Метод сценариев
Обсуждение альтернативных способов описания неопределенности будет продолжено в следующем разделе. Здесь введем общую математическую модель принятия решений при неопределенности, которая является более общей, чем модель выбора в условиях риска предыдущего раздела.Рассмотри м некоторое множество {s,,...,^,...} = S состояний при -роды, или сценариев. Под сценариями понимают возможные картины будущих изменений факторов, важных для выбора решения в данной задаче. Для простоты это множество будем считать пока не более чем счетным. Один и только один из этих возможных сценариев в будущем реализуется.
В теории выбора на основе субъективных вероятностей субъект, принимающий решение, приписывает каждому сценарию st субъективную вероятность реализации — число qt е [0,1]. Таким образом, субъект оценивает степень возможности отдельных сценариев и делает выбор на основе своей оценки.
В главах 5 и 6 ниже рассматривается обобщенная модель, когда отдельным сценариям приписываются не субъективные вероятности, а некоторые обобщенные веса пг Этот подход не требует оценки вероятностей, субъект прямо приписывает сценариям веса в соответствии с представлением об их значимости. В ряде ситуаций такой подход кажется разумным, так как позволяет избавиться от ограничений вероятностной интерпретации. Например, в некоторых системах экспертных оценок основой для построения весов является не возможность (вероятность) сценариев, а степень уверенности группы экспертов в том, что какой-то параметр примет значение в определенном интервале. Как частный случай, веса могут быть равны вероятностям — статистическим или субъективным.
Полезно для дальнейшего установить классификацию понятий по степени их все большей обобщенности.
¦ Физические (статистические) вероятности понимаются как реальные вероятности событий. Они могут быть определены статистическим методом, т.е. путем оценивания частот или путем расчета шансов в случайном эксперименте (как, например, бросание кости или выпадение номеров в игре в рулетку).
¦ Субъективные (интуитивные) вероятности определяются как оценки субъектом вероятностей будущих событий. Они могут быть определены даже тогда, когда физические вероятности неопределимы. Будем считать, что если субъекту известны физические вероятности, то субъективные вероятности будут равны им.
¦ Субъективные веса не имеют смысла вероятностей. Они имеют обобщенный смысл показателей значимости отдельных сценариев. Если субъекту известны физические вероятности, веса не обязательно равны им.
Возможные варианты принятых решений описываются функциями /,,/2,... на множестве сценариев S. Эти функции принимают значения в некотором множестве результатов, которое, в принципе, может быть очень сложным, многокритериальным. Будем считать для простоты, что речь идет об агрегированных показателях; тогда результаты выбора решения / описываются числовыми значениями /($,),
(можно их рассматривать как денежные доходы или выигрыши). При реализации состояния природы (сценария) st выбранный вариант решения приводит к результату /(s,).
Отношение предпочтения У в этом случае задается на функциях-решениях. Критерий V, согласованный с ним, является функцией на множестве функций-решений, которое обозначим Т.
Покажем, что схема выбора в условиях риска является частным случаем описанной схемы выбора при неопределенности. Эта схема возникает тогда, когда выбирается модель случайного появления сценариев. Можно представлять их себе порождаемыми некоторым условным устройством — генератором случайных сценариев. Пусть случайный сценарий (состояние природы) s( генерируется с вероятностью рг Тогда результаты принятых решений /(s,) тоже окажутся случайными и имеющими вероятности рг Если обозначить числа /(s.) через хп то мы приходим к конструкции случайной величины X, принимающей значения х: с вероятностями рг Эта случайная величина есть случайный результат принятого решения. Если предположить, что выбор определяется только результатами и вероятностями рп т.е. распределением случайной величины, то мы придем к схеме выбора в условиях риска из предыдущего раздела. С математической точки зрения такая интерпретация корректна, как только состояниям природы приписаны вероятности — это единственное условие, нужное, чтобы запустить наш условный генератор случайных сценариев.
В дальнейшем мы будем принимать следующую схему.
Критерии выбора решений при неопределенности V(f) основываются на результатах решения / в случае реализации различных сценариев, /(5,),и на представлениях о значимости сценариев, выражаемых некоторыми весами пі - n{si). Модель выбора в условиях риска является частным случаем этой модели.
1.7
*Еще об анализе неопределенности
Модель, построенная в предыдущем разделе, включает две составляющие. Во-первых, это модельные результаты решений в случае реализации различных сценариев f(s.). Во-вторых, это веса отдельных сценариев n{sj). Эти веса дают представления о сравнительной значимости сценариев, нужные для агрегирования результатов моделирования по различным сценариям. Например, ниже, в главах 5 и 6, используется “модель взвешивания” результатов по весам сценариев
пл=2>(/М*.-> о-14)
(
где м( ) — некоторая функция полезности результатов.
Конечно, критерии могут быть и совершенно иными.
Подходы к формированию весов могут быть разными. Они зависят от метода описания неопределенности в принимаемой модели. Эта книга посвящена в основном (хотя не исключительно) вероятностному описанию неопределенности. Вероятностное описание неопределенности предполагает высокую информированность принимающего решения субъекта: он считает известными вероятности всех сценариев.
Другой крайний случай неопределенности — случай, когда о результате принятого решения известны только нижний и верхний пределы его значений. Например, можно представить себе ситуацию, когда для каждого решения / можно указать наиболее благоприятный сценарий Г и наименее благоприятный сценарий s (которые могут зависеть от / ). Тогда известно, что результат решения будет лежать в интервале [f(s),/(7)], но не известно ничего о результатах внутри интервала, их вероятностях и т.д. Такой тип неопределенности назовем интервальной неопределенностью.
В этом случае критерий V должен быть функцией от f(s) = а и f(s) = b. Логично требовать ее монотонности по этим аргументам. Известный пример для этого случая — так называемый критерий Гур-вица
V(a,b) = Ла + {\-Л)Ь, (1-15)
где Ле (0,1). Можно заметить, что этот критерий — частный случай модели (1-14) — такой, когда ненулевыми весами обладают только крайние результаты (наиболее и наименее благоприятный). Всем остальным результатам, следовательно, приписываются нулевые веса, т.е. они незначимы.
Наиболее обычны “промежуточные” случаи, когда распределение вероятностей задать трудно, однако все-таки есть некоторая дополнительная информация о результатах, их возможности, значимости и т.д., кроме интервала значений. Для учета этой информации возможны самые разные подходы, сильно зависящие от цели, которая преследуется при формализации неопределенности, и от рода используемой информации (статистические данные, экспертные оценки и пр.). Задачи такого типа представляют собой отдельную тему, выходящую за рамки этой книги. Вообще, конечно, вероятностный способ описания неопределенности является далеко не единственным, хотя и наиболее разработанным теоретически и практически. Так, в последние десятилетия активно развиваются модели, основанные на описании неопределенности методами теории нечетких множеств. Обсуждение ряда вопросов, связанных с отличными от вероятностного видами моделирования неопределенности, читатель может найти в упомянутой книге Смоляка [Смоляк, 2002]. Широкий круг вопросов, связанных с принятием решений, и в том числе с учетом риска и неопределенности в многокритериальных задачах, освещается в учебнике Ларичева [Ларичев, 2002].
Естественно требовать, что тот или иной способ описания (формализации) неопределенности в практических задачах должен соответствовать имеющейся информации. С одной стороны, не стоит строить модели, исходной информации для которых недостаточно. Например, не стоит строить вероятностные модели, когда нет достаточных данных для определения вероятностей отдельных сценариев. С другой стороны, вся имеющаяся информация должна быть учтена при принятии решений.
Так, Лившиц [Лившиц, 1999] приводит следующий пример. Предположим, что в урне находятся три типа шаров: красные (), белые (s2) и зеленые (s2). Человек, вытащив шар, но еще не зная его цвета, имеет право подойти к одной из двух девушек, выплачивающих выигрыши: блондинке (/ ) или брюнетке (g ). Известно, что блондинка выплачивает 1 руб. за белый шар (/($,) = і), 2 руб. за зеленый (f(s2)~ 2) и 5 руб. за красный (f(s3) = 5). Брюнетка выплачивает 1 руб. за белый шар (g(.Si) = l), 3 руб. за зеленый (g(.s2) = 3) и 5 руб. за красный (g(s3) = 5). Ясно, что выгоднее подходить к брюнетке, что вроде бы противоречит критерию Гурвица, с точки зрения которого обе альтернативы безразличны. Здесь, однако, не соблюдается принцип учета всей имеющейся информации, сформулированный выше. Применяя критерий Гурвица или считая неопределенность интервальной, мы считаем промежуточный сценарий s2 незначимым (приписываем ему нулевой вес), а это противоречит интуиции. Если учитывать всю информацию, то критерий выбора для этой задачи должен быть функцией не от двух, а от трех чисел, соответствующих трем сценариям (“белый”, “зеленый”, “красный”), т.е. должен иметь вид V{f) - V(f (s{), f (s2), f (s3)).
В разделе 6.2 приводится формальное условие, выражающее чувствительность предпочтений (и следовательно, критерия) ко всей имеющейся информации, исключающее подобные парадоксы (это аксиома (РЗ) в теореме Сэвиджа о субъективной ожидаемой полезности). См. упражнение 6.5.
Неопределенность может описываться различным образом. Вероятностный способ описания неопределенности не является единственно возможным. Во многих случаях способ описания неопределенности зависит от решаемой задачи. Выбираемый способ учета неопределенности в процессе принятия решений должен соответствовать имеющейся информации.
