---

Разделы На главную История денег и экономики История экономических знаний Формы безналичных денег Международные финансы Экономические концепции Экономические теории Экономика в реальной жизни Экономический анализ и интеграция Макроэкономика Экономика и социальное общество Социальная экономика Социология Кризисная экономика Инфляция в экономике Экономика зарубежных стран Иностранные деньги Государственное регулирование Бюджетная система Политическая экономия Политология Законы денег Налогообложение Аудит Банкротство Теория рынка Конкуренция Международная торговля Товарная биржа Нефть и газ на бирже Логистика Банки - услуги и операции Банки в России Банковский кредит Недвижимость Ипотека в банке Инвестирование Стратегии инвестирования Инвестиционные фонды Ценные бумаги Акции Вексель Облигации Опционы Фьючерсы Биржевая торговля Биржа Forex Фондовый рынок Фондовый рынок России Волны Эллиотта Теория фракталов Торговая теория Ганна Фибоначчи на бирже Графический анализ на бирже Паттерны Биржевой анализ "Крестики-нолики" Японские свечи Технический анализ Математика на бирже Фундаментальный анализ Биржевая торговля Стратегии торговли Механические торговые системы Программирование МТС Управление торговым капиталом Управление портфелем Управление риском Страхование Профессия трейдер Практический трейдинг Технологии инфосистем Информационный рынок Безопасность информации Криптология и криптография Реклама PR - Public Relations Маркетинг Финансовая система Начало бизнеса Предпринимательство Малый бизнес Микроэкономика Торговля Ценообразование Работа в Интернете Сайты, софт, дизайн Управление качеством Управление предприятием Производство продукции Стратегический менеджмент Учебники по менеджменту Системы и организации Теория систем Планирование Статистика финансов Управление персоналом Трудовые отношения Бухгалтерия «1С:Бухгалтерия» Управленческий учет Делопроизводство и офис Автоматизация делопроизводства Рынок труда Карьера Менеджер Лидерство и бизнес карьера Лидерство и карьера Общение и переговоры Общение в бизнесе Бизнес переговоры Инновации в моделировании Экономическое моделирование Нейронные сети Нейролингвистика Логика нейросетей Программирование Пакет Excel Технологии программирования Языки программирования Практическая психология Психологические тренинги Психология в медицине Возрастная психология Ваши скрытые резервы Здоровье и долголетие Работа с эмоциями Пикап Управление временем Гипнотерапия Подсознание Трансовые техники Магия Здоровье советы Спорт для здоровья Йога Религии Эзотерика Мистицизм

---

Подробности математического характера

Необходимые понятия и факты теории вероятностей и математической статистики

Случайные величины и распределения. Пусть Q — множество элементарных исходов. Каждый элемент a)G Q. можно рассматривать как исход некоторого вероятностного эксперимента. Случайная величина определяется как функция на Q, ставящая в соответствие элементарному исходу a)G Q. вещественное число. Случайные величины обычно обозначаются заглавными латинскими или строчными греческими буквами: X, и т.д.

Функция распределения случайной величины X определяется для каждого вещественного х как вероятность того, что X меньше х:

F_x(jc) = P(X<jc).

Функция распределения однозначно определяет распределение (или закон распределения) случайной величины X, т.е. все вероятности, с которыми X принимает свои значения.

Непрерывная случайная величина X характеризуется тем свойством, что Р(Х = дг) = 0 для любого х. Производная f_x(x) = F_x(x) называется плотностью распределения случайной величины X. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [а,Ь]

Р {a<X<b) = F_x{b)-F_x{a)= f_x(x)dx.

Jn

Плотность f_x неотрицательна; полная площадь под кривой плотности равна единице,

I f_x(x)dx = 1.

Дискретная случайная величина принимает лишь конечное или счетное число значений х_ІУх₂,х,,... с вероятностями р_ІУр₂,р_г,... Функция распределения дискретной случайной величины постоянна всюду, за исключением точек х,,х₂, дг₃,..., в которых она имеет скачки, равные вероятностям. Примеры дискретных функций распределения см. на рис. 1.2. Вероятность попадания дискретной случайной величины в полуинтервал [а, Ь)

Р(a<X<b) = F_x(b)-F_x(a)= ? _р..

у.х_уе\а.Ь)

Говорят, что случайная величина X имеет симметричное распределение с центром т, если

F_x{m + х) = \- F_x{m- х)

для любого х. Например, нормальные плотности, показанные на рис. 1.3, симметричны с общим центром. Распределение случайной величины, принимающей значения 0 и 1000 с вероятностями 1/2 и 1/2 (рис. 1.2), симметрично с центром 500.

Квантилем уровня у функции распределения F(x) называется такое число ОС_у , что

F(a_r) = y.

Квантиль иногда называют обратным значением и определяют через обратную функцию к функции распределения, а_у = F~\y).

Математическое ожидание, моменты и производящая функция моментов. Математическое ожидание случайной величины X обозначается ЕХ. Для непрерывной случайной величины

^{ЕХ =} I ^Х^^х (*)***’

для дискретной

}

Обе эти формулы могут быть записаны единообразно при помощи интеграла Стилтьеса,



Эта запись пригодна как в непрерывном, так и в дискретном случае. Читатель, не знакомый с интегралом Стилтьеса, может воспринимать эту формулу просто как единое обозначение для дискретного и непрерывного случая.

Если Іг(х) — некоторая функция, то h(X) — случайная величина, математическое ожидание которой



Если распределение X дискретно, то Eh(X) = ^_ijh(x_j)p_j, если



непрерывно, то

Величина



называется к-ым моментом случайной величины X. Математическое ожидание ЕХ, таким образом, представляет собой первый момент. Для него часто используют также термины среднее и ожидаемое значение и обозначение т_х.

Величина



DX = Е(Х -ЕХ)² = ЕХ²-(ЕХ)²

называется дисперсией X. Корень из дисперсии,

а_х = ?Ё>Х, называется средним квадратическим отклонением X. Коэффициент асимметрии (асимметрия)

Е{Х-т_х )³

Этот коэффициент показывает, насколько форма распределения отличается от симметричной. Любое симметричное распределение, например нормальное, имеет нулевую асимметрию. На рис. 2.2 показана гамма-плотность, имеющая положительный коэффициент асимметрии, в сравнении с нормальной плотностью (у = 0).

Производящая функция моментов случайной величины X определяется как

g_x(0 = Ee'^x = (х).

к-й момент случайной величины равен к-іл производной этой функции в нуле,

o,=S?(0).

Моменты пропорциональны коэффициентам разложения g_x в ряд Тейлора,

*= о Для всех законов распределения, используемых в этой книге, производящая функция моментов однозначно определяет функцию распределения, и наоборот.

Основные распределения. Нормальное (гауссовское) распределение с параметрами (ди,ст), ст> 0, характеризуется плотностью

I (л-"')²

Ф_тА^Х) = ГТ- ^{е 2а1} . (-оо,+оо).

Будем называть это распределение (ди, (J)-нормальным. Его математическое ожидание равно ди, дисперсия равна а², асимметрия равна нулю. Производящая функция моментов имеет вид

g(t) = e^m'-e \

Моменты (0,с)-нормального распределения:

(2л)!

о-²".

^а2п+\ а₂

^2л 2” и!

Например, четвертый момент равен Зет⁴.

(0,1)-нормальное распределение называется стандартно нормальным. Функция распределения стандартно нормального распределения



Некоторые квантили стандартно нормального распределения:

а_{0 9} = 1,282; а₀₉₅ = 1,645; а_{0 915} = 1,960; а₀₉₉ = 2,326.

Значения функции Ф(дг) для дг>0 можно приближенно вычислять по формуле

(12-1)

Ф(х) = 1 —==е^{х п} [а\к + а₂к² + а_ък^ъ),

где

k=-_r^L~,

1 + ух

у = 0,33267, а_Л = 0,4361836, а₂ = -0,1201676, а_ъ = 0,9372980.

Для отрицательных х можно воспользоваться свойством симметричности нормального распределения, Ф(дг) = 1 - Ф(-х). Точность этого приближения для большинства х не хуже 0,0001 и всегда не хуже 0,0002.

Логнормальное распределение с параметрами (д, s), $>0 есть распределение случайной величины



где X — случайная величина, имеющая нормальное с параметрами (д, s) распределение. Плотность логнормального распределения



математическое ожидание



дисперсия



коэффициент асимметрии



/Ьлша-распределение с параметрами (а,р), а>0,/3>0 имеет плотность

/О) = -@—х^а-'е-^/,х (х > 0).

Г(а)

Здесь Г(ог) — так называемая гамма-функция,

г-1

e~*ds. Как нетрудно убедиться интегрированием по частям,

r(z + l) = zr(z).

Кроме того, Г(1) = 1, поэтому Г(2) = 1, Г(3) = 2, Г(4) = 6 ит.д.,

Г(п + 1) = п\

Математическое ожидание случайной величины с гамма-распределением



дисперсия

асимметрия



производящая функция моментов

/З-t

8(0 =

Гамма-распределение со сдвигом, или 3-параметрическое гамма-распределение, есть распределение случайной величины ? + с, где % имеет гамма-распределение, с — число. Плотность 3-параметрическо-го гамма-распределения

/О) = (дг- с)*"¹ е~^р(х~^с) (х > с).

Т{а)

Частный случай гамма-плотности (при а-1) — показательная (экспоненциальная) плотность

f{x) = /3e-^fSx.

Показательное распределение — единственное непрерывное распределение, обладающее свойством отсутствия последействия. Если X имеет показательное распределение, то

P(X>s + r|X>s) = P(X>r).

Равномерное распределение на отрезке [а, Ь] задается постоянной плотностью

Ь-а

/(*) =

Математическое ожидание

т =-

дисперсия

12

„гДЬ-аУ

коэффициент асимметрии равен нулю.

Для дискретных распределений введем вероятности отдельных значений. Если ? — случайная величина с таким распределением, то положим

Р (?=*) = л-

Распределение Пуассона с параметром Л> 0 — дискретное распределение, задаваемое вероятностями

Л^к

Р_к = — е~\ к = 0,1,2,...

к!

Здесь Л — положительный параметр. Математическое ожидание

т = Л,

дисперсия

а² =Л,

асимметрия

1 производящая функция моментов

Биномиальное распределение с параметрами (п, р), где п — натуральное число, 0 < р < 1, определяется вероятностями

p_k=C^knp^k(l-pr^k,k = 0,l,2,..,

где С^к — число сочетаний из п по к,

^п к\(п-к)\

Биномиальное распределение имеет сумма п независимых слагаемых, каждое из которых принимает значения, равные единице и нулю с вероятностями р и q = l-p соответственно.

Математическое ожидание биномиального распределения

т = пр,

дисперсия

<Т² = npq,

коэффициент асимметрии

q-p

yfnpq

Производящая функция моментов

g(t) = (q +ре¹ )^а.

Отрицательное биномиальное распределение с параметрами (г, р), г > 0, 0 < р < 1 определяется вероятностями

Рк =^с*₊*-іР^г(1-/>)\ *=0,1,2,...

Входящее в эту формулу число сочетаний определяется для нецелых параметров через гамма-функции:

_Ск _(г + к-1)!_ Г (г + к) ^г+к~¹ *!(г-1)! Г(г)Г(* + 1)'

Обозначим 1 -p = q. Математическое ожидание отрицательного биномиального распределения

Р дисперсия



асимметрия

1+і

\[rq ’

производящая функция моментов

g( 0 =

l-qe'

Формулы полной вероятности и полного математического ожидания. Пусть X и Y — две случайные величины. Тогда

Р(а<Х<б)= |р(а<Х<б|Г = у)<Ду(у).

В частности, если Y — дискретная случайная величина, принимающая значения у, с вероятностями p_t, то

р(_а<х<ь) = ’?р(_а<х<ь\г = у,)р_І.

і

Если Y — непрерывная величина с плотностью f_Y, то Р (a<X<b)= jp(a<X<b\Y = y)f_r(y)dy. Математическое ожидание

Е(Х)= jE(x|y = y)?tfvOO.

Для дискретной величины Y

е(х)=?е(х|і' = у,)р_г

Если Y — непрерывная величина с плотностью f_Y, то

Е(Х)= jE(x\Y = y)f_r(y)dy.

Суммы независимых случайных величин. Свертки. Если случайные величины ? и Т] независимы, то производящая функция моментов их суммы есть произведение производящих функций моментов слагаемых:

W0 = Ee'^(f+,?) =Ee'^Ee"’ = g_{(t)-g_r7(t).

Функция распределения суммы определяется сверткой функций распределения слагаемых,



Операция свертки обычно обозначается звездочкой: F_x+Y = F_x * F_Y.

