Доходность портфеля в зависимости от риска и корреляции

Рис,8, Доходность портфеля в зависимости от риска и корреляции

Для оценки степени неопределенности дохода рассмо

трим следующие варианты:

• вложение денег в безрисковвіе активві (облигации, банковский счет), имеющие доходности г о;

• вложение денег в портфели из рисковвіх активов (например, акций), имеющий ожидаемую доходности х_р;

• вложение денег в портфели, содержащий одновременно и безрисковвіе активві, и рисковвіе.

Первая возможности является простой, и в контексте проводимвіх построений не заслуживает отделвного анализа. В финансовой математике обвічно предполагается, что существует возможности хранитв денвги на банковском счете или в виде государственных ценнвіх бумаг, причем доходности таких вложений задана и одна и та же для всех участников. Деталвное рассмотрение вопросов, связаннвіх с анализом ставок по кредитам и депозитам, а также доходности облигаций, ввіходит за рамки настоящего пособия.

При второй возможности исследуются портфели, имеющие минималвное значение риска а_р при заданной доходности х_р = ц. Такие портфели р* определяются равенством

су (д) = min{cr_p I х_р = д},

где минимум ввічисляется по всем допустимым портфелям р . Для упрощения обозначений положим сг*(д) =

В случае, когда дополнителвнвіх ограничений на до-пустимвіе портфели нет, задача нахождения зависимости

а = cr*(fi) имеет явное решение [??,?? ]. Ее можно сформулировать в форме задачи математического программирования:

найти

у

при ограничениях

N

І=1

N

i=1

Здесь V - матрица ковариаций, ее элементы сгц = со?(г_г, Vj) - ковариации случайных величин г_г и ту (г, j = 1,2,..., І?); символ Т означает операцию транспонирования вектора.

При некоторых дополнительных технических ограничениях задача (??) - (??) имеет решение следующего вида:

У* = V • У +

°*{у) = ?у*^?У* = V ^аУ² + Ъц +с,

где а > О, Ь² — 4ас < 0, ср и ф - фиксированные векторы, определяемые по параметрам задачи и не зависящие от

д.

График функции сг*(/т) представляет собой гиперболу, которая, как и в случае двух акций, имеет вид, представленный на рис. 8-9.

Верхняя ветвь гиперболы соответствует так называемым эффективным или недоминируемым портфелям.

Каждый такой портфель характеризуется тем, что у любого портфеля с иными характеристиками риска и доходности либо доходность меньше, либо риск больше (либо то и другое одновременно).

Третья возможность составления портфеля и оценки риска - портфель из акций и безрисковых активов. Этот вариант постановки задачи был рассмотрен Дж.Тобином [??]. Здесь портфель ассоциируется уже с N + 1-мерным

вектором у = , первая компонента которого - доля

капитала, вкладываемого по ставке Го без риска. Ожидаемая доходность такого портфеля имеет вид

(б.б)

Хр = УоГо + У ^ УгХг,

а выражение для риска формально остается тем же самым: сіу = \/у^т?у.

Задача на отыскание портфеля с минимальным риском сг*(д) при фиксированной ожидаемой доходности д формулируется совершенно аналогично задаче (??) - (??), с необходимой модификацией соотношения (??) в соответствии с новым выражением для доходности (??).

Введение новой переменной у₀ только упрощает решение задачи, и мы можем привести ответ полностью.

Зависимость а = сг*(д) минимально возможного риска от доходности д здесь имеет простой вид:

(6.7)

где д

у/{х — гое)^т? ¹{х — где); е - вектор, у которого

все компоненты равны 1, а х - вектор, составленнвій из доходностей рисковвіх активов.

Эффективнвіе портфели определяются равенствами

Таким образом, зависимости риска и доходности для эффективнвіх портфелей - линейная, а сами портфели обладают важнвш свойством: структура рисковой части у* для всех таких портфелей одна и та же. Различие определяется лишв скалярнвш множителем (ц — т*о), кото-рвій и характеризует склонности инвестора к риску: болв-шим значениям у соответствует и болвшая доходности и болвшой риск одновременно. Геометрически эффективным портфелям на плоскости (<т, у) соответствует прямая линия (рис. 9).

