ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЗНОСТИ ПРИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ
2.1. Определение полезности по фон Нейману
Под лотереей L(x,p,y) понимают ситуацию, в которой у принимается с вероятностью p и x с вероятностью (1-p). Лотерею L(x;0,5;y) обозначают через <x,y> и говорят: лотерея 50-50.Под сложенной лотереей L(x1,x2,...,xn;p1,p2,...,pn) понимают ситуацию, в которой лицо, принимающее решение, может получить xbx2,...,xn с вероятностями p1,p2,...,pn, соответственно.
Принято обозначать:
x $ у - х предпочтительнее у;
x % У - У предпочтительнее x;
х ~ у - безразлично х или у.
Предпочтительность определяется индивидуально.
Пусть х1 % х2 % х3 % •••хп-1 % хп упорядоченное по предпочтению множество исходов. Полезностью варианты xi называется вероятность Ui такая, что лицу, принимающему решение, безразлично получить xi наверняка или участвовать в лотерее L(x1,ui,xn). Значение Ui есть значение некоторой функции, определенной на упорядоченном по предпочтению множестве.
Функцией полезности u(x) по Нейману, определенной на упорядоченном по предпочтению множестве X= [x*,x ] называют вероятность u(x)=p(x) такую, что принимающему решение безразлично получить x наверняка или участвовать в лотерее L(х*,р(х),х*).
Полезность определяется индивидуально. Определение полезности не математическая проблема. Определение полезности - это искусство.
Пример 2.1. Предлагается два места работы: в первом вам обещают гарантированно 200 грн., а во втором или 100, или 500. При какой вероятности получения 500 грн. вам будет безразличен выбор места работы?
Решение. Определяем свою предпочтительность:
0 = u(X1) < u(X2) < и(Хз) <•••< u(Xn-1) < u(Xn) = 1.
Так определяемая функция полезности будет иметь значения, заключенные между нулем и единицей, то есть
0 < u (x) < 1.
В действительности рассматривают функции полезности с произвольной областью изменения.
Для этого значению х* приписывают произвольное значение u(x*) а значению х* произвольное значение u(x*).
Тогда полезностью по Нейману произвольного значения х ((x е [x*,x*]) определяется равенством
u (x) = pu (x *) + (1 - p)u (x *),
(p определено выше).
Можно считать функцией полезности и любую функцию
v(x)=a+bu(x), где b>0.
Можно дать и общее определение функции полезности.
Функцией полезности называется действительная функция u(x), определенная на упорядоченном по предпочтительности множестве X= X= [x*,x ], если она монотонна, то есть, если для всех x, y е X из x % у следует u(x)<u(y).
В общем, функция полезности строится аналогично функции полезности по Нейману с помощью экспертных процедур. Вариантам x* и x* присваиваются произвольные числа А и В (А< В), а промежуточным вариантам ставятся в соответствие некоторые промежуточные числа с помощью экспертных процедур.
Ожидаемой полезностью сложенной лотереи называется математическое ожидание функции полезности
b
Mu( х )= X Piu(xj) или Mu( х )= J u(x)f(x)dx,
i a
(f(x) - плотность распределения выигрышей, х - случайный выигрыш в лотерее).
Имеет место принцип фон Неймана - Моргенштерна. Если функция полезности конструируется по способу, определенному фон Нейманом-Моргенштерном и люди ведут себя последовательно (по аксиомам), то данное лицо будет поступать таким образом, чтобы максимизировать ожидаемое значение полезности.
Пример 2.2. Пусть вы сталкиваетесь с одним из двух способов действий (контракты), которые, как показано в табл. 2.1, приводят к различным выигрышам и проигрышам с указанными вероятностями:
о/M
Решение. Построим свою функцию полезности (рисковое поведение) (таб. 2.2)
Міи(х) = 0,2-0+0,1-0,2+0,4-0,3+0,3-1 = 0,44,
Мпи(х) = 0,2-0,1+0,4-0,3+0,3-0,4+0,1-1 = 0,36.
