Математическая модель
осредненного турбулентного движения
Пусть имеем систему уравнений пограничного слоя:
Так как первый член в правой части первого уравнения системы (2.1) записан как
Для описания турбулентного движения Рейнольдс предложил следующий прием. Регистрируя во времени скорости и давления в данной точке потока, можно их представить как:
где
Под осредненным значением параметра понимается обычное интегральное среднее по времени t за промежуток T , называемый, периодом осреднения:
В турбулентном движении добавляется пульсационная составляющая скорости (рис.10), в результате чего наблюдается вихревое движение, при котором сопротивление значительно возрастает. Таким образом, турбулентное течение обладает бóльшим сопротивлением по сравнению с ламинарным движением.
Предложение Рейнольдса имеет физический смысл, поскольку турбулентное движение жидкости характеризуется непрерывными случайными пульсациями давления, компонент скорости и других гидродинамических величин. При этом каждая реализация турбулентного движения в одних и тех же условиях индивидуальна, т.е. процесс является случайным (недетерминированным).
Поскольку все пульсирующие величины можно разложить на средние по ансамблю реализаций турбулентного течения - математические ожидания (обозначаемые черточками сверху), и собственно пульсации (обозначаемые штрихами), то и приходим к Рейнольдсову представлению случайного поля:
(Если ограничиться несжимаемой однородной жидкостью, то r=const и, следовательно,
Поле осредненных величин называется осредненным движением, а поле мгновенных значений - актуальным движением. Если осредненное движение не меняется со временем, поток называется установившимся или стационарным.
В силу эргодического свойства стационарных случайных полей в установившемся потоке результат осреднения той или иной гидродинамической переменной по реализациям турбулентного движения совпадает с результатом осреднения по времени для любой одной реализации.
В настоящее время турбулентное движение принято характеризовать осредненным по времени значением величин. В уравнениях сохранения массы, количества движения и энергии в потоке вязкой жидкости истинные (мгновенные) величины заменяются осредненными во времени их значениями следующим образом. Истинные величины в данной точке турбулентного потока раскладываются на осредненные и пульсационные их значения, что соответствует физическому представлению турбулентного движения. Тогда уравнения неразрывности, движения и энергии для осредненного турбулентного движения несжимаемой жидкости в общем случае получаются из исходных уравнений после замены в них истинных значений переменных осредненными их значениями и пульсациями с последующим осреднением этих параметров по времени. При введении в действие новых переменных добавляется три неизвестных:
Рассмотрим решение задачи. Возьмем, например, уравнение:
Проведя операцию осреднения, его можно записать следующим образом:
Здесь а)
г)
где
Видно, что уравнения такие же, как и для ламинарного пограничного слоя, только с добавкой напряжений от турбулентных пульсаций
Для вывода уравнений турбулентного пограничного слоя надо осреднить исходные уравнения погранслоя, несколько преобразовав первое уравнение - уравнение движения (аналогично случаю ламинарного пограничного слоя).
Для этого уравнение неразрывности умножим на ux
и добавим его в левую часть первого уравнения системы (2.1)
В результате преобразований (как и в случае ламинарного погранслоя - уравнение (1.21)) первое уравнение системы (2.1) получим в виде:
Здесь:
Проведем над обеими частями этого равенства операцию осреднения:
Так как
Подставляя значения
Учитывая уравнение неразрывности в осредненном виде:
можно уравнение движения (2.4) записать так:
С этой целью левая часть уравнения (2.4) преобразовывается с учетом уравнения неразрывности следующим образом:
Уравнения (2.5) и (2.6) входят в систему дифференциальных уравнений Рейнольдса осредненного турбулентного движения несжимаемой вязкой жидкости, которую можно окончательно представить в виде:
Эта система имеет одинаковый вид как для основного течения жидкости, так и для течения жидкости в погранслое.
Сопоставим первое уравнение системы (2.7) с уравнением движения вязкой жидкости в напряжениях, которое выглядит следующим образом:
В случае одномерного стационарного движения и отсутствия массовых сил это уравнение имеет вид:
Сравнивая уравнение Рейнольдса с уравнением движения в напряжениях, можно представить себе правую часть уравнения Рейнольдса как результат подстановки в уравнение в напряжениях вместо величин pxx и pxy суммы вязких напряжений, определяемых обобщенным законом Ньютона, и дополнительных турбулентных напряжений p'xx и p'xy, возникших за счет наличия в потоке пульсаций, т.е.:
В нашем случае
а)
б)
Таким образом получаем полную тождественность уравнений движения в напряжениях (2.8) и Рейнольдса (2.7).
В общем случае трехмерного движения эти дополнительные турбулентные напряжения p'xx, p'xy и т.д. образуют, так же как и вязкие напряжения, симметричный тензор второго ранга:
называемый тензором турбулентных напряжений с компонентами
Итак, приходим к выводу: уравнения осредненного турбулентного движения могут быть написаны в той же форме, что и уравнения действительного движения, если только, помимо вязких (ньютоновских) напряжений, учесть еще дополнительные турбулентные напряжения.
Назовем тензором полного (суммарного) напряжения тензор P, равный
и имеющий компоненты:
Не только вид уравнений движения, но и вид уравнений импульсов (интегральное соотношение Кармана) в турбулентном пограничном слое остается таким же, как и для ламинарного пограничного слоя:
только значения d, d*, d** и tw (напряжение трения на твердой стенке) будут иными:
а) толщина вытеснения масс в пограничном турбулентном слое
б) толщина потери импульса в турбулентном погранслое
в) напряжение трения на твердой стенке
Граничные условия будут следующими :
а) на стенке:
б) на внешней границе турбулентного погранслоя:
Необходимо учесть, что уравнение Эйлера