На практике неопределенность в параметрах различных моделей часто учитывают упрощенным способом: в детерминированные (неслучайные) параметры моделей вводят поправки на риск. Это обычно делается при оценке предполагаемых доходов и имеющихся денежных обязательств. Пример такого способа уже был описан выше, когда речь шла о поправках на риск в дисконтной ставке (раздел 1.3). То же самое делается при оценке обязательств, например, в актуарных расчетах (пенсионных, в страховании жизни). В понятиях сценариев это означает использование только одного сценария. Этот сценарий может быть ожидаемым или, чаще, “поправленным на риск”. Обычно считают, что поправки на риск должны соответствовать умеренно пессимистическому сценарию. Эти поправки учитывают возможные отклонения параметров модели в неблагоприятную сторону.
При планировании каких-либо сложных проектов часто применяют более “продвинутый” подход. Рассчитывают график затрат и денежных поступлений по ожидаемому сценарию, а также по пессимистическому и оптимистическому сценариям. Это уже дает некоторые интервалы колебаний результатов вокруг ожидаемых значений, описывающие неопределенность сумм будущих затрат/поступлений. Тут уже можно оперировать с тремя последовательностями чисел. Если вести речь о значениях для некоторого момента времени или о некоторых агрегированных показателях, то это три числа: ожидаемое Е, пессимистическое Р и оптимистическое О значения.
Ясно, что если агрегирование результатов такого сценарного анализа моделируется критерием V, то он должен быть функцией от этих трех чисел, V - ?(Р,Е,0). Можно еще более детализировать анализ, проведя расчеты, скажем, по пяти сценариям: пессимистическому, умеренно пессимистическому, ожидаемому, умеренно оптимистическому и оптимистическому. После этого можно считать, упрощая ситуацию, что результат принимает только эти пять значений. Критерий V может быть функцией пяти аргументов. Если результаты товарно-денежные, то естественным требованием будет монотонное возрастание критерия по каждому из аргументов.
Часто рассматривают несколько пессимистических сценариев. Например, для инвестиционных проектов в реальном секторе экономики: падение цен на продукцию, нарушение графика поставок сырья, требование взяток санэпиднадзором и т.д.
Метод сценариев
Популярным практическим методом анализа неопределенности является метод сценариев. Он состоит в анализе ситуаций, которые могут возникнуть при реализации тех или иных возможных сценариев. Его обычно применяют без явного приписывания отдельным сценариям каких-либо весов и тем более вероятностей. Эмпирический анализ сценариев производится часто не на основе оптимизационного подхода, т.е. без построения агрегирующего результаты критерия V. Аналитик просто сравнивает различные варианты решений по принципу “что будет, если...”
Эмпирические приемы анализа моделей при помощи сценариев описываются ниже, в разделе 11.2.
Нужно отметить, однако, что при агрегировании результатов, полученных путем анализа отдельных сценариев, какое-то общее представление о сравнительной значимости сценариев должно присутствовать (это — нормативная точка зрения). С дескриптивной точки зрения это тоже, по-видимому, так: люди, принимая решения, сопоставляют одни сценарии с другими и поэтому явно или неявно пользуются представлениями об их сравнительной возможности, значимости и т.д. Например, предположим, что аналитику нужно исследовать перспективы развития бизнеса компании в нескольких вариантах расширения сбыта (/) и в нескольких сценариях внешней экономической обстановки (s). Анализируются как “спокойные” (умеренно пессимистические и оптимистические) сценарии, так и кризисные сценарии — сценарии экономических потрясений. При выборе вариантов решения скорее всего придется иметь в виду величину риска кризисного развития ситуации, т.е. то, насколько кризисные сценарии значимы. Если они достаточно значимы, будут приняты более осторожные решения относительно расширения сбыта. Заметим, что при реальном принятии решений людьми значимость сценариев не обязательно определяется только их вероятностями. Это подтверждается результатами экспериментов (см. главы 4—6).
Назначение сценариям весов означает их определенную интерпретацию — наличие критерия для сравнения и упорядочения их по степени значимости в процессе выбора решения. Отказ от вероятностной интерпретации или приписывания отдельным сценариям явно задаваемых весов должен заменяться какими-то другими, в некотором смысле эквивалентными, способами анализа дополнительной информации о каждом из сценариев при агрегировании результатов для выбора решения. Трудно представить себе ситуацию, когда такой информации нет, хотя, возможно, во многих случаях ее нельзя или нет смысла формализовать при помощи введения весов в явном виде.
Возникает вопрос: а можно ли вообще отказаться от приписывания сценариям каких бы то ни было весов? В этом случае при принятии решений субъект не должен пользоваться никакой другой информацией, кроме набора результатов, полученных от реализации некоторого набора сценариев.
Существуют теории, описывающие неопределенность в виде множеств возможных значений результата, без какой-либо их интерпретации. Если ограничиться наборами упорядоченных по возрастанию чисел, например тройками (Р,Е,0), то построение “хороших” критериев не вызывает трудностей. Однако попытки построить сколько-нибудь универсальные правила выбора, основанные на анализе множеств возможных результатов с разным числом элементов, ведут к парадоксальным результатам. Приведем один из них [Kannai, Peleg, 1984].
Пусть отношение предпочтения У определено на подмножествах некоторого конечного числового множества V. Эти подмножества чисел будем обозначать заглавными буквами, например А, В и т.д. Они могут представлять результаты моделирования результатов отдельных решений по каким-то группам сценариев. Числа (сами результаты) будем обозначать строчными буквами. Потребуем, чтобы У удовлетворяло следующим естественным условиям.
(К1) Если в непустое множество А - {ах,...,ап} включить элемент а, такой, что а > (<) а, для всех і, то для полученного таким образом множества А* = {а,а1,...,ап) будет выполняться соотношение А" ‘ >=(=<)А.
То есть включение в множество элемента, не худшего всех элементов множества, не ухудшает множество. Например, если к совокупности результатов моделирования добавляется результат, превосходящий все остальные, то оценка совокупности результатов повышается. (К2) Если А = {ах,...,ап}, В = {bv...,bm), А>(<)В, а не принадлежит ни А, ни В, то для множеств А* = {а,а1,...,ап} и В* = {a,bx,...,bm) будет выполняться соотношение А* >- (-<) В*.
То есть при включении в множества одного и того же элемента предпочтение между ними сохраняется. Например, если в две совокупности результатов моделирования добавляется один и тот же результат нового моделирования, то это не может изменить лучшую оценку на худшую.
Оказывается, что если Р содержит по крайней мере шесть элементов, то не существует полного упорядочения Р, удовлетворяющего условиям (К1) и (К2).
Эта теорема показывает трудности, возникающие при попытке отказаться от какой-либо “интерпретации” сценариев и построить процедуры принятия решений, основанные только на наборах результатов моделирования. Доказательство и обсуждение, помимо оригинальной статьи Каннаи и Пелега [Kannai, Peleg, 1984], можно найти в книге Смоляка [Смоляк, 2002].
1.8
Упражнения к главе 1
Упражнение 1.1. Покажите, что если ^ — полное упорядочение, то >-асимметрично, т.е. (Л >- В) => не (В >¦ А).
Упражнение 1.2. Покажите, что если >: — полное упорядочение, то >-отрицательнотранзитивно, т.е. (не (Л ^ В), не (В >¦ С)) => не (Л >- С).
Упражнение 1.3. Пусть бинарное отношение >--слабое упорядочение
на А. Определим отношения - и У правилами
(А ~ 5) <=> (не (Л >- В), не (В >- Л)), (А±В)а(А> В,не (А~В)).
Покажите, что ^ — полное упорядочение.
^Упражнение 1.4. Покажите, что лексикографическое отношение предпочтения не удовлетворяет условию теоремы 1.1, т.е. для него не существует плотного по упорядочению счетного подмножества ТісЛ..
Упражнение 1.5. Покажите, что из аксиом (D1) и (D2) раздела 1.3 следует (1-8).
^Упражнение 1.6. Пусть F и G — две функции распределения, такие, что F(x) < G(x) для любого х. Пусть F и G строго возрастают и непрерывны. Тогда можно определить обратные к ним функции F-1 и G-1, отображающие отрезок [0,1] в М. Так, обратная функция для F задается равенством F~‘(F(x)) = x. Пусть ? — случайная величина, имеющая равномерное распределение на [0,1]. Покажите, что
(а) случайные величины X - F“'(?) и F = G~‘(?) имеют функции распределения F и G соответственно;
(б) выполняется неравенство X >Y.
Упражнение 1.7. Сравните распределения по критериям стохастического доминирования первого и второго порядка. Вычислите и сопоставьте математические ожидания и дисперсии распределений.
^Вероятность 0,2 0,5 0,3,
100 200 450 500 600 1000"
0,2 0,25 0,1 0,1 0,05 0,3 ,
г Значение Вероятность
(в) F4 и F5 =
0,3
Упражнение 1.9. Покажите, что отношение второго стохастического доминирования >- п транзитивно.
Упражнение 1.10. Пусть F0 — некоторое дискретное распределение, приписывающее значению х вероятность р. Рассмотрим распределение F, полученное из F0 “переносом вероятностной массы” 2Д из точки х поровну в точки х — а и х + а, т.е. распределение, приписывающее значению х вероятность р — 2Д, а значениям х-а и х + а — вероятности, на Д большие, чем соответствующие вероятности распределения F. Убедитесь в том, что F хуже F0 в смысле второго стохастического доминирования. Изобразите соответствующие функции распределения на одном графике.
глава
ОЦЕНКА РИСКА В ПРИМЕРАХ
Примеры этой главы иллюстрируют проблемы оценки риска, в частности в финансовой области. Отправной точкой для анализа служат нормально распределенные случайные величины. В этом случае вид критериев сводится к функциям от математических ожиданий и дисперсий. В более общей ситуации измерение риска дисперсией уже не эффективно. Построение “хороших” мер риска является нетривиальной задачей. Важной проблемой оценки риска является проблема “тяжелых хвостов”.