Операция свертки симметрична, F_{*F₂ = F₂* F,, и ассоциативна, (fj * F₂) *F₃ = F_x* (F₂ * F₃). Поэтому можно определить n-кратную свертку F с собой, или п-ю степень в смысле свертки, по индукции: F*² = F* F, F*³ = F*² * F,..., F'ⁿ = F*⁽ⁿ~^l) * F. F*ⁿ есть функция распределения суммы п независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение F.

Сходимость распределений, закон больших чисел и центральная предельная теорема. Говорят, что последовательность функций распределения F_n(x) слабо сходится к функции распределения F(x), если

F_n (х) —> F(x) при п —> +оо

для любого числа х, такого, что F(x) непрерывна в точке х.

Эквивалентное определение слабой сходимости: для любой непрерывной ограниченной функции и(х) при п —> +°°



Если Y_n — некоторая последовательность случайных величин, то говорят, что она сходится к величине Y по распределению, если последовательность функций распределения Y_n слабо сходится к функции распределения Y. Сходимость по распределению будем обозначать так: Y_n —Y.

Пусть Х_?Х₂,...,Х_п,... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых имеет математическое ожидание т_х. Обозначим через их среднее,



Законом больших чисел называется следующее утверждение: -»rf ^тХ ^ПР^{И П} +°°-

Это означает, что при больших п значение среднего ?_п с большой вероятностью окажется близким к математическому ожиданию т_х. Эквивалентная формулировка: для любого е > О



Обозначим через а_х среднее квадратическое отклонение каждой из величин Х_г Рассмотрим случайную величину



Величина Г)_п имеет, как легко проверить, нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. Центральной предельной теоремой называется следующее утверждение: Г)_п —Т], где Tj — стандартно нормальная случайная величина.

Это утверждение дает основание говорить, что при больших п величина Г)_п распределена приближенно стандартно нормально, а сумма

S_n = X- — приближенно нормально.

Центральная предельная теорема остается верной во многих более общих случаях, помимо случая сумм одинаково распределенных слагаемых. В частности, она справедлива для суммы неодинаково распределенных слагаемых, если такую сумму можно разбить на конечное число групп, в каждой из которых (а) число слагаемых стремится к бесконечности; (б) слагаемые независимы и одинаково распределены. В общем случае в качестве “нормированной” суммы нужно взять величину



Случайные процессы. Случайным процессом называется множество случайных величин X(t), определенных для дискретного или непрерывного множества значений t.

Случайный процесс и его реализации можно определить по аналогии со случайной величиной. Пусть ?2 — пространство элементарных исходов с элементами со, X — некоторое множество вещественных функций от времени x(t). Случайный процесс X{t) есть случайная величина (т.е. функция на ?2), реализации которой — уже не числа х, а функции x(t). Каждому со соответствует одна функция, график которой изобразит траекторию случайного процесса. Случайный процесс с непрерывными траекториями — процесс X(t), каждая реализация x(t) которого — непрерывная функция.

Пуассоновский процесс. Пуассоновский процесс — процесс с непрерывным временем, который описывает наступление некоторых случайных событий. Пусть N(t) — число таких событий, наступивших за время [О,Г]. Процесс N(t) — пуассоновский, если выполнены следующие три условия.

(а) Независимость приращений:

величины N(t₂)~ N{t_x) и N{s₂) - N{s_x) независимы, если интервалы [t_vt₂\ и [s,,s₂] не пересекаются.

(б) Невозможность множественных событий:

вероятность того, что в один момент времени случится более одного события, равна нулю.

(в) Стационарность приращений:

величины N(t_] +s)-N(t_{) и N(t₂ + s)-N(t₂) одинаково распределены для любых t_vt₂, s.

При этих условиях оказывается, что приращения N(t) имеют пуассоновское распределение,

Р(НЮ = к) = У?-е-*,

к\

где X — некоторое положительное число, называемое интенсивностью процесса. Оно равно среднему числу событий в единицу времени.

Время между двумя последовательными событиями в случае пуассоновского процесса распределено экспоненциально с параметром X.

Условие (в) выше можно заменить на условие (в‘): вероятность того, что в фиксированный момент t случится событие, равна нулю для любого t.

В последнем случае распределение числа событий остается пуассоновским, но процесс уже может быть нестационарным, т.е. X не постоянна. Доказательства можно найти, например, в книге: [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994, Appendix А].

Выборки. Выборочные моменты. Статистической выборкой называют набор чисел х_п i = l,...,N, которые предполагаются независимыми реализациями некоторой случайной величины X, имеющей функцию распределения F_x(x).

Выборочный момент порядка к равен



Выборочные моменты могут служить оценками истинных моментов. Так, первый выборочный момент



есть среднее арифметическое значений в выборке и служит оценкой математического ожидания т_х.

В качестве оценки дисперсии обычно используют величину



обладающую свойством несмещенности: ее математическое ожидание равно истинной дисперсии о\.

Гистограммы. Подгонка распределений. Выборки характеризуются гистограммами — столбчатыми диаграммами частот попаданий выборочных значений в тот или иной интервал. Гистограммы строятся следующим образом: область значений выборки разбивается на интервалы (обычно одинаковой длины), и на каждом интервале изображается столбик, высота которого пропорциональна числу выборочных значений х₍, попадающих в данный интервал. Гистограмму можно рассматривать как приближение истинной плотности распределения (например, рис. 7.2 и 7.3).

Подгонкой (fitting) распределений называют отыскание закона распределения, хорошо объясняющего данные. Обычно, построив гистограмму, по ее виду предполагают, каким может быть общий вид закона (например, нормальным, гамма и др.). Затем из выбранного семейства распределений выбирают “наиболее подходящее”. Простейший метод для этого — метод моментов. Он состоит в том, что первые выборочные моменты приравниваются к теоретическим моментам. При этом берется столько первых моментов, сколько имеется неизвестных параметров. Таким образом получается система уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Например, если по данным подгоняется нормальное распределение, то берутся два уравнения, из которых находятся два параметра, т и <Т. Вместо равенства для вторых и третьих выборочных моментов часто используют приравнивание дисперсий и коэффициентов асимметрии к их оценкам по выборке.

Критерии согласия. Качество подгонки распределения по данным определяется критериями согласия. Наиболее распространенные критерии — критерий хи-квадрат и критерий Колмогорова — Смирнова (второй используется только при подгонке непрерывных распределений).

Каждый статистический критерий основан на некоторой статистике T_N — функции от выборочных значений х. Теоретическое распределение T_N для достаточно больших N бывает известно. Сравнивая полученное по выборке конкретное значение Т* с теоретическим распределением статистики T_N, оценивают так называемое р-значе-ние как такое р, что

р(т„>г) = р.

Если p-значение мало (р < 0,1), то это говорит о том, что гипотезу о равенстве истинного и подгоняемого распределений следует отвергнуть. Если же оно велико (р >0,25), то отвергать гипотезу нет оснований. (Границы 0,1 и 0,25 — довольно условные.)

Статистика критерия хи-квадрат строится следующим образом. Выделяется п интервалов и подсчитываются количества у. элементов выборки, попавших в /-й интервал. Вычисляются теоретические (соответствующие подгоняемому распределению) вероятности p_t попадания в /-й интервал. Статистика имеет вид



Статистика критерия Колмогорова — Смирнова имеет вид

T_N = sup|F_w(x)-F(x)|,

где F — подгоняемая функция распределения, F_N (х) — так называемая эмпирическая функция распределения выборки. Последняя представляет собой функцию распределения случайной величины, принимающей значения х_і с вероятностями 1/N.

Малость указанных статистик T_N говорит о хорошем качестве приближения, их большая величина — о плохом соответствии приближения выборочным данным.

Псевдослучайные числа. Имитационное моделирование. Генераторы случайных чисел — специальные компьютерные программы, реализованные, как правило, в каждой среде программирования. Выборки, даваемые такой программой, статистически неотличимы от соответствующих случайных выборок. Обычный ассортимент генераторов случайных чисел включает генератор равномерно распределенных чисел и нормальных чисел, а в специализированных средах, например Sta-tistica, — и многие другие генераторы.

Равномерно распределенные случайные числа х_п обычно получают по рекуррентной формуле [Ермаков, 1975]

х_п = \ах_п__х +??]mod/^>,

где символ mod означает взятие остатка от деления. Если ? и а — целые числа, Р = 2'", то последовательность длиной Р состоит из всех чисел от 0 до Р -1; затем числа начинают повторяться, т.е. последовательность является периодической с периодом Р. Чтобы получить псевдослучайные числа у_п, распределенные равномерно на [0,1], берут

Уп ~ ^XJP-

Имея последовательность равномерно распределенных псевдослучайных чисел, можно получить псевдослучайные числа с произвольной функцией распределения F, пользуясь следующим фактом: если ? — равномерно распределенная случайная величина, то —

случайная величина с функцией распределения F. Обычно этим приемом пользуются для непрерывных распределений в той области, где их плотность отлична от нуля (тогда определение обратной функции распределения не вызывает затруднений). Для дискретных распределений с конечным числом значений d_i,...,d_n и соответствующими вероятностями р_?...,р_п проще пользоваться следующим приемом. Отрезок [0,1] делится на п интервалов, длины которых пропорциональны р_к. Моделирование строится так: моделируется равномерное псевдослучайное число и проверяется, в какой из интервалов оно попадает. Если это интервал с номером к, то моделируемой дискретной величине присваивается значение d_k.

Для многих распределений существуют более простые алгоритмы. Два независимых стандартно нормальных псевдослучайных числа z_vz₂ можно получить по следующим формулам:

z, = у]-2 ln(x,) • cos(2^x₂ ),

Z₂ - yj-2ln(x₁) • sin(2^x₂),

где x_vx₂ — пара независимых равномерно распределенных на [0,1] случайных чисел.

Пуассоновское (с пуассоновским параметром Л) псевдослучайное число можно получить следующим образом. Последовательно моделируются показательно распределенные числа t_x,t₂,... по формуле

К =-jHx_kl

где х_к независимы и распределены равномерно на [0,1]. Вычисляются суммы: 5, -t_vs₂ =t_l+t₂,s₃ =t_l+t₂+t_J,... Число сумм s_k, не превосходящих единицу, имеет пуассоновское распределение с параметром Л. Другими словами, если т — первое число, такое, что s_m >1, то в качестве значения пуассоновского случайного числа нужно взять т-1.

Биномиальное случайное число с параметрами распределения (п, р) моделируется как сумма п независимых случайных чисел, каждое из которых принимает значения ноль с вероятностью 1-р и единица с вероятностью р.

Имитационное моделирование (имитация, simulation) какого-либо процесса состоит в “проигрывании” его при помощи компьютерной модели. Имитация случайных процессов обычно предполагает многократное проигрывание и получение достаточно большого числа реализаций (траекторий). Эти реализации получаются при помощи генерирования псевдослучайных выборок методами, описанными выше. Совокупность этих траекторий (их “пучок”) дает представление о вероятностном поведении процесса. После получения “пучкатраекторий” можно применять статистические методы для расчета различных характеристик соответствующих распределений: математических ожиданий, вероятностей и пр.

Метод Монте-Карло является разновидностью имитации. Обычно под этим названием понимают процедуры расчетов статистическими методами по полученным имитационным реализациям, как описано выше.

Например, оценка вероятности разорения за конечное время Т (главы 8, 10) может быть получена путем имитационного моделирования достаточно большого числа траекторий случайного процесса страхового резерва ?_г В качестве оценки вероятности разорения берется доля тех траекторий, которые в какой-то момент заходят в область отрицательных значений.

Рассмотрим упоминавшуюся в главе 9 оценку методом Монте-Карло деривативов европейского типа. Следует проимитировать достаточное число траекторий риск-нейтрального процесса изменений цен. Для этого рассмотрим геометрическое случайное блуждание по дереву цен. В каждом узле дерева повышение цены происходит, если очередное число, выданное генератором равномерных на [0,1] случайных чисел, попадает в интервал [0, р], где р — риск-нейтральная вероятность, введенная в главе 9. В противном случае цена понижается.

Повторяя процесс нужное число раз, получают нужное число траекторий изменения цен (как правило, не меньше 1000). Затем для каждой траектории цен берутся соответствующие значения денежного потока дериватива D(T) на момент его исполнения Т и для каждого такого значения вычисляется дисконтированная стоимость. Усреднение этих стоимостей по числу траекторий дает оценку для цены. Точность оценок можно эмпирически определять по скорости их сходимости при повышении числа траекторий.

В главе 11 метод имитации использовался для получения не только оценок отдельных характеристик, но и выборочных распределений (например, величины пенсионного резерва).

12.2

Модели, использованные в программе CFRM

Ниже очень кратко описаны модели, использованные в учебной программе “Моделирование денежных потоков и рисков” (CFRM), версия 1.4П (Пенсионная схема). Модель, фактически, развивает модель пенсионной схемы, предложенную Троубриджем [Trowbridge, 1952] и развивавшуюся, в частности, Дюфренем [Dufresne, 1988; 1989], Хэбер-маном и Вонгом [Haberman, Wong, 1997], Овадалли и Хэберманом (Owa-dally, Haberman, 1999] идр.

