Максимов В. И. - Моделирование риска и рисковых ситуаций

Введение

Существующая литература характеризуется неоднозначностью в трактовке черт, свойств и элементов риска, в понимании его содержания, соотношения объективных и субъективных сторон. Разнообразие мнений о сущности риска объясняется, в частности, многоаспектностью этого явления. Риск — это сложное явление, имеющее множество несовпадающих, а иногда противоположных реальных оснований. При исследовании тех или иных задач важным фактором является процесс управления риском, один из элементов которого - количественный анализ рисковых ситуаций. Этот анализ предполагает численное определение как отдельных рисков, так и риска в целом. Вопросы измерения рисков обсуждались во многих работах (см., например, [1-16]).

В настоящей работе дается краткий обзор наиболее часто используемых количественных характеристик риска. Приводятся классические критерии оценки и показатели уровня риска, базирующиеся на теории вероятностей и теории игр, индексы и шкалы риска. При этом основное внимание уделяется экономическому и финансовому рискам. В частности, в разделе, посвященном анализу риска операций на финансовом рынке, обсуждаются классические подходы к анализу риска, базирующиеся на теории Г.Марковица и Дж.Тобина, результаты У. Шарпа, С.Росса и других известных специалистов в области финансового анализа. Этот раздел базируется на работах [17-25].

1. Методы теории вероятностей и математической статистики для количественной оценки риска

Случайные величины и распределения. Теория вероятностей и основанная на ней математическая статистика дают, пожалуй, самвіе широко исполвзуемвіе мето-дві оценки и управления рисками. Базоввім здесв является понятие случайной величины. Простейший, но важнвій класс образуют дискретные случайные величины с конеч-нвім множеством значений. Каждая случайная величина из этого класса определяется своим распределением, которое может бвітв задано в виде таблицві:

Здесв Х_г (г = 1,2..., І?) — значение случайной величи-нві; Р_г — вероятности реализации (появления) значения Хі. Значениями случайной величинві могут бвітв количе-ственнвіе оценки последствий какого-либо действия, например величинві дохода, прибвіли и инвіх характеристик экономико-управленческой деятелвности.

Эквивалентнвій способ задания дискретной случайной величинві - это определение ее функции распределения, т.е. функции вида F(x) = Р(Х_г < ж), показвівающей вероятности того, что случайная величина принимает значение менвшее фиксированного значения х. Для дискретной случайной величинві функция распределения является кусочно-постоянной и ее график имеет вид, изображен-нвій на рис.1.

• математическое ожидание ( ожидаемое или среднее значение) М изучаемой случайной величинві (последствий какого-либо действия, например, дохода, при-бвіли и т.п.);

• дисперсия сг²;

• стандартное (среднеквадратичное) отклонение сг;

• коэффициент вариации V (стандартное относителв-ное отклонение).

Рис.1. Функция распределения дискретной случайной величины

Основными характеристиками случайной величины, исполвзуемвши при расчете риска, являются: отношением

Для дискретной случайной величинві с конечнвш множеством значений ее среднее значение определяется сота

M(X) = Y,XiPi-

і=1

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику ожидаемого резулвтата.

Важной характеристикой, определяющей меру изменчивости возможного резулвтата, является дисперсия — средневзвешенное из квадратов отклонений действителв-нвіх резулвтатов от среднего:

п

и² = ^(Х, - М(Х))²Р„

і=1

а также оченв близко с ним связанное стандартное или среднеквадратичное отклонение, определяемое равенствами

а - М(х)ур_г.

і=1

Инвіми словами, дисперсия — это усредненное отклонение случайной величинві от ее математического ожидания. Стандартное отклонение показвівает меру отклонения измеряемой величинві от своего среднего значения в тех же единицах, что и она сама (не в квадратах, как дисперсия).

Средний квадратичнвій разброс можно также рассчи-татв по формулам:

Л = ?/'А + ? РМ(Х)² - 2 М(Х) ? Р,х,-

% % %

*² = ?/’ ? - м{х)².

%

Стандартное относителвное отклонение — это стандартное отклонение, ввіраженное в долях математического ожидания,

М(ху

(1.1)

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение служат мерами абсолютного рассеяния, в то время как стандартное относителвное отклонение по самому своему определению еств мера рассеяния возможнвіх резулвтатов, учи-твшающая средний ожидаемвій резулвтат.

Кроме рассмотреннвіх ввіше дискретнвіх случайнвіх величин существуют случайнвіе величинві с инвши типами распределения вероятностей. Наиболее часто исполвзу-ются непрервівнвіе случайнвіе величинві. Они могут при-ниматв бесконечное множество значений, часто считается, что теоретически значение может бвітв любвш числом из заданного промежутка или всей числовой прямой. Как и для любой случайной величинві, функция распределения, задаваемая равенством F(x) = Р(Х_г < ж), полно-ствю определяет непрервівную случайную величину. Специфика непрервівнвіх случайнвіх величин состоит в том, что функция F(x) для них предполагается непрервівно дифференцируемой на всей числовой прямой (иногда на-кладвівают несколвко более слабвіе условия).

В силу сделаннвіх предположений и свойств, ввітека-ющих из определения функции распределения как вероятности некоторого собвітия, зависящего от аргумента ж, для величинві F(x) справедливо представление

х ^оо Здесь f(x) = F'(x) - так называемая плотность распределения или дифференциальная функция распределения.

Важным свойством графика дифференциальной функции распределения (рис.2) является то, что площадь, ограниченная кривой у = /(ж) и осью абсцисс, всегда равна единице.

Рис.2. Плотность нормально распределенной случайной величины Использование функции плотности распределения позволяет вычислить вероятность попадания случайной величины X в интервал (сц/?), которая определяется следующим образом:

Р{у < X < Р) = F((3) - F(y) = J f(t) dt,

У

где f(t) — дифференциальная функция распределения случайной величины X .

Изложенные выше положения довольно часто являются исходной базой количественной оценки риска на основе использования вероятностно-статистических методов. Характер, тип распределения отражает общие условия, вытекающие из сущности и природы явления, и особенности, оказывающие влияние на вариацию исследуемого показателя (ожидаемого результата).

Для моделирования распределений, возникающих при исследовании социально-экономических явлений, наиболее часто используется так называемое нормальное распределение. Известно, что закон нормального распределения характерен для распределения событий в случае, когда их исход представляет собой результат совместного воздействия большого количества независимых факторов и ни один из этих факторов не оказывает преобладающего влияния. В действительности нормальное распределение для экономических явлений в чистом виде встречается редко, однако если однородность совокупности соблюдена, фактические распределения можно считать близкими к нормальному. На практике для проверки обоснованности выбора того или иного типа распределения используются различные статистические критерии согласия (между эмпирическим и теоретическим распределением), которые позволяют принять или отвергнуть принятую гипотезу о законе распределения.

Нормально распределенная случайная величина является непрерывной и ее дифференциальная функция распределения имеет вид

У = }{х)

1 -(х-М(Х))²

—-== е & а ? 2я

График функции плотности нормального распределения описывается так называемой нормалвной кривой (кривой Гаусса). Эта кривая и изображена на рис. 2.

Пуств планируемое значение некоторой случайной ве-личинві равно М(Х) и известна плотности распределения вероятности. Зададим максималвно допустимое отклонение А фактического резулвтата Х_ехр от М(Х). Тогда границы, в которвіх должен находитвся этот резулвтат, будут равны X* = М(Х) - А, X** = М(Х) + А. В общем случае нет необходимости предполагатв, что планируемвій резулвтат совпадает с М(Х) , ожидаемая (планируемая) величина может отличатвся от средней. Границві возмож-нвіх изменений по отношению к ожидаемой (запланированной) величине также могут располагатвся асимметрично. Исходя из смвісла функции плотности распределения, вероятности Р\ того, что достигаемвій резулвтат Х_ехр будет находитвся в допустимвіх пределах , определится равенством



Вероятности Р* равна площади заштрихованного участка на рис. 3.

Рис.З, Определение вероятности события по плотности распределения Полученную таким образом вероятность Р* можно назвать вероятностью достижения ожидаемого (планируемого) результата. Возникает вопрос о том, какова вероятность попадания величины Х_ехр за пределы допустимых границ. Эту вероятность мы обозначаем символом Р*. Вычислив площадь незаштрихованного участка на рис. 3 , мы получаем ответ на этот вопрос. Заметим, что справедливо равенство

Р* = Р(Х„„ < X') + Р(Х„_? > X^м) =

= 1 - Р{Х* < Х^ < X^м),

т.е.

р* = 1 - р*.

Как правило, граница изменения ожидаемого результата в положительную сторону (направление) не устанавливается, поэтому при определении Р* в большинстве случаев речь идет только о величине Р* = Р(Х_ехр < X*).

2. Количественные оценки риска и методы их определения

Начнем с описанной в конце предыдущего раздела ситуации со случайной величиной X, имеющей заданную плотности распределения. Предполагатв, что планируемое значение Х_ехр совпадает с математическим ожиданием М(Х) уже не будем.

Предположим, что исследуемой величиной X является, например, производителвноств труда, а отдачей (выходом, полезноствю) — чистая прибвілв. Одной и той же величине производителвности труда могут соответ-ствоватв различнвіе величинві чистой прибвіли. Допустим, что нам удалосв установитв (каким-либо способом) аналитическую зависимости между производителвноствю труда и чистой прибвілвю. Назовем установленную зависимости U = U(x) функцией отдачи (функцией полезности).

Разобвем оси абсцисс на достаточно малвіе отрезки [хі-і, х_г] и обозначим значения функции отдачи в средних точках х\ этих отрезков (вправо от ожидаемвіх значений) через U{x'_j). Ввічислим величину отдачи в соответствии с вероятноствю попадания исследуемой величинві X в отрезок [хі-і,Хі]. По определению функции плотности вероятности это значение вероятности равно

Хі а ожидаемая величина отдачи при значениях производителвности труда в пределах данного отрезка может бвітв

аппроксимирована выражением

щ Суммируем полученнвіе произведения в области х >



Сумма отдачи в области х > Х_ехр характеризует возможный выигрыш U_в.

Заметим, что описанная процедура расчета величи-нві U_B соответствует приближенному ввічислению исполв-зуемого в теории вероятностей интеграла Стилтвеса по функции распределения случайной величинві, точное значение которого получится при стремлении длин отрезков [Xi-_UXi] к нулю.

Аналогичнвіе расчетві в области X < Х_ехр характеризуют возможные потери U_n:



о, = ? д**') / х*'

Иллюстрация описанной процедурві приведена на рис.4.

Исполвзуя проведеннвіе построения, коэффициент риска определим следующим образом:

г = и_п/и_в

Очевидно, что риск уменьшается, если растет вероятность наступления события X > Х_ехр (за счет уменьшения интервала х < Х_ехр, так как площадь, ограниченная всей кривой плотности, остается неизменной). Аналогично риск уменьшается , если в области х > Х_ехр растет отдача или в области х < Х_ехр уменьшаются потери, что определяется характером функции отдачи в указанных областях.

