ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РИСКА

При анализе экономического риска рассматривают его качественную, количественную и правовую стороны. Для численного выражения риска используется определенный математический аппарат. Основными математическими понятиями, которые возникают при количественной оценке риска, являются: вероятность, случайная величина, математическое ожидание, дисперсия (вариация), коэффициент вариации, коэффициент корреляции, проценты, простейшие функции и их графики, матрица, производная. Эти понятия надо знать и глубоко понимать.

Фундаментальными понятиями в этом курсе и в статистическом анализе является понятие вероятности и случайной величины (переменной). Под термином случайная величина в теории вероятностей понимается не всякая переменная величина, которая принимает случайные, наперед неизвестные неопределенные значения.

Случайной переменной мы называем переменную, которая под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества чисел.

Случайная величина - это переменная, которой даже при фиксированных обстоятельствах мы не можем приписать определенное значение, но можем приписать несколько значений, которые она принимает с определенными вероятностями.

Под вероятностью некоторого события (например, события, состоящего в том, что случайная переменная приняла определенное значение) обычно понимается доля числа исходов, благоприятствующего данному событию в общем числе возможных равновероятных исходов.

Случайные величины обозначают буквами: X, Y, ? ,R, Ri , х и т.д.

Основными характеристиками случайных величин являются следующие величины.

1. Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х находится по формуле

n

М(Х) = m = m_X = X PjXj,

i = 1

где x_i - значения случайной величины;

p_i - вероятности, с которыми эти значения принимаются. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х находится по формуле

b

М(Х) = j xf (x )dx,

a

где f(x) - плотность распределения значений случайной величины.

2. Дисперсия (вариация) и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Дисперсия - это степень рассеянности (разброса) значений случайной величины вокруг своего среднего значения. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины находятся, соответственно, по формулам:

D(X ) = V = M (X - M(X ))² = M(X²) -(M (X ))², V = о ², о = о _X =VD(X),

D(X)= V=Vxx,

D(X) = XPix2 -(M(X))², D(X) = ^bx²f(x)dx-(M(X))².

ⁱa

3. Ковариация.

Ковариация - вспомогательная величина. Ковариация между случайными величинами X,Y обозначается cov(X,Y) или V .

XY

Ковариацией (корреляционным моментом) называется величина V_XY = ^KX_Y = M{(X - M(X))(Y - M(Y))}

4. Коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции называется величина

V.

XY

(-1 - Pxy - D-

XY

Если

р = 1 - полная прямая линейная корреляция,

XY

р = -1 - полная обратная линейная корреляция,

р = 0 - Х и Y - некоррелированные случайные величины.

XY

Оценка тесноты линейной связи производится по следующей таблице.

Таблица 1.1 Теснота связи Значение р_вд Прямая связь Обратная связь Слабая o'

1

о" (- 0,3) - (- 0,1) Средняя 0,3 - 0,7 (- 0,7) - (- 0,3) Тесная 0,7 - 1 _(- 1) - (- 0,7)_ В случае нелинейной зависимости между случайными величинами X и

Y коэффициент корреляции p_xy нельзя использовать для выявления тесноты связи. Его вычисление при нелинейной зависимости позволяет:

a) охарактеризовать степень приближения исследуемой корреляционной зависимости к функциональной;

b) сделать предварительную оценку тесноты корреляционной зависимости.

Заметим, что в большинстве практических задач измерение тесноты связи начинают с вычисления коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции - безразмерная величина. Если с ,,ростом“ одной величины „растет“ и другая, то р >0, если с „ростом“ одной - дру-

XY

гая величина „уменьшается^, то р <0. Близкая к нулю величина коэффици-

XY

ента корреляции говорит об отсутствии линейной связи между переменными, но не об отсутствии связи между ними вообще. Корреляционный момент

V , как и коэффициент корреляции, характеризирует степень линейной свя-

XY

зи величин X и Y. Коэффициент корреляции - это нормированный корреляционный момент. Ковариация сама по себе используется редко; она обычно фигурирует как промежуточный элемент расчета коэффициента корреляции. Геометрическая интерпретация коэффициента корреляции проиллюстрирована на рис. 1.1 - рис. 1.6.