2.1
“Среднее — дисперсия”
Инвестор, оперирующий на финансовом рынке, где цены бумаг (например, облигаций, акций) колеблются непредсказуемым образом, вынужден принимать решения в условиях риска. Одна из наиболее известных задач выбора в условиях риска — задача формирования инвестиционного портфеля из различных ценных бумаг. Предположим, что инвестор располагает статистическими данными о колебаниях цен в прошлом. Это файлы, содержащие множество цифр. Как инвестору обработать эту информацию, чтобы принять правильное решение?
Математическое ожидание (среднее значение) — наиболее простой и естественный критерий выбора в ситуациях, когда будущие денежные поступления/потери случайны. Это также исторически первый такой критерий. Если бы инвестор действовал по правилу максимального среднего, он мог бы выбрать для инвестирования бумагу с наибольшей средней доходностью, оцененной по данным за определенный период времени, возможно, с поправкой на прогноз будущего состояния рынка.
Такой выбор, однако, не учитывает риска возможных случайных колебаний доходностей вокруг среднего. Желательно включить в оценки какие-либо вероятностные характеристики таких колебаний. Широкое распространение в теории и на практике получило использование дисперсии в качестве показателя риска. Пример выбора, основанного на измерении риска дисперсией, дает так называемая модель оценки фондовых активов (capital asset pricing model — САРМ). Она обсуждается ниже в самых общих чертах, преимущественно с точки зрения принципов сравнения и выбора альтернатив в условиях риска, реализованных в этой модели ‘.
Теория САРМ возникла как развитие теории выбора портфеля Марковица (Н. Markowitz). Марковиц ввел принцип сравнения по среднему и дисперсии (mean — variance principle), который можно в общем сформулировать так. Будем рассматривать альтернативы, характеризующиеся случайными величинами, или просто сравнение некоторых случайных величин. Принцип сравнения по среднему и дисперсии заключается в том, что из двух случайных величин “лучшей” (предпочтительной) считается величина, имеющая большее среднее и меньшую дисперсию. Если средние величин совпадают, то лучшей считается величина с меньшей дисперсией; если совпадают дисперсии — то с большим средним. Если у одной величины больше среднее, а у другой — меньше дисперсия, величины несравнимы, т.е. лучшую выбрать нельзя.
Принцип сравнения по среднему и дисперсии выражает предпочтительность альтернатив с большими значениями (“чем больше, тем лучше") и меньшим разбросом (“неприятие риска”, “нелюбовь к риску").
Рассмотрим задачу о выборе портфеля из п активов. Активы будем считать ценными бумагами, т.е. речь будет идти только о финансовых инвестициях. Зафиксируем некоторый период времени и поставим в соответствие г-му активу случайную величину г* его доходности за этот фиксированный период (по поводу определения доходности см. раздел 12.4). Пусть 7* = [/|*,г2*, ...,гл*] — вектор-строка случайных
т = [щ т2, ...,тп] — вектор-строка средних доходностей, С = [с(>] матрица ковариаций доходностей активов с элементами су = со?{г*, г*). Тогда доходность всего портфеля (т.е. набора активов)
' 1=1
где точка — знак скалярного произведения, индекс Т означает транспонирование вектора. Математическое ожидание (средняя доходность)
J = I
среднее квадратическое отклонение доходности
‘•j=i
Применим принцип “среднее — дисперсия” для сравнения доходностей портфелей. Будем считать совместное распределение г* г2, п-мерным нормальным. Пусть А и В — два портфеля, описываемые векторами ЬА и Ьв и доходностями гА и г* соответственно. Будем характеризовать все портфели парами математических ожиданий и_ средних квадратических отклонений г*, т.е. парами [mrlb^,<7r[b^j. Обозначим (тА,аА) и (тв,сгд) такие пары соответственно для портфелей Л и В. Если использовать для сравнения портфелей только эти два показателя — среднее и дисперсию — то задача выбора приобретает очевидное сходство с задачей выбора на парах чисел, сформулированной в разделе 1.1. Переформулируем введенное там правило доминирования применительно к данной ситуации.
Говорят, что портфель А доминирует портфель 5, если выполнено хотя бы одно из двух соотношений между парами (тА,<гА) и (тв,(Тв):
(mA>mB, оА <ав) или (mA>mB, стА<ав).
Портфель называется эффективным (efficient), если он не доминируется никаким другим портфелем.
Каждому портфелю активов со случайной доходностью г* можно поставить в соответствие точку на плоскости (сг,т) (см. рис. 2.1). Множество возможных портфелей изображается выпуклым множеством точек плоскости (упражнение 2.1). Верхняя левая граница этого множества представляет собой линию, соответствующую эффективным (недоминируемым) портфелям. Она называется границей эффективности или эффективным фронтом (efficient frontier). На рис. 2.1 эффективный фронт показан утолщенной линией, обозначенной Е. При инвестировании в рисковые активы стоит выбирать комбинации активов, соответствующие точкам границы эффективности; для любого другого портфеля можно указать доминирующий (т.е. лучший) портфель, соответствующий некоторой точке границы эффективности.
В портфельной теории часто называют риском корень из дисперсии — среднее квадратическое отклонение доходности и в этом смысле говорят о соотношении риска и доходности отдельных активов и портфелей. Ниже мы увидим, однако, что основанный на дисперсии подход к измерению риска может оказаться слишком упрощенным (раздел 2.2). Однако это хорошее “первое приближение” для многих практических случаев.
Модель оценки фондовых активов (САРМ) предполагает, что возможно инвестирование в актив с безрисковой (т.е. неслучайной) доходностью rf. Таким активом могут быть, например, надежные (обычно государственные) облигации. Обозначим долю средств, инвестируемых в безрисковый актив, через Ь0. Доходность портфеля, составленного из безрискового актива и какого-либо набора рисковых активов, например портфеля, изображаемого точкой А на рис. 2.1, имеет математическое ожидание b0rf + (l-b0)mA и среднее квадратическое отклонение (1 -Ь0)(ТА. На рис. 2.1 множество портфелей такого вида изобразится отрезком АВ. Каждая точка отрезка соответствует своему Ь0 е [0,1].
Выберем теперь на границе эффективности точку М, такую, чтобы прямая ВМ была касательной к границе эффективности. Для каждой точки отрезка АВ можно указать точку отрезка ВМ, лежащую выше нее. Это говорит о том, что для любого портфеля, составленного из комбинации безрискового актива и рисковых активов в пропорциях, соответствующих точке А, можно указать доминирующий (лучший) портфель, составленный из безрискового актива и комбинации рисковых активов, соответствующей точке М. Этот доминирующий портфель имеет такое же <7, но большее т. Это влечет за собой важный вывод: точка М соответствует оптимальной комбинации рисковых активов. Соответствующий точке М портфель называется рыночным портфелем (market portfolio). Прямая ВМ на плоскости (сг,т) носит название прямой фондового рынка (capital market line). Ее уравнение
тм - г,
т- rf -і--—<т, (2-4)
где тм и <JM — соответственно математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение доходности рыночного портфеля гм.
На такое определение рыночного портфеля можно посмотреть также со следующей точки зрения. Из всех прямых, проходящих через точку В и точки границы эффективности, прямая фондового рынка обладает наибольшим угловым коэффициентом (как видно из рис. 2.1). Поэтому правило отыскания рыночного портфеля можно записывать в виде правила максимизации углового коэффициента
т - г,
V =--—> шах. (2-5)
а
В свете этого задача отыскания рыночного (оптимального) портфеля рисковых активов выглядит так: можно подставить в выражения (2-2) и 12-3) ?>П=1-^Г” Ь и решать задачу (2-5) с т = тГ[Ь) и <j = CFr(b), отыскивая максимум по Таким образом, задача
отыскания рыночного портфеля сводится к задаче на максимум функции п-1 переменной (упражнения 2.2 — 2.4).
тм-гг
Коэффициент наклона прямой фондового рынка Л = —- в ли-
литературе называют рыночной ценой риска. Смысл названия понятен из рис. 2.1. Рассмотрим эффективный портфель, состоящий из безрискового актива (точка В). Оптимальный способ повысить доходность состоит в добавлении в портфель рисковых активов в пропорциях, соответствующих рыночному портфелю. Чем большую долю средств мы вкладываем в такой портфель, тем дальше двигаемся вдоль прямой ВМ. Рыночная цена риска показывает, насколько повышается при этом риск портфеля на единицу роста его средней доходности.
Отношение Шарпа
Идея использовать правило (2-5) для оптимизации портфелей принадлежит ученику Марковица Шарпу (W. Sharpe). Он предложил и основанную на нем меру оценивания поведения (performance) инвестиционных портфелей (reward-to-varia-bility ratio), называемую также отношением Шарпа (Sharpe ratio — SR):
а
где т — средняя доходность (оценка для т ), д — оценка среднего квадратического отклонения доходности портфеля. Оценки т и д рассчитываются по данным о доходности портфеля за определенный период обычными статистическими методами (см. раздел 12.1). Сравнение портфелей с другими портфелями по величине отношения SR позволяет судить о том, насколько они близки к границе эффективности, т.е. насколько их состав близок к оптимальному. В инвестиционном анализе применяются и другие меры поведения и риска портфелей, основанные на САРМ, (см., например: [Jones, 1996]).
Итак, САРМ предписывает инвестору действовать в соответствии с правилом (2-5), т.е. на основе максимизации критерия V, зависящего только от математического ожидания и дисперсии. Функция V = ?(т,сг) в (2-5) возрастает по га и убывает по о. Из иных соображений можно, однако, предложить другие критерии выбора — как вида ?(т,сг), так и иные. Некоторые примеры будут рассмотрены в разделах 2.3, 2.4. Прежде чем перейти к ним, рассмотрим вопрос о согласованности правила “среднее — дисперсия” с естественными условиями монотонности на доминируемых альтернативах, сформулированными выше.
