Лекции ТММ

Динамика машин и механизмов

ЛЕКЦИЯ 4

Краткое содержание: Динамика машин и механизмов. Динамические параметры машины и механизма. Прямая и обратная задачи динамики. Механическая энергия и мощность. Работа внешних сил. Преобразование механической энергии механизмами. Аксиома об освобождения от связей. Силы и их классификация. Силы в КП без учета трения. Статический и кинетостатический силовой расчет типовых механизмов. Методы силового расчета (графоаналитический - планов сил, аналитический - метод проекций на оси координат). Динамика машин и механизмов. Динамика - раздел механики машин и механизмов, изучающий закономерности движения звеньев механизма под действием приложенных к ним сил. В [ ] дано такое определение: “Динамика рассматривает силы в качестве причины движения тел”.
В основе динамики лежат три закона, сформулированные Ньютоном, из которых следует:
Из первого закона: Если равнодействующая всех внешних сил, действующих на механическую систему равно нулю, то система находится в состоянии покоя.
Из второго закона: Изменение состояния движения механической системы может быть вызвано либо изменением действующих на нее внешних сил, либо изменением ее массы.
Из этих же законов следует, что динамическими параметрами механической системы являются:

инерциальные (массы m и моменты инерцииI);

силовые (силы Fij и моменты сил Mij);

кинематические (линейные a и угловые e ускорения).

В общей постановке динамика - изучение каких-либо процессов или явлений в функции времени. Динамическая модель - модель системы, предназначенная для исследования ее свойств в функции времени ( или модель системы, предназначенная для исследования в ней динамических явлений). Прямая и обратная задачи динамики машин. Прямая задача динамики - определение закона движения системы при заданном управляющем силовом воздействии.
Обратная задача динамики - определение требуемого управляющего силового воздействия, обеспечивающего заданный закон движения системы.
Методы составления уравнений (динамической модели системы):

энергетический (уравнения энергетического равновесия - закон сохранения энергия);

кинетостатический (уравнения силового равновесия с учетом сил инерции по принципу Д’Аламбера).

Механическая работа, энергия и мощность. Работой называется интеграл скалярного произведения вектора силы F на вектор элементарного приращения перемещения точки ее приложения dS
где sk, s0-конечное и начальное перемещение точки приложения силы F,
( F,dS ) - острый угол между вектором силы F и вектором перемещения точки ее приложения dS.
Энергией называется способность системы совершать работу или запас работы. Любая работа совершаемая над системой увеличивает его энергию. В механических системах различают кинетическую и потенциальную энергии. Чтобы сообщить системе ускорение и заставить ее двигаться с требуемой скоростью, нужно совершить работу. Эта работа запасается системой в виде энергии движения или кинетической энергии. Для механической системы, в которой r звеньев вращаются, p совершают поступательное движение и k - плоское, кинетическая энергия равна:
где mi - масса i-го звена, Vsi - скорость центра масс i-го звена, Isi - момент инерции i-го звена относительно его центра масс, wi - угловая скорость i -го звена.
Перемещение системы или ее элемента в потенциальном поле из точки с низким потенциалом в точку с более высоким или деформация звена системы требует совершения работы, которая запасается системой в виде потенциальной энергии. Для системы, в которой a звеньев подвергаются скручиванию и s звеньев - линейной деформации, потенциальная энергия деформации равна:
где ci - крутильная жесткость i -го звена, dfi - угловая деформация i -го звена, ki - линейная жесткость i -го звена, dsi - линейная деформация i - го звена. Мощностью называется производная от работы по времени. Средняя мощность - отношение совершенной работы ко времени ее выполнения. Рассмотрим механическую систему на которую воздействуют m моментов и f сил. Элементарное приращение энергии системы (элементарная работа внешних сил, действующих на систему) ее мощность Преобразование энергии в механизмах. Рассмотрим как преобразуется поток механической энергии в идеальном механизме с жесткими звеньями (по идеальным механизмом здесь понимаем механизм, в котором не потерь энергии, т.е. КПД которого равно h=1). При этом входная мощность равна выходной Pвх = Pвых.


1. Механизм преобразующий вращательное движение во вращательное. Рис. 4.1 так как 2. Механизм преобразующий вращательное движение в поступательное. Рис. 4.2 так как Аксиома освобождения от связей. Рис. 4.3 Из теоретической механики: Не изменяя состояния механической системы (движения или равновесия) связь, наложенную на нее можно отбросить, заменив действие связи ее реакцией. На рис. 4.3а изображена исследуемая система i вместе с действующими на нее входной системой j и выходной системой k и внешней средой l.
Освобождаясь от связей наложенных на исследуемую систему внешними системами, мы заменяем действие этих связей реакциями Fij , Fik и Fil. Силой называется мера механического воздействия одного материального тела на другое, характеризующая величину и направление этого воздействия. Т.е. сила - векторная величина, которая характеризуется величиной и направлением действия. Если одно тело действует с некоторой силой на другое тело, то на него со стороны последнего также действует сила, равная по величине и противоположно по направлению (третий закон Ньютона). Таким образом, силы всегда действуют парами, т.е. каждой силе Fij , действующей с тела i на тело j, соответствует противодействующая сила Fji. Согласно действующей договоренности, в индексе обозначения на первом месте указывается тело на которое действует сила, на втором - с которого. Классификация сил, действующих в механизмах. Все силы, действующие в механизмах, условно подразделяются на:

внешние, действующие на исследуемую систему со стороны внешних систем и совершающие работу над системой. Эти силы в свою очередь подразделяются на:

движущие, работа которых положительна (увеличивает энергию системы);

сопротивления, работа которых отрицательна (уменьшает энергию системы). Силы сопротивления делятся на:

силы полезного (технологического) сопротивления - возникающие при выполнении механической системы ее основных функций (выполнение требуемой работы по изменению координат, формы или свойств изделия и т.п.);

силы трения (диссипативные) - возникающие в месте связи в КП и определяемые условиями физико-механического взаимодействия между звеньями (работа всегда отрицательна);

взаимодействия с потенциальными полями (позиционные) - возникают при размещении объекта в потенциальном поле, величина зависит от потенциала точки, в которой размещается тело (работа при перемещении из точки с низким потенциалом в точку с более высоким - положительна; за цикл, т.е.


при возврате в исходное положение, работа равна нулю). Потенциальное поле - силы тяжести или веса. Существуют электромагнитные, электростатические и другие поля.

внутренние, действующие между звеньями механической системы. Работа этих сил не изменяет энергии системы. В механических системах эти силы называются реакциями в КП.

расчетные (теоретические) - силы, которые не существуют в реальности, а только используются в различных расчетах с целью их упрощения:

силы инерции - предложены Д’Аламбером для силового расчета подвижных механических систем. При добавлении этих сил к внешним силам, действующим на систему, устанавливается квазистатическое равновесие системы и ее можно рассчитывать, используя уравнения статики (метод кинетостатики).

приведенные (обобщенные) силы - силы. совершающие работу по обобщенной координате равную работе соответствующей реальной силы на эквивалентном перемещении точки ее приложения.

Необходимо отметить, что под силами понимаются равнодействующие соответствующих распределенных в месте контакта КП нагрузок. Все вышесказанное относительно сил распространяется и на моменты сил. Силы в кинематических парах плоских механизмов (без учета трения). Сила, как векторная величина характеризуется относительно звеньев механизма тремя параметрами: координатами точки приложения, величиной и направлением. Рассмотрим с этих позиций реакции в КП плоских механизмов. 1. Поступательная КП. В поступательной КП связи, наложенные на относительное движение звеньев запрещают относительное поступательное движение по оси y и относительное вращение. Заменяя эти связи реакциями, получим реакцию Fij и реактивный момент Mij (см. рис. 4.4). Рис. 4.4
При силовом расчете поступательной КП определяются:

реактивный момент Mij,

величина реакции Fij

известны: точка приложения силы - геометрический центр кинематической пары A1 п.и направление - нормаль к контактирующим поверхностям звеньев.
Число связей в КП Sпл = 2, подвижность звеньев в КП Wпл =1, число неизвестных при силовом расчете ns = 2. 2.


Вращательная КП. Во вращательной КП связи, наложенные на относительное движение звеньев запрещают относительное поступательное движение по осям y и x. Заменяя эти связи реакциями, получим реакцию Fij (см. рис. 4.5). Рис. 4.5
При силовом расчете поступательной КП определяются:

направление реакцииFij;

величина реакции Fij;
известна: точка приложения силы - геометрический центр кинематической пары B1 в..
Число связей в КП Sпл = 2, подвижность звеньев в КП Wпл=1, число неизвестных при силовом расчете ns = 2. 3. Высшая КП. В высшей паре связи,наложенные на относительное движение звеньев, запрещают движение в направлении нормали к контактирующим поверхностям (ось y). Заменяя эту связь реакцией, получим реакцию Fij (см.рис. 4.5).
При силовом расчете в высшей КП определяются:

величина реакции Fij;

известны: точка приложения силы - точка контакта рабочих профилей кинематической пары С2вп;
направление вектора силы - контактная нормаль к профилям. Рис. 4.6
Число связей в КП S пл = 1, подвижность звеньев в КП Wпл =2, число неизвестных при силовом расчете ns = 1. Силовой расчет типовых механизмов. Постановка задачи силового расчета: для исследуемого механизма при известных кинематических характеристиках и внешних силах определить уравновешивающую силу или момент (управляющее силовое воздействие) и реакции в кинематических парах механизма. Виды силового расчета:

статический - для механизмов находящихся в покое или движущихся с малыми скоростями, когда инерционные силы пренебрежимо малы, или в случаях, когда неизвестны массы и моменты инерции звеньев механизма (на этапах, предшествующих эскизному проектированию); Уравнения статического равновесия:
где Fi - внешние силы, приложенные к механизму или его звеьям,
Mi- внешние моменты сил, приложенные к механизму или его звеьям.

кинетостатический - для движущихся механизмов при известных массах и моментах инерции звеньев, когда пренебрежение инерционными силами приводит к существенным погрешностям; Уравнения кинетостатического равновесия:


где Fиi-инерционные силы, приложенные к звеньям, Mиi-моменты сил инерции, приложенные к звеньям.

кинетостатический с учетом трения - может быть проведен когда определены характеристики трения в КП и размеры элементов пар.

Определение числа неизвестных при силовом расчете. Для определения числа неизвестных, а, следовательно, и числа независимых уравнений, при силовых расчетах необходимо провести структурный анализ механизма и определить число и классы кинематических пар, число основных подвижностей механизма, число избыточных связей. Чтобы силовой расчет можно было провести, используя только уравнения кинетостатики, необходимо устранить в нем избыточные связи. В противном случае, к системе уравнений кинетостатики необходимо добавить уравнения деформации звеньев, необходимые для раскрытия статической неопределимости механизма. Так как каждая связь в КП механизма соответствует одной компоненте реакции, то число неизвестных компонент реакций равно суммарному числу связей накладываемых КП механизма. Уравновешивающая сила или момент должны действовать по каждой основной подвижности механизма. Поэтому суммарное число неизвестных в силовом расчете определяется суммой связей в КП механизма и его основных подвижностей
где ns- число неизвестных в силовом расчете. Кинетостатический силовой расчет типовых механизмов. Рассмотрим механизм, состоящий из трех соединенных последовательно простых механизмов: зубчатой передачи, кулачкового механизма и четырехшарнирного рычажного механизма (рис. 4.6).
Представим этот механизм в виде комбинации типовых механизмов: Рис. 4.7
1.Кинетостатический расчет зубчатой передачи (метод планов сил).
Для примера рассмотрим цилиндрическую эвольвентную зубчатую передачу. При проведении расчета нам необходима информация о размерах зубчатых колес и положении контактной нормали в высшей КП. Для эвольвентной передачи необходимо знать радиусы основных rb1 ,rb2или начальных окружностей rw1 ,rw2, и угол зацепления aw, т.к rbi =rw1 ?cos aw . По этим размерам в масштабе изображается кинематическая схема механизма, на которую наносятся все известные силы и моменты.


Главные вектора и моменты сил инерции рассчитываются по формулам так как кинематические параметры aSi, ei механизма при кинетостатическом расчете заданы.
Определим подвижность, число избыточных связей в механизме, а также число неизвестных в силовом расчете:
т.е в нашем механизме неизвестно 6 компонент реакций, для решения задачи силового расчета необходимо составить 6 уравнений кинетостатики. Структурный анализ механизма показывает что механизм состоит из одного первичного механизма (звено 1 и стойка) и монады (структурной группы, состоящей из одного звена 2). Анализ начнем со второго звена, так как о нем больше известно.
Расчетная схема для звена 2 приведена на рис. 4.9. Рис. 4.8
>Уравнения равновесия для звена 2: векторное уравнение силового равновесия уравнение моментов относительно точки В Рис. 4.11 Вначале решается уравнение моментов и определяется величина силы F21. Затем графически в масштабе mF, по векторному уравнению сил строится многоугольник (рис.4.10), из которого определяется величина и направление реакции F20. 2.1. Звено 1.
Расчетная схема для звена 1 приведена на рис. 4.11.
Уравнения равновесия для звена 1: векторное уравнение силового равновесия уравнение моментов относительно точки А Рис. 4.11 Для звена 1 движущий момент Mд1рассчитывается по уравнению моментов, а величина и направление реакции F10 определяется графически (рис.4.12), построением плана сил в масштабе mF. Примечание: Кулачковый механизм рассчитывается аналогично, поэтому его силовой расчет не рассматриваем. Кинетостатический расчет четырехшарнирного механизма (метод проекций или аналитический). Изобразим расчетную схему механизма и нанесем на нее все внешние силы и моменты (рис.4.13). Рис. 4.13 Постановка задачи.
Дано: >li, j3, w3, e3, mi, Isi, Mc5.
Определить:Fij, Mд3. 1. Определение подвижности механизма, числа избыточных связей в КП и числа неизвестных в силовом расчете. 2. Определение скоростей и ускорений звеньев и центров их масс. 3. Определение главных векторов и главных моментов сил инерции. 4.


Кинетостатический расчет механизма. 4.1 Звено 5 (рис. 4.14).
Уравнения силового равновесия в проекциях на оси координат
и сумма моментов сил относительно точки L 4.2 Звено 4. (рис. 4.15).
Уравнения силового равновесия в проекциях на оси координат
и сумма моментов сил относительно точки Q 4.3 Звено 4. (рис. 4.16). Уравнения силового равновесия в проекциях на оси координат
и сумма моментов сил относительно точки C Таким образом мы составили систему 9-и уравнение с 9-ю неизвестными. При составлении этой системы были учтены равенства действия и противодействия Fij = - Fji ( без учета этих равенств общее число неизвестных и уравнений системы 18 ). Составим матрицу этой системы: Из решения этой системы уравнений определяются реакции в КП и движущий момент Мд3 Примечание: Более подробно с силовым расчетом рычажных механизмов Вы познакомитесь на упражнениях и при выполнении 2-го домашнего задания.

Эвольвентное зубчатое колесо и его параметры

ЛЕКЦИЯ 12

Краткое содержание: Эвольвентное зубчатое колесо и его параметры. Толщина зуба колеса по окружности произвольного радиуса. Методы изготовления эвольвентных зубчатых колес. Понятие о исходном, исходном производящем и производящем контурах. Станочное зацепление. Основные размеры зубчатого колеса. Виды зубчатых колес. Подрезание и заострение колеса. Понятие о области существования зубчатого колеса. Эвольвентная цилиндрическая зубчатая передача и ее параметры. Основные уравнения эвольвентного зацепления.
Эвольвентное зубчатое колесо и его параметры.
Эвольвентным зубчатым колесом называют звено зубчатого механизма, снабженное замкнутой системой зубьев. При проектировании зубчатого колеса вначале нужно определить его число зубьев z, а затем определить параметры зубьев. Для этого нужно произвольную окружность колеса ry разделить на z частей, каждая из которых называется окружным шагом py.
2*p * ry = py* z => 2* ry = (py/p )* z = my* z = dy ,
где my= py /p = dy / z - модуль зацепления по окружности произвольного радиуса.
Модулем зацепления называется линейная величина в p раз меньшая окружного шага или отношение шага по любой концентрической окружности зубчатого колеса к p . В зависимости от окружности по которой определен модуль различают делительный, основной, начальный. Для косозубых колес еще и нормальный, торцевой и осевой модули. В ряде стран используется величина обратная модулю, которая называется питчем. Питч (диаметральный) - число зубьев колеса, приходящееся на дюйм диаметра. Исходя из этого модуль можно определить как число милиметров диаметра, приходящееся на один зуб. На колесе можно провести бесчисленное число окружностей на каждой из которых будет свой модуль. Для ограничения этого числа ГОСТом введен стандартный ряд модулей. Стандартной модуль определяется по окружности называемой делительной. Точнее делительной называется такая окружность зубчатого колеса, на которой модуль и шаг принимают стандартное значение. Окружным шагом или шагом называется расстояние по дуге окружности между одноименными точками профилей соседних зубьев (под одноименными понимаются правые или левые профили зуба).
Угловой шаг t - центральный угол соответствующий дуге p - окружному шагу по делительной окружности.

Примечание: Согласно ГОСТ основные элементы зубчатого колеса обозначаются по следующим правилам: линейные величины - строчными буквами латинского алфавита, угловые - греческими буками; установлены индексы для величин :

по окружностям: делительной - без индекса, вершин - a , впадин - f , основная - b , начальная - w , нижних точек активных профилей колес - p , граничных точек - l ;

по сечениям: нормальное сечение - n , торцевое сечение - t , осевое сечение - x ;

относящихся к зуборезному инструменту - 0 .

Для параметров зубчатого колеса справедливы следующие соотношения

dy = my* z - диаметр окружности произвольного радиуса,

d = m* z - диаметр делительной окружности,

py = my* p - шаг по окружности произвольного радиуса,

p = m* p - шаг по делительной окружности,

где a - угол профиля на делительной окружности,

a y - угол профиля на окружности произвольного радиуса.

Углом профиля называется острый угол между касательной к профилю в данной точки и радиусом - вектором, проведенным в данную точку из центра колеса.

Шаг колеса делится на толщину зуба sy и ширину впадины ey . Толщина зуба sy - расстояние по дуге окружности ry между разноименными точками профилей зуба. Ширина впадины ey - расстояние по дуге окружности ry между разноименными точками профилей соседних зубьев.

На основной окружности a b=> 0 и cos a b=> 1, тогда

mb = m* cos a =>pb = p * m* cos a .

В зависимости от соотношения между толщиной зуба и шириной впадины на делительной окружности зубчатые колеса делятся на:

нулевые s = e = p * m / 2 , D = 0;

положительные s > e , =>D > 0;

отрицательные s < e , => D < 0;

где D - коэффициент изменения толщины зуба (отношение приращения толщины зуба к модулю). Тогда толщину зуба по делительной окружности можно записать

s = (p * m / 2 ) + D * m = m*[(p / 2 ) + D ].

Более подробно познакомиться с основными определениями и расчетными зависимостями можно в литературе [ 11.1 ] и в ГОСТ 16530-83.


Толщина зуба колеса по окружности произвольного радиуса.

Толщина зуба по дуге делительной окружности

s = (p * m / 2 ) + D * m.

Угловая толщина зуба по окружности произвольного радиуса из схемы на рис. 11.2

sy / ry = s / r - ( inv a y - inv a )* 2,

где r = m*z / 2 , ry = m*z * cos a / (2* cos a y )

Подставляя в формулу угловой толщины эти зависимости, получим

sy = s* ry / r - ( inv a y - inv a )* 2* ry,

или

sy = m * (cos a / cos a y) * [(p / 2 ) + D - ( inv a y - inv a )* z] .

Методы изготовления эвольвентных зубчатых колес.

Существует множество вариантов изготовления зубчатых колес. В их основу положены два принципиально отличных метода:

метод копирования, при котором рабочие кромки инструмента по форме соответствуют обрабатываемой поверхности ( конгруентны ей, т. е. заполняют эту поверхность как отливка заполняет форму );

метод огибания, при котором инструмент и заготовка за счет кинематической цепи станка выполняют два движения - резания и огибания (под огибанием понимается такое относительное движение заготовки и инструмента , которое соответствует станочному зацеплению, т. е. зацеплению инструмента и заготовки с требуемым законом изменения передаточного отношения).

Из вариантов изготовления по способу копирования можно отметить:

Нарезание зубчатого колеса профилированной дисковой или пальцевой фрезой (проекция режущих кромок которой соответствует конфигурации впадин). При этом методе резание производится в следующем прядке: прорезается впадина первого зуба, затем заготовка с помощью делительного устройства (делительной головки) поворачивается на угловой шаг и прорезается следующая впадина. Операции повторяются пока не будут прорезаны все впадины. Производительность данного способа низкая, точность и качество поверхности невысокие.

Отливка зубчатого колеса в форму. При этом внутренняя поверхность литейной формы конгруентна наружной поверхности зубчатого колеса. Производительность и точность метода высокая, однако при этом нельзя получить высокой прочности и твердости зубьев.

Из вариантов изготовления по способу огибания наибольшее распространение имеют:

Обработка на зубофрезерных или зубодолбежных станках червячными фрезами или долбяками. Производительность достаточно высокая, точность изготовления и чистота поверхностей средняя. Можно обрабатывать колеса из материалов с невысокой твердостью поверхности.

Накатка зубьев с помощью специального профилированного инструмента. Обеспечивает высокую производительность и хорошую чистоту поверхности. Применяется для пластичных материалов, обычно на этапах черновой обработки. Недостаток метода образование наклепанного поверхностного слоя, который после окончания обработки изменяет свои размеры.

Обработка на зубошлифовальных станках дисковыми кругами. Применяемся как окончательная операция после зубонарезания (или накатки зубьев) и термической обработки. Обеспечивает высокую точность и чистоту поверхности. Применяется для материалов с высокой поверхностной прочностью.

Понятие о исходном, исходном производящем и производящем контурах .

Для сокращения номенклатуры режущего инструмента стандарт устанавливает нормативный ряд модулей и определенные соотношения между размерами элементов зуба. Эти соотношения определяются:

для зубчатых колес определяются параметрами исходной рейки через параметры ее нормального сечения - исходный контур;

для зубчатого инструмента определяются параметрами исходной производящей рейки через параметры ее нормального сечения - исходный производящий контур.

По ГОСТ 13755-81 значения параметров исходного контура должны быть следующими:

угол главного профиля a = 20° ;

коэффициент высоты зуба h*a = 1 ;

коэффициент высоты ножки h*f = 1.25 ;

коэффициент граничной высоты h*l = 2 ;

коэффициент радиуса кривизны переходной кривой r *f =с */(1-sina )= 0.38 ;

коэффициент радиального зазора в паре исходных контуров с * = 0.25.

Исходный производящий контур отличается от исходного высотой зуба h0 = 2.5m.

Исходный и исходный производящий контуры образуют между собой конруентную пару (рис. 12.3), т.е.


один заполняет другой как отливка заполняет заготовку (с радиальным зазором с **m в зоне прямой вершин зуба исходной рейки). Принципиальное отличие этих контуров в том, что исходный контур положен в основу стандартизации зубчатых колес, а исходный производящий - в основу стандартизации зуборезного инструмента. Оба эти контура необходимо отличать от производящего контура - проекции режущих кромок инструмента на плоскость перпендикулярную оси заготовки.

Станочное зацепление.

Станочным зацеплением называется зацепление, образованное заготовкой колеса и инструментом, при изготовлении зубчатого колеса на зубообрабатывающем оборудовании по способу обката. Схема станочного зацепления колеса и инструмента с производящим контуром, совпадающим с исходным производящим контуром, изображена на рис. 12.4.

Линия станочного зацепления - геометрическое место точек контакта эвольвентной части профиля инструмента и эвольвентной части профиля зуба в неподвижной системе координат.

Смещение исходного производящего контура x*m - кратчайшее расстояние между делительной окружностью заготовки и делительной прямой исходного производящего контура.

Уравнительное смещение D y*m - условная расчетная величина, введенная в расчет геометрии зацепления с целью обеспечения стандартного радиального зазора в зацеплении (величина, выражающая в долях модуля уменьшение радиуса окружностей вершин колес, необходимое для обеспечения стандартной величины радиального зазора).

Окружность граничных точек rl - окружность проходящая через точки сопряжения эвольвентной части профиля зуба с переходной кривой.

Основные размеры зубчатого колеса.

Определим основные размеры эвольвентного зубчатого колеса, используя схему станочного зацепления (рис. 12.4).

Радиус окружности вершин ra = r + h*a* m + x* m - D y* m ; r = m * z / 2 ;

ra = m * ( z / 2 + h*a + x - D y ) .

Высота зуба h = c** m + 2* h*a* m - D y* m ;

h = m * ( c* + 2* h*a - D y ) .

Радиус окружности впадин rf = r a - h = m * (z/2 - h*a - c* + x ) .

Толщина зуба по делительной окружности.

Так как стночно-начальная прямая перекатывается в процессе огибания по делительной окружности без скольжения, то дуга s-s по делительной окружности колеса равна ширине впадины e-e по станочно-начальной прямой инструмента. Тогда, c учетом схемы на рис. 12.5, можно записать

s = e0 + 2* x * m * tg a ,

s = m * ( p / 2 + 2* x * tg a ),

где D = 2* x * tg a .

Рис. 12.5

Виды зубчатых колес (Классификация по величине смещения).

В зависимости от расположения исходного производящего контура относительно заготовки зубчатого колеса, зубчатые колеса делятся на нулевые или без смещения, положительные или с положительным смещением, отрицательные или с отрицательным смещением.

Рис. 12.6

Подрезание и заострение зубчатого колеса.

Если при нарезании зубчатого колеса увеличивать смещение, то основная и делительная окружность не изменяют своего размера, а окружности вершин и впадин увеличиваются. При этом участок эвольвенты, который используется для профиля зуба, увеличивает свой радиус кривизны и профильный угол. Толщина зуба по делительной окружности увеличивается , а по окружности вершин уменьшается.

На рис. 12.7 изображены два эвольвентных зуба для которых

x2 > x1 => ra2 > ra1 ;

s2 > s1 => sa2 < sa1 .

Для термобработанных зубчатых колес с высокой поверхностной прочностью зуба заострение вершины зуба является нежелательным. Термообработка зубьев (азотирова-ние, цементация, цианирование), обеспечивающая высо Рис. 12.7 кую поверхностную прочность и твердость зубьев при сохранении вязкой серцевины, осуществляется за счет насыщения поверхностных слоев углеродом. Вершины зубьев, как выступающие элементы колеса, насыщаются углеродом больше. Поэтому после закалки они становятся более твердыми и хрупкими. У заостренных зубьев появляется склонность к скалыванию зубьев на вершинах. Поэтому рекомендуется при изготовлении не допускать толщин зубьев меньших некоторых допустимых значений. То есть заостренным считается зуб у которого


sa < [sa], где sa = m*(cos a / cos a a )*[(p /2 )+ D - ( inv a a - inv a )* z] .

При этом удобнее пользоваться относительными величинами [sa /m ]. Обычно принимают следующие допустимые значения

улучшение, нормализация [sa /m ] = 0.2;

цианирование, азотирование [sa /m ] = 0.25...0.3;

цементация [sa /m ] = 0.35...0.4.

Подрезание эвольвентных зубьев в станочном зацеплении.

В процессе формирования эвольвентного зуба по способу огибания, в зависимости от взаимного расположения инструмента и заготовки возможно срезание эвольвентной части профиля зуба той частью профиля инструмента, которая формирует переходную кривую. Условие при котором это возможно определяется из схемы станочного зацепления. Участок линии зацепления, соответствующий эвольвентному зацеплению определяется отрезком B1. где точка Bl определяется пересечением линии станочного зацепления и прямой граничных точек инструмента. Если точка Bl располагается ниже (см. рис.12.8) точки N , то возникает подрезание зуба. Условие при котором нет подрезания можно записать так

P0N > P0Bl .

Из D P0N0

P0N = r * sin a = m*z*sin a / 2,

а из D P0BlF

P0Bl = ( h*a - x )* m / sin a .

Тогда

z*sin a / 2 > ( h*a - x ) / sin a ,

при x=0

z > 2 * h*a / sin2 a ,

Рис. 12.9 откуда



zmin = 2 * h*a / sin2 a ,

где zmin - минимальное число зубьев нулевого колеса нарезаемое без подрезания.

Избежать подрезания колеса можно если увеличить смещение инструмент так, чтобы точка Bl оказалась бы выше точки N или совпала с ней. Тогда смещение инструмента при котором не будет подрезания

x > h*a - z * sin2 a / 2 , => x > h*a * [ 1 - z * sin2 a / (2* h*a )],

x > h*a * ( 1 - z / z min ).

В предельном случае, когда точка Bl совпадает с точкой N

xmin = h*a * ( 1 - z / z min ),

где xmin - минимальное смещение инструмента при котором нет подрезания.

Рис. 12.10. Понятие о области существования зубчатого колеса.

Параметры в зубчатых передачах удобно разделять на параметры зубчатого колеса и параметры зубчатой передачи.


Параметры зубчатого колеса характеризуют данное зубчатое колесо и, как составная часть, входят в параметры зубчатой передачи, образованной этим колесом с другим парным ему колесом. К параметрам зубчатого колеса относятся: число зубьев, модуль, параметры исходного контура инструмента, которым оно обрабатывалось и коэффициент смещения. Как отмечено выше, на выбор этих параметров накладываются ограничения по заострению и подрезанию зуба. Поэтому можно ввести понятие области существования зубчатого колеса - диапазона коэффициентов смещения при которых не будет подрезания и заострения. На рис. 12.11 показан пример такой области существования.

Цилиндрическая эвольвентная зубчатая передача.

Два зубчатых колеса с одинаковым модулем и с числами зубьев соответствующими заданному передаточному отношению образуют зубчатую передачу или простейший зубчатый механизм. В этом трехзвенном механизме зубчатые колеса образуют между собой высшую пару, а со стойкой низшие пары. Зубчатая передача, кроме параметров образующих ее колес, имеет и собственные параметры: угол зацепления a w, межосевое расстояние aw, воспринимаемое смещение y*m и уравнительное смещение D y*m . Передаточное отношение механизма u12, числа зубьев колес z1 и z2, начальные окружности rw1 и rw2(или центроиды) и межосевое расстояние aw связаны между собой следующими соотношениями ( см. основную теорему зацепления и раздел по кинематике зубчатой передачи):

aw = rw1 + rw2 ; u12 = rw2 / rw1 ; aw = rw1 * ( 1 + u12 ) ;

rw1= aw /( 1 + u12); rw2 = rw1 - aw .

Изобразим схему зацепления эвольвентной зубчатой передачи (рис.12.12).

Основные уравнения эвольвентного зацепления.

1. Угол зацепления a w

Так как перекатывание начальных окружностей друг по другу происходит без скольжения, то

sw1 = ew2 и sw2 = ew1 , но sw1 + ew1 = pw1 и sw2 + ew2 = pw2 ,

кроме того pw1= pw2= pw , тогда sw2 + sw1 = pw .

Толщину зуба по начальной окружности можно записать, используя формулу для толщины зуба по окружности произвольного радиуса


sw1 = m * (cos a / cos a w) * [(p / 2 ) + D 1 - ( inv a w - inv a )* z1 ] ,

sw2 = m * (cos a / cos a w) * [(p / 2 ) + D 2 - ( inv a w - inv a )* z2 ] ,

а шаг по начальной окружности равен

pw = p * m * (cos a / cos a w).

Поставляя эти выражения в формулу для шага по начальной окружности, получим

pw = sw2 + sw1 p * m * (cos a / cos a w ) = m * (cos a / cos a w) *[(p / 2 ) + D 2 - ( inv a w - inv a )* z2 + (p / 2 ) + D 1 - ( inv a w - inv a )* z1 ]

(D 1 + D 2) - (z1 + z2) * ( inv a w - inv a ) = 0,

inv a w = inv a + ( D 1 + D 2 )/ ( z1 + z2 ).

2. Межосевое расстояние aw

Из схемы эвольвентного зацепления (рис.12.12) можно записать

aw = rw1 + rw2 ,

но ry = r * (cos a / cos a y ) и rw = r * (cos a / cos a w ),

после подстановки, получим

aw = r1 * (cos a / cos a w ) + r2 * (cos a / cos a w ) ,

aw = ( m*z1 /2 + m*z2 / 2 )* (cos a / cos a w ) ,

aw = m* (z1 + z2 )* (cos a / cos a w ) / 2 .

3. Воспринимаемое смещение y* m

Из схемы эвольвентного зацепления (рис.12.12) можно записать

4. Уравнительное смещение D y* m

Из рис. 12.12 aw = ra1 + c** m + rf2 ,

aw = r1 + r2 + y* m ,

откуда

ra1 + c** m + rf2 = r1 + r2 + y* m ,

где ra1 = m * ( z1 / 2 + h*a + x1 - D y ), rf 2= m * (z2 /2 - h*a - c* + x2 ) .

Подставим эти выражения

и, после преобразований, получим

x1 + x2 - D y = y,

D y = ( x1 + x2 ) - y.

Литература.

В.А.Гавриленко . Зубчатые передачи в машиностроении (Теория эвольвентных зубчатых передач). М.: Машгиз - 1962, 530 стр., илл.

Ф.Л.Литвин Теория зубчатых зацеплений. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: - Наука - 1968, 584 стр., илл.

Классификация кинематических пар

ЛЕКЦИЯ 2

Краткое содержание: Классификация кинематических пар. Модели машин. Методы исследования механизмов. Понятие о структурном анализе и синтезе. Основные структурные формулы. Структурная классификация механизмов по Ассуру и по Артоболевскому. Структурный анализ механизма. Подвижности и связи в механизме. Понятие об избыточных связях и местных подвижностях. Рациональная структура механизма. Методы определения и устранения избыточных связей и местных подвижностей.

Классификация кинематических пар.
Кинематические пары (КП) классифицируются по следующим признакам:

по виду места контакта (места связи) поверхностей звеньев:

низшие, в которых контакт звеньев осуществляется по плоскости или поверхности ( пары скольжения );

высшие, в которых контакт звеньев осуществляется по линиям или точкам (пары, допускающие скольжение с перекатыванием).

по относительному движению звеньев, образующих пару:

вращательные;

поступательные;

винтовые;

плоские;

сферические.

по способу замыкания (обеспечения контакта звеньев пары):

силовое (за счет действия сил веса или силы упругости пружины);

геометрическое (за счет конструкции рабочих поверхностей пары).

Рис. 2.1	Рис. 2.2

по числу условий связи, накладываемых на относительное движение звеньев ( число условий связи определяет класс кинематической пары );

по числу подвижностей в относительном движении звеньев.

Классификация КП по числу подвижностей и по числу связей приведена в таблице 2.1.
Классификация кинематических пар по числу связей и по подвижности.
Таблица 2.1

Класс пары	Число связей	Подвижность	Пространственная схема (пример)	Условные обозначения
I	1	5
II	2	4
III	3	3
IV	4	2
V	5	2

Примечание: Стрелки у координатных осей показывают возможные угловые и линейные относительные перемещения звеньев. Если стрелка перечеркнута, то данное движение в КП запрещено (т.е. на данное относительное движение наложена связь).

Модели машин.

Модель (от лат. modulus - мера, образец) - устройство или образ ( мысленный или условный: схема, чертеж, система уравнений и т.п.) какого-либо объекта или явления (оригинала данной модели), адекватно отражающей его исследуемые свойства и используемый в качестве заместителя объекта в научных или иных целях (рис.2.3).

Рис. 2.3

Виды моделей.

По форме представления:

физические;

математические:

аналоговые;

цифровые.

По назначению:

функциональные;

структурные;

геометрические;

кинематические;

динамические.

По методу исследования:

графические;

численные;

графо-аналитические;

энергетические;

кинето-статические;

экспериментальные.

Структура механизмов.

Как отмечалось выше, структура любой технической системы определяется функционально связанной совокупностью элементов и отношений между ними. При этом для механизмов под элементами понимаются звенья, группы звеньев или типовые механизмы, а под отношениями подвижные (КП) или неподвижные соединения. Поэтому под структурой механизма понимается совокупность его элементов и отношений между ними, т.е. совокупность звеньев, групп или типовых механизмов и подвижных или неподвижных соединений. Геометрическая структура механизма полностью описывается заданием геометрической формы его элементов, их расположения, указания вида связей между ними. Структура механизма может быть на разных стадиях проектирования описываться различными средствами, с разным уровнем абстрагирования: на функциональном уровне - функциональная схема, на уровне звеньев и структурных групп - структурная схема и т.п. Структурная схема - графическое изображение механизма, выполненное с использованием условных обозначений рекомендованных ГОСТ (см. например ГОСТ 2.703-68) или принятых в специальной литературе, содержащее информацию о числе и расположении элементов (звеньев, групп), а также о виде и классе кинематических пар, соединяющих эти элементы. В отличие от кинематической схемы механизма, структурная схема не содержит информации о размерах звеньев и вычерчивается без соблюдения масштабов. (Примечание: кинематическая схема - графическая модель механизма, предназначенная для исследования его кинематики.)


Понятие о структурном синтезе и анализе.

Как на любом этапе проектирования при структурном синтезе различают задачи синтеза и задачи анализа.
Задачей структурного анализа является задача определения параметров структуры заданного механизма - числа звеньев и структурных групп, числа и вида КП, числа подвижностей (основных и местных), числа контуров и числа избыточных связей.
Задачей структурного синтеза является задача синтеза структуры нового механизма, обладающего заданными свойствами: числом подвижностей, отсутствием местных подвижностей и избыточных связей, минимумом числа звеньев, с парами определенного вида (например, только вращательными, как наиболее технологичными) и т.п.

Основные понятия структурного синтеза и анализа.

Подвижность механизма - число независимых обобщенных координат однозначно определяющее положение звеньев механизма на плоскости или в пространстве.
Связь - ограничение, наложенное на перемещение тела по данной координате.
Избыточные (пассивные) - такие связи в механизме, которые повторяют или дублируют связи, уже имеющиеся по данной координате, и поэтому не изменяющие реальной подвижности механизма. При этом расчетная подвижность механизма уменьшается, а степень его статической неопределимости увеличивается. Иногда используется иное определение: Избыточные связи - это связи число которых в механизме определяется разностью между суммарным числом связей, наложенных кинематическими парами, и суммой степеней подвижности всех звеньев, местных подвижностей и заданной (требуемой) подвижностью механизма в целом.
Местные подвижности - подвижности механизма, которые не оказывают влияния на его функцию положения (и передаточные функции), а введены в механизм с другими целями (например, подвижность ролика в кулачковом механизме обеспечивает замену в высшей паре трения скольжения трением качения).

Основные структурные формулы.

Основные структурные формулы были составлены для плоских механизмов Чебышевым П.Л.


и Грюблером М., для пространственных - Сомовым П.О. и Малышевым. Так как принципы заложенные в построение всех этих формул одинаковы, то их можно записать в обобщенном виде:

H-1
W = H*n + S (H-i) * pi ,
i=1

где:

H - число степеней подвижности твердого тела (соответственно при рассмотрении механизма в пространстве H=6, на плоскости H=3); n - число подвижных звеньев в механизме; n = k - 1; k - общее число звеньев механизма (включая и неподвижное звено - стойку); i - число подвижностей в КП; pi - число кинематических пар с i подвижностями.

Для расчета избыточных связей, согласно второму определению, используется следующая зависимость:

q = W0+ Wм - W,

где:	q - число избыточных связей в механизме; W0 - заданная или требуемая подвижность механизма; Wм - число местных подвижностей в механизме; W - расчетная подвижность механизма.

Пример структурного анализа механизма.

Рис. 2.4

Функциональная схема на уровне типовых механизмов.

Рис. 2.5

На рис.2.4 изображена структурная схема плоского механизма долбежного станка, а на рис.2.5 его функциональная схема на уровне типовых механизмов. Структурная схема механизма в соответствии с принятыми условными обозначениями изображает звенья механизма, их взаимное расположение, а также подвижные и неподвижные соединения между звеньями. На схеме звенья обозначены цифрами, кинематические пары - заглавными латинскими буквами. Цифры в индексах обозначения КП указывают относительную подвижность звеньев в паре, буквы - на вид пары, который определяется видом относительного движения звеньев (в - вращательное, п - поступательное, ц - цилиндрическое, вп - обозначает высшую пару в которой возможно относительное скольжение с одновременным перекатыванием). Схема на рис. 2.5 отражает структуру механизма в виде последовательного и параллельного соединения простых или типовых механизмов. В этом механизме вращательное движение вала двигателя f1 в согласованные движения подачи f8 и долбяка S6.


При этом механическая энергия двигателя преобразуется: скоростные составляющие энергетического потока по величине уменьшаются, а силовые - увеличиваются. Структурные элементы (типовые механизмы) в этой схеме связаны между собой неподвижными соединениями - муфтами. Схема показывает из каких простых механизмов состоит исследуемый, как эти механизмы взаимосвязаны между собой (последовательно или параллельно), как происходит преобразование входных движений в выходные (в нашем примере f1 в f8 и S6).

Проведем структурный анализ данного механизма. Число подвижных звеньев механизма n=8, числокинематических пар pi=12, из них для плоского механизма одноподвижных p1=10 (вращательных p1в=8, поступательных p1п=2 и двухподвижных p2=2. Число подвижностей механизма на плоскости:

Wпл = 3*8 - (2*10 + 1*2) = 2 = 1 + 1,

полученные две подвижности делятся на основную или заданную W0 = 1 и местную Wм = 1. Основная подвижность определяет основную функцию механизма преобразование входного движения f1 в два функционально взаимосвязанных f8 и S6. Местная обеспечивает выполнение вспомогательной функции: заменяет в высшей паре кулачок - толкатель трение скольжения трением качения. Если рассматривать механизм как пространственный, то во-первых необходимо учесть, что с увеличением подвижности звеньев с трех до шести изменяются и подвижности некоторых кинематических пар. В нашем примере это высшие пары K и P, подвижность которых изменяется с двух до четырех, и низшая пара D, у которой подвижность увеличивается до двух. С учетом сказанного, подвижность пространственного механизма равна:

Wпр = 6*8 - (4*1 + 5*9 + 2*2) = 48 - 53 = -5,

т. е. как пространственный данный механизм не имеет подвижности, так как число связей в нем существенно (на пять) превышает суммарную подвижность всех его звеньев. Однако от рассмотренного ранее плоского варианта пространственный механизм ничем не отличается, то есть он имеет две подвижности основную и местную. Как отмечено, выше связи, не изменяющие подвижности механизма, являются пассивными или избыточными.