ели — О

Рис.9. Эффективные портфели рисковых активов и с учетом возможности

безрисковых вложений Можно показать также, что один из эффективных портфелей в задаче Тобина является таковым и для задачи Марковица. Это портфель, содержащий нулевую безрисковую часть. Таким образом, прямая, соответствующая решениям задачи Тобина, является касательной к гиперболе, соответствующей эффективным портфелям чисто рисковых активов.

Разность х_р — Го между доходностью х_р рискового портфеля и доходностью безрисковых ценных бумаг го называется дополнительной доходностью или премией за риск. Эту величину можно использовать как для портфелей, составленных только для рисковых активов, так и для портфелей с безрисковой частью.

Рассмотрим отношение премии за риск х_р—Го портфеля к степени неопределенности а_р

Хр - Го

Ъ = —•

(Гр

Эту величину называют удельной премией за риск или коэффициентом Шарпа для данного портфеля. Можно показать, что портфель р° с максимальным коэффициентом Шарпа — это один из эффективных портфелей в задаче Марковица. Он находится как решение следующей задачи.

Найти

7° = тах{тр|р},

где максимум снова вычисляется по всевозможным портфелям р.

Обозначим через сг° и д° значения риска и доходности портфеля р°.

В таком случае

<7

(6.9)

д° = Го + 7°сг°.

Портфель из рисковых активов с максимальным коэффициентом Шарпа иногда называют оптимальным. Оптимальность портфеля здесь состоит в том, что риск компенсируется по максимально возможной ставке доходности.

Свойство оптимальности можно также пояснить следующим образом. Рассмотрим портфель, в котором долю у составляют безрисковые ценные бумаги с гарантированной доходностью Го, а доля 1 — у вложена в оптимальный портфель рисковых активов р° . Ожидаемая доходность нового портфеля будет равна

Хр = У? + (1 - У)У°,

а степень неопределенности (риск) —

°р = (1 - У)?°- (6.Ю)

Для нового портфеля отношение дополнительной доходности к степени неопределенности определится равенством

уг₀ + (1 - у)ц° - Гр (1 - у)а°

(1 - У)У-⁰ - (1 - У)го (1 - у)а°

или

Таким образом, оптимальное отношение дополнительной доходности к неопределенности является постоянным и не зависит от степени неопределенности. Последнее равенство отражает тот факт, что эффективным портфелям, содержащим рисковую и безрисковую часть ( решениям задачи Тобина) на плоскости риск-доходность соответствует прямая. Тангенс угла наклона этой прямой к оси а равен у⁰, что свидетельствует о том, что данная прямая является касательной к кривой, отвечающей эффективным чисто рисковым портфелям, а оптимальный портфель — это тот самый портфель, который является эффективным одновременно и для задачи Марковица, и для задачи Тобина. Заметим, что отрицательным у соответствует взятие денег в кредит под процент го и приобретение на эти деньги бумаг рискового портфеля.

Конкретизируем ситуацию, придав параметрам числовые значения. Пусть имеются безрисковые облигации с доходностью 10% ; акции А и В, имеющие доходности ха = 15% и хв = 30% и риски а \ = 10%, а в = 40% соответственно. Для коэффициента корреляции положим еог(Д В) = —0,6.

Найдем оптимальный портфель из акций А и В и удельную премию за риск у⁰. Акции А и В имеют отрицательный коэффициент корреляции. Кроме того, доходность акций В больше, чем доходность акций А. Будем, начиная с портфеля, состоящего из 100% акций А, постепенно увеличивать долю акций В. Результаты вычислений параметров портфеля приведены в табл. 5 . Можно заметитв, что доходности портфеля при этом увеличивается, а риск до определенного момента уменвшается. Последнее обстоятелвство обусловлено отрицателвной корреляцией доходностей активов.

Однако ввиду болвших риска и доходности акций В по сравнению с акциями Д рост доходности портфеля, начиная с некоторой точки, будет происходитв за счет риска. По этим причинам кривая, отражающая связи доходности и риска портфеля, имеет загиб (рис. 10) в сторону оси ординат, соединяя точки Дсццдщ) ^и В((Тв,хв)- Данное обстоятелвство, впрочем, вполне согласуется с общей теорией. Построенная кривая является частвю гипербо-лві, портфелю из акций А отвечает точка на ее нижней ветви, а портфелю из акций В — на верхней.

