Артамонов Д.В., Семёнов А. Д. - Основы теории линейных систем автоматического управления


Рассматриваются основные методы автоматического управления с использованием математического описания этих систем в пространстве состояний, а также структурированные модели систем управления, передаточные функции, структурные схемы, временные и частотные характеристики. Изложены вопросы наблюдаемости, управляемости и устойчивости одномерных и многомерных систем управления, удовлетворяющих различным критериям качества. Рассматриваются методы анализа и синтеза линейных систем.

ВВЕДЕНИЕ

В.1. Основные понятия, определения и задачи теории автоматического управления

Управление - это совокупность действий, осуществляемых на основе определения информации и направляемых на поддержание или улучшение функционирования объекта в соответствии с имеющейся программой (алгоритмом) или целью управления.

Автоматическое управление - управление, осуществляемое без участия человека.

В соответствии с введенным определением управление можно рассматривать как целенаправленный процесс, протекающий в пространстве и времени и развивающийся в некоторой организованной материальной среде.

Для реализации процесса управления необходимо физическое устройство (объект управления), состояние которого можно изменять путем приложения внешних воздействий и контролировать изменение состояния с помощью информационных устройств (датчиков). Также необходимо иметь цель управления, сформулированную на основе определенных понятий о природе управляемых процессов протекающих в объекте управления (ОУ) и отношений между внешними воздействиями и параметрами этих процессов.

Управляемые процессы, протекающие в ОУ, могут иметь различную физическую природу (механические, электрические, химические, биологические, экономические и т.п.). В зависимости от физической природы управляемых процессов различными будут и цели управления. Например, для механических процессов целю управления может быть получение высокого быстродействия, для электрических - управление с минимальными затратами энергии, для химических -получение максимального количества продукта с единицы объема, для экономических - получение максимальной прибыли.

Для поддержания нормального протекания управляемых процессов при одновременном достижении цели управления к объекту управления подключается устройство управления (УУ). Основное назначение УУ - выработка управляющих воздействий на ОУ в соответствии с целью управления и его текущим состоянием, определяемым с помощью информационных устройств (датчиков).

Совокупность устройства управления и объекта, обеспечивающих автоматическое управление, называется системой автоматического управления.

Таким образом, управление обеспечивает целенаправленное приспособление системы управления к внешним воздействиям. Независимо от физического характера системы управления, процессы управления протекающие в ней подчиняются некоторым общим закономерностям и характеризуются сходными явлениями. Эти закономерности и явления изучает кибернетика - наука об управлении динамическими системами.

Кибернетика состоит из двух греческих слов "кибер" - над и "натиус" -моряк. Буквально "кибернатиус" - старший над моряками.

Впервые слово кибернетика было употреблено русским ученым Богдановым, который рассматривал эту науку применительно к управлению человеческим обществом.

В 1948 году Н. Винер в своей книге "Кибернетика или управление и связь в животном и машине" придал этому термину современное понятие.

Кибернетику определяют также как науку о способах восприятия, передачи, хранения, переработки и использования информации.

Современная кибернетика состоит из ряда разделов представляющих собой самостоятельные научные направления. Теоретическое ядро кибернетики составляют теория информации, теория алгоритмов, теория автоматов, исследование операций, теория автоматического управления, теория распознавания образов.

Управлением техническими системами занимается техническая кибернетика, которая включает в себя теорию автоматического управления, теорию оптимальных систем, адаптивных и обучающих систем, теорию надежности. Главная задача технической кибернетики синтез технических систем управления, обеспечивающих достижение требуемых показателей качества, характеризующих их функционирование. Основной математический аппарат технической кибернетики: теория дифференциальных уравнений, функциональный анализ, вариационное исчисление, математическое программирование, математическая логика, теория графов, теория вероятностей.

Структура системы управления выглядит следующим образом.

->

—>		 ОУ
U
УУ
У У
На рисунке приняты следующие обозначения: U- независимые переменные (управляющие координаты или величины), вырабатываемые устройством управления (УУ); X - зависимые переменные (обобщенные или фазовые координаты), которые однозначно характеризуют состояние управляемого процесса в любой момент времени; Y - вторичные, измеряемые переменные (управляемые координаты), которые в процессе управления измеряются и используются для оценки качества функционирования системы управления; f - внешние неконтролируемые переменные (возмущающие воздействия), отклоняющие Y от заданных значений.