Для нашего механизма чилсло избыточных связей:

на плоскости

qпл = W0 + Wм - Wпл = 1 + 1 - 2 = 0;

в пространстве

qпр = W0 + Wм - Wпр = 1 + 1 - (-5) = 7.

Возникает вопрос: почему при переходе от плоской к пространственной модели механизма возникают избыточные связи? При анализе плоской модели механизма мы исключаем из рассмотрения три координаты, а , следовательно, и связи наложенные по этим координатам. В плоском механизме априорно задано, что оси всех вращательных и высших пар перпендикулярны, а оси поступательных параллельны плоскости, в которой рассматривается механизм. При пространственном анализе механизма это условие отсутствует. В нашем механизме 12 кинематических пар и , следовательно, 12 таких условий. Если учесть, что при переходе от плоской модели к пространственной общее число подвижностей в КП увеличилось на пять, то получим семь избыточных связей (т.к. 12 - 5 = 7). Известно, что избыточные связи возникают только в замкнутых кинематических цепях. Поэтому при анализе структуры механизма важно знать число независимых контуров, образованных его звеньями. Независимым считается контур отличающийся от остальных хотя бы на одно звено. Расчет числа контуров для механизма проводят по формуле Гохмана Х.И.:

K = pi - n = 12 - 8 = 4,

где:

K - число независимых контуров в механизме; pi - число КП в механизме; n - число подвижных звеньев в механизме.

Структурная классификация механизмов по Ассуру Л.В.

Для решения задач синтеза и анализа сложных рычажных механизмов профессором Петербургского университета Ассуром Л.В. была предложена оригинальная структурная классификация. По этой классификации механизмы не имеющие избыточных связей и местных подвижностей состоят из первичных механизмов и структурных групп Ассура (см. рис. 2.6).

Рис. 2.6

Под первичным механизмом понимают механизм, состоящий из двух звеньев (одно из которых неподвижное) образующих кинематическую пару с одной Wпм=1 или несколькими Wпм = 1 подвижностями.


Примеры первичных механизмов даны на рис. 2.7.

Рис. 2.7

Структурной группой Ассура (или гуппой нулевой подвижности) называется кинематическая цепь, образованная только подвижными звеньями механизма, подвижность которой (на плоскости и в пространстве) равна нулю (Wгр = 0).

Конечные звенья групп Ассура, входящие в две кинематические пары, из которых одна имеет свободный элемент звена, называются поводками. Группы могут быть различной степени сложности. Структурные группы Ассура делятся на классы в зависимости от числа звеньев, образующих группу, числа поводков в группе, числа замкнутых контуров внутри группы. В пределах класса (по Ассуру) группы подразделяются по числу поводков на порядки (порядок группы равен числу ее поводков). Механизмы классифицируются по степени сложности групп входящих в их состав. Класс и проядок механизма определяется классом и порядком наиболее сложной из входящих в него групп. Особенность структурных групп Ассура - их статическая определимость. Если группу Ассура свободными элементами звеньев присоединить к стойке, то образуется статически определимая ферма. Используя группы Ассура удобно проводить структурный, кинематический и силовой анализ механизмов. Наиболее широко применяются простые рычажные механизмы, состоящие из групп Ассура 1-го класса 2-го порядка. Число разновидностей таких групп для плоских механизмов с низшими парами невелико, их всего пять (см. рис. 2.8)

Рис. 2.8

Для этих групп разработаны типовые методы структурного, кинематического и силового анализа (см. например, алгоритмы в [6] и программу DIADA). При структурном синтезе механизма по Ассуру (рис.2.6) к выбранным первичным механизмам с заданной подвижностью W0 последовательно присоединяются структурные группы c нулевой подвижностью. Полученный таким образом механизм обладает рациональной структурой, т.е. не содержит избыточных связей и подвижностей. Структурному анализу по Ассуру можно подвергать только механизмы не содержащие избыточных связей и подвижностей.


Поэтому перед проведением структурного анализа необходимо устранить избыточные связи и выявить местные подвижности. Затем необходимо выбрать первичные механизмы и, начиная со звеньев наиболее удаленных от первичных, выделять из состава механизма структурные группы нулевой подвижности (схема на рис. 2.6). При этом необходимо следить, чтобы звенья, остающиеся в механизме, не теряли связи с первичными механизмами.
Несколько слов о историческом развитии классификации Ассура. В диссертационной работе Ассур разработал структурную классификацию для плоских рычажных шарнирных механизмов (т.е. для механизмов только с вращательными КП). В дальнейшем Артоболевский И.И. усовершенствовал и дополнил эту классификацию, распространив ее на плоские механизмы и с поступательными КП. При этом были изменены и принципы классификации. В плоских механизмах группами являются кинематические цепи с низшими парами, которые удовлетворяют условию Wгр = 3*nгр - 2*p1 = 0. Решения этого уравнения в целых числах определяют параметры групп Ассура. Эти параметры, а также классы простейших групп Ассура по Ассуру и по Артоболевскому приведены в таблице 2.2.

Класс и порядок по Ассуру	1 кл. 2 пор.	1 кл. 3 пор.
Число звеньев группы nгр	2	4	и т. д.
Число кинематических пар p1	3	6
Класс и порядок по Артоболевскому	2 кл. 2 пор.	3 кл. 3 пор.

Дальнейшее развитие эта структурная классификация получила в работе [6], где была распространена на механизмы с высшими кинематическими парами.

Проведем структурный анализ плоского механизма, схема которого приведена на рис. 2.4, и представим его в виде совокупности первичного механизма и структурных групп Ассура. Результаты структурного анализа изображены на рис. 2.9. Для рассматриваемого механизма структурный анализ можно проводить только для плоской модели, так как она не содержит избыточных связей. Механизм состоит из четырех структурных групп: двух рычажных двухповодковых ( группы звеньев 5-6 и 4-5) и двух групп с высшими парами одна из которых содержит только одно звено 2, вторая - два звена 7 и 8.


Звено 7 и пара T введены в структуру механизма с целью замены трения скольжения трением качения, т.е. они обеспечивают местную подвижность ролика 7. За вычетом этой подвижности группа 7-8 имеет нулевую подвижность и является группой Ассура (точнее группой нулевой подвижности). Механизм имеет одну основную подвижность и, следовательно, один первичный механизм, состоящий из звеньев 1 и 0. Если рассмотреть полученные структурные группы как пространственные, то они не будут группами нулевой подвижности ибо обладают избыточными связями. Чтобы преобразить их в группы с нулевой подвижностью необходимо снизить классы кинематических пар, не допуская при этом возникновения местных подвижностей. При переходе от анализа механизма на плоскости к анализу в пространстве изменяются классы пар: одноподвижная поступательная КП D изменяется на двухподвижную цилиндрическую, двухподвижные высшие P и K на четырехподвижные. Далее по группам классы пар изменялись так:

группа звеньев 5-6
группа звеньев 3-4
группа звеньев 7-8 звено 2

Рис. 2.9

После таких изменений классов КП подвижность механизма

Wпр = 6*8 - (3*1 + 4*4 + 5*5 + 1*2) = 48 - 46 = 2,

где одна подвижность - основная, а вторая - местная.

В данном случае для устранения избыточных связей мы воспользовались способом снижения классов КП. Другой способ - введение в механизм дополнительных звеньев и КП. В заключение необходимо отметить, что устранять избыточные связи нужно не всегда. Многоподвижные КП сложнее и дороже в изготовлении, механизмы с такими парами часто обладают меньшей жесткостью и точностью, чем механизмы с одноподвижными КП.

Классификация зубчатых передач

ЛЕКЦИЯ 13

Краткое содержание:

Классификация зубчатых передач.

Понятие о блокирующем контуре.

Качественные показатели для эвольвентной передачи.

Коэффициент перекрытия.

Коэффициент формы зуба.

Коэффициент удельного давления.

Коэффициент удельного скольжения

Оптимальный геометрический синтез зубчатой передачи.

Программное обеспечение САПР зубчатых передач.

Косозубые цилиндрические эвольвентные передачи и особенности их расчета.

Коэффициент осевого перекрытия.

Классификация зубчатых передач
Цилиндрические эвольвентные зубчатые передачи в зависимости от величины воспринимаемого смещения классифицируются следующим образом.

нулевые или равносмещенные (составленные из зубчатых колес без смещения или с равными, но противоположными по знаку смещениями) x1 = x2 = 0 или x1 = - x2 , D1 = D2 = 0 или D1 = - D2 , yЧm = 0, y = 0, aw= a = r1 + r2 , aw = a ; положительные (составленные из колес с положительными смещениями или когда положительное смещение одного колеса больше отрицательного смещения другого) x1 > 0, x2 > 0 или x1 > | - x2 | , D1 > 0, D2 > 0 или D1 > | - D2 | , yЧm > 0, y > 0, aw> a , aw > a ; отрицательные (составленные из колес с отрицательными смещениями или когда отрицательное смещение одного колеса больше положительного смещения другого) x1 < , x2 < 0 или x1 < - x2 | , D1 < 0, D2 < 0 или D1 < | - D2 | , yЧm < 0, y < 0, aw< a , aw < a .

Понятие о блокирующем контуре зубчатой передачи
При проектировании зубчатой передачи необходимо решить несколько задач:

выбрать тип зубчатого механизма, его передаточное отношение и числа зубьев колес;

провести проектный прочностной расчет механизма и определить величину межосевого расстояния или модуль зубчатых колес( модуль зубчатых колес округляется до ближайшей величины из стандартного ряда модулей );

· провести геометрический расчет зубчатой передачи для выбранных коэффициентов смещения исходного контура, которые обеспечивают исключение подрезания, срезания и заострения зубьев колес и благоприятное или оптимальное сочетание качественных показателей зубчатой передачи.

Для эвольвентных зубчатых передач, по предложению М.Б.Громана, область сочетаний коэффициентов смещений зубчатых колес x1 и x2, удовлетворяющих ограничениям по срезанию в станочном зацеплении, заострению, заклиниванию в зацеплении эвольвент и на переходных кривых, по допустимым минимальным или максимальным значениям качественных показателей, называют блокирующим контуром (рис.13.2).
Границы блокирующего контура отсекают те значения коэффициентов смещению которые недопустимы по указанным условиям. Значения, расположенные внутри контура, допустимы, но каждой паре коэффициентов смещения соответствует свое сочетание качественных показателей. Для выбора коэффициентов смещения на блокирующий контур наносятся изолинии качественных показателей, с использованием которых внутри контура выбираются коэффициенты смещения с оптимальным сочетанием качественных показателей. И.И.Болотовским и его сотрудниками созданы справочники, которые содержат блокирующие контуры для большого числа зубчатых передач. Построение блокирующего контура является трудоемкой вычислительной задачей и требует значительных затрат даже при применении ЭВМ. В настоящее время, с ростом производительности компьютеров, появляется возможность геометрического синтеза оптимальных зубчатых передач без предварительного построения блокирующего контура.

На рис. 13.2 ограничивающие линии блокирующего контура: 1 - коэффициент торцевого перекрытия ea =1; 2 - толщина зуба колеса z1 по окружности вершин sa1 = 0; 3 - допустимое подрезание колеса z2 ; 4 - допустимое подрезание колеса z1 ; 5 - интерференция или заклинивание с переходной кривой колеса z2. Линии качественных показателей: 6 - линия sa2 = 0.25m; 7 - линия sa2 = 0.4m; 8 - линия выравненных удельных скольжений l1=l2; 9 - линия sa1 = 0.4m; 10 - линия sa1 = 0.25m; 11 - линия x2 = x2min ; 12 - линия x1 = x1min ; 13 - линия ea = 1.2.

Качественные показатели цилиндрической эвольвентной передачи.

К качественным показателям цилиндрической эвольвентной зубчатой передачи относятся:

коэффициент торцевого перекрытия

коэффициент полезного действия

коэффициент удельного скольжения

коэффициент удельного давления

коэффициент формы зуба

Рассмотрим эти коэффициенты подробнее (исключив из рассмотрения коэффициент полезного действия, как величину характеризующую реальные, а не рассматриваемые нами идеализированные механизмы). Коэффициент торцевого перекрытия


Коэффициентом перекрытия eg называется величина отношения угла перекрытия зубчатого колеса к его угловому шагу, где под углом перекрытия понимают угол на который поворачивается колесо за время зацепления одной пары зубьев. Для цилиндрических колес различают полное eg, торцевое ea и осевое перекрытие:



где осевое перекрытие имеется только в косозубых передачах.



где,



Коэффициент перекрытия определяет величину зоны двухпарного контакта, когда одновременно зацепляются два последовательно расположенных зуба. Так как до окончания зацепления одной пары зубьев, следующая пара должна войти в контакт, нельзя допускать в прямозубых передачах . Допустимое значение коэффициента перекрытия должно несколько превышать единицу и, в зависимости от назначения передачи и точности ее изготовления, выбирается в пределах . Максимальное значение коэффициента перекрытия для зубчатых колес, обработанных инструментом со стандартным исходным производящим контуром, составляет . Наиболее благоприятны величины коэффициента перекрытия равные целым числам, например двум или трем. Обеспечить это можно только используя инструмент с нестандартным исходным производящим контуром. Дробные значения коэффициента перекрытия, например близкие к полутора, приводят к циклическому изменению жесткости передачи и к возникновению параметрических колебаний.



Коэффициент формы зуба Геометрическая форма зуба в значительной мере определяет показатели его как изгибной, так и контактной прочности. Оценка влияния геометрии зуба на изгибную прочность осуществляется коэффициентом формы зуба Y. Этот коэффициент определяется через параметры балки параболиче-

ского сечения (балки равного сопротивления изгибу), которая вписывается в контур зуба так, чтобы вершина параболы располагалась в точке пересечения оси зуба и нормали к профилю в вершине, а ветви касались профиля зуба у основания ( см. схему на рис. 13.4). где Sp - толщина зуба по хорде на окружности, проходящей через точки касания параболы и профиля зуба, l - высота от вершины параболы до хорды Sp .

Коэффициент удельного давления Для характеристики влияния геометрической формы зуба на контактную прочность используется коэффициент удельного давления . Из анализа формулы Герца, которая используется для оценки контактных напряжений в высшей паре, можно заключить, что единственный геометрический элемент в этой формуле - приведенный радиус кривизны



где - радиусы кривизны профилей в контактной точке, знак + относится к внешнему зацеплению, - к внутреннему. Чтобы коэффициент давления характеризовал контактное напряжение не-зависимо от абсолютных размеров зуба, которые определяются модулем, введено понятие удельного давления как отношения модуля к приведенному радиусу кривизны



Для цилиндрической прямозубой эвольвентной передачи:



Тогда для внешнего зацепления: при контакте в точке В2 (на выходе зубьев из зацепления) :



при контакте в точке В1 (на входе зубьев в зацепление)



при контакте в полюсе точке Р:



Коэффициент удельного скольжения. Как показано выше, скорость скольжения в точке контакта профилей высшей пары определяется следующим выражением :



где l кр - расстояние от точки контакта до полюса, знак + для внешнего зацепления , для внутреннего. Величина износа активных частей профилей в высшей паре в значительной степени зависит от их относительного скольжения и от скорости этого скольжения. Для оценки скольжения при геометрических расчетах зубчатых передач пользуются коэффициентом удельного скольжения



где Vtki - проекция скорости контактной точки звена i на контактную нормаль. Из схемы эвольвентного зацепления ( [ 1 ] стр.105 рис. 86 )



после подстановки и преобразований для колеса z1 при контакте в точке В2 (на выходе зубьев из зацепления)



для колеса z2 при контакте в точке В1 (на входе зубьев в зацепление)



Графики изменения коэффициентов удельного давления и удельного скольжения по линии зацепления зубчатых колес.



Оптимальный геометрический синтез зубчатой передачи. Оптимальный геометрический синтез зубчатой передачи проводится аналогично оптимальному метрическому синтезу рычажных механизмов, но с использованием других ограничений и других качественных показателей.


Среди качественных показателей необходимо различать противоречивые и непротиворечивые. Так с увеличением смещений удельное давление и коэффициент формы зуба изменяются в желаемом направлении, а коэффициент торцевого перекрытия и толщины зубьев по окружностям вершин уменьшаются, что, при упрощенном рассмотрении, можно считать нежелательным. Критерии или качественные показатели, которые при принятом изменении параметров изменяются в желаемом направлении считаются непротиворечивыми (так как не противоречат друг другу), те критерии, которые при этом изменяются нежелательным образом, называются противоречивыми. При наличии противоречивых критериев эффективным методом поиска оптимума является метод "минимизации уступок". При этом методе вначале проводится оптимизация по каждому из рассматриваемых критериев, определяются значения критериев в оптимальных точках и ищутся значения параметров при которых отклонения каждого критерия от его оптимального значения будут минимальны. Необходимо отметить, что возможности параметрической оптимизации достаточно скромны. Обычно в среднем можно получить улучшение по каждому из показателей не более 10 - 20%. Более существенных результатов можно достичь при переходе к другой схеме или другому типу механизма. Кроме того при геометрическом синтезе зубчатой передаче сложно ориентироваться в сочетании качественных показателей. При анализе скольжения необходимо учитывать, что создание устойчивой масляной пленки в зоне контакта возможно при определенных значениях скорости скольжения. В полюсе зацепления скорость скольжения равна нулю и при прохождении полюса эта скорость изменяет свой знак. Поэтому в зубчатых передачах при дозаполюсном зацеплении в зоне близкой к полюсу происходит нарушение масляной пленки, что приводит к повышенному износу в этой зоне за счет контактного выкрашивания - питтинга. С этих позиций предпочтительными оказываются передачи с большими смещениями с до или заполюсным зацеплением, в которых скорость скольжения направлена в одну сторону, не имеет нулевых значений, поэтому условия для формирования масляной пленки более благоприятны.


Программное обеспечение САПР зубчатых передач. В 70 - е годы были разработаны и приняты ГОСТ на терминологию, прочностные и геометрические расчеты эвольвентных зубчатых передач. Поэтому программное обеспечение САПР зубчатых передач по всем направлениям проводится по расчетным формулам и алгоритмам рекомендуемым ГОСТ. В ГОСТ предусмотрены два вида расчета геометрии:

по стандартному радиальному зазору в передаче;

по стандартной высоте зуба.

При изучении курса ТММ в МВТУ им. Баумана принят метод расчета по стандартной величине радиального зазора. Существующее на кафедре программное обеспечение разработано для этого вида расчета и обеспечивает расчет геометрии внешнего зацепления при фиксированном значении x2 = 0.5 и изменении x1 в диапазоне от 0 до 1.4 с шагом 0.1. При выполнении курсового проекта по ТММ на основании этого расчета строятся графики качественных показателей, определяется область допустимых решений для коэффициента x1 и выбор этого по оптимальному сочетанию качественных показателей. На рис. 13.6 приведен пример графика. При принятых допустимых значениях

[Ea] =1.1. и [Sa/m]=0.3

ограничения на выбор коэффициента смещения x1 :

по подрезанию X1min = 0.24 ;

по заострению колеса z1 : X1maxsa = 1.24;

по торцевому перекрытию :X1maxea = 0.84.

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ), в которой можно выбирать значение x1 0.24 > x1 > 0.84. этой области выбирается то значение x1, которое обеспечивает наилучшее сочетание качественных показателей. Часто выбор коэффициента производят по рекомендациям ГОСТ. Для рассматриваемого случая силовой зубчатой передачи с числами зубьев z1 = 14 и z2 = 22

x1 = x2 = 0.5 .



Косозубые цилиндрические эвольвентные передачи и особенности их расчета. Косозубыми называются цилиндрические эвольвентные зубчатые передачи, боковая поверхность зуба которой образована наклонной прямой лежащей в производящей плоскости и образующей с линией касания с основным цилиндром угол bb ( см. схему на рис. 13.7). При этом эвольвентами основной окружности радиуса rb будут кривые лежащие в торцевой плоскости.


Поэтому расчет геометрии цилиндрической косозубой передачи проводится по приведенным выше формулам для торцевого сечения. Для передачи с косыми зубьями нужно ввести несколько новых параметров:



осевой шаг - расстояние между одноименными линиями соседних винтовых зубьев по линии пересечения плоскости осевого сечения зубчатого колеса с делительной, начальной или другой соосной поверхностью. На рис. 13.7 справа изображены развертки делительного и начального цилиндров косозубого колеса. Из этой схемы:

Из схемы, изображенной на рис. 13.8

При нарезании косозубого колеса инструментальная рейка поворачивается на угол b, при этом стандартный исходный производящий контур располагается в нормальной плоскости, а в расчетной торцевой плоскости образуется другой, торцевой контур, параметры которого определим из схемы, приведенной на рис. 13.9.

Для высотных соотношений торцевого производящего контура:



Коэффициент осевого перекрытия. В косозубых передачах величина коэффициента перекрытия увеличивается на величину торцевого перекрытия, которое (рис. 13.8) равно:



где

- угол осевого перекрытия для колеса z1 .

Кулачковые механизмы

ЛЕКЦИЯ 17

Краткое содержание:
[Назначение и область применения]
[Классификация кулачковых механизмов]
[Основные параметры кулачковых механизмов]
[Структура кулачкового механизма]
[Кинематический анализ кулачкового механизма]
[Синтез кулачкового механизма]
[Этапы синтеза]
[Постановка задачи метрического синтеза]
[Алгоритм проектирования кулачкового механизма по допустимому углу давления]
[Проверка результатов синтеза по диаграмме углов давления] Кулачковые механизмы: Кулачковые механизмы:
Кулачковым называется трехзвенный механизм с высшей кинематической парой входное звено которого называется кулачком, а выходное - толкателем (или коромыслом). Часто для замены в высшей паре трения скольжения трением качения и уменьшения износа, как кулачка, так и толкателя, в схему механизма включают дополнительное звено – ролик и вращательную кинематическую пару. Подвижность в этой кинематической паре не изменяет передаточных функций механизма и является местной подвижностью.
Назначение и область применения:
Кулачковые механизмы предназначены для преобразования вращательного или поступательного движения кулачка в возвратно-вращательное или возвратно-поступательное движение толкателя. При этом в механизме с двумя подвижными звеньями можно реализовать преобразование движения по сложному закону. Важным преимуществом кулачковых механизмов является возможность обеспечения точных выстоев выходного звена. Это преимущество определило их широкое применение в простейших устройствах цикловой автоматики и в механических счетно-решающих устройствах (арифмометры, календарные механизмы). Кулачковые механизмы можно разделить на две группы. Механизмы первой обеспечивают перемещение толкателя по заданному закону движения. Механизмы второй группы обеспечивают только заданное максимальное перемещение выходного звена – ход толкателя. При этом закон, по которому осуществляется это перемещение, выбирается из набора типовых законов движения в зависимости от условий эксплуатации и технологии изготовления.


Классификация кулачковых механизмов:
Кулачковые механизмы классифицируются по следующим признакам:

по расположению звеньев в пространстве

пространственные

плоские

по движению кулачка

вращательное

поступательное

винтовое

по движению выходного звена

возвратно-поступательное ( с толкателем)

возвратно-вращательное ( с коромыслом)

по наличию ролика

с роликом

без ролика

по виду кулачка

дисковый (плоский)

цилиндрический

коноид (сложный пространственный)

по форме рабочей поверхности выходного звена

плоская

заостренная

цилиндрическая

сферическая

эвольвентная

по способу замыкания элементов высшей пары

силовое

геометрическое

При силовом замыкании удаление толкателя осуществляется воздействием контактной поверхности кулачка на толкатель (ведущее звено – кулачок, ведомое – толкатель). Движение толкателя при сближении осуществляется за счет силы упругости пружины или силы веса толкателя, при этом кулачок не является ведущим звеном. При геометрическом замыкании движение толкателя при удалении осуществляется воздействием наружной рабочей поверхности кулачка на толкатель, при сближении – воздействием внутренней рабочей поверхности кулачка на толкатель. На обеих фазах движения кулачок ведущее звено, толкатель – ведомое. Рис. 17.1

Кулачковый механизм с силовым замыканием высшей пары	Кулачковый механизм с геометрическим замыканием высшей пары

Основные параметры кулачкового механизма:
Большинство кулачковых механизмов относится к цикловым механизмам с периодом цикла равным 2p. В цикле движения толкателя в общем случае можно выделить четыре фазы: удаления, дальнего стояния (или выстоя), сближения и ближнего стояния.
В соответствии с этим, углы поворота кулачка или фазовые углы делятся на:

угол удаления jy

угол дальнего выстоя jдв

угол сближения jс

угол ближнего выстоя jбв.

Сумма трех углов образует угол jраб = dраб , который называется рабочим углом.
jраб = dраб = jу + jдв + jс . Кулачок механизма характеризуется двумя профилями: центровым (или теоретическим) и конструктивным.


Под конструктивным понимается наружный рабочий профиль кулачка. Теоретическим или центровым называется профиль, который в системе координат кулачка описывает центр ролика (или скругления рабочего профиля толкателя) при движении ролика по конструктивному профилю кулачка. Фазовым называется угол поворота кулачка. Профильным углом di называется угловая координата текущей рабочей точки теоретического профиля, соответствующая текущему фазовому углу ji.
В общем случае фазовый угол не равен профильному ji№di.
На рис. 17.2 изображена схема плоского кулачкового механизма с двумя видами выходного звена: внеосным с поступательным движением и качающимся (с возвратно-вращательным движением). На этой схеме указаны основные параметры плоских кулачковых механизмов. Рис. 17.2 На рисунке 17.2:

SAi и SВi	- текущие значения перемещения центров роликов
j40	- начальная угловая координата коромысла
j4	- текущее угловое перемещение коромысла
hAmax	- максимальное перемещение центра ролика
r0	- радиус начальной шайбы центрового профиля кулачка
r	- радиус начальной шайбы конструктивного профиля кулачка
rp	- радиус ролика (скругления рабочего участка толкателя)
Ji	- текущее значение угла давления
aw	- межосевое (межцентровое) расстояние
e	- внеосность (эксцентриситет)

Теоретический профиль кулачка обычно представляется в полярных координатах зависимостью ri = f(di),
где ri - радиус-вектор текущей точки теоретического или центрового профиля кулачка.
Структура кулачковых механизмов: Рис. 17.3

Wпл = 3Чn - 2Чpн - 1Чpвп
n = 3, pн = 3, pвп = 1, Wпл = 3Ч3 - 2Ч3 - 1Ч1 = 2 = 1 + 1 W0 = 1, Wм = 1	n = 2, pн = 2, pвп = 1, Wпл = 3Ч2 - 2Ч2 - 1Ч1 = 1 ; W0 = 1 ; Wм = 0.

В кулачковом механизме с роликом имеется две подвижности разного функционального назначения: W0 = 1 – основная подвижность механизма по которой осуществляется преобразование движения по заданному закону, Wм = 1 - местная подвижность, которая введена в механизм для замены в высшей паре трения скольжения трением качения.


Кинематический анализ кулачкового механизма:
Кинематический анализ кулачкового механизма может быть проведен любым из описанных выше методов. При исследовании кулачковых механизмов с типовым законом движения выходного звена наиболее часто применяется метод кинематических диаграмм. Для применения этого метода необходимо определить одну из кинематических диаграмм. Так как при кинематическом анализе кулачковый механизм задан, то известна его кинематическая схема и форма конструктивного профиля кулачка. Построение диаграммы перемещений проводится в следующей последовательности (для механизма с внеосным поступательно движущимся толкателем):

строится, касательно к конструктивному профилю кулачка, семейство окружностей с радиусом, равным радиусу ролика; соединяются центры окружностей этого семейства плавной кривой и получается центровой или теоретический профиль кулачка

в полученный центровой профиль вписываются окружности радиусов r0 и r0 +hAmax,определяется величина эксцентриситета е

по величине участков, не совпадающих с дугами окружностей радиусов r0 и r0 +hAmax , определяются фазовые углы jраб , jу , jдв и jс

дуга окружности r, соответствующая рабочему фазовому углу, разбивается на несколько дискретных участков; через точки разбиения проводятся касательно к окружности радиуса эксцентриситета прямые линии (эти линии соответствуют положениям оси толкателя в его движении относительно кулачка)

на этих прямых измеряются отрезки расположенные между центровым профилем и окружностью радиуса r0 ; эти отрезки соответствуют перемещениям центра ролика толкателя SВi
по полученным перемещениям SВiстроится диаграмма функции положения центра ролика толкателяSВi= f(j1)

Рис.17.4 На рис. 17.4 показана схема построения функции положения для кулачкового механизма с центральным (е=0) поступательно движущимся роликовым толкателем.
Синтез кулачкового механизма. Этапы синтеза:
При синтезе кулачкового механизма, как и при синтезе любого механизма, решается ряд задач из которых в курсе ТММ рассматриваются две:


выбор структурной схемы и определение основных размеров звеньев механизма (включая профиль кулачка). Первый этап синтеза – структурный. Структурная схема определяет число звеньев механизма; число, вид и подвижность кинематических пар; число избыточных связей и местных подвижностей. При структурном синтезе необходимо обосновать введение в схему механизма каждой избыточной связи и местной подвижности. Определяющими условиями при выборе структурной схемы являются: заданный вид преобразования движения, расположение осей входного и выходного звеньев. Входное движение в механизме преобразуется в выходное, например, вращательное во вращательное, вращательное в поступательное и т.п. Если оси параллельны, то выбирается плоская схема механизма. При пересекающихся или перекрещивающихся осях необходимо использовать пространственную схему. В кинематических механизмах нагрузки малы, поэтому можно использовать толкатели с заостренным наконечником. В силовых механизмах для повышения долговечности и уменьшения износа в схему механизма вводят ролик или увеличивают приведенный радиус кривизны контактирующих поверхностей высшей пары. Второй этап синтеза – метрический. На этом этапе определяются основные размеры звеньев механизма, которые обеспечивают заданный закон преобразования движения в механизме или заданную передаточную функцию. Как отмечалось выше, передаточная функция является чисто геометрической характеристикой механизма, а, следовательно, задача метрического синтеза чисто геометрическая задача, независящая от времени или скоростей. Основные критерии, которыми руководствуется проектировщик, при решении задач метрического синтеза: минимизация габаритов, а , следовательно, и массы; минимизация угла давления в вышей паре; получение технологичной формы профиля кулачка.
Постановка задачи метрического синтеза: Дано:
Структурная схема механизма; закон движения выходного звена SB=f(j1)
или его параметры – hB , jраб = jу + jдв + jс , допустимый угол давления - |J|
Дополнительная информация: радиус ролика rр , диаметр кулачкового вала dв , эксцентриситет е(для механизма с толкателем движущимся поступательно), межосевое расстояние awи длина коромысла lBC(для механизма с возвратно-вращательным движением выходного звена). Определить:


радиус начальной шайбы кулачка r0 ; радиус ролика r0 ; координаты центрового и конструктивного профиля кулачка ri = f(di)
и, если не задано, то эксцентриситет е и межосевое расстояние aw.
Алгоритм проектирования кулачкового механизма по допустимому углу давления: 1. Определение закона движения . Если в задании на проектирование не дан закон движения , то конструктор должен выбрать его и набора типовых Таблица 17.1

№ п.п.	Типовой закон движения	Параметры закона движения
1.		с жесткими ударами при j1= 0 aqB=®µ при j1= jур при j1= jу
2.		с мягкими ударами aq1№aq2; jур№jур; aq1Чjур = aq2Чjут или aq1 = aq2; jур = jур; aq1Чjур = aq2Чjут
3.		с мягкими ударами aq1 № aq2; jур № jут; aq3 № aq4 ; (aq1+aq2)Ч jур = =(aq3+aq4)Чjут
4.		с мягкими ударами aq1 № aq2; jур№jут; 0.5Ч aq1Чjур= 0.5Ч aq2Чjут
5.		безударный aq1 № aq2; jур№jут; 0.5Ч aq1Чjур= 0.5Ч aq2Чjут
6.		безударный aq1 № aq2; jур№jут ;

законов движения (табл.17.1). Типовые законы движения делятся на законы с жесткими и мягкими ударами и законы безударные. С точки зрения динамических нагрузок, желательны безударные законы. Однако кулачки с такими законами движения технологически более сложны, так как требуют более точного и сложного оборудования, поэтому их изготовление существенно дороже. Законы с жесткими ударами имеют весьма ограниченное применение и используются в неответственных механизмах при низких скоростях движения и невысокой долговечности. Кулачки с безударными законами целесообразно применять в механизмах высокими скоростями движения при жестких требованиях к точности и долговечности. Наибольшее распространение получили законы движения с мягкими ударами, с помощью которых можно обеспечить рациональное сочетание стоимости изготовления и эксплуатационных характеристик механизма. После выбора вида закона движения, обычно методом кинематических диаграмм, проводят геометро-кинематическое исследование механизма и определяют закон перемещения толкателя и закон изменения за цикл первой передаточной функции (см. лекцию 3 – метод кинематических диаграмм). 2. Определение основных размеров кулачкового механизма.


Размеры кулачкового механизма определяются с учетом допустимого угла давления в высшей паре. При этом используется условие, доказанное выше, и названное нами вторым следствием основной теоремы зацепления. Формулировка синтеза: Если на продолжении луча, проведенного из точки О2 через точку K, отложить от точки K отрезок длиной lKD = VK2 / w1 = VqK2 и через конец этого отрезка провести прямую параллельную контактной нормали, то эта прямая пройдет через центр вращения ведущего звена точку О1 . Условие, которому должно удовлетворять положение центра вращения кулачка О1, согласно этой теореме: углы давления на фазе удаления во всех точках профиля должны быть меньше допустимого значения. Поэтому графически область расположения точки О1 может быть определена семейством прямых проведенных под допустимым углом давления к вектору возможной скорости точки центрового профиля, принадлежащей толкателю. Графическая интерпретация вышесказанного для толкателя и коромысла дана на рис. 17.5. На фазе удаления строится диаграмма зависимости SB=f(j1). Так как при коромысле точка В движется по дуге окружности радиуса lBC , то для механизма с коромыслом диаграмма строится в криволинейных координатах. Все построения на схеме, проводятся в одном масштабе, то есть ml= mVq= mS. Рис.17.5

Механизм с толкателем

Механизм с коромыслом

Выбор центра возможен в заштрихованных областях. Причем выбирать нужно так, чтобы обеспечить минимальные размеры механизма. Минимальный радиус r1* получим, если соединим вершину полученной области, точку О1*, с нача-лом координат. При таком выборе радиуса в любой точке профиля на фазе удаления угол давления будет меньше или равен допустимому. Однако кулачок необходимо при этом выполнить с эксцентриситетом е*. При нулевом эксцентри-ситете радиус начальной шайбы определится точкой Ое0 . Величина радиуса при этом равна re0, то есть значительно больше минимального. При выходном звене – коромысле, минимальный радиус определяется аналогично.


Радиус начальной шайбы кулачка r1aw при заданном межосевом расстоянии aw, определяется точкой О1aw , пересечения дуги радиуса aw с соответствующей границей области. Обычно кулачок вращается только в одном направлении, но при проведении ремонтных работ желательно иметь возможность вращения кулачка в противо-положном направлении, то есть обеспечить возможность реверсивного движения кулачкового вала. При изменении направления движения, фазы удаления и сближения, меняются местами. Поэтому для выбора радиуса кулачка, движуще-гося реверсивно, необходимо учитывать две возможных фазы удаления, то есть строить две диаграммы SВ= f(j1) для каждого из возможных направлений дви-жения. Выбор радиуса и связанных с ним размеров реверсивного кулачкового механизма проиллюстрирован схемами на рис. 17.6. На этом рисунке: r1 - минимальный радиус начальной шайбы кулачка;
r1е - радиус начальной шайбы при заданном эксцентриситете;
r1aw - радиус начальной шайбы при заданном межосевом расстоянии;
aw0 – межосевое расстояние при минимальном радиусе. Рис.17.6

Механизм с толкателем

Механизм с коромыслом

Примечание: В некоторых методических указаниях диаграмма SВ= f(j1) называется фазовым портретом, а плоскость на которой она построена называется фазовой плоскостью. Правомерность применения этих терминов в данном случае сомнительна. Фазовая плоскость и фазовый портрет используются в теории колебаний для изучения процессов зависящих от времени (т.е. динамических процессов). При метрическом синтезе кулачка решается чисто геометрическая задача параметры в которой не зависят от времени. Поэтому рекомендуется воздерживаться от применения вышеуказанных терминов. Выбор радиуса ролика (скругления рабочего участка толкателя). При выборе радиуса ролика руководствуются следующими соображениями:

Ролик является простой деталью, процесс обработки которой несложен (вытачивается, затем термообрабатывается и шлифуется). Поэтому на его поверхности можно обеспечить высокую контактную прочность.


В кулачке, из- за сложной конфигурации рабочей поверхности, это обеспечить сложнее. Поэтому обычно радиус ролика rр меньше радиуса начальной шайбы конструктивного профиля r и удовлетворяет соотношению rр < 0.4Ч r0
,где r0 - радиус начальной шайбы теоретического профиля кулачка. Выполнение этого соотношения обеспечивает примерно равную контактную прочность как для кулачка, так и для ролика. Ролик обладает большей контактной прочностью, но так как его радиус меньше, то он вращается с большей скоростью и рабочие точки его поверхности участвуют в большем числе контактов.

Конструктивный профиль кулачка не должен быть заостренным или срезанным. Поэтому на выбор радиуса ролика накладывается ограничение
rр <0.7 Чrmin , где rmin - минимальный радиус кривизны теоретического профиля кулачка (см. рис. 17.7).

Рис.17.7

Рекомендуется выбирать радиус ролика из стандартного ряда диаметров в диапазоне rp = (0.2 … 0.35) Ч r0 . При этом необходимо учитывать, что увеличение радиуса ролика увеличивает габариты и массу толкателя, ухудшает динамические характеристики механизма (уменьшает его собственную частоту). Уменьшение радиуса ролика увеличивает габариты кулачка и его массу; частота вращения ролика увеличивается, его долговечность снижается.

При выборе радиуса скругления рабочего участка толкателя подход к решению задачи несколько иной. Так как в этом случае нет местной подвижности, заменяющей скольжение качением, то на толкателе имеется очень небольшой рабочий участок, точки которого скользят относительно рабочей поверхности кулачка, то есть износ поверхности толкателя более интенсивный. Увеличение радиуса скругления не увеличивает габаритов и массы толкателя, а размеры конструктивного профиля кулачка уменьшаются. Поэтому этот радиус можно выбирать достаточно большим. Часто применяются толкатели с плоской рабочей поверхностью кулачка (радиус скругления равен бесконечности). В этом случае угол давления в высшей паре при поступательном движении толкателя есть величина постоянная и равная углу между нормалью к плоскости толкателя и вектором скорости его движения на фазе удаления.


Определение размеров по углу давления при этом невозможно. Радиус кулачка при этом определяют по контактным напряжениям, а форму профиля проверяют по условию выпуклости (1).

3. Построение центрового и конструктивного профилей кулачка. 3.1. Для кулачкового механизма с внеосным толкателем.: Построение профилей кулачка проводится в следующей последовательности:

выбирается масштаб построения ml,мм/м

из произвольного центра проводятся в масштабе окружности с радиусами r0и е.

из произвольной точки на окружности r0 в направлении - j1откладываeтся рабочий угол, угол делятся на n интервалов.

из каждой точки деления касательно к окружности радиусом е проводятся прямые.

на этих прямых от точки пересечения с окружностью r0 откладываются в масштабе mlсоответствующие перемещения толкателя SВi.

полученные точки соединяются плавной кривой , образуя центровой профиль кулачка.

проводятся из произвольных точек выбранных равномерно по центровому профилю кулачка дуги окружностей радиуса rp.

конструктивный профиль кулачка получаем как огибающую к множеству положений ролика толкателя.

3.1. Для кулачкового механизма с коромыслом: Построение профилей кулачка проводится в следующей последовательности:

выбирается масштаб построения ml,мм/м,

из произвольного центра проводятся в масштабе окружности с радиусами r0и aw,
из произвольной точки на окружности aw в направлении - j1откладываeтся рабочий угол, угол делится на n интервалов, из каждой точки деления радиусом lBC проводятся дуги.

Рис.17.8 Рис.17.9

на этих дугах от точки пересечения с окружностью r0 откладываются в масштабе mlсоответствующие перемещения толкателя SВi.

полученные точки соединяются плавной кривой, образуя центровой профиль кулачка.

проводятся из произвольных точек выбранных равномерно по центровому профилю кулачка дуги окружностей радиуса rр.

конструктивный профиль кулачка получаем как огибающую к множеству положений ролика толкателя.

Проверка результатов синтеза по диаграмме углов давления. 1. Построение диаграммы углов давления для механизма с геометрическим замыканием высшей пары. Как отмечено выше, ведущим звено в течение всего цикла кулачок является только в механизме с геометрическим замыканием.