Таблица 5: Величины доходности и риска портфеля из акций А и В

(%) Показа-

твль

Риск

Доход

ность

х_р Доля акций В в портфеле, % 0 10 17 20 25 30 40 50 60 70 80 100 10 7,33 6,88 7,16 8,14 9,60 13,30 17,46 21,84 26,31 30,84 40 15 16,50 17,55 18 18,75 19,50 21 22,50 24 25,50 27 30 Ф / 0 0\ Х_р Го

Іочка (сг ,/г), максимизирующая —-, дает риск

и доходности оптималвного портфеля из акций А и В. Среди значений в табл. 5 ввібираем оптималвнвіе риск и доходности портфеля. Они равнві соответственно 6,88, 17, 55%. Оптималвнвій портфели состоит из 17% акций А

и 83% акций В ( см. рис. 10). Решение получено простым перебором и является приближенным, поэтому целесообразно округлить 6, 88 до 7%, а 17, 55 — до 18%.

Рис. 10. Эффективные портфели двух рисковых активов. Риск портфеля ,%, рассчитывается по формуле (??):

^аР = V ^ ^_ УУ^а2А + У^2(ТВ + “ У)°А<7В СОГ(гА, Г_В)\

<т_р = У(1 - yf ¦ 0,16 + у² • 0,01 + 2j/(l - у) • (-0,024).

Ожидаемая доходность портфеля ,%, находится по формуле (??):

х_р=(1- у)х_А + ухв = (1 - у) • 15% + у • 30%.

Нетрудно сосчитать и удельную премию за риск оптимального портфеля:

1,14.

18-10

7

Сформируем оптимальный портфель из акций и безрисковых облигаций, имеющий заданную доходность у.

Облигации дают безрисковый доход по ставке Го Доля облигаций у в новом портфеле ввічисляется на основе фор-мулві

/і = у? + (1 - У)К\

где ц° и сг° — доходности и риск оптималвного портфеля из акций А и В. Ввіделяя из этой формулві долю безрис-коввіх облигаций у, получаем

У = —-, б-¹¹

ц^и - Го

где у — заданная доходности нового оптималвного портфеля из акций и облигаций. Риск а оптималвного портфеля с доходноствю у определяется формулой (??). При этом, если желаемая доходности у болвше чем доходности оптималвного рискового портфеля д°, то доля у, опреде-

становится отрицателвнои.

ляемая формулой (??

Сделаем неболвшое отступление, касающееся допущения о том, что доли как рисковвіх, так и безрисковвіх активов могут приниматв отрицателвнвіе значения. Отри-цателвнвіе доли соответствуют так назвшаемой кюреткой позиции по активам с такими долями.

Фактическое владение инвестором ценивши бумагами назвівается длинной позицией (long position) по этим бумагам. Например, по фактически купленнвш акциям инвестор занимает длинную позицию ( или сами бумаги находятся в длинной позиции). Контракт, по которому ценная бумага продана, и принято обязателвство предоста-витв ее в будущем к определенной дате по заранее оговоренной цене, назвівается короткой позицией (short position). При этом в момент заключения сделки можно не иметь продаваемой бумаги.

Поясним смысл короткой позиции. Предположим, ожидается падение акций D, но у инвестора их нет. В этом случае можно заключить контракт о продаже определенного количества этих акций через через определенное время по теперешней цене 5о,іь Тем самым инвестор займет короткую позицию по акциям D. Если прогнозы оправдаются и стоимость акций снизится до S\p < ^т0

акции покупают по фактической цене S\p ^и продают по оговоренной в контракте цене 5о,іь Разница составляет доход от сделки.

Если доля у, в формуле (??) отрицательна, облигации находятся в портфеле в короткой позиции: инвестор принял обязательство их продать в будущем, не имея их на руках или же занял под безрисковый процент соответствующую сумму денег. На вырученные от продажи деньги увеличивается объем оптимального портфеля из акций А и В. В новом оптимальном портфеле р° на —у долей облигаций в короткой позиции приходится 1 — у долей бумаг портфеля р°.

