Производная сложной функции одного переменного
Основную идею двойственного функционирования можно понять уже на простейшем примере. Рассмотрим вычисление производной сложной функции одного переменного. Пусть заданы функции одного переменного f1(A),f2(A),...,fn(A). Образуем из них сложную функцию
F(x)=fn(fn-1 (...(f1 (x))...)). (1)
Можно представить вычисление F(x) как результат работы n автоматов, каждый из которых имеет один вход и выдает на выходе значение fi(A), где A - входной сигнал ( рис. 3.2, а). Чтобы построить систему автоматов, вычисляющую F'(x), надо дополнить исходные автоматы такими, которые вычисляют функции fi'(A), где A - входной сигнал (важно различать производную fi по входному сигналу, то есть по аргументу функции fi, и производную сложной функции fi(A(x)) по x; fi'(A) - производные по A).
Для вычисления F'(x) потребуется еще цепочка из n-1 одинаковых автоматов, имеющих по два входа, по одному выходу и подающих на выход произведение входов. Тогда формулу производной сложной функции
можно реализовать с помощью сети автоматов, изображенной на рис. 3.2, б. Сначала по этой схеме вычисления идут слева направо: на входы f1 и f1' подаются значения x, после вычислений f1(x) это число подается на входы f2 и f2' и т.д. В конце цепочки оказываются вычисленными все fi (fi-1 (...)) и fi'(fi-1 (...)).
Рис. 3.2. Схематическое представление вычисления сложной функции одного переменного и ее производных.
Тем самым, для каждого автомата нижней строки, кроме самого правого, оказывается сформированным по одному значению входа, а у самого правого - оба, поэтому он может сработать и начать передачу сигнала в обратном направлении - справа налево. Это обратное движение есть последовательное вычисление попарных произведений и передача их налево. В конце получаем ?F/?x.