2.2
“Среднее — дисперсия” и стохастическое доминирование
Оценивание риска случайных альтернатив при помощи среднего и дисперсии — наиболее распространенный подход, кажущийся многим очень естественным. В самом деле, курсы математической статистики учат, что среднее, или математическое ожидание, — главная характеристика “центра” распределения, дисперсия же или среднее квадратическое отклонение характеризуют разброс: чем они больше, тем распределение “менее сосредоточено” вокруг своего центра. Но нужно отметить, что эта интуиция, берущая свое начало из статистики, в значительной мере связана с нормальным распределением. Это объясняется его широким применением в статистике и ее самых разнообразных приложениях. Нормальное распределение часто играет роль стандартного первого приближения при исследовании случайных явлений сложной природы, когда предполагаемое распределение непрерывно. Однако далеко не всегда колебания экономических характеристик можно описывать нормальными распределениями (несколько примеров см. в части II).
Уже отмечалось, что в случае нормального распределения дисперсия однозначно “отвечает” за второе стохастическое доминирование. Это связано с тем, что нормальное распределение двухпараметрическое. Из пары параметров (т,сг) первый “отвечает” за среднее, второй — за разброс вокруг среднего. Кроме того, нормальное распределение симметрично и не имеет тяжелых хвостов. Распределениями с тяжелым хвостом в теории вероятностей называют такие, для которых существуют малые, но не пренебрежимые вероятности очень больших значений. Если сделать попытку отойти от простейшего случая нормальных распределений, ситуация сразу перестает быть столь однозначной.
В различных экономических приложениях, в частности в финансах и страховании, часто встречается асимметричная форма распределений (главы 9, 10). Одно из наиболее известных и распространенных в приложениях семейств таких распределений — трехпараметрическое гамма-распределение. Такое распределение имеет плотность вида
g(x)= Р (х-с)а~1е~ри~,:), х>с, (2-6)
(ос-1)!
где а,Р,с — параметры (подробнее см. раздел 12.1). Эти распределения асимметричны (коэффициент асимметрии положителен). На рис. 2.2 показаны трехпараметрическая гамма-плотность и нормальная плотность, имеющие одинаковые средние и дисперсии. Даже из этого рисунка видно, что двумя параметрами — средним и дисперсией — можно только довольно грубо охарактеризовать разнообразие возможных распределений. Если распределения отличны от нормальных, в частности асимметричны, то при решении различных задач оценки риска учета только среднего и дисперсии может оказаться недостаточно. По этому поводу см. также формулу (10-34) в разделе 10.4 и ее обсуждение.
Простой пример с гамма-распределениями был приведен Бор-хом [Borch, 1974b] в рамках дискуссии по поводу применимости критерия “среднее — дисперсия” для оценивания риска в портфельной теории, происходившей в начале 1970-х гг. в журнале “American Economic Review”. Теория анализа портфелей по среднему и дисперсии стала применяться рядом авторов вне предположения о нормальности доходностей, что и вызвало критические замечания.
Такой же пример, аналогичный другому примеру Борха, можно привести с еще более простыми, двухточечными распределениями.
Пример 2.2. Снова, как и в примере 2.1, рассмотрим на {и, т) -плоскости две точки, (/ЛрСГ,) и лежащие на одной кривой безразличия, т.е.
(/ЛрСГ,) - (w^cTj) и такие, что т2>щ, а2><г? Возьмем в качестве G, функцию распределения случайной величины, принимающей значения: х с вероятностью р и у, с вероятностью q = \- р, а в качестве G2 функцию распределения случайной величины, принимающей значения: х с вероятностью р и у2 с вероятностью q. Для определенности будем считать, что у,>х и у2 > х. Параметры х, у1,у2,ре [0,1] следует подобрать так, чтобы выполнялись равенства для моментов:
х + (у,-x)q = ml,
(У, ~x)pq = of, x + (y2-x)q = tn2,
(y2~x)pq = Cт\.
Если эта система из четырех уравнений с четырьмя неизвестными имеет решение, то очевидно, что у2 > у, (это следует из первого и третьего уравнений, так как т2> щ). При этом решение должно быть таким, что ре [0,1]. Тогда, очевидно, G2 y,Gr
Решим систему уравнений. Из второго уравнения системы
У\-х = -7±=-
ЫР<1
Подставив это в первое уравнение, получаем
( V
т2 - т1
К °2 _ /
Очевидно, что найденное р больше нуля и меньше единицы. Подставляя р в уже написанные уравнения, последовательно находим х, затем у?уг (упражнение 2.10). Таким образом, даже для таких простых распределений, как двухточечные, можно привести пример, когда одна альтернатива доминирует другую, но, тем не менее, они безразличны с точки зрения произвольного критерия, основанного на сравнении средних и дисперсий.
Построенные примеры иллюстрируют тот факт, что при переходе от нормальных распределений к более сложным (в частности, трехпараметрическим) любой критерий, определяемый средними и дисперсиями, в принципе, может давать явно абсурдные результаты. Исключением является вырожденный критерий математического ожидания (среднего)
?(А) = ЕХА=тА,
который, конечно, монотонен в смысле (М,) (упражнение 2.6). Однако, как говорилось выше, такой критерий не позволяет учесть разброс и поэтому в качестве меры риска в большинстве случаев неудовлетворителен. Попытка же ввести показатель риска в виде дисперсии приводит к противоречию с (М,). Итак,
Никакое отношение предпочтения, порожденное функцией ?(А), зависящей только от математического ожидания и дисперсии (или среднеквадратического отклонения) распределения, ?(А) = ?(тА,стА), возрастающей по первому аргументу и убывающей по второму, не может удовлетворять (М,) на множестве альтернатив с произвольными распределениями.
То же самое, конечно, верно для V, соответствующей предпочтениям с “любовью к риску”, т.е. возрастающей по второму аргументу. Можно также показать, что учет третьего момента распределения, например в виде коэффициента асимметрии, как и любого конечного числа моментов, не улучшает ситуации: функция остается немонотонной в смысле (М,).
Конечно, если выбор распределений FA ограничен нормальными, таких противоречий нет (упражнение 2.9). Возникает вопрос о том, для каких еще распределений это верно. В разделе 3.4 приводится результат, показывающий, что в рамках задачи о выборе портфеля ценных бумаг это верно и для некоторых других семейств двухпараметрических распределений, например t -распределений Стьюдента [Inger-soll, 1987].
Дисперсия как мера риска
Так что же можно сказать о применимости дисперсии в качестве меры риска? Во всяком случае, эта мера хорошо “работает”, когда распределение близко к нормальному. Можно сказать, что в той же степени как нормальное распределение служит хорошим первым приближением для введения фактора случайности в экономические модели, дисперсия часто может быть разумным первым приближением при оценке риска. Но вышеприведенные примеры показывают, что к этой характеристике следует относиться с осторожностью, и в некоторых случаях она может оказаться совершенно неприемлемой. Например, дисперсия — явно плохая характеристика риска в случае асимметричных распределений с тяжелым хвостом или в случае дискретных распределений, когда оцениваемая величина принимает лишь небольшое число значений (рис. 2.3). Это, собственно говоря, те же случаи, когда нормальное распределение не может служить хорошей моделью описываемых случайностей даже в первом приближении.
Сумма под риском (VaR)
Сумма (стоимость) под риском — Value at Risk (VaR) — простейшая по своему построению мера риска, применяемая преимущественно в финансах, банковской и инвестиционной сфере, а также в страховании, где используют также термин “капитал под риском” (capital at risk).
Идея метода VaR — построить верхнюю оценку капитала, который может быть потерян в результате неблагоприятного стечения обстоятельств. Другими словами, это капитал, который теряется в “наихудшем” случае. Речь может идти, например, о потере вложенного в ценные бумаги капитала или об оценке возможного ущерба, подлежащего покрытию компанией страхования имущества. В большинстве случаев, однако, нет смысла оценивать риск действительно максимальным возможным значением потерь, так как вероятность потерпеть такие потери ничтожно мала. Так, для страховой компании это означало бы одновременную потерю всех застрахованных объектов, что было бы возможно лишь в результате “сверхкатастрофических” обстоятельств. Для инвестора, действующего на рынке ценных бумаг, риск потери всех инвестиций также можно считать очень маловероятным. Поэтому, оценивая “наихудший” возможный вариант, поступают следующим образом: выбрав некоторый уровень вероятности у, оценивают капитал, который может быть потерян с вероятностью у. При этом у мыслится малым числом; типичное его значение может лежать в диапазоне от 0,01 до 0,1 (“наиболее типичное” — 0,05, или 5%). Очевидна аналогия с понятием уровня значимости, используемым при проверке статистических гипотез — это уровень, ниже которого вероятность отклонения признается малой, а соответствующее событие — маловероятным. Продолжая статистическую аналогию, можно сказать, что VaR — верхняя доверительная граница (уровня у) суммы, которая может быть потеряна.
Подход VaR приводит к квантильным оценкам: в качестве меры риска выступает квантиль соответствующего распределения.
Все оценки квантильного типа удовлетворяют условию (1-12) (проверьте это самостоятельно). На рис. 2.4 проиллюстрирован наиболее употребительный в приложениях случай, когда распределение потенциального убытка предполагается нормальным. Формальное определение VaR таково. Если X — случайный убыток, то
VaR^(X) = inf{w:Fx(w)>l-x}, (2-7)
где Fx (w) = Р(Х < ??) — функция распределения убытка X.
Если убыток X распределен нормально со средним тх и среднеквадратическим отклонением сгх, то (2-7) превращается в
V‘aRy(X) = mx+al_r(Tx, (2-8)
где ах_у — квантиль стандартно нормального распределения уровня 1 -у. Здесь убыток можно определять по-разному (упражнение 2.22).