Рис.4. Приближенный расчет величины отдачи Величина рассматриваемого коэффициента риска г может изменяться от 0 до +оо. Случай, когда U_u = 0, г = О означает отсутствие риска. Такое положение наступает, например, во всех случаях, когда решение принимается с такой степенью надежности, что величину показателя Х_ехр принимают лежащей на нижней границе действительной области изучаемой величины. При движении Х_ехр к нижней границе имеем

или г —> 0.

Если же Х_ехр стремится к верхней границе действительной области значений изучаемой величины, то справедливы соотношения

и_в —> 0

или г —> +оо.

Замечание. В случае, если действительная плотность распределения аппроксимируется функцией плотности нормального распределения, т.е. распределение считается нормальным, указанные границы часто полагают равными а±Зет. Вероятность принять значения вне промежутка (а — 3сг, а + Зет) менее 0,01.

Полученный таким образом коэффициент риска (будем называть его теоретическим) отражает экономическую сторону риска. Следует отметить, что его использование затруднено рядом обстоятельств, которые мы укажем ниже.

Вводя выше коэффициент риска, мы использовали теоретико-вероятностные понятия. Однако этот коэффициент можно ввести и абстрагируясь от теории вероятностей.

А именно: пусть исследуется некоторая величина X, подверженная риску. Символом Х_ехр обозначим ее планируемое значение. Пусть имеется числовой показатель качества величины X, обозначаемый U (выше это была функция отдачи). Назовем коэффициентом, риска (в общем случае) величину

U~ г = —.

U+

Здесь U~ — числовая характеристика (мера) значений X, меньших Х_ехр (в случае отклонения X от Х_ехр); U⁺ — числовая характеристика значений X, больших Х_ехр. Таким образом, U~ и U⁺ определяются следующим образом:

и~ = и{Х\Х < Х_ехр},

и⁺ = и{Х\Х,._? > X..J.

Коэффициент риска г в общем случае показывает соотношение ожидаемых величин отрицательных и положительных отклонений значений X от ожидаемого уровня Х_ехр. Он содержит:

• планируемое значение Х_ехр исследуемой величины X;

• значения показателей качества, относящихся к возможным ситуациям, показывающие соответствующие размеры прибыли или потерь.

В простейшем случае, когда величина X сама характеризует результат (прибыль, доход и аналогичные величины) и множество возможных вариантов ее значений состоит из N элементов Х_Ъ) коэффициент риска ожидаемого результата Х_ехр может быть рассчитан по формуле



ЕМ( таких, что Х_г < Х_ехр) \ / п / /



(таких, что > Х_ехр) _

N — п

где количество элементов Х_г < Х_ехр равно п.

Одним из недостатков рассмотренного коэффициента риска являются границы его изменения (от 0 до +оо),

что затрудняет принятие решений в конкретной ситуации. Устранение этого недостатка осуществляется путем нормирования коэффициента риска, в резулвтате чего его величина изменяется в конечнвіх пределах (например, от О до 1).

Нормированнвій коэффициент риска будем назвіватв индексом риска. Вариантом такого нормирования является следующее преобразование:

г + У

где ? > 0.

Возникает вопрос — какое значение следует придатв еі Прежде, чем ответитв на него, отметим важную роли этого параметра. Ввібором различнвіх значений е для раз-нвіх отраслей можно добитвся сближения уровней риска, которвіе неодинаковві в силу объективнвіх условий, например различнвіх отраслей экономики.

А именно: если положитв величину е равной среднему риску для данной отрасли, то при г = е) индекс риска составит 0, 5, т.е. для всех отраслей индексві риска в среднем будут одинаковві и равнві 0, 5.

Иной способ позволяет ограничитв изменение индекса риска в пределах от нуля до единицві, не уравнивая полноствю индексві отраслей. В том варианте величину е ввібирают как положителвнвій коренв уравнения

?.

(2.1)

где через г обозначен средний коэффициент риска.

Уравнение

??

имеет единственнвіи положителвнвій

корень

г + Vr² + 4r

Какие же свойства имеет индекс риска г* с параметром е, определенным таким образом? Во первых, г* = е и О < г* < 1 при г > 0, во-вторых, если г\ > Г2, то > rj. Таким образом, переход средних рисков к соответствующим индексам риска позволяет работать с величинами из промежутка [0,1], при этом большим значениям средних рисков соответствуют большие значения индекса, а меньшим - меньшие. Эти свойства нетрудно установить аналитически, проведя исследование явного выражения для г*. Геометрическая иллюстрация решения уравнений (??) приведена на рис.5.

Вторая группа свойств индекса г* выражается соотношениями:

г < г* < 0,5

при г < 0, 5;

0,5 < г* < г

при г > 0, 5 и

г = г* = 0,5

при г = 0, 5.

Приведенные неравенства означают, что индексы риска для отраслей с различными степенями риска группируются около значения 0, 5.

Рассмотрим следующий пример. Пусть имеются две отрасли и в каждой — по два коэффициента риска:

Рис,5, Свойства индекса риска

1) г\ = 0,1; г\ =0,2;

2) г\ = 0,8; 7*2 = 0,9.

В первой отрасли г = 0,15 и с = 0,31, во второй соответственно г = 0, 85 и с = 0, 59. Значения с и будут индексами риска в соответствующих отраслях. На рис. 5 изображена эта ситуация. Корни уравнения (??) - орди-натві точек пересечения прямой у = ? и криввіх

г

У =

Г + ?

с соответствующими значениями параметра г. Названнвіе криввіе проходят через точки (0; 1) и (г; 0, 5).

В приведеннвіх построениях коэффициентві риска г зависят от планируемого значения исследуемого показателя, т.е. г = г(Х_ехр). Таким образом, коэффициент риска г можно рассматриватв как некоторую функцию г = г(х). Если аргумент х — случайная величина, то можно гово-ритв о функции распределения коэффициента риска, а

следовательно, и о функции распределения индекса риска.

Приведенный выше пример (можно привести и другие ) свидетельствует о том, что надлежащим преобразованием можно обеспечить сближение индексов риска для различных отраслей. В случае случайных аргументов еще более желательным результатом было бы сближение распределений индексов риска. Обозначим через в_г “вес” отрасли г, через F_%(x) — распределение индекса риска для отрасли г. Тогда естественно находить ?і, ?2? • • • ? ^из условия минимизации величины

п

У ]^si^sj\Fi(%) — Fj(x)\

i

іф]

или, если обозначить символом G_t(x) распределение коэффициентов риска, величины

п





SiSj

hj іфі

Еще одним существенным недостатком коэффициента риска является то, что с его помощью невозможно учесть субъективные факторы. Известно, что одна и та же объективная ситуация может означать неодинаковую степень риска для предпринимателей, деятельность которых протекает на различном “фоне”. Так, например, возможные потери в сумме 10 тыс. долларов для одного предпринимателя могут стать катастрофическими, так как приведут к его полному разорению, а для другого такие потери могут оказаться практически неощутимыми. Эти субъ-ективные обстоятельства никак не учитываются посредством рассмотренного выше коэффициента риска.

И, наконец, одним из серьезных недостатков коэффициента риска является необходимость иметь при его определении функцию полезности — тщательно рассчитанные зависимости между изучаемым показателем и относительной отдачей. Установление таких зависимостей для разнообразных сложных экономических показателей в большинстве случаев — задача достаточно сложная и трудноразрешимая. Ее решение требует знания обширной (иногда труднодоступной, либо отсутствующей вообще) информации, значительного времени и затрат, поэтому рассмотренный коэффициент риска используется при планировании и оценке крупных проектов и программ.

Указанные выше недостатки приводят к тому, что на практике используются различные критерии оценки и показатели уровня риска в зависимости от сложности решаемых задач и сферы предпринимательской деятельности. При этом наряду с количественным определением уровня риска его оценка дополняется с помощью различных шкал, являющихся в некоторой степени рекомендациями по “приемлемости” риска и учитывающих субъективные факторы. Рассмотрим некоторые такие подходы к оценке риска.

В ряде случаев, в частности в страховом бизнесе, в качестве количественной оценки риска используется вероятность наступления рискового события. Одним из наиболее распространенных подходов к количественной оценке риска является использование выражения

R = U_UP,

где U_Т1 — величина потерь; Р — вероятность наступления рискового события. Таким образом, степень риска определяется как произведение ожидаемого ущерба на вероятность того, что такой ущерб произойдет.

Отношение субъекта к соотношению возможных потерь и выигрыша в значительной степени зависит от его имущественного состояния, поэтому на практике часто используют коэффициент риска г, определяемый как отношение возможных максимальных потерь U_{u max} к объему собственных финансовых ресурсов U_c предпринимателя (фирмы)

г = и_{п max}/U_c.

Величина этого коэффициента определяет риск банкротства. В большинстве случаев указанные количественные оценки риска и методы их определения используются для оценки отдельных видов риска. Вместе с тем они могут быть использованы и для оценки риска проекта в целом. Это относится к случаям, когда имеются количественные данные по каждому риску или когда для оценки риска проекта используются экспертные методы, в процессе которых оценивается вероятность успешной реализации проекта и (или) величина возможных потерь вследствие наступления различного рода нежелательных исходов.

Так, если проект подвержен различным видам риска и имеются данные о величине потерь по каждому виду,

то обобщенный коэффициент риска банкротства определится соотношением

г N 2 = 1 Г г,

где N — число учитываемых видов риска; щ max — макси-малвно возможнвіе потери по і-му виду риска; г_г — коэффициент, определяющий риск банкротства по г-му виду риска.

При наличии даннвіх о потерях и вероятности их возникновения по каждому виду риска обобщенный коэффициент риска проекта определяется как сумма средне-взвешеннвіх показателей риска каждого вида, т.е. из выражения

Е^д'

п max

2=1

Как отменалосв ранее, при отсутствии необходимвіх статистических даннвіх количественная оценка как от-делвнвіх рисков, так и риска проекта в целом осуществляется методом экспертнвіх оценок. При этом каждвій вид риска характеризуется несколвкими показателями (факторами). Оценка этих показателей определяется экспертами в баллах, кроме того, каждому из показателей назначается вес, соответствующий его значимости.

Количественная оценка риска каждого вида и риска проекта в целом определяется из следующих ввіражений:

N

2=1

R — Rjfjj • Rj — т RijOij U — 1? -W):

где R_tj — балльная оценка г-го фактора в j-м виде риска; g_%j — вес г-го фактора в j-м виде риска; rij — число учитываемых факторов в j-м виде риска; т — размах балльной шкалы, в пределах которой осуществляется оценка факторов; gj — вес j-ro вида риска; Rj — количественная оценка j-ro вида риска; R — обобщенный показатель риска (риск проекта).

