Группы
Если часть элементов имеет разные коэффициенты РСУ, то для их задания используется диалоговое окно Группы
(рис. 11.4).
Порядок работы в этом окне в основном совпадает с описанным выше для окна Унификация – нажать кнопку Новый список, ввести номера элементов, назначить номера столбцов, из которых выбираются коэффициенты РСУ, и нажать кнопку Сохранить.
В таблице, помещенной в нижней части окна, отмечаются номера столбцов, из которых следует взять коэффициенты РСУ для текущей группы элементов. Напомним, что эти коэффициенты задаются в столбцах 1?15 таблицы в диалоговом окне Расчетные сочетания усилий
(см.рис. 11.1).
Удаление всей информации, введенной в режиме задания расчетных сочетаний усилий, выполняется кнопкой Удаление РСУ (это соответствует отказу от вычисления РСУ).
Рис. 11.4. Диалоговое окно
Группы
12. Главные и эквивалентные напряжения
Напомним некоторые основные положения теории напряжений, излагаемые обычно в курсе теории упругости или в подробных учебниках сопротивления материалов.
Если выделять из тела в окрестности некой точки (рис. 12.1) элементарный объем в виде бесконечно малого параллелепипеда, то действие на него окружающей среды заменяется напряжениями, компоненты которых действуют на грани параллелепипеда.
Рис. 12.1
В силу закона парности касательных напряжений
В общем случае в точке имеется только шесть независимых компонент напряжений, которые образуют симметричный тензор напряжений
На проходящей через ту же точку произвольно ориентированной площадке, нормаль которой n имеет направляющие косинусы l, m, n с осями x, y, z, действует нормальное напряжение sn
и касательное напряжение tn (рис. 12.2) с равнодействующей Sn. Проекции этой равнодействующей на координатные оси Snx, Sny, Snz связаны с компонентами напряжений условиями равновесия (формула Коши):
Существуют три таких взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют. На этих, так называемых, главных площадках действуют главные напряжения
s1, s2 и s3. При этом имеется в виду, что s1³s2³s3. Известно также, что главные напряжения обладают экстремальными свойствами, а именно – на любой площадке результирующее напряжение
Направляющие косинусы lk , mk и nk нормалей главных площадок nк определяются из решения системы уравнений:
(sх – sk) lk + txy
mk + txz nk
= 0;
txy lk + (sy – sk) mk + tyz
nk = 0;
txz lk + tyz mk + (sz – sk) nk = 0;
lk2
+ mk2 + nk2 = 1. (12.4)
Из (4) следует, что главные напряжения sk (к=1,2,3) являются корнями кубического уравнения:
Уравнение (5) в развернутой форме имеет вид
а его коэффициенты являются инвариантами (т.е. не зависят от выбора системы координат). Первый инвариант
Направление главных площадок может быть определено не девятью направляющими косинусами, а тремя Эйлеровыми углами:
q – угол (нутации) между положительными направлениями оси Z и n3 (0£q£p);
y – угол (прецессии) между осью X и осью А, идущей вдоль линии пересечения плоскостей XOY и n1Оn2 так, чтобы ОА, Z и n3 образовали правую тройку, при этом угол y увеличивается от оси X к оси Y (0£y£2p);
j – угол (чистого вращения) между осями n1
и А, который увеличивается от n1
к n2 (0£j£2p).
Для характеристики НДС используется коэффициент Лоде-Надаи
принимающий значения m0=1 при чистом сжатии, m0=0 при чистом сдвиге, m0=-1 при чистом растяжении.
В принятых обозначениях при выводе результатов расчета тензор напряжений (2) в общем случае выглядит как
В SCAD главные напряжения
Для углов Эйлера введены обозначения:
q – ТЕТА,
y – PSI,
j – FI.
12. 1 Главные напряжения для конечных элементов различных типов
Каждый тип элемента обладает определенными особенностями напряженно-деформированного состояния (НДС), которое также определяет и особенности расположения главных площадок.
В зависимости от рассматриваемого типа элемента в каждой точке, где определены усилия (напряжения), вычисляются главные напряжения и углы, характеризующие положение главных площадок.
Если результаты выданы в одной точке – то это центр тяжести элемента (центр тяжести поперечного сечения тела вращения для осесимметричных элементов). Для большего числа точек вычисления будут проведены в узлах элемента и центре тяжести.
Пространственная задача теории упругости
Для решения пространственной задачи теории упругости предназначены объемные элементы и, как частный случай, осесимметричные элементы. Для них с использованием формул из раздела 12.1 вычисляются:
- главные напряжения N1 , N2 и N3.;
- углы Эйлера – ТЕТА (q), PSI(y) и FI(j);
- коэффициент Лоде-Надаи m0.
- угол наклона главного напряжения N1 к оси X1.