RiskMetrics™
Методика JPMorgan RiskMetrics™ обнародована банком JPMorgan в 1994 г. Оценка рыночного риска основана на методе VaR и предположении о нормальном распределении краткосрочных доходностей активов. Анализируются, в частности, так называемые DEaR (Daily Earnings at Risk), т.е. VaR для одного дня. RiskMetrics™ сопровождается базами данных по волатильностям и корреляциям для большого числа цен и доходностей (валютные рынки, денежные рынки, процентные свопы, гособлигации, индексы акций, сырьевые рынки) для десятков стран. Методика предназначена для ежедневного отслеживания рыночного риска портфелей, включающих базовые и производные активы. Такого рода техники получают все более широкое распространение в практике современного риск-менеджмента.
Пример 2.3. Оценка VaR в RiskMetrics™. Так как день можно считать достаточно малым промежутком времени, на котором цена актива изменяется мало, доходности г* и г в этом примере условимся считать приближенно равными (упражнение 2.12) и будем обозначать одним символом г. Будем предполагать, что г случайна и имеет нормальное распределение с некоторым средним тг и средним квадратическим отклонением аг. Фактически, в RiskMetrics™ предполагается тг= 0, что оправданно для дневных показателей. Если тг= 0 и г имеет нормальное распределение, то величина аусгг, где ау — квантиль уровня у стандартно нормального распределения, представляет собой долю капитала, которая может быть потеряна с вероятностью у. Эта величина в RiskMetrics™ называется волатильностью.
Рассмотрим пример, аналогичный примеру 2 из [Introduction, 1995]. Предположим, что российский инвестор имеет на 5 = 10 млн. руб. 10-лет-них гособлигаций Германии. Пусть гх — дневная доходность этих облигаций в евро, г2 — доходность евро в рублях (по поводу определений см. раздел 12.4). Можно записать выражение для капитала через 1 день в виде
U = 5<?V *S(l + ij+r2) = S(l + r).
Поэтому для одного дня можно считать, что г = г1 + г2. Тогда величина г имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением аг,
°г =?сг12 + сг2 + 2/?<т,<т2,
где сг, и <т2 — средние квадратические отклонения г, и г2 соответственно, р — коэффициент корреляции г, и г2. Поэтому VaR позиции инвестора
VaRsw? = Sayar = ^(Sa^)2 + (Saya2)2 + 2p(Sayp)(Saya2) =
= yjwaR2 + VaR2 + 2/>VaR, VaR2, (2-9)
где VaR, и VaR2 — убытки “в наихудшем случае” вследствие изменчивости доходности облигаций и изменчивости обменного курса евро к рублю соответственно. Например, если <т, =1,08%, а2 =0,53%, /Э = -0,13, у = 0,95, то VaRRUR =149858 руб.
Нужно сказать, что формула (2-9) для VaR справедлива и в случае, когда капитал распределен между активами. Пусть, например, капитал общей величиной S инвестирован в два актива (например, две различные акции), доходности которых распределены нормально с нулевыми средними. Обозначим эти доходности через и г2, их средние квадратические отклонения через <7, и <У2, коэффициент их корреляции через р. Пусть в первый актив инвестирован капитал S, -bxS, а во второй — S2 = b2S, b{+b2= 1.
Как нетрудно видеть, капитал через 1 день имеет вид
(1+ r,)S, + (1 + r2)S2 — (1+ r)S,
где г = blrl+ b2r2 — общая доходность. Тогда
VaR = Say(Tr = Say^b2a2 + Ь;а\ + lpblb2(Tla2,
откуда уже легко получить формулу (2-9), в которой
VaR, =5,^0-,,
VaR2 = S2aycr2.
Формула (2-9) распространяется на случай п активов в виде
VaR=|l^VaR.VaR,. (2-Ю)
где /7 — коэффициенты корреляции доходностей либо цен (они равны).
3-Теория риска
Описанный в этом примере подход, при котором распределение считается нормальным и VaR оценивается через математические ожидания, средние квадратические отклонения и корреляции, в целом называют параметрическим VaR. Для его применения требуется только получить статистические оценки указанных параметров и, возможно, скорректировать их с учетом каких-то прогнозов.
Рассмотрим пример использования правила “наихудшего случая” для оптимизации инвестиционного портфеля.
Пример 2.4. Инвестор — страховая компания имеет обязательства в размере U, подлежащие погашению в конце некоторого периода. Компания инвестирует капитал S в начале периода, предназначая его для покрытия указанных обязательств. Предположим, что имеется выбор различных инвестиционных альтернатив, каждая из которых обеспечивает нормально распределенную доходность в течение периода. Таким образом, выбор инвестора фактически состоит в выборе пары (тг,аг). Инвестор, естественно, заинтересован в том, чтобы требуемый капитал S был минимален. Предположим, что он определяет S по правилу “наихудшего случая”, а именно, задав некоторое у, накладывает условие
Р{(1 + r*)S <и}<у.
Так как 5(1 + г*) есть капитал на конец периода, смысл этого неравенства состоит в том, что вероятность нехватки средств для покрытия обязательств должна быть не больше у. Так как г* имеет нормальную, а следовательно, непрерывную функцию распределения, минимальное S, удовлетворяющее неравенству, определяется из равенства
(2-11)
Величина (1 + г*) распределена нормально. Вычитая
ее математическое ожидание (1 + тг) и деля на среднее квадратическое отклонение аг, получаем
(2-12)
_ г*-тТ V-(l + mr)N Р -- <---— =у,
где V =^с. Поскольку величина (г* -тг)/аг стандартно нормальна, отсюда получаем V = 1 + тг + ауаг.
Задача минимизации 5 при фиксированном U сводится к задаче максимизации V. Поэтому наилучшим выбором инвестора из доступных ему инвестиционных альтернатив будет та, для которой правая часть максимальна. Критерий выбора можно записать в виде
т-аст—»max, (2-13)
где m = mr, <7 = сгг, а = -а - р_у. Заметим, что коэффициент а может быть разным в зависимости от у; если у < 0,5, он положителен.
Обратите внимание на то, что совершенно так же решается задача выбора портфеля ценных бумаг на основе VaR (упражнение 2.13).
Таким образом, параметрический VaR порождает в этой задаче критерий выбора вида (2-13). В качестве а может браться любое число, обычно положительное, что снова будет соответствовать выбору инвестором альтернатив с меньшим разбросом (риском), измеряемым средним квадратическим отклонением возможных значений.
Пример 2.5. Продолжение примера 2.4. Пусть инвестиционные альтернативы в ситуации предыдущего примера определяются возможностью распределения капитала 5 между вложениями в ценные бумаги (активы), доходности которых нормальны. Рассмотрим задачу об оптимальном распределении инвестиций в простейшем случае всего двух активов. Пусть Ъ — доля средств, инвестируемых в первый актив. Тогда в первый актив инвестируется капитал bS, а во второй (1-6)5. Если доходность первого актива г', а второго г2\ то доходность на весь вложенный капитал г* = Ьг* + (1 -Ь)г'. Математическое ожидание доходности mr =br* + (1-6)г2, где m, и m2 — математические ожидания г* и г2 соответственно. Среднее квадратическое отклонение г' есть <тг = Ь2а] + (1 -Ъ)2 <т2 + 2рЬ(\ -6)<7,сг2, где сг, и
сг2 — средние квадратические отклонения г,* и г2* соответственно, р — коэффициент корреляции г* и г2. Чтобы найти оптимальное b = b*, нужно подставить выражения для mr и сг. как функции от b в (2-13), а затем найти максимум по Ъ стандартными методами математического анализа (упражнения 2.15 — 2.17).
Если имеется п активов, то задача выбора портфеля приведет к задаче максимизации функции п — 1 переменной. Нужно подставить (2-2) и (2-3), выразив Ьп, в выражение (2-13). Похожая задача выбора портфеля уже рассматривалась в разделе 2.1 в связи с правилом (2-5). Подход данного раздела, однако, дает другой критерий, чем подход САРМ. Соответственно и состав оптимального портфеля будет другим. Впрочем, и назначение метода VaR, и рассматриваемая постановка задачи несколько иные: здесь за основу берется измерение уровня риска. В примерах, в отличие от раздела 2.1, решалась задача выбора портфеля на фоне обязательств. Читателю предоставляется самостоятельно сравнить постановки задач и критерии этого раздела и раздела 2.1. По поводу применения подхода VaR и связанных с ним мер риска к задачам выбора портфеля ценных бумаг см., например: [Giorgi, 2002] и литературу там.
В практическом применении такой оценки, как VaR, возникает вопрос о том, к какому, собственно говоря, распределению ее применять, т.е. какое распределение считать распределением убытка. Как всегда в статистических задачах, распределение точно не известно, имеются только некоторые статистические данные. По ним должно быть оценено распределение. В применении VaR обычно различают следующие подходы.
¦ Параметрический VaR, описанный выше. Оцениваются среднее и дисперсия убытка, затем VaR — в простейшем случае по формуле (2-8), подразумевающей нормальность распределения. Конечно, тот же подход может быть применен и с другими распределениями. При этом параметрическая оценка может быть сделана более точной по сравнению с формулой (2-8), соответствующей обычной нормальной аппроксимации; для этого необходимо включить высшие моментные характеристики, например коэффициент асимметрии. Так, например, в конце раздела 10.4 приведена одна такая формула, основанная на степенной нормальной аппроксимации, уточняющей нормальное приближение.
¦ Исторический VaR. В качестве распределения убытка (дохода) фактически берется просто выборочное распределение, построенное по данным за некоторый период. Например, чтобы оценить 5-процент-ную дневную VaR позиции из акций некоторого эмитента, можно умножить величину позиции на шестое по величине из 100 последних значений дневных доходностей данной акции.