При балльной оценке отдельных рисков и риска проекта в целом используются следующие правила:

• балльная оценка каждого фактора осуществляется в пределах балльной шкалы 0 < R_tj < т (как правило, от 0 до 10 баллов) в зависимости от степени влияния данного фактора на степень j-ro вида риска с ранжированием от 0 (не оказывает влияния) до т (очень высокое влияние);

• вес каждого фактора в пределах соответствующего вида риска и вес каждого вида риска устанавливается в пределах (0,1) при выполнении условий:

При выполнении указанных условий количественная оценка каждого вида риска и обобщенный показатель риска (риск проекта) принимают значение из интервалов 0 < R%j < 1 и 0 < Rj < 1. Таковы некоторые наиболее распространенные подходы к определению количественных оценок экономического риска.

3. Шкалы риска

Как отмечалось ранее, в настоящее время отсутствуют научно обоснованные рекомендации по определению “приемлемости в процессе принятия управленческих решений” того или иного уровня риска в конкретной ситуации. Кроме того, в ряде рассматриваемых нами и широко используемых на практике оценках уровня риска отсутствуют потери. Вместе с тем при выработке стратегии поведения и в процессе принятия конкретного решения предпринимателю целесообразно различать и выделять определенные зоны риска в зависимости от уровня возможных потерь. Попыткой восполнить указанные недостатки и дополнить полученные оценки уровня риска нужной в процессе принятия управленческих решений информацией является разработка и использование различного рода так называемых шкал риска, позволяющих классифицировать поведение лиц, принимающих на себя хозяйственный риск.

Как и по большинству других вопросов, в литературе нет единого подхода к построению и критериям оценки шкалы риска. Многообразие показателей, посредством которых осуществляется количественная оценка риска, порождает и многообразие шкал риска, являющихся своего рода рекомендациями приемлемости того или иного уровня риска. Так, на основании обобщения результатов исследований многих авторов по проблеме количественной оценки экономического риска в [3] приведена эмпирическая шкала риска, которую рекомендуют применять предпринимателям при использовании ими в качестве количественной оценки риска вероятности наступления рискового собвітия (табл. 1).

Таблица 1: Эмпирическая шкала уровня риска Вероятность нежелательного исхода (величина риска),доли 1 Градации риска 0, 0-0,1 минимальный 0,1-0,3 малый 0,3-0,4 средний 0,4-0, 6 высокий 0, 6-0, 8 максимальный 0, 8-1,0 критический По мнению авторов, перввіе три градации вероятности нежелателвного исхода соответствуют “нормалвно-му”, “разумному” риску, при котором рекомендуется при-ниматв обвічнвіе предпринимателвские решения. Принятие решений с более ввісоким уровнем риска зависит от склонности к риску лиц, принимающих решение. Однако принятие таких решений возможно толвко в случае, если наступление нежелателвного исхода не приведет предпринимателя (фирму) к банкротству.

В [2] приведена шкала, которая дает оценку степени риска при исполвзовании в качестве критерия риска среднего ожидаемого значения М(Х) и среднеквадратического отклонения а² как мерві изменчивости возможного ре-зулвтата.

Для оценки приемлемости отклонения используется коэффициент вариации (V = а/М(Х) - см. и.2). При этом приводятся следующие зоны риска для данного критерия:

до 0,1— слабая;

от 0,1 до 0, 25 — умеренная;

свыше 0, 25 — высокая.

При оценке приемлемости коэффициента, определяющего риск банкротства, существует несколько не противоречащих друг другу точек зрения. Одни авторы считают, что оптимальным является коэффициент риска, составляющий 0, 3, а коэффициент риска, ведущий к банкротству — 0, 7 и выше. В других источниках приводится шкала риска со следующими градациями указанного выше коэффициента: приемлемый риск — до 0, 25; допустимый риск — от 0, 25 до 0, 50; критический риск — от 0, 50 до 0, 75; катастрофический риск — свыше 0, 75.

По мнению практически всех авторов, в границах коэффициента от 0,3 до 0,7 находится зона повышенного риска. Принятие решений о реализации рискового мероприятия в границах этой зоны определяется величиной возможного выигрыша, в случае, если нежелательный исход (рисковое событие) не произойдет, и склонностью к риску лиц, принимающих решение.

Безотносительно к коэффициентам риска существуют описательные характеристики шкал риска по величине ожидаемых потерь, которые можно рекомендовать для оценки приемлемости содержащего риск решения.

Достаточно близкие, на наш взгляд, по формулировке и наиболее приемлемвіе для оценки и практического применения градации риска приведенві в книге [5], а также в

[4].

В работе [5] градации риска в зависимости от уровня возможнвіх потери осуществляются путем ввіделения следующих весвма условнвіх зон риска:

1) приемлемого;

2) допустимого;

3) критического;

4) катастрофического.

Другие авторві [4] ввіделяют области риска:

1) минималвного;

2) поввішенного;

3) критического;

4) недопустимой

При этом характеристики указаннвіх градаций (зон, областей) практически совпадают.

Зона приемлемого (минималвного) риска характеризуется уровнем потери, не преввішающим размерві чистой прибвіли.

Зона допустимого (поввішенного) риска характеризуется уровнем потери, не преввішающим размерві расчетной прибвіли.

Мві лиши бегло остановилисв на принципах формирования различнвіх шкал рисков. Более подробно этот вопрос обсуждается в цитированной литературе.

4. Риск в теории матричных игр

В теории игр часто предполагается, что игроки выбирают свои стратегии независимо друг от друга. Целвю игрві является, как правило, ввібор стратегии, соответствующей точке равновесия, т.е. такой ситуации, отклонение от которой каждого игрока по отделвности разве лишв ухудшает его резулвтат.

Между тем стратегия равновесия (равновесная стратегия) — это стратегия надежности, она отражает стремление получитв гарантированнвій резулвтат независимо от действий партнеров. Естественнвім следствием этого является тот факт, что она обеспечивает, вообще говоря, оченв скромнвій ввіигрвіш. Однако вполне разумнвім является также ввібор стратегии, отличающейся от равновесной и связанной с определеннвім риском. При выборе такой стратегии нужно учитвіватв все возможности, которвіе открвіваются в ходе игрві: предполагаемое поведение игроков, выгоды, которвіе могут бвітв полученві в резулвтате избранной стратегии, их стабилвноств и т.п.

Заметим, что в теории игр предполагается, что среди игроков имеется хотя бві один, которвій действует со-знателвно и целенаправленно, осталвнвіе же могут руко-водствоватвся случайнвім ввібором, примером служат так назвіваемвіе “игрві против природві”. В этом случае считается, что свою стратегию природа “ввібирает” независимо от других участников игрві.

Рассмотрим матричную игру (например, “игру против природві”). В матрице игрві (для наглядности изобразим ее в виде таблицві) строки означают возможнвіе варианты решений, принимаемых игроком (им могут быть плановик, руководитель и т.п.), а столбцы — возможные состояния природы (хозяйственной среды). Элемент матрицы a_zj означает сумму платежа в ситуации, когда игрок (будем называть его первый игрок) принимает решение і (выбирает стратегию і) при состоянии природы j (второй игрок выбирает стратегию j). Естественно полагать, что игрок стремится максимизировать сумму платежа, а природа (исходим из наихудших из возможных ситуаций)

— минимизировать. Постановка игровой задачи оптимизации решений, принимаемых в условиях риска, может быть представлена следующим образом:

• имеется п возможных стратегий si, S2,..., s_n первого игрока;

• возможные варианты действий контрагента (“состояния природы”) точно неизвестны, однако о них можно сделать т предположений #і, #2? • • • ? <7т (стратегии второго игрока);

• результат, так называемый выигрыш a_zj, соответствующий каждой паре стратегий первого и второго игроков, может быть представлен в виде элемента платежной матрицы (см. табл.2).

Выигрыши, указанные в таблице, являются показателями эффективности решений. Выбор решения в условиях риска предполагает, что вероятности возможных вариантов обстановки известны. Эти вероятности определяются на основе статистических данных, а при их отсутствии

— на основе экспертных оценок. Наличие выигрышей, яв-

Варианты стратегий 1-го игрока Варианты стратегий 2-го игрока <1і 42 Чгп Si Оц 012 От т $2 Ю1 0-22 0-2 т Ют ®п2 0>пт, ляющихся показателями эффективности решений, позволяет определитв потери в резулвтате принятия неопти-малвнвіх решений.

Укажем некоторвіе критерии, которвіе исполвзуются при принятии решений в теории игр.

Принцип недостаточного обоснования Лапласа

исполвзуется в случае, если можно предполагатв, что любое из возможнвіх состояний природві не более вероятно, чем другое, т.е. считается, что все состояния равно-вероятнві. Таким образом, стратегия s_t “предпочтителв-нее” стратегии Sj (пишем в далвнейшем з_г > Sj), если M(sj) > M(sj), где M(s) - ожидаемвій ввіигрвіш при ис-полвзовании стратегии s, или

^ ^ О'ік У 'У ^ &jk-

к=1

к=1

Применение этого критерия целесообразно в тех случаях, когда велики различия между отделвнвіми состояниями природві, т.е. велика дисперсия значений адд к =

1,..., п. Это очень удобный критерий, но его недостаток заключается в том, что теряется структура игры.

Макеиминный критерий Вальда предлагает выбор самой осторожной, пессимистической стратегии, что соответствует минимаксной стратегии в статистических играх. Критерий Вальда рекомендует выбирать такой вариант, при котором в худших условиях достигается наибольший эффект:

з_г > Sj, если mm ад > mm ад. ^J к к ^J

Таким образом, критерий Вальда используется в случаях, когда требуется гарантия, чтобы выигрыш в любых условиях оказывался не менее, чем наибольший из возможных в самых худших условиях. Наилучшим решением будет то, для которого выигрыш окажется максимальным из всех минимальных при различных вариантах условий. Критерий, используемый при таком подходе, получил название максимина. Его формализованное выражение

max mm ац.

г з

Данный критерий прост и четок, но консервативен в том смысле, что ориентирует принимающего решение на слишком осторожную линию поведения. В связи с этим критерием Вальда главным образом пользуются в случаях, когда необходимо обеспечить успех при любых возможных условиях.

Критерий обобщенного максимина (пессимизма — оптимизма) Гурвица используется в том случае, когда требуется выбрать “среднюю” линию поведения — между линией поведения в расчете на “худшее” и линией поведения в расчете на “лучшее”. Он предлагает компромиссное правило ввібора стратегии поведения. Для каждой стратегии з_г ввібирается величина

hi = A max ад + (1 — Л) min ад,

к к

О < Л < 1.

И, таким образом,

s_t > Sj, если hi > hj.