Блок актуарных расчетов. Рассмотрим актуарный расчет, выполняемый в момент t = 0. Пусть на этот момент в пенсионной схеме 5(0, д:) членов возраста х лет (х = а,...,Е), зарплата работников возраста х ??(0,;с), имеющийся резерв F(0).

Актуарный расчет основан на предполагаемых (актуарных) значениях, которые ниже помечаются “крышечкой” для отличия от истинных значений, введенных в главе 11. В момент 0, естественно, эти значения совпадают.

Актуарий использует для расчета коэффициент дисконта ?, рас

1

І + г/

считанный согласно актуарной норме доходности г_?,

и пред-

предполагает рост в будущем зарплат согласно оценочной норме прироста зарплат w_v, w(t, *) = (1 + w_v) w(0, *).

Актуарий оценивает будущую численность участников схемы как s(t,x + t) = 'P_xs(0, л:), где _tp_x — вероятность для лица возраста х лет прожить еще t лет (вычисляется по актуарной таблице смертности). Это правило описывает изменение численности популяции участников, уже вступивших в схему на момент 0. Численности вновь вступающих в схему в последующие годы при некоторых рассматриваемых ниже методах расчетов считаются нулевыми, при других — предположений о них делать не требуется.

Три правила расчета пенсий. Пенсии одного участника возраста х, b(t,x), могут рассчитываться или как постоянная b (пенсии без индексации), или в виде b(t,x) = (l + i_v)‘b (пенсии с индексацией по инфляции). В DB-схемах пенсии могут, кроме того, рассчитываться как фиксированная доля от зарплаты, усредненной по последним к годам карьеры.

Метод закрытого фонда — групповой метод, состоящий в том, что схема условно закрывается для дальнейшего вступления новых членов после момента 0. Балансовое уравнение

Е-п R-1 Е-а Е ^

X X ^?'^{? 1}*)?(*, ^х) + ^(°) = X ? х)

(12-2)

t=0 х=п

t=0 x=R

выражает равенство АР? (актуарной современной стоимости) пенсионных взносов, которые будут внесены в схему, плюс имеющийся резерв (левая часть), и АР? будущих пенсий (правая часть). При этом численности когорт вновь вступающих считаются нулевыми, т.е. s(t,a) = 0 для всех t. Здесь а — начальный возраст участников схемы, R — пенсионный возраст, Е — конечный возраст, достигаемый участниками (участников старше этого возраста нет).

Если метод закрытого фонда применяется к DC-схеме, в уравнении (12-2) фиксированы c(t,x) и, тем самым, левая часть. Вычисляется пенсия b (могут применяться правила расчета пенсии с индексацией или без нее).

Если метод применяется к DB-схеме, фиксируются b(t,x) и, тем самым, правая часть. Вычисляются величины c(t,x). Правило их распределения по временам и возрастам должно быть задано. В простейшем случае норма пенсионного взноса с, взимаемого в момент 0, вычисляется исходя из предположения c(t,x) = c. Это дает так называемый агрегированный метод финансирования (aggregate funding).

Индивидуальные методы финансирования пенсий основаны на соотношении баланса взносов и пенсий, аналогичном (12-2), но для индивидуальных членов. В нашей модели можно записать это соотношение для возрастной когорты участников схемы, находящихся в момент 0 в возрасте x<R, как

л-¹ Е-х

X v's(t,x)c(t,x)w(t,x) + f(0,x) = Y, v's(t,x)b(t,x), (12-3)

t=x t=R

где f(0,x) — размер пенсионного резерва данной когорты, состоящего из внесенных прежде взносов, либо иным образом приписанного к данной когорте.

В DC-схеме с индивидуальным финансированием правая часть в (12-3) фиксирована. Вычисляется норма пенсионных отчислений для данного возраста c(t,x). В простейшем случае она не зависит от времени, c(t,x) = c(x). (Этот случай реализован в программе CFRM.)

DB-схемы с индивидуальным финансированием более сложны для расчетов и в примерах данной книги не используются. Методы актуарных расчетов в таких схемах подробно описаны, например, в [Anderson, 1992; Шоломицкий, 2002а,Ь]. Соответствующие формулы можно найти также в упомянутом Описании программы.

Модель изменения численности участников схемы. Численность s(t,x) возрастной когорты участников, находящихся в момент t в возрасте х лет, изменяется при старении на 1 год как

s(t +1, х +1) = s(t, х) - d (t, х),

где d(t,x) — число членов возраста х, не доживающих до возраста д: + 1.

Смерти участников одного возраста считаются равновероятными и независимыми. Исходя из этого, величина d(t,х) должна моделироваться биномиальной случайной величиной (см. раздел 12.1) с параметрами (п, р), где п = s(t,x), р = q_x. Величина q_x — вероятность для участника возраста х не дожить до возраста х +1, определяемая согласно таблице смертности.

Для ускорения имитаций в CFRM версии 1.4П используются пуассоновское и нормальное приближения, согласно следующему эмпирическому правилу: если s(t,x) -q²x’⁶ <0,3, то величины d(t,x) моделируются независимыми для разных t их пуассоновскими случайными величинами с параметром A(t, х) = s(t, х) • q_x. Если же s(t, х) • q²x⁶ > 0,3,

то d{t,x) моделируются как d{t,x) = q_xs(t,x) +yjs(t,x)q_x(l-q_x) •?, где

— независимые для разных t их стандартно нормальные величины.

Модели инфляции, инвестиционной доходности и прироста зарплат. Годовая норма инфляции i_t =i(t) моделируется AR(1) процессом для логарифма с наложением тренда:

/(0 = (1 + /₀(0)(1 + *',(0)-1, (12-4)

где i₀(t) — тренд (сценарий), /,(0 подчиняется процессу

in (1 +1, it +1)) -7 = у[_ in (1 + /, (0)-T] + Ofr (0,

где ?v(0 — независимые для разных t стандартно нормальные случайные величины, і — некоторое число.

На рис. 12.1 показана имитация случайной инфляции с наложением инфляционного шока согласно модели (12-4).

I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Рис. 12.1. Норма инфляции с инфляционным шоком. Модель (12-4); 30 имитаций 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0,10 0,09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

Годовая инвестиционная доходность r_t = r(t) моделируется следующим образом. Моделируются доходности четырех “активов”, каждый из которых можно рассматривать как некоторый портфель (класс) активов. Норма доходности первого актива

r₀(t) = (l + i(t))(l + n₀(t)]-l, (12-5)

где n₀(t) — сценарий.

Норма доходности второго актива

г₂(0 = (1 + a₂₀i(t) + a_2]i(t-1) + a₂₂i{t -2))(1 + п₀(t))(l + n₂(t)) -1, (12-6)

где n₂(t) определяется процессом

\n(i + n₂(t + i))-ju₂ = Y\}n(\ + n₂(t))-/u₂'] + (T₂?₂{t),

где e₂(t) — независимые стандартно нормальные случайные величины. Доходность третьего актива

г₃(г) = (1 + a_J0i(t) + a_2li(t -1)) (1 + n₀(0) (1 + Л) (1 + n₃ (0) -1, (12-7)

где п₃(0 определяется процессом

п_г{г) = у_гп_г{і-\) + а_ге_г{г),

где ?₃(Г) — независимые стандартно нормальные случайные величины. Доходность четвертого актива

г₄(0 = (і+аг₄о/(0 + а₄і^-1))(і + ^(0)(1 + «₄(0)-1, 02-8)

где n_A(t) определяется процессом

+ ^₄(0.

= Г₄^1п

In

'4 У

где f₄(r) — независимые между собой стандартно нормальные случайные величины, коррелированные с ?₃(г) с некоторым коэффициентом корреляции р.

Доходность

КО = Яог₀ (О + Я 2^гг (О + Ягh (0 + q_A.г₄ (О, (12-9)

где — доли капитала, инвестированного в четыре актива.

В программе CFRM реализована простейшая модель управления портфелем, имитирующая деятельность инвестиционного менеджера. Если активизировать менеджера, то доли q_t в (12-9) уже не будут постоянными, а будут регулироваться менеджером автоматически, на основании заданных ему предпочтений. Например, на рис. 12.2 показана имитация процесса доходности при предпочтениях менеджера, отражающих высокую ориентацию на снижение волатильности (колеблемости) доходности. Деятельность менеджера начинается с 6-го годового периода, эффект ее виден из рисунка.

Рис. 12.2. Процесс инвестиционной доходности с имитацией управления портфелем. Модель (12-9); 30 имитаций Норма прироста зарплат

?КО = (1 + oc_w0m + aj(t-1) + a_w2i(t-2))(l + n₀(t))(1 + n_w(t))-\, (12-10)

где n_w(t) определяется процессом

+1) = V_wln_w(t-l) + y_wln_w(t - 2) + <7,ЛД0,

где ?_w(t) — независимые стандартно нормальные случайные величины.

Норма прироста зарплат w(t) определяет рост всех зарплат в течение периода от г-1 до t, т.е. зарплата года Т моделируется по заданной начальной зарплате ??(0,;с) как

w(T, х) = ??(0, *)П (1 + ?г(0) •

/=1

Произведение, входящее в эту формулу, представляет собой индекс заработной платы. Аналогично определяются индексы инвестиционной доходности и индекс инфляции.

Модель оценки актуарных норм. Актуарий вычисляет оценочные (актуарные) нормы как скользящие средние:

I? = a_i0i(t) + a_ni(t -1) + a_ti, (12-11)

r_v=a_r0r(t) + a_rlr(t-l) + a_r7, (12-12)

^wv = fl„o^w(0 + a_wlw(t -1) + ajw, (12-13)

где i ,7 и w — некоторые фиксированные значения; коэффициенты а задаются пользователем.

12.3

О доказательствах некоторых утверждений

Несуществование функции, сохраняющей лексикографическое отношение предпочтения (пример 1.1). Предположим, что такая функция существует. Тогда она должна иметь вид V = ?(х, у). Рассмотрим какое-либо фиксированное значение х-х₀. Поставим ему в соответствие интервал

inf V(x₀,y), supV(.x₀,y)

V ^y у

Внутри /₀ не может быть значений V, соответствующих другим значениям х. Этот интервал не может состоять из одной точки, поскольку значения ?(х₀,у) для разных у должны различаться. Так как то же можно сказать о любом значении х, каждому х должен соответствовать некоторый интервал числовой прямой, причем интервалы эти не пересекаются. Однако число таких интервалов счетно (например, в каждом из них можно указать рациональную точку), следовательно, число значений, принимаемых х, тоже должно быть не более чем счетным. Тогда все х можно занумеровать числами натурального ряда. Однако х принимает все вещественные значения, которые, как известно, занумеровать подобным образом нельзя. Полученное противоречие доказывает утверждение примера.

Теорема о существовании критерия выбора (раздел 1.1). Теорема принадлежит Кантору. Нижеследующее доказательство следует, с некоторыми изменениями, книге Вилкаса [Вилкас, 1990].

Необходимость. Пусть функция V существует. Рассмотрим замкнутые интервалы с рациональными концами, такие, что для каждого интервала / существует по крайней мере одна альтернатива А из А, такая, что ?(Д)е /. Так как число таких интервалов не более чем счетно, занумеруем их произвольным образом и обозначим через / ., j = 1,2,3,... Для каждого такого интервала укажем произвольную альтернативу Я. из А, такую, что ?(Я_;)е /_;. Множество всех таких альтернатив Я_; обозначим Н₀.

Для произвольных альтернатив А, Be А, А>- В возможны два случая: либо существует / . с [?(5),?(Д)], либо нет. В первом случае Ау Hj У В. Во втором случае интервал [?(5), ?(Д)] не содержит значений функции V, лежащих между ?(В) и ?(А). Рассмотрим множество интервалов такого типа, т.е. таких интервалов [b, а], b > а, что существуют А, Be А, такие, что ?(В) - b, ?(А) - а, но не существует Се А, такой, что ?(С)е (Ь,а). Так как интервалы не пересекаются, это множество не более чем счетно. Для каждого такого интервала выберем две альтернативы из А, такие, что значение V на этих альтернативах равны b и а, и добавим такие альтернативы в множество Н₀. Полученное множество назовем Я; оно есть искомое.

Достаточность. Пусть Я = Я₀,Я,,Я₂,... — не более чем счетное плотное по упорядочению У подмножество А. На нем легко определить функцию V. Положим ?(Я₀) = 0, далее по индукции будем полагать значение ?(Н_}) равным произвольному рациональному числу из открытого интервала (—1,1), находящемуся по порядку среди чисел ?(Я₀),...,?(Я_;._,) на том же месте, что Я . среди Я₀,...,Я ._, по предпочтению.