В структурной схеме реализуется фундаментальный принцип управления -принцип обратной связи, когда информация с выхода объекта после соответствующей обработки в устройстве управления поступает на его вход. Причем управляющие воздействия, подаваемые на вход объекта, вычисляются таким образом, чтобы обеспечить достижения заданной цели управления и скомпенсировать неблагоприятные изменения управляемых координат Y при неконтролируемом действии внешних возмущений f.

Функциональная зависимость, устанавливающая взаимосвязь между регулируемыми и регулирующими координатами объекта, называется законом управления. Закон управления может быть записан в виде

U = F(Y). (В.1)

Используемые в настоящее время в качестве УУ микропроцессоры и микроЭВМ позволяют легко реализовать самые разнообразные виды законов управления как функции U = F(Y), добиваясь желаемого характера управляемых процессов, протекающих в ОУ, не внося в него каких-либо конструктивных или технологических изменений.

Выбор конкретного закона управления будет определяться свойствами и характеристиками ОУ, целью управления и ограничениями накладываемыми на координаты объекта.

Экспериментально определяемые характеристики ОУ и теоретические исследования особенностей, управляемых процессов, протекающих в нем, позволяют создавать математические модели объектов управления в виде системы дифференциальных уравнений с обычными и частными производными от его обобщенных (фазовых) координат.

OT(X,U,f,a,l, t) = ? (l, t), (В.2)

где D - символ дифференцирования функции Ф по пространственной координате l и времени t; a - параметры модели.

Как правило, цель управления задается в виде целевой функции I(X,U) от управляемых и обобщенных координат объекта

I = I(Y,U). (В.3)

Ограничения на координаты объекта задаются в виде неравенств

IX < X,; |Y| < Y.; |[l| < U. . (В.4)

Если в процессе управления для целевой функции I(X,U) обеспечивается экстремум, то управление в этом случае называют оптимальным, а систему управления оптимальной. В том случае если I(X,U) зависит от времени, или остается постоянной не достигая экстремума, то управления называют программным или стабилизирующим.

Если в качестве целевой функции используют управляемые координаты Y, т.е. I = I(Y), то имеет место автоматическое регулирование, а не управление. Автоматическое регулирование является частным случаем автоматического управления.

В зависимости от конкретного вида выражений (В.1) - (В.3) можно выделить следующие основные классы систем автоматического управления.

Наиболее важным классификационным признаком систем управления является математическое описание их поведения, задаваемое с помощью выражения (В.2). По этому признаку все системы делятся на:

-системы с распределенными координатами. Описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, размерность вектора фазовых координат X бесконечна;

-системы с сосредоточенными параметрами. Описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, размерность вектора фазовых координат X конечна. Если Y вектор, то имеем многомерную систему, если Y -скаляр - одномерную;

-нелинейные системы. Описываются нелинейными дифференциальными уравнениями (обыкновенными и в частных производных);

-линейные системы. Описываются линейными дифференциальными уравнениями (обыкновенными и в частных производных);

-непрерывные системы. Описываются дифференциальными уравнениями, решения которых являются непрерывными функциями времени;

-дискретные системы (импульсные и цифровые). Описываются разностными уравнениями, решение которых - дискретные функции времени.

Вторым по важности признаком классификации является принцип управления. По этому признаку различают:

-системы с обратной связью, или системы, реализующие принцип управления по отклонению. В таких системах регулирующая величина U является некоторой функцией от ошибки системы, определяемой как отклонение вектора регулируемых координат Y от заданного значения q;

-системы с компенсацией возмущений, или системы, реализующие принцип управления по возмущению. В таких системах регулирующая величина U является функцией от каких-либо компонент вектора возмущающих воздействий

f, причем вид функциональной зависимости U = F (f) определяется из условия частичной или полной компенсации действующих возмущений f на регулируемую величину Y ;

-комбинированные системы управления, в которых одновременно реализуются принципы управления по отклонению и возмущению.

Третьим классификационным признаком является вид закона управления (В.1). По этому признаку различают:

-системы с линейными законами управления (регулирования), когда управляющее воздействие U является линейной комбинацией от регулируемых величин Y, а также их производных и интегралов;

- системы с нелинейными законами управления;

- системы экстремального и оптимального управления, обеспечивающие экстремум (максимум или минимум) целевой функции (В.2);

- системы адаптивного управления, изменяющие параметры закона управления (самонастраивающиеся системы), или сам закон (самоорганизующиеся системы) в зависимости от изменения параметров объекта управления.