Очевидно, что зависимости величины /ц, і = 1,..., п от параметра Л оченв велика. Этот параметр можно назватв “параметром оптимизма”, так как увеличение Л означает поввішение уверенности в успехе. Применение этого критерия осложняется, когда нет обоснованного представления о величине параметра Л. Очевидно, этим параметрам в разнвіх ситуациях целесообразно придаватв различнвіе значения. Можно отметитв, что критерий Валвда является частнвім случаем критерия Гурвица при А = 0. Если А = 1, то мві имеем дело с крайне оптимистической точкой зрения, которую будем назвіватв стратегией мак-симакс.

Значения А между 0 и 1 являются промежуточнвіми между наиболвшим риском и осторожноствю и выбираются в зависимости от конкретной обстановки и склонности к риску лица, принимающего решение. Недостатком критерия Гурвица (кроме того, что А — трудно определяемый, субъективный параметр) является то, что он охватывает не всю структуру целиком, а толвко один или два ее элемента, осталвная же информация не исполвзуется.

Минимаксный критерий Сэвиджа используется в тех случаях, когда требуется в любых условиях избежать большого риска. В соответствии с этим критерием предпочтение следует отдать решению, для которого максимальные при различных стратегиях поведения потери окажутся минимальными. Критерий Сэвиджа пытается минимизировать “упущенную выгоду”. Достигается это с помощью перехода к другим данным, которые уже рассчитываются по критерию Вальда. Формула перехода —

bij = a_tj — max akj. к

В ней означает выгоду, которую мы упустили, не зная, какое из состояний наступит в соответствующий момент. Таким образом, критерий можно обобщить в виде

s_t > Sj, если тіп(ад — таха_гД > тіп(ад — таха_гД.

кг кг

Критерий Сэвиджа представляется весьма приемлемым при принятии решений на длительный период. Например, некоторые экономисты считают его наиболее приемлемым для решений по капиталовложениям на перспективу. Этот критерий также относится к разряду осторожных. Однако в отличие от критерия Вальда, который направлен на получение гарантированного выигрыша, критерий Сэвиджа минимизирует возможные потери.

Основным исходным допущением этого критерия является предположение о том, что на наступление вариантов обстановки оказывают влияние действия разумных противников (конкурентов), интересы которых прямо противоположны интересам лица, принимающего решение. И если у противников (конкурентов) имеется возможность извлечь какие-либо преимущества, то они это обязательно сделают. Это обстоятельство заставляет лицо, принимающее решение, обеспечить минимизацию потерь вследствие этих действий.

Критерий Байеса применяется в тех случаях, когда известно распределение вероятностей возможных состояний. Если это дискретное распределение вероятностей задано набором вероятностей [щ,... ... ,_р_п], то по кри

терию Байеса стратегия в_г предпочтительнее sj (s_z > Sj), если

^ ^ О'ікРк ^ У ^ CLjkPk-

к к

Таким образом, как в случае критерия Лапласа, выбор производится на основе максимизации ожидаемой величины, соответствующей заданному распределению,которое здесь уже не предполагается равномерным. Конечно, применение критерия Байеса ограничивается тем, что распределение вероятностей предполагается заранее известным.

Критерий Ходжеса — Лемана. При реализации этого критерия используются два субъективных показателя: во-первых, распределение вероятностей, используемое в критерии Байеса, во-вторых, “параметр оптимизма” из критерия Гурвица:

> Sj, если

А ^2 а_гкр_к + (1 - A) min а_гк >

> А ^2 ^ajkPk + (1 — A) min djk, 0 < А < 1.

Частными случаями этого критерия являются критерий Байеса (при А = 1) и критерий Вальда (при А = 0).

Недостатком этого критерия является то, что в нем ис-полвзуется много субъективнвіх факторов.

Критерий Кофмана опирается на понятия “неудача” и “успех”. Резулвтат менвший, чем щ, объявляется “неудачей”, а болвший, чем р₂, оценивается как “успех” (р\ и р₂ — субъективнвіе параметрві). Вероятности неудачи оценивается в а • 100%, вероятности успеха — в 7 • 100%. Это тоже субъективнвіе параметрит Таким образом, в этом критерии исполвзуется четвіре субъективнвіх параметра:

s_t > sj, если aq_% + f3q® + > aq_j + /?^° +

где

j3 = 1 — a — 7,

% = M{a_kr : a_kr < p_{}.

r

q°_k = M{a_kr : pi < a_kr < p₂},

r

<7/7 = M{a_kr : a_kr > p₂}.

Итак, рассмотрим матричную игру. Каждая допустимая, но не равновесная стратегия может бвітв названа рисковой стратегией. Участник идет на риск в надежде получитв относителвно болвшую прибвілв (прибвілв, пре-ввішающую цену игрві); принимает такое решение, следствием которого может бвітв ввіигрвіш, менвший равновесного значения.

Естественно, в игре с противником, последователв-но применяющим оптималвную равновесную стратегию, рисковую стратегию применятв не целесообразно, потому что поступая так, можно толвко проигратв.

Вместе с тем против игрока, осуществляющего также рисковую тактику, уже стоит исполвзоватв возможности отхода от равновесной стратегии. Это ввітекает из самого определения равновесной стратегии. Прежде чем присту-питв к описанию применения рисковой стратегии в матричной игре, следует привести определения понятий, ко-торвіе мві в далвнейшем будем также исполвзоватв. Это понятия типичной прибвіли и типичного ущерба (не следует смешиватв со средней прибвілвю и средним ущербом). Пуств матрица игрві имеет вид

qi q-i яз

Si

Si

53

-4 -1 5 \

3 0-1

V^{1 0 1} У

Вводимвіе понятия поясним на примере. Назовем типичным ущербом, Т_у максималвно возможнвій размер ущерба, а типичной прибылью Т_и — максималвно возможнвій размер прибвіли. Нетрудно проверитв, что равновесная стратегия для нашей матрицві игрві обеспечивает резулвтат, равнвій нулю:

min max ад = max min ад = 0.

к г і к

Таким образом, если первый игрок применяет стратегию Si, то

Т_п = 5 — 0 = 5,

Ту = 0 - (-4) = 4.

Следователвно, коэффициент риска вида

г = Т_у/Т_п

стратегии Si первого игрока

г = 4/5 = 0,80.

Множество стратегий первого игрока, для которвіх коэффициент риска г менвше или равен г\, будем назвіватв множеством допустимых стратегий и обозначатв символом 5(1] гі). Итак, имеем

5(/;0) = М,

2,s₃},

5(1; 0,5) = {s₂, S3},

5(1] 0,8) = {si,s₂,s₃} = s.

Здесв символ s означает пространство всех стратегий первого игрока. Минималвную величину 7*5, для которой множество допустимвіх стратегий совпадает с пространством всех стратегий, будем назвіватв рисковым максимумом множества стратегий первого игрока и обозначатв Д™^ах. В данном случае рисковвій максимум множества стратегий первого игрока равен

Щ^мх = 0,80.

Допустимвіе стратегии 5 второго игрока:

S(II;0) = {q₂},

S(II;0,7) = {q₂},

<5(І7;0,75) = {91,92},

5(11; 5,0) = {91,92,®} = 9

(q — пространство всех стратегий второго игрока). Рис-коввій максимум множества стратегий второго игрока

Л“^ах = 5,00.

Очевидно, что так как значение коэффициента риска г для оптималвной чистой стратегии равно 0, то оптимальная чистая стратегия будет принадлежатв множеству до-пустимвіх стратегий. Рисковвій минимум данного множества стратегий можно определитв следующим образом: это — минималвная величина г, при которой множество допустимвіх стратегий будет состоятв по крайней мере из двух элементов. Обозначим рисковвій минимум через R^mm. Тогда для нашего случая

Rf¹¹¹ = 0,33,

Rfⁿ = 0, 75.

Величина R^mm дает информацию о возможностях пойти на риск, а Д^тах — о пределах этих возможностей.

5. Анализ риска с помощью функции полезности

В разд. 2 мы обсуждали роль функции полезности при анализе рисков. Теперь, используя эту функцию, наметим подходы к сопоставлению полезности случайных и детерминированных величин.

Пусть х — инвестиции (вложения) в проект, U(х) — степень (функция) полезности этих вложений. Полезность инвестиций х можно измерять по-разному:

• как внутреннюю норму дохода IRR проекта с инвестициями ж;

• чистую приведенную стоимость NPV проекта после вложений ж;

• приращение после дополнительных инвестиций х абсолютной прибыли совокупного (глобального) проекта;

• приращение после вложений х нормы прибыли глобального проекта;

• степень достижения какой-либо цели в зависимости от вложений х.

Внутренняя ставка дохода показывает степень рентабельности проекта. При ставке дисконтирования, равной внутренней ставке дохода, чистая приведенная стоимость проекта NPV [17] обращается в нуль. Внутренняя ставка дохода и чистая приведенная стоимость представляют собой взаимно дополняющие, а не исключающие критерии: внутренняя ставка дохода показывает норму прибыли, чистая приведенная стоимость — абсолютную величину прибыли. Так, если имеются два проекта А и В и с начальными инвестициями іа ф то вполне может оказаться, что проект А имеет большую норму прибыли — большую внутреннюю ставку дохода, а проект В дает большую абсолютную прибыль — имеет большую чистую приведенную стоимость.

Функция полезности U(x) показывает степень выгодности какого-либо варианта вложений в объеме ж, например, как чистую приведенную стоимость или как норму рентабельности проекта.

Типичная зависимость полезности от объема вложенных средств такова. При малых х каждое новое дополнительное вложение расширяет возможности инвестора, поэтому вначале полезность вложений х растет сверхлинейно (по х):

U{x + 1) > U(x) + U( 1).

При больших значениях х каждое дополнительное вложение уже не влияет столь значительно на результат, возможности инвестиций реализуются в порядке убывающей отдачи от вложений. Таким образом, при больших значениях х полезность вложений растет менее, чем линейно по х:

U(x + 1) < U{x) + U{ 1).

При средних значениях вложений х функция полезности может возрастать линейно по х:

U(x + l) = U(x) + U( 1). (5.1)

Сверхлинейный, линейный или более медленный, чем линейный, рост функции полезности по величине вложений х может быть использован для выяснения степени отношения к риску.

Будем говорить, что инвестор А избегает риска, если его функция полезности Uа отражает предпочтение детерминированной величины полезности по отношению к случайной величине с тем же математическим ожиданием. Математически это выражается следующим образом:

п п

(5.2)

иаС^ріх®) > УДлщЩ

где

= 1; рі> о

і=1

(5.3)

г = 1,..., п.

Функция Ua(x), удовлетворяющая условиям (??), (??), назвшается вогнутой. Вогнутая функция полезности, изображенная на рис. 6, описвівает предпочтения лица, избегающего риска. Такая функция полезности соответствует уменвшающейся отдаче на вложения х. Для вогнутой функции полезности справедливо свойство: отрезок, соединяющий две точки графика функции, соответствующие, например, значениям хW и х^²\ находится под графиком (см. рис. 6).