¦ Модельный VaR. На основе статистических данных строится та или иная стохастическая модель убытка. VaR, как правило, оценивается при помощи имитационного моделирования.
Нужно также отметить, что полученный на основе параметрического подхода VaR критерий
V — т-а<7 (2-14)
сам по себе является довольно популярным критерием. То, каким образом он был выше получен, проливает некоторый свет на его назначение и возможное происхождение. Нередко, однако, этот критерий рекомендуют (даже в учебниках) как универсальный критерий для решения самых разных задач, не задумываясь, так сказать, ни о чем: ни о VaR, ни о нормальности распределения. Видимо, этот критерий выбирают только из-за его простоты. Как показано примерами предыдущего раздела, такой критерий в случае, когда распределения отличны от нормальных (в частности, асимметричны, дискретны), будет явно “плохим” — немонотонным.
Различные соображения и теории приводят к различным правилам принятия решений или критериям выбора. Это происходит даже в том случае, когда выбор ограничивается нормальными распределениями и сравнением только математических ожиданий и дисперсий рисковых альтернатив. Применение того или иного критерия в конкретной экономической задаче должно быть обосновано.
Сам же по себе метод VaR, основанный на квантильных оценках, конечно, порождает монотонные относительно стохастического доминирования первого порядка критерии при любых распределениях (покажите это).
Основным достоинством метода VaR можно назвать его простоту. Этот критерий удобен для вычислений, особенно когда нужно быстро производить расчеты с большим числом параметров. Последнее характерно для финансовых задач. Однако той же простотой определяются и недостатки этого критерия. VaR, будучи квантильной оценкой, фактически оперирует лишь с одной точкой функции распределения — той, где функция распределения пересекает уровень 1 -у. При этом игнорируется вся остальная информация, которая может содержаться в распределении анализируемой величины. Поэтому, например, VaR может быть очень чувствителен к выбору у. VaR не реагирует на распределение величин убытков, происходящих с вероятностями, меньшими у, они считаются маловероятными и игнорируются, т.е. хвост распределения отсекается. При применении VaR нужно проанализировать, можно ли пренебречь хвостами в контексте решаемых задач.
Например, есть различие между краткосрочными задачами (как в примере RiskMetrics™), где это вполне допустимо, и долгосрочным управлением риском, где это часто не так.
Отсечение хвоста иллюстрирует рис. 2.5, на котором показаны две гистограммы доходов/убытков. Ясно, что хотя VaR одинакова, для случая второй гистограммы маловероятные значения больших убытков могут оказаться важными, и их следует принять во внимание. О таких распределениях, как на второй гистограмме, говорят, что они имеют тяжелый хвост. Подобный вид, например, часто имеют распределения выплат страховых возмещений, причем маловероятным выбросам могут иногда соответствовать очень крупные суммы (см., например, рис. 10.3 в главе 10). Согласно ряду исследований, проблема тяжелых хвостов бывает существенна и для “финансовых” распределений [Еш-brechts, Kluppelberg, Mikosh, 1997; Ширяев, 1998]; см. также раздел 2.5.
у = 2,5% (0,025)
Л(Х) = Е(Х \Х >t), (2-15)
где X — случайная величина убытка, t — некоторое число, /(•) — индикаторная случайная величина: 7(Л) = 1, если событие А происходит, и нулю в противном случае. В страховании такую меру риска иногда называют EPD (expected policyholder deficit).
“Усовершенствованные” меры риска хвоста можно построить на основе (2-15), делая t зависящим от X. Например, предлагалась мера
Л(Х) = Е(Х|Х >тх +с), (2-16)
где с — фиксированное число, не зависящее от распределения X, тх — математическое ожидание X.
Можно заметить, что эти меры риска не удовлетворяют условию однородности (1-12) (упражнение 2.18). Чтобы получить меру риска, удовлетворяющую этому условию, нужно взять в качестве t в (2-15) некоторую меру, которая сама по себе удовлетворяет этому свойству. Например, можно взять t = тх + а<гх.
Одна мера риска такого типа — так называемое условное математическое ожидание хвоста (tail conditional expectation — ТСЕ),
ТСЕ(Х) = Е(х I X > VaRK(X)). (2-17)
Эта мера была предложена в статье [Coherent Measures, 1999] как альтернатива VaR.
Обсуждение свойств мер риска будет продолжено в следующем разделе.
2.4
Диверсификация, децентрализация, аддитивность
Одним из важнейших принципов поведения в условиях риска является диверсификация — уменьшение риска за счет повышения степени его распределенности. Мы встречались с этим принципом в разделе 2.1, где рассматривалась задача о выборе инвестиционного портфеля и шла речь об измерении риска дисперсией или средним квадратическим отклонением.
Давайте задумаемся о том, что же такое диверсификация. Ясно, что повышение степени распределенности риска наилучшим образом “работает” тогда, когда это распределение производится между мало зависимыми друг от друга ценными бумагами. Если бумаги сильно зависимы, диверсификация неэффективна. В этом случае нет (или почти нет) разницы между тем, вложить ли все деньги в одну бумагу или диверсифицировать вложения.
Инвестора на фондовом рынке иногда уподобляют полководцу. И в самом деле, деятельность по управлению крупным портфелем подобна другой управляющей деятельности: управлению, например, армией или крупной корпорацией. Сходство (его важный здесь аспект) состоит в том, что, имея некоторый поток ресурсов, управляющий подразделяет и направляет данные ресурсы на выполнение отдельных локальных задач. При этом управляющий действует в условиях неполной информации, неопределенности и динамически изменяющейся обстановки.
Если говорить об управлении корпорацией или армией, то для выполнения тех или иных локальных задач создаются организационные подразделения, постоянные или временные. Аналогом диверсификации в этой области является создание большего числа самостоятельных подразделений. Оно аналогично стремлению инвестора создать большее число самостоятельных вложений. В деятельности таких независимых подразделений неудачи одних могут компенсироваться успехом других, что приводит к снижению общего риска и большей устойчивости деятельности. Например, для коммерческой фирмы может быть хорошей политикой диверсификация ресурсов по разным рынкам и видам деятельности.
Общим в действиях по диверсификации риска является выделение самостоятельных (независимо действующих) единиц.
Если мы хотим построить “хорошие” критерии или меры риска, приходится анализировать вопрос об их поведении в ситуациях дробления или, наоборот, агрегирования (объединения) рисков отдельных “единиц”. В частности, они должны отражать преимущества диверсификации. Оказывается, что последнее требование тесно связано с таким условием: при объединении рисков ресурсы должны высвобождаться.
Приведем два примера. Операции на фондовом рынке часто требуют поддержания маржи — определенного запаса средств для их обеспечения. Величина маржи обычно зависит от колебаний котировок. Пусть два инвестора открыли две маржевые позиции; каждый из них должен предусматривать определенный резерв средств, которые могут понадобиться для поддержания маржи. Если же две аналогичные позиции открыл один инвестор, то он может поддерживать обе маржи из единого резерва. Маловероятно, что обе позиции потребуют максимальных средств. Поэтому очевидно, что рассмотрение позиций в совокупности должно высвобождать некоторый запас или резерв средств.
Также напрашивается “военная” аналогия: предположим, что требуется оборонять от возможного нападения противника два участка. Маловероятно, что противник нанесет удар на обоих участках; поэтому можно ожидать, что часть резерва можно будет перебросить на нужный участок в случае нападения на него. Таким образом, резерв, необходимый для обороны обоих участков вместе, должен быть меньше, чем тот резерв, который пришлось бы направить на два участка для обеспечения их обороны по отдельности.
Математически свойство мер риска, соответствующее этим идеям “высвобождения ресурсов” при агрегировании рисков отдельных единиц, выражается в виде следующего условия (аксиомы) субаддитивности. Как и выше, будем рассматривать меры риска R( ), определенные на случайных убытках.
(SA) Для любых случайных убытков X и Y
R(X+Y)<R(X) + R(Y).
В основе как принципа диверсификации, так и принципа “высвобождения ресурсов” лежит, по сути, одна идея — компенсации риска одних единиц за счет других.
Можно математически проиллюстрировать то, что (SA) не только не противоречит принципу диверсификации, но и может рассматриваться как одно из его условий. Рассмотрим снова задачу о выборе инвестиционного портфеля. Пусть инвестор имеет меру риска R(-). Если эта мера понимается как денежная (измеряет риск в деньгах — например, показывает размер необходимого резерва), то естественно требовать, чтобы эта мера была инвариантна к денежным единицам, в которых измеряется капитал. Как говорилось выше, это требование выражается условиями однородности или сохранения масштаба. Здесь введем условие положительной однородности.
(PH) Для любых А > 0 и случайного убытка X
R(AX) = AR(X).
Пусть инвестор имеет капитал 2 и может инвестировать в две бумаги, имеющие одинаково распределенные случайные доходности. Обозначим убытки (“доходы с минусом”) на единицу вложений для двух бумаг через X и У. Если мера риска удовлетворяет (SA) и (PH), то
R(X + Y) < R(X) + R(Y) = 2R(X) = R(2X).
Таким образом, риск вложений в бумаги в пропорции 1:1 меньше, чем риск вложений в пропорции 2:0. Поэтому можно сказать, что меры риска, удовлетворяющие (SA) и (PH), “поддерживают диверсификацию” — при диверсификации вложений риск уменьшается.
Примером меры, поддерживающей диверсификацию, является среднеквадратическое отклонение сг(Х). Действительно, эта мера, очевидно, положительно однородна. Субаддитивность проверяется непосредственно:
сг2 (X + Y) = сг2 (X) + a1 (Y) + 2 со?(Х, У);
(<т(Х) + сг(У))2 = а\Х) + сг2 (У) + 2а{Х)а (У),
и неравенство
cr(X + Y)<cr(X) + cr(Y)
следует из того, что всегда cov(X,Y) < сг(Х)сг(У).