Рис. 1.1. Положительная корреляция между X и Y

Рис. 1.2. Отрицательная корреляция между X и Y

Рис. 1.3. Полная прямая линейная ^Рис-¹ - 4. П°^лная °браг^{ная ли}-

корреляция между X и Y нейная корреляция между X

и Y

і У

^il PXY = ^{0 и}

независимы

Рис. 1.5. X и Y некоррелированные Рис. 1.6.X и Y некоррелиро-

и независимы

ванные,но зависимы

На практике оценки характеристик случайной величины находят по формулам:

_ _m _ - _I ПіХі _I Xi

M(X) _ in _ X _^^L _±nL, (J_X (x² - X²),

XY

-У - -y

xy б 6

X

- 2 —2 /2 —2 vx -x yy -y

1 n

^vxy _-7 I ^(xi ^{- х)(}Уі ^- y⁾ _-7 ⁽I ^ХіУі ^{- nx} y⁾

n -1 i _1

n -1 i_1

n-1

^(xy ^{- x} У⁾-

5. Коэффициент детерминации.

Наряду с коэффициентом корреляции для исследования тесноты связи между величинами X и Y используют еще одну характеристику - коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации показывает, какая часть изменения Y вызванная изменением величины Х. Остаток изменения Y вызван неучтенными факторами. Коэффициент детерминации - показатель адекватности регрессивной модели.

Коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции

р ²XY

у)²

у)²

I (У:

I ⁽y_:

где У_; - теоретические значения случайной величины Y.

6. Уравнение линейной регрессии.

Уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид

Пример 1.1. По выборочным данным для случайных величин X и Y (табл. 1.2) найти оценки математического ожидания, дисперсии, ковариации между X и Y. Найти уравнение линейной регрессии Y на X.

Таблица 1.2 X 4 2 3 1 3 4 2 5 4 2 Y 3 1 2 1 3 4 1 4 4 1 Решение.

Х2 = ⁴² + ²² + ³² + I² + ³² + ⁴² + ²² + ⁵² + ⁴² + ²² = іо,4.

10

Аналогично вычисляем у = 2,4 и у² = 7,4. Теперь находим

^{x - m}x

У ^{- m}Y

—(10,4 - 3²) = 1,556, Qx ^/1,556 = 1,247,

10

10

>Х

qY = у(7,4 - 2,4²) = 1,822, q_y =sj1,822 = 1,350,

— 4 • 3 + 2 • 1 + 3 • 2 + 1 • 1 + 3 • 3 + 4 • 4 + 2 • 1 + 5 • 4 + 4 • 4 + 2 • 1

xy =-= 8,6,

10

V_w =¹⁰ (8,6 - 3 • 2,4) = 1,556, p_XY = —^1,556— = 0,924.

^XY 9 ^v ’ ’ ’ ^FXY 1,247 • 1,350

Уравнение линейной регрессии Y на X:

y-2,4 = 0,924 •^1,350 (х - 3) ^

1,247

y = 1,000x-0,601.

Корреляционное поле и линия регрессии на нем выглядят так.

То, что коэффициент корреляции р = 0.924 ~ 1 означает, что между X

XY

и Y есть тесная линейная связь. Это видно и из рис. 1.7: точки (xi,yi) расположены вдоль прямой у = x - 0,6.

То, что коэффициент детерминации равен р² =0,924²=0,854 означает,

XY

что 85,4% изменчивости Y объясняется изменением Х, остаток 14,6% изменчивости Y объясняется неучтенными факторами.

7. Множественная регрессия.