Множители р_г можно интерпретироватв как вероятности возникновения ситуаций х^^ъ\ В этом случае

п р_гх 2 = 1

М(х): полезности детерминированной величинві

п 2 = 1 а ^^PiUa(%^) — ожидаемая полезности случайной вели

2=1

чинві х:

(5.4)

Рис,6, Вогнутая функция полезности Из формулы (??) следует неравенство

U_A{M{x)) > M(U_A(x)),

т.е. детерминированная величина М(х) предпочтителвнее случайной величинві х. Более того, величина



или







может трактоватвся как премия, которую готов платитв инвестор за то, чтобві застраховатвся от случайного характера величинві х и иметв дело с М(х).

Инвши словами, величина Ф_А — премия за риск: такую величину необходимо доплатитв к случайной величине ж, чтобві уравнятв ее по степени полезности с детермини-рованнвш вариантом М(х). Премия за риск — доплата к случайной величине, делающая ее одинаково привлека-телвной с детерминированной.

Назовем инвестора В нейтральным к риску, если случайная и детерминированная величинві полезности с одинаковым математическим ожиданием для него одинаково привлекателвнві. Математически это ввіражается следующим образом (см. также (??), (??)):







где

п



і=1

Это линейная функция полезности. Она описвівает предпочтения нейтралвного к риску лица, а также ситуации, в которвіх возврат, например прибвіли, линейно зависит от вложеннвіх в проектві средств. Как известно, для линейной функции отрезок, соединяющий две точки графика, находится на графике функции.

Будем говоритв, что лицо С склонно к риску, если для него детерминированная величина менее предпочтителв-на, чем случайная с тем же самым математическим ожиданием. Математически это ввіражается следующим образом:







где

п

?> = 1; Рг> 0; і = 1,... ,п. (5.10)

і=1

Функция полезности Uc(x), удовлетворяющая условиям (??), (??), назвівается ввіпуклой. Ввіпуклая функция полезности описвівает предпочтения склонного к риску инвестора, а также ситуации, в которвіх возврат, например прибвілв, растет сверхлинейно по отношению к вложениям ж в проектві. Характерной чертой ввіпуклвіх функций является то, что отрезок, соединяющий две точки графика функции полезности, находится над графиком. Здесв случайная величина х с математическим ожиданием М(х) предпочтителвнее для лица С, чем детерминированная величина М(х). Разности

п п

фс = ^2piUc(x®) - UcC^PiX^)

i=1 i=1

показвшает, насколвко болвше приносит лицу С случай-нвій вариант, чем детерминированнвій.

Предприятие, работая на сложнвіх турбулентнвіх рвш-ках наукоемкой продукции, получает дополнителвную прибвілв, которая образуется в резулвтате инновационной деятелвности, направленной на производство новвіх товаров, товаров с новвіми свойствами и качествами. Вместе с тем желание получитв дополнителвную прибвілв влечет за собой и дополнителвнвій риск, например обуслов-леннвій возможнвіми ошибками в прогнозировании поведения потребителей. Дополнителвная прибвілв приводит к росту спроса на акции предприятия, ошибки — к его уменвшению.

Болвшинство людей избегает риска, поэтому реалвная стоимости акции х часто менвше, чем стоимости дискон-

+оо

Е

Сг

тированного потока дивидендов

на величину,

(1 + q)¹

пропорционалвную разбросу (неопределенности) дисконтированной стоимости дивидендов:

+оо

АКТ'

+оо і=1 С_г

с,

(1 + q)¹

Здесв символ с_г означает дивидендві в момент i,q — процентная ставка (ставка дисконтирования). Вводя, как и ранее, приведенную стоимоств потока платежей с_г

+оо

Е

і=1

С_г

NPVr

(1

для оценки реальной стоимости акций получаем ввіра-жение

ж = NPV_C - 7(c)), (5.11)

где у (cr(NPV_c)) — величина премии за риск в зависимости от степени неопределенности.

В качестве примера функции полезности рассмотрим чистую приведенную стоимоств доходов от проекта по производству некоторого нового продукта (табл.З).

Таблица 3: Значения функции полезности Аргумент х ($) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Функция

полезности

Щх) ($) 23 67 169 415 760 1101 1341 1431 1469 1500 Из рис. 7 видно, что функция полезности является выпуклой при х < 450; примерно линейной при 450 < х < 550 и вогнутой при х > 550.

Сравним случайную величину, в которой х принимает с одинаковвши вероятностями 0, 5 значения 200 и 400, с детерминированной величиной 300. Математическое ожидание случайной величинві еств

0, 5 • 200 + 0, 5 • 400 = 300.

Ее оптималвная полезности равна

0, 5 • U(200) + 0, 5 • U(400) = 0, 5 • 71 + 0, 5403 = 272.

В то же время полезности детерминированной величинві в 300 такова:

?7(300) = 179.

Рис.7. Пример функции полезности

Предпочитая случайную величину детерминированной, инвестор ввіигрвівает: 272 - 179 = 43.

Рассмотрим функцию U(x) на интервале х > 550. Сравним детерминированную величину х = 800 со случайной величиной, принимающей значение 600 с вероят-ноствю 1/3 и значение 900 с вероятноствю 2/3. Математическое ожидание случайной величинві

1 2

-600 + -900 = 800 3 3

такое же, как и ожидание детерминированной величинві. В то же время полезности детерминированной величинві

U (800) = 1429.

6. Финансовый анализ в условиях риска и неопределенности

В процессе составления портфеля финансоввіх активов или портфеля мероприятий, направленнвіх на получение финансовой прибвіли (проектов, заказов, инвестиций), обвічно преследуется цели — получитв максималв-нвій доход при минималвном риске. Однако стремление получитв ввісокий доход обвічно сопряжено с ввісоким риском. Теория портфеля позволяет находитв рационалв-нвіе компромиссві между ожидаемвш доходом и риском финансоввіх операций.

Начало формирования теории портфеля связвівают с работой Г.Марковица [??], впоследствии награжденного Нобелевской премией за свои резулвтатві в этой области. Названная теория бвіла развита для портфелей ценнвіх бумаг, посколвку вложения в ценнвіе бумаги можно теоретически рассматриватв как бесконечно делимвіе,что упрощает построения, а богатая статистика позволяет достаточно точно аппроксимировать вероятностные характеристики этих финансовых инструментов. Дальнейшее изложение также относится в основном к портфелю ценных бумаг.

Пусть рассматривается набор из N видов ценных бумаг, причем доходность ( норма дохода) ценной бумаги г-го вида описывается случайной величиной г_г . Портфель мы ассоциируем с N - мерным вектором у, каждая компонента которого у_г > 0 соответствует доле содержания

ценных бумаг г-го вида (в их денежном выражении) в

N

портфеле: у_г = 1. Ожидаемая (средняя) доходность

і=1

портфеля находится по формуле

N

М_р = ^2у_гх_г. (6.1)

і=1

Здесь х_% = М(г_ъ) - математическое ожидание (ожидаемое значение) доходности бумаги г-го вида . Как правило, доходность измеряется в долях единицы или в процентах (числу 0,1 соответствует 10%, 0,25 - 25 % и т.д.) .

Ожидаемый разброс, отклонение доходности портфеля от среднего значения находится как среднеквадратичное отклонение а_р:



УгГг Можно указать другое выражение для вычисления а_р:

¦^т V V здД'’_гМЦ сог(г_!, г,-). (6.2)

,=i j=1

Здесь символ еог(ад, ту) означает коэффициент корреляции между величинами г_г и ту, а символ сг| — дисперсию. Если портфель состоит из некоррелированных между собой ценных бумаг, то для разброса доходности портфеля справедлива следующая формула:

N

^Ul = Yl Уі^аК^гі)-

і=1

Величина а_р — среднеквадратичное или стандартное отклонение — показывает меру отклонения доходности портфеля от ее среднего значения. Эта величина оу, называемая иногда степенью неопределенности, и трактуется в рамках излагаемого подхода как риск портфеля, она измеряется в тех же единицах, что и доходность.

Мы уже знаем (например, в соответствии с формулой (??)), что стоимость (полезность) некоторого финансового результата, который характеризуется случайной величиной, может быть оценена как ее среднее значение, скорректированное с учетом премии за риск. В связи с этим стоимость портфеля можно оценить с помощью параметров М_р и Up. Эти параметры являются ключевыми в теории портфеля.

Приведем пример расчета ожидаемой доходности и риска портфеля, состоящего из двух видов ценных бумаг. Предположим, что ожидаемые доходности х а акций А и хв — акций В равны 20 и 40% соответственно; а_А = 10%, а в = 50%. Рассмотрим портфели, состоящий из у • 100% акций В и (1 — у) • 100% акций А. Интерес представляет взаимосвязи доходности портфеля и риска при разнвіх долях акций А и В, в частности возможности минимизации риска путем рационалвного формирования портфеля. Ре-зулвтатві расчетов приведенві в табл. 4 и на рис. 8. В каждой строке таблицві показанві значения риска портфеля dp, отвечающие соответствующей корреляции и доходности.

Ожидаемая доходности портфеля рассчитана по формуле (??)

у = М_р(у) = уМ_в + (1 - у)М_л = у • 40 + (1 - у) • 20.

Риск портфеля а_р найден в соответствии с равенством

??

• •

у²а\ + (1 - у)²о²в + 2^/(1 - у)а_Аа_в сот(г_А, г_в),

где сот(г_А,г_в) — корреляция доходностей акций А и В,

ео?(гщ гв)

еог(г4, гв) =-;

а_А(Тв

ео?(г4, г в) = М[(г_А - х_А){г_в - х_в)\.

($)

сог(Л, В)

Доходность портфеля в зависимости от риска и корреляции

Рис,8, Доходность портфеля в зависимости от риска и корреляции

Для оценки степени неопределенности дохода рассмо

трим следующие варианты:

• вложение денег в безрисковвіе активві (облигации, банковский счет), имеющие доходности г о;

• вложение денег в портфели из рисковвіх активов (например, акций), имеющий ожидаемую доходности х_р;

• вложение денег в портфели, содержащий одновременно и безрисковвіе активві, и рисковвіе.

Первая возможности является простой, и в контексте проводимвіх построений не заслуживает отделвного анализа. В финансовой математике обвічно предполагается, что существует возможности хранитв денвги на банковском счете или в виде государственных ценнвіх бумаг, причем доходности таких вложений задана и одна и та же для всех участников. Деталвное рассмотрение вопросов, связаннвіх с анализом ставок по кредитам и депозитам, а также доходности облигаций, ввіходит за рамки настоящего пособия.

При второй возможности исследуются портфели, имеющие минималвное значение риска а_р при заданной доходности х_р = ц. Такие портфели р* определяются равенством

су (д) = min{cr_p I х_р = д},

где минимум ввічисляется по всем допустимым портфелям р . Для упрощения обозначений положим сг*(д) =

В случае, когда дополнителвнвіх ограничений на до-пустимвіе портфели нет, задача нахождения зависимости

а = cr*(fi) имеет явное решение [??,?? ]. Ее можно сформулировать в форме задачи математического программирования:

найти



у

при ограничениях

N



І=1

N



i=1

Здесь V - матрица ковариаций, ее элементы сгц = со?(г_г, Vj) - ковариации случайных величин г_г и ту (г, j = 1,2,..., І?); символ Т означает операцию транспонирования вектора.

