Формула Бернулли

Схема повторных независимых испытаний.

Рассмотрим опыт, который состоит в том, что испытания повторяются многократно, причем выполнены следующие условия:

1) все испытания независимы друг от друга, т.е. вероятность появления события А в каждом из них не зависит от того, произошло или не произошло рассматриваемое событие в других опытах;

2) каждое испытание имеет только два исхода:

а) событие А произошло; б) событие А не произошло;

3) вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна p, а следовательно, вероятность не появления события А равна q = 1 - p.

Так как в каждом из n проводимых испытаний событие А может произойти или не произойти, то полученная схема повторных независимых испытаний содержит 2n точек.

Примерами повторных независимых испытаний с двумя исходами могут служить:

1) многократное подбрасывание монеты;

2) стрельба по цели n раз одиночными выстрелами, если нас интересует только попадание или промах;

3) массовый контроль деталей, при котором требуется только установить, какой является деталь, стандартной или нестандартной.

Некоторые задачи, описываемые по такой схеме, можно решить, используя формулу для непосредственного подсчета вероятностей или теореме о вероятности суммы и вероятности произведения событий. Однако, проще воспользоваться формулой Бернулли. Пусть необходимо вычислить вероятность появления события А ровно m раз при проведении n повторных независимых испытаний.

Вероятность появления события А равна p, а вероятность не появления события А равна q, тогда вероятность появления события А ровно m раз при проведении n независимых испытаний равна:

(m = 0, 1, 2, ..., n).

Эту формулу называют формулой Бернулли.

Пример 4. Известно, что при каждом взвешивании равновозможна как положительная, так и отрицательная ошибка. Какова вероятность того, что при пяти взвешиваниях получатся три положительные ошибки?

Математическое решение задачи

Проводится 5 независимых испытаний с двумя исходами, причем в каждом испытании p = q = 0,5.
Тогда по формуле Бернулли вероятность появления трех положительных ошибок равна:

.

Алгоритм

составления программы

Надо использовать не только процедуру вычисления числа сочетаний из n элементов по m, но и процедуру вычисления степени заданного вещественного числа a. Эта процедура нам знакома из предыдущего занятия.

Программа

Program Problem4;

    uses WinCrt;

    var

      s1           : longint;

        p, st, st1 : real;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

    Procedure combination(n, k : integer; var s : longint);

        var

            i : longint;

        begin

           s := 1;

           if k = 0 then s := 1

                        else for i := 1 to n - k do s := s*(k + i) div i

        end;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

    Procedure extent(a : real; n : integer; var q : real);

        var

            i : integer;

        begin

           q := 1;

           for i := 1 to n do q := a*q

        end;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

    begin

       combination(5, 3, s1);

       extent(0.5, 3, st);

       extent(0.5, 2, st1);

       p := s1*st*st1;

       writeln('Искомая вероятность равна ', p:6:4)

    end.