Для каждой альтернативы Де А, не входящей в Я, положим ?(Д) = - inf V(H )+ sup ?(НЛ .

2 І Hj>:A j:A*Hj

Нетрудно видеть, что так определенная функция V сохраняет предпочтение У . Заметим, что это доказательство проходит и в случае конечного Я.

Доказательство утверждения примера 2.1. Математическое ожидание и дисперсия трехпараметрического гамма-распределения выражаются через его параметры как

а ₂ а т- —+ с, а —р.

(12-14)

Параметры распределений G, и G₂ выбираются следующим об

разом:

т_ха²2-т₂а<sup>2

L</sup> _2 _2

а₂ -а_х

o_m₂-m_L

" 2 _2 ’ (Т₂ <Х,

яг₂ =

( \² т₂ -т,

~Іл

у(Т₂ СГ, j

(

т₂ - т_х

~2 ~Zd 2 °\ )

СГ,²,

Читатель может проверить, что при таком выборе параметров математическое ожидание и дисперсия будут равны заданным. Покажем, что G₂ у, G,. Для этого рассмотрим разность

G,(*)-G₂(*) =

dt =

Г Я^а' R^a'-

г (a₂)

Г z^a'~‘ z"^2-1

0 Ln«l) ^Г(^2).

e~^zdz = F(y)

(сдельна замена z = fi{t-c)\ верхний предел интегрирования обозначен у = /3(х-с)). Производная функции F(y)

F\y) =

г to)

і_ ПНіІ y«l-

Т{а₂У

Так как а₂>ОС_{, у >0, выражение в квадратных скобках положительно при малых у и отрицательно при больших у, причем меняет знак только один раз. Следовательно, F(y) в области у>0 имеет единственный экстремум — максимум. Кроме того, F(0) = 0; F(+°°) = -G₂(+°°) = 0. Это значит, что если бы непрерывная

функция F принимала отрицательные значения, она обязательно достигала бы минимума, что невозможно. Поэтому для всех у имеем F(y)>0, т.е. G,(*)>G₂(*).

Теорема об ожидаемой полезности (раздел 3.2). Данная аксиоматизация ожидаемой полезности несколько отличается от аксиом фон Неймана и Моргенштерна [Нейман, Моргенштерн, 1970] и восходит к работе [Herstein, Milnor, 1953], идеям которой в основном и следует приводимое ниже доказательство. По поводу других аксиоматизаций ожидаемой полезности см., например, книги Фишберна [Фишберн, 1978; Fishburn, 1988].

Если существует критерий V вида, указанного в формулировке теоремы, то, поскольку функция и(х) непрерывна на замкнутом интервале [-М,М], она ограничена. Поэтому, по эквивалентному определению слабой сходимости из раздела 12.1, выполняется условие (С). Выполнение условия (І_) легко следует из свойства линейности (3-4).

Обратное утверждение будет доказано при следующем техническом упрощении: будем предполагать, что множество А содержит “наи-лучший^] элемент А и “наихудший” элемент А, т.е. для всех Ае А верно АУАУА (т.е. ограничено по предпочтению). По поводу доказательства без этого условия см., например: [Herstein, Milnor, 1953], а также [Вилкас, 1990]. В тривиальном случае А~ А все альтернативы безразличны. Этот случай_описывается ожидаемой полезностью с и(х) = с. Рассмотрим случай А>- А.

Пусть для полного упорядочения У выполнены условия (І_) и

(С). Доказательство разбивается на ряд утверждений.

Лемма 12.1. Для любых А,В,Се Л, таких, что А У В УС, существует /л Е [0,1], такое, что В - (АС)_М.

Рассмотрим множество /г*={д: В У (АС)_М]. Легко видеть, что из (С) следует замкнутость этого множества. Аналогично множество /с, = {д : (АС)_М У 5] тоже замкнуто. Так как А по условию содержит лотереи со всевозможными распределениями исходов на отрезке [-М,М], распределение F_(AC) = fj.F_A +(1-//)F_C имеет соответствующую ему альтернативу из А для любого де [0,1]. Поскольку отрезок [0,1] нельзя представить в виде объединения замкнутых непересека-ющихся множеств, пересечение к, и к* не пусто, что и доказывает лемму.

Лемма 12.2. Если А У В, то для любого ц ? (0,1) А У (АВ)_М у В.

Предположим, что (АВ)_М У А У В. Тогда по лемме 12.1 существует /?е[0,1], такое, что А~((АВ)_мВ) =(АВ)^. Обозначим цД = а<\. Согласно (І_), поскольку А~(АВ)_а, имеем (АВ)_а ~ ([АВ)_аВ)_а = = (АВ) Поэтому А ~ (АВ)_а.. Продолжая эту процедуру, можно показать, что Л~(Л5)^_Р для « = 3,4,5,... Так как сР —>0 при п —> +°°, нетрудно видеть, что распределение, соответствующее (АВ)_а„, слабо сходится к F_B. Поэтому в силу (С) получаем А~ В, что противоречит условию. Аналогично рассматривается случай А У В У (АВ)_М.

Лемма 12.3. Если А У В, то (АВ)_М У (АВ)_Л <=> /л> Л.

Пусть /л>Л. Обозначим ? =Л/де(0,1). Тогда {АВ)_Х=({АВ)_МВ} . Поскольку (АВ)_М У В, по лемме 12.2 (АВ)_М У (АВ)_Л.

Обратно, пусть (АВ)_М У (АВ)_Л. По лемме 12.2, (АВ)_луВ. По лемме 12.1, существует ?, такое, что (АВ)_Л=[(АВ)_МВ^ . Если ?-0 или 0 = 1, предпочтение было бы нестрогим, поэтому ? е (0,1). Поскольку (АВ)_Л = ((АВ)_М В) = (АВ)_м?, получаем Л = /Л0, поэтому Л</л. Теперь лемму 12.1 можно усилить до следующего утверждения.

Лемма 12.4. Для любых А,В,СеА таких, что А У В У С, существует единственное /л Е (0,1), такое, что В ~ (АС)_М.

Лемма 12.5. Для любой Ае А можно определить число ?(А), такое, что

(а) АуВ**?{А)>?(В)\

(б) ?((АВ)_М) = _М?(А) + (1-М)?(В).

Рассмотрим такие А, что А>-А>-А В силу леммы 12.4, существует единственное число ?(А)ё(0,1), такое, что А~(аа) . Тогда (а) следует из леммы 12.3. В силу (І_), (АВ)_М ~

~((АА)_?М)(АА)_?(Я))^=(АА)^_(джі_^_(я). Тогда, по определению V, верно равенство (б).

Для А, таких, что А ~ А, положим У(А) = 1, для А~А положим ?(А) = 0.

Как и в главе 2, условимся считать V определенной не только на самих лотереях, но и на распределениях их исходов, полагая

V{F_a) = V{A).

Лемма 12.6. ?{А) имеет вид ожидаемой полезности (3-1).

Определим функцию и(х) равенством и(х) - ?{Е_х), где Е_х — распределение, вырожденное (сосредоточенное) в точке х. Функция и(х) непрерывна в силу (С). На замкнутом интервале хе [-М,М] она поэтому ограничена. Если распределение F — функция распределения случайной величины, принимающей значения д:, и х₂ с вероятностями р, и р₂-1-р_], соответственного F(x) = р₁Е_х + р_гЕ_х. В силу (б) леммы 12.5 имеем V(F) = рУ(Е_х^) + р₂?{Е_х ) - р_хи(Х\) + р₂и(х₂). По индукции легко показать, что для любой функции распределения F случайной величины, принимающей конечное число значений х_?...,х_п с вероятностями р_?...,р_п, V имеет вид V(F) = ^ u(x_j)p_j (ср. (3-2)). Полученное представление распространяется на произвольные распределения по непрерывности. Именно, для любой функции распределения F можно указать слабо сходящуюся к ней последовательность функций распределения F_n, таких, что каждая из F_n есть функция распределения случайной величины, принимающей не более п значений. По эквивалентному определению слабой сходимости (см. раздел 12.1), в силу непрерывности и ограниченности и(х), при п —»



Однако в силу (С), V(F_n)^>V(F). Отсюда V(F)~ \u(x)dF(x).

Утверждение об индексах неприятия риска (раздел 3.4). Утверждения (а) и (б) доказаны в [Pratt, 1964, р. 128]. Утверждение (в), впервые полученное Эрроу, приводится Фишберном [Fishbum, 1988] без доказательства. Мы получим его из утверждения теоремы 7 той же работы Пратта. Это утверждение звучит так. Рассматривается задача оптимального инвестирования; пусть инвестор вкладывает капитал размера х в деньги (актив с безрисковой нулевой доходностью) и оптимизирует величину а — сумму, инвестируемую в актив со случайной доходностью Е, , Е?>0, исходя из правила Еи(х + а^) —> шах_я. Если м, и и₂— две функции полезности, такие, как в утверждении (т.е. и, имеет равномерно не меньший индекс неприятия риска), то соответствующие им оптимальные суммы инвестиций в рисковый актив находятся в соотношении а, < а₂.

Утверждение (в) можно получить отсюда. Пусть гу — доходность безрискового актива, г* — доходность рискоюго актива, /3 — доля инвестиций в рисковый актив. Запишем задачу оптимизации портфеля: Ем ((1 - J3)r¦* + fir ) = Ем (г* + /?(г* - г*)) —>тах^, т.е. это частный случай задачи, рассматривавшейся Праттом, с х = r*_f, % = г* - rj, J3 = а. Поэтому оптимальные доли инвестиций в рисковый актив находятся в соотношении Д < Д₂.

Теорема 5.2 раздела 5.1. Смоляк [Смоляк, 1983] и Дикель [Dekel, 1986] независимо доказали подобные теоремы с несколько различными системами аксиом; см. также близкую работу Чью [Chew, 1989]. Ниже показано, что условия теорем Смоляка и Дикеля вытекают из условий теоремы на с. 143.

Дикель [Dekel, 1986] использует условие “разрешимости” (solvability): для любых А, В, С 6 Л, таких, что А>- В У С, существует ц е [0,1], такое, что В~(АС)_М. Это условие следует из условий теоремы, что доказывается аналогично лемме 12.1 в доказательстве теоремы об ожидаемой полезности в разделе 12.3.

И Дикель, и Смоляк в вышеупомянутых работах используют (В_). Покажем, что эта аксиома слабее (В_у).

Пусть верно (В_у). Рассмотрим альтернативы А и В из А, такие, что А~ В. Предположим, что существует /ие (0,1), такое, что (АВ)_М У А. Согласно (BJ, {АВ)_му({АВ)_мА\_іг>. А Но ({АВ)_мА)_?і = {АВ\_х+>і)і2. Поскольку (АД)_(1+а)/2 у В и согласно (В_у), (AB\_l+fJ)/2 у ((АВ)^_м?2в) У В длялюбого уе (0,1). Но ({AB)_{Ufi)l2B} = (AB)_0+fi)y2. Выбирая у = 2ц/\+ц, имеем (l+/j.)y/2 = /2, поэтому (АВ)_(1+м)/2у(АВ)_м. Полученное противоречие доказывает, что предположение (АВ)_М У А неверно. Аналогично доказывается, что неверно Ау(АВ)_м. Следовательно, (АВ)_М ~ А.

Дикель [Dekel, 1986] использует также два условия ограниченности по предпочтению и монотонности (его аксиомы А1(Ь) и АЗ), которые очевидно следуют из (М,) и ограниченности исходов лотерей отрезком [~М,М].

Смоляк [Смоляк, 1983] доказывает теорему при условии существования критерия V*, такого, что V*(Е_х) — х. Покажем, что оно выполнено.

Рассмотрим всевозможные смеси [Е__МЕ_М ) = ссЕ__м +(1 -а)Е_м. В силу свойства разрешимости, для любой функции распределения F_a существует а, такое, что F_A ~ (Е__мЕ_м)_а. В силу (М,), смеси (Е__мЕ_м)_п с рациональными а образуют плотное по упорядочению счетное множество. Тогда существование критерия V вытекает из теоремы раздела 2.1. Этот критерий определяется не единственным образом. Однако он ставит в соответствие каждому F_A некоторое единственное Е_х, такое, что V(F_A) = V(E_x). Последнее следует из того, что ?(Е_х) — непрерывная и строго возрастающая функция, принимающая все значения из интервала [?(Е__М),?(Е_М)\. Каким бы ни было значение V(F_A), среди этих значений найдется ровно одно совпадающее с ним. Определим критерий V* равенством V(F_A) - V^E_v.^_{f }} j. Эта версия критерия обладает требуемыми свойствами.

Эвристический вывод формулы Ито (раздел 8.3). Строгий вывод формулы Ито требует знакомства со стохастическим анализом. Эвристическое доказательство, приводимое ниже, основано на следующем факте.