При некоторых дополнительных технических ограничениях задача (??) - (??) имеет решение следующего вида:

У* = V • У +

°*{у) = ?у*^?У* = V ^аУ² + Ъц +с,

где а > О, Ь² — 4ас < 0, ср и ф - фиксированные векторы, определяемые по параметрам задачи и не зависящие от

д.

График функции сг*(/т) представляет собой гиперболу, которая, как и в случае двух акций, имеет вид, представленный на рис. 8-9.

Верхняя ветвь гиперболы соответствует так называемым эффективным или недоминируемым портфелям.

Каждый такой портфель характеризуется тем, что у любого портфеля с иными характеристиками риска и доходности либо доходность меньше, либо риск больше (либо то и другое одновременно).

Третья возможность составления портфеля и оценки риска - портфель из акций и безрисковых активов. Этот вариант постановки задачи был рассмотрен Дж.Тобином [??]. Здесь портфель ассоциируется уже с N + 1-мерным



вектором у = , первая компонента которого - доля

капитала, вкладываемого по ставке Го без риска. Ожидаемая доходность такого портфеля имеет вид

(б.б)

Хр = УоГо + У ^ УгХг,

а выражение для риска формально остается тем же самым: сіу = \/у^т?у.

Задача на отыскание портфеля с минимальным риском сг*(д) при фиксированной ожидаемой доходности д формулируется совершенно аналогично задаче (??) - (??), с необходимой модификацией соотношения (??) в соответствии с новым выражением для доходности (??).

Введение новой переменной у₀ только упрощает решение задачи, и мы можем привести ответ полностью.

Зависимость а = сг*(д) минимально возможного риска от доходности д здесь имеет простой вид:

(6.7)

где д

у/{х — гое)^т? ¹{х — где); е - вектор, у которого

все компоненты равны 1, а х - вектор, составленнвій из доходностей рисковвіх активов.

Эффективнвіе портфели определяются равенствами



Таким образом, зависимости риска и доходности для эффективнвіх портфелей - линейная, а сами портфели обладают важнвш свойством: структура рисковой части у* для всех таких портфелей одна и та же. Различие определяется лишв скалярнвш множителем (ц — т*о), кото-рвій и характеризует склонности инвестора к риску: болв-шим значениям у соответствует и болвшая доходности и болвшой риск одновременно. Геометрически эффективным портфелям на плоскости (<т, у) соответствует прямая линия (рис. 9).

ели — О

Рис.9. Эффективные портфели рисковых активов и с учетом возможности

безрисковых вложений Можно показать также, что один из эффективных портфелей в задаче Тобина является таковым и для задачи Марковица. Это портфель, содержащий нулевую безрисковую часть. Таким образом, прямая, соответствующая решениям задачи Тобина, является касательной к гиперболе, соответствующей эффективным портфелям чисто рисковых активов.

Разность х_р — Го между доходностью х_р рискового портфеля и доходностью безрисковых ценных бумаг го называется дополнительной доходностью или премией за риск. Эту величину можно использовать как для портфелей, составленных только для рисковых активов, так и для портфелей с безрисковой частью.

Рассмотрим отношение премии за риск х_р—Го портфеля к степени неопределенности а_р

Хр - Го

Ъ = —•

(Гр

Эту величину называют удельной премией за риск или коэффициентом Шарпа для данного портфеля. Можно показать, что портфель р° с максимальным коэффициентом Шарпа — это один из эффективных портфелей в задаче Марковица. Он находится как решение следующей задачи.

Найти

7° = тах{тр|р},

где максимум снова вычисляется по всевозможным портфелям р.

Обозначим через сг° и д° значения риска и доходности портфеля р°.

В таком случае

<7

(6.9)

д° = Го + 7°сг°.

Портфель из рисковых активов с максимальным коэффициентом Шарпа иногда называют оптимальным. Оптимальность портфеля здесь состоит в том, что риск компенсируется по максимально возможной ставке доходности.

Свойство оптимальности можно также пояснить следующим образом. Рассмотрим портфель, в котором долю у составляют безрисковые ценные бумаги с гарантированной доходностью Го, а доля 1 — у вложена в оптимальный портфель рисковых активов р° . Ожидаемая доходность нового портфеля будет равна

Хр = У? + (1 - У)У°,

а степень неопределенности (риск) —

°р = (1 - У)?°- (6.Ю)

Для нового портфеля отношение дополнительной доходности к степени неопределенности определится равенством

уг₀ + (1 - у)ц° - Гр (1 - у)а°

(1 - У)У-⁰ - (1 - У)го (1 - у)а°

или

Таким образом, оптимальное отношение дополнительной доходности к неопределенности является постоянным и не зависит от степени неопределенности. Последнее равенство отражает тот факт, что эффективным портфелям, содержащим рисковую и безрисковую часть ( решениям задачи Тобина) на плоскости риск-доходность соответствует прямая. Тангенс угла наклона этой прямой к оси а равен у⁰, что свидетельствует о том, что данная прямая является касательной к кривой, отвечающей эффективным чисто рисковым портфелям, а оптимальный портфель — это тот самый портфель, который является эффективным одновременно и для задачи Марковица, и для задачи Тобина. Заметим, что отрицательным у соответствует взятие денег в кредит под процент го и приобретение на эти деньги бумаг рискового портфеля.

Конкретизируем ситуацию, придав параметрам числовые значения. Пусть имеются безрисковые облигации с доходностью 10% ; акции А и В, имеющие доходности ха = 15% и хв = 30% и риски а \ = 10%, а в = 40% соответственно. Для коэффициента корреляции положим еог(Д В) = —0,6.

Найдем оптимальный портфель из акций А и В и удельную премию за риск у⁰. Акции А и В имеют отрицательный коэффициент корреляции. Кроме того, доходность акций В больше, чем доходность акций А. Будем, начиная с портфеля, состоящего из 100% акций А, постепенно увеличивать долю акций В. Результаты вычислений параметров портфеля приведены в табл. 5 . Можно заметитв, что доходности портфеля при этом увеличивается, а риск до определенного момента уменвшается. Последнее обстоятелвство обусловлено отрицателвной корреляцией доходностей активов.

Однако ввиду болвших риска и доходности акций В по сравнению с акциями Д рост доходности портфеля, начиная с некоторой точки, будет происходитв за счет риска. По этим причинам кривая, отражающая связи доходности и риска портфеля, имеет загиб (рис. 10) в сторону оси ординат, соединяя точки Дсццдщ) ^и В((Тв,хв)- Данное обстоятелвство, впрочем, вполне согласуется с общей теорией. Построенная кривая является частвю гипербо-лві, портфелю из акций А отвечает точка на ее нижней ветви, а портфелю из акций В — на верхней.

Таблица 5: Величины доходности и риска портфеля из акций А и В

(%) Показа-

твль

Риск

Доход

ность

х_р Доля акций В в портфеле, % 0 10 17 20 25 30 40 50 60 70 80 100 10 7,33 6,88 7,16 8,14 9,60 13,30 17,46 21,84 26,31 30,84 40 15 16,50 17,55 18 18,75 19,50 21 22,50 24 25,50 27 30 Ф / 0 0\ Х_р Го

Іочка (сг ,/г), максимизирующая —-, дает риск

и доходности оптималвного портфеля из акций А и В. Среди значений в табл. 5 ввібираем оптималвнвіе риск и доходности портфеля. Они равнві соответственно 6,88, 17, 55%. Оптималвнвій портфели состоит из 17% акций А

и 83% акций В ( см. рис. 10). Решение получено простым перебором и является приближенным, поэтому целесообразно округлить 6, 88 до 7%, а 17, 55 — до 18%.

Рис. 10. Эффективные портфели двух рисковых активов. Риск портфеля ,%, рассчитывается по формуле (??):

^аР = V ^ ^_ УУ^а2А + У^2(ТВ + “ У)°А<7В СОГ(гА, Г_В)\

<т_р = У(1 - yf ¦ 0,16 + у² • 0,01 + 2j/(l - у) • (-0,024).

Ожидаемая доходность портфеля ,%, находится по формуле (??):

х_р=(1- у)х_А + ухв = (1 - у) • 15% + у • 30%.

Нетрудно сосчитать и удельную премию за риск оптимального портфеля:

1,14.

18-10

7

Сформируем оптимальный портфель из акций и безрисковых облигаций, имеющий заданную доходность у.

Облигации дают безрисковый доход по ставке Го Доля облигаций у в новом портфеле ввічисляется на основе фор-мулві

/і = у? + (1 - У)К\

где ц° и сг° — доходности и риск оптималвного портфеля из акций А и В. Ввіделяя из этой формулві долю безрис-коввіх облигаций у, получаем

У = —-, б-¹¹

ц^и - Го

где у — заданная доходности нового оптималвного портфеля из акций и облигаций. Риск а оптималвного портфеля с доходноствю у определяется формулой (??). При этом, если желаемая доходности у болвше чем доходности оптималвного рискового портфеля д°, то доля у, опреде-

становится отрицателвнои.

ляемая формулой (??

Сделаем неболвшое отступление, касающееся допущения о том, что доли как рисковвіх, так и безрисковвіх активов могут приниматв отрицателвнвіе значения. Отри-цателвнвіе доли соответствуют так назвшаемой кюреткой позиции по активам с такими долями.

Фактическое владение инвестором ценивши бумагами назвівается длинной позицией (long position) по этим бумагам. Например, по фактически купленнвш акциям инвестор занимает длинную позицию ( или сами бумаги находятся в длинной позиции). Контракт, по которому ценная бумага продана, и принято обязателвство предоста-витв ее в будущем к определенной дате по заранее оговоренной цене, назвівается короткой позицией (short position). При этом в момент заключения сделки можно не иметь продаваемой бумаги.

Поясним смысл короткой позиции. Предположим, ожидается падение акций D, но у инвестора их нет. В этом случае можно заключить контракт о продаже определенного количества этих акций через через определенное время по теперешней цене 5о,іь Тем самым инвестор займет короткую позицию по акциям D. Если прогнозы оправдаются и стоимость акций снизится до S\p < ^т0

акции покупают по фактической цене S\p ^и продают по оговоренной в контракте цене 5о,іь Разница составляет доход от сделки.

Если доля у, в формуле (??) отрицательна, облигации находятся в портфеле в короткой позиции: инвестор принял обязательство их продать в будущем, не имея их на руках или же занял под безрисковый процент соответствующую сумму денег. На вырученные от продажи деньги увеличивается объем оптимального портфеля из акций А и В. В новом оптимальном портфеле р° на —у долей облигаций в короткой позиции приходится 1 — у долей бумаг портфеля р°.