Причем на фазе удаления рабочим является либо второй профиль кулачка (рис.17.1), либо другой участок поверхности толкателя, либо второй ролик. Поэтому на диаграмме угла давления необходимо четко различать фазы удаления и сближения. На рис. 17.10 дан пример диаграммы угла давления для механизма с коромыслом при геометрическом замыкании. При синтезе эта диаграмма позволяет проверить какие углы давления обеспечивают выбранные размеры механизма и полученный профиль кулачка. Угол давления определяем как острый угол между нормалью к профилю ( прямая соединяющая точку контакта с центром ролика ) и направлением перемещения точки В толкателя. Рис.17.10 При построении диаграммы угла давления для механизма с силовым замыканием необходимо учитывать, что рассматриваемый при проектировании угол давления в высшей паре имеет смысл только на фазе удаления. На фазе сближения толкатель двигается под действием силы упругости пружины или сил веса. здесь угол давления – это угол между вектором этой силы и вектором скорости точки ее приложения на толкателе. Поэтому для механизмов с силовым замыканием диаграмма строится только на фазе удаления. Рис.17.11 Для механизма с реверсивным вращением кулачка необходимо построить две диаграммы угла давления. При изменении направления движения фазы удаления и сближения меняются местами. Поэтому диаграммы угла давления строятся для фазы удаления при каждом направлении движения. Профиль кулачка будет удовлетворять заданным условиям, если значения угла давления на фазах удаления по модулю будут меньше или равны допустимой величине угла давления.

Метрический синтез типовых рычажных механизмов

ЛЕКЦИЯ 10

Краткое содержание: Метрический синтез типовых рычажных механизмов. Структурные схемы простейших типовых механизмов. Цель и задачи метрического синтеза механизмов. Методы метрического синтеза механизмов. Условия проворачиваемости звеньев механизма. Понятие о коэффициенте неравномерности средней скорости и о угле давления в рычажном механизме. Частные задачи синтеза: четырехшарнирный механизм - синтез по kv и синтез по двум положениям выходного звена; кривошипно-ползунный механизм - синтез по kv, по средней скорости ползуна, по двум положениям выходного звена; кулисный механизм - по рабочему перемещению выходного звена (для четырехзвенного механизма), по коэффициенту kv (для шестизвенного механизма). Оптимальный синтез рычажных механизмов. Синтез механизма по заданной функции положения.
Метрический синтез типовых рычажных механизмов.
Под метрическим синтезом или проектированием механизмов понимают определение линейных размеров и угловых положений звеньев по условиям рабочих положений и перемещений выходного звена. К решению задач метрического синтез приступают после определения структуры механизма - выбора его структурной схемы. В нашем курсе рассматриваются только простые типовые четырех- или шестизвеные рычажные механизмы.
Структурные схемы простейших типовых механизмов.
Цель и задачи метрического синтеза механизмов.
Цель метрического синтеза механизма - определение размеров механизма и положений его входного звена наилучшим образом удовлетворяющих заданным условиям и обеспечивающих наилучшее (оптимальное) сочетание качественных показателей.
Из множества возможных задач решаемых при метрическом синтезе наиболее распространены:

синтез по нескольким заданным положениям выходного звена (задача позиционирования), когда не важно по какому закону происходит переход из одного положения в другое;

синтез по заданному закону движения выходного звена (по функции положения, по первой или второй передаточной функции);

синтез по конкретным кинематическим параметрам: средней скорости выходного звена, коэффициенту неравномерности средней скорости;

синтез по условиям передачи сил между звеньями механизма - по допустимому углу давления.

В качестве ограничений или качественных показателей при метрическом синтезе механизмов используются:

условие проворачиваемости звеньев, т.е. обеспечение для входного и (или) выходного звеньев возможности поворота на угол более 360 градусов;

допустимые углы давления, т.е. угол между вектором движущей силы, действующей с ведущего звена на ведомое, и вектором скорости точки ее приложения не должен превышать некоторых допустимых величин, чтобы исключить недопустимо большие величины реакций в КП, низкий КПД механизма, возможность его заклинивания (невозможность движения при любой величине движущей силы на входном звене);

конструктивные ограничения на габариты механизма, т.е. размеры звеньев должны обеспечивать вписывание механизма в заданные габаритные размеры;

точность обеспечения заданного закона движения или заданных положений звеньев механизма;

другие условия и требования определяемые условиями функционирования и эксплуатации механизма.

Методы метрического синтеза механизмов.

Как и общие методы проектирования, методы метрического синтеза условно делятся:

графоаналитические и аналитические методы прямого синтеза (разработаны для типовых и ряда специальных механизмов, частично рассмотрены ниже);

синтез методами анализа:

оптимальноепроектирование:

Градиентные методы,

метод случайного поиска,

минимизация уступок,

комбинированные методы,

другие;

автоматизирование проектирование.

Условия проворачиваемости звеньев механизма.

Часто по условиям работы требуется, чтобы входное и (или) выходное звенья могли в процессе движения поворачиваться на угол более 360 градусов. Для обеспечения этого необходимо выполнить некоторые условия, которые накладываются на соотношение длин звеньев механизма.

Для четырехшарнирного механизма эти соотношения сформулированы в правиле или теореме Грасгофа:

Если сумма длин наибольшего и наименьшего звеньев меньше суммы двух остальных и стойкой является наименьшее звено, то механизм - двухкривошипный. Если неравенство выполняется, но стойкой является звено соединенное с наименьшим, то механизм - кривошипно-коромысловый. Во всех остальных случаях механизм - двухкоромысловый.


Математически это можно записать так:

при L1 > L2 > L3 > L4 , где Li присваивается значение длины звена, удовлетворяющей этому неравенству,

если L1 + L4 < L2 + L3 и L1 = l0 , то механизм двухкривошипный;

если L1 + L4 < L2 + L3 и L1 = l1 или L1 = l3 ,то механизм кривошипно-коромысловый; иначе механизм двухкоромысловый.

Для кривошипно-ползунного механизма условие существования кривошипа

l1 < l2 - | e | .

Если условие выполняется - механизм кривошипно-ползунный, нет - коромыслово-ползунный.

Понятие о коэффициенте неравномерности средней скорости и о угле давления в рычажном механизме.

1. Четырехшарнирный механизм.

Рис 10.7 Углом давления J называется угол между вектором силы действующей на ведомое звено с ведущего и вектором скорости точки приложения этой силы на ведомом звене.

На рис. 10.7 изображен четырехшарнирный механизм . К входному звену 1 этого механизма приложен движущий момент Мд , к выходному звену 3 -

момент сопротивления Мс3. На этапе проектирования массы и моменты инерции звеньев не Рис. 10.7 определены, поэтому движущая сила действующая на ведомое звено - реакция F32 направлена по линии ВС, скорость точки ее приложения на звене 3 - VC направлена в сторону w 3 перпендикулярно звену 3. Угол J 32 между векторами F32 и VC - угол давления во вращательной паре С. С увеличением этого угла тангенциальная составляющая силы Ft32, способствующая повороту звена 3 в направлении w 3, уменьшается , а нормальная Fn32, которая не влияет на движение, а только деформирует (сжимает) звено 3, увеличивается. То есть с увеличением угла давления условия передачи сил в КП ухудшаются. Так как в реальных КП всегда имеется трение, то при определенной величине угла давления в КП возможно самоторможение или заклинивание. Самоторможение или заклинивание - это такое состояние механизма, когда в результате возрастания углов давления в одной из КП , движение механизма становится невозможным при сколь угодно большом значении движущей силы. Часто для характеристики условий передачи сил пользуются коэффициентом возрастания усилий (без учета трения)


kJ = F32 / Ft32 = 1/ cos J 32 .

Рис 10.8 Так как в реальных механизмах всегда имеется трение, то заклинивание происходит при углах давления J з < 90° . При расчете задаются коэффициентом возрастания усилий (например kJ = 2) и определяют допустимый угол давления [J ]. Для предварительных расчетов принимают для механизмов только с вращательными парами [J ] = 45° - 60° , при наличии поступательных КП [J ] = 30° - 45° . Необходимо отметить, что в так называемых “мертвых” положениях механизма углы давления J = 90° . В статике в таком положении возможно заклинивание механизма, в динамике механизм проходит эти положения используя кинетическую энергию, которую запасли подвижные звенья.

Коэффициентом неравномерности средней скорости kw называется отношение средней скорости выходного звена на обратном ходе w 3ср ох к средней скорости прямого хода w 3ср

Рис 10.9 kw = w3ср ох / w 3ср пх

где w 3ср ох = D j 3/tох ,

w 3ср пх = D j 3/tпх ,

tох и tпх - соответственно время обратного и время прямого хода.

При проектировании технологических машин, в которых нагрузка на выходном звене механизма на рабочем или прямом ходе намного больше нагрузки на холостом или обратном ходе, желательно, чтобы скорость выходного звена на прямом ходе была меньше, чем на обратном. С целью сокращения времени холостого хода, тоже необходимо увеличивать скорость при обратном ходе. Поэтому при метрическом синтезе механизма часто надо подбирать размеры звеньев обеспечивающие заданный коэффициент неравномерности средней скорости.

2. Кривошипно-ползунный механизм.

В кривошипно-ползунном механизме размеры механизма определяются углом давления в поступательной КП (рис.10.10).

Рис 10.9 Для этой схемы справедливы следующие соотношения:

Рис 10.9 Угол давления для внеосного кривошипно-ползунного механизма:

при прямом ходе

sin J пх = ( l1 - e )/ l2 *sin [ J пх];

при обратном ходе

sin J ох = ( l1 + e )/ l2 *sin [ J ох].

Для поступательной КП : [ J пх] = 30; [ J ох] = 45° , тогда

l1 / l2 *( sin [ J ох] + sin [ J пх] )/ 2 ; l1 / l2 *( sin [ 45° ] + sin [ 30° ] )/ 2 ;


l1 / l2=0.6

Решение задач метрического синтеза для типовых четырехзвенных механизмов.

1. Проектирование по коэффициенту неравномерности средней скорости .

a)четырехшарнирный механизм

Дано: kw , HC, [ J ], j 30 , D j 3 , lDC

Определить: l i - ?

По kw рассчитывается угол q

_____________________________________________________ от оси х откладывается начальное положение выходного звена и его рабочее перемещение точки С в начальном и в конечном положениях соединяют прямой и от перпендикуляров к этой прямой откладываем углы q и проводим лучи C'О определяем точку О - центр окружности r0 проходящей через точки C', и искомую точку A. Положение точки A на этой окружности определяется в зависимости от исходных данных:

в точке C от вектора скорости VC' откладывается угол давления J ? = [ J ], и проводится луч до пересечения с окружностью r0 в точке A ;

как точка пересечения оси х с окружностью r0;

как точка пересечения окружности r0 с окружностью радиуса l0 ( если величина l0 задана ).

Затем по определенным таким образом размерам lAC' и lAC'' находим длины звеньев 1 и 2

lAC'= l2 + l1 , lAC'' = l2 - l1 ,

откуда

l1 = ( lAC'' - lAC' )/ 2 , l2 = ( lAC'' + lAC' )/ 2.

б)кривошипно-ползунный механизм;

Дано: kV, HC , [ J ]

Определить: l i - ?

По kV рассчитывается угол q

____________________________________________________

от оси х откладывается рабочее перемещение выходного звена HC , точки С в начальном C'' и в конечном C' положениях соединяют прямой и от перпендикуляров к этой прямой откладываются углы q и проводятся лучи C' О и C''О и определяем точку О - центр окружности r0 проходящей через точки C', C'' и искомую точку A. Положение точки A на этой окружности определяется:

как точка пересечения луча AC'' с окружностью r0 (в точке C'' от вектора скорости VC'' откладывается угол давления J = [J ] и проводится луч AC'' до пересечения с окружностью r0 в точке A );

как точка пересечения прямой, проведенной на расстоянии заданного экспентриситета е и параллельной оси х, с окружностью r0 .

Затем по размерам lAC' и lAC'' определяются длины звеньев 1 и 2


l1 = ( lAC' - lAC'' )/ 2 , l2 = ( lAC' + lAC' )/ 2.

2. Проектирование по двум положениям выходного звена .

а)четырехшарнирный механизм

Дано: [ J ], j 30 , D j 3 , lDC

________________________________ Определить: l i - ?

Решение проводится по схеме, которая изображена на рис. 10.13. Положение точки A определяется пересечением луча A С'' , проведенного Рис. 10.13 в точке С'' под углом J = [J ] к вектору скорости VC'' :

с окружностью радиуса l0 (точка Al0 );

с продолжением оси х .

Затем, как описано выше, по размерам lAC'и lAC'' определяются длины звеньев 1 и 2.

кривошипно-ползунный механизм дезаксиальный

Дано: [ J ], S30 , HC , e

________________________________ Определить: l i - ?

Решение проводится по схеме, которая изображена на рис. 10.14. Положение точки Ae определяется пересечением луча AС' , проведенного в точке С' под Рис. 10.14 углом J = [J ] к вектору скорости VC' с продолжением оси х . Затем, как описано выше, по размерам lAC' и lAC'' определяются длины звеньев 1 и 2.

центральный кривошипно-ползунный механизм ( е = 0 )

Дано: hC , j 1 = j hC ,

l 2 = l2 / l1 , e = 0

Определить: li - ?

Спроецируем векторный контур lAB + lBC = lAC на оси координат:

l1 * cos j 1 + l2 * cos j 2 + hC = l1 + l2 ,

l1 * sin j 1 + l2 * sin j 2 = 0 ,

l1 / l2 * sin [ J ] или l2 / l1 = l 2 ;

откуда

l1 = hC / { 1-cos j 1 + [ 1 - cos ( arcsin (l 2 ? sin j 1)]/ l 2 },

l2 = l1 / l 2 .

3. Проектирование кривошипно-ползунного механизма по средней скорости ползуна .

Дано: HC , kV = 1 , e = 0 , [ J ] , n1ср

________________________________

Определить: li - ?

Средняя скорость ползуна

VCср = 2 * HC / T ,

где T = 1/ n1ср - период или время одного оборота кривошипа в с,

HC = 2* l1 - ход ползуна.

Размеры звеньев механизма

l1 = VCср / ( 4* n1ср ) , l2 = l1 / l 2 .

Проектирование кулисного механизма по углу давления .

Рис. 10.15

Дано: HD , b , [ J ]

_______________________

Определить: li - ?

Если расположить центр пары А на прямой соединяющей точки С' и С'' , то углы давления


J' = J' = b / 2,

тогда

l C' C'' »HD = 2 * l1 *sin (b / 2)

и l1 = HD / [2* sin (b / 2)].

Минимальная длина гидроцилиндра

lCDmin = k * HD ,

где k = 1.05 - 1.3 - коэффициент учитывающий особенности конструкции гидроцилиндра ( уплотнение, расположение опоры А и др. ).

Размер l4 можно определить из D BC? A

где cos t = - cos ( p - t ) = - sin J ? ,

и

Проектирование шестизвенного кулисного механизма .

Дано: kV, HE , [ J ], l0

_____________________________

Определить: li , h - ?

Угловой ход кулисы

______________________________

Из D АВС длина звена 1

l1 = l0 *sin(b 3/2) = l0*sin(q /2).

Из D СD? q длина звена 3

l3 = HE / [2*sin(b 3/2)] = HE / [2*sin(q /2)] .

Длина звена 4 определяется по допустимому углу давления

sin J = (l3 - h)/l4 * sin [ J ].

Принимаем dq = qf , где dq = l3 * [ 1 - cos (q /2)], тогда

h = l3 * {1 - [ 1- cos (q /2)]/2},

l4 * ( l3 - h )/ sin [ J ] или l4 * ( l3*[ 1- cos (q /2)])/(2* sin [ J ]).

Оптимальный синтез рычажных механизмов.

Согласно энциклопедическому словарю, задача оптимального проектирования - это экономико-математическая задача, содержащая критерий оптимальности и ограничения и направленная на поиск лучшего в определенных условиях (т.е оптимального) значения показателя. Оптимизация - отыскание такого решения рассматриваемой задачи, которое дает экстремальное (минимальное или максимальное) значение некоторой функции, называемой целевой [ Ю.А.Казик Математический словарь. Таллин. “Валгус” 1985 ].

При оптимальном метрическом синтезе механизма необходимо определить такое сочетание его размеров (внутренние параметры), которое наилучшим образом удовлетворяет требуемым эксплуатационным и качественным показателям (критерии оптимизации и ограничивающие условия). При метрическом синтезе в качестве качественных показателей обычно используются: габариты механизма, точность обеспечения заданных положений или закона движения (функции положения или передаточной функции), условия передачи сил в КП (углы давления в КП) и другие показатели.


Механизм при оптимальном проектировании характеризуется двумя n-мерными векторами: параметров и качественных показателей. На значения как парметров, так и качественных показателей могут быть наложены некоторые ограничения в виде равенств или неравенств. Ограничения могут быть:

параметрическими (например, ограничения на длины звеньев механизмов);

дискретизирующими (например, выбор размеров из стандартного ряда);

функциональными (например, условия проворачиваемости звеньев механизма, условия заклинивания КП).

Ограничения формируют область допустимых значений параметров, в пределах которой осуществляется поиск оптимального решения. В пределах этой области могут существовать локальные и глобальный оптимум целевой функции. Целевая функция может быть одномерной или многомерной. При многомерной оптимизации необходимо формирование сложной целевой функции, учитывающей вес каждого из качественных показателей, например, аддитивной

Ф ( G , d , J , ... ) = k1*G + k2*d + k3*J + ...

или мультипликативной функции

Ф ( G , d , J , ... ) = G k1 *d k2 * J k3 ? ...

где Ф ( G , d , J , ... ) - целевая функция, G - габариты механизма, d - точность механизма, J - углы давления в КП механизма, ki - весовые коэффициенты при качественных показателях.

На рис. 10.17 представлена целевая функция при однопараметрической оптимизации ( р - параметр оптимизируемой системы ). Ограничения по параметру рmin и pmax определяют область допустимых решений (ОДР), в пределах которой проводится поиск оптимального решения. В нашем примере в этой области целевая функция имеет два минимума: локальный при рл.опт и глобальный при ргл.опт .

Задача считается решенной после определения глобального экстремума функции.

Методы решения задач оптимизации весьма разнообразны и являются предметом изучения в таких учебных дисциплинах как вычислительная математика, математическое программирование, САПР .

Синтез механизма по заданной функции положения.

Дано: Структурная схема механизма, функция положения выходного звена j 3 = П (j 1) на рабочем перемещении D j 3 при начальном положении j 30 .


Определить: Размеры звеньев механизма, обеспечивающие наилучшее приближение к заданной функции.

Предположим, что синтезируется четырехшарнирный механизм. Тогда необходимо определить размеры всех четырех звеньев механизма и начальное значение обобщенной координаты j 10 , т.е. пять неизвестных. Так как решается задача метрического синтеза, а абсолютные размеры звеньев определяются прочностными характеристиками, рабочими нагрузками и материалами, то целесообразно перейти к относительным размерам звеньев, приняв длину одного из них (например, стойки) равной единице. Общее число неизвестных, таким образом, сократится до четырех. Изобразим расчетную схему синтезируемого механизма и заданную функцию положения (рис. 10.18). Выберем на функции положения случайным образом (либо по какой-нибудь стратегии) четыре точки с координатами выходного звена j 31 ,j 32 ,j 33, j 34 . Для каждого из положений можно записать векторное уравнение или два уравнения в проекциях на оси координат (ось абсцисс совпадает с вектором l0 ):

l1 + l2 = l3 + l0 , l1 * sin j 1 + l2 * sin j 2 = l3 * sin j 3 ,

l1 * cos j 1 + l2 * cos j 2 = l3 * cos j 3 + l0 .

В число неизвестных в рассматриваемой задаче входят l1, l2, l3и j 10, l0 считаем заданным, приращения углов D j i1 определяются по заданной функции положения по выбранным значениям j 3i . Для определения четырех неизвестных необходимо задать как минимум четыре точки на заданном участке функции положения. По этим точкам составим систему четырех векторных уравнений

где второе уравнение каждой подсистемы в поекциях позволяет определить угол j 2i.

Из этой системы определим размеры звеньев механизма и начальное значение координаты j 10. Функция положения синтезированного таким образом механизма будет совпадать с заданной функцией в выбранных точках – узлах интерполяции. Наибольшие отклонения заданной и полученной функций будут находится между узлами интерполяции (рис.10.18). Изменяя положение узлов интерполяции в пределах рабочего перемещения выходного звена можно уменьшать отклонения полученной функции положения от заданной.При использовании метода наименьших квадратов число точек должно быть больше чем число неизвестных (хотя бы на единицу). Полученная функция положения при этом проходит не через узлы интерполяции, а так чтобы отклонения сумма квадратов отклонений в заданных точках была минимальна.

Понятие о геометрических и кинематических характеристиках механизмов

ЛЕКЦИЯ 3

Краткое содержание: Понятие о геометрических и кинематических характеристиках механизмов (функция положения и ее производные по времени и по обобщенной координате). Методы определения геометро-кинематических характеристик механизма. Цикл и цикловые графики. Связь между кинематическими и геометрическими параметрами. Кинематическое исследование типовых механизмов: рычажных, зубчатых, кулачковых, манипуляторов.

Понятие о геометрических и кинематических характеристиках механизмов.
Функцией положения механизма называется зависимость углового или линейного перемещения точки или звена механизма от времени или обобщенной координаты.
Геометрические и кинематические характеристики механизма

Рис. 3.1

Кинематическими передаточными функциями механизма называются производные от функции положения по обобщенной координате. Первая производная называется первой передаточной функцией или аналогом скорости (обозначается Vq,wq), вторая - второй передаточной функцией или аналогом ускорения (обозначается aq, eq).
Кинематическими характеристиками механизма называются производные от функции положения по времени. Первая производная называется скоростью (обозначается V, w), вторая - ускорением (обозначается a, e).
Механизм с одной подвижностью имеет одно заданное входное движение и бесчисленное множество выходных ( движение любого звена или точки механизма ). Передаточные функции тех движений, которые в данном случае используются как выходные, называются главными, остальные - вспомогательными.
Рассмотрим схему механической системы образованной последовательно-параллельным соединением типовых механизмов. Схема включает входное звено, зубчатую передачу , кулачковый и рычажный механизмы и имеет два выходных звена.
Схема механической системы

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Функции положения в механизмах

Рис. 3.4

Методы геометро-кинематического исследования механизмов

планов положений, скоростей и ускорений,

проекций векторного контура,

кинематических диаграмм,

центроид,

преобразования координат,

экспериментальный,

другие.

Связь кинематических и передаточных функций

Линейные скорости и ускорения

VL= dSL / dt = (dSL / df1) * (df1 / dt) = VqL * w1;

a L = d(Vql * w1) / dt = (dVqL / df1) * (df1 / dt) * w1 + Vql * e1 = aqL * w12 + VqL * e1;

Угловые скорости и ускорения

wi = dfi / dt = (dfi / df1) * (df1 / dt) = wqi * w1;

ei = d(wqi * w1) / dt = (dwi / df1) * (df1 / dt) * w1 + wqi * e1 = eqi * w12 + wqi * ei.

Так как данные формулы получены как производные от скалярных величин, то при операциях с векторными величинами они применимы только для проекций этих величин на оси координат.

1. Метод проекций векторного контура. (Рычажные механизмы).

Рассмотрим простейший кулисный механизм.

Рис. 3.5

Заменим кинематическую схему механизма эквивалентным векторным контуром

Тогда уравнение замкнутости векторного контура запишется:


1. 1. Задача о положениях звеньев механизма

Рис. 3.6

Проецируем векторный контур на оси координат и получаем координаты точки В механизма:

xB = lAB * cos (f1) = lAD * cos (p) + lDB * cos (f3);

yB = lAB * sin (f1) = lAD * sin (p) + lDB * sin (f3);

из решения этой системы уравнений определяем неизвестные величины f3 и lDB, которые определяют положение звеньев и точек механизма

tg (f3 ) = sin (f3) / cos (f3) = lAB * sin (f1) / (lAB * cos (f1) - lAD * cos (p));

lDB = (lAB * sin (f1) / sin (f3);

1. 2. Задача о первых кинематических передаточных функциях механизма

Продифференцируем уравнения проекций векторного контура по обобщенной координате и получим

VqBx = -lAB * sin (f1) = VqDB * cos (f3) - lDB * wq3 * sin (f3);

VqBy = lAB * cos (f1) = VqDB * sin (f3) + lDB * wq3 * cos (f3).

Из этой системы уравнений определяем первые передаточные функции VqB и wq3.

1. 3. Задача о вторых передаточных функциях механизма.

Вторично продифференцируем уравнения проекций векторного контура по обобщенной координате и получим


aqBx = -lAB * cos (f1) = aqDB * cos (f3) - 2 * VqDB * w3 * sin (f3) - lDB * eq3 * sin (f3) - lDB*
* w32 * cos (f3);

aqBy = -lAB * sin (f1) = aqDB * sin (f3) + 2 * VqDB * w3 * cos (f3) + lDB * eq3 * cos (f3) - lDB *
* w32 * sin (f3);

Из этой системы уравнений определяем вторые передаточные функции aqB и eq3.

			Цикловые кинематические (геометрические) диаграммы для кулисного механизма. Циклом называется период времени или изменения обобщенной координаты по истечении которого все параметры системы принимают первоначальные значения. Поэтому значения величин в начале и в конце цикла одинаковы.
Рис. 3.7

Метод центроид (Зубчатые передачи).

Центроидой (полоидой) называется геометрическое место центров (полюсов) относительного вращения в системах координат связанных со звеньями механизма. В зубчатом механизме при передаче движения центроиды колес перекатываются друг по другу без скольжения.

Схема зубчатого механизма

Рис. 3.8

Повернем ведущее колесо на малый угол df1, тогда ведомое колеса повернется на угол df1.Так как центроиды или начальные окружности колес перекатываются друг по другу без скольжения , то дуга dSw1будет равна дуге dSw2. Тогда можно записать следующее равенство:

dSw1 = dSw2 = dSw,

где: dSw1 = rw1 * df1, dSw2 = rw2 df2.

Откуда: u21 = df2 / df1 = rw1 / rw2 = const.

Функция положения для выходного звена зубчатой передачи


Вторая передаточная функция для выходного звена зубчатой передачи

eq2 = dU21 / df1 = 0.

Механизм зубчатой передачи не является цикловым механизмом, так как угловое перемещение выходного звена увеличивается при увеличении углового перемещения входного. Поэтому кинематические диаграммы построим только для одного оборота входного звена.

			Диаграммы функции положения и передаточных функций для зубчатой передачи. 3. Метод цикловых кинематических диаграмм (кулачковые механизмы). Кулачковым называется трехзвенный механизм состоящий из двух подвижных звеньев - кулачка и толкателя, соединенных между собой высшей кинематической парой. Часто в состав механизма входит третье подвижное звено - ролик, введенное в состав механизма с целью замены в высшей паре трения скольжения трением качения. При этом механизм имеет две подвижности одну основную и одну местную (подвижность ролика). Основные параметры кулачкового механизма: fраб - фазовый рабочий угол кулачкового механизма; fраб = dраб = fc + fдв + fу; fс - угол сближения; fдв - фазовый угол дальнего выстоя; fу - фазовый угол удаления; dраб - профильный рабочий угол; fбв - угол ближнего выстоя; hBm - максимальное перемещение точки В толкателя; r0 - радиус начальной шайбы кулачка; rр - радиус ролика.
Рис. 3.9

Рис. 3.10

Рис. 3.11

При кинематическом анализе кулачкового механизма задан конструктивный профиль кулачка и радиус ролика rp. Методом обращенного движения (перекатывая ролик по неподвижному конструктивному профилю кулачка) находим центровой профиль кулачка (траекторию центра ролика толкателя в обращенном движении). Наносим на профиль фазовые углы и определяем в зоне ближнего выстоя начальный радиус центрового профиля кулачка r0. В зоне рабочего угла проводим ряд траекторий центра ролика толкателя (точки В) и по ним измеряем от точки лежащей на окружности r0 до точки лежащей на центровом профиле текущее перемещение толкателя SBi. По этим перемещениям строим диаграмму SB = f(f1). Дифференцируя эту диаграмму по времени или обобщенной координате получаем кинематические или геометрические характеристики механизма. При графическом дифференцировании масштабы диаграмм зависят от масштабов исходной диаграммы и выбранных отрезков дифференцирования:

mS = yhb / hB мм/м; mf = b / fр мм/рад; mt = b/tрмм/с;

mVq = k1 * mS / mf мм/м; maq = k2 * mVq / mf мм/м;

mV = k1 * mS / mt мм/м*с-1; ma = k2 * mV / mtмм/м*c-2;

где b - база диаграммы по оси абсцисс в мм, yhB - ордината максимального перемещения толкателя в мм, hB - максимальное перемещение толкателя в м, tр - время поворота кулачка на фазовый угол fрв с, k1 и k2 - отрезки дифференцирования в мм.

4. Метод преобразования координат (Манипуляторы)

При использовании метода преобразования координат задача о положении выходного звена решается путем перехода из системы в которой это положение известно в систему в которой его требуется определить. Переход от системы к системе осуществляется перемножением матриц перехода в соответствующей последовательности.

4. 1. Формирование матрицы перехода для плоских механизмов.

Рис. 3.12

Координаты точки М в системе i через координаты этой точки в системе j определятся следующей системой уравнений:



Тогда векторы столбцы координат точки М и матрица перехода из системы j в систему i


Векторное уравнение перехода из системы j в систему i


Пример применения метода преобразования координат для плоского трехподвижного манипулятора:

Рис. 3.13

5. Экспериментальный метод кинематического исследования.

При экспериментальном исследовании кинематики механизмов кинематические характеристики звеньев и точек механизма определяются и регистрируются с помощью чувствительных элементов - датчиков, которые используя различные физические эффекты преобразуют кинематические параметры в пропорциональные электрические сигналы. Эти сигналы регистрируются измерительными самопишущими приборами (самописцами, осциллографами и др.). В последнее время для регистрации и обработки экспериментальных данных все более широко используются специальные или универсальные компьютеры. Для примера рассмотрим экспериментальную установку для исследования кинематических характеристик синусного механизма:

Рис. 3.14

В этой экспериментальной установке:

для измерения перемещения выходного звена используется потенциометрический датчик перемещения, в котором пропорционально положению движка потенциометра изменяется его сопротивление;

для измерения скорости выходного звена используется идукционный датчик скорости, в котором напряжение на концах катушки движущейся в поле постоянного магнита пропорционально скорости катушки;

для измерения ускорения выходного звена используется тензометрическиий акселерометр. Он состоит из пластинчатой пружины один конец которой закреплен на выходном звене механизма, а на втором закреплена масса. На пластину наклеены проволочные тензопреобразователи. При движении выходного звена с ускорением инерционность массы вызывает изгиб пластины , деформацию тензопреобразователей и изменение их сопротивления пропорциональное ускорению выходного звена.

Передаточные функции механизмов с несколькими подвижностями (W>1).

Рассмотрим простой двухподвижный манипулятор

Рис. 3.15

Функция положения для выходного звена этого механизма является функцией двух переменных

f2 = P(f10,f21),

и ее производная определится как производная функции двух переменных:

df2 = [dP(f10,f21) / df10] df10 + [dP(f10,f21) / df21] df21 = wq10 * df10 + wq21 * df21,

где wq10 и wq21 - частные производные по обобщенным координатам.

Постановка задачи синтеза

ЛЕКЦИЯ 16

Краткое содержание:
[Постановка задачи синтеза]
[Условия подбора чисел зубьев. Вывод расчетных формул для условий соосности, соседства и сборки]
[Подбор чисел зубьев по методу сомножителей]
[Примеры решения задач по подбору чисел зубьев]
[Оптимальный синтез планетарных механизмов при автоматизированном проектировании] Проектирование многопоточных планетарных механизмов: Постановка задачи синтеза:
При проектировании многопоточных планетарных механизмов необходимо, кроме требований технического задания, выполнять ряд условий связанных с особенностями планетарных и многопоточных механизмов. Задача проектирования и в этом случае может быть разделена на структурный и метрический синтез механизма. При структурном синтезе определяется структурная схема механизма, при метрическом – определяются числа зубьев колес, так как радиусы зубчатых прямо пропорциональны числам зубьев ri = m Ч zi / 2. Для типовых механизмов первая задача сводится к выбору схемы из набора типовых схем. При этом руководствуются рекомендуемым для схемы диапазоном передаточных отношений и примерными оценками ее КПД. Для рассматриваемых схем эти данные приведены в таблице 15.1. После выбора схемы механизма необходимо определить сочетание чисел зубьев его колес, которые обеспечат выполнение условий технического задания – для редуктора это передаточное отношение и величина момента сопротивления на выходном валу. Передаточное отношение задает условия выбора относительных размеров зубчатых колес – чисел зубьев колес, крутящий момент задает условия выбора абсолютных размеров – модулей зубчатых зацеплений. Так как для определения модуля необходимо выбрать материал зубчатой пары и вид его термообработки, то на первых этапах проектирования принимают модуль зубчатых колес равным единице, то есть решают задачу кинематического синтеза механизма в относительных величинах. При кинематическом синтезе (подборе чисел зубьев колес) задача формулируется так: для выбранной схемы планетарного механизма при заданном числе силовых потоков (или числе сателлитов k) и заданном передаточном отношении u необходимо подобрать числа зубьев колес zi, которые обеспечат выполнение ряда условий. Условия подбора чисел зубьев.
Вывод расчетных формул для условий соосности, соседства и сборки: Условия, которые необходимо выполнить при подборе чисел зубьев колес типового планетарного механизма:

заданное передаточное отношение с требуемой точностью

соосность входного и выходного валов механизма

свободное размещение (соседство) сателлитов

сборку механизма при выбранных числах зубьев колес

отсутствие подреза зубьев с внешним зацеплением

отсутствие заклинивания во внутреннем зацеплении

минимальные относительные габариты механизма.

Рассмотрим эти условия подробнее на примере двухрядного планетарного механизма с одним внешним и одним внутренним зацеплением. Рис. 16.1

Обеспечение заданного передаточного отношения с требуемой точностью:
Принимаем требуемую точность ± 5%, тогда для рассматриваемой схемы механизма
u1h = [ 1+ (z2 Ч z4)/(z1 Ч z3) ] Ч ( 0.95 … 1.05 ).

Обеспечение соосности входного и выходного валов:
Для этого необходимо чтобы межосевое расстояние в передаче внешнего зацепления (первый ряд) равнялось межосевому расстоянию в передаче внутреннего зацепления (второй ряд), то есть
awI = awII ; awI= rw1 + rw2 = r1 + r2 ; awII = rw4 - rw3 = r4 - r3. Обычно в планетарных механизмах применяются зубчатые колеса без смещения, для которых xi = 0 и rwi = ri = zi Ч m / 2.Тогда
r1 + r2= r4 - r3Ю mI ( z1 + z2) = mIIЧ (z4 - z3). Принимаем, что mI = mII = m, и получаем условие соосности для данной схемы механизма

z1 + z2 = z4 - z3

Обеспечение условия соседства сателлитов (при числе сателлитов k > 1):
Сателлиты размещаются на окружности радиуса aw.
Вершины зубьев сателлитов не будут мешать движению друг друга, если выполняется условие
max ( da2,3 ) < lB2B3. Для зубчатых колес без смещения ( ha*= 1, x2,3 = 0, 2Dy = 0 ) максимальный из диаметров сателлитов равен
max ( da2,3 ) = max [( z2,3 + 2 Ч ha* +2 Ч x2,3 - 2Dy) Ч m ] = max[( z2,3 + 2) Ч m ]. Расстояние между осями сателлитов
lB2B3 = 2 Ч aw Ч sin ( jh / 2 ) = 2 Ч (r1 + r2) Ч sin ( p / k ). = (z1 + z2) Ч m Ч sin ( p / k ). Подставим полученные выражения в неравенство и получим условие соседства


max [( z2,3 + 2) Ч m ] < (z1 + z2) Ч m Ч sin (p / k).

sin ( p /k ) > max [( z2,3 + 2)/ (z1 + z2) ]

Обеспечить возможность сборки механизма с подобранными числами зубьев колес при заданном числе сателлитов k > 1:
Для вывода формулы условия сборки воспользуемся следующим методом: Допустим, что все сателлиты устанавливаются на оси водила в одном и том же положении – точке В1. После установки первого сателлита, зубья колес z1и z4определенным образом установились относительно зубьев венцов сателлита. Тогда установить второй сателлит в этом же положении будет можно, если после поворота водила на угол jh колесо z1 повернется на целое число угловых шагов В. При этом зубья колес z1 и z4установятся относительно зубьев венцов сателлита так же, как и при установке первого сателлита. Угол поворота водила Юjh= 2 Ч p / k
Угловой шаг первого колеса Юt1 = 2 Ч p / z1
Угол на который повернется первое колесо при повороте водила на угол jh
j1 = jhЧ u1h Юj1 = 2 Ч p Ч u1h / k Число угловых шагов t1в угле j1 Ю B = j1 / t1, где B - произвольное целое число. Подставляем все эти выражения в формулу для B и после преобразований получаем
2 Ч pЧ u1h Ч z1 / (k Ч 2 Чp) = B Ю

u1h Ч z1 / k = B.

Поворачивать водило можно на угол jh плюс произвольное число p полных оборотов водила, то есть
jh= 2 Ч p / k + 2 Ч pЧ р = 2 Чp / k ( 1 + k Ч р). С учетом этого, формула для условия сборки примет следующий вид:

u1h Ч z1 / k ( 1 + k Ч р) = B.

Обеспечить отсутствие подрезания колес с внешними зубьями зубьев:
Это условие обеспечивается, если для всех колес с внешними зубьями выполняется неравенство zi > zmin.

Обеспечить отсутствие заклинивания во внутреннем зацеплении:
Это условие для передачи внутреннего зацепления, состоящей из колес без смещения, можно обеспечить при выполнении следующих неравенств

z с внеш. зуб. > 20, z с внутр. зуб. > 85, zd = z с внутр. зуб - z с внеш. зуб. > 8.

Обеспечить минимальные габариты механизма.


Для рассматриваемой схемы условие обеспечения минимального габаритного размера R можно записать так
R = min [ max ( z1 + 2 Ч z2 ), (kK Ч z4) ], где kK - коэффициент, учитывающий особенности конструкции зубчатого колеса с внутренними зубьями.

Подбор чисел зубьев по методу сомножителей:
Рассмотрим один из методов, используемых при подборе чисел зубьев планетарного редуктора, - метод сомножителей. Метод позволяет объединить в расчетные формулы некоторые из условий подбора (условия 1, 2, 5 и 6). Выполнение остальных условий для выбранных чисел зубьев проверяется. Из первого условия выразим внутреннее передаточное отношение механизма. Внутренним называют передаточное отношение механизма при остановленном водиле, то есть механизма с неподвижными осями или рядного механизма. u14 h = (z2 Ч z4)/(z1 Ч z3) = [ u1h / ( 0.95 … 1.05 ) – 1] = (B Ч D)/(A Ч C). Разложим внутреннее передаточное отношение u14 hна сомножители - некоторые целые числа A, B, C иD.При этом сомножитель Aсоответствует числу зубьев z1 , B - z2 , C - z3 и D - z4.Сомножители могут быть произвольными целыми числами, комбинация (B Ч D) / (A Ч C) которых равна u14 h.
Для рассматриваемой схемы желательно придерживаться следующих диапазонов изменения отношений между сомножителями B / A = z2 / z1 = 1 … 6 -внешнее зацепление, D / C = z4 / z3 = 1.1 … 8 – внутреннее зацепление. Включим в рассмотрение условие соосности:
z1 + z2 = z4 - z3 и выразим его через сомножители
a Ч ( A + B) = b Ч ( D – C ). Если принять, что коэффициенты a и b равны
a = ( D – C ), b = (A + B), то выражение превращается в тождество.
Из этого тождества можно записать:
z1= ( D – C ) Ч A Ч q, z3= ( A + B ) Ч C Ч q,
z2= ( D – C ) Ч B Ч q, z4= ( A + B ) Ч D Ч q. где q - произвольный множитель, выбором которого обеспечиваем выполнение условий 5 и 6. Зубья колес планетарного механизма, рассчитанные по этим формулам, удовлетворяют условиям 1, 2, 5 и 6. Проверяем эти зубья по условиям 3 (соседства) и 4 (сборки) и если они выполняются, считаем этот вариант одним из возможных решений.


