Сходимость числовых и функциональных рядов
Пусть дан бесконечный ряд:
Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы;
их называют частными суммами (или отрезками) ряда.
Конечный или бесконечный предел
называется суммой ряда и пишут
Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном случае (т.е. если сумма равна
Попробуем установить являются ли некоторые ряды сходящимися?
Пример 3. Является ли ряд
Для установления этого, надо определить имеет ли предел последовательность частичных сумм ряда, а это в свою очередь, означает будет ли разность между суммами по абсолютной величине меньше заданного положительного, даже очень малого числа eps, т.е. будет ли выполняться неравенство:
Отсюда вытекает алгоритм составления программы.
Надо находить сумму членов ряда и как только разность между текущей суммой и следующей будет меньше eps, то цикл закончить, значит ряд сходится и выдать его сумму, которая будет равна текущей сумме с заданной степенью точности.
Установить является ли следующий ряд сходящимся и найти то число с заданной точностью eps, к которому он сходится.
Для вычисления суммы ряда нам придётся находить его члены и прибавлять к текущей сумме, а для нахождения членов ряда воспользуемся подпрограммой - функцией для вычисления факториала числа.
Программа
Program Problem3;
uses WinCrt;
var
n : integer;
z, z1, e, eps : real;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
Function fakt(n : longint) : real;
var
i : longint;
f : real;
begin
f := 1;
if n = 0 then f := 1
else for i := 1 to n do
f := f*i;
fakt := f
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Функция вычисления порядка - кол-во знаков после запятой }
Function t(eps : real) : integer;
var
k : integer;
begin
k := -1;
repeat
eps := eps*10;
k := k + 1
until eps > 1;
t := k
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
begin
write(' Задайте точность eps '); readln(eps);
z := 0; n := 1;
repeat
z := z + sqr(fakt(n))/fakt(2*n);
n := n + 1;
z1 := z + sqr(fakt(n))/fakt(2*n)
until abs(z1 - z) < eps;
write('Сумма ряда равна ', z1:6:t(eps));
writeln(' с точностью до ', eps:3:t(eps))
end.
Задание 3
Установить, является ли ряд