Проиллюстрируем сказанное на примере. Рассмотрим процедуру формирования эффективных портфелей, дающих 12 и 30% дохода, на основе исходных данных предыдущего примера. Согласно этому примеру, ц° = 17, 55%, сг° = 6,88%. Сформируем новый оптимальный портфель, содержащий безрисковую часть и имеющий доходность 12%. По формуле (??) этот портфель содержит,%,

облигаций = 66,66 . Следовательно, на ценные бумаги портфеля р° остается,%: 100 — 66, 66 = 33,34. Эти соот-

ношения определяют состав нового оптималвного портфеля: 66, 66% облигаций, —-• 17 = 5,67% акций В

18

и-• (100 — 17) = 27, 67% акций А. Новвій эффек-

18

тивнвій портфели p*_ew имеет риск, рассчитвіваемвій по формуле (??) и равнвій 7% • (1 — 0,67) = 2,31%.

Теперв перейдем к другому эффективному портфелю p**_ew, у которого доходности 30%. Согласно формуле (??)

на каждвіе-—-= 0,67 части обязательств по об-

18% ’

лигациям приходятся 1 + 0,67 = 1,67 части ценнвіх бумаг портфеля р°. Эти соотношения определяют состав нового портфеля: на каждвіе 0, 67 части обязателвств по облигациям приходятся: (1 + 0, 67) - 0,17 = 0,28 части акций В; (1 + 0,67) • 0, 83 = 1, 39 части акций А. Иначе говоря, на каждвіе $67 обязателвств по облигациям портфели имеет $28 в акциях В и $139 в акциях А. Риск нового портфеля p**_ew рассчитвівается по формуле (??) с у = —0,67: 7% • (1 + 0,67) = 11,

Доходности любого эффективного портфеля, составленного как из рисковвіх, так и безрисковвіх активов, определяется равенством

% = П) + 7°с% (6-12)

где а_р — степени неопределенности или риск портфеля; г о — безрисковая процентная ставка; у⁰ — уделвная премия за риск оптималвного портфеля р°.

Уделвную премию за риск часто назвшают индексом портфеля. Эта величина характеризует портфели и может рассматриватвся как аналог широко известнвіх индексов, таких как индексы Доу Джонса, индекс 5&Р500, российский индекс РТС и др.

Модель ценообразования на рынке капитала САРМ. С конца шестидесятых годов прошлого века популярной становится инвестиционная теория, связанная с моделью оценки капитальных активов. Ее основы были заложены в работах У. Шарпа, Дж. Липтнера, Дж. Мос-сина [ 18-20]. Модель ценообразования на рынке капитала САРМ (Capital Assets Pricing Model) — модель, в основе которой лежат обсуждавшиеся выше соотношения, относящиеся к выбору оптимального или эффективного портфеля.

Модель формулируется для идеального конкурентного рынка, обладающего следующими основными свойствами:

• все участники рынка обладают полной и одинаковой информацией о доходностях доступных активов;

• все активы абсолютно ликвидны, инвесторы имеют возможность купить и продать,занять и дать в долг любое количество активов, при этом для безрисковых активов действует единая процентная ставка г о;

• все инвесторы формируют свои портфели в соответствии с теорией Марковица-Тобина, т.е. выбирают эффективные портфели из рисковых и безрисковых активов.

Среди перечисленных свойств идеального конкурентного рынка последнее условие выглядит самым ограничительным, из-за него модель САРМ не без основания подвергалась серьезной критике. Однако основные выводы, получаемые на основе этой модели, находят практическое применение и подтверждаются статистически.

В условиях идеалвного конкурентного рвшка все ин-весторві имеют одну и ту же структуру рисковой части портфеля, которая совпадает со структурой оптималвно-го чисто рискового портфеля р° . Отсюда проствш логическим рассуждением ввшодится, что сам портфели р° не может бвітв ничем иным, как реалвно существующим рыночным портфелем, т.е. его доли — это доли всего обращающегося на рвшке капитала, которвіе соответствуют суммарной стоимости акций определенного вида.

Последнее обстоятелвство позволяет оценитв характеристики риска и доходности портфеля р° без решения оптимизационной задачи, исполвзуя те или инвіе рвіночнвіе индексві. В качестве такого индекса берут, например, индекс 5&Р500 . Этот индекс содержит аккумулированную информацию об акциях пятиста крупнейших компаний и в значителвной степени отражает поведение финансового рвшка в целом.

Таким образом, оптималвнвій портфели р° для всех инвесторов один и тот же. В силу того , что это рвіночнвій портфели, примем для него специалвное обозначение — символ га, а характеристики его риска и доходности обозначим через а_т и х_т соответственно.

Линия рвшка капитала Capital Market Line — это прямая на плоскости (<т, р), связывающая уровенв риска а с доходноствю р для эффективных портфелей в смысле задачи Тобина. В нашем случае — это рыночный портфели и, как отмечалосв выше, те портфели, у которых структура рисковой части совпадает со структурой рвшочного портфеля.

Уравнение линии рвшка капитала с учетом принятвіх обозначений, получается путем преобразования формулві (??) с исполвзованием соотношений (??) и (??):

_{ц = Го} + ^1V (6.13)

&т

Связв ожидаемой доходности отделвной бумаги с параметрами рвшочного портфеля в равновесном состоянии рвшка дает равенство

Xj = г₀ + ^Хт ₂ ^Г° cov(rj,r_m), (6.14)

<7_т

где rj — случайная доходности ценной бумаги; г_т — случайная доходности рвшочного портфеля; со?(гдг_т) — коэффициент ковариации (линейной связи) доходностей рвшочного портфеля и бумаги.

Равенство (??) можно ввшести путем преобразования ввіражения ео?(гц г_т) с учетом явного представления доходности г_т по формуле (??).

Введем коэффициент А — отношение премии за риск (дополнителвной доходности рвшочного портфеля по сравнению с доходноствю безрисковвіх вложений) к его риску:

л _ Хщ Го

л о ’

(T^z

т

С учетом этого обозначения равенство (??) запишется в виде

Xj = го + А со?(гцг_т). (6.15)

Если теперь на горизонтальной оси отложить точки со?(гцг_т), отвечающие различным бумагам, то на плоскости (соv(rj,r_m),Xj) соответствующие точки будут располагаться на одной прямой. Эта прямая называется линия бумаг или Security Market Line. Уравнение (??)и соответствующий график отражают взаимосвязь доходности отдельной бумаги с доходностью рынка в целом.

Однако чаще используется другой способ представления указанной взаимосвязи. Для того чтобы его получить, перепишем равенство (??) в следующем виде:

соv(rj,r_m) Коэффициент --- является характеристикой

а^п

ценной бумаги и обозначается символом в:

_cov(tj , г_т)

Равенство (??) принимает вид

(6.16)

Xj = г₀ + (х_т - r₀)(3j.

Соотношение (??) называется основным уравнением модели САРМ(см. рис. 11).

Коэффициент бета (/?) связывает доходность ценной бумаги с доходностью рынка. Для рыночного портфеля /З_т = 1, поэтому уравнение (??) преобразуется в тождество

Параметр /? показывает, насколько изменения доходности отдельной бумаги следуют за изменениями доходности рынка. Этот параметр широко известен не только специалистам-теоретикам, но и широкому кругу практиков, работающих на финансовом рвшке. Статистические оценки бета для болвшинства ценнвіх бумаг регулярно публикуются в финансовой прессе, существует даже специ-алвное издание Beta Book, ввіпускаемое одним из ведущих финансоввіх издателвств.

Еств и специалвная терминология, относящаяся к /3-характеристике риска ценной бумаги. А именно: бумаги с бета, близкими к единице, назвшаются нейтралвнвіми (neutral). Изменения их доходностей следуют за движениями рынка, соответственно риск, связанный с ними, близок к риску работы на всем рынке .

Рис. 11. Линия бумаг и бета-характеристика ценной бумаги Бумаги с болвшими бета называются агрессивными (aggressive), при вложении средств в такие бумаги инвестор получает болвший выигрыш по сравнению с рыночным, если рынок растет, однако и болвший проигрыш, если рынок падает. Соответственно риск при работе с такими бумагами болвше.

И наконец, при малых положительных бета бумаги называются безопасными и даже защищающими (defensive). Их корреляция с рынком весьма мала, они полезны в случае ожидаемого падения рынка.

Систематический и несистематический риск. При формировании портфеля инвесторы стремятся достичь максимальной доходности при минимальном риске (неопределенности). Возникает вопрос: насколько риск ценной бумаги может быть уменьшен за счет ее включения в подходящий портфель? Различают систематический и несистематический риски. Систематический риск (systematic risk) - это риск, не поддающийся диверсификации, присущий всем ценным бумагам данного вида, например акциям, облигациям. Несистематический риск (nonsystematic risk) — риск, который может быть диверсифицирован путем включения бумаги в портфель с другими ценными бумагами того же вида. Диверсификация (diversification) — уменьшение риска путем составления портфеля и перераспределения риска.

Ответ на вопрос о количественных оценках систематического и несистематического риска дает модель САРМ и формулы (??), (??), (??), связывающие степень неопределенности оптимального портфеля с уровнем его доходности. В общем виде формула для определения минимально возможного систематического риска — систематической неопределенности — такова:

°^Sj = ft'CTm,

где а_т — неопределенность оптимального рыночного портфеля с доходностью х_т. Несистематический т.е. ди-версифицируемый риск может быть найден из соотношения

(Jj (Jj fjj(7_m.

С помощью составления оптимального портфеля можно свести риск к (3jcr_m. Дальнейшее уменьшение риска достигается только при уменьшении уровня доходности портфеля. Геометрически несистематическому риску соответствует расстояние от точки бумаги на плоскости риск-доходность до прямой CML по горизонтали, а систематическому — далее от CML до оси ординат (см. рис. 12).

Проиллюстрируем сказанное на примере. Пусть а_т = 30%, х_т = 44%, г₀ = 8%, Д- = 0, 89, оу = 50, х₃ = 50%.

Рис. 12, Систематический и диверсифицируемый s,s риски

Тогда систематический риск у = PjOm = о, 89 ¦ 30% = 26, 70%,

диверсифицируемый риск

(Tj ^S = Oj - 8jm = 50% - 0,89 • 30% = 23,30%.

Угловой коэффициент Л для линии бумаг SML (уравнения (??), (??))



Го 36%

30%

Уравнение линии бумаг

д = 8% + 1, 2а⁸ = 8% + 1, 2 ео?(жд х_т).

Цены активов в модели САРМ. Пуств Р-о — сегодняшняя известная цена актива (ценной бумаги) ,а Рд — ее неопределенная будущая цена. Требуется установитв связв между этими величинами и безрисковой процентной ставкой го-

Доходности ценной бумаги в простейшем случае

Применяя формулу (??), получим

Рл Рл

^М{~Б~ - ^х) = ^го + Аео?(^- - 1,ж_ш).