Проиллюстрируем сказанное на примере. Рассмотрим процедуру формирования эффективных портфелей, дающих 12 и 30% дохода, на основе исходных данных предыдущего примера. Согласно этому примеру, ц° = 17, 55%, сг° = 6,88%. Сформируем новый оптимальный портфель, содержащий безрисковую часть и имеющий доходность 12%. По формуле (??) этот портфель содержит,%,

облигаций = 66,66 . Следовательно, на ценные бумаги портфеля р° остается,%: 100 — 66, 66 = 33,34. Эти соот-

ношения определяют состав нового оптималвного портфеля: 66, 66% облигаций, —-• 17 = 5,67% акций В

18

и-• (100 — 17) = 27, 67% акций А. Новвій эффек-

18

тивнвій портфели p*_ew имеет риск, рассчитвіваемвій по формуле (??) и равнвій 7% • (1 — 0,67) = 2,31%.

Теперв перейдем к другому эффективному портфелю p**_ew, у которого доходности 30%. Согласно формуле (??)

на каждвіе-—-= 0,67 части обязательств по об-

18% ’

лигациям приходятся 1 + 0,67 = 1,67 части ценнвіх бумаг портфеля р°. Эти соотношения определяют состав нового портфеля: на каждвіе 0, 67 части обязателвств по облигациям приходятся: (1 + 0, 67) - 0,17 = 0,28 части акций В; (1 + 0,67) • 0, 83 = 1, 39 части акций А. Иначе говоря, на каждвіе $67 обязателвств по облигациям портфели имеет $28 в акциях В и $139 в акциях А. Риск нового портфеля p**_ew рассчитвівается по формуле (??) с у = —0,67: 7% • (1 + 0,67) = 11,

Доходности любого эффективного портфеля, составленного как из рисковвіх, так и безрисковвіх активов, определяется равенством

% = П) + 7°с% (6-12)

где а_р — степени неопределенности или риск портфеля; г о — безрисковая процентная ставка; у⁰ — уделвная премия за риск оптималвного портфеля р°.

Уделвную премию за риск часто назвшают индексом портфеля. Эта величина характеризует портфели и может рассматриватвся как аналог широко известнвіх индексов, таких как индексы Доу Джонса, индекс 5&Р500, российский индекс РТС и др.

Модель ценообразования на рынке капитала САРМ. С конца шестидесятых годов прошлого века популярной становится инвестиционная теория, связанная с моделью оценки капитальных активов. Ее основы были заложены в работах У. Шарпа, Дж. Липтнера, Дж. Мос-сина [ 18-20]. Модель ценообразования на рынке капитала САРМ (Capital Assets Pricing Model) — модель, в основе которой лежат обсуждавшиеся выше соотношения, относящиеся к выбору оптимального или эффективного портфеля.

Модель формулируется для идеального конкурентного рынка, обладающего следующими основными свойствами:

• все участники рынка обладают полной и одинаковой информацией о доходностях доступных активов;

• все активы абсолютно ликвидны, инвесторы имеют возможность купить и продать,занять и дать в долг любое количество активов, при этом для безрисковых активов действует единая процентная ставка г о;

• все инвесторы формируют свои портфели в соответствии с теорией Марковица-Тобина, т.е. выбирают эффективные портфели из рисковых и безрисковых активов.

Среди перечисленных свойств идеального конкурентного рынка последнее условие выглядит самым ограничительным, из-за него модель САРМ не без основания подвергалась серьезной критике. Однако основные выводы, получаемые на основе этой модели, находят практическое применение и подтверждаются статистически.

В условиях идеалвного конкурентного рвшка все ин-весторві имеют одну и ту же структуру рисковой части портфеля, которая совпадает со структурой оптималвно-го чисто рискового портфеля р° . Отсюда проствш логическим рассуждением ввшодится, что сам портфели р° не может бвітв ничем иным, как реалвно существующим рыночным портфелем, т.е. его доли — это доли всего обращающегося на рвшке капитала, которвіе соответствуют суммарной стоимости акций определенного вида.

Последнее обстоятелвство позволяет оценитв характеристики риска и доходности портфеля р° без решения оптимизационной задачи, исполвзуя те или инвіе рвіночнвіе индексві. В качестве такого индекса берут, например, индекс 5&Р500 . Этот индекс содержит аккумулированную информацию об акциях пятиста крупнейших компаний и в значителвной степени отражает поведение финансового рвшка в целом.

Таким образом, оптималвнвій портфели р° для всех инвесторов один и тот же. В силу того , что это рвіночнвій портфели, примем для него специалвное обозначение — символ га, а характеристики его риска и доходности обозначим через а_т и х_т соответственно.