Пусть w_t — стандартный винеровский процесс и пусть Aw_t - w_l+il -w_t — его приращения; для простоты положим AГ = 77 и. При п —> сумма квадратов приращений на отрезке [О,Г] сходится по распределению к Т:

2 (д (12-15)

(=0 А..,г-І.

П П

Так как Е(Д??, )² = At, математическое ожидание суммы в левой части (12-15) равно Т. Тогда для доказательства (12-15) достаточно показать, что дисперсия суммы квадратов приращений стремится к нулю. Для нормальной величины с нулевым средним X, как известно (см. выше, раздел 12.1), ЕХ⁴=Зсг⁴, поэтому Е(Д??,) =3(Дt)¹. Дисперсия одного слагаемого в левой части (12-15)

(Д??,)²] = Е(А??,)⁴

Е( Ди/ )²J = 3(Д0² - (ДО² = 2(Д0²-

В левой части (12-15) стоит сумма п = Т / At независимых слагаемых, поэтому дисперсия суммы равна 2ТAt, что стремится к нулю.

Доказанный факт говорит о том, что “главный член” величины (Д??,) при At—>0 неслучаен и равен At, т.е. можно (нестрого) написать (Д??_г) =At + o(At) (эффект случайности “вырождается”).

Перейдем к формуле Ито. Дифференциал функции представляет собой главный член ее приращения. Выпишем малое приращение

функции /(?,/) по формуле Тейлора. В отличие от случая детерминированной функции, здесь нужно написать члены до второго порядка малости по At и Д??. Имеем

А г,? ч Э/ е Э/ 1 э²/ . е\2 З²/ А е А 1 Э²/ / \2

д/₍#.,) = -д#₊-д,₊-^_г(д;) ₊_д;._д,₊__(д,) ₊

+{члены более высокого порядка малости}.

В случае детерминированной функции первые два члена есть единственные члены первого порядка; в стохастическом же случае член с (Л?)~ дает еще один член первого порядка по At. Действительно, можно заменить Д? = juAt + сгД??. Согласно сказанному выше, (Д??) равно At с точностью до членов более высокого порядка малости, чем At и Д?? (иначе бы не было сходимости в (12-15)). Поэтому произведем замену (Д?) = сг²(Д??) +... = а²At +..., где отброшены члены более высокого порядка. Эта замена — центральный пункт всего рассуждения. Подставляя все написанное в выражение для Д/(?г), имеем

Л/ (? 0 = (М* + оА ??) +Ц-.At + ^ 1^-,а\А\г +

од at I од

+{члены более высокого порядка малости}.

Переходя к дифференциалам и группируя члены, получаем отсюда формулу Ито.

12.4

Сложные проценты и доходности

Ставка {норма) процента есть процентная доля, на которую увеличивается инвестированный капитал за определенный (базовый) период времени. Обычно базовым периодом бывает 1 год. Ставка процента указывается вместе с этим периодом. Например, говорят, что процентная ставка составляет 10% годовых. Это означает, что на 1 руб., инвестированный в начале года, к концу года начисляется процентный доход 0,1 руб., или 1 руб. “растет” до 1,1 руб. Капитал, инвестированный в начале периода (в данном случае — 1 руб.), называется основным капиталом, а начисленная сумма 0,1 руб. — процентами (процентным доходом) на капитал.

Различают правила простого процента и сложного процента. Пусть г* — годовая процентная ставка, 5 = 5(0) — основной капитал, инвестированный в нулевой момент времени, 5(0 — капитал в момент времени t.

При правиле простого процента считается, что процент начисляется только на основной капитал 5. За каждый год начисляется процент r*S. Поэтому капитал через t лет вырастет до

5(0 = 5 + r*S Г = 5(1 + r*t). (12-16)

Величина 5(0/5 показывает, во сколько раз увеличился основной капитал. Она называется накопительным множителем для периода длительностью t лет. Правило простого процента характеризуется тем, что накопительный множитель равен 1 + r*t.

При правиле сложного процента считается, что процент начисляется не только на основной капитал, но и на проценты, начисленные ранее. Через один год капитал 5 вырастает до 5(1 +г*). При правиле сложного процента нужно считать, что процентный доход будет начислен на весь этот капитал (и на основной капитал, и на проценты, начисленные в конце первого года, т.е. в момент 1). Общая формула роста капитала по правилу сложного процента такова:

5(f) = 5( 1 + г*у. (12-17)

Обратите внимание на то, что если г* — годовая ставка, то и время t должно измеряться в годах.

Процентная ставка г*, входящая в формулу (12-17), называется эффективной (фактической) ставкой.

Величина

r = In(l + r*)

называется силой роста или процентной доходностью с непрерывным начислением. Годовой накопительный множитель

1 + г* = е^г.

Правило сложного процента (12-17) можно записать как

5(0 = 5е". (12-18)

Пусть ? = 1/1 + / — годовой коэффициент дисконтирования (дисконта). Процентную ставку і, по которой рассчитывается ?, называют дисконтной ставкой.

Современная (приведенная к настоящему моменту, дисконтированная, текущая) стоимость детерминированного (неслучайного) потока платежей х₀,х,,...,х_л,..., осуществляемых в моменты времени t₀,t_l,...,t_n,..., соответственно, есть

Р? = х₀?'° +jc,v'' + ...+ x_nv'“ ,...= ^х_пе (12-19)

/1=0

Эта стоимость (present value) в точности совпадает с той суммой, которую нужно инвестировать сегодня, чтобы покрыть все платежи.

Процентный доход получается от инвестирования средств в ценные бумаги и иные активы. Каждый такой актив имеет некоторую цену, в обмен на уплату которой инвестор получает некоторый денежный поток. Доходность актива за период [0,Г] определяется как такая дисконтная ставка, что дисконтированная стоимость денежного потока от актива за период [0,Г] от 0 до Г при его (условной) продаже в конце периода равна цене актива на момент 0.

Пусть C(t) — цена некоторого актива (ценной бумаги) в момент времени t. Сначала рассмотрим простейший случай, когда владение активом не приносит никаких дополнительных денежных поступлений, т.е. доход связан только с повышением цены C(t). Примеры таких активов: (а) бескупонные (дисконтные) облигации, например ГКО; (б) акции, на которые в период [0,Г] не происходит начисления дивидендов. Годовая доходность г* актива за период от 0 до Г определяется равенством С(0) = С(Г)(1+ г*)~^Т, откуда

г (12-20)

Теперь предположим, что актив приносит денежные поступления с,,с₂,...,с_л в моменты времени t_l,t₂,...,t_n, лежащие в промежутке от 0 до Т. Тогда г* определяется из уравнения

С(0) = с,(1 + г*)”'¹ +с₂ (1 + 7-Т² +...+ СД1 + 7-?" +С(Г)(1 + т-Т^г.

Если С(0 и все с₍ неотрицательны, то это уравнение имеет единственное решение г*.

Например, так вычисляется доходность к погашению купонных облигаций. В этом случае C(t) — рыночная цена одной облигации, Т — момент погашения (в годах), с_?с₂,...,с_п — купоны, т.е. суммы, выплачиваемые инвестору, владеющему облигацией.

В случае акции с дивидендами C(t) — рыночная цена одной акции, Т — момент (в годах), определяющий период, за который оценивается доходность, с,,с₂,...,с_л — суммы дивидендов на одну акцию.

Доходность, конечно, не изменится, если брать не одну акцию (облигацию), а, например, сто (проверьте самостоятельно).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ

СПИСОК

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.

Актуарная математика / Бауэрс Н.Л., Гербер Х.У., Хикман Д.К. и др. М.: Янус-К, 2001.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. 2-е изд. М.: Наука, 1996.

Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов: Теория и практика. 2-е изд. М.: Дело, 2002.

Вилкас Э.Й. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990.

Вилкас Э.Й., Майминас Е.З. Решения: теория, информация, моделирование. М.: Радио и связь, 1981.

ГалицЛ. Финансовая инженерия: Пер. с англ. М.: ТВП, 1998.

Гербер X. Математика страхования жизни: Пер. с англ. М.: Мир, 1995.

Гумбель Э. Статистика экстремальных значений: Пер. с англ. М.: Наука, 1958.

Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.

Канторович Г.Г. Анализ временных рядов // Экономический журнал ВШЭ. 2002. Т. 6. № 1-4.

Кирута А.Я., Рубинов А.М., Яновская Е.Б. Оптимальный выбор распределений в сложных социально-экономических системах (вероятностный подход). Л.: Наука, 1980.

Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. СПб.: Питер, 2000.

Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. 2-е изд. М.: Логос, 2002.

Лившиц В.Н. Маргинальные рассуждения и инженерно-экономическая практика // Экономика и математические методы. 1999. Т. 35. № 4.

Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начальный курс. 5-е изд. М.: Дело, 2001.

Массе П. Критерии и методы оптимального определения капиталовложений: Пер. с франц. М.: Статистика, 1971.

Мельников А.В. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997.

Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Мир, 1970.

Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003.

Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятностей и ее применения. 1956. № 1, 2. С. 177-238.

Ротарь В.И. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 1992.

Ротарь В.И., Бенинг В.Е. Введение в математическую теорию страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1. № 5. С. 698-779.

Ротарь В.И., Шоломицкий А.Г. Об оценивании риска в страховой деятельности // Экономика и математические методы. 1996. Т. 32. № 1.

С. 96-105.

Смоляк С.А. Об учете разброса эффекта при расчете экономической эффективности в условиях неопределенности // Модели и методы стохастической оптимизации. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1983.

Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов в условиях риска и неопределенности (теория ожидаемого эффекта). М.: Наука, 2002.

Страховое дело: Учебник: В 2 т. / Под ред. О.И. Крюгер, Т.А. Федоровой. М.: Экономистъ, 2004.

Сурков С.Н., Шоргин С.Я., Шухов А.Г. Анализ методики Росстрахнадзора расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования (Методика I) // Финансы. 1994. № 9. С. 37—39.

Теория вероятностей и математическая статистика / Под ред. Ю.В. Прохорова. М.: Большая российская энциклопедия, 1999.

Фишберн П. Теория полезности для принятия решений: Пер. с англ. М.: Наука, 1978.

Шарп У. Инвестиции: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 1994.

Шведов А.С. О математических методах, используемых при работе с опционами // Экономический журнал ВШЭ. 1998. Т. 2. № 3. С. 385—409.

Шведов А.С. Применение метода конечных разностей для оценки финансовых инструментов // Экономический журнал ВШЭ. 2002. Т. 6. № 2. С. 193-216.

Шведов А.С. Процентные финансовые инструменты. Оценка и хеджирование. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М.: ГУ ВШЭ, 1999.

Ширяев А.Н. Вероятность. 2-е изд. М.: Наука, 1989.

Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики: В 2 т. М.: ФАЗИС, 1998.

Шоломицкий А.Г. Обзор актуарных методов финансирования накопительных пенсий. Препринт WP/2002/136. М.: ЦЭМИ РАН, 2002а.

Шоломицкий А.Г. Финансирование накопительных пенсий: актуарные методы и динамические модели // Обозрение прикладной и промышленной математики. 20026. Т. 9. № 3. С. 544—577.

Шоломицкий А.Г., Рассказов В.А. Моделирование процессов страховых выплат по договорам добровольного медицинского страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998. Т. 5. № 2. С. 298-300.

Шустер А.И. Фактор времени в оценке экономической эффективности капитальных вложений. М.: Наука, 1969.

Actuarial Mathematics / Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C. et al. 2^nd ed. Shaumburg, 111.: The Society of Actuaries, 1997.

Allais M. Le comportement de l’homme rationnel devant le risque: Critique des postulats et axiomes de l’Ecole Americaine // Econometrica. 1953. № 21. C. 503-546.

Anderson A.W. Pension Mathematics for Actuaries. 2^nd ed. Winsted, Conn.: Actex Publications, 1992.

Anscombe F.J., Aumann R.J. A Definition of Subjective Probability // Annals of Mathematical Statistics. 1963. Vol. 34. № 1. P. 199—205.

Balkema A., Haan L. de. Residual Life Time at Great Age // Annals of Probability. 1974. № 2. P. 792-804.

Bemartzi S., Thaler R. Myopic Loss Aversion and the Equity Premium Puzzle // Quarterly Journal of Economics. 1995. Vol. 110. № 1. P. 73—92.

Borch K. The Mathematical Theory of Insurance. Lexington Books, 1974a.

Borch K. The Rationale of the Mean-Standard Deviation Analysis: Comment // American Economic Review. 1974b. № 64. P. 428—430.

Borodin A.N., Salminen P. Handbook of Brownian Motion. Birkhauser Ver-lag, 1996.

Camerer C.F. Individual Decision Making // Handbook of Experimental Economics / J. Kagel, A.E. Roth (eds.). Princeton: Princeton University Press, 1995.

Chateauneuf A., Wakker P. An Axiomatization of Cumulative Prospect Theory for Decision under Risk // Journal of Risk and Uncertainty. 1999. Vol. 18. № 2. P. 137-145.