Га 0 Га 0

Заметим, что величина Pjо — это уже известная сегодняшняя цена, поэтому не случайна, и кроме того, справедливо равенство со?(—1,ж_ш) = 0. Вследствие чего имеем



Отсюда, ввіразив Рд, получаем

М(Рд) — Л ео?(Рд, х_т)

(6Т7)



1 + П)

Формула (??) выражает тот факт, что для получения сегодняшней цены рыночной ценной бумаги необходимо из ее ожидаемой будущей цены M(Pji) вычесть абсолютную премию за риск Л со?(Рр, х_т) и затем дисконтировать по безрисковой процентной ставке г о.

Здесь абсолютная премия за риск — это разность между ожидаемой будущей ценой рисковой ценной бумаги и будущей ценой безрисковой ценной бумаги при условии, что в настоящее время их цены одинаковые. Математически абсолютная премия за риск равна величине Л cov(Pji,x_m).

Обобщения модели САРМ. В литературе описано множество различных моделей, обобщающих и развива-юющих САРМ. Мы остановимся на двух из них.

Пусть рассматривается N различных рынков, например рынок акций промышленности, рынок акций топливно-энергетического комплекса, рынок акций наукоемких отраслей и др. Тогда существует соответствующее количество оптимальных портфелей со своими доходностями и рисками . Интерес представляет расчет ожидаемой доходности и риска оптимального портфеля, состоящего из ценных бумаг различных рынков. Для этой цели есть обобщенная модель ценообразования на рынке капитала G-CAPM (General Capital Assets Pricing Model) — модель, с помощью которой исследуется несколько рынков капитала.

Рассмотрим модель G-CAPM подробнее. Ожидаемые доходности Xj ценных бумаг портфеля, состоящего из бу-маг только п-го рынка, определяются по формуле

xj = г₀ + (х_п - г₀)Д_>5 п = 1,..., N,

где Го — доходность безрисковых ценных бумаг; х_п — ожидаемая доходность оптимального портфеля п-го рынка; /?у_п — коэффициент, рассчитанный по отношению к п-му рынку. Если в каждый рынок п вложено К_п средств, то доля соответствующих средств во всем рыночном капитале вычисляется по правилу

(6.18)

_ к_п

Уп — _N

Е ^к«

п=1

Модель G-CAPM утверждает, что в условиях равновесия справедливо соотношение

N

(6.19)

Го)/?,

Уп{Хп

3,п

^Х3 = ^Г0 + Е

П=1

В силу (??) из (??) получаем

N

^ Го)/3j,_n

, п=1

^Х3 = ^Г0 +-N-•

Е ^к*

п=1

В условиях идеальных финансовых рынков с полной информацией все инвесторы вкладывают деньги в портфели с максимальным отношением дополнительной доходности к неопределенности. При этом указанное отношение должно быть одинаковым на всех рынках. Здесь

= Pj и обобщенная модель ценообразования G-CAPM становится моделью САРМ. В условиях неполноты информации и ненулевой трансакционной стоимости, например при учете комиссионных при купле-продаже ценных бумаг, отношение дополнительной доходности по сравнению с доходностью при купле-продаже безрисковых бумаг к неопределенности дохода может быть различным на различных финансовых рынках. В этом случае обобщенная модель G-CAPM дает более точные результаты.

Вплоть до 1976 г. развитие финансовой теории шло под доминирующим влиянием САРМ. В 1977 г. эта теория подверглась жесткой критике в работах Ричарда Ролла [21]. Ролл высказал мнение, что САРМ следует отвергнуть, поскольку она в принципе не допускает эмпирической проверки. Вопрос о принципиальной верифицируе-мости САРМ вызывает горячие споры и по сей день. Примерно в это же время Стивом Россом [22] была предложена альтернативная модель оценки капитальных активов, развитая в рамках Арбитражной теории ценообразования и получившая название “арбитражной модели”, или АРМ. Эта модель строится на основе принципа, состоящего в том, что соотношение между ожидаемой доходностью и риском должно быть таким, чтобы ни один индивидуальный инвестор не мог получить неограниченный доход от арбитражной сделки. Этот принцип невозможности арбитража можно сформулировать в “физических” терминах как невозможность создать “финансовый вечный двигатель”, т.е. машину без всякого риска, неограниченно долго “вытягивающую” денвги с рынка. Адептві арбитражной теории (Arbitrage Pricing Theory ), в частности, Росс и Ролл [23], утверждают, что эта теория допускает, по крайней мере в принципе, эмпирическую проверку.

Арбитражная модели ценообразования представляет собой скорее конкурирующую с САРМ модели, чем дополняющую ее. В ней предполагается, что доходности ту ценной бумаги определяется некоторым фиксированнвш набором факторов. В качестве таких ведущих факторов ввібираются индексві известнвіх портфелей, уровенв инфляции, величина ставки рефинансирования и др. В модели могут присутствоватв сразу несколвко факторов. В наиболее простом случае, когда фактор один, доходности ценной бумаги связана с фактором соотношением

^rj ⁼ M(rj) + j3j(I — M(I)) + ^eji

где (3j — коэффициент, связвшающий изменения в значениях фактора / и доходности ту; / — значение фактора, обеспечивающего доходности ценной бумаги; М(І) — математическое ожидание этого фактора; ej — случайнвій шум.

Заметим, что взяв в качестве ведущего фактора доходности рвшочного портфеля, мві придем к модели САРМ.

Обе модели — САРМ и АРТМ требуют расчета коэффициентов f3j. Для ввічисления Д- достаточно иметв статистику, состоящую из пар значений (г_ш, ту), и с помощвю линейной регрессии получитв уравнение где Xj — доходность ценной бумаги; х_т — доходность рынка.

Линейную регрессию можно построить, используя соответствующую компьютерную программу, в частности практически любые электронные таблицы. Без расчетов приближенное значение коэффициента Д- можно определить графически. Для этого в координатах х_т и Xj откладывают все возможные пары точек и проводится прямая, наилучшим образом их приближающая. Коэффициент наклона этой прямой и будет искомым коэффициентом (3j. При проведении такой прямой “на глаз” человек непроизвольно использует метод наименьших квадратов, т.е. минимизирует сумму квадратичных отклонений. Этот же метод используется и в электронных таблицах.

Заметим, что выше приведено упрощенное изложение вопросов, связанных с расчетом статистических характеристик ценной бумаги. В упоминавшихся финансовых изданиях наряду с параметром /? ценной бумаги обычно приводится еще ряд характеристик, в частности так называемое "приспособленное"/? (adjusted /?) , скорректированное с учетом тенденции постепенного приближения к единице, характерной для данного показателя. Кроме того, приводится коэффициент а бумаги, позволяющий инвестору получить представление о соответствии текущей цены бумаги и той, которая соответствует равновесному рынку. Приводится также целый ряд параметров, характеризующих собственно корректность статистических расчетов.

Библиографический список

1. Альгин, А.П. Риск и его роль в общественной жизни / А.П.Альгин. М.: Мысль, 1989.

2. Балабанов, И.Т. Риск - менеджмент /И.Т.Балабанов. М.: Финансы и статистика, 1996.

3. Лапуста, М.Г. Риски в предпринимательской деятельности / М.Г.Лапуста, Л.Г.Шаршукова. М.: ИНФРА -М, 1998.

4. Риски в современном бизнесе / П.Г.Грабовый [и др.]. М.: Алане, 1994.

5. Чалый-При луцкий, В. А. Рынок и риск : методические материалы: (пособие для бизнесменов) по анализу оценки и управления риском / В.А.Чалый-Прилуцкий. М.: НИУР : Центр СИНТЕК, 1994.

6. Arrow, K.J. Aspects of the theory of risk-bearing / K.J.Arrow. Helsinki: Yrjo Jahnssonin Saatio, 1965.

7. Granville, J.E. New strategy of daily stock market for maximum profit / J.E.Granville. New York: Prentice-Hall, 1976.

8. Therapeutic risk: Perception, measurement, management / (eds) D.Burley, W. H. W.Inman. Chichester: Wiley, 1988.

9. Covello, V. T. Risk communication: Research and practice / V.T.Covello, D. von Winterfeldt, P.Slovic. New York: Columbia Univ., School of Public Health, 1988.

10. Lewis, H. W. Technological risk / H.W.Lewis. New York: Norton, 1990.

11. Linnerooth, J. The evaluation of life saving: A survey / J.Linnerooth. Laxenburg : IIASA, 1975. (Res. Report; 75-21).

12. Slovic, P. The perception of risk / P.Slovic. London; Sterling: Earthscan Publ.Ltd, 2000.

13. Гранатуров, B.M. Экономический риск: сущность, методы измерения, пути снижения / В.М.Гранатуров. М.: Дело и Сервис, 1999.

14. Тренев, Н.Н. Управление финансами / Н.Н.Тренев. М.: Финансы и статистика, 2000.

15. Transboundary risk management / (eds) J.Linnerooth-Bayer, R. E.Lofstedt, Sjostedt. Laxenburg : IIASA, 2001.

16. Bacskai, T. A gazdasigi kockasat es meresemeh medszerei / T.Bacskai. Budapest: Kozgazdasagi es Jogi Konyvkia-do, 1976.

17. Шарп, У. Инвестиции / У.Шарп, Г.Дж.Александер, Дж.В.Бэйли. М.: ИНФРА-М, 1997.

18. Sharp, W.E. Capital Asset price : a theory of market equilibrium under conditions of risk / W.E.Sharp // J. Finance. 1964. 29(3). R 425-442.

19. Lintner, J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets / J.Lintner // Rev. Есопот.У Statistics. 1965. R 13-27.

20. Mossin, J. Equilibrium in a capital asset market / J.Mossin j j Econometrica. 1966. 34(4). P. 768-783.

21. Roll, R. A critique of asset pricing theory test / R.Roll // J. Financ. Econom. 1977.

22. Ross, S.A. The arbitrage theory of capital asset pricing / S.A.Ross j j J. Economic Theory. 1976.

23. Roll, R. A critical reexamination of the empirical evidence of the arbitrage pricing theory / R.Roll, S.A.Ross j j J. Finance. 1984.

24. Markowitz, H. Portfolio selection / H.Markowitz // J. Finance. 1952. Vol.7. P. 77-91.

25. Tobin, J. Liquidity preference as behavior towards risk / J.Tobin // Rev. Economic Stud. 1958.





    Биржевая торговля: Управление капиталом - Портфель - Риск - Страхование

• Теория управления капиталом
  
• Позиция как управление капиталом
  
• Правила управления капиталом
  
• Торговля и управление капиталом
  
• Управление капиталом в России
  
  
• Управление портфелем
  
  
• Управление риском
  
• Управление риском на рынках
  
• Методы управления риском
  
• Финансы и управление риском
  
  
• Страхование
  
• Риски страхования
  
• Российское страхование
  
• Страхование финансов
  
• Виды страхования