По математическому ожиданию контракты равносильны, по дисперсии предпочтительнее второй, по соотношению о и М лучший второй. Но согласно принципу Неймана - Моргенштерна, принимающий решение примет первый контракт, так как он имеет большую ожидаемую полезность.
2.2. Детерминированный эквивалент лотереи
Детерминированным эквивалентом лотереи называется такая величина х, что принимающий решение, безразличен в выборе между участием в лотерее и получением х наверняка.Детерминированный эквивалент определяется из равенства
и( х) = Ми(х), то есть х = и-1Ми(х).
Надбавкой за риск называется величина п(х) = М( х)- х.
Графически детерминированный эквивалент х и надбавку за риск п(х) для лотереи <x1,x2> изображается следующим образом:
Пример 2.3. Найти детерминированный эквивалент и надбавку за риск лотереи <4,12> при функции полезности u(x) = 0,2x2.
Решение.
М(х) = 1 • 4 + 2-12 = 8,
0,2 х2 = 1 • 0,2-42 + 1 • 0,2-122 = 0,2 • 80,
х2 = 80, х=?80 - 8,94, п(х) - 8 - 8,94 = - 0,94.
Построение функции полезности является не столько математической проблемой, сколько искусством. Кини и Райфа предлагают следующую процедуру построения функции полезности по пяти точкам.
Положить u(x0) = 0. Положить u(x1) = 1. Найти х0,5 ~ <х0,х1>. Найти Х0,25 ~ <Х0, Х0,5 >. Найти х0,75 ~ < х0,5 ,х1>. Проверить согласованность:
х0,5 ~ <Х0,25 , х0,75 >•
Построить кривую.
Рис.2.2
Определение функции полезности таким путём сопряжено с большими трудностями. Это связано с тем, что опрашиваемые плохо понимают то, что от них требуют. Более рационально сразу определить аналитический вид функции полезности, а потом определять параметры этой функции.
2.3. Склонность, несклонность, нейтральность к риску
Принимающий решение не склонен к риску, если он предпочитает получить наверняка ожидаемый выигрыш в любой невырожденной лотерее, вместо участия в этой лотерее. Он склонен к риску, если предпочитает участие в любой невырожденной лотерее получению наверняка ожидаемого выигрыша в этой лотерее и безразличен к риску, если ему безразлично получить наверняка ожидаемый выигрыш в любой невырожденной лотерее или участвовать в этой лотерее. С помощью формул это записывается в виде:иМ(х) > Ми(х) — не склонен к риску;
иМ(х) < Ми( х) — склонен к риску;
иМ( х) = Ми( х) - нейтрален к риску.
Лотерея называется невырожденной, если она не содержит выигрыша с вероятностью, равной единице.
Принимающий решение не склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности вогнута (ил’(х) < 0 или график имеет вид п). Принимающий решение склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности выпукла (иЛ’(х) > 0 или график имеет вид и). Принимающий решение безразличен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности линейна то есть ее график - прямая.
Графически это можно изобразить следующим образом.
0,5 • 0 = 105тыс. грн. То есть, предприниматель имеет выбор между гарантированной не рискованной в 5 тыс. грн. прибылью и рискованной ожидаемой то же в 5 тыс. грн. Какой вариант выбирать. Если предприниматель выбирает первый вариант, то он не склонен к риску, если второй, то склонен. Значительное большинство предпринимателей не склонны к риску. При малых суммах склонность к риску увеличивается. С ростом богатства склонность к риску уменьшается.
2.4. Функция несклонности к риску
Функцией несклонности к риску называется функция r(x)= - U,(x). Онаи(х)
дает наиболее полную характеристику отношения к риску принимающим решения. Имеют место следующие утверждения:
r>0, r' >0 r>0, r' <0 r>0, r/ = 0 (r = const > 0) r<0, r' >0 r<0, r' <0 r<0, r' = 0 (r = const < 0)
r = 0
возрастающая несклонность к риску; убывающая несклонность к риску; постоянная несклонность к риску; убывающая склонность к риску; возрастающая склонность к риску; постоянная склонность к риску; нейтральное отношение к риску.