Четвертым классификационным признаком является характер цели управления (В.2), в соответствии с которым все системы делятся на:

- системы стабилизации, у которых целевая функция постоянна

I(Y,U) - const;

- системы программного управления, у которых целевая функция зависит от времени

I(Y,U) = f (t);

- системы оптимального управления, у которых целевая функция в процессе управления достигает экстремума

I(Y, U) = min(max).

Основными задачами теории автоматического управления являются задачи анализа и синтеза систем управления.

В задаче синтеза требуется найти закон управления удовлетворяющий условиям (В.1) при заданных характеристиках и параметрах ОУ.

В задаче анализа необходимо по заданным закону управления и параметрам ОУ проверить выполнение условия (В.1).

Решение этих задач в рамках современной теории автоматического управления включает в себя:

-получение математических моделей объекта управления в пространстве состояний или в виде моделей вход-выход;

- оценивание и идентификацию параметров математических моделей;

- оценку наблюдаемости, управляемости, идентифицируемости и адаптируемости объекта управления;

- применение методов оптимального и адаптивного управления для нахождения закона управления;

-проверку устойчивости системы автоматического управления;

- определение качества процессов управления в соответствии с выбранной целевой функцией.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

1.1. Математические модели объектов управления в обыкновенных и частных производных

Математическая модель это математическое описание координат, параметров и функций, отображающих существенные свойства объекта, процесса или явления. Математическая модель объекта управления является основой для анализа и синтеза систем управления. В теории управления исследуются и рассматриваются не реальные системы, а их математические модели, поэтому результаты проводимых исследований и расчетов лишь приблизительно отражают свойства реальных систем. Чем точнее математическая модель отражает свойства реальной системы, тем точнее результаты проводимых расчетов.

Для получения математической модели системы управления необходимо дополнить уравнения объекта уравнениями исполнительных устройств, устройств измерения и устройства управления.

Очевидно, что без нарушения общности рассуждений исполни- тельные устройства и устройства измерения можно отнести к объекту управления, расширив размерность его вектора обобщенных координат. Такой объект, включающий в себя исполнительные и измерительные устройства, будем называть обобщенным объектом.

В наиболее общем случае управляемый процесс, протекающий в ОУ, может быть описан дифференциальными уравнениями в частных производных

ЬФ(l, t) = f (l, t), (l e L, t > 0) (1.1)

при начальных условиях:

ЛjФ(l,0) = в(l), (j = 1,2...n,l e L) (1.2)

и краевых условия условиях:

(1.3)

BiФ(l, t) = bt (l, t), (i = 1,2....m,l e L, t > 0),

где l - пространственная координата; m - число управляющих величин; n - число управляемых величин.

Ограничимся рассмотрением случая, когда L является волновым оператором или оператором переноса, что соответствует исследованию динамических процессов распространения возмущений и свободных движений. Кроме этого, выбор такого оператора позволяет рассматривать достаточно широкий класс физических процессов теплопроводности, диффузии, переноса, газо-гидродинамики, колебаний и сводится к решению смешанных задач математической физики для уравнений гиперболического и параболического типа вида:

д2 x

д ijd I,

? a (i)

i ,j =1

+ ? b (i)

i=1

+ c( l) x = U (l, t)

(1.4)

Рассмотрим основные физические процессы, сводящиеся к уравнению (1.4) 1. Уравнения колебаний. Многие задачи механики (колебания струн, стержней, мембран, трехмерных объектов) и физики (электромагнитные колебания) описываются уравнением колебаний :

д2 x

д t2

div (pgradx) + qx = U (l, t).

(1.5)

Неизвестная функция x(l, t) (координата процесса), зависящая от n (n=1,2,3) пространственных координат і1, і2 , Ц и времени t, коэффициенты р,p, q определяются свойствами среды, где происходит колебательный процесс, свободный член U (l, t) выражает интенсивность внешнего возмущения. В уравнении (1.5) в соответствии с определением операторов div и grad

(1.6)

div (pgradx) =

Для однозначного описания процесса колебаний необходимо дополнительно задать величину x (l ,0) в начальный момент времени (начальные условия) и режим поведения x (/0, t) на границе среды, где развивается физический процесс (граничные условия)

В задачах механики x (/, t) отклонения точки материального тела с координатами Іі, /2, /3 от положения равновесия, в задачах электродинамики x (/, t) напряженность электрического или магнитного поля в точке пространства с координатами /і, /2 , /3.