На практике, как правило, встречаются процессы, характер протекания которых детерминированным образом зависит не от одной, а от нескольких определенных величин x₁, x₂,...,x_k. Например, выпуск продукции зависит от затрат труда, затрат фондов и т. д. Можно учитывать много факторов, но на практике это не целесообразно. Поэтому выделяют пару основных факторов.

Переменные x₁, x₂,., x_k обычно называют независимыми переменными (или регрессантами, факторами). Их возможные значения принадлежат некоторой области k-мерного пространства. Переменную у = f(x₁, x₂,..., x_k) называют зависимой переменной (или регрессором).

Многофакторная линейная регрессивная модель может быть записана в

виде

Y = Р0 + Pi xi+ Р2 x2+. + Pj xj+... + Pk xk+s,

где у - зависимая переменная; x₁, x₂,., x_k - независимые переменные (факторы,); р₀, р₁, р₂, ..., p_k - параметры модели, которые необходимо оценить; s -ненаблюдаемая случайная величина.

Пусть имеется n наблюдаемых значений (y,x_b x₂,..x_k) ^y xi x2 . . ^xj xk y1 ^x11 ^x12 .. ^x1j x1k y2 ^x21 ^x22 .. ^x2j x2k yt ^xt1 ^xt2 .. ^xtj xtk Уп xn1 ^xn2 •• ^xnj xnk Для этих значений имеем

yt= во + P1 Xt1+ Р2 Xt2+.+ Pj Xtj+.+ Pk Xtk+St

или

(1)

(2)

^yt = P o + XP,V^e, ^(t =^{1 2}>-> ⁿ⁾,

j=1

Уравнение (1) может быть записано в матричном виде

у = x P + ?,

где

^f У1 I ^У2 f 1

1 x

11

x

21 x

1J

x

2j x ^

1k

^x2k ^fP 0 ]

P1

(*2 fe Л

1

е

2 У = ^yrt , x = 1 x

t1 x

tj ^xtk , P = Pj , е = e

t v^Уп у 1

1 x

n1 x

nj ^xnk _y f*k

1 ^{k У} e

1 ⁿ ) Предполагается, что выполняются следующие условия.

А1. Математическое ожидание случайной величины е равно нулю.

Е (?_t / x_t1, x_t2,..., x_tk) = 0 для каждого t.

А2. Случайные величины ?_t независимы между собой,

COV (?i,?j) = 0, i ф j.

А3. Модель гомоскедастична, то есть ошибки имеют одинаковую дисперсию для любого наблюдения

var (si) = а².

А4. Ковариация между случайной величиной Si и каждой независимой переменной х равна нулю.

А5. Случайная величины s соответствует нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией.

Кроме того, модель должна быть правильно специфицированной и не должно быть точно линейной связи между двумя или больше факторами.

Для оценки неизвестных параметров р₀, Рь Р₂,..., Р к чаще всего используют следующие критерии.

1. Метод наименьших квадратов (МНК).

min X ⁽У

в t=i

^-f(xt,P⁾⁾² ^ °

Xt=( Xti, Xt2,..., Xtk).

В результате получают среднеквадратическую регрессию.

2. Метод наименьших модулей.

(3)

min X y_t ^{- f(x}t,^р)

P t=i ^{t t}

В данном случае регрессия называется среднеабсолютной.

3. Минимаксный метод

f(x_t, P)

min max

P 1<t<n

y_t

Регрессия называется минимаксной.

Рассмотрим оценку параметром линейной множественной регрессии с помощью метода наименьших квадратов. Используя матричное уравнение (2) и соотношение (3), нетрудно показать, что оценка P параметра Р имеет вид

P = (x^Tx)^-1 x^Ty,

где x^T транспонированная матрица x и выборочное уравнение регрессии имеет вид

у = в + в x +B x +... +B x +... +B x . ^{J K}0 *11 *2 2 ^Kj j *k k

Оценка МНК множественной линейной регрессии является несмещенной, состоятельной и эффективной.

