t) + J(t) + X_nit) + U_newit) +

+W_im it) -ХЦ)- Eit) - P_rt it) - Dit). (11-1)

Для моделирования следует построить “подмодели” каждого из участвующих в этом уравнении денежных потоков. При этом следует учитывать наличие “обратных связей”. Так, например, повышение/понижение страховых премий должно приводить к соответствующим изменениям спроса на страховые продукты компании. Другие обратные связи могут возникать в форме управленческих решений. Например, при ухудшении финансового положения компании может быть принято решение о сокращении расходов. В случае хорошего положения, наоборот, могут быть предприняты расширения бизнеса, рекламные кампании и пр. Конечно, эффекты таких мер наиболее трудно поддаются моделированию. Все их промоделировать просто невозможно; поэтому модели, как правило, в значительной мере отражают условия сохранения “статус-кво” по многим параметрам. Как и всякие модели, они условны и имеют границы своего применения.

Задача построения такой модели довольно амбициозна, но нельзя сказать, что необозрима. Читатель, уже знакомый по предыдущим главам с некоторыми методами моделирования, в частности величин страховых убытков и инвестиционных поступлений, может в общих чертах представить себе необходимый объем работы, хотя бы в идеальных условиях, когда все нужные данные легко доступны. На успех в построении такого рода моделей можно, по-видимому, надеяться в основном в компаниях, имеющих автоматизированные системы учета и сбора внутренней информации, иначе получение данных становится серьезным препятствием.

Читателю, интересующемуся этими вопросами, предлагается самостоятельно подумать над тем, как можно моделировать различные входящие в (11-1) величины и каковы зависимости между ними.

Методы анализа моделей такого типа, как в последнем примере, описываются в следующем разделе. Применение моделей может быть разным. Модель может использоваться, например, для отыскания оптимальных управленческих решений в кратко-, средне- или долгосрочной перспективе. В этом случае либо следует ввести некоторый критерий оптимальности принимаемых решений, либо пользоваться какими-то методами эмпирического анализа модели. Примером первого (“оптимизационного”) подхода может служить задача об оптимальной выплате дивидендов страховой компанией, рассмотренная в примере 8.1. В этой главе в основном идет речь о втором подходе — эмпирическом исследовании моделей, реализованных на компьютере.

Выше мы рассматривали вопрос о вероятностях разорения страховых компаний. Именно вопрос о платежеспособности страховщиков стимулировал серьезные исследования в направлении моделей типа (11-1), проводившиеся на протяжении ряда лет рабочими группами британских и финских актуариев [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994].

Вопрос о платежеспособности на практике достаточно сложен. Скажем, в ряде стран (например, в странах Европейского союза) действуют нормативы на резервные фонды страховых компаний. Последние не должны опускаться ниже определенного уровня, в противном случае деятельность компании будет приостановлена. Поэтому может быть интересна для изучения вероятность пересечения процессом V_t не нулевого, а некоторого другого уровня и₀ > 0. Даже если этот уровень не предписан законом, для управления компанией может быть полезно установить его как некий “предупредительный рубеж”, пересечение которого процессом V_t указывает на тревожно низкий уровень резерва. В таком случае руководством компании могут приниматься те или иные меры, направленные на исправление положения.

---