2. Уравнение диффузии. Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описываются следующим уравнением диффузии.

д x

р--div (pgradx) + qx = U (/, t). (1.7)

д t

Неизвестная функция x (/, t) в этом случае является температурой или концентрацией вещества. U ( /, t) - интенсивность источников тепла или вещества.

Как и в случае уравнения колебаний для полного описания процесса необходимо задать начальное распределение x (/ ,0) (начальные условия) и режимы на границе среды x (/0, t) (граничные условия).

3. Уравнения газо-гидродинамики

др

— + div (р?) = f(/, t); д t

(1.8)

д V 1

--+ (V, gradV) +— grad (p) = U (/, t),

д t р

здесь V(/, t) - вектор скорости движения жидкости или газа, р (/, t)- плотность, р(/, t)- давление, f (/, t) - интенсивность источников, U(/, t) - интенсивность массовых сил.

Первое (уравнение неразрывности) и второе уравнение (уравнение Эйлера) дополняются уравнением состояния, учитывающим связь между давлением и плотностью.

Отметим, что для объектов с распределенными координатами, описываемыми уравнениями в частных производных, координаты физического управляемого процесса x(/, t) и внешние воздействия U(/, t) непрерывно изменяются во времени и пространстве. На практике контроль координат управляемого процесса и внесение управляющих воздействий осуществляется в отдельных точках пространства. В связи с этим, в задачах автоматического управления, для математического описания ОУ переходят к уравнениям в обыкновенных производных.

Формально такой переход можно осуществить заменой частных производных на обыкновенные в уравнениях (1.5), (1.7), (1.8) и введением некоторой интегральной характеристики учитывающей свойства и параметры среды.

F (х) = div (p grad x),

Учитывая конечную скорость распространения возмущений в пространственной среде, где протекает управляемый процесс, а также то обстоятельство, что точка приложения управляющего воздействия и точка контроля координат процесса находятся в разных областях пространства, изменение х (/1, t) под действием U(/2, t) будет происходить не мгновенно, а с некоторым запаздыванием. Время этого запаздывания т можно вычислить как отношение расстояния между точками приложения управляющего воздействия и контроля к скорости распространения возмущений v

/1 /2

С учетом вышеизложенного, уравнения (1.5), (1.7), (1.8) могут быть преобразованы к виду:

1. Уравнения колебаний

р—— + qx + F (х) = U(t - т). dt

(1.9)

d х

dx

(1.10)

p--+ qx + F(x) = U(t -t).

dt

3. Уравнения газо-гидродинамики

dp

+ fiGp V) = f(t -t);

F2(V) + F3P) = U(t -T).

dt

(1.11)

dV

dt

Эти уравнения являются нелинейными неоднородными уравнениями в обычных производных.

1.2. Линеаризация нелинейных моделей объектов управления

Следует иметь в виду, что, говоря о линеаризации нелинейных моделей объектов регулирования, фактически осуществляют линеаризацию нелинейных дифференциальных или алгебраических уравнений которыми описывается объект.

Поскольку подавляющее большинство объектов управления являются нелинейными системами, то одной из задач теории линейных систем является задача линеаризации исходных нелинейных уравнений объекта управления и определение границ применения методов исследования линейных систем.

Стремление линеаризовать нелинейные системы, вызвано особыми свойствами линейных систем, позволяющими в значительной степени облегчить их анализ.

К таким свойствам относятся:

- свойство суперпозиции,

если У = f (x) - есть линейная функция, то

У (x1) + У (x 2 ) = f (x1) + x 2 )

для любых Х1 , X 2

- свойство однородности на изменение масштаба входной переменной.

Если y = f (x) - линейная зависимость, то

y = f (ax) = af (x)

для любых действительных a.