Такая мера риска, как VaR (квантиль распределения убытка), тоже положительно однородна. Она удовлетворяет (SA) и поддерживает диверсификацию, если распределения убытков считаются нормальными, т.е. VaR принимает “параметрический” вид (2-8) (покажите это самостоятельно). Однако VaR не удовлетворяет (SA) и не поддерживает диверсификацию в случае, когда распределения убытков произвольны (упражнения 2.19, 2.20).
Нужно отметить, что условие (SA) соответствует не только естественным целям внутреннего управления, но и условиям внешнего контроля. Так, в примере с определением размера маржи предположим, что этот размер определяется биржей нормативно. Если для этого используется мера риска, не удовлетворяющая условию субаддитивности (например, VaR), то теоретически возможно, чтобы инвестор, открывая разные маржевые счета, мог снизить общий размер обеспечения по своим операциям. То же самое относится к государственному регулированию, требующему обеспечения определенных резервов (например, в отношении банков, страховых компаний, пенсионных фондов). Теоретически возможны ситуации, когда фиктивное разделение таких организаций позволило бы им снижать общие нормативные резервы.
Естественные условия на денежные меры риска были исследованы в статье [Coherent Measures, 1999]. Меры, удовлетворяющие этим условиям, были названы там когерентными (coherent). Некоторые приведенные выше рассуждения в пользу субаддитивности заимствованы из этой работы.
Назовем меру риска R{X), определенную на значениях случайных убытков X, когерентной, если она удовлетворяет условиям (SA), (PH), монотонности относительно первого стохастического доминирования и следующему свойству инвариантности к сдвигам:
(SI) Для любого случайного убытка X и любого числа а
R(X+a) = R(X)+a.
Условия когерентности являются естественными условиями на денежные меры риска, т.е. меры, определяемые как необходимые денежные резервы.
Из приведенных выше в этой главе результатов следует, что такие меры риска, как среднеквадратическое отклонение и yaR, являются когерентными, если распределения убытков — нормальные, и не являются, если распределения — произвольные (упражнение 2.21).
Пример когерентной меры риска — упоминавшаяся выше мера ТСЕ (2-17). Ниже будет показана когерентность этой меры в случае, когда случайные величины убытков определены на конечном вероятностном пространстве с равновероятными исходами. Это случай, которого достаточно для большинства практических приложений. Теорема о строении когерентных мер риска приведена в конце этого раздела.
Различными авторами рассматривались аддитивные критерии принятия решений (выбора) в условиях риска и приводились аргументы в пользу аддитивной структуры критерия, идейно сходные с изложенными выше по поводу субаддитивности мер риска [Массе, 1971; Смоляк, 2002].
В разделе 1.3 для случая, когда альтернативы были детерминированными (безрисковыми) последовательностями платежей, была введена аксиома “независимости” (D1). Из нее следовало правило аддитивности критерия,
?(Л?Д) = ?(Л) + ?(Д),
где символом ® обозначалось сложение последовательностей платежей.
Если говорить о случайных доходах (убытках), то свойство аддитивности критерия формулируется аналогично:
?(Х + К) = ?(ДО + ?(К). (2-18)
Аддитивность — сильное условие, накладывающее существенные ограничения на структуру критериев. Часто аддитивности требуют только для независимых случайных величин.
Массе [Массе, 1971] предложил аддитивный критерий выбора или эффективности капиталовложений
?(Х) = --\пЕе~сХ, (2-19)
с
где с — положительное число. Для независимых X и Y этот критерий аддитивен (см. также упражнение 3.2).
В статье Полячека и Тверски [Pollatsek, Tversky, 1970] был предложен критерий (или мера риска, что в данном случае неважно), который в наших обозначениях выглядит как
К(Х) = ?тх+(1-?)(Т2х, (2-20)
где ? — число, ?е (0,1), mx \л сг2х — среднее и дисперсия убытка X. Поскольку среднее и дисперсия аддитивны для независимых случайных величин, эта функция тоже аддитивна, как и функция (2-19), для таких величин. Однако она не удовлетворяет свойству сохранения масштаба. Поэтому при применении такой меры к денежным величинам нужно фиксировать денежные единицы, в которых они измеряются.
Аргументация на языке теории принятия решений в пользу аддитивности основана на том, что аддитивность критерия обеспечивает возможность децентрализации принятия решений, т.е. передачи функций управления самостоятельным единицам. Заметно сходство этой аргументации со сказанным выше по поводу диверсификации. В частности, Смоляк [Смоляк, 2002] приводит следующий аргумент. Предположим, что речь идет об оценке двух инвестиционных проектов. Пусть V — некоторая мера эффекта проекта (причем денежного), определяемая как функция от случайной прибыли (или последовательности затрат/поступлений). Если аддитивности нет, то это говорит о том, что решения, принимаемые в свете совместной реализации группы проектов, могут быть не такими, как решения, принимаемые по каждому проекту в отдельности. Рассмотрим решения, принимаемые в некоторой корпорации. Вся корпорация (центральный офис и филиалы) по понятным соображениям должна пользоваться единой методикой оценки эффективности проектов в условиях риска. Если не соблюдается (D1) или аддитивность, то филиал корпорации может счесть проект А более эффективным, чем проект В, тогда как центральный офис, имея в виду еще проект С, может принять обратное решение: А® С хуже, чем В® С, где символ ® обозначает совместную реализацию1 проектов.
Отдельные проекты или риски, по которым требуется децентрализованное принятие решений, можно предполагать “малыми” в масштабах более высокого уровня управления. Деятельность органов управления фирм или других организаций, например государственных, в основном состоит в принятии решений по проектам, которые на следующем, более высоком уровне управления можно назвать малыми. В сущности, для большинства проектов можно указать уровень управления, на котором они будут рассматриваться как малые. Чтобы ре-
У Смоляка — слияние.
шения правильно агрегировались на этом уровне, нужно требовать выполнения свойств типа аддитивности.
Аддитивность критерия обосновывает возможность децентрализованного принятия решений.
В заключение этого раздела опишем конструкцию когерентных мер риска. Воспользуемся обобщенной конструкцией раздела 1.6. Пусть sv...,sn — некоторые состояния природы (сценарии), а значения убытка Xj определяются через некоторую функцию-решение /, f ($(.) = jc,-. Пусть заданы физические вероятности сценариев р,,..., рп.
Математическое ожидание тх как мера риска обладает, в некотором смысле, уникальными свойствами. Рассмотрим дискретную случайную величину X, принимающую конечное число значений хг...,хп с вероятностями р1,...,рп. Ее математическое ожидание представляет собой линейную функцию
тх =х1р1+...+ хпрп. (2-21)
Математическое ожидание аддитивно: не только для независимых, но и для любых случайных величин X и Y, как известно, mx+Y =тх +пц,. Кроме того, оно удовлетворяет условию сохранения масштаба: тАХ
Такими же “хорошими” свойствами обладает любая линейная функция, т.е. математическое ожидание, взятое не по набору физических вероятностей, а по набору произвольных весов, обладающих свойствами вероятностей (они должны быть неотрицательными и суммируемыми к единице).
Припишем состояниям природы s. произвольные неотрицательные веса пі = ЯД.?,), пі = 1. Тогда функция
Ln{X) = f{s,)n, +...+ f{sn)nn =ххях+...+ хплп (2-22)
обладает теми же свойствами аддитивности и сохранения масштаба, что и математическое ожидание тх. Подчеркнем, что набор состояний природы и их весов здесь фиксирован.
Эту конструкцию можно использовать для построения мер риска, подбирая веса определенным образом. В статье [Coherent Measures, 1999] доказан следующий результат.
Теорема 2Л. Мера риска R(X) является когерентной мерой риска тогда и только тогда, когда для некоторого множества наборов весов П
R(X) = supL„(X). (2-23)
/Г€П
Выше говорилось, что мера ТСЕ (2-17) является когерентной в случае конечного S и равномерного распределения физических вероятностей, которого достаточно для большинства практических приложений. Покажем на простом примере, что эта мера представима в виде (2-23). Пусть « = 100 и вероятности всех s, равны, /?. = 1/100. Возьмем в качестве П семейство таких наборов {тг(}, что все лі равны нулю, за исключением шести, равных 1/6. Рассмотрим случайную величину X, принимающую значения х, = f(st) = i для целых і от 1 до 100. Тогда, согласно определению раздела 1.3, VaRo.osC-^) = 94. Условное распределение X при условии X >94 есть распределение, сосредоточенное в точках 95,96,...,100 с равными вероятностями, которые, таким образом, равны 1/6. Значит,
1 195
ТСЕ{Х) = Ъ(Х I X >94) = — (95+ 96 + ...+ 100) = .
6 2
С другой стороны, величина ЬЛ{Х) в (2-22) имеет вид
1 -лх +...+ 100-л-|00,
причем мы выбрали П так, что только шесть значений коэффициентов л отличны от нуля и равны 1/6. Очевидно, что максимальное значение ЬЛ{Х) среди всех таких наборов коэффициентов л достигается на том, который присваивает вероятности 1/6 тем сценариям, где значения X максимальны, т.е. последним шести. Тогда этот набор совпадает с условным распределением X при условии X >94, а само максимальное значение равно как раз
что и требовалось доказать.
2.5
* Оценка риска экстремальных значений
Специфическая проблема оценки риска во многих областях состоит в необходимости определения вероятностей редких, экстремальных, катастрофических событий. Трудность здесь заключается в том, что статистические данные по таким событиям обычно скудны и разреженны.