Если после перебора рассматриваемых сочетаний сомножителей получим несколько возможных решений, то проводим их сравнение по условию 7. Решением задачи будет сочетание чисел зубьев, обеспечивающее габаритный минимальный размер R. Примеры подбора чисел зубьев для типовых планетарных механизмов: 1. Двухрядный планетарный редуктор с одним внешним и с одним внутренним зацеплением. Дано: Схема планетарного механизма, u1h = 13, k = 3.
Определить: zi - ? Внутреннее передаточное отношение механизма:
u14 h = (z2 Ч z4) / (z1 Ч z3) = [ u1h / ( 0.95 … 1.05 ) – 1] = 12 = (B Ч D)/(A Ч C) = 3 Ч 4 / (1 Ч 1) = 2 Ч 6 / (1 Ч 1)= 4 Ч 3 / (1 Ч 1) = ... Для первого сочетания сомножителей:
z1= ( D – C ) Ч A Ч q = ( 4 – 1 ) Ч 1 Ч q = 3 Ч q ; z1= 18 > 17;
z2= ( D – C ) Ч B Ч q = ( 4 – 1 ) Ч 3 Ч q = 9 Ч q ; q = 6; z2= 54 > 17;
z3= ( A + B ) Ч C Ч q = ( 3 + 1 ) Ч 1 Ч q = 4 Ч q; z3= 24 > 20;
z4= ( A + B ) Ч D Ч q = ( 3 + 1 ) Ч 4 Ч q = 16 Ч q; z4= 96 > 85; Проверка условия соседства:
sin ( p / k ) > max [( z2,3 + 2)/ (z1 + z2) ]
sin ( p / 3 ) > (54 + 2)/(18+54)
0.866 > 0.77 - условие выполняется. Проверка условия сборки:
( u1h Ч z1 / k ) Ч ( 1 + k Ч p) = B;
(13 Ч 18/3) Ч ( 1 + 3 р) = В - целое при любом p. Условие сборки тоже выполняется. То есть, получен первый вариант решения!
Габаритный размер R = (18 + 2 Ч 54) = 126. Для второго сочетания сомножителей:
z1= ( D – C ) Ч A Ч q = ( 6 – 1 ) Ч 1 Ч q = 5 Ч q ; z1= 45 > 17;
z2= ( D – C ) Ч B Ч q = ( 6 – 1 ) Ч 2 Ч q = 10 Ч q ; q = 9; z2= 90 > 17;


z3= ( A + B ) Ч C Ч q = ( 2 + 1 ) Ч 1 Ч q = 3 Ч q; z3= 27 > 20;
z4= ( A + B ) Ч D Ч q = ( 2 + 1 ) Ч 6 Ч q = 18 Ч q; z4= 162 > 85; Проверка условия соседства:
sin ( p / k ) > max [( z2,3 + 2)/ (z1 + z2) ]
sin ( p / 3 ) > (90 + 2)/(45+90)
0.866 > 0.681 - условие выполняется. Проверка условия сборки:
( u1h Ч z1 / k ) Ч ( 1 + k Ч р) = B
(12 Ч 45 / 3) Ч ( 1 + 3 р) = В - целое при любом р. Условие сборки тоже выполняется и получен второй вариант решения!
Габаритный размер R = (45 + 2 Ч 90) = 225. Для третьего сочетания сомножителей:
z1= ( D – C ) Ч A Ч q = ( 3 – 1 ) Ч 1 Ч q = 2 Ч q ; z1= 18 > 17;
z2= ( D – C ) Ч B Ч q = ( 3 – 1 ) Ч 4 Ч q = 8 Ч q ; q = 9; z2= 72 > 17;
z3= ( A + B ) Ч C Ч q = ( 1 + 4 ) Ч 1 Ч q = 5 Ч q; z3= 45 > 20;
z4= ( A + B ) Ч D Ч q = ( 1 + 4 ) Ч 3 Ч q = 15 Ч q; z4= 135 > 85; Проверка условия соседства:
sin ( p / k ) > max [( z2,3 + 2)/ (z1 + z2) ]
sin ( p / 3 ) > (70 + 2)/(18+72)
0.866 > 0.8 - условие выполняется. Проверка условия сборки:
( u1h Ч z1 / k ) Ч ( 1 + k Ч р) = B
(13 Ч 18/3) Ч ( 1 + 3 р) = В - целое при любомр. Условие сборки тоже выполняется и получен третий вариант решения.
Габаритный размер R = (18 + 2 Ч 72) = 162. Из рассмотренных трех вариантов габаритный наименьший размер получен в первом. Этот вариант и будет решением нашей задачи. 2. Однорядный механизм с одним внутренним и одним внешним зацеплением.

Рис. 16.2

Дано: схема планетарного механизма, u1h = 7; k = 3. Определить: zi - ?.

Для однорядного планетарного механизма задача подбора чисел зубьев решается без применения метода сомножителей. Задаемся для первого колеса числом зубьев больше 17 и кратным u1h или k. В нашем примере принимаем:
z1 = 18 > 17. Тогда из формулы передаточного отношения можно определить число зубьев третьего колеса:
u1h = ( 1 + z3 / z1 ) Ч (0.95 … 1.05)
z3 = [u1h / (0.95…1.05) - 1] Ч z1
z3 = [ 7 / (0.95…1.05) - 1] Ч 18 = 108 Число зубьев второго колеса определим из условия соосности:
z1 + z2 = z3 - z2
z2 = ( z3 - z1 ) / 2 = ( 108 - 18 ) / 2 = 45 Проверка условия соседства:
sin ( p / k ) > max [( z2 + 2)/ (z1 + z2) ]
sin ( p / 3 ) > (45 + 2)/(18+45)
0.866 > 0.73 - условие выполняется. Проверка условия сборки:
( u1h Ч z1 / k ) Ч ( 1 + k Ч р) = B
(7 Ч 18/3) Ч ( 1 + 3 р) = В целое при любом р. В данном случае нет необходимости сравнивать варианты по габаритам, так как мы приняли минимально допустимую величину z1
,то получим редуктор с минимальных размеров. 3. Двухрядный механизм с двумя внешними зацеплениями.

Рис. 16.3

Дано: схема планетарного механизма, uh1 = -24; k =3. Определить: zi - ?.

Внутреннее передаточное отношение механизма:
u1h= 1 / uh1
u14 h = (z2 Ч z4)/(z1 Ч z3) = [ 1 - u1h / ( 0.95 … 1.05 ) ] = 25/24 = (B Ч D)/(A Ч C) = 5 Ч 5 / (4 Ч 6) = 5 Ч 5 / (6 Ч 4)= 25 Ч 1 / (12 Ч 2) = ... Условие соосности для этой схемы:
z1 + z2 = z4 + z3 и выразим его через сомножители:
a Ч ( A + B) = b Ч ( D + C ). Принимаем коэффициенты a и b:
a = ( D + C ), b = (A + B). и получаем для сочетания сомножителей обведенного рамкой:
z1= ( D + C ) Ч A Ч q = ( 1 + 2 ) Ч 12 Ч q = 36 Ч q ; z1= 36 > 17;
z2= ( D + C ) Ч B Ч q = ( 1 + 2 ) Ч 25 Ч q = 75 Ч q ; q = 1; z2= 75 > 17;


z3= ( A + B ) Ч C Ч q = ( 12 + 25 ) Ч 2 Ч q = 74 Ч q; z3= 74 > 17;
z4= ( A + B ) Ч D Ч q = ( 12 + 25 ) Ч 1 Ч q = 37 Ч q; z4= 37 > 17; Проверка условия соседства:
sin ( p / k ) > max [( z2,3 + 2)/ (z1 + z2) ];
sin ( p / 3 ) > (75 + 2)/(36+75)
0.866 > 0.694 - условие выполняется. Проверка условия сборки:
( u1h Ч z1 / k ) ? ( 1 + k Ч р) = B;
[18 / (-24Ч 3)] Ч( 1 + 3 р) = В - целое прир=1. Условие сборки тоже выполняется. То есть, получен первый вариант решения.
Габаритный размер R = (36 + 2 Ч 75) = 186. Аналогичным образом рассматриваются другие сочетания сомножителей и из вариантов, удовлетворяющих первым шести условиям, выбирается тот, который обеспечивает наименьшие габариты. 4. Двухрядный механизм с двумя внутренними зацеплениями.

Рис. 16.4

Дано: схема планетарного механизма, u1h = 55; k = 2. Определить: zi - ?.

Внутреннее передаточное отношение механизма:
u1h= 1 / uh1;
u14 h = (z2 Ч z4)/(z1 Ч z3) = [ 1 - u1h / ( 0.95 … 1.05 ) ] = 54 / 55 = (B Ч D)/(A Ч C) = 6 Ч 9 / (11 Ч 5) = 18 Ч 3 / (55 Ч 1) = ... Условие соосности для этой схемы:
z1 - z2 = z4 - z3 и выразим его через сомножители:
a Ч ( A - B) = b Ч ( D - C ) Принимаем коэффициенты a и b:
a = ( D - C ), b = (A - B) и получаем для сочетания сомножителей обведенного рамкой:
z1= ( D - C ) Ч A Ч q = ( 3 - 1 ) Ч 55 Ч q = 110 Чq ; z1= 110 > 85;
z2= ( D - C ) Ч B Ч q = ( 3 - 1 ) Ч 18 Ч q = 36 Ч q ; q = 1; z2= 36 > 20;


z3= ( A - B ) Ч C Ч q = ( 55 - 18 ) Ч 1 Ч q = 37 Ч q; z3= 37 > 20;
z4= ( A - B ) Ч D Ч q = ( 55 - 18 ) Ч 3 Ч q = 111 Ч q; z4= 111 > 85; Проверка условия соседства:
sin ( p /k ) > max [( z2,3 + 2)/ (z1 + z2) ]
sin ( p /2 ) > (37 + 2)/(110 - 36)
1.0 > 0.527 - условие выполняется. Проверка условия сборки:
( u1h Ч z1 / k ) Ч ( 1 + k Ч р) = B;
[110 / (55 Ч 2)] Ч ( 1 + 3 р) = В - целое при любом р. Условие сборки тоже выполняется. То есть, получен первый вариант решения.
Габаритный размер R = (1.2 Ч 111 ) = 133.2, при kK = 1.2. Аналогичным образом рассматриваются другие сочетания сомножителей и из вариантов, удовлетворяющих первым шести условиям, выбирается тот, который обеспечивает наименьшие габариты. Оптимальный синтез планетарных механизмов при автоматизированном проектировании: При автоматизированном проектировании с помощью компьютера можно за относительно небольшой промежуток времени получить большое количество возможных решений задачи. Сопоставляя эти решения между собой находят то, которое удовлетворяет всем требованиям наилучшим образом. При этом перебор вариантов осуществляется в пределах заданных ограничений на параметры (в данном случае на числа зубьев колес) по какой-либо стратегии или чаще случайным образом. Программы оптимального синтеза могут использовать рассмотренные выше методы (например, метод сомножителей), а могут просто перебирать допустимые сочетания параметров и проверять их на соответствие заданным условиям. Использование компьютерных программ для синтеза планетарных механизмов позволяет существенно сократить время проектирования и существенно улучшить качественные показатели спроектированных механизмов. Планетарные механизмы с двумя подвижностями (дифференциалы): На практике в качестве механизмов с двумя подвижностями наиболее часто применяются планетарные зубчатые механизмы или как их еще называют планетарные дифференциалы.


Это название справедливо для механизмов, в которых входной энергетический поток разделяется на два выходных потока. Если входные энергетические потоки суммируются на выходе в один выходной поток, то такие механизмы следует называть суммирующими или интегральными. Все рассмотренные типовые схемы механизмов можно выполнить с двумя подвижностями. Рассмотрим в качестве примера двухрядный механизм с одним внешним и одним внутренним зацеплением (рис.16.5). Рис. 16.5



По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев
для внешнего зацепления колес z2 и z1
(w1 - wh) / (w2 - wh) = - z2 / z1 для внутреннего зацепления колес z4 и z3
(w2 - wh) / (w3 - wh) = z4 / z3 . Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим соотношение между угловыми скоростями механизма с двумя подвижностями
[(w1 - wh) / (w2 - wh)] Ч [(w2-wh)/ (w3-wh)] = - z2 Ч z4 / ( z1 Ч z3)
(w1 - wh) / (w3 - wh) = - z2 Ч z4 / ( z1 Ч z3) = u13(h)
u13 (h) Ч w3 - u13 (h) Ч wh = w1 - wh

w1 - ( 1 + u13 (h)) Ч wh - u13 (h) Ч w3 = 0

Чтобы из механизма с двумя подвижностями получить одноподвижный механизм необходимо либо остановить одно из подвижных звеньев, либо связать между собой функционально ( например, простой зубчатой передачей ) два подвижных звена. Механизмы, образованные по второму способу, называются замкнутыми дифференциалами. Схема такого механизма приведена на рис.16.6. Рис. 16.6

Прямая задача динамики машин

ЛЕКЦИЯ 6

Краткое содержание: Прямая задача динамики машин. Понятие о динамической модели машины при W=1. Уравнения движения динамической модели. Параметры динамической модели: Iпрa - приведенный суммарный момент инерции механизма и Мпрa - приведенный суммарный момент внешних сил. Механические характеристики машин. Пример на определение параметров динамической модели. Режимы движения машины. Режим движения пуск-останов. Определение управляющих сил по параметрам движения при пуске и останове. Алгоритм решения прямой задачи динамики при неустановившемся режиме движения машины. Прямая задача динамики машин. Прямая задача динамики машины, как отмечалось и ранее, является задачей анализа, задачей по определению закона движения механической системы под действием заданных внешних сил. При решении этой задачи параметры машинного агрегата и действующие на него внешние силы известны, необходимо определить закон движения: скорости и ускорения в функции времени или обобщенной координаты. Иначе эту задачу можно сформулировать так: заданы управляющие силы и силы внешнего сопротивления, определить обеспечиваемый ими закон движения машины. Обратная задача - это задача синтеза управления, когда задан требуемый закон движения машины и внешние силы сопротивления, а определяются управляющие силы. При решении задач динамики используются либо уравнения силового равновесия системы - метод кинетостатики, либо уравнения энергетического равновесия - закон сохранения энергии. Для идеальной механической системы, в которой не потерь энергии и звенья абсолютно жесткие, этот закон можно применять в виде теоремы о изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме работа всех внешних сил действующих на систему расходуется только на изменение ее кинетической энергии. При этом потенциальные силы - силы веса рассматриваются как внешние где D T - изменение кинетической энергии системы, T - текущее значение кинетической энергии системы, Tнач -начальное значение кинетической энергии системы, суммарная работа внешних сил, действующих на систему. /iРассмотрим сложную механическую систему (рис.6.1), состоящую из n подвижных звеньев из которых r - звеньев совершают вращательное движение, j - плоское, k - поступательное.
Основная подвижность системы равна W=1. На систему действуют: f - внешних сил и m - внешних моментов. Движение этой системы определяется изменением одной независимой обобщенной координаты. Такую систему при решении задач динамики можно заменить более простой динамической моделью. Положение звена этой модели определяется обобщенной координатой, а динамические параметры заменяются: инерционные - суммарным приведенным моментом инерции Iпрa , силовые - суммарным приведенным моментом Мпрa . Эти параметры динамической модели рассчитываются по критериям подобия модели и объекта, которые определяются соответственно из равенства правых и левых частей уравнений изменения кинетической энергии для модели и объекта, т.е. Рис 6.1 где

- сумма работ всех внешних сил, действующих на систему, - работа суммарного приведенного момента, - сумма кинетических энергий звеньев системы, - кинетическая энергия динамической модели. Уравнения движения динамической модели Уравнение движения динамической модели в интегральной форме. Запишем для динамической модели теорему о изменении кинетической энергии где и уравнение движения динамической модели в интегральной или энергетической форме Из этого уравнения после преобразований получим формулу для расчета угловой скорости звена приведения. Для машин работающих в режиме пуск-останов формула принимает вид Уравнение движения динамической модели в дифференциальной форме. Продифференцируем полученное выше уравнение по обобщенной координате где После подстановки получим уравнение движения динамической модели в дифференциальной форме. Из этого уравнения после преобразований получим формулу для расчета углового ускорения звена приведения. Для механических систем в которых приведенный момент не зависит от положения звеньев механизма. Определение параметров динамической модели машины (приведение сил и масс). Рассмотрим изображенную на рис. 6.1 механическую систему и ее динамическую модель. Запишем для них уравнение изменения кинетической энергии.


Кинетическая энергия:

для механической системы

для модели

Суммарная работа внешних сил:

для механической системы

для модели

Модель будет энергетически эквивалентна рассматриваемой механической системе, если правые и левые части уравнений изменения кинетической энергии для модели и для системы будут соответственно равны. То есть для левых частей выполняется условие Тс = Тм , а для правых - Aa c = Aa м. Для того чтобы второе равенство выполнялось в течение всего диапазона изменения обобщенной координаты, необходимо обеспечить не равенство интегралов, а равенство подынтегральных выражений dAa c =dAa м. Подставляя в равенства, записанные ранее выражения для кинетических энергий и работ получим: для левых частей для правых частей Из уравнения для левых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента инерции динамической модели Из уравнения для правых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента динамической модели Механические характеристики машин. Механической характеристикой машины называется зависимость силы или момента на выходном валу или рабочем органе машины от скорости или перемещения точки или звена ее приложения. Рассмотрим примеры механических характеристик различных машин.

Двигатели внутреннего сгорания (ДВС):

четырехтактный ДВС

Рис 6.2 Индикаторная диаграмма - графическое изображение зависимости давления в цилиндре поршневой машины от хода поршня.

двухтактный ДВС

Рис 6.3

Электродвигатели

асинхронный электродвигатель переменного тока

На диаграмме: Мдп - пусковой момент; Мдн - номинальный крутящий момент; Мдк или Мдmax - критический или максимальный момент; wдн - номинальная круговая частота вращения вала двигателя; wдхх или wдс - частота вращения вала двигателя холостого хода или синхронная. Уравнение статической характеристики асинхронного электродвигателя на линеаризованном участке устойчивой части где Мд - движущий момент на валу двигателя, wд - круговая частота вала двигателя , Статическая характеристика асинхронного двигателя, выражающая зависимость нагрузки от скольжения, определяется формулой Клосса Рис 6.4

двигатель постоянного тока с независимым возбуждением

Рис 6.5 Уравнение статической характеристики для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением где k = Мдн (wдхх - wдн ). В электрических параметрах характеристика записывается в следующем виде где kM = Mдн/Iян - коэффициент момента, kw = (Uян - Rян *Iян ) / w дн - коэффициент противоэлектродвижущей силы, Uя - напряжение в цепи якоря, Rя - сопротивление цепи якоря

Рабочие машины

поршневой насос

Рис 6.6

поршневой компрессор

Рис 6.7 Линии bc и ad - линии сжатия и расширения газа (воздуха) определяются параметрами газа (объемом, давлением и температурой) и в общем виде описываются уравнением политропы p? Vn = const , где n - показатель политропы ( 1 n 0 ).

строгальный станок

Рис 6.8 Механические характеристики определяют внешние силы и моменты, действующие на входные и выходные звенья, рассматриваемой механической системы со стороны взаимодействующих с ней внешних систем и окружающей среды. Характеристики определяются экспериментально, по результатам экспериментов получают регрессионные эмпирические модели, которые в дальнейшем используются при проведении динамических расчетов машин и механизмов. Пример на определение параметров динамической модели(на приведение сил и масс ). Дано: Кинематическая схема механизма поршневого насоса( li, j i ), Мд , Fc , mi , ISi ; Рис 6.8 Рис 6.9 Определить: Мпрa , Iпрa =? 1. Определение сил веса Gi = mi ?g. 2.Определение кинематических передаточных функций. Простой и наглядный метод определения передаточных функций - графоаналитический метод планов возможных скоростей. При этом в произвольном масштабе строятся планы скоростей для рада положений цикла движения механизма. По отрезкам плана скоростей рассчитываются соответствующие передаточные функции по следующим формулам ( для машины, схема которой изображена на рис.6.8 ): Передаточные функции: По этим формулам строятся цикловые диаграммы передаточных функций для рассматриваемого механизма ( см. рис. 6.9 ). 3. Определение суммарного приведенного момента Мпрa Для определения суммарного приведенного момента необходимо просуммировать приведенные моменты от всех внешних сил, действующих на рассматриваемую систему. Приведенный момент от силы равен скалярному произведению вектора силы на вектор передаточной функции точки ее приложения, от момента - произведению момента на передаточное отношение от звена приложения момента к звену приведения. На рассматриваемую систему действуют силы веса звеньев Gi , сила сопротивления Fс и движущий момент Мд . Приведенный момент от этих сил рассчитывается по формуле:


4. Определение суммарного приведенного момента инерции Iпрa . Для определения суммарного приведенного момента инерции необходимо просуммировать приведенные моменты инерции от всех масс и моментов инерции подвижных звеньев рассматриваемой системы. Приведенный момент инерции от массы равен произведению массы на квадрат передаточной функции ее центра, от момента инерции - произведению момента инерции звена на квадрат передаточного отношения от этого звена к звену приведения. Инерционность рассматриваемой системы определяется массами звеньев 2 и 3 и моментами инерции ротора двигателя, редуктора, коленчатого вала, маховика и звена 2. В суммарный приведенный момент инерции входят как составляющие не зависящие от положения механизма, так и составляющие, зависящие от обобщенной координаты. Первые имеют постоянный момент инерции и относятся к первой группе звеньев, момент инерции других - переменный, они образуют вторую группу. Приведенный момент для рассматриваемой системы определяется по формуле: Рис. 6.12 Таким образом выполнена поставленная задача - определены параметры динамической модели поршневого насоса: приведенный суммарный момент Мпрa и приведенный суммарный момент инерции Iпрa .

Промышленные роботы и манипуляторы

ЛЕКЦИЯ 19

Краткое содержание: Промышленные роботы и манипуляторы. Назначение и области применения. Классификация промышленных роботов. Принципиальное устройство промышленного робота. Основные понятия и определения.Структура манипуляторов. Геометро-кинематические характеристики.
Промышленные роботы и манипуляторы.
Промышленный робот – автоматическая машина, состоящая из манипулятора и устройства программного управления его движением, предназначенная для замены человека при выполнении основных и вспомогательных операций в производственных процессах.
Манипулятор – совокупность пространственного рычажного механизма и системы приводов, осуществляющая под управлением программируемого автоматического устройства или человека-оператора действия (манипуляции), аналогичные действиям руки человека.

Назначение и область применения.
Промышленные роботы предназначены для замены человека при выполнении основных и вспомогательных технологических операций в процессе промышленного производства. При этом решается важная социальная задача - освобождения человека от работ, связанных с опасностями для здоровья или с тяжелым физическим трудом, а также от простых монотонных операций, не требующих высокой квалификации. Гибкие автоматизированные производства, создаваемые на базе промышленных роботов, позволяют решать задачи автоматизации на предприятиях с широкой номенклатурой продукции при мелкосерийном и штучном производстве. Копирующие манипуляторы, управляемые человеком-оператором, необходимы при выполнении различных работ с радиоактивными материалами. Кроме того, эти устройства незаменимы при выполнении работ в космосе, под водой, в химически активных средах. Таким образом, промышленные роботы и копирующие манипуляторы являются важными составными частями современного промышленного производства.
Классификация промышленных роботов.
Промышленные роботы классифицируются по следующим признакам:

по характеру выполняемых технологических операций основные; вспомогательные; универсальные; по виду производства литейные; сварочные; кузнечно-прессовые; для механической обработки; сборочные; окрасочные; транспортно-складские; по системе координат руки манипулятора прямоугольная; цилиндрическая; сферическая; сферическая угловая (ангулярная); другие; по числу подвижностей манипулятора; по грузоподъемности сверхлегкие (до 10 Н); легкие (до 100 Н); средние (до 2000 Н); тяжелые (до 10000 Н); сверхтяжелые (свыше 10000 Н); по типу силового привода электромеханический; пневматический; гидравлический; комбинированный; по подвижности основания мобильные; стационарные; по виду программы с жесткой программой; перепрограммируемые; адаптивные; с элементами искусственного интеллекта; по характеру программирования позиционное; контурное; комбинированное.

Принципиальное устройство промышленного робота.

Манипулятор промышленного робота по своему функциональному назначению должен обеспечивать движение выходного звена и, закрепленного в нем, объекта манипулирования в пространстве по заданной траектории и с заданной ориентацией. Для полного выполнения этого требования основной рычажный механизм манипулятора должен иметь не менее шести подвижностей, причем движение по каждой из них должно быть управляемым. Промышленный робот с шестью подвижностями является сложной автоматической системой. Эта система сложна как в изготовлении, так и в эксплуатации. Поэтому в реальных конструкциях промышленных роботов часто используются механизмы с числом подвижностей менее шести. Наиболее простые манипуляторы имеют три, реже две, подвижности. Такие манипуляторы значительно дешевле в изготовлении и эксплуатации, но предъявляют специфические требования к организации рабочей среды. Эти требования связаны с заданной ориентацией объектов манипулирования относительно механизма робота. Поэтому оборудование должно располагаться относительно такого робота с требуемой ориентацией.
Рассмотрим для примера структурную и функциональную схемы промышленного робота с трехподвижным манипулятором. Основной механизм руки манипулятора состоит из неподвижного звена 0 и трех подвижных звеньев 1, 2 и 3 (рис.19.1).

Рис. 19.1

Механизм этого манипулятора соответствует цилиндрической системе координат. В этой системе звено 1 может вращаться относительно звена 0 (относительное угловое перемещение j10), звено 2 перемещается по вертикали относительно звена 1 (относительное линейное перемещение S21) и звено 3 перемещается в горизонтальной плоскости относительно звена 2 (относительное линейное перемещение S32). На конце звена 3 укреплено захватное устройство или схват, предназначенный для захвата и удержания объекта манипулирования при работе манипулятора. Звенья основного рычажного механизма манипулятора образуют между собой три одноподвижные кинематические пары (одну вращательную А и две поступательные В и С) и могут обеспечить перемещение объекта в пространстве без управления его ориентацией.


Для выполнения каждого из трех относительных движений манипулятор должен быть оснащен приводами, которые состоят двигателей с редуктором и системы датчиков обратной связии. Так как движение объекта осуществляется по заданному закону движения, то в системе должны быть устройства сохраняющие и задающие программу движения, которые назовем программоносителями. При управлении от ЭВМ такими устройствами могут быть дискеты, диски CD, магнитные ленты и др. Преобразование заданной программы движения в сигналы управления двигателями осуществляется системой управления. Эта система включает ЭВМ, с соответствующим программным обеспечением, цифроаналоговые преобразователи и усилители. Система управления, в соответствии с заданной программой, формирует и выдает на исполнительные устройства приводов (двигатели) управляющие воздействия ui. При необходимости она корректирует эти воздействия по сигналам Dxi, которые поступают в нее с датчиков обратной связи. Функциональная схема промышленного робота приведена на рис. 19.2.

Рис. 19.2

Основные понятия и определения. Структура манипуляторов.
Геометро-кинематические характеристики.

Формула строения - математическая запись структурной схемы манипулятора, содержащая информацию о числе его подвижностей, виде кинематических пар и их ориентации относительно осей базовой системы координат (системы, связанной с неподвижным звеном).

Движения, которые обеспечиваются манипулятором делятся на:

глобальные (для роботов с подвижным основанием) - движения стойки манипулятора, которые существенно превышают размеры механизма;

региональные (транспортные) - движения, обеспечиваемые первыми тремя звеньями манипулятора или его "рукой", величина которых сопоставима с размерами механизма;

локальные (ориентирующие) - движения, обеспечиваемые звеньями манипулятора, которые образуют его "кисть", величина которых значительно меньше размеров механизма.

В соответствии с этой классификацией движений, в манипуляторе можно выделить два участка кинематической цепи с различными функциями: механизм руки и механизм кисти.


Под "рукой" понимают ту часть манипулятора, которая обеспечивает перемещение центра схвата – точки М (региональные движения схвата); под "кистью" – те звенья и пары, которые обеспечивают ориентацию схвата (локальные движения схвата).
Рассмотрим структурную схему антропоморфного манипулятора, то есть схему которая в первом приближении соответствует механизму руки человека (рис.19.3).

Рис. 19.3

Этот механизм состоит из трех подвижных звеньев и трех кинематических пар: двух трехподвижных сферических А3сф и С3сф и одной одноподвижной вращательной В1в.

Кинематические пары манипулятора характеризуются: именем или обозначением КП - заглавная буква латинского алфавита (A,B,C и т.д.); звеньями, которые образуют пару (0/1,1/2 и т.п.); относительным движением звеньев в паре ( для одноподвижных пар - вращательное, поступательное и винтовое); подвижностью КП (для низших пар от 1 до 3, для высших пар от 4 до 5); осью ориентации оси КП относительно осей базовой или локальной системы координат.
Рабочее пространство манипулятора - часть пространства, ограниченная поверхностями огибающими к множеству возможных положений его звеньев.
Зона обслуживания манипулятора - часть пространства соответствующая множеству возможных положений центра схвата манипулятора. Зона обслуживания является важной характеристикой манипулятора. Она определяется структурой и системой координат руки манипулятора, а также конструктивными ограничениями наложенными относительные перемещения звеньев в КП.
Подвижность манипулятора W - число независимых обобщенных координат однозначно определяющее положение схвата в пространстве.

или для незамкнутых кинематических цепей:

Маневренность манипулятора М - подвижность манипулятора при зафиксированном (неподвижном) схвате.

Возможность изменения ориентации схвата при размещении его центра в заданной точке зоны обслуживания характеризуется углом сервиса - телесным углом y, который может описать последнее звено манипулятора (звено на котором закреплен схват) при фиксации центра схвата в заданной точке зоны обслуживания.


где: fC - площадь сферической поверхности, описываемая точкой С звена 3, lCM- длина звена 3.

Относительная величина ky = y / (4p), называется коэффициентом сервиса. Для манипулятора, изображенного на рис.19.4,

подвижность манипулятора: W = 6 * 3 - (3 * 2 - 5 * 1) = 18 - 11 = 7; маневренность: M = 7 - 6 = 1; формула строения: W = [q10 + j10 + y10 ] + j21 + [q32 + j32 + y32 ].

Рис. 19.4

Структура кинематической цепи манипулятора должна обеспечивать требуемое перемещение объекта в пространстве с заданной ориентацией. Для этого необходимо, чтобы схват манипулятора имел возможность выпонять движения минимум по шести координатам: трем линейным и трем угловым. Рассмотрим на объекте манипулирования точку М, которая совпадает с центром схвата. Положение объекта в неподвижной (базовой) системе координат 0x0y0z0 определяется радиусом-вектором точки М и ориентацией единичного вектора с началом в этой точке. В математике положение точки в пространстве задается в одной из трех систем координат:

прямоугольной декартовой с координатами xM, yM, zM;

цилиндрической с координатами rsM, j M, zM;

сферической с координатами rM, j M, q M.

Ориентация объекта в пространстве задается углами a, b и g, которые вектор ориентации образует с осями базовой системы координат. На рис. 19.5 дана схема шести подвижного манипулятора с вращательными кинематическими парами с координатами объекта манипулирования.

Рис. 19.5

При структурном синтезе механизма манипулятора необходимо учитывать следующее:

кинематические пары манипуляторов снабжаются приводами, включающими двигатели и тормозные устройства, поэтому в схемах манипуляторов обычно используются одноподвижные кинематические пары: вращательные или поступательные;

необходимо обеспечить не только заданную подвижность свата манипулятора, но и такую ориентацию осей кинематических пар, которая обеспечивала необходимую форму зоны обслуживания, а также простоту и удобство программирования его движений;

при выборе ориентации кинематических пар необходимо учитывать расположение приводов (на основании или на подвижных звеньях), а также способ уравновешивания сил веса звеньев.

При выполнении первого условия кинематические пары с несколькими подвижностями заменяют эквивалентными кинематическими соединениями.


Пример такого соединения для сферической пары дан на рис. 19.6.
Перемещение схвата в пространстве можно обеспечить, если ориентировать оси первых трех кинематических пар по осям одной из осей координат. При этом выбор системы координат определяет тип руки манипулятора и вид его зоны обслуживания. По ГОСТ 25685-83 определены виды систем координат для руки манипулятора, которые приведены в таблице 19.1. Здесь даны примеры структурных схем механизмов соответствующие системам координат. Структурные схемы механизмов кисти, применяемые в манипуляторах, даны в таблице 19.2. Присоединяя к выходному звену руки тот или иной механизм кисти, можно получить большинство известных структурных схем манипуляторов, которые применяются в реальных промышленных роботах.

Сферическая кинематическая пара	Эквивалентное кинематическое соединение

Рис. 19.6

Системы координат "руки" манипулятора.

Таблица 19.1

Прямоугольная (декартова)	Цилиндрическая
Сферическая	Угловая (ангулярная)
Другие

Таблица 19.2

Структура манипулятора определяется и местом размещения приводов. Если приводы размещаются непосредственно в кинематических парах, то к массам подвижных звеньев манипулятора добавляются массы приводов. Суммарная нагрузка на приводы и их мощность увеличиваются, а отношение массы манипулятора к полезной нагрузке (максимальной массе объекта манипулирования) уменьшается. Поэтому при проектировании роботов приводы звеньев руки, как наиболее мощные и обладающие большей массой, стремятся разместить ближе к основанию робота. Для передачи движения от привода к звену используются дополнительные кинематические цепи. Рассмотрим схему руки манипулятора ПР фирмы ASEA (рис.19.7). К трехзвенному механизму с ангулярной системой координат добавлены:

для привода звена 2 - простейший кулисный механизм, образованный звеньями 4,5 и 2;

для привода звена 3 - цепь, состоящая из кулисного механизма (звенья 6,7 и 8) и шарнирного четырехзвенника (звенья 8,9,2 и 3).

Таким образом, в рычажном механизме можно выделить кинематическую цепь руки (звенья 1,2 и 3) и кинематические цепи приводов.


Манипуляторы использующие принцип размещения приводов на основании имеют более сложные механизмы. Однако увеличение числа звеньев и кинематических пар компенсируется уменьшением масс и моментов инерции, подвижных звеньев манипулятора. Кроме того, замкнутые кинематические цепи повышают точность и жесткость механизма. В целом манипуляторы, использующие принципы комбинированного размещения приводов (часть приводов на основании, часть на подвижных звеньях), обладают лучшими энергетическими и динамическими характеристиками, а также более высокой точностью.
В кинематических схемах рассмотренных манипуляторов веса звеньев вызывают дополнительную нагрузку на приводы. Фирма SKILAM разработала робот SANCIO (рис. 19.8) в котором веса приводов и звеньев воспринимаются кинематическими парами, а на момент двигателей влияют только через силы трения. Такая структурная схема механизма потребовала увеличения размеров кинематических пар, однако в целом был получен существенный выигрыш по энергетическим и динамическим показателям.
Данные примеры не охватывают всех возможных ситуаций рационального выбора структуры манипуляторов. Они только демонстрируют наиболее известные из удачных структурных схем.

Рис. 19.7	Рис. 19.8

Важная особенность манипуляторов – изменение структуры механизма в процессе работы, о чем говорилось на лекции по структуре механизмов. В соответствии с циклограммой или программой работы робота, в некоторых кинематических парах включаются тормозные устройства. При этом два звена механизма жестко соединяются с друг другом, образуя одно звено. Из структурной схемы механизма исключается одна кинематическая пара и одно звено, число подвижностей схвата механизма уменьшается (обычно на единицу). Изменяется структура механизма и в тех случаях, когда в процессе выполнения рабочих операций (на пример, при сборке или сварке) схват с объектом манипулирования соприкасается с окружающими предметами, образуя с ними кинематические пары.Кинематическая цепь механизма замыкается, а число подвижностей уменьшается. В этом случае в цепи могут возникать избыточные связи. Эти структурные особенности манипуляторов необходимо учитывать при программировании работы промышленного робота.
Быстродействие ПР определяют максимальной скоростью линейных перемещений центра схвата манипулятора. Различают ПР с малым (VM<0.5 м/с), средним (0.5 < VM < 1.0 м/с) и высоким (VM>1.0м/с) быстродействием. Современные ПР имеют в основном среднее быстродействие и только около 20% - высокое.
Точность манипулятора ПР характеризуется абсолютной линейной погрешностью позиционирования центра схвата. Промышленные роботы делятся на группы с малой (D rM< 1 мм), средней (0.1 мм < D rM < 1 мм) и высокой (D rM< 0.1 мм) точностью позиционирования.

Режимы движения машины

ЛЕКЦИЯ 7

Краткое содержание: Режимы движения машины. Режим движения пуск-останов. Определение управляющих сил по параметрам движения при пуске и останове. Алгоритм решения прямой задачи динамики при неустановившемся режиме движения машины.
Режимы движения машины.
В зависимости от того какую работу совершают внешние силы за цикл движения машины различают три режима движения: разгон, торможение и установившееся движение. Циклом называют период времени или период изменения обобщенной координаты через который все параметры системы принимают первоначальные значения.

Разгон => Адц > Асц , Аa ц > 0;

Установившееся движение => Адц = Асц , Аa ц = 0;

Торможение (выбег) => Адц Асц , Аa ц 0.

Режим движения "пуск - останов".
Существует большое количество машин и механизмов: гидроподъемники, манипуляторы, механизмы управления метательными аппаратами, механизмы шасси, механизмы автоматических дверей и многие другие, исполнительное звено которых перемещается из начального положения в конечное. При этом в начале и в конце цикла движения исполнительное звено неподвижно. Такой режим движения механизма называется режимом "пуск-останов". Механизм начинает движение из состояния покоя, в конце цикла выходное звено механизма должно остановиться и зафиксироваться в заданном положении. Возможны три варианта остановки выходного звена:

остановка с жестким ударом (рис.7.2) w 1n > 0, e 1n стремиться к бесконечности ;

остановка с мягким ударом (рис. 7.3 ) w 1n = 0, e 1n не равно 0 .

Для динамической модели в конечном положении
безударная остановка или остановка с удержанием в конечном положении (рис. 7.4) w 1n = 0, e 1n = 0 .
В этом случае к рассмотренному выше условию w 1n = 0 , добавляется условие e 1n = 0. Для динамической модели в конечном положении
e 1n = dw 1n/dt = М прa n / Iпрa n - w 1n2/(2* Iпрa n) * (d Iпрa n /dj 1),
Если w 1n = 0, Iпр > 0, то e 1n = 0 при М прa n = 0.
Таким образом при остановке с мягким ударом необходимо выполнить условие

w 1n = 0 => Аa n = 0;

при безударной установке и фиксации объекта в конечном положении нужно выполнить одновременно два условия

w 1n = 0 => Аa n = 0;

e 1n = 0 => М прa n = 0.

1. Безударная остановка объекта в конечном положении с фиксацией.

Для того, чтобы выполнить условия начала движения и остановки выходного звена в конечном положении необходимо соответствующим образом выбрать закон изменения движущих или управляющих сил. Три возможных диаграммы изменения движущих сил даны на рис. 7.5. Определение величин сил на этих диаграммах осуществляется из рассмотренных выше условий. Выведем формулы для расчета сил, используя в качестве примера механизм гидравлического подъемника, схема которого приведена на рис. 7.6.

Типовые диаграммы движущей силы.

Рис. 7.5

Гидроподъемник поворачивает платформу - звено 1 на заданный угол D j 1, при этом центр масс S1 поднимается на высоту HS1 под воздействием силы давления в гидроцилиндре Fд , закон изменения которой за цикл определяется одной из диаграмм, изображенных на рис. 7.5.

1. Определение величины силы Fд0 по условию начала движения e 10 > 0

k * abs (Мпрс 0 ) = Мпрд 0 ,

где k = 1.05 ... 2 - коэффициент запаса по моменту для разгона системы.

Раскрывая это уравнение, получим

откуда

2. Определение величины силы Fд n по условию в конце цикла e 1n = 0

abs (Мпрс n ) = Мпрд n .

Раскрывая это уравнение, получим

откуда

3. Определение величины силы Fд * по условию в конце цикла w 1n = 0,

Аa n = 0, Ад n = abs ( А cn );

для диаграммы движущей силы, изображенной на рис. 7.5 а

Fд 0 * a * HD + Fд * * ( b - a )* HD+ Fд n * ( 1 - b ) * HD = G1 * HS1 ,

Fд * = G1 * HS1 - [ Fд 0 * a + Fд n * ( 1 - b )] * HD / [( b - a )* HD ].

для диаграммы движущей силы, изображенной на рис. 7.5 б Fд 0 * a * HD + 0.5* ( Fд 0 + Fд * ) * ( b - a )* HD + 0.5* ( Fд *+ Fд n )* ( 1 - b ) * HD =

= G1 * HS1 ,

Fд * = G1 * HS1 - [Fд 0 * a + 0.5* Fд 0 * ( b - a ) + 0.5* Fд n* ( 1 - b ) ] /

/ { 0.5* [( b - a ) + ( 1 - b )]* HD }.

Прямая задача динамики машины: определение закона движения при неустановившемся (переходном) режиме.

В отличие от установившегося режима движения режимы разгона и торможения называются неустановившимися. К этому режиму относят и режим движения "пуск-останов". Прямая задача динамики: определение закона движения машины при заданных внешних силовых воздействиях ( как сил и моментов сопротивления, так и движущих или управляющих сил ). Эта задача относится к задачам анализа, при которых параметры механизмов заданы, либо могут быть определены на предварительных этапах расчета. Для простоты и наглядности рассмотрим алгоритм решения этой задачи на примере конкретного механизма гидроподъемника. По условиям функционирования гидроподъемник за цикл движения должен переместить платформу 1 (рис. 7.6) на угол D j 1 и зафиксировать ее в конечном положении. При этом силы сопротивления определяются силами веса платформы и звеньев гидроцилиндра, движущие силы - давлением жидкости в цилиндре.

Алгоритм решения прямой задачи динамики при неустановившемся режиме .

Постановка задачи .

Дано: Кинематическая схема механизма и его размеры

lAB = 1 м, lBS1 = 2 м, lBD = 0.7м, lAC = 1.45м,

lBS2 = 0.35м, lBS3 = 0.4 м;

массы и моменты инерции звеньев m1 = 1000 кг,

IS1 = 800 кг * м 2, m2 = 50 кг, IS2 = 2 кг * м 2, m3 = 100 кг,

IS3 = 5 кг * м 2; w 1нач = 0, D j 1 = 30° , j 1нач = 0.

____________________________________________

Определить: w 1 = f(j 1 ), t = f(j 1 ), w 1 = f( t ), e 1 = f(j 1 ).

1. Выбор динамической модели и определение ее параметров.

В качестве динамической модели принимаем звено 1, совершающее вращательное движение вокруг точки А с круговой частотой w 1 , положение которого определяется обобщенной координатой j 1 . Параметры динамической модели: суммарный приведенный момент инерции звеньев механизма Iпрa и суммарный приведенный момент, действующих на него внешних сил, Mпрa определяются в следующей последовательности:

1.1. Определение кинематических передаточных функций для звеньев механизма u21 = u31 , центров масс VqS1 , VqS2 и VqS3 и точки приложения движущей силы VqD . Для определения этих функций воспользуемся методом проекций векторного контура механизма .


Рассмотрим следующие векторные контуры:

l AB = l AC + l CB;

l AD = l AB + l BD;

l AS2 = l AC + l CS2;

l AS3 = l AC + l CS3;

l AS1 = xS1 + yS1 .

Для первого векторного контура l AB = l AC + l CB проекции на оси координат

lAB * cos j 1 = xC + lCB * cos j 2 ,

lAB * sin j 1 = yC + lCB * sin j 2 ,

j 2 = arctg [( lAB * sin j 1 - yC )/( lAB * cos j 1 - xC )].