Поведение физической конечномерной системы описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в форме Коши.

dX = F[(t),U(t)]. (1.12)

dt

Уравнение (1.12) в обобщенном виде описывает динамические свойства объекта управления, задаваемые уравнениями (1.5), (1.7), (1.8) , когда обобщенные координаты X и возмущения U являются векторами и зависят от времени. Если рассматривать установившиеся состояния, при которых обобщенные координаты не зависят от времени, то система (1.12) преобразуется к виду:

F (X, U) = 0. (1.13)

Такая система является системой алгебраических уравнений и характеризует особенности работы объекта в статике, т.е. функциональные зависимости между X и U для их установившихся значений. Уравнение (1.13), разрешенное относительно X, называется статической характеристикой объекта и записывается в виде:

X = p(U). (1.14)

Нетрудно убедиться, что система алгебраических уравнений (1.13) является частным случаем системы дифференциальных уравнений (1.12), при условии, что все производные по времени равны нулю.

Непосредственное исследование поведения объекта управления или физической системы по уравнению (1.12) представляет собой сложную вычислительную задачу сводящуюся к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Для упрощения решения этой задачи ищут ее приближенное решение в предположении, что F(X, U) есть линейная функция по X. Следовательно, точность приближенного решения уравнения (1.12) будет определяться погрешностями линеаризации (1.14).

Из курса математики известно, что линеаризация нелинейности вида: F (X,U) или X = f (U) осуществляется в окрестностях какой-либо точ

ки X0, U0 удовлетворяющей уравнению (1.14).

Обычно в качестве такой точки выбирается точка статической характеристики объекта, соответствующая номинальным значениям U0.

Для заданных U 0 путем решения системы алгебраических уравнений (1.14) находят X0 . Затем в окрестностях этой точки осуществляют линеаризацию

нелинейной зависимости F (X,V ) = 0 . Либо методом малых отклонений, либо методом линеаризации в среднем.

Первый метод основан на разложении функции X = f (и)в ряд Тейлора в окрестностях точки X0,U0, с последующим отбрасыванием членов разложения выше второго порядка. Линеаризованное уравнение (1.13) запишется в виде:

J(AX + ди)=0, (1.15)

где J- функциональная матрица или якобиан функции F(X,U) в точке X0,U0; AX = X - X0; AU = U - U0 - малые приращения векторов X и U.

dX dAX

Подставляя (1.15) в (1.12) и учитывая, что

получим линеари-

dt dt

зованную систему дифференциальных уравнений:

(1.16)

= AA X + BAU

dAX

dt

где А и В квадратная и прямоугольная матрицы, определяемые свойствами якобиана функции F(X,U) и размерностью векторов X и U.

Область применения такого метода линеаризации ограничена малыми отклонениями переменных X и U от установившихся значений и условиями существования якобиана функции F (X,U), для чего необходимо условие дифференцируемости этой функции.

В том случае, если последнее условие не выполняется, т.е. функция F (X,U) имеет точки разрыва второго рода, используют метод линеаризации в среднем.

Сущность этого метода заключается в аппроксимации нелинейной функции линейной зависимостью в заданном диапазоне изменения обобщенных координат X . В качестве метода аппроксимации обычно используют метод наименьших квадратов. Линеаризованная система имеет вид (1.16), однако вычисление коэффициентов матриц А и В осуществляется по методу наименьших квадратов.

В соответствии с этим методом вводят вспомогательную функцию Ф, определяемую как квадрат разности заданной нелинейной функции X = f (U) и

линейной зависимости X = kU + b на интервале [ U1U2 ]

U2 2

Ф(к,b) = J (f (U)- kU - b)dU.

U1

Функция зависит только от неизвестных коэффициентов к и b .

Минимизируя Ф по неизвестным коэффициентам к и b можно найти их конкретные значения из следующей системы линейных алгебраических уравнений:

дФ

~дь

дФ

дк

В качестве примера линеаризуем участок параболы X = U на интерва

ле U от 0 до 1.

Вычислим функцию Ф

Ф= |Yu2 -kU-b)2dU = b2 + kb + — --b-1 к + -Л / 3 3 2 5'

0

Найдем частные производные и приравняем их нулю.