Chew S.H. Axiomatic Utility Theories with the Betweenness Property // Annals of Operation Research. 1989. № 19. P. 273—298.

Chew S.H., Epstein L.G., Zilcha I. A Correspondence Theorem Between Expected Utility and Smooth Utility // Journal of Economic Theory. 1988. №46. P. 186-193.

Chew S.H., Kami E., Safra Z. Risk Aversion in the Theory of Expected Utility with Rank Dependent Probabilities // Journal of Economic Theory. 1987. №42. P. 370-381.

Choices, Values, and Frames / D. Kahneman, A. Tversky (eds.). Cambridge University Press, 2000.

Coherent Measures of Risk / Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M. et al. // Mathematical Finance. 1999. Vol. 9. № 3. P. 203—228.

Cox J.C., Rubinstein M. Options Markets. Prentice Hall, NJ: Englewood Cliffs, 1985.

Crouhy M., Galai D., Mark R. A Comparative Analysis of Current Credit Risk Models // Journal of Banking and Finance. 2000. № 24. P. 59— 117.

Davison A., Smith R. Models for Exceedances over High Thresholds (with discussion) // Journal of the Royal Statistical Society. Series B. 1990. № 52. P. 393-442.

Daykin C.D., Pentikainen T., Pesonen M. Practical Risk Theory for Actuaries. Chapman and Hall, 1994.

Debreu G. Topological Methods in Cardinal Utility Theory // Mathematical Methods in the Social Science. Stanford University Press, 1960.

Dekel E. An Axiomatic Characterization of Preferences under Uncertainty: Weakening the Independence Axiom // Journal of Economic Theory. 1986. №40. P. 304-318.

Diecidue E., Wakker P. On the Intuition of Rank-Dependent Utility // Journal of Risk and Uncertainty. 2001. Vol. 23. № 3. P. 281—298.

Dynamic Financial Analysis Committee of the Casualty Actuarial Society: DFA Research Handbook. 1999. ().

Dufresne D. Moments of Pension Fund Contributions and Fund Levels When Rates of Return are Random // Journal of the Institute of Actuaries. 1988. №115. P. 535-544.

Dufresne D. Stability of Pension Systems When Rates of Return are Random // Insurance: Mathematics and Economics. 1989. № 8. P. 71—76.

Ellsberg D. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms // Quarterly Journal of Economics. 1961. № 75. P. 643—669.

Embrechts P., Kluppelberg C., Mikosh T. Modelling Extremal Events for Finance and Insurance. Springer, 1997.

Epstein L.G. Behavior Under Risk: Recent Developments in Theory and Applications // Advances in Economic Theory / J. Laffont (ed.). Cambridge University Press, 1992.

Falk M., Husler J., Reiss R. Laws of Small Numbers: Extremes and Rare Events. Basel: BirkhSuser, 1994.

Financial Economics / H. Panjer (ed.) Shaumburg, Illinois: Actuarial Foundation, 1998.

Fishbum P.C. Nonlinear Preference and Utility Theory. Baltimore: John Hopkins University Press, 1988.

Fishburn P.C. Utility Theory and Decision Making. N.Y.: Wiley, 1970.

Fishburn P.C., Rubinstein A. Time Preference // International Economic Rewiew. 1989. № 23. P. 677-694.

Fisher R., Tippett L. Limiting Forms of the Frequency Distribution of the Largest or Smallest Member of a Sample. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1928. №24. P. 180—190.

Friedman M., Savage L.J. The Utility Analysis of Choices Involving Risk // Journal of Political Economy. 1948. № 56. P. 279—304.

Giorgi Е. de. A Note on Portfolio Selections under Various Risk Measures: Working Paper. University of Zurich, 2002.

Gnedenko B. Sur la distribution limite du terme maximum d’un serie alea-toire // Annals of Mathematics. 1943. № 44. P. 423—453.

Grandell J. Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag, 1991.

Green J.R., Jullien B. Ordinal Independence in Nonlinear Utility Theory //Journal of Risk and Uncertainty. 1988. № 1. P. 355—387. (Erratum: 1989. №2. P. 119.)

Haan L. de. Fighting the Arch-Enemy with Mathematics // Statistica Neer-landica. 1990. № 44. P. 45-68.

Haberman S., Wong L.Y.P. Moving Average Rates of Return and the Variability of Pension Contributions and Fund Levels for a Defined Benefits Pension Scheme // Insurance: Mathematics and Economics. 1997. № 20. P. 115-135.

Hamilton J.D. Time Series Analysis. Princeton University Press, 1994.

Hershey J., Kunreuther H., Shoemaker P. Sources of Bias in Assessment Procedures for Utility Functions // Management Science. 1982. № 28. P. 936—954.

Herstein I.N., Milnor J. An Axiomatic Approach to Measurable Utility // Eco-nometrica. 1953. Vol. 21. № 2. P. 291—297.

Hogg R.V., Klugman S.A. Loss Distributions. N.Y.: Wiley, 1984.

Hull J.C. Options, Futures, and Other Derivatives. 5^,h ed. Prentice Hall, NJ,

2002.

Ingersoll J.E. Theory of Financial Decision Making. Rowman and Littlefield, 1987.

Introduction to RiskMetrics™. Morgan Guaranty Trust Company, 1995. Jones C.P. Investments. Analysis and Management. 5^,h ed. Wiley, 1996.

Kahneman D., Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision Under Risk // Econometrica. 1979. Vol. 47. № 2. P. 263—291.

Kannai Y., Peleg B. A Note on the Extension of an Order on a Set to the Power Set // Journal of Economic Theory. 1984. № 32.

Kami E. A Definition of Subjective Probabilities with State-Dependent Preferences // Econometrica. 1993. Vol. 61. № 1. P. 187—198.

Kami E. Subjective Expected Utility Theory with State-Dependent Preferences. A Generalization of the Theory of Savage: Working Paper. Baltimore: Johns Hopkins University, 1990.

Knight F. Risk, Uncertainty and Profit. Boston: Houghton Mifflin, 1921.

Koopmans T.C. Stationary Ordinal Utility and Impatience // Economet-rica. 1960. Vol. 28. № 2. P. 287-309.

Kraft C.H., Pratt J.W., Seidenberg A. Intuitive Probability on Finite Sets //Annals of Mathematical Statistics. 1959. № 30. P. 408—419.

Loewenstein G. Frames of Mind in Intertemporal Choice // Management Sciences. 1988. Vol. XXXIV. P. 200-214.

Loewenstein G., Prelec D. Anomalies in Intertemporal Choice: Evidence and Interpretation // Quarterly Journal of Economics. 1992. Vol. 107. № 2. P. 573-597.

Loewenstein G., Prelec D. Preferences Over Outcome Sequences // American Economic Rewiew. Papers and Proceedings. 1988. № 81. P. 247—351.

Luce R.D. Several Possible Measures of Risk // Theory and Decision. 1980. № 12. P. 217-228.

Luce R.D. Utility of Gains and Losses: Measurement-Theoretical and Experimental Approaches. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Association, 2000.

Luce R.D., Fishburn P.C. Rank- and Sign-Dependent Linear Utility Models for Finite First-Order Gambles // Journal of Risk and Uncertainty. 1991. №4. P. 29-59.

Machina M.J. Choice Under Uncertainty: Problems Solved and Unsolved //Journal of Economic Perspectives. 1987. № 1. P. 121—154.

Machina M.J. “Expected Utility” Analysis Without the Independence Axiom // Econometrica. 1982. Vol. 50. № 2. P. 277—323.

Malevergne Y., Pisarenko V., Sornette D. Empirical Distributions of Log-returns: Between the Stretched Exponential and the Power Law: Working Paper. 2003. ().

Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J.R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995.

McMillan L. Options as a Strategic Investment. New York Institute of Finance, 1993.

McNeil A.J. Estimating the Tails of Loss Severity Distributions Using Extreme Value Theory //ASTIN Bulletin. 1997. Vol. 27. № l.P. 117—137.

Mehra R., Prescott E.C. The Equity Premium: a Puzzle // Journal of Monetary Economics. 1985. Vol. 15. № 2. P. 145—161.

Merton R. Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model//Journal of Economic Theory. 1971. № 3. P. 373—413.

Meyers G. Coherent Measures of Risk. An Exposition for the Lay Actuary. 2000. ().

Mossin J. Aspects of Rational Insurance Purchasing // Journal of Political Economy. 1968. Vol. 76. № 4-1. P. 553-568.

Musiela M., Rutkovsky M. Martingale Methods in Financial Modelling. Springer, 1997.

Neilson W., Stowe J. A Further Examination of Cumulative Prospect Theory Parameterizations // Journal of Risk and Uncertainty. 2002. Vol. 24. № 1. P. 31-46.

Neumann J. von, Morgenstem O. Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press, 1944.

Norberg R. Ruin Problems with Assets and Liabilities of Diffusion Type: Paper Presented at the Conference on Ruin Probabilities. Sophia, 1996.

Owadally M.I., Haberman S. Pension Fund Dynamics and Gains/Losses due to Random Rates of Investment Return // North American Actuarial Journal. 1999. Vol. 3. № 3. P. 105-118.

Paulsen J. Risk Theory in a Stochastic Environment // Journal of Stochastic Processes and Applications. 1993. № 21. P. 327—61.

Phelan M. Probability and Statistics Applied to the Practice of Financial Risk Management: The Case of JP Morgan’s RiskMetrics™: Working Paper. № 19. Wharton Business School; University of Pennsylvania, 1995.

Pickands J. Statistical Inference Using Extreme Order Statistics // Annals of Statistics. 1975. № 3. P. 119-131.

Pliska S.R. Introduction to Mathematical Finance. Discrete Time Models. Blackwell, 1997.

Pollatsek A., Tversky A. A theory of Risk // Journal of Mathematical Psychology. 1970. № 7. P. 540—553.

Pratt J. Risk Aversion in the Small and in the Large // Econometrica. 1964. Vol. 32. № 1/2. P. 122-136.

Prelec D. Decreasing Impatience: Definition and Consequences: Harward Business School Working Paper. 1989.

Quiggin J. A Theory of Anticipated Utility // Journal of Economic Behavior and Organization. 1982. № 3. P. 323—343.

Quiggin J. Generalized Expected Utility Theory. Dordrecht: Kluwer, 1993. Rotar V.I., Sholomitsky A.G. On the Pollatsek — Tversky Theorem on Risk // Journal of Mathematical Psychology. 1994. Vol. 38. № 3. P. 322—334. Savage L.J. The Foundations of Statistics. N.Y.: Wiley, 1954.

Segal U. Anticipated Utility: a Measure Representation Approach // Annals of Operations Research. 1989. № 19. P. 359—373.

Shmidt U. Alternatives to Expected Utility: Some Formal Theories // Handbook of Utility Theory / S. Barbera, P. Hammond, C. Seidl (eds.). Kluwer, 1998.

Starmer C. Developments in Non-Expected Utility Theory: The Hunt for a Descriptive Theory of Choice Under Risk // Journal of Economic Literature. 2000. Vol. XXXVIII. P. 332-382.

Thaler R. Some Empirical Evidence on Dynamic Inconsistency // Economics Letters. 1981. № 8. P. 201—207.

Trowbridge C.L. Fundamentals of Pension Funding // Transactions Society of Actuaries. 1952. № IV. P. 17—43.

Tversky A., Kahneman D. Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty // Journal of Risk and Uncertainty. 1992. № 5. P. 297-323.

Tversky A., Kahneman D. Rational Choice and the Framing of Decisions // Rational Choice / R. Hogarth, M. Reder (eds.). University of Chicago Press, 1986. P. 67-94.

Tversky A., Wakker P. Risk Attitudes and Decision Weights // Economet-rica. 1995. № 63. P. 1255-1280.

Villegas C. On Qualititive Probability (T-Algebras // Annals of Mathematical Statistics. 1964. № 35. P. 1787—1796.

Wakker P., Thaler R., Tversky A. Probabilistic Insurance // Journal of Risk and Uncertainty. 1997. № 15. P. 7—28.

Wakker P., Tversky A. An Axiomatization of Cumulative Prospect Theory //Journal of Risk and Uncertainty. 1993. № 7. P. 147—176.

Wilkie D. A Stochastic Investment Model for Actuarial Use // Transactions Faculty of Actuaries. 1986. № 39. P. 341—403.

Wilmott P., Howison S., Dewynne J. The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction. Cambridge University Press, 1995.

Yaari M.E. The Dual Theory of Choice Under Risk // Econometrica. 1987. №55. P. 95-115.