Производные от этих выражений по j 1

- lAB * sin j 1 = VqCB * cos j 2 - lCB * u21* sin j 2 ,

lAB * cos j 1 = VqCB * sin j 2 + lCB * u21* cos j 2 ,

позволяют определить первые передаточные функции

u21 = lAB* ( sin j 1* tgj 2 + cos j 1 )/ [ lCB* ( sin j 2* tgj 2 + cos j 2 )],

VqCB = - lAB* ( sin j 1 - cos j 1 * tgj 2)/ ( sin j 2* tgj 2 + cos j 2 ).



Для второго векторного контура l AD = l AB + l BD проекции на оси координат

xD = xB + lBD * cos (j 2 + p ),

yD = yB + lBD * sin (j 2 + p ) .

Производные от этих выражений по j 1

VqDx = VqBx - lBD * u21* sin (j 2 + p ),

VqDy = VqBy + lBD * u21* cos (j 2 + p ) ,

позволяют определить первую передаточную функцию

Для третьего векторного контура l AS2 = l AB + l BS2 проекции на оси координат

xS2 = xB + lBS2 * cos (j 2 + p ),

yS2 = yB + lBS2 * sin (j 2 + p ) .

Производные от этих выражений

VqS2x = VqBx - lBS2 * u21* sin (j 2 + p ),

VqS2y = VqBy + lBS2 * u21* cos (j 2 + p ) ,

позволяют определить первую передаточную функцию

Для четвертого векторного контура l AS3 = l AС + l С S3 проекции на оси координат

xS3 = xС + lBS3 * cos j 2 ,

yS3 = yС + lBS3 * sin j 2 .

Производные от этих выражений

VqS3x = - lС S3 * u21* sin j 2 ,

VqS3y = lCS3 * u21* cos j 2 ,

позволяют определить первую передаточную функцию

Для последнего пятого векторного контура l AS1 = xS1 + yS1 проекции на оси координат

xS1 = lAS1 * cos j 1 ,

yS1 = lAS1 * sin j 1 .

Производные от этих выражений по j 1

VqS1x = lAS1 * sin j 1 ,

VqS1y = lAS1 * cos j 1 ,

позволяют определить первую передаточную функцию

Построим графики передаточных функций и передаточных отношений, которые необходимы для определения параметров динамической модели в нашем примере.


1.2. Определение движущей силы по условиям в начале и в конце цикла.

Расчет проведем для закона изменения движущей силы, который изображен на рис.7.5. Величина движущей силы в начальном положении механизма рассчитывается по формуле

Принимаем k=1.1 и получаем

Fд0 = 1.1* abs (10000* 2 + 500* 0.97 + 1000* 0.0342)/ 0.967 = 23341.3 Н.

В конечном положении величина движущей силы рассчитывается по формуле:

Fд n = abs (10000* 1.732 + 500* 0.984 + 1000* 0.0207)/ 0.9731 = 18325.7 Н.

Значение движущей силы в интервале ( b - a )* HD определим по формуле:

Fд * = {abs( G1 * HS1 + G2 * HS2 + G3 * HS3 )-

[ Fд 0 * a + Fд n * ( 1 - b )] * HD} / [( b - a )* HD ].

Примем a = 0.32 и b = 0.65 и рассчитаем перемещения центров масс

HS1 = yS1n - yS10 = 1 - 0 = 1 м; HS2 = yS2n - yS20 = 0.162 - (-0.338) = 0.5 м;

HS3 = yS3n - yS30 = -0.364 - (-0.364) = 0;

подставим полученные значения в формулу и получим

Fд * = {abs( 10000*1+ 500*0.5 + 1000*0)- [23341.3*0.32 + 18325.7*

*(1 - 0.65 )]*0.518}/[( 0.65 - 0.32 )* 0.518] = (10250 - 7191)/0.171 = 17889 Н .

1.3. Определение приведенного суммарного момента .

2. определение приведенного суммарного момента сил сопротивления В нашем примере силами сопротивления являются силы веса звеньев механизма, поэтому расчет суммарного приведенного момента сил сопротивления проводим по формуле

определение приведенного момента движущей силы В нашем примере только одна движущая сила, создаваемая давлением жидкости в гидроцилиндре. Приведенный момент от этой силы

На рис. 7.13 приведены диаграммы приведенных моментов: сопротивления Мпрa с , движущего Мпр Fд i и суммарного Мпрa с = Мпрa + Мпр Fд i .

1.4. Определение суммарного приведенного момента инерции

В рассматриваемом механизме приведенный момент инерции суммируется из масс и моментов инерции звеньев и может быть рассчитан по следующей зависимости

Графики переменной части суммарного приведенного момента инерции даны на рис. 7.13 и 7.14. Кроме того, имеется и постоянная часть Iпрa c, определяемая массой и моментом инерции звена 1


Iпрa c = m1 * (VqS1)2 + IS1 = 1000 * (2)2 + 800 = 4800 кг * м 2 .



Суммарный приведенный момент инерции и равен сумме постоянной и переменной частей

Iпрa = Iпрa c + Iпрa v .

2. Определение суммарной работы внешних сил.

Суммарную работу внешних сил получим интегрированием суммарного приведенного момента Мпрa по обобщенной координате dj 1

Интегрирование можно проводить различными методами. Воспользуемся методом графического интегрирования. При этом методе участок изменения обобщенной координаты, на котором проводится интегрирование, разбирается на несколько малых частей (в нашем примере 6). В пределах каждого i -го участка кривая Мпрa = f (j 1) заменяется прямой, соответствующей среднеинтегральному значению Мпрa i на этом участке. На продолжении оси абсцисс, влево от начала координат откладываем отрезок интегрирования k1 . Ординаты среднеинтегральных значений Мпрa i проецируем на ось ординат. Точки пересечения проецирующих линий с осью ординат соединяем прямыми с концом отрезка интегрирования. На диаграмме работы из начала первого участка (и до его конца) под углом y 1 к оси абсцисс проводим прямую. Для второго участка аналогичная прямая проводится под углом y 2. Ее начало выбирается в точке пересечения предыдущего отрезка прямой с вертикалью проходящей начало второго участка. Проведя построения для всего интервала интегрирования, получим график работы. Масштаб этого графика определим из подобия треугольников



tg y 1 = yMпрa 1ср / k1 = yD Aa 1 / xD j 1 ,

или m М * M прa 1ср / k1 = m A * D Aa 1 / m j * D j 1 ,

так как M прa 1ср = D Aa 1 / D j 1 , то m A= m М * m j / k1 .

Графики, иллюстрирующие построение диаграммы работы, приведены на рис.7.1 6 и 7.1 7

3. Определение угловой скорости звена приведения

Определение закона движения звена приведения в виде диаграммы изменения угловой скорости в функции обобщенной координаты w 1= f(j 1) проводится по формуле

Диаграмма w 1 = f (j 1 ) приведена на рис. 7.18.

4. Определение времени цикла.

Время цикла определяется по диаграмме t= f (j 1). Для построения этой диаграммы проведем интегрирование диаграммы угловой скорости


Воспользуемся методом графического интегрирования обратной величины. При этом участок изменения обобщенной координаты, на котором проводится интегрирование, разбивается на несколько малых участков. В пределах каждого i -го участка кривая w 1 = f (j 1) заменяется прямой, соответствующей среднеинтегральному значению w 1ср i на этом участке. На оси ординат, откладываем отрезок интегрирования k2 (рис.7.19) . Ординаты среднеинтегральных значений w 1ср i проецируем на ось ординат. Точки пересечения проецирующих линий с осью ординат переносим по дугам окружности на продолжение оси абсцисс. Полученные на оси абсцисс точки, соединяем прямыми линиями с концом отрезка интегрирования. Из начала первого участка (на диаграмме времени) и до его конца под углом y 1 к оси абсцисс проводим прямую линию. Для второго участка аналогичная прямая проводится под углом y 2. Ее начало выбирается в точке пересечения предыдущего отрезка прямой с вертикалью проходящей начало второго участка. Проведя построения для всего интервала интегрирования, получим график времени. Масштаб этого графика определим из подобия треугольников

tg y 1 = k2 / yw 1ср1 = yD t1 / xD j 1 ,

или k1 /m w * w 1ср 1 = m t * D t1 / m j * D j 1 ,

так как 1/ w 1ср 1 = D t1 / D j 1 , то m w = k2* m j / m w .

5. Построение диаграммы угловой скорости в функции времени

Диаграмма угловой скорости w 1 = f ( t ) в функции времени строится по диаграммам w 1 = f (j 1 ) и t= f (j 1 ), исключением переменной j 1 .

6. Определение углового ускорения звена приведения

Для расчета углового ускорения звена приведения e 1 = f(j 1) можно воспользоваться двумя различными зависимостями:

а). e 1 = dw 1 /dt = dw 1/dj 1 * dj 1/dt = w 1 * dw 1/dj 1 ,

б). e 1 = dw 1/dt = М прa / Iпрa - w 12/(2* Iпрa ) * (d Iпрa /dj 1).

Применение первой формулы приводит к большим погрешностям, так как она основывается на использовании одной из конечных зависимостей расчета w 1 = f (j 1 ). Кроме того, в точках с нулевыми значениями w 1расчет по этой формуле дает неверный результат e 1 = 0. Поэтому проведем расчет зависимости e 1 = f(j 1) по второй формуле .Диаграмма функции e 1 = f(j 1) приведена на рис. 7.22.

Метод поднормали (графическое определение производной).

При определении в формуле углового ускорения производной d Iпрa /dj 1 часто используется метод поднормали. На графике дифференцируемой функции (рис. 23) в рассматриваемой точке проводят касательную t - t , нормаль n - n и ординату yIпрa i . Измеряют отрезок xi между точками пересечения с осью x ординаты и нормали. Рассчитывают производную с учетом масштабов по осям по формуле

Сложные зубчатые механизмы

ЛЕКЦИЯ 15

Краткое содержание:

Сложные зубчатые механизмы

Многопоточные и планетарные механизмы.

Кинематика рядного зубчатого механизма.

Формула Виллиса для планетарных механизмов

Кинематическое исследование типовых планетарных механизмов графическим и аналитическим методами.

Сложные зубчатые механизмы
Сложными зубчатыми механизмами называются механизмы с зубчатыми передачами с числом зубчатых колес больше двух. Это могут быть механизмы с оригинальными структурными схемами или механизмы, образованные последовательным и (или) параллельным соединением простейших типовых зубчатых механизмов.
Механизмы, в которых кинематические цепи образуют один или несколько замкнутых контуров и в которых входной поток механической мощности в процессе передачи и преобразования делится на несколько потоков, а затем суммируется на выходном звене, называются многопоточными механизмами. Распределение передаваемых усилий по нескольким кинематическим парам уменьшает нагрузку на элементы пар и позволяет существенно уменьшать габаритные размеры и массу механизмов. Многозонный контакт звеньев механизма существенно увеличивает жесткость механизма, а за счет осреднения ошибок и зазоров, уменьшает мертвый ход и кинематическую погрешность механизма. Однако, за счет образования в структуре механизма внутренних контуров, число избыточных или пассивных связей в механизме увеличивается. Поэтому при изготовлении и сборке механизма необходимо либо повышать точность деталей, либо увеличивать зазоры в кинематических парах.
Сложные зубчатые механизмы, в которых ось хотя бы одного колеса подвижна, называются планетарными механизмами. К типовым планетарным механизмам относятся:

однорядный планетарный механизм;

двухрядный планетарный механизм с одним внешним и одним внутренним зацеплением

двухрядный планетарный механизм с двумя внешними зацеплениями;

двухрядный планетарный механизм с двумя внутренними зацеплениями.

Элементы планетарного механизма имеют специальные названия:

зубчатое колесо с внешними зубьями, расположенное в центре механизма называется "солнечным";

колесо с внутренними зубьями называют "короной" или "эпициклом";

колеса, оси которых подвижны, называют "сателлитами";

подвижное звено, на котором установлены сателлиты, называют "водилом" .
Звено водила принято обозначать не цифрой, а латинской буквой h.

В таблице 15.1 приведены структурные схемы типовых планетарных механизмов, а также диапазоны рекомендуемых передаточных отношений и ориентировочные значения КПД при этих передаточных отношениях.

Типовые планетарные механизмы

№	Структурная схема механизма	Uред	КПД
1		3....10	0.97....0.99
2		7....16	0.96....0.98
3		25....30	0.9....0.3
4		30....300	0.9....0.3

Кинематика рядного зубчатого механизма.

Рядным зубчатым механизмом называется сложный зубчатый механизм с неподвижными осями колес, образованный последовательным соединением нескольких простых зубчатых механизмов. Рассмотрим кинематику рядного механизма составленного из двух зубчатых передач: одной внешнего зацепления и одной внутреннего зацепления. Схема механизма изображена на рис. 15.1.



Напоминание: Для вращательного движения твердого тела относительно оси проходящей через точку А. Примем для размеров масштаб ml, мм/м, а для линейных скоростей - масштаб mV, мм/мЧс-1. Угловая скорость звена i равна

Таким образом при графическом кине матическом анализе угловая скорость звена равна произведению тангенса угла наклона прямой распределения лиейных скоростей на отношение масштабов длин и скоростей.

Аналитическое исследование кинематики рядного механизма

Из основной теоремы зацепления, для первой пары зубчатых колес с внешним зацеплением, можно записать



для второй пары зубчатых колес с внутренним зацеплением



Передаточное отношение механизма в целом будет равно:



Передаточное отношение сложного рядного зубчатого, образованного из нескольких соединенных последовательно простых зубчатых механизмов равно произведению передаточных отношений этих механизмов.

Графическое исследование кинематики рядного механизма

Изобразим в масштабе ml, мм/м, кинематическую схему рядного зубчатого механизма. Нанесем на эту схему линейную скорость точки P1, изобразив ее в произвольном масштабе mV, мм/мЧс-1 отрезком Р1Р'1.


Соединим конец этого отрезка точку Р'1 с центрами вращения колес 1 и 2 точками 01 и 02 и получим прямые, определяющие распределение линейных скоростей этих звеньев, для точек лежащих на линии центров. Эти прямые образуют с линией центров соответственно углы y1 иy2 . Точка Р2 является точкой касания начальных окружностей колес 3 и 4. Так как в точке касания начальных окружностей линейные скорости звеньев 2 и 3 равны, а распределение линейных скоростей по линии центров для звена 2 известно, то можно определить отрезок Р2Р'2,который изображает скорость точки Р2 в масштабе mV, мм/мЧс-1. Соединив прямой точку Р'2 с центром вращения звена 3 получим прямую распределения линейных скоростей для точек звена 3, лежащих на линии центров. Угол, который образует эта прямой с линией центров, обозначим y3 . Угловые скорости звеньев определятся из этой схемы по формулам



Передаточное отношение, рассматриваемого рядного зубчатого механизма, будет равно



Формула Виллиса.

Формула Виллиса выводится на основании основной теоремы зацепления и устанавливает соотношение между угловыми скоростями зубчатых колес в планетарном механизме. Рассмотрим простейший планетарный механизм с одним внешним зацеплением (см. рис. 15.3). Число подвижностей в этом механизме равното есть для получения определенности движения звеньев механизма необходимо сообщить независимые движения двум его звеньям. Рассмотрим движение звеньев механизма относительно стойки и относительно водила. Угловые скорости звеньев в каждом из рассматриваемых движений приведены в таблице 15.2.



В движении звеньев относительно водила угловые скорости звеньев равны угловым скоростям в движении относительно стойки минус угловая скорость водила. Если в движении относительно стойки ось зубчатого колеса 2 подвижна, то в движении относительно водила оси обоих зубчатых колес неподвижны. Поэтому к движению относительно водила можно применить основную теорему зацепления.

Движение механизма относительно стойки



Движение механизма относительно водила




То есть можно записать выражение, которое называется формулой Виллиса для планетарных механизмов



Кинематическое исследование типовых планетарных механизмов графическим и аналитическим методами.

1. Двухрядный механизм с одним внутренним и одним внешним зацеплением.

Дано: Кинематическая схема механизма - ri , числа зубьев колес - zi ; _______________________________________________

Определить: Передаточное отношение механизма - ?



Аналитическое определение передаточного отношения.

В планетарном редукторе, изображенном на рис.15.4 на звене 2 нарезаны два зубчатых венца:

z2 , который зацепляется с зубчатым венцом z1 звена 1;

z3 , который зацепляется с внутренним зубчатыми венцом z4 звена 3.

По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внешнего зацепления колес z2 и z1



для внутреннего зацепления колес z4 и z3



Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим



Графическое определение передаточного отношения.

В системе координат ri0V построим треугольники распределения линейных скоростей звеньев. Для этого из точки А с ординатой r1 в выбранном произвольном масштабе mV, мм/мЧс-1 отложим отрезок a a'. Через конец этого отрезка и начало координат проведем прямую, которая определит распределение скоростей для точек звена 1, лежащих на оси ri. Эта прямая образует с осью ri угол y1. Так как в точке с скорости звеньев 2 и 3 равны между собой и равны нулю, то соединяя точку с с прямой с точкой a', получим линию распределения скоростей для звена 2. Так как точка принадлежит звеньям 2 и h, то ее скорость определяется по лучу с a' для радиуса равного rB = (r1+r2), что в масштабе mV, мм/мЧс-1 соответствует отрезку bb'. Соединяя точку b' с началом координат прямой, найдем линию распределения скоростей для водила. Эта линия образует с осью ri угол yh. Передаточное отношение планетарного механизма определенное по данным графическим построениям можно записать так



2. Однорядный механизм с одним внутренним и одним внешним зацеплением.



Аналитическое определение передаточного отношения.


По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внешнего зацепления колес z2 и z1 :



для внутреннего зацепления колес z2 и z3:



Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим:



Графическое определение передаточного отношения.



3. Двухрядный механизм с двумя внешними зацеплениями.



Аналитическое определение передаточного отношения.

В планетарном редукторе, изображенном на рис.15.6 на звене 2 нарезаны два зубчатых венца:

z2 , который зацепляется с зубчатым венцом z1 звена 1;

z3 , который зацепляется с внутренним зубчатыми венцом z4 звена 3.

По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внешнего зацепления колес z2 и z1 :



для внешнего зацепления колес z4 и z3:



Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим:



Графическое определение передаточного отношения.



4. Двухрядный механизм с двумя внутренними зацеплениями.



Аналитическое определение передаточного отношения.

В планетарном редукторе, изображенном на рис.15.6 на звене 2 нарезаны два зубчатых венца:

z2 , который зацепляется с зубчатым венцом z1 звена 1

; z3 , который зацепляется с внутренним зубчатыми венцом z4 звена 3.

По формуле Виллиса отношение угловых скоростей звеньев для внутреннего зацепления колес z2 и z1 :



для внутреннего зацепления колес z4 и z3:



Перемножим, правые и левые части этих уравнений, и получим:



Графическое определение передаточного отношения.



Кинематическое исследование пространственных планетарных механизмов методом планов угловых скоростей.

Рассмотрим этот метод исследования на примере планетарного механизма конического дифференциала заднего моста автомобиля. На рис. 15.8 изображена схема механизма и планы угловых скоростей.



Планы угловых скоростей строятся в соответствии с векторными уравнениями:

w2=w1+w21; w4=w3+w43

w3=w2+w32; w5=w3+w53

Вектора относительных угловых скоростей направлены по осям мгновенного относительного вращения:

w21- по линии контакта начальных конусов звеньев 2 и 1;
w32- по оси шарнира С;


w43- по линии контакта начальных конусов звеньев 4 и 3;
w53 - по линии контакта начальных конусов звеньев 5 и 3. Вектора абсолютных угловых скоростей направлены по осям кинематических пар, которые образуют звенья со стойкой: w2 - по оси пары В ;w1 - по оси пары А ;
w4 - по оси пары Е ; w5 - по оси пары D . Направление угловой скорости сателлита 3 определяется соотношением величин угловых скоростей w2 и w32 . Рассмотрим три режима движения автомобиля:

прямолинейное движение w4 = w5 (векторная диаграмма на рис.15.8a). В этом режиме движения корпус дифференциала 2 и полуоси 4 и 5 вращаются с одинаковыми угловыми скоростями w4 = w5 = w2 , а относительная угловая скорость сателлита w32=0.

поворот автомобиля направо w4 < w5 (векторная диаграмма на рис.15.8б). При повороте направо угловые скорости полуосей не равны и связаны неравенством w4 < w5 ,поэтому сателлит будет вращаться с такой угловой скоростью w32, которая обеспечивает постоянство угловой скорости корпуса дифференциала w2.

буксование левого колеса w4 = 0 (векторная диаграмма на рис.15.8в). При буксовании левого колеса, правое колесо останавливается w4 = 0, а левое будет вращаться с угловой скоростью w5 = 2Ч w2 .

Для того, чтобы в условиях низкого сцепления колес с грунтом, уменьшить опасность их пробуксовывания в дифференциалы автомобилей высокой проходимости включают элементы трения или блокировки.

Установившийся режим движения машины

ЛЕКЦИЯ 8

Краткое содержание: Установившийся режим движения машины. Неравномерность движения и метолы ее регулирования. Коэффициент неравномерности. Маховик и его роль в регулировании неравномерности движения. Решение задачи регулирования хода машины по методу Н.И.Мерцалова. Алгоритм решения прямой задачи динамики при установившемся режиме движения машины. Статическая характеристика асинхронного электродвигателя и ее влияние на неравномерность движения. Устойчивость движения машины с асинхронным электродвигателем.
Установившийся режим движения машины.
Установившийся режим движения машины наступает тогда когда работа внешних сил за цикл не изменяет ее энергии, то есть суммарная работа внешних сил за цикл движения равна нулю.
Установившееся движение Адц = Асц , Ац = D Т = 0 ,
где
-соответственно работа
за цикл движущих сил и сил сопротивления,
j 10 - начальное значение обобщенной координаты, D j ц - приращение обобщенной координаты за цикл.
Рис. 8.1
В пределах цикла текущее значение суммарной работы не равно нулю. Работа может быть то положительной, то отрицательной. При положительной величине работы машина увеличивает свою кинетическую энергию за счет увеличения скорости, то есть разгоняется. На участках, где суммарная работа отрицательна, кинетическая энергия и скорость машины уменьшается, машина притормаживается. В установившемся режиме величины увеличения скорости на участках разгона и снижения на участках торможения за цикл равны, поэтому средняя скорость движения w 1ср = const постоянна. В машинах приведенный момент инерции которых зависит от обобщенной координаты, на неравномерность движения оказывает влияние величина изменения приведенного момента инерции. Колебания скорости изменения обобщенной координаты машины не оказывают прямого влияния на фундамент машины. Поэтому эти колебания и вызывающие их причины определяют, так называемую, внутреннюю виброактивность машины.
Величина амплитуды колебаний скорости D w 1 определяется разностью между максимальной w 1max и минимальной w 1min скоростями.
За меру измерения колебаний скорости в установившемся режиме принята относительная величина,

которая называется коэффициентом изменения средней скорости

d = D w 1 /w 1ср = ( w 1max-- w 1min ) / w 1ср ,

где w 1ср = ( w 1max + w 1min ) / 2 - средняя угловая скорость машины.

Для различных машин в зависимости от требований нормального функционирования (обрыв нитей в прядильных машинах, снижение чистоты поверхности в металлорежущих станках, нагрев обмоток и снижение КПД в электрогенераторах и т.д.) допускаются различные максимальные значения коэффициента изменения средней скорости. Существующая нормативная документация устанавливает следующие допустимые значения коэффициента неравномерности [d ]:

дробилки [d ] = 0.2 ... 0.1;

прессы, ковочные машины [d ] = 0.15 ... 0.1;

насосы [d ] = 0.05 ... 0.03;

металлорежущие станки нормальной точности [d ] = 0.05 ... 0.01;

металлорежущие станки прецизионные [d ] = 0.005 ... 0.001;

двигатели внутреннего сгорания [d ] = 0.015 ... 0.005;

электрогенераторы [d ] = 0.01 ... 0.005;

прядильные машины [d ] = 0.02 ... 0.01 .

Чтобы снизить внутреннюю виброактивность и неравномерность движения применяются различные методы:

уменьшение влияния неравномерности внешних сил ( например, применение многоцилиндровых ДВС, насосов и компрессоров с рациональным сдвигом рабочих процессов в цилиндрах );

уменьшение влияния переменности приведенного момента инерции ( тоже обеспечивается увеличением числа цилиндров в поршневых машинах, а также уменьшением масс и моментов инерции деталей, приведенный момент инерции которых зависит от обобщенной координаты );

установка на валах машины центробежных регуляторов или аккумуляторов кинетической энергии - маховиков;

активное регулирование скорости с использованием систем автоматического управления, включая и компьютерное управление.

Рассмотрим подробно наиболее простой способ регулирования неравномерности вращения - установку дополнительной маховой массы или маховика. Маховик в машине выполняет роль аккумулятора кинетической энергии.


При разгоне часть положительной работы внешних сил расходуется на увеличение кинетической энергии маховика и скорость до которой разгоняется система становится меньше, при торможении маховик отдает запасенную энергию обратно в систему и величина снижения скорости машины уменьшается. Сказанное иллюстрируется графиками, изображенными на рис. 8.2. На этом рисунке: D w 1 - изменение угловой скорости до установки маховика, D w 1* - после установки маховика. Отсюда можно сделать вывод: чем больше дополнительная маховая масса, тем меньше изменение D w 1* и коэффициент неравномерности d .

Определение закона движения D w 1 = f ( j 1 ) и приведенного момента инерции IпрI .

Из теоремы об изменении кинетической энергии можно записать

D T = T - Tнач = А, где D T = D TI + D TII = А и TI = IпрI*w 21/2 .

Если допустить, что D TI » dTI , то dTI = IпрI *w 1 * dw 1 . Так как при установившемся движении D w 1 w 1 , то можно считать что w 1 » w 1ср . Тогда, переходя к конечным приращениям, получим:

D TI » IпрI *w 1ср * D w 1 , откуда D w 1 » D TI / IпрI *w 1ср .

Так как IпрI *w 1ср = const , то можно записать что D TImax » IпрI *w 1ср * D w 1max, где D TImax - изменение кинетической энергии первой группы звеньев за цикл, D w 1max - изменение угловой скорости за цикл. Подставим в эту формулу выражение для коэффициента неравномерности d = D w 1max /w 1ср и получим формулу для расчета приведенного момента инерции первой группы, который обеспечивает заданный коэффициент неравномерности

IпрI = D TImax / (d *w 1ср2 ) .

Определение момента инерции дополнительной маховой массы (маховика).

Рассмотрим определение маховика для примера рассмотренного в лекции 6 - одноцилиндрового поршневого насоса. В первую группу звеньев в этом примере входят: ротор электродвигателя Iрот, детали редуктора I прред, кривошипный вал I01 и маховик Iм

IпрI = I пррот + I прред + I01 + Iм,

откуда момент инерции маховика

Iм= IпрI - ( I прред + I01 + Iм ).

Решение задачи регулирования хода машины по методу Н.И.Мерцалова.

При расчете маховика (или решении задачи регулирования хода машины) по методу Н.И.Мерцалова задача решается в следующей последовательности:

Определяются параметры динамической модели, например для ДВС Мпрд - приведенный суммарный момент движущих сил и IпрII - приведенный момент инерции второй группы звеньев.

Определяется работа движущих сил Ад интегрированием функции Мпрд = f(j 1) за цикл движения машины (допустим 2p );

Определяется работа движущих сил за цикл и приравнивается к работе сил сопротивления Адц = Асц. Из этого равенства определяется среднеинтегральное значение момента сил сопротивления

Мпрсср = Асц/ (2p );

и для него строится диаграмма работы Ас = f(j 1). Суммированием этой диаграммы и диаграммы Ад = f(j 1) получаем диаграмму А = f(j 1).

Делается допущение w 1 » w 1ср , при котором TII » IпрII *w 1ср2/ 2 (первое допущение метода Мерцалова), и определяется TII = f(j 1).

Определяется кинетическая энергия первой группы звеньев

TI = А -TII + Tнач = А-TII + TIнач + TIIнач .

Так как начальные значения кинетической энергии неизвестны, то если учесть, что Tнач = TIнач + TIIнач , D TI = TI - TIнач , D TII = TII - TIIнач , получим

D TI = А- D TII ,

то есть, вычитая из суммарной работы приращение кинетической энергии второй группы, получим приращение кинетической энергии первой группы.

По функции D TI = f(j 1) определяется максимальное изменение кинетиской энергии за цикл D TImax . Второй раз делаем допущение w 1 » w 1ср на основании которого, как показано выше, можно записать

IпрI = D TImax / (d *w 1ср2).

Из этого выражения, определив предварительно D TImax , можно решить две задачи:

задачу синтеза - при заданном [d ] определить необходимый для его обеспечения приведенный момент инерции IпрI нб ,

задачу анализа - при заданном IпрI определить обеспечиваемый им коэффициент неравномерности d .

Алгоритм решения прямой задачи динамики при установившемся режиме движения машины.

Решение этой задачи рассмотрим на конкретном примере машинного агрегата привода буровой установки.

Дано: Кинематическая схема машины - lAB = 0.12м, lBC = 0.528м, lBS2 = 0.169м, средняя частота вращения кривошипа - w 1ср = 47.124 рад/с2, массы звеньев -


m2 = 24.2 кг, m3 = 36.2 кг, момент инерции - I 2S = 1.21 кг* м2, I 10 = 2.72 кг* м2, максимальное давление в цилиндре - pmax = 4.4 МПа , коэффициент неравномерности вращения [d ] = 1/80 , индикаторная диаграмма (приведена на рис. 8.3) .

_________________________________________________________________

Определить: закон движения машины w 1 = f(j 1) и e 1 = f(j 1), момент инерции маховика Iдоп , обеспечивающий заданную неравномерность вращения [d ].

Определение параметров динамической модели: Мпрд - приведенного суммарного момента движущих сил и IпрII - приведенного момента инерции второй группы звеньев.

Определение первых кинематических передаточных функций. Определение кинематических передаточных функций для звеньев механизма u21 = u31 , центров масс VqS1 , VqS2 и VqS3 и точки приложения движущей силы VqD . Для определения этих функций воспользуемся методом проекций векторного контура механизма .

Рассмотрим следующие векторные контуры, изображенные на рис. 8.4 рядом со схемой механизма:

l AB + l CB = l AC ; l AS2 = l AB + l BS2 .

Для первого векторного контура l AB+ l CB = l AC проекции на оси координат

lAB * cos j 1 + lCB * cos j 2 = xC = 0,

lAB * sin j 1 + lCB * sin j 2 = yC = SC,

j 2 = arccos ( - lAB * cos j 1 / lBC ).

Рис. 8.4

Производные от этих выражений

- lAB * sin j 1 - lCB * u21* sin j 2 = 0 ,

lAB * cos j 1 + lCB * u21* cos j 2 = VqC ,

позволяют определить первые передаточные функции

u21 = - lAB * sin j 1 / ( lCB* sin j 2 ),

VqC = lAB * cos j 1 + lCB * u21* cos j 2 .

Для третьего векторного контура l AS2 = l AB + l BS2 проекции на оси координат

xS2 = lAB * cos j 1 + lBS2 * cos j 2 ,

yS2 = lAB * sin j 1 + lBS2 * sin j 2 .

Производные от этих выражений

VqS2x = - lAB * sin j 1 - lBS2 * u21* sin j 2 ,

VqS2y = lAB * cos j 1 + lBS2 * u21* cos j 2 ,

позволяют определить первую передаточную функцию

Рис. 8.5

1.2. Определение приведенного момента движущих сил Мпрд .

Индикаторную диаграмму (рис.8.3) строим по заданным значениям давления в цилиндре двигателя.


Отрезок хода поршня НC* m i делим на 10 интервалов. В каждой точке деления строим ординату диаграммы, задавшись (при pi /pmax = 1) максимальной ординатой ypmax . Тогда текущее значение ординаты

ypi= ypmax * ( pi/pmax ),

где pmax= 4.4 МПа.

Масштаб индикаторной диаграммы

m p = ypmax /pmax .

Площадь поршня Sп = p *dп2 /4 .

При построении графика силы, действующей на поршень, ординаты этого графика принимаем равными ординатам индикаторной диаграммы. Тогда масштаб силы

m F = m p/Sп.

Для исследуемого механизма приведенный суммарной момент состоит из двух составляющих: движущей силы и момента сил сопротивления

Mпр = Mпрд + Mпрс .

Приведенный момент движущей силы определяется в текущем положении механизма по формуле

где F дi - значение движущей силы,

F дi = yFдi / m F ,

где yFдi - ордината силы сопротивления,

m F - масштаб диаграммы сил.

VqСi - значение передаточной функции в рассматриваемом положении механизма,

- угол между вектором силы и вектором скорости точки ее приложения.

Масштаб диаграммы по оси абсцисс определяется по формуле

m j = b / 2*p ,

где b - база диаграммы ( отрезок оси абсцисс, который изображает цикл изменения обобщенной координаты).

1.3. Построение диаграммы приведенных моментов инерции Ivпр = I IIпр.

Инерционные характеристики звеньев механизма в его динамической модели представлены суммарным приведенным моментом инерции. При расчете эту характеристику динамической модели представляетсяв виде суммы двух составляющих переменной Ivпр = I IIпр и постоянной Icпр = IIпр. Первая определяется массами и моментами инерции звеньев, передаточные функции которых постоянны, вторые - массами и моментами инерции звеньев передаточные функции которых переменны.

Проведем расчет переменной части приведенного момента инерции Ivпр = I IIпр. Для рассматриваемого механизма во вторую группу звеньев входят звенья 2 и 3. Звено 3 совершает поступательное движение, звено 2 -плоское. Расчет переменной части приведенного момента проводится по следующим зависимостям:


Ivпр = I IIпр = I2Впр + I2Ппр+ I3пр,

где

I2Ппр = m 2 * VqS22, I2Впр = IS2 * u212, I3пр= m3* VqС2,

Рис. 8.7

2. Построение диаграмм работы движущей силы, сил сопротивления и суммарной работы. Диаграмму работы движущей силы получим интегрируя диаграмму ее приведенного момента

Интегрирование проведем графическим методом (рис.8.8), приняв при этом отрезок интегрирования равным k1 . Тогда масштаб полученной диаграммы работы движущей силы будет равен

tg y 1 = yD Aд / xD j 1 = yMпрд1/ k1 D Aд * m А/ (D j 1 * m j ) = Mпр д1 * m М / k1

так как D Aд / D j 1 = Mпр д1 , то m А / m j = m М / k1 , откуда

m А = m М *m j / k1 .

Величина среднеинтегрального момента сил сопротивления определяется по формуле

Мпрсср = Асц/ (2p ).

3. Построение диаграмм кинетических энергий.

Диаграммы кинетических энергий для первой и второй групп звеньев получает на основании теоремы об изменении кинетической энергии системы

D Т = Т - Тнач, A = D Т I + D Т II .

График кинетической энергии второй группы звеньев получим из зависимости

Т II = III пр*w 1ср2 /2,

принимая, что w 1 » w 1ср . Тогда диаграмма приведенного момента инерции второй группы звеньев в масштабе рассчитанном по формуле

yI = yT IпрII * m I = (IпрII * w 1ср2 / 2) * m T , откуда

m T = 2* m I /w 1ср2 ,

соответствует диаграмме кинетической энергии ТII .

График кинетической энергии первой группы звеньев приближенно строим по уравнению

ТI = Т - ТII .

В каждом положении механизма из ординат кривой A= f (j 1) вычитаем ординаты yTII и получаем ординаты искомой диаграммы TI = f (j 1). Для этого необходимо ординаты диаграммы TII = f (j 1) из масштаба m T перевести в масштаб m A* по формуле

yTII* = yTII * m A*/ m T .

Диаграмма кинетической энергии первой группы звеньев представлена на рис. 8.9.

4. Определение необходимого момента инерции маховых масс первой группы

Максимальное изменение кинетической энергии звеньев перD вой группы за цикл определяем по диаграмме

D TImax = ( y D TImax )/ m A .

Тогда необходимый момент инерции маховых масс первой группы звеньев, обеспечивающий заданный коэффициент неравномерности, равен


IIпр = D TImax / (w 1ср2 * [d ] ) .

4.1. Определение момента инерции дополнительной маховой массы.

В нашем случае момент инерции дополнительной маховой массы рассчитывается по следующей зависимости

Iдоп = IIпр - I10 ,

где I10 - момент инерции коленчатого вала .

5. Построение приближенной диаграммы угловой скорости

Если считать, что w 1 » w 1ср , то

D TI = IIпр *w 1ср * D w 1,

то есть диаграмма изменения кинетической энергии первой группы звеньев D TI= f(j 1) в другом масштабе соответствует диаграмме изменения угловой скорости D w 1 = f (j 1). Если считать что ординаты диаграмм равны, то

yD w 1 = yD TI m A* D TI = m w * D w 1 m A* IIпр *w 1ср * D w 1 = m w * D w 1 ,

откуда

m w = m A* IIпр *w 1ср .

Ордината средней угловой скорости ( для определения положения начала координат на диаграмме угловой скорости )

yw 1ср = w 1ср *m w .

После определения положения оси абсцисс на диаграмме угловой скорости можно определить начальное значение угловой скорости

w 10 = yw 10 /m w ,

а по ней кинетическую энергию механизма в начальном положении

TI нач = IIпр *w 1ср2 /2 .

6. Определение размеров маховика.

Принимаем конструктивное исполнение маховика - диск. Тогда его основные размеры и масса определятся по следующим зависимостям:

наружный диаметр ширина b = y b * D ,

масса m = 1230* D 3,

где r = 7.8 кг/дм3 - плотность материала маховика ,

y b - коэффициент ширины .

7. Определение углового ускорения звена приведения.

Как отмечено ранее для расчета углового ускорения звена приведения e 1 = f(j 1 ) лучше пользоваться формулой :

e 1 = dw 1/dt = М пр/ Iпр- w 12/(2* Iпр) * (d Iпр /dj 1).

Необходимые для расчета значения величин определяем по ранее построенным диаграммам. Диаграмма функции e 1 = f(j 1 ) приведена на рис. 8.10.

Рис. 8.10

Приведенная статическая характеристика асинхронного электродвигателя. Понятие о устойчивости работы машины.

Как отмечалось ранее, силы действующие на механизмы зависят не только от положения или обобщенной координаты, а зависят и от времени или от скорости.


Эти зависимости обычно определяются экспериментально и называются механическими характеристиками машины. Механическая характеристика приведенная к обобщенной координате или скорости называется приведенной механической характеристикой. В качестве примера рассмотрим приведенную статическую характеристику асинхронного электродвигателя.

На диаграмме: М прдп - приведенный пусковой момент; М прдн - приведенный номинальный крутящий момент; М прдк или М прдmax - приведенный критический или максимальный момент; w 1н - номинальная круговая частота вращения звена приведения; w 1хх или w 1с - частота вращения звена приведения на холостом ходу или синхронная. Уравнение приведенной статической характеристики асинхронного электродвигателя на линеаризованном участке устойчивой части

М прд = b1* + k1**w 1 ,

где М прд - приведенный движущий момент на звене приведения,

w 1 - круговая частота звена приведения ,

b1* = М прдн * w 1 /(w 1с - w 1н ) , k1* = - М прдн / (w 1с - w 1н ).

Как на исходной статической характеристике двигателя, так и на приведенной можно выделить два участка: устойчивый - bd и неустойчивый - ab. На устойчивом участке при увеличении момента сопротивления на валу двигателя частота вращения уменьшается, обеспечивая сохранение мощности примерно на постоянном уровне, на неустойчивом участке работа двигателя невозможна, так как в любой точке этого участка увеличение момента сопротивления на валу двигателя должно сопровождаться увеличением частоты вращения и увеличением мощности двигателя, при этом моменты сопротивления больше пускового момента двигателя. При увеличении момента сопротивления на валу звена приведения до величины большей Мпрдmax двигатель попадает в зону неустойчивой характеристики и останавливается. Для устойчивой работы машины необходимо, чтобы колебания момента сопротивления на

валу звена приведения не выходили за пределы линейной части устойчивого участка приведенной статической характеристики.

Учет приведенной статической характеристики при анализе

Вибрации и колебания в машинах и механизмах

ЛЕКЦИЯ 5

Краткое содержание: Вибрации и колебания в машинах и механизмах, виброактивность и виброзащита. Понятие о неуравновешенности звена и механизма, статической и динамической уравновешенности механической системы. Статическое уравновешивание рычажных механизмов. Метод замещающих масс. Полное и частичное статическое уравновешивание механизма. Ротор и виды его неуравновешенности: статическая, моментная и динамическая. Балансировка роторов при проектировании. Балансировочные станки. Вибрации и колебания в машинах и механизмах. При движении механической системы под действием внешних сил в ней могут возникать механические колебания или вибрации. Причинами возникновения вибраций могут быть периодические изменения сил (силовое возмущение), перемешений (кинематическое возмущение) или инерционных характеристик (параметрическое возмущение). Вибрацией ( от лат. vibratio - колебание ) называют мех*анические колебания в машинах или механизмах. Колебание - движение или изменение состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости или периодичностью. Если источник возникновения вибраций определяется внутренними свойствами машины или механизма, то говорят о его виброактивности. Чтобы вибрации механизма не распространялись на окружающие его системы или чтобы защитить механизм от вибраций, воздействующих на него со стороны внешних систем, применяются различные методы виброзащиты. Различают внешнюю и внутреннюю виброактивность. Под внутренней виброактивностью понимают колебания возникающие внутри механизма или машины, которые происходят по его подвижностям или обобщенным координатам. Эти колебания не оказыват непосредственного влияния на окрущающую среду. При внешней виброактивности изменение положения механизма приводит к изменению реакций в опорах (т.е. связях механизма с окружающей средой) и непосредственному вибрационному воздействию на связанные с ним системы. Одна и основных причин внешней виброактивности - неуравновешенность его звеньев и механизма в целом. Понятие о неуравновешенности механизма (звена). Неуравновешенным будем называть такой механизм (или его звено), в котором при движении центр масс механизма (или звена) движется с ускорением.
Так как ускоренное движение системы возникает только в случае, если равнодействующая внешних силовых воздействий не равна нулю. Согласно принципу Д’Аламбера, для уравновешивания внешних сил к системе добавляются расчетные силы - силы и моменты сил инерции. Поэтому уравновешенным будем считать механизм, в котором главные вектора и моменты сил инерции равны нулю, а неуравновешенным механизм, в котором эти силы неравны нулю. Для примера рассмотрим четырехшарнирный механизм (рис. 5.1). Механизм будет находится в состоянии кинетостатического равновесия, если сумма действующих на него внешних сил и моментов сил (включая силы и моменты сил инерции) будет равна нулю Уравновешенность является свойством или характеристикой механизма и не должна зависеть от действующих на него внешних сил. Если исключить из рассмотрения все внешние силы, то в уравнении равновесия останутся только инерционные составляющие, которые определяются инерционными параметрами механизма - массами и моментами инерции и законом движения (например, центра масс системы). поэтому уравновешенным считается механизм для которого главный вектор и главный момент сил инерции равны нулю: Неуравновешенность - такое состояние механизма при котором главный вектор или главный момент сил инерции не равны нулю. Различают:

статическую неуравновешенность FSм не равно 0 ;

моментную неуравновешенность Mимне равно 0 ;

динамическую неуравновешенность FSм?не равно 0 и Mимне равно 0 .