Пример 2.5. Предприятие, по своему усмотрению, свое отношение к риску выражает функцией полезности u(x) = 6,4(2x-1)7. Определить с помощью функции несклонности к риску отношение к риску предприятия с ростом базисной суммы х.
Решение.
r(x) = u'(x) _ 6,4 • 7 • 6 • (2x -1)5 • 2 • 2
12
24
, r '(x) _
U(x)
2x -1
(2x -1)'
6,4 • 7 • (2x -1)6 • 2
1
Если х<^, то r(x) > 0, r >0 и, следовательно, имеет место возрастаю
щая несклонность к риску.
Если х>—, 2 ’
г
то r(x)< 0, r >0 и, следовательно, имеет место убывающая
склонность к риску.
J-
0,5
т~
Это подтверждает и график функции полезности
Две функции полезности u1(x) и u2(x) стратегически эквивалентны, если они одинаково по предпочтению упорядочивают любые две лотереи. Это записывается в виде: u2(x) ~ u1(x).
Две функции полезности u1(x) и u2(x) стратегически эквивалентны тогда и только тогда, когда u2(x) = а+bu^x) (а и b - произвольные числа, но b>0). Две функции полезности стратегически эквивалентны тогда и только тогда, когда r1(x) = r2(x).
2.5. Примеры основных функций полезности
1) u(x) = a+bx (b>0) - нейтральность к риску.2) u(x) ~ logа(x+b) (x > - b, а >1) - убывающая несклонность к риску.
3) u(x) —e-cx (с>0) - постоянная несклонность к риску.
4) u(x) ~ ега(с>0) - постоянная склонность к риску.
2b
5) u(x) ~ a+bx-cx (c>0, x<—) - возрастающая несклонность к риску.
2c
Эта функция плохо описывает поведение людей, но ее используют, так как
Mu(~) = uM(~) - со2.
В этом случае ожидаемая полезность выражается в реально ощутимых величинах.
5.1) u(x) —x2 (x<0) - возрастающая несклонность к риску.
2b
6) u(x) ~ a+bx+cx (c>0, x>--) - убывающая склонность к риску.
2c
7) Функция с интервальной нейтральностью к риску.
С помощью функции полезности с интервальной нейтральностью к риску можно с любой степенью точности аппроксимировать любую функцию полезности. Ее удобно задавать графически (рис.2.6):
Рис.2.6
При х е (0,х1),(х1,х2),(х2,хз),(хз,х4) - нейтральное отношение к риску. При х е (0,х2) имеет место склонность к риску.
При х е (х1,х4) имеет место несклонность к риску.
0 х < а F(x) - F(a " ’ к
8) u(x) = 1 -т-7-- а < х < b,
1 F(bbF(a x > b.
x-x
9) u(x)
1-e
11) u(C)
e > 0 8 Ф1 - функция с постоянной эластичностью.
1 -8
12) V(R) =J 1 если R + W0 a 0;
[ 0, если R + W < 0.
Функция V(R) определяет вероятность неразорения при начальном капитале W0.
Одной из основных функций полезности, характеризующих финансовое поведение людей, является функция u(x) ~ ln x . Это следует со следующих рассуждений.
Полезность бесконечно малого выигрыша dx пропорциональна этому выигрышу и обратно пропорциональна денежной сумме, которой игрок обладает:
du = u(x + dx) - u(x) =
kdx
Следовательно
, k u' = -,
x
u(x) ~ ln x .
Отсюда следует, что потери более ощутимы, чем такие же выигрыши так как
x+h dx x dx x + h x
I--I — = ln--ln-=
x x x-h x x x - h
( 2 u2\ x - h
ln
ln
< 0.
Следовательно, полезность выигрыша h меньше полезности проигрыша h.
Отсюда следует, что внутреннее желание экономить средства, улучшить свое положение превалирует над желанием к наслаждениям.