Линия рвшка капитала Capital Market Line — это прямая на плоскости (<т, р), связывающая уровенв риска а с доходноствю р для эффективных портфелей в смысле задачи Тобина. В нашем случае — это рыночный портфели и, как отмечалосв выше, те портфели, у которых структура рисковой части совпадает со структурой рвшочного портфеля.

Уравнение линии рвшка капитала с учетом принятвіх обозначений, получается путем преобразования формулві (??) с исполвзованием соотношений (??) и (??):

_{ц = Го} + ^1V (6.13)

&т

Связв ожидаемой доходности отделвной бумаги с параметрами рвшочного портфеля в равновесном состоянии рвшка дает равенство

Xj = г₀ + ^Хт ₂ ^Г° cov(rj,r_m), (6.14)

<7_т

где rj — случайная доходности ценной бумаги; г_т — случайная доходности рвшочного портфеля; со?(гдг_т) — коэффициент ковариации (линейной связи) доходностей рвшочного портфеля и бумаги.

Равенство (??) можно ввшести путем преобразования ввіражения ео?(гц г_т) с учетом явного представления доходности г_т по формуле (??).

Введем коэффициент А — отношение премии за риск (дополнителвной доходности рвшочного портфеля по сравнению с доходноствю безрисковвіх вложений) к его риску:

л _ Хщ Го

л о ’

(T^z

т

С учетом этого обозначения равенство (??) запишется в виде

Xj = го + А со?(гцг_т). (6.15)

Если теперь на горизонтальной оси отложить точки со?(гцг_т), отвечающие различным бумагам, то на плоскости (соv(rj,r_m),Xj) соответствующие точки будут располагаться на одной прямой. Эта прямая называется линия бумаг или Security Market Line. Уравнение (??)и соответствующий график отражают взаимосвязь доходности отдельной бумаги с доходностью рынка в целом.

Однако чаще используется другой способ представления указанной взаимосвязи. Для того чтобы его получить, перепишем равенство (??) в следующем виде:

соv(rj,r_m) Коэффициент --- является характеристикой

а^п

ценной бумаги и обозначается символом в:

_cov(tj , г_т)

Равенство (??) принимает вид

(6.16)

Xj = г₀ + (х_т - r₀)(3j.

Соотношение (??) называется основным уравнением модели САРМ(см. рис. 11).

Коэффициент бета (/?) связывает доходность ценной бумаги с доходностью рынка. Для рыночного портфеля /З_т = 1, поэтому уравнение (??) преобразуется в тождество

Параметр /? показывает, насколько изменения доходности отдельной бумаги следуют за изменениями доходности рынка. Этот параметр широко известен не только специалистам-теоретикам, но и широкому кругу практиков, работающих на финансовом рвшке. Статистические оценки бета для болвшинства ценнвіх бумаг регулярно публикуются в финансовой прессе, существует даже специ-алвное издание Beta Book, ввіпускаемое одним из ведущих финансоввіх издателвств.

Еств и специалвная терминология, относящаяся к /3-характеристике риска ценной бумаги. А именно: бумаги с бета, близкими к единице, назвшаются нейтралвнвіми (neutral). Изменения их доходностей следуют за движениями рынка, соответственно риск, связанный с ними, близок к риску работы на всем рынке .

Рис. 11. Линия бумаг и бета-характеристика ценной бумаги Бумаги с болвшими бета называются агрессивными (aggressive), при вложении средств в такие бумаги инвестор получает болвший выигрыш по сравнению с рыночным, если рынок растет, однако и болвший проигрыш, если рынок падает. Соответственно риск при работе с такими бумагами болвше.

И наконец, при малых положительных бета бумаги называются безопасными и даже защищающими (defensive). Их корреляция с рынком весьма мала, они полезны в случае ожидаемого падения рынка.

Систематический и несистематический риск. При формировании портфеля инвесторы стремятся достичь максимальной доходности при минимальном риске (неопределенности). Возникает вопрос: насколько риск ценной бумаги может быть уменьшен за счет ее включения в подходящий портфель? Различают систематический и несистематический риски. Систематический риск (systematic risk) - это риск, не поддающийся диверсификации, присущий всем ценным бумагам данного вида, например акциям, облигациям. Несистематический риск (nonsystematic risk) — риск, который может быть диверсифицирован путем включения бумаги в портфель с другими ценными бумагами того же вида. Диверсификация (diversification) — уменьшение риска путем составления портфеля и перераспределения риска.