дФ 2 1

— _ b + -к--_ 0 дк 3 2

_ 2b + к--_ 0 db 3

дФ

b __ -

Откуда получим b _ ^

Если провести линеаризацию уравнения параболы методом малых отклонений, путем разложении уравнения параболы в ряд Тейлора в окрестностях точки с координатами [ U о, f (U о) ], то можно записать:

П гі

f (U) _X (U - U о)' + Rn (U).

i_ 0

Ограничиваясь линейными членами ряда и задавая координаты точки разложения [0,5; 0,25] получим:

f (U) _ f (0,5) + (U - 0,5) _ U - 4

1

Откуда b _ - 4; к _ 1

1.3. Различные формы представления линейных математических моделей

Математическая модель системы управления является основой для анализа и синтеза систем. Поэтому в зависимости от особенностей исследуемой системы и характера решаемых задач используют различные формы представления математических моделей систем управления.

Наиболее широко используются два вида математического описания систем, или два вида математических моделей - это математические модели систем в

пространстве состояний и математические модели “вход - выход” или структурированные модели.

В первом случае все переменные системы представляются в виде пространственных векторов, и поведение системы рассматривается в евклидовых пространствах управляющих, управляемых и возмущающих переменных, а также в пространстве состояний внутренних переменных или просто в пространстве состояний.

Как правило, не все обобщенные координаты объекта X используются для формирования управляющих воздействий, поэтому в рассмотрение вводится вектор управляемых или регулируемых величин объекта Y, размерность которого меньше или равна размерности вектора X.

Функциональная взаимосвязь между Y и X линейных и линеаризованных объектов задается выражением:

Y = CX, (1.17)

где С - квадратная или прямоугольная матрица.

Выражение (1.17) показывает, что любая регулируемая величина Y является линейной комбинацией от обобщенных координат объекта X .

i=1

Для получения полной математической модели системы управления необходимо ввести уравнения, описывающие поведение устройства управления. Для линейных систем такое управление задается в виде

(1.18)

U = -LX;

U = -MY,

L, M - прямоугольные или квадратные матрицы управления.

Уравнение (1.18) реализует фундаментальный принцип управления -принцип обратной связи. Причем знак минус перед правой частью уравнений

(1.18) указывает, что обратная связь является отрицательной, и управляющий сигнал всегда стремится возвратить систему к ее установившемуся состоянию, из которого она выходит под действием возмущений.

В технике впервые принцип обратной связи был использован в регуляторах Ползунова И.И. и Уатта Д.

Объединяя в единую систему уравнений выражения (1.16), (1.17) и

(1.18), получим математическую модель системы управления, описывающую ее свойства в пространстве состояний

— = AX + BU + Ef;

dt

(1.19)

Y = CX;

U = -LX.

Исключая и третье уравнение из системы, получим:

dX = (A - BL )X + Ef;

dt (1.20)

Y = CX.

Отсюда следует, что математическая модель системы управления представляет собой систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, записанных в форме Коши.

Наряду с математическими моделями в пространстве состояний широко используются математические модели “вход-выход” у которых вместо обобщенных координат вводятся входная U (управляющая) и выходная Y (управляемая) координаты.

Такие математические модели целесообразно использовать для одномерных систем, когда U и Y являются скалярами. В этом случае дифференциальное уравнение, связывающее выходную и входную переменные, будет выглядеть:

d'Y d^Y

dY , dmU , dm~1U

aY=b +b r- +L+bU

+----+a

(1.21)

a0--ьц

r-1

dt 1 dr1

df-1

dt

df1

где й0,Аі,к, an; bQ9 bl5 к, bm - постоянные коэффициенты; n - порядок системы.

Для реальных физически реализуемых систем управления m < n .

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-ого порядка (1.21) эквивалентно системе n линейных уравнений первого порядка (1.20). Для того ,чтобы установить правила перехода от (1.19) к (1.21) примем в (1.20) Xn — Y; f1 = f 2 = fk — 0 и ограничимся рассмотрением системы второго порядка без учета третьего уравнения системы (1.19).

dX 1

¦ — a 11X) + al2Y + b^U; — a 21X1 + a 22 Y + b21U.

dt

dY

(1.22)

dt

Продифференцируем второе уравнение (1.22)

d2 y dX 1 dY dU

—— — a21--+ a22 + b21

dt2 dt dt dt

dX 1 dt

из первого уравнения системы (1.22). После пре

Подставим сюда

образований получим:

d 2Y dt2

dY

dU

dt

a21a12 Y — a21a11 X1 + a21b11U + b21



    Учет: Делопроизводство - Автоматизация - Софт