При статическом уравновешивании механизма необходимо обеспечить Это условие можно выполнить если: скорость центра масс механизма равна нулю VSм=0или она постоянна по величине и направлению VSм= const. Обеспечить выполнение условия VSм = const в механизме практически невозможно. Поэтому при статическом уравновешивании обеспечивают выполнение условия VSм=0 . Это возможно, когда центр масс механизма лежит на оси вращения звена 1 - rSм= 0 или когда он неподвижен rSм= const , где rSм= ( m1*rS1 + m2*rS2 + ... + m*rSi )/ (m1 + m2 + ... + mi). На практике наиболее часто статическое уравновешивание проводят:

выбирая симметричные схемы механизма (рис.5.2);

Рис 5.2

устанавливая на звеньях механизма противовесы (или корректирующие массы);

размещая противовесы на дополнительных звеньях или кинематических цепях.

Метод замещающих масс. При использовании метода замещающих масс, звено механизма с распределенной массой заменяется расчетной моделью, которая состоит из точечных масс. Условия перехода от звена с распределенной массой к модели с точечными массами.

Сохранение массы звена: m iA + m iB = mi .

Сохранение положения центра масс lASi = const , m iA *lASi = m iB*(lAB - lASi).

Сохранение момента инерции m iA*lASi2 + m iB *(lAB - lASi)2 = Isi. Очевидно, что выполнить три условия системой с двумя массами невозможно, поэтому при статическом уравновешивании механизмов ограничиваются выполнением только двух первых условий. Чтобы обеспечить выполнение всех трех условий необходимо ввести третью массу m iSi. Рассмотрим применение метода замещающих масс при полном и частичном статическом уравновешивании кривошипно-ползунного механизма. Полное статическое уравновешивание кривошипно- ползунного механизма. Рис 5.3 Постановка задачи: Дано: lAB, lBC, lAS1, lBS2, lCS3=0, m1, m2, m3 Определить: mk1, mk2 Распределим массы звеньев по методу замещающих масс и сосредоточим их в центрах шарнировA,B,C.Тогда mB = mB1 + mB2 , m C = m3 + mC2 , mA = mA1 , где m1 = mA1 + mB1 - масса первого звена, распределенная между массами, сосредоточенными в точках В ; m2 = mВ2 + m - масса второго звена, распределенная между массами, сосредоточенными в точках В и С Вначале проведем уравновешивание массы mC корректирующей массой mk2. Составим уравнение статических моментов относительно точки В для звеньев 2 и 3: m k2 lk2 = m C lBC . Задаемся величиной lk2 и получаем корректирующую массу m k2 = m C *lBC / lk2 . Затем уравновешиваем массы центр, которых после установки корректирующей массы расположился в точке В: mB * = m2 + mk2 + m3 + mB1. Составляем уравнение статических моментов относительно точки А m k1*lk1 = mВ* ? lАВ . Задаемся величиной lk1 и получаем корректирующую массу


m k1 = mВ*lАВ / lk1.

Окончательно величины корректирующих масс для полного уравновешивания кривошипно-ползунного механизма m k2 = m C *lBC / lk2 = ( mС2 + m3 )* lBC / lk2 ;

m k1 = mВ*lАВ / lk1= (m2 + mk2 + m3 + mB1) *lАВ / lk1 .

Частичное статическое уравновешивание кривошипно-ползунного механизма. Уравновешивание вертикальной составляющей главного вектора сил инерции. Рис 5.5 Постановка задачи: Дано: lAB, lBC, lAS1, lBS2, lCS3=0,

m1, m2, m3 Определить: mk1

В этом случае необходимо добиться, чтобы центр масс механизма при движении перемещался вдоль направляющей ползуна (для схемы на рис. 5.5 по горизонтали). Для этого достаточно уравновесить только массу mB . Составляем уравнение статических моментов относительно точки А : m k1 *lk1 = mВ *lАВ . Задаемся величиной lk1 и получаем корректирующую массу m k1 = mВ *lАВ / lk1. Окончательно величина корректирующей массы для уравновешивания вертикальной составляющей главного вектора сил инерции кривошипно-ползунного механизма m k1 = mВ *lАВ / lk1= (m В2 + mB1) *lАВ / lk1 .

2. Уравновешивание горизонтальной составляющей главного вектора сил инерции. Рис 5.6 Постановка задачи:

Дано: lAB, lBC, lAS1, lBS2,

lCS3=0, m1, m2, m3

Определить: mk1

В этом случае необходимо добиться, чтобы центр масс механизма при движении перемещался по дуге окружности радиуса rSм (рис.5.6). Расчет корректирующей массы ведется в два этапа. В начале первой составляющей корректирующей массы mk1 уравновешивается масса mB . Составляется, как и в предыдущем примере, уравнение статических моментов относительно точки А : m k1 lk1 = mВ lАВ . Задается величина lk1 и рассчитывается корректирующая масса m k1= mВ lАВ / lk1= (mВ2 + mB1) * lАВ / lk1 . Затем с помощью второй составляющей корректирующей массы mk1центр массы mc перемещается в точку Sм. Величина mk1 определяется следующим образом: центр шарнира С соединяется прямой с концом отрезка lk1 точкой Sk . Радиус rSм проводится параллельно отрезку B С. Тогда SkВС = Sk А Sми x/y =. lk1 / lAB Статический момент относительно точкиSм: mk1 x = mCy, mk1 = mC y/x = mC lAB / lk1 . Радиус-вектор rSм определяется из подобия треугольников из пропорций x/ rSм= ( x + y )/ lBC , x/( x + y ) = lk1 / ( lk1 + lAB ), откуда rSм= [ lk1 / ( lk1 + lAB )]*lBC = const. Корректирующая масса, обеспечивающая уравновешивание горизонтальной составляющей главного вектора сил инерции кривошипо-ползунного механизма, размещается на первом звене механизма и равна сумме составляющих mk1 = mk1+ mk1 = ( m2 + m3 + mB1 )lАВ / lk1 . Центр массы механизма при таком уравновешивании расположен в точкеSм, которая движется по дуге радиуса rSм rSм= ( mС2+ m3 + mk1) rSм/( m1 + m2 + m3 + mk1 ). Схема распределения масс в механизме после уравновешивания дана на рис. 5.7. Рис 5.7 Балансировка роторов. Общие сведения о балансировке.


Ротор, неуравновешенность ротора и ее виды. Задачи балансировки. Ротором ( по гост 19534-74 ) называют звенья механизмов, совершающие вращательное движение и удерживаемые при этом своими несущими поверхностями в опорах. Если масса ротора распределена относительно оси вращения равномерно, то главная центральная ось инерции x-x совпадает с осью вращения и ротор является уравновешенным или идеальным. При несовпадении оси вращения с осью x-x, ротор будет неуравновешенным и в его опорах при вращении возникнут переменные реакции, вызванные действием инерционных сил и моментов ( точнее, движением центра масс с ускорением ). Рис 5.8 В зависимости от взаимного расположения оси вращения и главной цетральной оси инерции x-x , по ГОСТ 19534-74, различают следующие виды неуравновешенности роторов (рис. 5.8): а - статическую, когда эти оси параллельны; б - моментную, когда оси пересекаются в центре масс ротора S; в - динамическую, когда оси либо пересекаются вне центра масс, либо не пересекаются, а перекрещиваются в пространстве. Как отмечено выше, неуравновешенность определяется конструктивными характеристиками ротора или механизма и не зависит от параметров движения. Поэтому при балансировке оперируют не инерционными силами, а дисбалансами. Дисбаланс - мера статической неуравновешенности ротора, векторная величина, равная произведению неуравновешенной массы m на ее эксцентриситет e, где эксцентриситет e - радиус-вектор центра этой массы относительно оси ротора. Направление главного вектора дисбаланса D совпадает с направлением главного вектора сил инерции Fи, действующих на ротор при вращении: Моментная неуравновешенность характеризуется главным моментом дисбалансов ротора MD , который пропорционален главному моменту сил инерции (рис. 5.9): Главный момент дисбалансов ротора полностью определяется моментом пары равных по величине и противоположных по направлению дисбалансов DM1 + DM2 = DM, расположенных в двух произвольных плоскостях ( I и II ), перпендикулярных оси вращения ротора.


Дисбаланс и момент дисбалансов не зависят от частоты вращения, они полностью определяются конструкцией ротора и точностью его изготовления. Балансировкой называют процесс определения значений и угловых координат дисбалансов ротора и их уменьшения с помощью корректировки размещения его масс. Балансировка эквивалентна уравновешиванию системы инерционных сил, прикладываемых к подвижному ротору для его равновесия.

Рис 5.9 Эту систему, как и любую произвольную систему сил, можно заменить равнодействующими - главным вектором и главным моментом или двумя векторами, расположенными в произвольных параллельных плоскостях. Для уравновешивания системы сил достаточно уравновесить эти равнодействующие. При балансировке операции над силами заменяют действиями над дисбалансами. Поэтому для жестких роторов выщесказанное можно сформулировать так: жесткий ротор можно уравновесить двумя корректирующими массами, расположенными в двух произвольно выбранных плоскостях, перпендикулярных оси его вращения. Эти плоскости называют плоскостями коррекции. Задача балансировки ротора заключается в определении, в выбранных плоскостях коррекции , значений и углов дисбалансов и размещении в этих плоскостях корректирующих масс, дисбалансы которых равны по величине и противоположны по направлению найденным дисбалансам ротора. На практике балансировку проводят : при конструировании - расчетными методами, в процессе изготовления деталей и узлов - экспериментально на специальных балансировочных станках. Балансировка на станках является более точным и надежным методом, по сравнению с расчетными. Поэтому она применяется для ответственных деталей с высокими рабочими частотами вращения. Корректировка масс ротора осуществляется либо присоединением к нему дополнительных корректирующих масс (наплавлением, наваркой или привинчиванием противовесов), либо удалением части массы ротора с “тяжелой” стороны (фрезерованием или высверливанием). Точность балансировки характеризуется величиной остаточного дисбаланса D0 ротора в каждой из плоскостей коррекции.


Величина D0 не должна превышать допустимых для данного класса точности значений, регламентируемых ГОСТ 22061-76. Балансировка роторов при различных видах неуравновешенности. 1. Статическая неуравновешенность. Рис 5.10 При статической неуравновешенности (рис.5.10) главная центральная ось инерции параллельны оси вращения ротора , главный вектор дисбалансов больше нуля , а главный момент дисбалансов равен нулю Dс0 ; MD = 0, т.е. необходимо уравновесить только вектор Dс= m e. Для этого достаточно установить на роторе только одну корректирующую массу mk величине которой определяется из равенства Dk = mk ek = -Dc mk = Dk / ek , где величиной ek задаются из соображений удобства размещения противовесов. Направление вектора Dk противоположно направлению Dc . Условие статической уравновешенности ротора: 2.2. Моментная неуравновешенность. Рис 5.11 При моментной неуравновешенности (рис.5.11) главная центральная ось инерции пересекает ось вращения в центре масс ротора точке S, главный вектор дисбалансов Dс равен нулю, гавный момент дисбалансов МD не равен нулю т.е. необходимо уравновесить только момент дисбалансов МD . Для этого достаточно разместить на роторе две одинаковых корректирующих массы mk на равных расстояниях от оси вращения ek и от ценра масс S - lk. Массы выбираются и размещаются так, чтобы момент их дисбалансов MDk был по величине равен, а по направлению противоположен моменту дисбалансов ротора МD:

где Dk = mk ek . В этих зависимостях величинами lk и ek задаются по условиям удобства размещения противовесов на роторе, а величину mk рассчитывают. Необходимо отметить, что величины Dk в плоскостях коррекции необязательно должны быть равными, необходимо выполнять только неизменность положения центра масс - он должен оставаться на оси вращения. Условие моментной неуравновешенности 2.3. Динамическая неуравновешенность.

Рис 5.13 При динамической неуравновешенности (pис. 5.12) главная центральная ось инерции пересекает ось вращения не в центре масс ротора точке S, либо перекрещивается с ней; и главный вектор дисбалансов Dc, и главный момент дисбалансов МD не равны нулю т.е.


необходимо уравновесить вектор Dс и момент дисбалансов МD . Для этого достаточно разместить на роторе две корректирующих массы mk1 и mk2 на расстояниях от оси вращения ek1 и ek2 , а от ценра масс S, соответственно на lk1 и lk2. Массы выбираются и размещаются так, чтобы момент их дисбалансов MDk был по величине равен, а по направлению противоположен моменту дисбалансов ротора МD: где а векторная сумма дисбалансов была равна и противоположно направлена вектору Dc:

B этих зависимостях величинами lki и eki задаются по условиям удобства размещения противовесов на роторе, а величины mki рассчитывают. Условие динамической уравновешенности ротора: 3. Уравновешивание роторов при проектировании. 1. Статическое уравновешивание при проектировании. При проектировании статически уравновешивают детали, имеющие небольшие осевые размеры и конструктивно неуравновешенные, например, дисковые кулачки (рис. 5.13) Когда кулачок неподвижен w1= 0 , реакция в опоре F10 = - G. При вращении кулачка , реакция в опоре равна векторной сумме сил тяжести и центробежной силы инерции Рис 5.13 При проектировании детали типа кулачка уравновешиваются так: в деталь с центром на оси вращения вписывается окружность, подсчитываются площади ограниченные контуром кулачка и расположенные вне или внутри окружности, определяется массы и центры масс Sn неуравновешенных частей кулачка, находится эксцентриситет e1 центра масс S1 кулачка по величине и направлению и определяется его дисбаланс с помощью корректирующей массы mk, размещаемой на эксцентриситете ek, создается дисбаланс Dk равный по величине и противоположный по направлению D1.

Динамическое уравновешивание при проектировании.

Динамическое уравновешивание при проектировании проводят с деталями и узлами, в которых массы распределены относительно оси вращения неравномерно, например, детали типа коленчатого вала. Эти детали делят на несколько дисков и в каждом диске, также как при статическом уравновешивании, определяют величину и направле ние дисбаланса Di . Рис 5.14 На детали выбирают две плоскости коррекции и каждый вектор дисбаланса расклад ывают на две составляющие, расположенные в плоскостях коррекции.Затем составляю щие векторы дисбалансов в плоскостях коррекции суммируются и их равнодействующи й дисбаланс, например, DI, уравновешивается соответств ующей корректирующей массой mIk . Пример такого уравновешивания изображен на рис. 5.14.

Рис 5.15 Схема размещения корректирующих масс в плоскостях коррекции.

Виброзащита машин и механизмов

ЛЕКЦИЯ 9

Краткое содержание: Виброзащита машин и механизмов. Методы виброзащиты. Взаимодействие двух подвижных звеньев. Подрессоривание и виброизоляция. Динамическое гашение колебаний. Трение в механизмах. Виды трения. Силы в кинематических парах с учетом трения. Силовой расчет механизмов с учетом сил трения. Понятие о КПД механической системы. КПД механической системы при последовательном и параллельном соединении механизмов. Приложение: Метод планов положений, скоростей и ускорений при анализе простейшего кулисного механизма.
Виброзащита в машин и механизмов.
Как отмечалось ранее, при движении механической системы под действием внешних сил в ней возникают механические колебания или вибрации. Эти вибрации оказывают влияние на функционирование механизма и часто ухудшают его эксплуатационные характеристики: снижают точность, уменьшают КПД и долговечность машины, увеличивают нагрев деталей, снижают их прочность, оказывают вредное воздействие на человека-оператора. Для снижения влияния вибраций используют различные методы борьбы с вибрацией. С одной стороны при проектировании машины принимают меры для снижения ее виброактивности (уравновешивание и балансировка механизмов), с другой - предусматриваются средства защиты как машины от вибраций, исходящих от других машин (для рассматриваемой машины от среды), так среды и операторов от вибраций данной машины.
Методы виброзащиты.
Существующие виброзащитные устройства по методу снижения уровня вибраций делятся на:

динамические гасители или антивибраторы, в которых опасные резонансные колебания устраняются изменением соотношения между собственными частотами системы и частотами возмущающих сил;

виброизоляторы, в которых за счет их упругих и демпфирующих свойств уменьшается амплитуда колебаний как на резонансных и нерезонансных режимах.

Взаимодействие двух подвижных звеньев.
Рассмотрим механическую систему (рис. 9.1), состоящую из двух подвижных звеньев, образующих между собой кинематическую пару.
Для упрощения предположим, что движение звеньев возможно только по одной координате x. Масса первого звена m1 , второго - m2 . На звено 2 действует периодическая внешняя сила F2 = F20 *sin wt , действием сил веса принебрегаем Уравнения движения звеньев

Если считать, что контакт между звеньями в процессе движения не нарушается и тела абсолютно жесткие, то x = x1 = x2

С учетом F21 = - F12, определим реакцию в точке контакта между звеньями

Откуда

и после преобразований

F21 (m1 + m2)/(m1+ m2) = - F2 / m2 ,

F21 = - F2* m1 / (m1 + m2).



Проанализируем эту зависимость:

если m1 => 0, то F21 => 0 ; если m2=> 0 , то F21 => F2 ;

если m2 = m1 = m , то F21 => - 0.5*F2 ;

если m2 =>? , то F21 => 0 ;

eсли m1 => ? , то F21 => - F2 .

Анализ показывает, что реакция взаимодействия между звеньями зависит от соотношения их масс и величины внешней силы. При этом кинетическая энергия системы

а потенциальная равна нулю.

Подрессоривание или виброизоляция.

При виброизоляции между рассматриваемыми звеньями устанавливают линейный или нелинейный виброизолятор, который обычно состоит из упругого и демпфирующего элементов (рис. 9.2).

В этой механической системе x2 >x1 ( предположим, что x2 >x1 ) и D x = x2 - x1 , тогда кинетическая энергия системы

а потенциальная

U = c* D x2 / 2.

То есть в системе с виброизолятором только часть работы внешней силы расходуется на изменение кинетической энергии. Часть этой работы переходит в потенциальную энергию упругого элемента и часть рассеивается демпфером (переходит в тепло и рассеивается в окружающей среде).

Уравнения движения

Решение этой системы уравнений подробно рассматривается в курсе теории колебаний, поэтому ограничимся только анализом амплитудно-частотной характеристики. Характеристику построим в относительных координатах D xотн = x/xст , где xст - статическая деформация упругого элемента.

Рис. 9.3

Динамическое гашение колебаний.

Динамические гасители или антивибраторы широко применяются в машинах работающих в установившихся режимах для отстройки от резонансных частот (например, в судовых двигателях внутреннего сгорания).


Динамические гасители могут быть выполнены в виде упругого или физического маятника. Рассмотрим простейший линейный упругий динамический гаситель (рис.9.4). Принцип действия динамического гасителя заключается в создании гасителем силы направленной противоположно возмущающей силе. Настройка динамического гасителя заключается в подборе его собственной частоты: собственная частота гасителя должна быть равна частоте тех колебаний, амплитуду которых необходимо уменьшить (“погасить”)

где w 0г - собственная частота гасителя, mг - масса гасителя, сг - жесткость пружины гасителя.

Уравнения движения системы с динамическим гасителем, схема которого изображена на рис. 9.4

где D x = x - xг - деформация пружины гасителя.

Рис 9.4 На рис. 9.5 приведены амплитудно-частотные характеристики этой системы без динамического гасителя и с динамическим гасителем. Как видно из этих характеристик, при установке динамического гасителя амплитуда на частоте настройки резко снижается, однако в системе вместо одной собственной частоты возникает две. Поэтому динамические гасители эффективны только в узком диапазоне частот вблизи частоты настройки гасителя. Изображенные на рисунке кривые 1 и 2 относятся к динамическому гасителю без демпфирования. При наличии в системе демпферов форма кривой изменяется (кривая 3): амплитуды в зонах гашения увеличиваются, а зонах резонанса - уменьшаются.

Подробнее с вопросами виброзащиты машин можно познакомиться в учебной [ 9.1, 9.2 ] или специальной литературе [ 9.3 , 9.4 ].

Трение в механизмах. Виды трения.

Способность контактирующих поверхностей звеньев сопротивляться их относительному движению называется внешним трением. Трение обусловлено неидеальным состоянием контактирующих поверхностей (микронеровности, загрязнения, окисные пленки и т.п.) и силами межмолекулярного сцепления. Трение в кинематических парах характеризуется силами трения и моментами сил трения. Силой трения называется касательная составляющая реакции в КП (составляющая направленная по касательной к контактирующим поверхностям), которая всегда направлена против вектора скорости относительного движения звеньев.


Различают следующие виды трения:

трение покоя проявляется в момент, когда два тела находящиеся в состоянии относительного покоя начинают относительное движение (касательную составляющую возникающую в зоне контакта до возникновения относительного движения, в условиях когда она меньше силы трения покоя, будем называть силой сцепления; максимальная величина силы сцепления равна силе трения покоя);

трение скольжения появляется в КП при наличии относительного движения звеньев; для большинства материалов трение скольжения меньше трения покоя;

трение качения появляется в высших КП при наличии относительного вращательного движения звеньев вокруг оси или точки контакта;

трение верчения возникает при взаимодействии торцевых поверхностей звеньев вращательных КП (подпятники).

Кроме того по наличию и виду применяемых смазочных материалов различают:

Сила трения покоя зависит от состояния контактных поверхностей звеньев, а сила трения скольжения - также и от скорости скольжения. Определение зависимости трения скольжения от скорости возможно только в некоторых наиболее простых случаях. Пример диаграммы такой зависимости дан на рис. 9.6.

Трение скольжения согласно закону Кулона-Амонтона пропорционально нормальной составляющей реакции в КП

Fтр ij = f ? F nij ,

где f - коэффициент трения скольжения .

Силы в кинематических парах с учетом трения.

1. Поступательная КП (рис.9.7).

При силовом расчете с учетом трения в поступательной КП определяются:

реактивный момент Mij ,

величина реакции Fij ;

направление вектора Fij ;

известны: точка приложения силы - геометрический центр кинематической пары A1п. и коэффициент трения скольжения f .

Полная величина реакции в КП равна векторной сумме

где Fтр ij = F nij *tg j = F nij *f - сила трения скольжения, j - угол трения , f - коэффициент трения скольжения (tg j » f , так как j мало).

Если tg j » f => 0, то Fij => F nij , т.е. к решению без учета трения.

Число неизвестных в поступательной КП при силовом расчете с учетом трения увеличилось и равно ns = 3.


2. Вращательная КП Силовой расчет с учетом трения является моделью КП более высокого уровня, с большей степенью приближения модели к реальной КП. При этом известны геометрические размеры элементов КП (радиусы цапф) и коэффициент трения скольжения. Так как в реальных парах имеются зазоры, то на расчетной схеме (рис.9.8) пару представляют как высшую.

При силовом расчете c учетом трения во вращательной КП определяются:

направление реакции Fij ;

величина реакции Fij ;

величина силы трения Fтр ij;

<>известно: линия действия нормальной составляющей проходит через центр КП точку B1в. , коэффициент трения скольжения , радиус цапфы ri » rj .

Момент трения в КП

3. Высшая КП. В высшей паре два относительных движения - скольжение и перекатывание. Поэтому здесь имеют место два вида трения - трение скольжения и трение качения (рис. 9.9).

При силовом расчете в высшей КП определяются:

величина реакции Fij ;

направление реакции Fij ;

момент сил трения Мтрij

известны:

точка приложения силы - точка контакта рабочих профилей кинематической пары С2вп;

направление нормальной составляющей Fnij - контактная нормаль к профилям (размеры и форма профилей заданы);

направление тангенциальной составляющей Fтрij - касательная к профилям в точке контакта;

коэффициенты трения качения k и скольжения f.

Полная величина реакции в КП равна векторной сумме

Число неизвестных в высшей КП при силовом расчете с учетом трения увеличилось с ns = 1 до ns = 3 ( так как в паре имеется два вида трения).

Силовой расчет механизмов с учетом сил трения.

Постановка задачи силового расчета: для исследуемого механизма при известных кинематических характеристиках и внешних силах, а также размерах элементов КП и величинах коэффициентов трения в них, определить уравновешивающую силу или момент (управляющее силовое воздействие) и реакции в кинематических парах механизма.

Методы решения задач силового расчета с учетом трения :

составление общей системы уравнений кинетостатики с уравнениями для расчета сил и моментов сил трения с числом уравнений соответствующим числу неизвестных;

метод последовательных приближений: на первом этапе решается задача кинетостатического расчета без учета трения и определяются нормальные составляющие реакций, по ним рассчитываются силы трения и определяются реакции с учетом трения.

Примечание: силовой расчет с учетом сил трения можно проводить на тех этапах проектирования, когда уже определены размеры элементов КП, материалы звеньев, образующих пары, классы чистоты рабочих поверхностей КП, вид смазки и скорости относительных движений, т.е. параметры по которым можно определить коэффициенты трения. Подробнее с силовым расчетом механизмов с учетом трения можно познакомится в учебнике [ 9.1 ] и в пособии [ 9.5 ].

Понятие о КПД механической системы.

Коэффициентом полезного действия или КПД механической системы называют отношение работы сил полезного сопротивления к работе движущих сил за цикл ( или целое число циклов ) установившегося режима работы.

КПД механизма характеризует его эффективность при преобразовании энергии, определяет соотношение полученной на выходе полезной энергии и энергетических потерь в механизме на трение, перемешивание масла, вентиляцию, деформацию звеньев и др. Величину КПД можно рассчитать по следующей зависимости:

h = | Aj /Ai | = | Аi - Aпот | / | Ai | ,

h = 1 - | Aпот/ Ai | = 1 - y , где Ai - работа движущих сил, Aj - работа сил полезного сопротивления, h - коэффициент полезного действия, y - коэффициент потерь.

Работа движущих сил за цикл

работа сил полезного сопротивления за цикл

где Мдср и Мcср - среднеинтегральные значения движущего момента и момента сил сопротивления,

j in ,j jn и j i0 , j j0 - значения угловых координат звеньев i и j ,соответственно в начале и в конце цикла.

Подставим эти выражения в формулу для КПД и получим

h = | Aj /Ai | = | Мcср *D j j | / | Мдср*D j i | = | Мcср | / | Мдср | ,

где uji - передаточное отношение механизма.

КПД механической системы при последовательном и параллельном соединении механизмов.

при последовательном соединении (рис. 9.11) весь поток механической энергии проходит последовательно через каждый из механизмов

при параллельном соединении механизмов i и j (рис. 9.12) поток механической энергии делится на две части: часть проходящую через механизм i обозначим µ , а часть проходящую через механизм j ? b , причем µ +b = 1.

Литература к лекции 9:

1. Теория механизмов и машин. Под ред. К.В.Фролова. М.: Высшая школа, 1987.

Левитский Н.И. Колебания в машинах: Учебное пособие для втузов. - М: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1988. - 336 с.

Штейнвольф Л.И. Динамические расчеты машин и механизмов. - Москва - Киев: Машгиз., 1961. - 340 с.

Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т./ Ред. совет: В.Н.Челомей и др.,- М.: Машиностроение, 1981. - Т.6, Защита от вибрации и ударов/ Под ред. К.В.Фролова, 1981. - 456с.

Силовой расчет, уравновешивание, проектирование механизмов и механика манипуляторов: Учебное пособие. Под ред. А.К.Мусатова. М.: Изд. МГТУ, 1990.

Волновые передачи

ЛЕКЦИЯ 18

Краткое содержание:
[Назначение и области применения]
[Преимущества и недостатки волновых передач]
[Классификация типовых структурных схем ВЗП]
[Структура волновой зубчатой передачи]
[Кинематика волнового механизма]
[Расчет геометрии волнового зубчатого зацепления] Волновые передачи: Назначение и области применения:
Волновой передачей называется зубчатый или фрикционный механизм, предназначенный для передачи и преобразования движения (обычно вращательного), в котором движение преобразуется за счет волновой деформации венца гибкого колеса специальным звеном (узлом) – генератором волн. Основными элементами дифференциального волнового механизма являются: входной или быстроходный вал с генератором волн, гибкое колесо с муфтой, соединяющей его с первым тихоходным валом, жесткое колесо, соединенное со вторым тихоходным валом, корпус. Рис. 18.1 Существует большое количество конструкций волновых механизмов. Обычно эти механизмы преобразуют входное вращательное движение в выходное вращательное или поступательное. Волновые механизмы можно рассматривать как одну из разновидностей многопоточных планетарных механизмов, так как они обладают многозонным, а в случае зубчатого механизма, и многопарным контактом выходного звена с гибким колесом. Многозонный контакт обеспечивается за счет формы генератора волн (кулачок чаще с двумя, редко с тремя выступами), многопарный – за счет податливости зубчатого венца гибкого колеса. Такое сочетание позволяет волновым механизмам передавать значительные нагрузки при малых габаритах. Податливость зубчатого венца обеспечивает достаточно равномерное распределение нагрузки по зубьям, находящимся в зоне зацепления. При номинальных нагрузках процент зубьев находящихся в зацеплении составляет 15-25% от общего их числа. Поэтому в волновых передачах применяется мелкомодульное зацепление, а числа зубьев колес лежат в пределах от 100 до 600. Зона зацепления в волновой зубчатой передаче совпадает с вершиной волны деформации.
По числу зон или волн передачи делятся на одноволновые, двухволновые и так далее. Передачи с числом волн более трех применяются редко. Распределение передаваемых усилий по нескольким зонам уменьшает нагрузку на элементы пар и позволяет существенно уменьшать габаритные размеры и массу механизмов. Многозонный и многопарный контакт звеньев существенно увеличивает жесткость механизма, а за счет осреднения ошибок и зазоров, уменьшает мертвый ход и кинематическую погрешность механизма. Поэтому волновые механизмы обладают высокой кинематической точностью и, несмотря на наличие гибкого элемента, достаточно высокой жесткостью. Образующиеся в структуре волнового механизма внутренние контуры, увеличивают теоретическое число избыточных или пассивных связей в механизме. Однако гибкое колесо за счет податливости компенсирует ряд возникающих перекосов. Поэтому при изготовлении и сборке волновых механизмов число необходимых компенсационных развязок меньше чем в аналогичных механизмах с жесткими звеньями. Гибкое колесо обеспечивает волновым передачам возможность передачи движения через герметичную стенку, которая разделяет две среды (например, космический аппарат и открытый космос). При этом гибкое колесо выполняется как элемент герметичной стенки, входной вал и генератор волн располагаются по одну сторону стенки (внутри космического аппарата), а выходное звено – по другую (в космическом пространстве). Схема герметичной волновой передачи приведена на рис. 18.2. Рис. 18.2 Преимущества и недостатки волновых передач: Преимущества:

Возможность реализации в одной ступени при двухволновом генераторе волн больших передаточных отношений в диапазоне от 40 до 300.

Высокая нагрузочная способность при относительно малых габаритах и массе.

Малый мертвый ход и высокая кинематическая точность.

Возможность передачи движения через герметичную перегородку.

Малый приведенный к входному валу момент инерции (для механизмов с дисковыми генераторами волн).

Недостатки:

Меньшая приведенная к выходному валу крутильная жесткость.

Сложная технология изготовления гибких зубчатых колес.

Структура волновой зубчатой передачи: Рассмотрим одноволновую зубчатую передачу с генератором волн, который образует с гибким колесом пару скольжения.


Волновая передача не может рассматриваться в рамках ранее принятых нами допущений, так как в ней содержится гибкое звено. Поэтому необходимо определить место гибкого элемента в структуре механизма. Гибкая связь обычно допускает по действием силовых воздействий определенные относительные перемещения соединяемых звеньев. Поэтому ее отнесем к отношениям между элементами или к упругой кинематической паре. Зубчатое колесо представляет собой замкнутую систему зубьев. В каждый рассматриваемый момент в контакте в высшей паре могут находится один или несколько зубьев. Так как зубчатые колеса – звенья, то зубья – элементы высшей кинематической пары. Поэтому многопарный контакт между зубчатыми колесами является контактом между элементами одной кинематической пары. Пассивные или избыточные связи, возникающие в этом контакте, относятся к внутренним связям кинематической пары и в структурном анализе на уровне звеньев не учитываются. Поэтому считаем, что в зацеплении находится один зуб. Структурная схема механизма с остановленным жестким колесом при гибком соединении зуба с валом гибкого колеса может быть представлена следующем образом.

Рис. 18.3 Волновая зубчатая передача с упругой муфтой – стаканом.

Рис. 18.4 Волновая зубчатая передача с волновой зубчатой муфтой.

Рассмотрим звенья и кинематические пары механизмов:

звенья: 0 - корпус с закрепленным на нем жестким колесом.
1 - быстроходный вал с генератором волн.
2 - зуб гибкого колеса.
3 - вал гибкого колеса.

кинематические пары: А1ви Е1в - одноподвижные вращательные пары.
В2н– двухподвижная низшая пара (рис.18.5). Эта пара образована зубом гибкого колеса и кулачком генератора волн. Пара допускает два независимых движения зуба относительно кулачка: по касательной к профилю кулачка (по оси х) и в осевом направлении (по оси у). Вращение зуба вокруг оси у и перемещения его по оси z не являются независимыми и определяются формой профиля кулачка.

Рис. 18.5	Рис. 18.6

D3упр– двухподвижный упругий шарнир (рис.18.6).


Данная кинематическая пара должна обеспечивать зубу гибкого колеса 2 возможность выполнять движения деформации относительно вала 3, но относительные движения в тангенциальном направлении (по оси х) запрещены. Аналогичные движения обеспечивает пара D3муф в зубчатом соединении в волновой зубчатой муфте и пара С3вп в волновом зубчатом зацеплении (рис.18.7). Оси координат в зубчатой паре направляются так:
ось z - по касательной к профилям в точке контакта, ось х – по нормали к профилям и ось у – по линии контакта зубьев.

Рис. 18.7

Подвижность механизма подсчитывается следующим образом: n = 3, p1 = 2, p2 = 1, p3 = 2.
Wпр = 6Ч 3 - 5Ч 2 - 4Ч 1 - 3Ч 2 = 18 – 20 = -2. В механизме имеется одна местная подвижность Wм= 1 – подвижность зуба гибкого колеса в осевом направлении (по оси у).
Заданная или основная подвижность механизма W0= 1. Число избыточных связей в механизме равно:
qпр = W0 + Wм + Wпр = 1+1- (-2) = 4. Эти избыточные или пассивные связи определяют требование параллельности осей пар В,С,D и Е оси пары А. Движение всех звеньев волнового механизма осуществляется в параллельных плоскостях. Поэтому механизм волновой зубчатой передачи можно рассматривать как плоский. В этом случае:
n = 3; p1 = 3; p2 = 2;
Wпл = 3Ч 3 - 2Ч 3 - 1Ч 2 = 9 – 8 = 1.
Wм= 0; W0 = 1; qпл = W0 + Wм + Wпл = 1-1 = 0. Классификация типовых структурных схем ВЗП: В таблице 18.1 приведены наиболее распространенные структурные схемы типовых волновых зубчатых передач, а также диапазоны рекомендуемых передаточных отношений и ориентировочные значения КПД при этих передаточных отношениях. Основное отличие одной схемы от другой заключается в конструкции муфты соединяющей гибкий зубчатый венец с корпусом или с выходным тихоходным валом. В таблице показаны только три наиболее распространенных разновидности: гибкая оболочка в форме стакана, гибкая труба с шлицевым соединением и волновая зубчатая муфта. Если в передаче с гибким колесом – кольцом (в третьей из рассматриваемых схем), второе волновое зацепление выполнить как волновую зубчатую передачу, то получим двухступечатую ВЗП. Таблица 18.1

№	Структурная схема ВЗП	uред	h
1.		50… 300 uh1ж= -zг / (zж- zг)	0.95 ...0.8
2.		50… 300 uh1ж= -zг / (zж- zг)	0.9 ...0.8
3.		2000… 105 uh1ж = z1Чzг / / ( z1Чzг- zмЧzж)	0.2..0.01
40… 300 Если zм= z1, то uh1ж= -zг / (zж- zг)	0.85..0.7

Кинематика волнового механизма:
Рассмотрим идеальную фрикционную волновую передачу. В этой передачи контактирующие поверхности гибкого и жесткого колес будут соответствовать начальным поверхностям зубчатых колес. Толщину гибкого колеса принимаем бесконечно малой. Тогда срединная поверхность гибкого колеса совпадает с его начальной поверхностью. Считаем, что срединная поверхность гибкого колеса нерастяжима, то есть длина ее до и после деформирования колеса генератором волн остается неизменной. Рис. 18.8
На рис.18.8 приняты следующие обозначения: rwу - радиус начальной окружности условного колеса;
rwж - радиус начальной окружности жесткого колеса;
rд - радиус деформирующего диска;
rсг - радиус срединной окружности гибкого колеса;
rсу - радиус срединной окружности условного колеса;
w0 - радиальная деформация гибкого колеса.
Рассмотрим движение звеньев дифференциального волнового механизма относительно генератора волн.
Тогда угловые скорости звеньев изменятся следующим образом: Таблица 18.2

Движение механизма	Звено г	Звено ж	Звено h	Звено 0
относительно стойки	wг	wж	wh	w0=0
относительно генератора волн	w*г=wг-wh	w*ж=wж-wh	wh-wh=0	-wh

В движении звеньев относительно генератора волн скорости звеньев равны угловым скоростям в движении относительно стойки минус угловая скорость генератора. Скорость точки жесткого колеса, совпадающей с полюсом зацепления VPж = (wж- wh) Чrwж,а скорость точки, совпадающей с полюсом на гибком колесе VPг = (wг- wh) Чrwг В полюсе зацепления нет скольжения и VPж = VPг, а так как срединную поверхность оболочки считаем нерастяжимой то VPг = VС . Тогда для движения относительно генератора волн VPж = (wж- wh) Ч rwж ; VС = (wг- wh) Ч rwг VPж = VС Ю (wж- wh) Ч rwж = (wг- wh) Ч rwг (wж- wh)/ (wг- wh) = rwг / rwж = zг / zж ,

zж Ч wж + (zг – zж) Ч wh - zгЧ wг = 0.

Для волнового зубчатого редуктора (1) :

при заторможенном жестком колесе wж= 0

uhгж = wh / wг = - zг / (zж – zг)

при заторможенном гибком колесе wг= 0

uhжг = wh / wж = zж / (zж – zг)

Расчет геометрии волнового зубчатого зацепления:
В расчете геометрии волнового зацепления существует два основных подхода. В первом методе (2) исследуется относительное движение зубьев и, на основе этого, разрабатываются рекомендации по выбору геометрических параметров зацепления. Второй метод (3) основан на использовании расчетного внутреннего зацепления жесткого колеса с условным расчетным колесом. Это колесо вписывается в деформированное гибкое колесо на участке возможного зацепления. Преимуществом первого метода можно считать относительную универсальность, которая позволяет в расчете геометрии учитывать деформации как гибкого, так и жесткого колеса под нагрузкой. Однако разработать рекомендации даже для небольшого количества конструкций ВЗП затруднительно. Второй метод позволяет использовать для расчета геометрии стандартный расчет внутреннего эвольвентного зацепления для пары колес zжи zу.
Число зубьев условного колеса рассчитывается по следующей формуле:

zy = zг / ( 1 ± kb Чmw)

где: mw= w0 / rсг - относительная деформация гибкого колеса.
kb - коэффициент, определяемый углом b
b - угловая координата участка постоянной кривизны деформированной кривой гибкого колеса.После определения zy определяются:

толщина гибкого колеса под зубчатым венцом hc
hc = (60 + 0,2 Ч zг) Чm Чzг Ч10 –4

коэффициент смещения гибкого колеса
xг = (ha* + c* + 0,5 Чhc/m) Чd

относительная деформация
mw = w0 / rсг= ± [(zж – zг) / zг ] Чg

,где при внутреннем деформировании: знак ( + ) , d = 1 , g = 0,95 …1.1
,а при внешнем деформировании: знак ( - ) , d= 0,8.. 0,9 , g = 0,85 …1.1

радиус срединной окружности условного колеса
rcy = ( zг + xг ± ha* ± c* ± 0,5 Чhc/m) Чm

радиус срединной окружности гибкого колеса
rcг = ( zг / zу ) Чrcy

межосевое расстояние
aw = ± rcг Ч( 1 + mw) + rcy

угол зацепления
aw = arccos [± (zж – zy) Чm Чcos a ] / (2 Чaw ).

Далее расчет ведется по стандартному алгоритму расчета внутреннего эвольвентного зацепления (3). Литература:

Гинзбург Е.Г. Волновые зубчатые передачи. – Л.: Машиностроение, 1969. – 159 с., ил.