предметный указатель

Автокорреляция 234 Авторегрессия 232, 330, 332 Аддитивность 20, 25, 76—78 Аксиома 91

зависимости от ранга 147 замещения слабая 141 инвариантности к сдвигам 75 монотонности 30, 32 монотонной непрерывности 170 независимости 24, 93—95 непрерывности 95 неприятия риска 31 нетерпения 25 однородности 34, 74 ординальной независимости 149 промежуточности 139 редукции 134,166 субаддитивности 73 транзитивности 15 sure thing principle 171,172

Актив

базовый 242

безрисковый 54, 223, 243, 244 со случайной доходностью 51,52, 222 Актуарная современная стоимость 355 Актуарий 327

Актуарное оценивание 327 Актуарный баланс 328 Актуарные нормы 328, 360 Актуарные расчеты

в страховании 189,285 пенсионных взносов 327, 355 Альтернатива выбора 13 оптимальная 17

Анализ сценариев 270, см. также Метод сценариев Анализ чувствительности 324

Аппроксимация распределения страхового убытка 193,292,303—307 Арбитражная возможность 243, 266 Арбитражер 242, 246 Асимметрия 61, 204, 265, 306, 307, 340 Бизнес-планирование 321 Броуновское движен ие 215 геометрическое 226 для моделирования цен активов 225 для моделирования страхового резерва 227 обобщенное 215 со сносом 215 Вероятность 38, 338

разорения 210, 211, 229-231, 287-291, 353 субъективная 38—40, 161—172 физическая 40

Веса 39,40, 145-148, 178, 179 Весовая функция 141

Винеровский процесс, см. Броуновское движение Волатильность 64, 225

историческая 264 подразумеваемая 264

Временной ряд 232, 330 Выбор 13

в условиях неопределенности 38—41, 161 в условиях риска 28, 41, 90, 122, 139 из векторных альтернатив 18 межвременной 20, 135, 155 динамической стратегии 36,113,212 портфеля 51, 57, 60, 67, ПО, 113 Гамма-нейтральность 274, 275 Гамма

опциона 274, 282 портфеля 274

Гамма-распределение 57, 303, 343 Гамма-функция 343

Гарантийная надбавка, см. Рисковая надбавка Гистограмма 350 Граница эффективности 53 Дельта-нейтральность 273 Дельта

опциона 249, 273, 282 портфеля 272 фьючерса 273 Дельта-хеджирование 270 Дельта-плюс-гамма эквивалент 277 Денежный поток 20, 21, 155, 370 Дериватив 240, см. также Опцион Дескриптивный подход 14, 45 Детерминированный эквивалент 29 Дефлирование 21 Децентрализация 77, 78

Диверсификация 54,71—73, 190

Динамическая задача выбора 36, 113,212

Динамическая оптимизация 37

Динамический финансовый анализ 278, 320

Динамическое программирование 37

Динамическое управление 37, 329, см. также Управление

Дисконтирование 20,155, 370

Дисконтированная стоимость 20, 155, 255, 257, 370

Дисконтная ставка 22, 136, 370

Дисперсия 340

как мера риска 51,61,74 Длинная позиция 243 Доминирование 14, 53

стохастическое 30, 32, 75, 150

Доходность 51, 52, 64, 65, 222-225, 237, 280, 332, 358, 369, 370 безрисковая 243

Закон больших чисел 190, 195, 348

Имитационное моделирование 68, 205, 216, 228, 259, 317, 329, 331—337, 352-360

Инвестиционный проект 23

Индекс неприятия риска 117,118

Источники неопределенности 330—336

Исчислимость 17

Капитал под риском 62, 194, 306

Квантиль 339

Класс безразличия 19, 96

Комбинация опционов, см. Опционные стратегии

Короткая позиция 243

Кредитный риск 267, 268

Кредитный спрэд 268

Кривая безразличия 19,96—98

Критерий 16

аддитивный 76, см. также Аддитивность взвешенной полезности 140, 141 Гурвица 42 Массе 76, 118

математического ожидания 50, 60, 78, 91 ожидаемой полезности 92, 95 ранговой полезности 145 согласия 351

хи-квадрат 351

Колмогорова — Смирнова 351 сравнительной полезности 144 «среднее — дисперсия» 50, 57

субъективно взвешенной ожидаемой полезности 166, 170, 171 теории проспектов 178 Лексикографическое предпочтение 17 Лемма Ито 220 Линейность

дельты портфеля 272 ожидаемой полезности 96 стохастического дифференциала 220 Лотерея 29

“беговая” 162 рулетка 162

Любовь к риску 60, 102, 118, 183

Маржа 73, 243, 245

Марковское свойство 234

Математическое ожидание 50, 60, 78, 91, 339, 346

Мера риска 34

когерентная 75

Полячека— Тверски 76 EPD 71 ТСЕ 71,79 VaR 62, 63

Метод

агрегированный 356 закрытого фонда 355 моментов 301,350

Монте-Карло 205, 259, 260, 277, 305, 306, 353 сценариев 45, 270, 321, 323 финансирования пенсий 326, 355 Модель

актуарных норм 360 Барруа 105 бизнеса 316

бизнес-планирования (бюджетирования) 321 взвешенной полезности 140, 141 взвешивания 42, 147 денежных потоков 316, 324, 325, 337 пенсионной программы (схемы) 326 страховой компании 317

доходности инвестиций 51, 52, 64, 65, 222—225, 237, 358 зарплат 357

индивидуального риска 189 инфляции 236, 357

классической теории риска (Лундберга) 231, 285 коллективного риска 285 кредитного риска структурная 268, 319 логнормальная цен активов 222, 226, 260 нормальная цен активов (Башелье) 52, 64, 222

ожидаемой полезности 91,95

оценки фондовых активов 51, 54, см. также САРМ

пенсионной программы (схемы) 325, 354

принятия решений при неопределенности 38, 162

ранговой полезности 145

риск-нейтральная 258

страхового резерва 189, 210, 227, 286, 317

сценарная 321, 330

Уилки 236

де Финетти 210

САРМ 51-56

RiskMetrics 64

Монотонность относительно стохастического доминирования 30, 32, 56—62, 75, 133, 150

Нагрузка, см. Структура страховой премии Нейтральность к риску 102, 258 Неопределенность 8, 38—47 вероятностная 38—47 интервальная 42 Неприятие потерь 103, 178 Неприятие риска 31,58, 102, 118, 119, 143, 159, 183 Неравенство

Йенсена 101, 107 Лундберга 289 Нетерпение 21, 25

Нормативный подход 14,45,126,132

Обратная связь 37, 321, 322, 329, см. также Управление

Обратное значение 339

Оптимальное страхование, см. Теорема Эрроу

Оптимизация 17

динамическая 37 многокритериальная 18, 35 по частным критериям 18,35 Опцион 241

американский 242 барьерный 241 европейский 242 колл 242

на активы с дивидендами, индексы, валюты, фьючерсы 280 пут 242

синтетический 274

Опционные стратегии 278, 279, 283, 284 Отношение

к деньгам 128 к риску 98 к случайности 128 предпочтения 15 сравнительной вероятности 168 Шарпа 55, 56 Парадокс

Аллэ 122, 182, 185 межвременного выбора 135—137 одинакового отношения 125 переворота предпочтений 131 петербургский 91

спроса на страхование (Моссэна) 129, 130 теории риска (де Финетти) 211 Эллсберга 174

Паритет цен опционов 247, 281

Пенсионная программа 325 Перераспределение риска 189 Перестрахование 108, 109, 191 Платежеспособность страховщика 319 Плотное по упорядочению подмножество 17 Плотность распределения 338 Подстроечный коэффициент 287, 290, 313 Поиск риска, см. Любовь к риску Полезность

взвешенная 140, 141 дисконтированная 25 линейная 96 локальная 150 ожидаемая 92, 95

субъективно взвешенная 166, 170, 171 ранговая 145, 178, 179 с зависимостью от состояний 173, 174

Полнота

упорядочения 15 рынка 257 Портфель

безрисковый 244, 248 оптимальный 55, 111, 113 рыночный 54, 55 самофинансируемый 271 хеджирующий 270,271 эффективный 53

Предпочтение, см. Отношение предпочтения Премия за риск 23, 268

Принцип

инвариантности Донскера — Прохорова 217 оптимальности Веллмана 36, 114 уменьшения маргинальной полезности 18 Приращение процесса 208 Производные инструменты, см. Деривативы Производящая функция моментов 341 страхового убытка 294, 295, 304 Проспект, см. Теория проспектов Процент 369

простой 369

сложный 22, 223, 282, 369 Процентная ставка 369, см. также Доходность Процесс

броуновского движения 215,218 геометрического 226 винеровский 215 Ито 220

пуассоновский 349 риска 286

случайного блуждания 209 геометрического 253 случайный 208, 349 убытков 285 ARMA 231

Прямая фондового рынка 55 Пучок траекторий, см. Траектория Разорение, см. Вероятность разорения Ранг 145, 179

Распределение вероятностей биномиальное 315, 345 Вейбулла 83

гамма 57, 303, 309, 310, 343 Гумбеля 83 логнормальное 342 нормальное 341

отрицательное биномиальное 298, 315, 345

Парето обобщенное 83

пуассоновское 344

равновесное 233

равномерное 311,344

решеточное 99, 150

симметричное 339

сложное

отрицательное биномиальное 303,304 пуассоновское 294 смешанно-пуассоновское 303 смешанное пуассоновское 297 Фреше 83

экспоненциальное 290, 344 экстремальных значений 83 эллиптическое 112 Рациональность выбора 14,122 Реакция 324 Редукция 134,166 Риск 8

Риск-менеджмент 64, 89, 269, 276 Риск-нейтральность 254—260 Рисковая надбавка 129, 191, 195, 199, 202, 288 Рыночная цена риска 55

Свертка 347

Сила роста 369, см. также Доходность Ситуационный анализ 324 Смайл 265

Случайная величина 41, 338 смешивающая 297 Случайная ломаная 209

Случайное блуждание, см. Процесс случайного блуждания

Собственное удержание 109

Состояние природы 39—47, 162, 168

Спекулянт 242

Спот-цена 246

Спрэд

быка 278

кредитный 24, 268 медвежий 283

Статистический эксперимент 38 Степенная нормальная аппроксимация 68, 305 Стоп-лосс 108, 109

Стохастический дифференциал 219, 367, 368 Стохастическое дифференциальное исчисление 218 Стохастическое дифференциальное уравнение 219, 225 Стохастическое доминирование первого порядка 30 второго порядка 32 Стратегия 37, 212, 322 Страхование 105, 134, 189,285 автомобилей 198 вероятностное 130,138 взаимное 189

в модели ожидаемой полезности 105— 110, 117

долгосрочное 191

жизни 191

краткосрочное 191

медицинское 307

оптимальное 109

портфелей 274

пропорциональное 109, 129, 130, 199 рисковое (non-life) 191, 292—294 Страхователь 105, 190, 307 Страховая надбавка, см. Рисковая надбавка Страховая премия 105,190 брутто 105, 191 нетто 191

Страховая сумма 199 Страховое возмещение 190 Страховой случай 190 Страховой резерв 191 Страховой тариф 199 Страховой убыток 191

единичный (отдельный) 286, 303 суммарный 193, 286, 292 Страховой фонд 191 Страховщик 107, 190 Субаддитивность 73,107 Сумма под риском 62, 194, см. также VaR

Сходимость случайных величин и распределений 86, 95, 218, 347 Сценарий 18, 39—47, 168, 330, см. также Метод сценариев Тарифная ставка, см. также Страховой тариф

Теорема

об аппроксимации хвоста 84 об исчислимости предпочтений 17 о взвешенной полезности 142

о виде критериев со свойством “промежуточности” 143 о дисконтированной полезности 26, 27 о дисконтированной стоимости 25 о когерентных мерах риска 79 о ранговой полезности 149 об ожидаемой полезности 95 о свойствах функции полезности денег 101 оценки активов фундаментальная 257 Сэвиджа о субъективных вероятностях 169 Сэвиджа об ожидаемой полезности 171, 172 Фишера и Типпета 82 Эрроу об оптимальном страховании 109 Теория, см. также Модель Бернулли 91 Блэка — Шоулза 260 деривативов 240 ожидаемой полезности 91 портфелей 50, 57 проспектов 158, 176

кумулятивная 176, 179 параметрическая 179 риска в страховании 189, 285 риска классическая, см. Модель Лундберга субъективных вероятностей 161—172 экстремальных значений 81 Траектория 208, 215, 216, 226, 323, 353

Транзитивность 15

Тяжелый хвост 57, 61, 70, 81, 83—85, 226, 265, 307, 309, 310 Упорядочение 15 Управление 37,322

портфелем 359, см. также Выбор портфеля рисками, см. Риск-менеджмент Уравнение Веллмана 114,213 Уровень значимости 62 Форвард 240, 243, 245 Форвардная цена 245 Формула

Блэка — Шоулза 261, 262, 281 Ито 220,221,367,368 полной вероятности 346 полного математического ожидания 346 Функция