Ответ на вопрос о количественных оценках систематического и несистематического риска дает модель САРМ и формулы (??), (??), (??), связывающие степень неопределенности оптимального портфеля с уровнем его доходности. В общем виде формула для определения минимально возможного систематического риска — систематической неопределенности — такова:

°^Sj = ft'CTm,

где а_т — неопределенность оптимального рыночного портфеля с доходностью х_т. Несистематический т.е. ди-версифицируемый риск может быть найден из соотношения

(Jj (Jj fjj(7_m.

С помощью составления оптимального портфеля можно свести риск к (3jcr_m. Дальнейшее уменьшение риска достигается только при уменьшении уровня доходности портфеля. Геометрически несистематическому риску соответствует расстояние от точки бумаги на плоскости риск-доходность до прямой CML по горизонтали, а систематическому — далее от CML до оси ординат (см. рис. 12).

Проиллюстрируем сказанное на примере. Пусть а_т = 30%, х_т = 44%, г₀ = 8%, Д- = 0, 89, оу = 50, х₃ = 50%.

Рис. 12, Систематический и диверсифицируемый <t”^s,<t?^s риски

Тогда систематический риск у = PjOm = о, 89 ¦ 30% = 26, 70%,

диверсифицируемый риск

(Tj ^S = Oj - 8j<j_m = 50% - 0,89 • 30% = 23,30%.

Угловой коэффициент Л для линии бумаг SML (уравнения (??), (??))

Го 36%

30%

Уравнение линии бумаг

д = 8% + 1, 2а⁸ = 8% + 1, 2 ео?(жд х_т).

Цены активов в модели САРМ. Пуств Р-о — сегодняшняя известная цена актива (ценной бумаги) ,а Рд — ее неопределенная будущая цена. Требуется установитв связв между этими величинами и безрисковой процентной ставкой го-

Доходности ценной бумаги в простейшем случае

Применяя формулу (??), получим

Рл Рл

^М{~Б~ - ^х) = ^го + Аео?(^- - 1,ж_ш).

Га 0 Га 0

Заметим, что величина Pjо — это уже известная сегодняшняя цена, поэтому не случайна, и кроме того, справедливо равенство со?(—1,ж_ш) = 0. Вследствие чего имеем

Отсюда, ввіразив Рд, получаем

М(Рд) — Л ео?(Рд, х_т)

(6Т7)

1 + П)

Формула (??) выражает тот факт, что для получения сегодняшней цены рыночной ценной бумаги необходимо из ее ожидаемой будущей цены M(Pji) вычесть абсолютную премию за риск Л со?(Рр, х_т) и затем дисконтировать по безрисковой процентной ставке г о.

Здесь абсолютная премия за риск — это разность между ожидаемой будущей ценой рисковой ценной бумаги и будущей ценой безрисковой ценной бумаги при условии, что в настоящее время их цены одинаковые. Математически абсолютная премия за риск равна величине Л cov(Pji,x_m).

Обобщения модели САРМ. В литературе описано множество различных моделей, обобщающих и развива-юющих САРМ. Мы остановимся на двух из них.

Пусть рассматривается N различных рынков, например рынок акций промышленности, рынок акций топливно-энергетического комплекса, рынок акций наукоемких отраслей и др. Тогда существует соответствующее количество оптимальных портфелей со своими доходностями и рисками . Интерес представляет расчет ожидаемой доходности и риска оптимального портфеля, состоящего из ценных бумаг различных рынков. Для этой цели есть обобщенная модель ценообразования на рынке капитала G-CAPM (General Capital Assets Pricing Model) — модель, с помощью которой исследуется несколько рынков капитала.

Рассмотрим модель G-CAPM подробнее. Ожидаемые доходности Xj ценных бумаг портфеля, состоящего из бу-маг только п-го рынка, определяются по формуле

xj = г₀ + (х_п - г₀)Д_>5 п = 1,..., N,

где Го — доходность безрисковых ценных бумаг; х_п — ожидаемая доходность оптимального портфеля п-го рынка; /?у_п — коэффициент, рассчитанный по отношению к п-му рынку. Если в каждый рынок п вложено К_п средств, то доля соответствующих средств во всем рыночном капитале вычисляется по правилу

(6.18)

_ к_п

Уп — _N

Е ^к«

п=1

Модель G-CAPM утверждает, что в условиях равновесия справедливо соотношение

N

(6.19)