Волновые механические передачи. Методические рекомендации. – М.: НИИИ по Машиностроению, 1976. – 83 с., ил.

Волновые зубчатые передачи. Роботы-манипуляторы. Конспект лекций. – М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1980. – 58 с., ил.

Цель и задачи курса ОПМ-ТММ

ЛЕКЦИЯ 1

Краткое содержание: Введение. Цель и задачи курса ОПМ-ТММ. Краткая историческая справка. Место курса в системе подготовки инженера. Инженерное проектирование. Основные этапы процесса проектирования. Методы проектирования. Машинный агрегат и его составные части. Классификация машин. Механизм и его элементы. Классификация механизмов.

Введение.
Курс “Теория машин и механизмов” является первой частью общеинженерной дисциплины “Основы проектирования машин”. Вторая часть этой дисциплины называется “Детали машин” или “Основы конструирования машин”. На специальности, по которой Вы проходите подготовку, курс ТММ изучается в течение двух семестров и состоит из:
1-ый семестр. Курс лекций объемом 36 часов, практических занятий (включая два рубежных контроля) - 16 часов, лабораторного практикума - 16 часов. В разделе самостоятельная работа два домашних задания: 1-ое домашнее задание “Структурный и кинематический анализ рычажного механизма”; 2-ое домашнее задание “Кинетостатический силовой расчет рычажного механизма”. Семестр завершается дифференцированным зачетом с учетом рейтинга по домашним заданиям, рубежным контролям и лабораторным работам.
2-ой семестр. Курсовая работа (проект) с объемом 4 листа графической части и пояснительная записка на 30-50 рукописных (машинописных) страниц. Содержание листов курсовой работы: лист 1 - динамический анализ машинного агрегата, лист 2 - кинетостатический силовой расчет основного рычажного механизма, лист 3 -проектирование механизмов с зубчатыми передачами, лист 4 - проектирование кулачковых механизмов. Курсовая работа защищается комиссии из двух преподавателей, по ней проставляется дифференцированный зачет.
Рекомендуемая основная литература

Теория механизмов и машин. Под ред. К.В.Фролова. М.: Высшая школа, 1987.

Попов С.А. Курсовое проектирование по теории механизмов и механике машин. - М.: Высшая школа, 1986.

Артоболевкий И.И. Теория механизмов и машин. - М.: Наука, 1988.

Левитский Н.И.
Теория механизмов и машин. - М.,: Наука, 1990. Рекомендуемая дополнительная литература

Теория механизмов. Под ред. В.А.Гавриленко. М.: Высшая школа, 1973.

Заблонский К.И. и др. Теория механизмов и машин. - Киев.: Выша школа, 1989.
Цель и задачи курса.
Теория механизмов и машин - научная дисциплина (или раздел науки), которая изучает строение (структуру), кинематику и динамику механизмов в связи с их анализом и синтезом.(И.И.Артоболевский)
Цель ТММ - анализ и синтез типовых механизмов и их систем.
Задачи ТММ: разработка общих методов исследования структуры, геометрии, кинематики и динамики типовых механизмов и их систем.
Типовыми механизмами будем называть простые механизмы, имеющие при различном функциональном назначении широкое применение в машинах, для которых разработаны типовые методы и алгоритмы синтеза и анализа.
Рассмотрим в качестве примера кривошипно-ползунный механизм. Этот механизм широко применяется в различных машинах: двигателях внутреннего сгорания, поршневых компрессорах и насосах, станках, ковочных машинах и прессах. В каждом варианте функционального назначения при проектировании необходимо учитывать специфические требования к механизму. Однако математические зависимости, описывающие структуру, геометрию, кинематику и динамику механизма при всех различных применениях будут практически одинаковыми. Главное или основное отличие ТММ от учебных дисциплин изучающих методы проектирования специальных машин в том, что ТММ основное внимание уделяет изучению методов синтеза и анализа, общих для данного вида механизма, независящих от его конкретного функционального назначения. Специальные дисциплины изучают проектирование только механизмов данного конкретного назначения, уделяя основное внимание специфическим требованиям. При этом широко используются и общие методы синтеза и анализ, которые изучаются в кусе ТММ.

Краткая историческая справка
Как самостоятельная научная дисциплина ТММ, подобно другим прикладным разделам науки, возникла в результате промышленной революции начало которой относится к 30-м годам XVIII века.


Однако машины существовали за долго до этой даты. Поэтому в истории развития ТММ можно условно выделить четыре периода:
1-й период до начала XIX века - период эмпирического машиностроения в течение которого изобретается большое количество простых машин и механизмов: подъемники, мельницы, камнедробилки, ткацкие и токарные станки, паровые машины (Леонардо да Винчи, Вейст, Ползунов, Уатт). Одновременно закладываются и основы теории: теорема о изменении кинетической энергии и механической работы, “золотое правило механики”, законы трения, понятие о передаточном отношении, основы геометрической теории циклоидального и эвольвентного зацепления ( Карно, Кулон, Амонтон, Кадано Дж., Ремер, Эйлер).
2-й период от начала до середины XIX века - период начала развития ТММ . В это время разрабатываются такие разделы как кинематическая геометрия механизмов (Савари, Шаль, Оливье), кинетостатика (Кариолис), расчет маховика (Понселе), классификация механизмов по функции преобразования движения (Монж, Лану) и другие разделы. Пишутся первые научные монографии по механике машин (Виллис, Бориньи), читаются первые курсы лекций по ТММ и издаются первые учебники (Бетанкур, Чижов, Вейсбах).
3-й период от второй половины XIX века до начала XX века - период фундаментального развития ТММ. За этот период разработаны: основы структурной теории (Чебышев, Грюблер, Сомов, Малышев), основы теории регулирования машин (Вышнеградский), основы теории гидродинамической смазки (Грюблер), основы аналитической теории зацепления (Оливье, Гохман), основы графоаналитической динамики (Виттенбауэр, Мерцалов), структурная классификация и структурный анализ (Ассур), метод планов скоростей и ускорений (Мор, Манке), правило проворачиваемости механизма (Грасгоф) и многие другие разделы ТММ.
4-й период от начала XX века до настоящего времени - период интенсивного развития всех направлений ТММ как в России, так и за рубежом. Среди русских ученых необходимо отметить обобщающие работы Артоболевского И.И., Левитского Н.И., Фролова К.В.; в области структуры механизмов - работы Малышева , Решетова Л.Н., Озола О.Г.; по кинематике механизмов - работы Колчина Н.И., Смирнова Л.П., Зиновьева В.А.; по геометрии зубчатых передач - работы Литвина Ф.Л., Кетова Х.Ф., Гавриленко В.А., Новикова М.Л.; по динамике машин и механизмов - Горячкин В.П., Кожевников С.Н., Коловский М.З.


и др. Данное перечисление не охватывает и малой доли работ выдающихся ученых, внесших существенный вклад в развитие ТММ в этот период. Из зарубежных ученых необходимо отметить работы Альта Х., Бегельзака Г., Бейера Р., Крауса Р., Кросли Ф. и многих других.
Основные разделы курса ТММ

структура механизмов и машин;

геометрия механизмов и их элементов;

кинематика механизмов;

динамика машин и механизмов.

Связь курса ТММ с общеобразовательными, общеинженерными и специальными дисциплинами.
Лекционный курс ТММ базируется на знаниях полученных студентом на младших курсах при изучении физики, высшей и прикладной математики, теоретической механики, инженерной графики и вычислительной техники. Знания, навыки и умение приобретенные студентом при изучении ТММ служат базой для курсов детали машин, подъемно-транспортные машины, системы автоматизированного проектирования, проектирование специальных машин и основы научных исследований.

Понятие о инженерном проектировании.
Инженерное проектирование - это процесс, в котором научная и техническая информация используется для создания новой системы, устройства или машины, приносящих обществу определенную пользу [ 7 ].
Проектирование (по ГОСТ 22487-77) - это процесс составления описания, необходимого для создания еще несуществующего объекта (алгоритма его функционирования или алгоритма процесса), путем преобразования первичного описания, оптимизации заданных характеристик объекта (или алгоритма его функционирования), устранения некорректности первичного описания и последовательного представления (при необходимости) описаний на различных языках.
Проект (от латинского projectus - брошенный вперед) - совокупность документов и описаний на различных языках (графическом - чертежи, схемы, диаграммы и графики; математическом - формулы и расчеты; инженерных терминов и понятий - тексты описаний, пояснительные записки), необходимая для создания какого-либо сооружения или изделия.

Методы проектирования.

Прямые аналитические методы синтеза (разработаны для ряда простых типовых механизмов);

Эвристические методы проектирования - решение задач проектирования на уровне изобретений (например, алгоритм решения изобретательских задач [8]);

Синтез методами анализа - перебор возможных решений по определенной стратегии (на пример, с помощью генератора случайных чисел – метод Монте-Карло) с проведением сравнительного анализа по совокупности качественных и эксплуатационных показателей (часто используются методы оптимизации - минимизация сформулированной разработчиком целевой функции, определяющей совокупность качественных характеристик изделия);

Системы автоматизированного проектирования или САПР - компьютерная программная среда моделирует объект проектирования и определяет его качественные показатели, после принятия решения - выбора проектировщиком параметров объекта, система в автоматизированном режиме выдает проектную документацию.

Другие методы проектирования [9, 10, 11].

Основные этапы процесса проектирования.

1.	Осознание общественной потребности в разрабатываемом изделии
2.	Техническое задание на проектирование (первичное описание)
3.	Анализ существующих технических решений
4.	Разработка функциональной схемы
5.	Разработка структурной схемы
6.	Метрический синтез механизма (синтез кинематической схемы)
7.	Статический силовой расчет
8.	Эскизный проект
9.	Кинетостатический силовой расчет
10.	Силовой расчет с учетом трения
11.	Расчет и конструирование деталей и кинематических пар (прочностные расчеты, уравновешивание, балансировка, виброзащита)
12.	Технический проект
13.	Рабочий проект (разработка рабочих чертежей деталей, технологии изготовления и сборки)
14.	Изготовление опытных образцов
15.	Испытания опытных образцов
16.	Технологическая подготовка серийного производства
17.	Серийное производство изделия

Понятие о технической системе и ее элементах.
(из теории технических систем по[11])
Техническая система - ограниченная область реальной действительности, взаимодействующая с окружающей средой U, выполняющая определенные функции F и имеющая структуру S.


Ef, Af - параметры, характеризующие функции F системы;
En An - параметры, не относящиеся к функциям прибора (условия работы, внешние и дополнительные воздействия);
Z - системный оператор;
M - элементы системы;
R - отношения между элементами системы.
Окружающая среда U - совокупность внешних объектов, взаимодействующих с системой.
Функция F - свойство системы, используемое для преобразования входных величин Ef, при внешних и дополнительных воздействиях An и условиях работы En, в выходные величины Af. Функция является объективно измеряемое свойство, которое может быть охарактеризовано параметрами системы. Количество реализуемых системой функций соответствует количеству используемых системой физических свойств. Если система выполняет несколько функций, то различают общую и частные функции. Общая функция охватывает множество всех входных и выходных величин, которое характеризует рассматриваемую систему как одно целое. Частные функции делятся на: главные и вспомогательные - по их значению в выполнении задачи; основные и элементарные - по типу изменения изменений функций в процессе их выполнения.
Структура S - совокупность элементов М и отношений R между ними внутри системы S=(M,R). Элемент системы при проектировании рассматривается, как одно целое, хотя он может иметь различную степень сложности. Если при рассмотрении элемента, не принимается во внимание его форма и внутреннее строение, а рассматривается только выполняемая им функция, то такой элемент называется функциональным. Для механической системы элементами могут быть: деталь, звено, группа, узел, простой или типовой механизм. Деталь - элемент конструкции не имеющий в своем составе внутренних связей (состоящий из одного твердого тела). Звено - твердое тело или система жестко связанных твердых тел (может состоять из одной или нескольких деталей) входящая в состав механизма. Группа - кинематическая цепь, состоящая из подвижных звеньев, связанных между собой кинематическими парами (отношениями), и удовлетворяющая некоторым заданным условиям. Узел - несколько деталей связанных между собой функционально, конструктивно или каким-либо другим образом.


С точки зрения системы узлы, группы, простые или типовые механизмы рассматриваются как подсистемы. Самым низким уровнем разбиения системы при конструировании является уровень деталей ; при проектировании - уровень звеньев. Элементы из системы можно выделить только после определения взаимосвязей между ними, которые описываются отношениями. Для механических систем интерес представляют отношения определяющие структуру системы и ее функции, т.е. расположения и связи. Расположения - такие отношения между элементами, которые описывают их геометрические относительные положения. Связи - отношения между элементами, предназначенные для передачи материала, энергии или информации между элементами. Связи могут осуществляться с помощью различных физических средств: механических соединений, жидкостей, электромагнитных или других полей, упругих элементов. Механические соединения могут быть подвижными(кинематические пары) и неподвижными. Неподвижные соединения делятся на разъемные (винтовые, штифтовые) и неразъемные (сварные, клеевые).

Машины и их классификация.
Машина - техническое устройство, выполняющее преобразование энергии, материалов и информации с целью облегчения физического и умственного труда человека, повышения его качества и производительности.
Существуют следующие виды машин:
1. Энергетические машины - преобразующие энергию одного вида в энергию другого вида. Эти машины бывают двух разновидностей:
Двигатели (рис.1.2), которые преобразуют любой вид энергии в механическую (например, электродвигатели преобразуют электрическую энергию, двигатели внутреннего сгорания преобразуют энергию расширения газов при сгорании в цилиндре).

Рис.1.2

Генераторы (рис.1.3), которые преобразуют механическую энергию в энергию другого вида (например, электрогенератор преобразует механическую энергию паровой или гидравлической турбины в электрическую).

Рис.1.3

2. Рабочие машины - машины использующие механическую энергию для совершения работы по перемещению и преобразованию материалов.


Эти машины тоже имеют две разновидности:
Транспортные машины (рис.1.4), которые используют механическую энергию для изменения положения объекта (его координат).

Рис.1.4

Технологические машины (рис.1.5), использующие механическую энергию для преобразования формы, свойств, размеров и состояния объекта.

Рис.1.5

3. Информационные машины - машины, предназначенные для обработки и преобразования информации. Они подразделяются на:
Математические машины (рис.1.6), преобразующие входную информацию в математическую модель исследуемого объекта.

Рис.1.6

Контрольно-управляющие машины (рис.1.7), преобразующие входную информацию (программу) в сигналы управления рабочей или энергетической машиной.

Рис.1.7

4. Кибернетические машины (рис.1.8) - машины управляющие рабочими или энергетическими машинами, которые способны изменять программу своих действий в зависимости от состояния окружающей среды (т.е. машины обладающие элементами искусственного интеллекта).

Рис.1.8

Понятие о машинном агрегате.
Машинным агрегатом называется техническая система, состоящая из одной или нескольких соединенных последовательно или параллельно машин и предназначенная для выполнения каких-либо требуемых функций. Обычно в состав машинного агрегата входят : двигатель, передаточный механизм и рабочая или энергетическая машина. В настоящее время в состав машинного агрегата часто включается контрольно-управляющая или кибернетическая машина. Передаточный механизм в машинном агрегате необходим для согласования механических характеристик двигателя с механическими характеристиками рабочей или энергетической машины.
Схема машинного агрегата.

Рис.1.9

Механизм и его элементы.
В учебной литературе используются несколько определений механизма: Первое: Механизмом называется система твердых тел, предназначенная для передачи и преобразования заданного движения одного или нескольких тел в требуемые движения других твердых тел [4, 12].
Второе: Механизм - кинематическая цепь, в состав которой входит неподвижное звено (стойка) и число степеней свободы которой равно числу обобщенных координат, характеризующих положение цепи относительно стойки [1, 3, 5, 6].


Третье: Механизмом называется устройство для передачи и преобразования движений и энергий любого рода [13].
Четвертое: Механизм - система твердых тел, подвижно связанных путем соприкосновения и движущихся определенным, требуемым образом относительно одного из них, принятого за неподвижное [14].
В этих определениях использованы раннее не определенные понятия:
Звено - твердое тело или система жестко связанных тел, входящих в состав механизма. Кинематическая цепь - система звеньев, образующих между собой кинематические пары. Кинематическая пара - подвижное соединение двух звеньев, допускающее их определенное относительное движение. Стойка - звено, которое при исследовании механизма принимается за неподвижное. Число степеней свободы или подвижность механизма - число независимых обобщенных координат однозначно определяющее положение всех его звеньев на плоскости или в пространстве.
Из теоретической механики: Системы материальных тел (точек), положения и движения которых подчинены некоторым геометрическим или кинематическим ограничениям, заданным наперед и не зависящим от начальных условий и заданных сил, называется несвободной. Эти ограничения наложенные на систему и делающие ее несвободной называются связями. Положения точек системы допускаемые наложенными на нее связями называются возможными. Независимые друг от друга величины q1,q2, ... qn, вполне и однозначно определяющие возможные положения системы в произвольный момент времени называются обобщенными координатами системы.
Недостатками этих определений являются: первое не отражает способности механизма преобразовывать не только движение, но и силы; второе не содержит указания выполняемой механизмом функции. Оба определения входят в противоречия с определением технической системы. Учитывая сказанное, дадим следующую формулировку понятия механизм:
Механизмом называется система, состоящая из звеньев и кинематических пар, образующих замкнутые или разомкнутые цепи, которая предназначена для передачи и преобразования перемещений входных звеньев и приложенных к ним сил в требуемые перемещения и силы на выходных звеньях.


Здесь: входные звенья - звенья, которым сообщается заданное движение и соответствующие силовые факторы (силы или моменты); выходные звенья - те, на которых получают требуемое движение и силы.
Начальное звено - звено, координата которого принята за обобщенную. Начальная кинематическая пара - пара, относительное положение звеньев в которой принято за обобщенную координату.

Классификация механизмов.
Механизмы классифицируются по следующим признакам:

По области применения и функциональному назначению:

механизмы летательных аппаратов;

механизмы станков;

механизмы кузнечных машин и прессов;

механизмы двигателей внутреннего сгорания;

механизмы промышленных роботов (манипулятороы);

механизмы компрессоров;

механизмы насосов и т.д.

по виду передаточной функции на механизмы:

с постоянной передаточной функцией;

с переменной передаточной функцией:

с нерегулируемой (синусные, тангенсные);

с регулируемой:

со ступенчатым регулированием (коробки передач);

с бесступенчатым регулированием (вариаторы).

по виду преобразования движения на механизмы преобразующие :

вращательное во вращательное:

редукторы wвх > wвых;

мультипликаторы wвх < wвых;

муфты wвх = wвых;

вращательное в поступательное;

поступательное во вращательное;

поступательное в поступательное.

по движению и расположению звеньев в пространстве:

пространственные;

плоские;

сферические.

Все механизмы являются пространственными механизмами, часть механизмов, звенья которых совершают движение в плоскостях параллельных одной плоскости, являются одновременно и плоскими, другая часть механизмов, звенья которых движутся по сферическим поверхностям экивидистантным какой-либо одной сфере, являются одновременно и сферическими.

Рис.1.10

по изменяемости структуры механизма на механизмы:

с неизменяемой структурой;

с изменяемой структурой.

В процессе работы кривошипно-ползунного механизма насоса его структурная схема все время остается неизменной. В механизмах манипуляторов в процессе работы структурная схема механизма может изменяться.


Так если промышленный робот выполняет сборочные операции , например, вставляет цилиндрическую деталь в отверстие, то при транспортировке детали его манипулятор является механизмом с открытой или разомкнутой кинематической цепью. В тот момент когда деталь вставлена в отверстие, кинематическая цепь замыкается , структура механизма изменяется, подвижность уменьшается на число связей во вновь образованной кинематической паре деталь-стойка.

Рис.1.11

Структура манипулятора изменяется и тогда, когда в одной или нескольких кинематических парах включается тормоз. Тогда подвижное соединение двух звеньев заменяется неподвижным, два звена преобразуются в одно. На рис. 1.13 тормоз включен в паре С.

Рис.1.12

по числу подвижностей механизма:

с одной подвижностью W=1;

с несколькими подвижностями W>1:

суммирующие (интегральные);

разделяющие (дифференциальные).

Рис.1.13

по виду кинематических пар (КП):

с низшими КП ( все КП механизма низшие );

с высшими КП ( хотя бы одна КП высшая );

шарнирные (все КП механизма вращательные - шарниры).

по способу передачи и преобразования потока энергии:

фрикционные ( сцепления );

зацеплением;

волновые (создание волновой деформации);

импульсные.

по форме, конструктивному исполнению и движению звеньев:

рычажные ( рис.1.14);

зубчатые ( рис.1.15);

кулачковые ( рис. 1.16);

планетарные ( рис. 1.17);

манипуляторы ( рис.1.11-1.12).

Рис.1.14	Рис.1.15
Рис.1.16	Рис.1.17

Список дополнительной литературы к Лекции 1.

П.Хилл Наука и искусство проектирования. Методы проектирования, научное обоснование решений. Пер. с англ., Под ред. Венды В.Ф., М.: Мир, 1973.

Альтшуллер Г.С. Алгоритм изобретения. М.: Московский рабочий, 1973.

Джонс Дж. К. Методы проектирования. / Пер. с англ. 2-е изд. М.: Мир. 1986.

Дитрих Я. Проектирование и конструирование: Системный подход. Пер. с польск. - М.: Мир, 1981.

Конструирование приборов. В 2-х книгах. / Под ред. В.Краузе. - М.: Машиностроение. 1987.

Крайнев А.Ф. Словарь-справочник по механизмам. - М.: Машиностроение. 1981.

Р.Бейер Кинематический синтез механизмов: Основы теории метрического синтеза плоских механизмов. / Пер.с нем. М.: Машгиз. 1959.

Теория механизмов и механика машин. Под ред. К.В.Фролова. М.: Высшая школа, 1998.

Введение в теорию высшей пары

ЛЕКЦИЯ 11

Краткое содержание: Введение в теорию высшей пары, основные понятия и определения. Механизмы с высшими кинематическими парами и их классификация. Передачи сцеплением и зацеплением. Основная теорема зацепления. Понятие о полюсе и центроидах. Сопряженные профили в высшей КП. Следствия основной теоремы зацепления. Первое следствие: скорость скольжения профилей в высшей КП. Второе следствие: центр вращения ведущего звена. Угол давления в механизмах с высшими КП. Зубчатые передачи и их классификация. Эвольвентная зубчатая передача. Эвольвента окружности и ее параметрические уравнения. Эвольвентное зацепление и его свойства.
Введение в теорию высшей пары, основные понятия и определения.
Два твердых тела (звена), соприкасающиеся своими поверхностями и имеющие возможность двигаться относительно друг друга, образуют кинематическую пару. Кинематическая пара допускает не любое движение звеньев относительно друг друга, а только такое движение, которое согласуется с характером соприкосновения и с формой соприкасающихся поверхностей.
Если звенья, образующие КП, в силу характера их соприкосновения, могут совершать только простейшие движения относительно друг друга ( вращательное, прямолинейное поступательное или, в общем случае, винтовое ), то пара является низшей. Низшая пара - пара, в которой требуемое относительное движение звеньев обеспечивается соприкасанием ее элементов по поверхности ( фактическое соприкасание звеньев в низшей паре возможно как по поверхности, так и по линиям и точкам ). В таких парах движение одного звена относительно другого представляет собой чистое скольжение, причем может иметь место поверхностный контакт - соприкасание звеньев по плоскости, цилиндрической или винтовой поверхности. Такая поверхность контакта может двигаться, “как бы оставаясь в самой себе”.
Более сложные относительные движения можно реализовать в парах, характер соприкасания звеньев в которых допускает не только относительное скольжение, но и перекатывание.
Такие пары называются высшими. Высшая пара - пара, в которой требуемое относительное движение звеньев может быть получено только соприкасанием звеньев по линиям или в точках. В высшей паре поверхностный контакт невозможен, так как он исключает возможность перекатывания тел. Если контакт в высшей КП происходит по линии, то она называется мгновенной контактной линией. Эта линия может быть прямой или кривой, при движении соприкасающихся тел она не только меняет свое положение по отношению к звеньям и к неподвижному пространству, но может менять и свою форму. Двигаясь относительно каждого из соприкасающихся звеньев, эта линия как бы “покрывает”, описывает или формирует его поверхность. То есть поверхность каждого из звеньев пары можно рассматривать как геометрическое место мгновенных контактных линий в системе координат, связанной со звеном. В неподвижном пространстве эти линии описывают поверхность зацепления - геометрическое место мгновенных контактных линий в неподвижной системе координат. Очевидно, что мгновенная контактная линия - линия пересечения поверхности зацепления с любой из двух соприкасающихся поверхностей. При точечном контакте, контактная точка в системах координат связанных со звеньями описывает некоторую контактную линию на контактирующей поверхности, в неподвижной системе координат - линию зацепления.
Как следует из вышеизложенного, характер относительного движения звеньев КП и геометрия их контактирующих поверхностей находятся в тесной взаимосвязи. Изучение геометрии контактирующих поверхностей в связи с их относительным движением составляет предмет раздела прикладной механики, который называется теорией зацепления [ 1, 2 ].
Механизмы с высшими кинематическими парами и их классификация.
К механизмам с высшими КП относятся любые механизмы в состав которых входит хотя бы одна высшая пара. Простейший типовой механизм с высшей парой состоит из двух подвижных звеньев, образующих между собой высшую кинематическую пару, а со стойкой низшие ( вращательные или поступательные ) пары.


К простейшим механизмам с высшей парой относятся :

фрикционные передачи (рис. 11.3),

зубчатые передачи (рис. 11.2),

кулачковые механизмы (рис. 11.1),

поводковые механизмы (в том числе и мальтийские - рис. 11.4).

Структурные схемы простейших механизмов с высшими КП..
Фрикционными механизмами или передачами сцепления называются механизмы с высшей парой в которых передача движения в высшей паре осуществляется за счет сил сцепления или трения в зоне контакта. Кулачковым механизмом называется механизм с высшей парой, ведущее звено которого выполнено в форме замкнутой криволинейной поверхности и называется кулачком (или кулаком). Зубчатыми механизмами называются механизмы звенья которых снабжены зубьями (зубчатый механизм можно определить как многократный кулачковый, рассматривая зацепление каждой пары зубьев, как зацепление двух кулачков) . Рабочие поверхности зубьев должны быть выполнены так, чтобы обеспечивать передачу и преобразование движения по заданному закону за счет их зацепления . Условия, которым должны удовлетворять рабочие поверхности высших пар, формулируются в разделе теории механизмов - теории зацепления или теории высшей пары.
Основы теории высшей кинематической пары.
Основная теорема зацепления.
Понятие о полюсе и центроидах. Рассмотрим два твердых тела i и j, которые совершают друг по отношению к другу плоское движение. Свяжем с телом i систему координат 0i xiyi , а с телом j систему координат 0jxjyj . Плоское движение тела i относительно тела j в рассматриваемый момент эквивалентно вращению вокруг мгновенного центра скоростей или полюса P. Тогда геометрическое место полюсов относительного вращения в системе координат 0ixiyi называется подвижной Цi, а в системе координат 0jxjyj неподвижной Цjцентроидой. В процессе рассматриваемого движения цетроиды контактируют друг с другом в полюсах относительного вращения и поэтому перекатываются друг по другу без скольжения, т.е.
VPi = VPj ; VPiPj = 0 ;
тогда дуга Swi равна дуге Swj .
Полюс зацепления - мгновенный центр относительного вращения звеньев, образующих кинематическую пару.


Центроида (полоида) - геометрическое место центров (полюсов) относительного вращения в системах координат, связанных со звеньями.
Передаточное отношение для тел совершающих вращательное движение.
Рассмотрим два тела 1 и 2 , совершающих вращательное движение соответственно вокруг центров 01 и 02 с угловыми скоростями w 1 и w 2 (рис. 11.6). Причем нам неизвестно связаны эти тела между собой или нет. Как отмечено выше, полюс относительного вращения этих тел будет лежать в такой общей точке этих тел , где вектора скоростей как первого, так и второго тела будут равны. Для скоростей любой точки первого тела VA = w1*lA01 , для любой точки второго - VВ = w 2*lВ02 . Равенство векторов скоростей по направлению для тел, совершающих вращательное движение, возможно только на линии соединяющей центры вращения тел. Поэтому полюс относительного вращения должен лежать на этой линии. Для определения положения полюса на линии центров составим следующее уравнение
Рис 11.6 VP1 = w1 *l01P = w 1 * rw1,
VP2 = w2 *l02P = w 2 *rw2,
VP1 = VP2 , w1*rw1 = w 2 *rw2
u12 = w1/w2 = ± (rw2/rw1).
Таким образом, полюс относительного вращения звеньев лежит на линии центров и делит ее на отрезки обратно пропорциональные угловым скоростям.
Теорема Виллиса. Передаточное отношение между звеньями совершающими вращательное движение прямопропорционально отношению угловых скоростей и обратно пропорционально отношению расстояний от центров вращения до полюса.
Знак перед отношением показывает внешним (знак +, зацепление внутреннее) или внутренним (знак - , зацепление внешнее) образом делит полюс линию центров на отрезки rw1 = l 01P и rw2 = l 02P . Данная формула получена из рассмотрения вращательного движения двух тел, при этом тела могут быть и не связаны между собой.
Воспользуемся методом обращенного движения и рассмотрим движение нашей системы относительно звена 1. Для этого к скоростям всех звеньев механизма добавим - w 1. Тогда скорости звеньев изменятся следующим образом:

Движение механизма:	Звено 1	Звено 2	Звено 0
исходное	w 1	w 2	w 0 = 0
относительно звена 1	w 1 - w1 = 0	w 21 = w2 - w 1	w 1 = - w01

Скорость любой точки звена 2 в относительном движении будет равно его угловой скорости в этом движении умноженной на расстояние от этой точки до полюса относительного вращения, т.


е.
VO2 = w21*l 02P = (w2 - w1) *rw2 .
Перейдем к рассмотрению двух тел 1 и 2 , совершающих вращательное движение, соответственно вокруг центров 01и 02 с угловыми скоростями w 1 иw2 , и образующих между собой высшую кинематическую пару К (рис. 11.7).
Условием существования высшей кинематической пары является условие неразрывности контакта звеньев, которое заключается в том, что проекции скоростей звеньев в точке контакта на контактную нормаль к профилям должны быть равны
Vпр. n-nK1 = Vпр.n-nK2 или VK2K1* n = 0,
т.е. скалярное произведение вектора относительной скорости в точке контакта на орт нормали равно нулю. Это условие обеспечивается, если скорость относительного движения контактных точек лежит на касательной ( в пространстве в касательной плоскости ). При выполнении этого условия профили не отстают друг от друга ( нарушение контакта приведет к исчезновению пары ), и не внедряются друг в друга
( что при принятом допущении о абсолютно жестких звеньях, невозможно ).
Как было показано выше скорость относительного скольжения в точке контакта равна
VK2K1 = w21 * lKP ,
где lKP - расстояние от контактной точки до полюса относительного вращения. Так как VK2K1 перпендикулярна lKP >, а VK2K1 должна лежать на касательной, то lKP является нормалью к профилям в точке контакта. То есть контактная нормаль к профилям в высшей паре пересекает линию центров в полюсе относительного вращения.
Основная теорема зацепления.
Формулировка анализа. Контактная нормаль к профилям высшей пары пересекает линию центров в полюсе относительного вращения звеньев ( то что полюс делит линию центров на отрезки обратно пропроциональные угловым скоростям было доказано выше ).
Формулировка синтеза. Профили в высшей кинематической паре должны быть выполнены так, чтобы контактная нормаль к ним проходила через полюс относительного вращения звеньев.
Так как положение полюса на линии центров определяет передаточное отношение механизма, то профили удовлетворяющие основной теореме зацепления обеспечивают заданный закон изменения передаточного отношения или являются сопряженными.


Скорость скольжения в высшей КП или перовое следствие основной теоремы зацепления.
Скорость скольжения профилей в высшей КП равна произведению скорости относительного вращения на расстояние от контактной точки до полюса зацепления.
VK2K1 = w21 *l KP = (w2 ±w1) * l KP ,
где верхний знак относится к внешнему зацеплению, нижний - к внутреннему. Зацепление считается внешним, если полюс делит линию центров внутренним образом и направления угловых скоростей звеньев противоположны, и внутренним, если полюс делит линию центров внешним образом (Рис. 17.8) и направления угловых скоростей одинаковы.
Из формулы видно, что скорость скольжения во внутреннем зацеплении много меньше, чем во внешнем.
Определение центра вращения ведущего звена или второе следствие основной теоремы зацепления.
Из схемы, изображенной на рис. 11.7, видно, что
D Kk1k2 ? D K01D и VK2 / lKD = VK1 / l01K = w 1
или lKD = VK2 / w1 = VqK2 ,
т.е. отрезок lKD , отсекаемый от луча, проведенного из точки О2 через точку K, прямой параллельной контактной нормали, равен передаточной функции точки K2.
Второе следствие основной теоремы зацепления.
Формулировка синтеза. Если на продолжении луча, проведенного из точки О2 через точку K, отложить от точки K отрезок длиной lKD = VK2 / w1 = VqK2 и через конец этого отрезка провести прямую параллельную контактной нормали, то эта прямая пройдет через центр вращения ведущего звена точку О1 .
С использованием этого свойства механизма с высшей парой при проектировании кулачковых механизмов определяют радиус начальной шайбы по допустимому углу давления.
Формулировка анализа. Луч проведенный через центр вращения ведущего звена точку О2 параллельно контактной нормали, отсекает на луче проведенном из точки О2 через точку K отрезок lKD = VK2 / w1 = VqK2 , равный передаточной функции точки K2.
Угол давления в высшей паре ( на примере плоского кулачкового механизма ).
Рассмотрим плоский кулачковый механизм с поступательно движущимся роликовым толкателем ( Рис. 11.9).


Из D BPF
tg J = lFP / lKF ,
где
Подставляя эти выражения в формулу для тангенса угла давления, получим
где знак - соответствует смещению оси толкателя (эксцентриситету) вправо от центра вращения кулачка.
Рис. 11.9 Формула Эйлера - Савари.
При синтезе плоских зацеплений широко применяется формула Эйлера-Савари, которая устанавливает связь между радиусами кривизны центроид и радиусами кривизны профилей высшей пары. Эта формула записывается так
(1/rw1) + (1/rw2) = {[1/(r1 - lKP)] + [1/(r2 - lKP)]}* cos j ,
где rw1 и rw2 - радиусы кривизны центроид первого и второго звена в полюсе зацепления, r 1 и r 2 - радиусы кривизны профилей в контактной точке, lKP - расстояние от полюса зацепления до контактной точки, j - угол между контактными нормалями к профилям и центроидам.
Теорема Оливье.
Теорема Оливье является основополагающей теоремой как для плоских, так и для пространственных зацеплений. Она устанавливает основные признаки определяющие свойства зацепляющихся поверхностей, вид их контакта друг с другом.
Теорема Оливье. Пусть F1 , F2 и B некоторые поверхности с определенным абсолютным движением. И пусть F1 и F2 огибающие к B в их относительном движении, где - мгновенные контактные линии. Если K1 -K1 и K2 -K2 имеют общие точки, то поверхности F1 и F2 :

находятся в точечном контакте, если K1 -K1 и K2 -K2 пересекаются в некоторой точке K;

находятся в линейном контакте, если K1 -K1 и K2 -K2 сливаюся в одну линию, образуя K -K.

Рис. 11.10 Теорема Оливье имеет три важных следствия:
Следствие 1. Если оба зубчатых колеса обработаны друг другом, т.е. первое колесо обработано инструментом режущие кромки которого копируют второе колесо, а второое - инструментом режущие кромки которого копируют первое, то эти колеса имеют взаимоогибаемые поверхности зубьев с линейным контактом поверхностей.
Следствие 2. Если оба колеса обработаны инструментами, образующими между собой конгруентную пару, то эти колеса имеют взаимоогибаемые поверхности зубьев с линейным контактом поверхностей.


Следствие 3. Если поверхность зацепления И1 инструмента 1 с колесам 1 и поверхность зацепления И2 инструмента 2 с колесам 2 совпадает с поверхностью зацепления колес 1 и 2, то зубья колес обработанных при таком условии будут иметь линейный контакт.
Зубчатые передачи и их классификация.
Зубчатыми передачами называются механизмы с высшими кинематическими парами в состав которых входят зубчатые колеса, рейки или секторы - звенья, снабженные профилироваными выступами или зубьями. Зубчатые передачи бывают простые и сложные. Простая зубчатая передача - трехзвенные механизм, состоящий из двух зубчатых колес и стойки, в котором зубчатые колеса образуют между собой высшую пару, со стойкой - низшие ( поступательные или вращательные ).
Простые зубчатые передачи классифицируются:

по виду передаточной функции (отношения)

с постоянным передаточным отношением;

с переменным передаточным отношением;

по расположению осей в пространстве

с параллельными осями;

с пересекающимися осями;

с перекрещивающимися осями;

по форме профиля зуба

эвольвентным профилем;

с циклоидальным профилем;

с круговым профилем (передачи Новикова);

по форме линии зуба

с прямым зубом;

косозубые;

шевронные;

с круговым зубом;

по форме начальных поверхностей

цилиндрические;

коническое;

гиперболоидные;

по форме и виду зубчатых колес

червячные;

с некруглыми колесами;

винтовые.

Эвольвентная зубчатая передача.
Эвольвентная зубчатая передача - цилиндрическая зубчатая передача, профили зубьев которой выполнены по эвольвенте окружности.
Эвольвента окружности и ее свойства.
Эволютой называется геометрическое место центров кривизны данной кривой. Данная кривая по отношению к эволюте называется эвольвентой. Согласно определению нормаль к эвольвенте ( на которой лежит центр кривизны ) является касательной к эволюте. Эвольвенты окружности описываются точками производящей прямой при ее перекатывании по окружности, которую называют основной.
Свойства эвольвенты окружности:
Форма эвольвенты окружности определяется только радиусом основной окружности rb. При rb ? ? эвольвента переходит в прямую линию.


Производящая прямая является нормалью к эвольвенте в рассматриваемой произвольной точке My. Отрезок нормали в произвольной точке эвольвенты lMyN = r равен радиусу ее кривизны и является касательной к основной окружности.
Эвольвента имеет две ветви и точку возврата М0, лежащую на основной окружности. Эвольвента не имеет точек внутри основной окружности.
Точки связанные с производящей прямой но не лежащие на ней при перекатывании описывают: точки расположенные выше производящей прямой W - укороченные эвольвенты, точки, расположенные ниже производящей прямой L - удлиненные эвольвенты.
Параметрические уравнения эвольвенты получим из схемы, изображенной на рис. 11.11 . Так как производящая прямая перекатывается по основной окружности без скольжения то дуга М0N равна отрезку NMy . Для дуги окружности
М0N = rb*( inv ay - ay ),
из треугольника D OMyN
NMy = rb * tg a y ,
ry = rb / cos a y.
Откуда
inv a y = tg ay - ay ,
ry = rb / cos a y ,
получим параметрические уравнения эвольвенты.
Эвольвентное зацепление и его свойства.
В зубчатой передаче контактирующие элементы двух профилей выполняются по эвольвентам окружности и образуют, так называемое эвольвентное зацепление. Это зацепление обладает рядом полезных свойств, которые и определяют широкое распространение эвольвентных зубчатых передач в современном машиностроении. Рассмотрим эти свойства.
Рис. 11.12 Свойство 1. Передаточное отношение эвольвентного зацепления определяется только отношением радиусов основных окружностей и является величиной постоянной.
u12 = w1 /w2 = rw2 / rw1 = (rb2*cos aw )/ (rb1*cos aw ) = rb2 / rb1 = const.
Свойство 2. При изменении межосевого расстояния в эвольвентном зацеплении его передаточное отношение не изменяется.
u’12 = w1 /w2 = r’w2 / r’w1 = (rb2*cos a ’w )/ (rb1*cos a ’w ) = rb2 / rb1 = const.
u’12 = u12 = rb2 / rb1 = const
Свойство 3. При изменении межосевого расстояния в эаольвентном зацеплении величина произведения межосевого расстояния на косинус угла зацепления не изменяется.
rb1 + rb2 = rw1 * cos aw + rw2 * cos aw = aw * cos aw ,
rb1 + rb2 = r’w1 * cos a ’w + r’w2 * cos a ’w = a’w * cos a ’w ,
aw * cos aw = a’w * cos a ’w = const.
Свойство 4. За пределами отрезка линии зацепления N1N2 рассматриваемые ветви эвольвент не имеют общей нормали, т. е. профили выполненные по этим кривым будут не касаться, а пересекаться. Это явление называется интерференцией эвольвент или заклиниванием.
Литература.

В.А.Гавриленко . Зубчатые передачи в машиностроении (Теория эвольвентных зубчатых передач). М.: Машгиз - 1962, 530 стр., илл.

Ф.Л.Литвин Теория зубчатых зацеплений. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: - Наука - 1968, 584 стр., илл.

Задачи динамики механизмов с учетом податливости звеньев

ЛЕКЦИЯ 21

Краткое содержание: Задачи динамики механизмов с учетом податливости звеньев (с упругими связями). Виды механических колебаний. Динамические модели механизмов с упругими связями (условия и допущения). Двухмассовая модель привода с упругими связями. Определение закона движения динамической модели. Упругие вынужденные колебания в системе. Определение собственных частот колебаний системы. Определение форм колебаний. Моделирование динамических процессов в приводе с упругими связями (влияние жесткости звеньев привода на неравномерность движения, момент в приводе и динамическую ошибку).