После того, как получена оценка в параметра в, проверяют значимость уравнения регрессии, т.е. проверяется гипотеза

Но: в і = в 2 = ... =в k = 0

против гипотезы

Н₁: хотя бы одно значение не равно в і (i =1, 2, ... k), не равно нулю.

Для проверки гипотезы используют F - критерий Фишера.

Если в результате проверки один (или более) параметр окажется несущественным, то его исключают из уравнения регрессии. После чего вновь проводят оценку параметров модели, но уже с меньшим числом переменных.

Пример 1.2. Найти уравнение многофакторной регрессии и определить значимость параметров регрессии по данным табл. 1.3.

Таблица 1.3 t yt xt1 xt2 1 8 3 1 2 10 4 2 3 16 6 8 4 11 3 5 5 12 4 6 6 8 2 5 7 11 4 3 8 9 3 2 9 14 7 8 10 15 9 10 Решение.

Т

Вычислим матрицу x x f1 3 1 4 T

x x = f 1 1 1 . . 1 1 4 1

1 4 2

8 f 10 45 50 4 3 4 6 . 7 9 6 ₌ 45 245 272 1 2

^l 8 . 8 10

7 1 7 8 _l50

^l 272 332

7 l¹ 9 ¹⁰ J T

Вычислим матрицу x y

( 8 3 1 1 3 10

16 (114 3 7 9 ₌ 561 8 10

7 14 636 ^ ⁷ 15

^ ⁷ Тогда оценка в имеет вид

а ( т ч-1 т в = (X x) XX = (10 45 50 3 -1 (114 3 45 245 272 561 50 272 332 636 V J \ J -1340 820 - 470 - 10 3 (114 3 (6,3083 - 470 561 ₌ 0,654 565 7 ⁷ 636 ^ ⁷ 0,430 ^ ’ ⁷ 1

12760

( 7356 -1340 -10

Следовательно, оценка уравнения регрессии имеет вид

у =6,308 + 0,654 x₁ + 0,430 x₂.

Уравнение регрессии легко получить с помощью EXCEL. Для этого выполняем следующие действия: Данные, Сервис, Анализ данных, Регрессия, Enter, Y Enter, X(оба столбца) Enter, Enter.

Не экране получим следующее решение.

Дисперсионный анализ df SS MS Регрессия 2 59,76959248 29,88479624 Остаток 7 12,63040752 1,804343932 Итого 9 72,4 Коэффици

енты Стан- t-

дартная ошибка статистика P-Значение Y-пересечение Переменная X1 Переменная X 2 6,307523511

0,653605016

0,430250784 1,019894347 6,184487175 0,340518923 1,919438164 0,245148246 1,755063687 0,00045203

0,09640943

0,12268314 F Значимость F Регрессия

Остаток

Итого 16,5626939 0,002217562 Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение Переменная X1 Переменная X 2 3,895858328

0,151593711

0,149432288 8,719188694

1,458803742 1,009933856 ВЫВОД. ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,908596091 R-квадрат 0,825546857 Нормированный 0,775703102 R-квадрат Стандартная 1,343258699 ошибка Наблюдения 10 Проверяем значимость коэффициентов в j, j = 1, 2 при уровне значимости а = 0,05.

Сначала вычисляем несмещенную оценку дисперсии ошибок

?2 (y_t ^- Уі)²

n - m -1

где:

y_t - значения зависимой переменной;

n - число наблюдений; m - число оцениваемых параметров.

Таблица 1.4 t ^у, (У, - У,)² 1 8,700 0,490 2 9,784 0,046 3 13,672 5,419 4 10,420 0,336 5 11,504 0,246 6 9,766 3,118 7 10,214 0,618 8 9,130 0,017 9 14,326 0,106 10 16,494 2,232 Z 12,628 Отсюда

2 (у, - У,)² = 12,628.

Тогда

'2- ¹²’⁶²⁸ = 1,804

S² =•

10 - 2 -1

Вычисляем дисперсии оценок в j = 1, 2.

S²(P _j) = S²b_jj, j = 1, 2,

где bjj - диагональные элементы матрицы (x x)" .