Го)/?,

Уп{Хп

3,п

^Х3 = ^Г0 + Е

П=1

В силу (??) из (??) получаем

N

^ Го)/3j,_n

, п=1

^Х3 = ^Г0 +-N-•

Е ^к*

п=1

В условиях идеальных финансовых рынков с полной информацией все инвесторы вкладывают деньги в портфели с максимальным отношением дополнительной доходности к неопределенности. При этом указанное отношение должно быть одинаковым на всех рынках. Здесь

= Pj и обобщенная модель ценообразования G-CAPM становится моделью САРМ. В условиях неполноты информации и ненулевой трансакционной стоимости, например при учете комиссионных при купле-продаже ценных бумаг, отношение дополнительной доходности по сравнению с доходностью при купле-продаже безрисковых бумаг к неопределенности дохода может быть различным на различных финансовых рынках. В этом случае обобщенная модель G-CAPM дает более точные результаты.

Вплоть до 1976 г. развитие финансовой теории шло под доминирующим влиянием САРМ. В 1977 г. эта теория подверглась жесткой критике в работах Ричарда Ролла [21]. Ролл высказал мнение, что САРМ следует отвергнуть, поскольку она в принципе не допускает эмпирической проверки. Вопрос о принципиальной верифицируе-мости САРМ вызывает горячие споры и по сей день. Примерно в это же время Стивом Россом [22] была предложена альтернативная модель оценки капитальных активов, развитая в рамках Арбитражной теории ценообразования и получившая название “арбитражной модели”, или АРМ. Эта модель строится на основе принципа, состоящего в том, что соотношение между ожидаемой доходностью и риском должно быть таким, чтобы ни один индивидуальный инвестор не мог получить неограниченный доход от арбитражной сделки. Этот принцип невозможности арбитража можно сформулировать в “физических” терминах как невозможность создать “финансовый вечный двигатель”, т.е. машину без всякого риска, неограниченно долго “вытягивающую” денвги с рынка. Адептві арбитражной теории (Arbitrage Pricing Theory ), в частности, Росс и Ролл [23], утверждают, что эта теория допускает, по крайней мере в принципе, эмпирическую проверку.

Арбитражная модели ценообразования представляет собой скорее конкурирующую с САРМ модели, чем дополняющую ее. В ней предполагается, что доходности ту ценной бумаги определяется некоторым фиксированнвш набором факторов. В качестве таких ведущих факторов ввібираются индексві известнвіх портфелей, уровенв инфляции, величина ставки рефинансирования и др. В модели могут присутствоватв сразу несколвко факторов. В наиболее простом случае, когда фактор один, доходности ценной бумаги связана с фактором соотношением

^rj ⁼ M(rj) + j3j(I — M(I)) + ^eji

где (3j — коэффициент, связвшающий изменения в значениях фактора / и доходности ту; / — значение фактора, обеспечивающего доходности ценной бумаги; М(І) — математическое ожидание этого фактора; ej — случайнвій шум.

Заметим, что взяв в качестве ведущего фактора доходности рвшочного портфеля, мві придем к модели САРМ.

Обе модели — САРМ и АРТМ требуют расчета коэффициентов f3j. Для ввічисления Д- достаточно иметв статистику, состоящую из пар значений (г_ш, ту), и с помощвю линейной регрессии получитв уравнение где Xj — доходность ценной бумаги; х_т — доходность рынка.

Линейную регрессию можно построить, используя соответствующую компьютерную программу, в частности практически любые электронные таблицы. Без расчетов приближенное значение коэффициента Д- можно определить графически. Для этого в координатах х_т и Xj откладывают все возможные пары точек и проводится прямая, наилучшим образом их приближающая. Коэффициент наклона этой прямой и будет искомым коэффициентом (3j. При проведении такой прямой “на глаз” человек непроизвольно использует метод наименьших квадратов, т.е. минимизирует сумму квадратичных отклонений. Этот же метод используется и в электронных таблицах.

Заметим, что выше приведено упрощенное изложение вопросов, связанных с расчетом статистических характеристик ценной бумаги. В упоминавшихся финансовых изданиях наряду с параметром /? ценной бумаги обычно приводится еще ряд характеристик, в частности так называемое "приспособленное"/? (adjusted /?) , скорректированное с учетом тенденции постепенного приближения к единице, характерной для данного показателя. Кроме того, приводится коэффициент а бумаги, позволяющий инвестору получить представление о соответствии текущей цены бумаги и той, которая соответствует равновесному рынку. Приводится также целый ряд параметров, характеризующих собственно корректность статистических расчетов.