весовая 145 плотности 338

полезности 16,18,42,93, см. также Критерий аддитивно-сепарабельная 20 денег 92, 93, 121 квадратичная 106, 121 Кобба — Дугласа 19

логарифмическая (Бернулли) 92, 96, 114, 128

локальная 151

степенная 117, 121

Стоуна — Джири 19

экспоненциальная 111,121

HARA 121

распределения 338, см. также Распределение эмпирическая 351 ценности 178 Фьючерс 245—247, 275 Фьючерсная цена 246 Хеджирование 242, 270 Цедент 108

Целевая функция 322, см. также Критерий Цена исполнения 242

Центральная предельная теорема 86, 193, 214, 218, 222, 223, 348 Шок 324, 357 Шум 224, 232-238 белый 234

Экспериментально выявленные предпочтения 46, 103—105, 122, 124—136, 175,183

Экстремальные события 80, см. также Теория экстремальных значений Эффект

одинаковой разности 136 одинакового исхода 124, 176,186 одинакового отношения 125 определенности 124, 126 отражения 103 представления 105, 132

Эффективный фронт, см. Граница эффективности

АР? 355

САРМ 51

CFRM 331, 354

DEaR 64

DerivaGem 262

Equity premium puzzle 129, 183

Е?Т 81

RiskMetrics 64, 276 NPV 23 PV 22

Sure thing principle 172 TCE 71

VaR 62-65, 85, 89-90, 194, 276 абсолютная 89 историческая 68 модельная 68 относительная 89 параметрическая 66—68

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

1.5. ?(АФВ)^?(АФЕ_?т) = ?(Е_?юФЕ_?т) = ?(Е_?ІЛт,₎) = ?(А)+?(В) (первые два равенства по (Н) и (С), третье очевидно, четвертое по (С)). 1.7. (а) F₂>_lF_l‘, (б) F₄^,F₃; (в) F₅ (г) F₆ ^„F₇. 1.8. Да.

al{m_x-r_f)

2.3. Ь*=-

— 2.4. (а) 50,34%; (б) 58,68%.

<7[(^т2-^Г/) ⁺ <^Т2(^т1~^Г/)

2.8. Ф, >-„Ф₂, ^если Щ - ^т2> ^а\-^а2 ^и °Д^{Н0 из этих} неравенств строгое.

<7,т. - а,т

_ is 2 1

2.10.

Уг ^=х +

У\ = * +

где р

лІРй-р) ’

лІРй-р) ’

найдено в примере. 2.13. Минимизировать потери в наихудшем случае — то же самое, что максимизировать прибыль в наихудшем случае. Последнее, в терминах примера 2.2, означает максимизацию U при фиксированном S, что в свою очередь эквивалентно максимизации V. 2.14. 64,68%. 2.16. Ь* — решение квадратного уравнения АЬ² + ВЬ + С = О, mcA = (m,-m₁)²(af+a²2)-[a_r(af+c^)]², 5=-2^[o?(of+д$)-(щ-mj²], С = (m, -т₂)²cr² -а²(Т₂.2.17. 12,6%. 2.18. а, б, г, ж.

3.3. Например, X принимает значения 100, —100, 0 с вероятностями 1/200, 1/200, 99/100 соответственно; Y принимает значения 4, —4, 0 с вероятностями 1/4, 1/4, 1/2 соответственно; м(-100) = -400, м(100) = 200, м(0) = 0, м(-4) = -15, м(4) = 9. 3.4. Потому, что нормальная величина с большей дисперсией “хуже” в смысле стохастического доминирования II по-рядка. 3.9. 20/л/з. 3.10. 8,16 долл. 3.11. Стоп-лосс с d = (100->/і0Р). 3.13. (а) l/w;(b) (l-or)/w;(c) а; (d) 2a/(l-2aw); (е) a{\~Y)l{aw + b).

4.1. 0,2. 4.2. (D). 4.4. 693 долл.

6.6. Таблица выигрышей (в млн. долл.). Состояние природы ⁵г Вероятность 0,01 0,89 0,1 Альтернатива А 1 1 1 Альтернатива В 0 1 5 Альтернатива С 1 0 1 Альтернатива D 0 0 5 6.8. Нет, не является. 7.2.0,682 7.3. 0,45118. 7.4. 0,186. 7.5. U(c) =л[с(Р(1 + 8)-т_х +0^)-/><?]. 7.6. U — решение уравнения aU² +bU + с = 0, где а = (1 + т_г)²-сс^о^, b = -2(1 + т_г )пт, с - п²т² - а_уп<У².

8.2. Решение. Рассмотрим случайные блуждания ?₍^(я) с приращениями А|^(л> - ^ а(Аі)' _где kt)l{CF²(t)At) = ₀(і). Тогда |^(я) удов-

' 4\+_гт

летворяет (8-9). Положим де^(я)= _и = . . Име-

у/l + rW ^Ь‘ 4і + у( At)

ем sup,_sr ||₍^<я) - ?^(я) < sup,_sr ||₍^(я) - + sup,_sr ||'_|^<я) - ?^(я) I < о(1) +

⁺Х,_?г|^АіГ⁾-^А^^(Я)| ⁼ °(¹) ⁺ (^{1 +} ?'(^А0)"^1/2«И(А0|->0, где At = T/n,

или n = T/At. 8.3. Если [г, < s, < r₂ < s₂ ], то cov^ - ^^ j = = <7² [r₂ - 5, ]. 8.4. (a) 0,324; (6) 0,295; ожидаемое значение 64,997.

9.6. 2,17. 9.7. 2,09; 2,73; 2,47. 9.9. Да (используйте биномиальную модель). 9.10. 4,35; 4,52.

где

іодо. е

A = A'tj.

Шоломицкий, А. Г.

Ш78

Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска [Текст] : учеб, пособие для вузов / А. Г. Шоломицкий; Гос. ун-т — Высшая школа экономики. — М: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2005. — 400 с. — (Учебники Высшей школы экономики). — Библиогр.: с. 372— 380. — Предм. указ.: с. 381— 397. — 2000 экз. — ISBN 5-7598-0280-1 (в пер.).

Данное пособие представляет собой обзор современных идей, теорий и методов оценивания и моделирования риска и принятия решений при неопределенности. При изложении используются по возможности простые математические средства. Книга может служить введением в такие области, как экономическое поведение при неопределенности, моделирование рисков в страховых и пенсионных схемах и в фиивнсах.

Для студентов старших курсов (в том числе студентов магистратуры) и аспирантов экономических, экономико-математических и финансовых специальностей.

УДК 330.4(075) ББК 65.050

Учебное издание

Серия “Учебники Высшей школы экономики”

Шоломицкий Алексей Геннадьевич

Теория риска.

Выбор при неопределенности и моделирование риска

Редактор О. В. Осипова Художественный редактор А.М. Павлов Компьютерная верстка и графика Л. А. Моисеенко

ЛР № 020832 от 15 октября 1993 г.

Подписано в печать 02.06.2005 г. Формат 70x100 '/іб.

Печать офсетная. Гарнитура T-Times ЕТ. Бумага офсетная.

Уч.-изд. л. 21,2. Уел. печ. л. 32,25. Тираж 2000 экз. Заказ № 3164. Изд. № 355

ГУ ВШЭ. 125319, Москва Кочновский проезд, д. 3 Тел./Факс: (095) 772-95-71

Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Книжная фабрика № I»,

144003, г. Электросталь, Московская область, ул Тевоояна, л 25



IВиленский, Липшиц, Смоляк, 2002, таблица 11.11. Таблицы для подобных оценок, конечно, строятся чисто эмпирически.



Строго говоря, следует определить три функции, одну на А, другую на случайных величинах, третью на распределениях. Условимся обозначать все три одной буквой V.



Читатель, заинтересонанный и более подробном изложении, может обратиться, например, к книгам Шарпа [Sharpe, 1994|, Шиедопа [Шиедоп, 19991, Пэнджера |Panjeг, 1998), Крушиица |Крушииц, 2000|.



Нормальное распределение — только приближение для распределения доходностей г*. Оно не может быть вполне точным, например, потому, что нормально распределенная доходность с положительной вероятностью меньше —1. Однако для доходностей за небольшие промежутки времени при реалистичных параметрах эта вероятность обычно мала. Она может быть не мала только в случае, когда среднеквадратическое отклонение доходности значительно по сравнению с ее средним. В практических задачах в этом случае обычно лучше подходят к данным другие распределения, например логнормальное со сдвигом.



См. I Introduction, 19951; по поводу концепций см., например: |Phelan, 19951. Различные материалы и ссылки можно найти на сайтах: www.riskmetrics.com;.



Чаще, однако, волатильностью называют среднее квадратическое отклонение годовой доходности с непрерывным начислением, см. главы 8 и 9.



' Строго говоря, для нормальности г нужно предположить, что совместное распределение слагаемых r_tі и г₂ нормальное. См. сноску на с. 52.



Здесь наилучшим образом подошло бы английское слово “unit”, которое может обозначать как организационную единицу, так и единицу ресурса.



Более простое наложение теории когерентных мер риска можно найти п статье Мейерса |Meyers, 2000].



То есть: F_x >- _tF_r => R(X) > R(Y).



Для математически подготовленного читателя скажем, что этот результат спра-недлиа не только для конечного, но и для произвольного S. В этом случае л следует понимать как пероятностные меры на S.



См. сайт: .



Теорема Фалеса.



Однако он соглашался сыграть в 100 таких игр. Такое поведение можно объяснить ожидаемой полезностью, только если игры оцениваются не по одной, а все вместе или, по крайней мере, по несколько сразу. О такой стратегии говорят как о “близорукой” (myopic) [Bernartzi, Thaler, 1995]. См. также упражнение 3.1.



По поводу обзора см., например: [Machine, 1987|.



Этот пример говорит еще о том, что в условиях рынка предпочтения должны быть транзитивны, так как существуют цены. По этим соображениям некоторые экономисты считают, что “перевороты предпочтений” в экспериментах могут рассматриваться как следствие “неопытности и недостаточной мотивации” [Starmer, 20001.



Формула крайней пессимистической позиции — знаменитый закон Мерфи: “Если что-то плохое может произойти, оно происходит”.



Пример этого упражнения был предложен студентом ГУ ВШЭ С. Бедеропым.



Мы избавимся от этого ограничивающего предположения в главе 10.



Или ответственности перед третьими лицами. В случае аварии страхование покрывает ущерб, нанесенный страхователем третьим лицам.



Бруно де Финетти (de Finetti) — итальянский математик XX в.



Аналитически проверить эти условия нелегко. Однако установлено, что это так для достаточно широкого класса плотностей f(x).



К. Ито (По) — японский математик XX в.



Бескупонная (дисконтная) облигация — ценная бумага, обещающая иыплату определенной суммы (номинала) и момент погашения, без выплаты каких-либо других сумм. Весь доход от владения такими бумагами получается за счет того, что они покупаются по цене ниже цены погашения (номинала).



Мы используем такую “стандартизацию” для удобства. На самом деле опционы и другие производные контракты заключаются обычно, например, на 100 акций или другое стандартное количество.



В частности, можно предполагать, что и обеспечение маржи можно нносить без-рископые облигации. Это допускается, однако, не на исех биржах.



Эта программа создана компанией A—J Financial Systems для сопроиожденин учебника Дж. Халла [Hull, 2002|, см.: .



Данные с сайта управляющей компании УРАЛСИБ, . Ны



нешнее название фонда — Фонд перспективных вложений.



ГКО представляют собой бескупонные (дисконтные) краткосрочные облигации. Дефолт 1998 г. поставил “беэрисковость” этих бумаг под сомнение.



Быком традиционно называется инвестор, рассчитывающий получить прибыль от повышения котировок; медведем — рассчитывающий на прибыль от их понижения.



Строго гоиоря, под моментом пояшіения убытка можно понимать различные моменты: физический момент страхового случая, момент предъявления претензии (claim) страховщику, момент выплаты страхового возмещения (урегулирования претензии). Здесь эти различия игнорируются.



Операция спертки определена в разделе 12.1. Свертка распределений независимых случайных величин дает распределение их суммы.



Гистограмма на рис. 10.56 кажется более соотпетствующей естественным биологическим законам. Закон “равномерной выписки” из больниц в течение 3-недельного срока связан, видимо, с существующей врачебной практикой, как и само наличие 3-недельного “рубежа”. Основная масса больных, кроме тяжелых случаев, “обрабатывается” больницей в пределах этого “планового” срока и выписывается. Читатель может попытаться придумать модель выписки, порождающую такое равномерное распределение.



Согласно I Dynamic Financial Analysis Committee, 1999|. Американское общестію актуариеи рископого страхопании (Casually Actuarial Society) создало портал, посиященный динамическому финансовому анализу, где читатель может найти много дополнительной информации ().



Эту программу с полным описанием модели можно найти на сайте ГУ ВШЭ: .

---