Операции с пределами и без

В следующей таблице собраны названия функций — команды для воспроизведения названий математических операций наподобие

и т.п., обозначаемых последовательностью букв, набираемых прямым шрифтом. Любую из этих операций можно снабдить верхним и/или нижним индексом .

	\log
	\lg
	\ln
	\arg
	\ker
	\dim
	\hom
	\deg
	\exp
	\sin
	\arcsin
	\cos
	\arccos
	\tan
	\arctan
	\cot
	\sec
	\csc
	\sinh
	\cosh
	\tanh
	\coth

В этой таблице обозначения

и т.д. — не что иное, как принятые в англоязычной литературе обозначения для тангенса, арктангенса и т.д. В отечественной литературе, однако же, принято обозначать

и т.д. Так как в стандартном комплекте TeX'а или LaTeX'а команд для этого нет, их приходится, при необходимости, определять самому. Это просто: надо подключить пакет amsmath, после чего добавить в преамбулу такую строчку:

\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

В первом аргументе команды \DeclareMathOperator ставится придуманное вами имя команды (незанятое, естественно), во втором — то, что вы хотите получить на печати. Содержимое второго аргумента будет обработано, как математическая формула, но при этом символы - (дефис), * и ' будут иметь такое же значение, как в обычном тексте (это удобно, если вы хотите, чтобы имя вашего нового оператора включало тот же дефис). Разумеется, \DeclareMathOperator должно следовать в преамбуле документа после \usepackage{amsmath}.

Если не подключать amsmath, то собственную функцию, например tangens, определить также можно. Для этого достаточно написать в преамбуле документа \newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} После этого команда \tg будет создавать в математической формуле запись

с правильными пробелами вокруг нее. Другие команды такого типа определяются аналогично, надо только вместо tg написать то название функции (скажем, arctg), которое должно появиться на печати.

В частности, так приходится делать, чтобы определить команды \Re и \Im для обозначения вещественной и мнимой части комплексного числа; в LaTeX'е такие команды есть, но на печати они дают не

, а

, что не принято в России (да и на Западе не очень принято).
При этом, поскольку обозначения \Re и \ Im уже заняты, приходится говорить \renewcommand вместо \newcommand:

\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits} Даже при подключенном пакете \amsmath команда \DeclareMathOperator в этом месте не сработает, т.к. уже существующие команды она не переопределяет.

Описанный выше способ определения команд для функций является частным случаем существующей в LaTeX'е конструкции для (пере)определения новых команд (см. лекцию 7).

Еще один символ, который принято набирать прямым шрифтом, — это символ

, используемый в записи "сравнений по модулю". Обычно он употребляется не сам по себе, а в сочетании со знаком

(см. пример ниже); в этом случае для записи сравнения удобна команда \pmod, которой пользуются так:

Легко видеть, что $23^{1993}\equiv 1\pmod{11}$

Обратите внимание, что скобки вокруг

получаются автоматически; правая часть сравнения — весь текст, заключенный между \equiv и \pmod.

Если подключить пакет amsmath , то станут доступны команды \mod и \pod, обозначающие то же понятие, что \mod, другими способами:

$a^{p-1}\equiv 1\mod p$

$a^{p-1}\equiv 1\pod p$

Иногда символ

используется и как символ бинарной операции, например, так:

$f_*(x)=f(x)\bmod G$

Как видно из примера, в этом случае надо писать \bmod.

Теперь обсудим, как можно было бы получить, скажем, формулу

c дополнительными элементами над и под знаком операции. В данной формуле эти элементы называются "пределы суммирования", поэтому в TeX-нической терминологии записи над и под знаком операции принято называть "пределами" (по-английски limits). В исходном тексте "пределы" обозначаются точно так же, как индексы; имея в виду, что знак суммы генерируется командой \sum, заключаем, что вышеназванную формулу можно получить так:

В этом примере существенно, что формула была выключной; во внутритекстовой формуле "пределы" печатаются на тех же местах, что и индексы:

Тот факт, что $\sum_{i=1}^n (2n-1)=n^2$ следует из формулы для суммы арифметической прогрессии.

(можно добиться, чтобы пределы и во внутритекстовой формуле были сверху и снизу — см.

ниже). Вот список операций, ведущих себя так же, как \sum:

	\sum
	\prod
	\bigcup
	\bigcap
	\coprod
	\bigoplus
	\bigotimes
	\bigodot
	\bigvee
	\bigwedge
	\biguplus
	\bigsqcup
	\lim
	\limsup
	\liminf
	\max
	\min
	\sup
	\inf
	\det
	\Pr
	\gcd

Если подключить пакет amsmath, то будут доступны еще шесть операций такого типа:

	\varlimsup
	\varliminf
	\injlim
	\projlim
	\varinjlim
	\varprojlim

Примеры:

$\varlimsup_{n\to\infty} a_n=\inf_n\sup_{m\ge n}a_m$

$\mathcal F_x= \varinjlim_{U\ni x}\mathcal F(U)$

(см. далее по поводу \mathcal).

Кроме того, пакет amsmath предоставляет возможность определить и собственную команду "с пределами". Для этого надо воспользоваться командой \DeclareMathOperator*; синтаксис этой команды такой же, как у команды \DeclareMathOperator , но при "операторе", определенном такой командой, " пределы" будут ставиться так же, как при

.

Еще одна "математическая операция", для которой требуются " пределы", — это интеграл. В LaTeX'е есть команды \int для обычного знака интеграла

и \oint для знака "контурного интеграла"

; если подключить пакет amsmath, то станут доступны также команды \iint, \iiint и \iiiint для двойного, тройного и " четверного" интегралов (если просто написать несколько команд \int подряд, то между знаками интеграла получатся слишком большие пробелы).

При этом, для экономии места, пределы интегрирования помещаются не сверху и снизу от знаков интеграла, а по бокам (даже и в выключных формулах):

$$ \int_0^1x^2 dx=1/3 $$

Если, тем не менее, необходимо, чтобы пределы интегрирования стояли над и под знаком интеграла, то надо непосредственно после \int записать команду \limits, а уже после нее — обозначения для пределов интегрирования:

$$ \int\limits_0^1 x^2 dx=1/3 $$

Тот же прием с командой \limits можно применить, если хочется, чтобы во внутритекстовой формуле "пределы" у оператора стояли над и под ним, а не сбоку.

Если, с другой стороны, надо, чтобы в выключной формуле " пределы" у какого-либо оператора стояли не над и под знаком оператора, а сбоку, то после команды для знака оператора надо записать команду \nolimits, а уже после нее — обозначения для "пределов"

$$ \prod\nolimits_{i=1}^ni=n! $$