Задачи динамики механизмов с учетом податливости звеньев.
Звенья реальных механизмов под действием сил и моментов деформируются. При этом точки или сечения этих звеньев имеют относительные перемещения, которые влияют на их закон движения. Динамические модели реальных механизмов, учитывающие податливость звеньев делятся на дискретные модели и модели с распределенными параметрами. Дискретные модели как более простые применяются чаще. В этих моделях инерционные параметры рассматриваются как сосредоточенные в точках или сечениях звена, а податливость звена представляется как упругая связь (упругая кинематическая пара) между этими массами или моментами инерции.
К основным задачам динамики механизмов с упругими звеньями можно отнести:

определение резонансных режимов работы механической системы и устранение их изменением ее динамических параметров;

снижение виброактивности системы, уровня возбуждаемых ей звуковых (и других) колебаний;

повышение динамической точности;

применения вибраций или колебаний для выполнения технологический операций;

другие задачи.

Эти задачи решаются на базе общих методов исследования динамики линейных и нелинейных механических систем. Каждая из рассматриваемых задач может быть сформулирована как прямая (задача анализа) или как обратная (задача синтеза). В прямых задачах динамики при известных динамических параметрах системы определяют закон ее движения и другие характеристики.
В обратных задачах (задачах синтеза системы) – по заданным параметрам закона движения, частотам или формам колебаний определяются динамические или конструктивные параметры системы – массы, жесткости, коэффициенты демпфирования, внешние силы и другое. Решение обратной задачи или задачи синтеза более сложно, так как часто она имеет множество допустимых решений, из которых необходимо выбрать оптимальное.

Виды механических колебаний.
Механическими колебаниями (или просто колебаниями) называется такое движение механической системы при котором обобщенные координаты и их производные изменяются во времени периодически возрастая или убывая.
Различают следующие виды механических колебаний:

свободные или собственные колебания – происходящие без переменного внешнего воздействия и поступления энергии извне;

периодические – при которых значения обобщенной координаты и ее производных циклически повторяются (если это условие не выполняется, то колебания апериодические);

вынужденные – вызываемые и поддерживаемые переменной во времени внешней силой;

параметрические – вызываемые изменением во времени динамических параметров системы ( жесткости, массы или момента инерции, демпфирования и др.);

автоколебания – стационарные колебания возбуждаемые и поддерживаемые за счет энергии поступающей от источника неколебательного характера, в которой поступление энергии регулируется движением самой системы;

другие виды колебаний.

Динамическая модель системы с упругими связями.
Динамическая модель- математическая модель, которая отражает изменение рассматриваемого явления во времени. При формировании модели некоторыми свойствами объекта пренебрегают (эти свойства называются допущениями), другие свойства сохраняют неизменными (эти свойства называются критериями адекватности модели исследуемому объекту). В данном случае критериями адекватности являются:

кинетические и потенциальные энергии, которыми обладают звенья и упругие элементы объекта, равны кинетической и потенциальной энергии соответствующих элементов модели;

работы внешних сил и моментов для объекта и модели равны;

звенья модели (без учета их деформации) должны двигаться с одной частотой или скоростью.

При формировании дискретной динамической модели принимаем следующие допущения:

деформация упругих связей линейна и подчиняется закону Гука;

инерционные свойства звеньев отображаются сосредоточенными в точках массами или сосредоточенными в сечении моментами инерции;

упругие связи между этими массами и моментами инерции считаем безинерционными;

влиянием нерезонансных частот при резонансе пренебрегаем;

потери энергии при деформации упругих связей не учитываем.

Двухмассовая модель привода с упругими связями.
Рассмотрим механическую систему (рис.21.1), состоящую из двигателя 1, редуктора и исполнительного устройства 2.
На рис.21.1 приняты следующие обозначения:
I1 и I2* - моменты инерции соответственно ротора двигателя и исполнительного устройства, с1 и с2* - крутильные жесткости соответственно входного и выходного валов, Мд и Мс - моменты движущих сил и сил сопротивления, угловые координаты: j1 - ротора двигателя, j1' - шестерни редуктора, j2' - колеса редуктора и j2* - исполнительного устройства.

Рис. 21.1

Согласно принятым допущениям приведем движения всех подвижных звеньев системы к движению с частотой (или скоростью) вала двигателя. Для этого определим приведенные жесткости, моменты и моменты инерции. При этом жесткости приводятся из условия равенства потенциальных энергий деформации, моменты - из условия равенства работ, моменты инерции - из равенства кинетических энергий. Для нашего примера:
Передаточное отношение редуктора:
.
Теорема о изменении кинетической энергии:
,
где
- изменение кинетической энергии системы,
- изменение потенциальной энергии системы,
- работа внешних сил.
Приведенный момент инерции исполнительного устройства
.
Приведенная крутильная жесткость выходного вала
.
Приведенная угловая координата исполнительного устройства
.
Приведенный момент сопротивления на валу исполнительного устройства
.
После приведения к одной частоте вращения расчетная схема динамической модели примет вид, изображенный на рис.21.2.

Рис. 21.2

Два последовательно соединенных элемента системы можно заменить одним эквивалентным, при этом суммируются податливости этих элементов
, .
Окончательно расчетная схема принимает вид:

Рис. 21.3

Определение закона движения динамической модели.
Положение звеньев динамической модели определяется двумя обобщенными координатами и . Уравнения движения динамической модели запишем в виде условий кинетостатического равновесия звеньев 1 и 2:

, .

(21.1)

Разделим первое уравнение системы на I1, а второе - на I2, и получим:

, .

(21.2)

Преобразуем уравнения системы следующим образом. Вычтем и первого уравнения (21.2) второе, а затем просуммируем уравнения (21.1). Тогда системы уравнений запишется в следующем виде:

, .

(21.3)

Обозначим деформацию упругой связи . Ее вторая производная по времени , откуда . Обозначим также: или и .
Подставим эти обозначения в (21.3) и получим:

, .

(21.4)

Упругие вынужденные колебания в системе.
Первое уравнение системы содержит только координату деформации упругой связи и описывает упругие колебания в системе, второе включает и координату связанную с движением системы без деформации . Рассмотрим решение первого уравнения системы при следующих исходных данных:
, .
С учетом этого первое уравнение системы (21.4) запишется так:
. (21.5)
Введем следующие обозначения
, , ,
а также: и , и подставим в (21.5):
. (21.6)
Решение этого уравнения при и начальных условиях :
, (21.7)

где:	- свободные колебания с частотой p, - гармонические колебания с частотой p и с амплитудой зависящей от , - вынужденные колебания с частотой возмущающей силы .

Определение собственных частот колебаний системы.
Рассмотрим свободные колебания рассматриваемой системы, то есть положим и . Тогда система составленная из первого уравнения (21.4) и второго уравнения (21.3) запишется так:

, .

(21.8)

Ищем решение этой системы в виде:
.
Для этого дифференцируем это выражение два раза:

и подставляем в систему (21.8):
,
.
Из первого уравнения если , то и .
Из второго уравнения если , то и . Нулевые частоты соответствуют движению системы без деформации.

Определение форм колебаний.
При деформации системы ее собственная частота не равна нулю . Тогда и . Если принять , то и эпюра угловых координат по длине упругой связи будет иметь следующий вид:

Рис. 21.4

При движении системы без деформации собственная частота колебаний равна нулю . Тогда , и . Эпюра угловых координат для движения без деформации показана на рис.21.5.

Рис. 21.5

Пример для системы без упругих связей.
Если в рассмотренной модели принять с1 и с2 стремятся к бесконечности, то стремится к и стремится к . Расчетная схема этой динамической модели приведена на рис. 21.6, где:

Рис. 21.6

IпрS - приведенный суммарный момент инерции ; MпрS - приведенный суммарный момент внешних сил ; DТ - изменение кинетической энергии . Уравнение движения для этой модели: .

Моделирование динамических процессов в приводе с упругими связями.
Рассмотренные выше уравнения движения механической системы можно использовать при моделировании поведения этой системы при различных значениях ее параметров. Ниже (на рис. 21.7) приведены результаты исследования влияния жесткости с на неравномерность вращения Dw, момент в приводе Мп и на динамическую ошибку y.

Рис. 21.7

Задачи механики манипуляторов

ЛЕКЦИЯ 20

Краткое содержание: Задачи механики манипуляторов. Кинематический анализ механизма манипулятора. Динамика манипуляторов промышленных роботов. Уравновешивание манипуляторов. Кинетостатический расчет манипуляторов. Расчет быстродействия привода.

Задачи механики манипуляторов.
К основным задачам механики манипуляторов можно отнести:

разработку методов синтеза и анализа исполнительных механизмов (включая механизмы приводов); программирование движения манипулятора; расчет управляющих усилий и реакций в КП; уравновешивание механизмов манипуляторов; другие задачи.

Эти задачи решаются на базе общих методов исследования структуры, геометрии, кинематики и динамики систем с пространственными многоподвижными механизмами. Каждая из рассматриваемых задач может быть сформулирована как прямая (задача анализа) или как обратная (задача синтеза). При определении функций положения механизма, в прямой задаче находят закон изменения абсолютных координат выходного звена по заданным законам изменения относительных или абсолютных координат звеньев. В обратной – по заданному закону движения схвата находят законы изменения координат звеньев, обычно, линейных или угловых перемещений в приводах. Решение обратной задачи или задачи синтеза более сложно, так как часто она имеет множество допустимых решений, из которых необходимо выбрать оптимальное. В обратной задаче кинематики по требуемому закону изменения скоростей и ускорений выходного звена определяются соответствующие законы изменения скоростей и ускорений в приводах манипулятора. Обратная задача динамики заключается в определении закона изменения управляющих сил и моментов в приводах, обеспечивающих заданный закон движения выходного звена.

Кинематический анализ механизма манипулятора.
Первая и основная задача кинематики – определение функции положения. Для пространственных механизмов наиболее эффективными методами решения этой задачи являются векторный метод и метод преобразования координат.
При решении прямой задачи о положении схвата манипулятора обычно используют метод преобразования координат. Из множества методов преобразования координат [ 1, 2 ] , которые отличаются друг от друга правилами выбора осей локальных систем координат, для манипуляторов обычно используется метод Денавита и Хартенберга.
Опишем два вида матриц:
матрицы М, определяющие отношение между системами координат соседних звеньев;
матрицы Т, определяющие положение и ориентацию каждого звена механизма в неподвижной или базовой системе координат.
Воспользуемся однородными координатами трехмерного проективного пространства РR3, в которых движение евклидова пространства R3 можно представить линейным преобразованием
где Мij – матрица 4x4 вида .
Это преобразование эквивалентно преобразованию в эвклидовом пространстве где . То есть преобразованию, которое включает поворот, определяемый матрицей Uij размерностью 3х3, и параллельный перенос, задаваемый вектором размерностью 3. В однородном пространстве положение точки будут определять не три x, y и z, а четыре величины x', y', z' и t', которые удовлетворяют следующим соотношениям:
x = x'/t', y = y'/t', z = z'/t'.
Обычно принимают t'=1. У матрицы поворота Uij элементами uij являются направляющие косинусы углов между новой осью i и старой осью j. Вектор - трехмерный вектор, определяющий положение начала новой системы координат i в старой системе j. Выбор расположения осей должен соответствовать решаемой задаче. При решении задачи о положениях необходимо: в прямой задаче определить положение выходного звена как функцию перемещений в приводах, в обратной – заданное положение выходного звена представить как функцию перемещений в приводах. Выбор расположения и ориентации локальных систем координат должен обеспечивать выполнение этих задач. При использовании метода Денавита и Хартенберга оси координат располагаются по следующим правилам:
1. Для звена i ось zi направляется по оси кинематической пары, образуемой им со звеном ( i+1).


Начало координат размещают в геометрическом центре этой пары.
2. Ось xi направляется по общему перпендикуляру к осям zi-1 и zi с направлением от zi-1 к zi. Если оси zi-1 и zi совпадают, то xi перпендикулярна к ним и направлена произвольно. Если они пересекаются в центре кинематической пары, то начало координат располагается в точке пересечения, а ось xi направляется по правилу векторного произведения (кратчайший поворот оси zi до совмещения с zi-1 при наблюдении с конца xi должен происходить против часовой стрелки).
3. Ось yi направляется так, чтобы система координат была правой.
В прямой задаче необходимо определить положение схвата манипулятора и связанной с ним системы координат Mxnynzn по отношению к неподвижной или базовой системе координат Kx0y0z0. Это осуществляется последовательными переходами из системы координат звена i в систему координат звена i-1. Согласно принятому методу, каждый переход включает в себя последовательность четырех движений: двух поворотов и двух параллельных переносов, осуществляемых в указанной последовательности (см. рис. 20.1):

поворот i-ой системы вокруг оси xi на угол -qi до параллельности осей zi и zi-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора xi против часовой стрелки);

перенос вдоль оси xi на величину -ai до совмещения начала системы координат Oi с точкой пересечения осей xi и zi-1 (отсчет по оси xi от точки пересечения оси xi и оси zi-1);

Рис. 20.1

перенос вдоль оси zi-1 на величину -si, после которого начало системы координат Oi оказывается в начале координат Oi-1 системы (i-1) (отсчитывается по оси zi-1 от ее начала координат Oi-1 до точки ее пересечения с осью xi);

поворот вокруг оси zi-1 на угол -ji, до тех пор пока ось xi не станет параллельной оси xi-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора zi-1 против часовой стрелки).

Необходимо отметить, что знак угла поворота не имеет значения, так как в матрицах перехода используются направляющие косинусы (четные функции).


Целесообразно рассматривать угол, обеспечивающий кратчайший поворот оси старой системы i до совмещения (параллельности) с соответствующей осью новой ( i-1). Перемещения начала координат определяются как координаты начала старой системы Oi в новой Oi-1.
В манипуляторах обычно используются одноподвижные кинематические пары или вращательные, или поступательные. Оба относительных движения как вращательное , так и поступательное, реализуются в цилиндрических парах. Поэтому при общем представлении механизма используются (рис.20.1) цилиндрические пары.
Матрицы перехода их системы Oi в систему Oi-1 можно записать так:
,

где:		- матрица поворота вокруг оси xiна угол -qi,
		- матрица переноса вдоль оси xi на -ai,
		- матрица переноса вдоль оси zi-1 на -si,
		- матрица поворота вокруг оси zi-1 на угол -ji.

В этих матрицах переменные si и ji соответствуют относительным перемещениям звеньев в кинематических парах и являются обобщенными координатами манипулятора, определяющими конфигурацию механизма в рассматриваемом положении. Переменные ai и qi определяются конструктивным исполнением звеньев манипулятора, в процессе движения они остаются неизменными.
Положение некоторой произвольной точки М в системе координат звена i определяется вектором rMi, а в системе координат звена (i-1) – вектором rMi-1. Эти радиусы связаны между собой через матрицу преобразования координат Мi следующим уравнением:
,

где:

- матрица перехода из i-ой системы координат в (i - 1)-ю.

Рассмотрим шестиподвижный манипулятор в исходном или начальном положении (рис.20.2). За начальное положение принимается такое, в котором все относительные обобщенные координаты равны нулю. Переход из системы координат любого i–го звена к неподвижной или базовой системе записывается в виде
или ,
где - матрица преобразования координат i–ой системы в координаты базовой системы координат.

Рис. 20.2

Для схемы, изображенной на рис.20.2, радиус rM6 = 0, а радиус rM0 определится по формуле


,
то есть положение выходного звена манипулятора определяется матрицей Тn. Элементы этой матрицы определяют положение центра схвата точки М и ориентацию его в пространстве. Четвертый столбец определяет, декартовы координаты точки М (проекции вектора rM0на оси координат). Третий столбец содержит направляющие косинусы оси zn системы координат, связанной со схватом, или вектора подхода , который характеризует направление губок схвата (рис.20.3). Второй столбец определяет направление оси yn или вектора ориентации , который проходит через центр схвата по оси перпендикулярной рабочим поверхностям его губок. В первом столбце содержатся направляющие косинусы оси xn или вектора . Углом подхода схвата называется угол между вектором подхода и базовым вектором
,
где - орт вектора неподвижной или базовой системы координат. С учетом сказанного, матрица Tnможет быть представлена в следующем виде

Рис. 20.3

В результате матричных преобразований получаем радиус-вектор точки М схвата в функции обобщенных координат. Обычно, за обобщенные координаты принимают линейные и угловые перемещения в кинематических парах или на выходных валах приводов манипулятора. В механизме с n подвижностями в общем виде функцию положения схвата можно записать так

где q1, q2, … qn – обобщенные координаты манипулятора.
При кинематическом анализе манипулятора в прямой задаче необходимо определить линейные и угловые скорости и ускорения схвата при заданных угловых и линейных обобщенных скоростях и ускорениях (обычно относительных скоростях и ускорениях в кинематических парах механизма). В обратной задаче по заданному закону изменения скоростей и ускорений схвата определяются законы изменения скоростей и ускорений в КП или на выходных звеньях приводов. Решение прямой задачи кинематики для точки М схвата можно получить продифференцировав четвертый столбец матрицы Тn по времени
Угловую скорость и угловое ускорение схвата можно определить векторным суммированием относительных угловых скоростей во вращательных КП механизма.


Так как вектора угловых скоростей, при данном выборе ориентации осей координат, совпадают с осью z, то угловая скорость схвата

где орт оси z системы координат, расположенной в центре КП, соединяющей звено i и звено i-1, m – число вращательных КП в механизме.
Дифференцируя это выражение по времени, получим формулу для определения углового ускорения схвата:


Динамика манипуляторов промышленных роботов.
Силовой расчет манипулятора.
Из большого разнообразия задач динамики манипуляторов рассмотрим две: силовой расчет и расчет быстродействия ПР. При силовом расчете манипуляторов решается задачи по определению внешних силовых управляющих воздействий, обеспечивающих требуемый закон движения механизма, и по расчету реакций в кинематических парах. Первую часть часто называют задачей синтеза управления . При силовом расчете обычно применяется метод кинетостатики, основанный на принципе Д’Аламбера. По этому методу к внешним силам и моментам, приложенным к звеньям механизма, добавляются расчетные силы инерции, которые обеспечивают силовую уравновешенность системы и позволяют рассматривать подвижную систему в квазистатическом равновесии, то есть, как условно неподвижную. Силовой расчет выполняется при заданной полезной нагрузке , известных законах движения звеньев и (из предварительного кинематического расчета), известных инерционных характеристиках звеньев: массах звеньев mi и их моментах инерции Isi. По этим данным определяются главные вектора и главные моменты сил инерции для каждого из звеньев механизма. Для открытой кинематической цепи решение начинаем с выходного звена – схвата. Отброшенные связи звена n со звеном n-1 и выходным валом привода звена n заменяем реакциями и и составляем кинетостатические векторные уравнения равновесия сил и моментов для звена n (Рис.20.4):


где - вектор момента в кинематической паре (проекция этого вектора на ось z является движущим моментом привода в КП, то есть ).

Рис. 20.4

Проецируя векторные уравнения на оси координат, получим систему шести алгебраических уравнений откуда определим шесть неизвестных



Далее рассматривается равновесие звена n-1. При этом в месте его присоединения к звену n прикладываются реакции со стороны звена n
,
равные по величине и противоположные по направлению реакциям, определенным на предыдущем этапе расчета. Так последовательно составляются уравнения силового равновесия для всех n звеньев механизма. Из решения полученной системы 6n уравнений определяются реакции в кинематических парах, движущие силы и моменты.
Расчет быстродействия промышленного робота.
Время выполнения роботом цикла перемещений детали во многом определяет производительность всего роботизированного комплекса. Поэтому требования к быстродействию робота обычно достаточно высокие. Время выполнения роботом технологической операции обусловлено законами изменения внешних сил (движущих и сопротивления) и инертностью звеньев механизма. Закон изменения управляющих сил зависит от типа используемого привода и от вида системы управления. Существуют роботы с гидравлическими, пневматическими, электрическими и комбинированными приводами. В них применяются цикловые, позиционные или контурные системы управления. Рассмотрим расчет быстродействия одного из приводов промышленного робота с цикловой системой управления. При цикловой системе управления относительные перемещения звеньев ограничиваются передвижными упорами и концевыми выключателями.
На рис. 20.5 изображена кинематическая схема трехподвижного манипулятора ПР (1,2,3 – подвижные звенья, 0 – неподвижное звено). Здесь же приведена циклограмма настройки командоаппарата (сплошные линии) и циклограмма работы ПР (пунктирные линии). Общее время рабочего цикла Тц состоит из времени выстоя в заданных положениях (на циклограмме выстой показан прямыми параллельными горизонтальной оси t) и времени относительных перемещений звеньев из одного заданного положения в другое tпх и обратно tох (наклоные прямые на диаграммах ). Время выстоя обычно задано условиями технологического процесса. Время выполнения роботом движений определяется динамическими характеристиками приводов и манипулятора – движущими силами и силами сопротивления, массами и моментами инерции звеньев.


Циклограммы командоаппарата и промышленного робота.

Рис. 20.5

Рассмотрим работу пневмопривода перемещения руки манипулятора (рис.20.5). По сигналу от командоаппарата в правую полость цилиндра подается сжатый воздух, который действует на поршень с силой Fд3 = p * Sп, где р - давление воздуха, Sп - активная площадь поршня. Под действием этой силы поршень и рука 3 перемещаются влево с постоянным ускорением и с возрастающей скоростью V32 (рис.20.6а). Ограничение хода поршня может осуществляться либо жестким упором без демпфера, либо упором с демпфером.

Рис. 20.6

При остановке на упоре без демпфера , скорость звена 3 должна мгновенно уменьшится с некоторого конечного значения до нуля. При таком изменении скорости ускорение a32 стремится к бесконечности. Такая остановка звена называется жестким ударом. Она сопровождается большими динамическими нагрузками на звенья механизма. Так как реальный манипулятор представляет собой упруго-инерционную систему, то эти нагрузки вызовут отскок звена 3 от упора, а также колебания всего механизма. Схват будет совершать колебания относительно заданного конечного положения. Время затухания этого процесса Dt (рис.20.6а) значительно снижает быстродействие ПР.
Уменьшить эти колебания или вообще исключить их можно, обеспечив безударный останов
V32n = 0, a32n = 0;
где V32n, a32n - относительная скорость и относительное ускорение звеньев в момент останова. Однако это осуществимо только в регулируемом приводе при контурном управлении. Кроме того при безударном останове в конце хода относительная скорость близка к нулю, поэтому время перемещения схвата в требуемое положение значительно возрастает. Компромиссным решением является останов с мягким ударом, при котором относительная скорость в конце хода V32n= 0, а ускорение ограничено некоторым допустимым значением a32n . В механизмах с цикловым управлением режим движения с мягким ударом обеспечивается установкой упоров с демпферами, гасящими кинетическую энергию руки.


Расчет демпфера ведется из условия ASn =0 , которое обеспечивается равенством за цикл движения работы движущей силы AFд3 и работы силы сопротивления демпфера АFc (рис. 20.6б):
AFд3 = -АFc или Fд3 * (H32 – hд) = - Fc * hд.
В этом выражении неизвестны две величины Fc и hд, одной из них задаются, вторую – рассчитывают.

Уравновешивание манипуляторов.
В большинстве кинематических схем манипуляторов приводы восприниамают статические нагрузки от сил веса звеньев. Это требует значительного увеличения мощностей двигателей приводов и моментов тормозных устройств. Для борьбы с этим используют три метода:

Используют кинематические схемы манипуляторов, в которых силы веса звеньев воспринимаются подшипниками кинематических пар. На мощность приводов и тормозных устройств при таком решении силы веса оказывают влияние только через силы трения в парах. В качестве примера можно привести кинематическую схема робота SCARA (рис. 20.7). Недостатком этого метода являются большие осевые нагрузки в подшипниках.

Рис. 20.7

Уравновешивание звеньев манипулятора с помощью корректировки их массы. При этом центр масс звена с помощью корректирующих масс смещается в центр кинематической пары ( рис. 20.8 ). Недостатком этого метода является значительное увеличение массы манипулятора и моментов инерции его звеньев.

Рис. 20.8

Уравновешивание сил веса звеньев манипулятора с помощью упругих разгружающих устройств – пружинных разгружателей или уравновешивателей. Эти устройства не позволяют обеспечить полную разгрузку приводов от действия сил веса на всем относительном перемещении звеньев. Поэтому конструкция этих устройств включает кулачковые или рычажные механизмы, которые согласуют упругую характеристику пружины с характеристикой уравновешиваемых сил веса звеньев. На рис. 20.9 показана схема примышленного робота в котором привод вертикального перемещения руки снабжен механизмом для силовой разгрузки, состоящим из пружины и кулачкового механизма с профилем выполненным по спирали Архимеда.

Рис. 20.9

Точность манипуляторов ПР.
Точность манипуляторов определяется погрешностями позиционирования характеристической точки схвата (точка М) и погрешностями угловой ориентации схвата. Погрешности позиционирования определяются технологическими отклонениями размеров звеньев манипулятора, зазорами в кинематических парах манипулятора и механизмов приводов, деформациями (упругими и температурными) звеньев, а также погрешностями системы управления и датчиков обратной связи. В паспортных данных манипуляторов указывается максимально допустимое отклонение центра схвата манипулятора точки М от ее номинального расположения на множестве возможных конфигураций механизма. В результате погрешностей точка М описывает в пространстве некоторый эллипсоид, который называется эллипсоидом отклонений (рис. 20.10).

Рис. 20.10

Литература

Силовой расчет, уравновешивание, проектирование механизмов и механика манипуляторов: Учебное пособие для студентов смешанной формы обучения / И.Н.Чернышева, А.К.Мусатов,Н.А.Глухов и др.; Под ред. А.К.Мусатова. – М.: Изд-во МГТУ, 1990. – 80с., ил.

Механика промышленных роботов: Учеб. пособие для втузов: В 3-х кн. / под ред. К.В.Фролова, Е.И.Воробьева. – М.: Высш.шк., 1988.

Р.Пол “Моделирование, планирование траекторий и управление движением робота – манипулятора” - М.: Наука, 1976.

Зубчатые передачи с зацеплением М.Л.Новикова

ЛЕКЦИЯ 14

Краткое содержание:

Зубчатые передачи с зацеплением М.Л.Новикова.

Конические зубчатые передачи.

Червячные зубчатые передачи.

Зубчатые передачи с циклоидальными профилями

Зубчатые передачи с зацеплением М.Л.Новикова
С целью повышения несущей способности зубчатых передач М.Л.Новиков [1] разработал новый способ образования сопряженных поверхностей для различных видов зубчатых передач с параллельными, пересекающимися и перекрещивающимися осями. До Новикова исходили из того, что в передачах с параллельными осями поверхности зубьев находятся в линейном контакте, а их торцевые профили являются взаимоогибаемыми кривыми. Новиков предложил перейти от линейного контакта поверхностей к точечному. При этом профили зубьев в торцевом сечении могут быть не взаимоогибаемыми кривыми и их можно выполнять как выпуклый и вогнутый профили с малой разностью кривизн. В передаче с параллельными осями линия зацепления является прямой линией параллельной осям колес. Зацепление Новикова имеет только осевое перекрытие :где b - ширина зубчатого венца, pz - осевой шаг. Поэтому поверхности зубьев выполняются винтовыми (косозубыми) с углом подъема винтовой линии
Одним из основных параметров зацепления Новикова является расстояние от полюса зацепления Р до точки контакта К, которое определяет положение линии зацепления ( прямой К-К параллельной осям вращения и проходящей через точку контакта К ) относительно оси мгновенного относительного вращения Р-Р. Согласно рекомендациям работы [ 14.1 ], это расстояние выбирается в зависимости от величины передаваемой мощности в пределах

Радиусы кривизны рабочих участков профилей рекомендуется выбирать для выпуклой поверхности ,для вогнутой поверхности , где k2 = 0.03 ... 0.1 .
Радиус окружности вершин колеса с выпуклыми зубьями:
где
Дуги рабочих профилей выпуклых зубьев проводят от начальной окружности до окружности вершин. Радиус окружности вершин колеса с вогнутыми зубьями .
где - глубина захода зубьев.
Радиус окружности впадин колеса с выпуклыми зубьями:



где c - радиальный зазор, приблизительно равный

Радиус окружности впадин колеса с вогнутыми зубьями :

где - межосевое расстояние в передаче .



Преимущества зубчатых передач с зацеплением Новикова:

повышенная контактная прочность зубьев, за счет использования зацепления вогнутого профиля с выпуклым ( приведенный радиус кривизны определяется суммой радиусов кривизны профилей );

перекрытие в передачах Новикова обеспечивается только за счет осевого перекрытия, поэтому высота зубьев может быть достаточно малой, что обеспечивает высокую изгибную прочность зубьев ( в целом, по приблизительным оценкам, нагрузочная способность передач Новикова в 2-3 раза выше, чем косозубых эвольвентных передач с одинаковыми размерами);

точечное зацепление (пятиподвижная кинематическая пара) обеспечивает в передачах с зацеплением Новикова меньшую чувствительность к монтажным погрешностям.

К недостаткам передач Новикова можно отнести

более сложную технологию изготовления, за счет использования инструмента с профилями криволинейной конфигурации;

наличие значительных осевых нагрузок на подшипники из-за использования винтовых зубьев с большими углами подъема винтовой линии;

склонность зубьев винтовых колес к излому у торца при входе в зацепление

Конические зубчатые передачи.

Конической называется зубчатая передача, предназначенная для передачи и преобразования вращательного движения между звеньями, оси вращения которых пересекаются.



Схема конической передачи представлена на рис. 14.2. Оси колес зубчатой передачи пересекаются в точке 0. Угол Е между осями колес ( или между векторами угловых скоростей звеньев w1 и w2 ) называется межосевым углом. Этот угол может изменяться в пределах 0° < Е < 180°. При Е= 0° передача превращается в цилиндрическую с внешним зацеплением, а при E= 180° - в цилиндрическую с внутренним зацеплением. Таким образом, коническая передача является общим случаем зубчатой передачи, нежели цилиндрические. Начальные или аксоидные поверхности в конической передаче имеют форму конусов.


Аксоидными называются поверхности, которые образуются осями мгновенного относительного вращения колес, в системах координат связанных с колесами ( звеньями передачи ). Если колеса передачи обработаны без смещения исходного контура, то аксоидные поверхности совпадают с делительными. При относительном движении аксоиды перекатываются друг по другу, при этом скольжение возможно только в направлении оси относительного вращения. Поэтому вектора угловых скоростей звеньев связаны между собой векторным уравнением



если известна величина w1, то из этого уравнения можно определить w1 и w2. Из векторного треугольника D a0b



Передаточное отношение конической передачи



Так как тo



Тогда углы начальных ( делительных при х=0 ) конусов



Геометрия зацепления в конической зубчатой передаче:

Как и в цилиндрических, так и в конических зубчатых передачах наиболее часто применяют эвольвентное зацепление. Эвольвентная поверхность зуба конического колеса образуется при перекатывании производящей плоскости по основному конусу. Эвольвентные кривые формируются на соосных сферических поверхностях с центром в вершине основного конуса. Поэтому для расчета геометрии эвольвентной конической передачи необходимо применять сферическую геометрию. Так как это сложно, то используют приближенный метод расчета геометрии - метод дополнительных конусов [2], предложенный английским столяром Томасом Тредгольдом. При этом методе расчет геометрии проводится для эквивалентного цилиндрического зацепления двух секторов. Эти сектора образуются развертками конусов, которые построены на внешней сфере радиуса R we . Радиусы оснований этих конусов r we1 = r e1 и r we2 = r e2 , а образующие являются касательными к сфере (рис.14.3). Числа зубьев колес эквивалентного цилиндрического зацепления рассчитываются на основании следующих формул



где rte1и rte2 - радиусы торцевых делительных окружностей на внешней сфере, rvte1и rvte2- радиусы делительных окружностей эквивалентного цилиндрического зацепления.

Так как то :




где z1 и z2 - числа зубьев колес конической передачи, zvt1 и zvt2 - числа зубьев колес эквивалентного цилиндрического расчетного зацепления ( эти величины могут быть дробными).



После определения чисел зубьев эквивалентного цилиндрического зацепления, приближенный расчет геометрических параметров для внешнего торца конического зацепления можно проводить по рассмотренным выше формулам цилиндрического эвольвентного зацепления. Радиус внешней сферы (длина образующей начального или делительного конуса)



Ширина зубчатого венца , где b=0.3....0.4 - коэффициент ширины зубчатого венца.

По форме линии зуба конические зубчатые передачи различаются на: прямозубые; косозубые; с круговым зубом; с эвольвентной линией зуба; с циклоидальной линией зуба

Преимущества и недостатки кинических зубчатых передач.

Преимущества:

обеспечение возможности передачи и преобразования вращательного движения между звеньями с пересекающимися осями вращения;

возможность передачи движения между звеньями с переменным межосевым углом при широком диапазоне его изменения;

расширение компоновочных возможностей при разработке сложных зубчатых и комбинированных механизмов.

Недостатки:

более сложная технология изготовления и сборки конических зубчатых колес;

большие осевые и изгибные нагрузки на валы, особенно в связи с консольным расположением зубчатых колес.

Червячные зубчатые передачи.

Червячной - называется зубчатая передача, состоящая из двух подвижных звеньев - червяка и зубчатого колеса и предназначенная для передачи и преобразования вращательного движения между ортагональными перекрещивающимися осями. Червяком называют звено, наружная поверхность которого имеет форму винта. Червячным колесом называется зубчатое колесо с косыми зубьями, которое зацепляется с червяком

Виды червячных передач и червяков ( по ГОСТ 18498-73 ).

по виду делительной поверхности червяка

цилиндрические червячные передачи - червяк и колесо в передаче имеют цилиндрические делительные и начальные поверхности;

глобоидные червячные передачи - делительная и начальная поверхности червяка образованы вращением отрезка дуги делительной или начальной поверхности парного червячного колеса вокруг оси червяка;

по виду теоретического торцового профиля витка червяка

архимедов червяк (ZA) - профиль выполнен по архимедовой спирали;

эвольвентный червяк (ZI) - профиль выполнен по эвольвенте окружности;

конволютный червяк (ZN) - профиль выполнен по удлиненной эвольвенте

Геометрия зацепления цилиндрической червячной передачи

Расчет геометрии зацепления цилиндрической червячной передачи регламентируется ГОСТ 19650 - 74 [3]. Связь между основными параметрами червяка - диаметром начального цилиндра d w1 , ходом винтовой линии pz1 и углом ее наклона bw - устанавливается следующим соотношением





Связь между ходом винтовой линии pz1 и шагом многозаходного винта p1



Расчет геометрии зацепления.

Исходные данные:

m - модуль осевой; q - коэффициент диаметра червяка; z1 - число витков червяка; aw - межосевое расстояние; x - коэффициент смещения червяка; u - передаточное число. Параметры инструмента: h* = (h*w + c*1) - коэффициент высоты витка; h*a - коэффициент высоты головки; s* - коэффициент расчетной толщины; r*f - коэффициент радиуса кривизны переходной кривой; c*1,2 = 0.25 … 0.5 ; s* = 0.75 Ч p ; r*f = 0.3 … 0.45 . Расчет геометрических параметров.

Число зубьев колеса

Коэффициент смещения ( если задано межосевое расстояние )

Межосевое расстояние ( если задан коэффициент смещения )

Делительные диаметры

Начальные диаметры

Делительный угол подъема витка червяка

Начальный угол подъема витка червяка

Основной угол подъема витка червяка ( только для червяков ZI )

и основной диаметр червяка

Высота витка червяка

Высота головки витка червяка

Диаметры вершин витков червяка зубьев червячного колеса в средней торцовой плоскости

Диаметры впадин червяка червячного колеса

Наибольший диаметр червячного колеса

Ширина венца червячного колеса

Длина нарезанной части червяка ( при х= 0 )

Геометрические показатели качества зацепления.

Подрезание зубьев червячного колеса отсутствует если

Заострение зубьев в средней торцовой плоскости отсутствует, если

Заострение зубьев в средней торцовой плоскости отсутствует, если

Преимущества и недостатки червячных зубчатых передач

Преемущества:

благодаря малому числу заходов червяка (z1= 1…4) червячная передача позволяет реализовывать в одной ступени большие передаточные отношения;

обладает высокой плавностью, низким уровнем вибраций и шума;

позволяет обеспечить самоторможение червячного колеса ( при малых углах подъема витка передача движения от вала червячного колеса к червяку становится невозможной)

Недостатки:

высокая скорость скольжения вдоль линии зуба, что ведет к повышенной склонности к заеданию ( необходимы специальные смазки и материалы для зубчатого венца червячного колеса ), снижению КПД и более высокому тепловыделению .

Зубчатые передачи с циклоидальными профилями


Циклоидальными кривыми или циклоидами (рулеттами, трохоидами) называется семейство кривых, которые описываются точками окружности или точками, связанными с этой окружностью, при ее перекатывании без скольжения по другой окружности или прямой [4]. Пусть образующая циклоиду точка лежит на окружности, тогда описываемая ей траектория будет эпициклоидой при внешнем контакте окружностей, гипоциклоидой - при внутреннем, или просто циклоидой - при перекатывании по прямой. Если образующая точка лежит вне окружности или внутри нее, то описываемые ей циклоидальные траектории называются эпитрахоидами (удлиненными или укороченными эпициклоидами) при внешнем контакте окружностей, гипотрохоидами (удлиненными или укороченными гипоциклоидами) - при внутреннем.

Теорема Камуса.

Теорема Камуса доказывает что профили выполненные по циклоидальным кривым будут при определенных условиях сопряженными и взаимоогибаемыми. Теорема Камуса. Кривые, описываемые какой-либо точкой жестко связанной с некоторой вспомогательной центроидой при перекатывании ее по центроидам, определяющим относительное движение рассматриваемых звеньев, будут взаимоогибаемыми в относительном движении этих звеньев.

Рассмотрим схему изображенную на рис. 14.7. На этой схеме: Ц1-Ц1 и Ц2-Ц2 - центроиды, определяющие движение звеньев 1 и 2; Ц3-Ц3 - вспомогательная центроида, с которой жестко связана кривая М-М; К1-К1 - огибающая к положениям М-М при перекатывании Ц3-Ц3 и Ц1-Ц1; К2-К2 - огибающая к положениям М-М при перекатывании Ц3-Ц3 и Ц2-Ц2; К1-К1 и К2-К2 - взаимоигибаемые кривые в относительном движении звеньев 1 и 2; дуга РР1 = дуге РР2 = дуге РР3; М'Р3 - нормаль к М-М из точки Р3;





Через промежуток времени dt точки Р1, Р2 и Р3 совпадут Р, касательные и прямые М'P3, K'2P2 и K'1P1 сольются в одну, то есть точки K'2 и K'1 образуют контактную точку K, а прямые проходящие через нее и полюс Р (K'2P2 и K'1P1), согласно с требованиями теоремы Виллиса, образуют контактную нормаль. Рассмотрим схему зубчатой передачи с циклоидальным зацеплением, которая изображена на рис. 14.8.


На этой схеме: rw1 и rw2 - радиусы начальных окружностей (центроид в относительном движении зубчатых колес), rv1 и rv2 - радиусы вспомогательных окружностей, точки которых образуют эпициклоиды Рa и гипоциклоиды Рb, используемые в качестве профилей при формировании зубьев.



Профиль головки зуба колеса 1 очерчен по эпициклоиде Рa , а профиль ножки по гипоциклоиде Рbў . На колесе 2 аналогично для профиля головки зуба используется эпициклоида Рaў , а для ножки - гипоциклоида Рb. Эпициклоиды Рa и Рaў получены при перекатывании вспомогательной окружности rv1 соответственно по начальным окружностям rw1 и rw2 . Гипоциклоиды Рb и Рbў получены при перекатывании вспомогательной окружности rv2 соответственно по начальным окружностям rw1 и rw2 . Геометрическое место точек контакта профилей в неподвижной системе координат - линия зацепления K1K2, образуется отрезками дуг вспомогательных окружностей PK1 и PK2 . Коэффициент перекрытия ea = (PK1 + PK2)/pw , где pw - шаг по начальной окружности rw1 ( или rw2 ). Исходный производящий контур реечного инструмента, используемый для обработки циклоидальных зубчатых колес образован двумя дугами циклоидальных кривых. Для нарезания двух колес необходимо иметь два инструмента с одним исходным производящим контуром, которые конгруентны друг другу (как шаблон и контршаблон).

Преимущества и недостатки циклоидального зацепления

Преемущества:

меньший износ профилей за счет использования зацепления выпуклого профиля с вогнутым;

больший, чем в аналогичной эвольвентной передаче, коэффициент перекрытия;

возможность получения на шестерне (трибе) без подрезания меньшего числа зубьев, нежели в эвольвентных зубчатых передачах;

меньшая скорость скольжения профилей

Недостатки:

более сложный профиль режущего инструмента, а следовательно, и большая стоимость изготовления;

чувствительность к монтажным погрешностям межосевого расстояния (изменение межосевого расстояния изменяет передаточное отношение).

Примечание: К разновидностям циклоидальных зацеплений относятся часовое и цевочное.В часовом зацеплении радиус вспомогательной окружности выбирается равным половине радиуса соответствующей начальной окружности. Тогда гипоциклоиды, образующие ножки зубьев, вырождаются в прямые линии. В цевочном зацеплении радиус вспомогательной окружности цевочного колеса принимают равным радиусу начальной окружности этого колеса. Профиль зуба цевочного колеса - окружность, а профиль зуба второго колеса - эквидистанта к эпициклоиде.



    Инновации: Менеджмент - Моделирование - Софт

• Инновационный менеджмент
  
• Разработка программного обеспечения
  
• Россия и инновации
  
• Управление инновационным менеджментом
  
  
• Моделирование
  
• Финансовое моделирование
  
• Системы моделирования
  
• Виды моделирования
  
• Практическое моделирование
  
  
• Пакет Mechanical Desktop
  
• Моделирование программ
  
  
• Софт для моделирования
  
• Пакет Simulink
  
• Моделирование в IBM
  
• MSC Nastran Моделирование -
  
• AutoCAD
  
  
• Unigraphics
  
• P-CAD