Библиографический список

1. Альгин, А.П. Риск и его роль в общественной жизни / А.П.Альгин. М.: Мысль, 1989.

2. Балабанов, И.Т. Риск - менеджмент /И.Т.Балабанов. М.: Финансы и статистика, 1996.

3. Лапуста, М.Г. Риски в предпринимательской деятельности / М.Г.Лапуста, Л.Г.Шаршукова. М.: ИНФРА -М, 1998.

4. Риски в современном бизнесе / П.Г.Грабовый [и др.]. М.: Алане, 1994.

5. Чалый-При луцкий, В. А. Рынок и риск : методические материалы: (пособие для бизнесменов) по анализу оценки и управления риском / В.А.Чалый-Прилуцкий. М.: НИУР : Центр СИНТЕК, 1994.

6. Arrow, K.J. Aspects of the theory of risk-bearing / K.J.Arrow. Helsinki: Yrjo Jahnssonin Saatio, 1965.

7. Granville, J.E. New strategy of daily stock market for maximum profit / J.E.Granville. New York: Prentice-Hall, 1976.

8. Therapeutic risk: Perception, measurement, management / (eds) D.Burley, W. H. W.Inman. Chichester: Wiley, 1988.

9. Covello, V. T. Risk communication: Research and practice / V.T.Covello, D. von Winterfeldt, P.Slovic. New York: Columbia Univ., School of Public Health, 1988.

10. Lewis, H. W. Technological risk / H.W.Lewis. New York: Norton, 1990.

11. Linnerooth, J. The evaluation of life saving: A survey / J.Linnerooth. Laxenburg : IIASA, 1975. (Res. Report; 75-21).

12. Slovic, P. The perception of risk / P.Slovic. London; Sterling: Earthscan Publ.Ltd, 2000.

13. Гранатуров, B.M. Экономический риск: сущность, методы измерения, пути снижения / В.М.Гранатуров. М.: Дело и Сервис, 1999.

14. Тренев, Н.Н. Управление финансами / Н.Н.Тренев. М.: Финансы и статистика, 2000.

15. Transboundary risk management / (eds) J.Linnerooth-Bayer, R. E.Lofstedt, Sjostedt. Laxenburg : IIASA, 2001.

16. Bacskai, T. A gazdasigi kockasat es meresemeh medszerei / T.Bacskai. Budapest: Kozgazdasagi es Jogi Konyvkia-do, 1976.

17. Шарп, У. Инвестиции / У.Шарп, Г.Дж.Александер, Дж.В.Бэйли. М.: ИНФРА-М, 1997.

18. Sharp, W.E. Capital Asset price : a theory of market equilibrium under conditions of risk / W.E.Sharp // J. Finance. 1964. 29(3). R 425-442.

19. Lintner, J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets / J.Lintner // Rev. Есопот.У Statistics. 1965. R 13-27.

20. Mossin, J. Equilibrium in a capital asset market / J.Mossin j j Econometrica. 1966. 34(4). P. 768-783.

21. Roll, R. A critique of asset pricing theory test / R.Roll // J. Financ. Econom. 1977.

22. Ross, S.A. The arbitrage theory of capital asset pricing / S.A.Ross j j J. Economic Theory. 1976.

23. Roll, R. A critical reexamination of the empirical evidence of the arbitrage pricing theory / R.Roll, S.A.Ross j j J. Finance. 1984.

24. Markowitz, H. Portfolio selection / H.Markowitz // J. Finance. 1952. Vol.7. P. 77-91.

25. Tobin, J. Liquidity preference as behavior towards risk / J.Tobin // Rev. Economic Stud. 1958.

Доходность портфеля в зависимости от риска и корреляции

<тр = У(1 - yf ¦ 0,16 + у2 • 0,01 + 2j/(l - у) • (-0,024).

ци - Го

Е к«

Х3 = Г0 + Е

Е к*

<т_р = У(1 - yf ¦ 0,16 + у² • 0,01 + 2j/(l - у) • (-0,024).

ц^и - Го

Е ^к«

^Х3 = ^Г0 + Е

Е ^к*