= 0,160,

565

S²(B ) = 1,804--= 0,080.

По таблице t - распределения Стьюдента находим

tKp = tKp (a, n-m-1), т.е. tKp (0,05; 7) = 2,365.

1. Проверяем гипотезу Н₀: в ₁ = 0.

t _б = = °’⁶⁵⁴ = 1,635 .

^наб S(P_:) д/0,160

Так как |t_Ha6 | < t_Kp, то нет основания опровергнуть гипотезу Н₀коэффициент в ₁ не значим.

2. Проверяем гипотезу Н₀: в ₂ = 0

= 1,520

_t = = 0,430

^наб S(p₂) V⁰,⁰⁸⁰

Коэффициент в ₂ значим.

Таким образом, из уравнения регрессии исключаем переменную x₁, имеющую незначимый коэффициент.

Исключив переменную x₁, получаем простую линейную регрессию вида

В +В x .

^К0 ^Н2 t2

Еще раз оцениваем коэффициенты регрессии.

У x У -nx • У

t2 t 2

Уx² -nx

t2 2

В = у-В x .

^К0 ^{J Н}2 2

Отсюда в ₂ = 0,805, в₀ = 7,375.

Значит, оценка уравнения регрессии есть

у = 7,375 + 0,805x₂.

Его также можно получить с помощью EXCEL:

R-квадрат 0,733728608 Нормированный R-квадрат 0,700444684 Стандартная ошибка 1,552338912 Наблюдения 10 Дисперсионный анализ df SS MS Регрессия 1 53,12195122 53,12195122 Остаток 8 19,27804878 2,409756098 Итого 9 72,4 Коэффициенты Стандартная t-статистика P-Значение ошибка Y-пересечение 7,375609756 0,987753687 7,46705363 7,14765E-05 Переменная X 1 0,804878049 0,171427155 4,695160744 0,001551136 F Значимость F Регрессия 22,04453441 0,001551136 Остаток Итого Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение 5,097844196 9,653375317 Переменная X 1 0,409566065 1 ,2001 90033 Проверяем значимость коэффициента р₂ при уровне значимости а =

0,05.

Таблица 1.5 t ^yt (yt - У1 )² 1 8,18 0,0324 2 8,985 1,0302 3 13,815 4,7742 4 11,4 0,16 5 12,205 0,0420 6 11,4 11,56 7 9,772 1,5080 8 8,985 0,0002 9 13,815 0,0342 10 15,425 0,1806 Z 19,3218 Отсюда ^(y_t - y_t)² = 19,3218. Несмещенная оценка дисперсии

2,415

19,3218 10 -1 -1

S²(P ) = 2,415¦-⁵⁶⁵- = 0,107. ² 12760

Из таблицы Стьюдента имеем 1_кр (0,05; 8) = 2,306.

Так как

^в2 _ 0,805

S(P₂) _у0д?7

2,46J

наб 2

то коэффициент р₂ значим.

Окончательно оценка регрессии со значимыми коэффициентами имеет

вид

у _ 7,375 + 0,805x₂.

Коэффициент при х₂ показывает, что при увеличении значения х₂ на одну единицу, значение у в среднем увеличивается на 0,805 единицы. Строим доверительный интервал для параметра р₂.

^(xTx)J

р. еЖ ±t S 4 rJ Y

где ty - критическое значение, определяемое по таблице Стьюдента при уровне значимости а = 1 - у;

р₂ е { 0,805 ± 2,306^0,012 }

(Здесь Кр (а; k) = Кр (0,05; 10-2) = 2,306).

Или 0,552 < р ₂ < 1,058.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РИСКА

I (У:

I (y:

-f(xt,P))2 ^ °

f(xt, P)

yt

S2(P j) = S2bjj, j = 1, 2,

I ⁽y_:

^-f(xt,P⁾⁾² ^ °

f(x_t, P)

y_t

S²(P _j) = S²b_jj, j = 1, 2,