Проверка сходимости для некоторых моделей
Были проведены сопоставительные расчеты шарнирно опертой квадратной пластинки загруженной по всей площади равномерно распределенной нагрузкой. Расчеты выполнялись при четырех сетках конечных элементов — 4´4, 8´8, 16´16 и 24´24 (рис.20.1).
Рис.20.1. Изополя изгибающих моментов для расчетных схем
с различными сетками конечных элементов
В таблице 20.2 приведены результаты по перемещениям, изгибающим моментам и поперечным силам для конечных элементов различного типа, полученные на упомянутых сетках, эти же данные проиллюстрированы на графиках, представленных на рис.20.2.
Таблица 20.2
| Перемещения центра плиты при сетке: | |||||||||
| Тип КЭ | 4x4 | 8x8 | 16x16 | 24x24 | |||||
| 11/41 | 0,0180329 | 0,0172754 | 0,0170823 | 0,0170453 | |||||
| 20/50 | 0,0166168 | 0,0169137 | 0,0169918 | 0,0170051 | |||||
| 12/42 | 0,0161403 | 0,0168034 | 0,0169658 | 0,0169938 | |||||
| Момент в центре плиты: | |||||||||
| М -11/41 | 0,04781 | 0,04509 | 0,04443 | 0,04443 | |||||
| М -20/50 | 0,03991 | 0,04313 | 0,04393 | 0,04408 | |||||
| М -12/42 | 0,04787 | 0,04528 | 0,04432 | 0,04448 | |||||
| Поперечная сила на краю: | |||||||||
| Q -11/41 | 0,22 | 0,28 | 0,31 | 0,32 | |||||
| Q -20/50 | 0,37 | 0,4 | 0,43 | 0,44 | |||||
| Q -12/42 | 0,24 | 0,31 | 0,33 | 0,34 |
| а)
 | б)
 | ||
в)
 | Обозначения:
 Рис.20.2. Сходимость результатов при равномерной нагрузке: а ? по прогибам, б ? по моментам, в ? по поперечным силам |
Как видно из таблицы и рисунка, практическая сходимость имеет место для прогибов и изгибающих моментов при использовании конечных элементов всех типов, а для поперечных сил элементы 11-го типа дают значения, заметно отличающиеся от величин, полученных с использованием других конечных элементов. Отметим, что элемент типа 20/50 был использован в схеме, где он присоединялся только к четырем узлам, хотя имеется возможность ввести узлы на его сторонах (всего до восьми узлов). Контрольные расчеты при такой схеме использования показали, что точность результатов существенно возрастает и они приближаются к данным, получаемым на сетках вдвое большей густоты. Например, для сетки элементов 8х8 прогиб равнялся 0,01701, изгибающий момент ? 0,0442 и поперечная сила ? 0,278.
В другой серии численных экспериментов, когда та же пластинка была загружена сосредоточенной силой, результаты, представленные в таблице 20.3 и на рис.20.3, оказываются менее оптимистичными. Здесь замедляется скорость практической сходимости по моментам, и еще более существенно ? по поперечным силам, значения которых взяты в точке, расположенной на расстоянии четверти толщины от центра пластинки. По-видимому для поперечных сил вообще не следует брать во внимание значения для точек, столь близко расположенных около места приложения сосредоточенной нагрузки. Более детально этот вопрос анализируется ниже.
Таблица 20.3
|
|
Перемещения центра плиты при сетке: |
||||||
|
Тип КЭ |
4x4 |
8x8 |
16x16 |
24x24 |
|||
|
11/41 |
0.511522 |
0.494164 |
0.488470 |
0.487183 |
|||
|
20/50 |
0.466266 |
0.480460 |
0.484425 |
0.485222 |
|||
|
12/42 |
0.432918 |
0.470046 |
0.481375 |
0.483493 |
|||
|
|
Момент в центре плиты: |
||||||
|
М -11/41 |
2.61566 |
3.27276 |
3.93364 |
4.32066 |
|||
|
М -20/50 |
2.31761 |
3.04494 |
3.72290 |
4.11309 |
|||
|
М -12/42 |
1.89259 |
2.52465 |
3.17713 |
3.56252 |
|||
|
|
Поперечная сила около центра: |
||||||
|
Q -11/41 |
7.26 |
14.58 |
29.18 |
43.77 |
|||
|
Q -20/50 |
6.50 |
13.31 |
26.81 |
40.26 |
|||
|
Q -12/42 |
11.37 |
25.59 |
53.21 |
80.42 |
|||
а)  |
б)  |
||||||
в)  |
Обозначения: Рис.20.3. Сходимость результатов при нагружении сосредоточенной силой: а ? по прогибам, б ? по моментам, в ? по поперечным силам |
||||||
20.1.4. Обход особых точек
Вблизи особых точек, таких, где имеется резкая концентрация напряжений, применение конечных элементов (равно как и других методов дискретизации) обычно затруднено, особенно в представлении поля напряжений. Приходится резко сгущать сетку конечных элементов и существенно увеличивать размер задачи.
Однако упомянутое сгущение сетки может и не привести к результату (см., например рис. 20.2.в), что подталкивает к дополнительному анализу ситуации. Одним из наиболее распространенных суждений является следующее ? сосредоточенная сила есть не существующая в природе абстракция и если бы она была создана, то, проткнув бы конструкцию любой прочности и не встречая сопротивления, унеслась бы в бесконечность. Выходит, что эта идеализация создает искусственную трудность, в борьбе с которой можно совершать героические подвиги, но практическая значимость таких подвигов весьма относительна. Следовало бы помнить о том, каким образом фактически реализована в конструкции та сила, которая идеализируется в форме сосредоточенной, тогда могут отпасть и вопросы о сходимости конечно-элементного решения к точному.
Мы рассмотрим указанную проблему на примере расчета плиты на упругом основании, к которой приложена сосредоточенная сила. Этот пример является часто используемой идеализацией при расчете фундаментных плит (сосредоточенной силой имитируется нагрузка, передаваемая колонной), аэродромных и дорожных покрытий (здесь сосредоточенная сила имитирует давление колеса) и в других практически важных случаях.