2.6. Двумерная функция полезности
Можно рассматривать и функции полезности с двумя переменными u = u(x.,y). Линии, вдоль которых двумерная функция полезности принимает постоянные значения, то есть u(x.,y) = C, называются линиями безразличия. Например, линии безразличия по полезности наборов (x,y) из яблок - х и апельсин - у для Наташи имеют вид:
В общем, поступают следующим способом. Рассмотрим потребительский набор, состоящий из двух потребительских благ. Его запишем в виде вектора Х= (хь х2), где
х1 - количество единиц первого блага; х2 - количество единиц второго блага.
Предполагается, что у принимающего решения определено отношение предпочтительности. Это означает, что про каждые два набора Х=(х1, х2) и Y=(y1, у2) он может сказать, какой из них предпочтительнее или он не видит различия между ними. Отношение предпочтительности должно быть транзи-тивно, то есть из (хь Х2) $ (y1, У2) и (y1, У2) $ (zb Z2) следует (хь Х2) $ (zb Z2).
Функцией полезности u = u(x1 ,x2) называется функция, определенная
на множестве потребительских наборов (х1, х2) и равная потребительской оценке индивидуума для этого набора. То есть функция полезности u = u(x1 ,x2)- это число u = u(x1 ,x2), которое ставится в соответствие потребительскому набору (х1гх2) и равно потребительской оценке индивидуума для этого набора. Каждый потребитель, вообще говоря, имеет свою функцию полезности. Предприниматели, занимающиеся одной и той же деятельностью, имеют приблизительно одинаковые функции полезности. Если набор Х=(Х1, Х2) $ У=(У1, У2), то u(X) > u(Y). Линии уровня функции полезности называются линиями безразличия. Линии безразличия - это линии, соединяющие потребительские наборы (х1, х2), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивидуума. Линии безразличия, соответствующие различным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия.
При определении отношения к риску лица, принимающего решение надо установить его отношение к набору (m, а) (математического ожидания и среднеквадратического отклонения некоторого дохода в результате предпринимательской или производственной деятельности). Карты безразличия набора (m, а) имеют вид
На рис.2.8 изображена карта линий безразличия лица более склонного к риску, чем лица, карта линий безразличия которого изображена на рис.2.9. Стрелка показывает направление возрастания полезности.
Функция полезности u(m, а) обладает следующим свойствами:
1) из m2 > m1 следует, что u(m2, а) > u(m1, а) при фиксированном а;
2) из а 2 > а 1 следует, что u(m, а2) < u(m, а1) при фиксированном m. Из этих свойств следует, что
да
dm
u0 называется предельной полезностью по а.
u m называется предельной полезностью по m. /
2.6.1. Основные двумерные функции полезности
1) u = Х1Х2;2) u = x{/2x23/2;
3) u = (Х1 - 1)1/4 (Х2 - 3)3/4;
4) u = 5(4 - Х1)2 + (20 - Х2)2;
5) u = (Y,L) = ui (Y) + u2(Lo - L), где Y - чистый доход,
L - количество потраченных часов,
L0 - общее число часов, имеющихся в распоряжении в данный момент;
6) u (1-?) = aY1- ? + (1 - a) (Lo - L)1- ?;
7) u = a logY + (1-а) log (L0 - L) - функция полезности Кобба-Дугласа (a, A, L0 - неотрицательные параметры);
8) uM/ 0 = C}-"6 + C2-1/6;
9) u = a log (C, - C0) + (1 - a) log (C2 - C0);
1 C1-1/6
1 + 6 2
1-1/6
1 -1 /6 1
10) u
1-a
11) u = — (C^ a + C^a) + —
1 - a 1 2 1 - a
12) u = [a1-nYи + (1 -a)1-n(1 -L)1/n] n< 1;
13) u= x1/a / (1-a) + g (G);
14) u (x,G) = x1-Y GY.
2.7. Элементы стохастического программирования
Функцию полезности можно использовать при стохастическом программировании.Рассмотрим две задачи.
2.7.1. Оптимальное страхование
Пусть:S - актив, которым располагает собственник;
x - часть актива, которую собирается страховать собственник;
г - процентная ставка платы собственника за страховку;
q - величина процентной ставки платы по страховке в случае потери
актива;
p - вероятность потери актива;
u(t) - функция полезности собственника актива.