- моменты – Mx , My и Mxy;
- перерезывающие силы – .Qx и Qy.
- как одно из параметрических сечений (положение характерных точек для таких сечений показано на рис. 12.1);
- или с использованием сортамента металлопроката (рис. 12.2) изображены допустимые профили из сортамента и характерные точки сечений, в которых производятся вычисления).
Элементы балки стенки
Для случая плоского НДС (балка-стенка) тензор напряжений имеет вид:
Так как элемент всегда расположен в плоскости XOZ, то для срединной поверхности его вычисляются только два главных напряжения по формуле
Положение главных площадок характеризуется углом наклона главного напряжения N1 к оси X1
Если Txz=0, то считается, что j=0, и в этом случае направления главных площадок совпадают с осями местной системы координат элемента.
Плиты и оболочки
Для плит на срединной поверхности вычисляются следующие усилия:
Для оболочек вычисляются также напряжения – Nx , Ny и Nxy. Тензор напряжений имеет вид
так как касательные напряжения
Для каждой точки, в которой вычислены усилия, главные напряжения определяются на нижней (Н), срединной (С) и верхней (В) поверхностях. При этом
NxB/H = Nx ± 6Mx/h2,
NyB/H = Ny ± 6My/h2, (12)
NxyB/H = Nxy ± 6Mxy/h2.
Тогда главные площадки для верхней и нижней поверхности параллельны одна другой, а главные напряжения определяются по формуле:
Положение главных площадок характеризуется углом наклона главного напряжения N1 к оси X1
Если Txy = 0, то считается, что j = 0, и в этом случае направления главных площадок совпадают с осями местной системы координат элемента.
Стержневые элементы
Главные напряжения в стержневых элементах определяются по формуле
Здесь sx, tx и ty нормальное и касательные напряжения в характерных точках поперечного сечения стержня.
Для того чтобы определить главные напряжения, сечение элемента должно быть задано:
Во всех других случаях главные напряжения не вычисляются.
В точках, которые не располагаются на материальной части поперечного сечения (например точка 9 для коробчатого сечения), значения главных напряжений не вычисляются.
Рис. 12.1. Параметрические сечения (начало)
Рис. 12.1. Параметрические сечения (продолжение)
12.2 Вычисление эквивалентных напряжений
При простых видах деформации, в частности при одноосном напряженном состоянии, об опасности действующих напряжений судят, сопоставляя их с экспериментально устанавливаемой величиной (с пределом текучести для пластических материалов или с временным сопротивлением для хрупких тел). Для сложного напряженного состояния, характеризующегося главными напряжениями s1, s2 и s3, обычно используется некоторая гипотеза (теория прочности) о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора. При этом предусматривается возможность сопоставления некоторого эквивалентного напряжения sе с пределом
где k1,...,kn
– некоторые константы материала, которые могут и отсутствовать.
Приведем обозначения некоторых используемых констант:
Иногда удобнее сопоставлять эквивалентное напряжение с пределом
.
В комплексе реализовано четыре теории прочности, сведения о которых приведены в таблице 121. Все они относятся к изотропным материалам и условиям статического нагружения, когда история поведения конструкции не сказывается на формулировке условий разрушения.
Таблица 12.1
|
№ п/n |
Теории прочности |
Выражение для вычисления эквивалентного напряжения sе. |
Сфера применения |
|
1 |
Теория максимальных нормальных напряжений |
sе=s1 ss=|s3| |
Для хрупких однородных материалов (керамика, стекло). |
|
2 |
Теория наибольших линейных деформаций |
sе=s1 – m (s2+s3) ss=|s3 – m (s1+s2)| |
|
|
3 |
Теория наибольших касательных напряжений |
sе=s1 – s3 ss=sе |
Для пластических материалов с малым упрочнением, для которых характерно появление локальных пластических деформаций в виде линий скольжения (отпущенная сталь). |
|
4 |
Теория октаэдрических касательных напряжений или удельной энергии формоизменения |
  ss=se |
Для большинства пластических материалов (сталь, медь, никель). |
12. 3 Подготовка данных для расчета главных и эквивалентных напряжений
Исходные данные для расчета главных и эквивалентных напряжений готовятся в диалоговом окне (рис. 12.3.1), которое вызывается из раздела Специальные исходные данные Дерева проекта. Расчет можно выполнить как для загружений, так и для комбинаций загружений. Вид данных, для которых выполняется расчет, назначается путем активизации опций, расположенных в верхней части диалогового окна. Теория, по которой выполняется расчет, выбирается при помощи кнопок в группе Теория прочности. Результаты расчета можно вывести на печать в табличной форме из раздела Дерева проекта Печать таблиц или в Документаторе.
Рис. 12.3.1. Диалоговое окно
Расчет главных и эквивалентных напряжений