Тогда:
гх - страховой взнос;
qx - величина выплаты страховой компанией.
Математическая модель определения части актива, которую надо застраховать, теперь может быть записана в виде:
(1-p)u(S-rx) + pu(qx)^max,
0 < x< S.
2.7.2. Портфельный подход к денежной теории
Согласно формальной Кейнсианской модели, индивидуумы своё богатство могут держать в виде денег (не имеют процентной ставки) и в виде облигаций (дают процентную ставку). Люди полностью не хранят своё богатство в виде облигаций в силу неопределённости процентной ставки и боязни потерять своё богатство. Составим математическую модель определения части актива, которую индивидуумы хранят в виде денег, а какую в виде облигаций. Пусть:S - величина актива;
х - величина актива, которая хранится в виде денег; ю - величина актива, на который реализуется через год единица актива, вложенного в облигации;
u(t) - функция полезности собственника актива;
S-x - величина актива, которая хранится в виде облигаций.
Модель наиболее приоритетного распределения актива на деньги и облигации имеет вид:
Mu(x+®(S-x)) ^max, 0 < x< S.
В случае нейтрального отношения индивидуума, к риску рассмотренная модель принимает вид:
x+(S-x)M(®) ^max,
0 < x < S.
2.8 Премия за риск
Премия за риск это сумма, которую владелец готов заплатить во избежание неопределенного будущего.Пусть:
А0 + ? - сумма, которую приносят инвестиции;
? - случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а1;
П - премия за риск, которую владелец готов заплатить во избежание неопределенного будущего;
u - функция полезности индивида.
Согласно принципа фон Неймана - Моргенштерна
u А - в )= M (u (А, + !)).
Раскладывая обе части в ряд Тейлора и приравнивая главные члены, учитывая, что М? = 0, получим
в =-u'(ao ) в =-2
или
п = г(Ао )^.
Вывод. Человеку безразлично, получит ли он прибыль, про которую известны лишь её среднее значение А0 и произвольно малая дисперсия а2, или гарантированное богатство
0
u (x ) = 3arctg(24x - 8).
По инвестициям предполагается получать 1,2 млн. грн. со о2 = 0,04 млн.2
Каков гарантированный доход для предпринимателя, равносильный участию в проекте?
Решение.
72
3 • 24
1 + (24x - 8)2 1 + (24x - 8)2 ’
72 • 2(24x - 8) 24
(l + (24x - 8)2 )
r (x ) = _ І = 72 • 2(24x - 8)-24(1 + (24x-8)2) = 48(24x - 8)
ux (1 + (24x - 8)2 ) -72 1 + (24x - 8)2 ’
r (a0 )= r (1,2)= 48;24-1,2-8) = 2,3024, v 0 1 + (24 • 1,2 - 8)2
0,04
A0 - r(a0 )y = 1,2 - 2,3 = 1,2 - 2,3 • 0,02 = 1,154.
Ответ: 1,154 млн. грн.
2.9 Пример задачи потребительского выбора с использованием функции полезности
Пусть:S - размер финансовых средств, которые готов потратить потребитель на приобретение первого и второго продуктов;
х1 - количество продукта первого вида, которое готов приобрести потребитель;
х2 - количество продукта второго вида, которое готов приобрести потребитель;
р1 - цена единицы продукции первого вида; р2 - цена единицы продукции второго вида; и(х1, х2) - функция полезности потребителя.
Надо найти, какое количество продукции каждого вида будет приобретать потребитель, чтобы максимизировать свою полезность, располагая средствами в размере S.
Математическая модель задачи имеет вид:
u(xb x2) ^ max,
P1X1 + P2X2 < S,
Xi > 0, X2 > 0.
Рассмотрим эту задачу в случае, если функция полезности имеет вид:
u(Xi, Х2) = Х1 • Х2.
Задача принимает вид:
x1 x2 ^ max, Р1Х1 + Р2Х2 < S,
x1 > 0, x2 > 0.
Решив эту задачу, получим
= 0, — - 2 ¦ Р-
S F1 2 —x--- x
p, 1 Р 1
0, 2p^ = S,
Р,
Р2 Р
x,
x.
2Р1
2Р;
Рассмотрим, как изменяется спрос на продукты при росте цены.
Если при росте цены на один товар снижается на него спрос и при этом растет спрос на другой товар, то товары - взаимозаменяемы.
Наоборот, если спрос на один товар падает и на другой - падает, то товары - взаимодополняемы.
Товары, на которые растет спрос при росте на него цены, называются товарами Гиффина. Это обязательно малоценные, худшие товары.
Реальная взаимозаменяемость может искажаться общим снижением благосостояния. При росте цены одного блага, второе может заменить первое в потреблении, но спрос на него может не расти, поскольку снизилось общее благосостояние потребителя. Для снятия этого искажения используют понятие компенсированного изменения цены, то есть такого, которое сопровождается увеличением дохода потребителя, позволяющее ему поддерживать прежний уровень благосостояния. Компенсированное изменение цены изображается следующим образом:
Если цена первого товара повысится с р1 до р1, то бюджетная прямая перейдет из положения 1 в положение 2. Если сделаем компенсацию, чтобы иметь начальную полезность, бюджетная линия перейдет в положение 3.
АС - эффект замены при росте цены (изменение структуры спроса при условии поддержания прежнего уровня благосостояния).
ВС - эффект дохода (изменение потребительского спроса при сохранении соотношения цен благ и изменении уровня дохода).
АВ - результат роста цены при отсутствии компенсации.
Увязка действия эффекта замены и эффекта дохода с результирующим изменением спроса описывается уравнением Слуцкого:
Э Pj
QU
j*
_1
Э Pj
с э ^
Эх1
Э р.
V rJ усомр
ГЭ х:Л
результирующее воздействие на спрос;
- действие эффекта замены;
х. - действие эффекта дохода.
Здесь возможно i = j.
Пример 2.7. Пусть целевая функция потребителя зависит от двух благ х1 и х2 следующим образом:
1/2 2/3 ч
u = x1 • x2 ^ max.
Пусть цены благ равны, соответственно, 5 и 2, а доход потребителя составляет 140.
Формулы спроса благ имеют вид:
3S
7P1 ,
4S 7P2 ’
Х2
Согласно формулам спроса
3-140 7 • 5
4-140 7 • 2
= 12,
= 40,
u*= 121/2 • 402/3 - 40,5.
Пусть теперь P2 меняется с 2 до 1 0. Поставим два вопроса:
а) Какой нужен размер компенсации, чтобы получить предыдущий набор?
б) Какой нужен размер компенсации, чтобы получить оптимальный набор с предыдущей полезностью?
а) Размер компенсации равен
(10 - 2) • 40 = 320.
Однако прежняя структура потребления не будет оптимальной при новых ценах и минимально необходимая компенсация будет значительно меньше 320.
б) Пусть потребитель получает дополнительно М гривен.
При новых ценах оптимальный спрос на первое и второе блага будет
равен:
x =(140+M)- 3 x =(140+M)-4 x — , x — .
1 7 • 5 2 7 • 10
Значение полезности равно:
(140 + M)7 = 1403 - 7004; 140+ M=71403 - 7004 ;
M = V1403 - 7004 -140 - 211,19
211,19 значительно меньше 320.
Найдем новый потребительский набор с предыдущей полезностью при компенсации ~ 211,2 и ценами 5 и 10.
Он находится решением системы:
, 1/2 2/3
XX = 12
|5x1 + 10x
:40,5;
2 = 35U.
(140+ M)- 3 Y/2 ((140+ M)- 4
2/3
= 121/2 - 402/3.
1/2 2/3
U = X1 X2 =
7 -10
V 7 -5
3/6 -3/6
(140+M)3/6- 33/б - (140+M)4/6 - 44/6 = 123/6-404/6.
4/6
(35)3/6 70
7/6 123/6 - 404/6 - 353/6 - 70'
3/6
4/6
(12-35Л
(40-70Л
I ~ J
(140+ M)
33/6 - 44/6
(4 - 35)3/6 - (700)4/6;
x, - 30,
X2 - 20.