Пример 2.7. Наводнения в Голландии [Наап, 1990; Embrechts, Kluppelberg, Mikosh, 1997]. История Голландии знала множество наводнений. Одной из самых крупных катастроф такого рода стало наводнение 1 февраля 1953 г., унесшее более 1800 жизней. После этого наводнения была начата разработка крупного проекта морской дамбы. При проектировании дамбы требовалось принять решение о ее высоте, которая обеспечивала бы достаточную защиту от наводнений. Совершенно ясно, что строительство дамбы высотой, большей, например, чем высота всех известных в истории наводнений, было бы, возможно, недостаточно. Требовалось оценить риск возможных наводнений. В ходе разработки проекта группа голландских математиков во главе с ван Данцигом (van Dantzig) проделала большую работу по развитию статистической методологии изучения катастрофических событий. Была собрана статистика о высоте наводнений за несколько столетий. Самым крупным известным наводнением было наводнение 1570 г., когда вода поднялась на 4 метра выше среднего уровня (так называемой NAP — Normaal Amsterdams Peil). Во время наводнения 1953 г. был отмечен уровень NAP+3,85 м.
Задача ставилась так: требовалось оценить квантиль распределения высоты наводнений уровня 1- р, где р находится в интервале от 0,001 до 0,0001. По данным была получена оценка NAP+5,14 м для квантиля уровня 0,9999. Таким образом, вероятность того, что вода поднимется выше этой отметки, была оценена в р = 0,0001. Наводнений такой высоты, как уже сказано, никогда не наблюдалось, т.е. сделанная оценка лежит далеко за пределами выборки имеющихся данных!
Метод такого рода оценок основан на теории, описываемой ниже. В ее основе лежит замечательный математический факт: оказывается, что распределение величин “экстремальных”, “крупных” событий можно с достаточной надежностью продлить в область за пределами наблюдаемых выборок.
Указанная в этом примере работа дала толчок развитию методологии статистического анализа редких событий и в других областях. Оказалось, что те же методы применимы для исследования вероятностей крупных, катастрофических убытков в страховании, в финансах — для оценки вероятностей крупных колебаний цен и доходностей портфелей ценных бумаг. Проблему иллюстрирует, например, рис. 10.3 в главе 10, на котором изображена гистограмма величин страховых выплат (убытков) в добровольном медицинском страховании на один случай попадания застрахованного в больницу. Гистограмма дает основание считать, что подогнанное по данным гамма-распределение неудовлетворительно оценивает данные в области самых больших убытков. Хвост распределения кажется более тяжелым, чем у гамма, и возникает проблема его оценки (проблема тяжелого хвоста). При этом большие “выбросы” кажутся редкими, эпизодическими. Непосредственно по гистограмме нельзя судить о вероятностях экстремальных убытков — например, нельзя подогнать аналитическую кривую, как это сделано в области небольших убытков, где данных достаточно. Данные в области больших убытков для этого слишком отрывочны и разбросанны. Между тем риски, связанные с крупными “выбросами”, могут быть серьезными и должны быть как-то оценены.
Необходимость оценки возможности крупных, но редких экстремальных “выбросов” (проблема тяжелого хвоста) характерна для задач оценки риска в самых разных областях, в частности в страховании и финансах. Задача оценки затрудняется скудостью данных о таких событиях.
К счастью, для решения этой задачи удается привлечь определенные теоретические соображения. Математической основой для этого является так называемая теория экстремальных значений (extreme value theory — Е?Т), некоторые основные результаты которой излагаются ниже. Важный вклад в эту теорию внесли работы Гнеденко [Gnedenko, 1943], Гумбеля [Гумбель, 1958]. Приложения к финансам и страхованию подробно рассматриваются, например, в книге [Embrechts, Kluppelberg, Mikosh, 1997]. Хорошее описание методов анализа статистики крупных убытков в страховании, которое фактически является самостоятельным введением в эту методологию, можно найти в статье [McNeil, 1997].
Сомнения в надежности оценок вероятностей никогда не наблюдавшихся событий, конечно, правомерны. Однако, с другой стороны, такие оценки бывают необходимы. Можно сказать, что Е?Т и основанные на ней методы позволяют наилучшим образом использовать для этого имеющиеся статистические данные. К полученным оценкам, конечно, нужно относиться с осторожностью.
Статистическое поведение хвостов распределений оказывается тесно связанным с поведением экстремальных значений выборок из случайных величин с данным распределением. В частности, можно установить классификацию распределений по степени “тяжести хвоста”. Пусть Хі,...,Хп — независимые случайные величины, имеющие одну и ту же функцию распределения F. Можно рассматривать их как последовательные реализации некоторой случайной характеристики (например, величины сумм возмещений, выплачиваемых страховой компанией, или дневной доходности ценной бумаги). Обозначим через М максимальное значение, достигнутое в этих реализациях,
тахСХ,,...,^).
Центральную роль в теории экстремальных значений играет теорема о предельном поведении Мп. Эту теорему в некотором смысле можно сравнить с центральной предельной теоремой для сумм (см. раздел 12.1), утверждающей особую роль нормального распределения как предельного для нормированных сумм. Оказывается, что для максимумов имеет место такой же замечательный факт — можно указать вид предельного распределения.
Следующая теорема была впервые доказана Фишером и Типпе-том [Fisher, Tippett, 1928].
Теорема 2.2. Предположим, что существуют числовые последовательности ап> 0 и Ьп, такие, что функция распределения Нп{х) нормированного максимума М’ =——— слабо сходится1 к некоторой функции распределения Н(х) при п—ь°°. Тогда Н(х) = Н^(х), где
НЛх) =
exp^-(l + ?x)~1/f j при ? Ф 0 (1 + Е,х > 0), ехрГ—е_лг 1 при ? = 0 (хе М).
' Определение слабой сходимости дано п разделе 12.1. В данном случае оно просто означает, что Нп{х) —» Н(х) для каждого фиксиронанного х.
Если утверждение теоремы верно для функции распределения F(x), то говорят, что это распределение находится в максимальной области притяжения Н^ для соответствующего Е,. Распределение называется обобщенным распределением экстремальных значений (generalized extreme value distribution — GEV).
Эта теорема, в частности, позволяет установить классификацию распределений по степени “тяжести хвостов”. Распределения, находящиеся в области притяжения Н^ при Е, > 0 (это так называемое распределение Фреше), называются распределениями с тяжелыми хвостами. К этой группе относятся распределения со степенным убыванием хвоста функции распределения F(x) = 1- F(x) = x~]l^. Это, например, распределения Парето, Коши, логгамма, t -распределение Стьюдента и др. К области притяжения распределения Гумбеля Н0 принадлежат такие распределения, как нормальное, экспоненциальное, гамма, логнормальное. Их можно назвать распределениями с хвостами “средней тяжести”. Впрочем, логнормальное распределение занимает в некотором смысле промежуточное положение между этой группой и распределениями с тяжелыми хвостами. Третья группа — распределения с легкими хвостами, принадлежащие к области притяжения Н^ при ? < 0 (это так называемое распределение Вейбулла). Характерный представитель этой группы — равномерное распределение.
Приближение хвостов распределений, как в приведенном выше примере с наводнениями, обычно основывается на следующей замечательной теореме. Пусть и — некоторое достаточно большое значение. Рассмотрим его превышения случайной величиной X, имеющей функцию распределения F(x). Функция распределения превышений есть
F(x + u)~ F(u) l-F(u)
Fu=P(X-u<x\X>u) =
где 0 < х < xF = sup{у : F(y) < 1}. Так определенная точка xF — максимальное из возможных значений исследуемой случайной величины X. Ниже будем считать, что xF может быть как конечным, так и бесконечным.
Обобщенное распределение Парето (generalized Pareto distribution — GPD) определяется функцией распределения
-щ
при Е, Ф О,
1-е х,р при ? = О,
[О, +°°) при ? > О,
Следующий результат можно найти в работах: [Balkema, Наап, 1974; Pickands, 1975]. Сходные результаты были получены ранее Гнеденко [Gnedenko, 1943].
Теорема 2.3. Если F принадлежит максимальной области притяжения Н^, то существует функция /?(и), такая, что при и —> xF
sup |Fu(x)-G^(u)(x)|^0.
0<x<xf-и
Эта теорема дает основания для аппроксимации Fu обобщенным распределением Парето G^p. При этом ясно, что в пределе имеют место всего три альтернативы:
¦ хвост убывает как степенная функция;
¦ хвост убывает как экспоненциальная функция;
¦ распределение ограничено сверху (имеет нулевой хвост).
На первый взгляд, этот результат выглядит несколько странно: хвост произвольного распределения с бесконечным хвостом должен убывать как степенная либо экспоненциальная функция. Однако теорема этого и не утверждает: при х —> +°° все функции распределения стремятся к единице, поэтому их разность должна стремиться к нулю. Поэтому аппроксимация, так сказать, “содержательна” только в некоторой области значений непосредственно свыше порога и. Аппроксимация эта, конечно, может быть продолжена, как это было сделано в примере, но по мере удаления в область больших значений и малых вероятностей она становится все менее надежной.
Нужно отметить, кроме того, что не для всех распределений условия теоремы 2.2 выполнены, поэтому все-таки нельзя сказать, что классификация “тяжести хвостов” теоремы 2.3 применима ко всем без исключения случаям.
Пусть имеется выборка объемом п из распределения F. Обозначим через Nu число значений в выборке, не меньших порогового значения и. Вероятность превышения Р(Х >и) = F(u) можно оценить частотой превышений Nu In.
Как нетрудно видеть (проверьте это),
F(u + x) = F(u)Fu(x).
Подставляя сюда описанные аппроксимации, получаем, что этот хвост распределения можно аппроксимировать как
-MS.
N - N
F(u+X)^^LG {X) = ^L
п s 1 п
і+?4
Р
(2-24)
[Embrechts, Kluppelberg, Mikosh, 1997, p. 354]. Здесь ? и ув(и) - Р — статистические оценки параметров обобщенного распределения Парето.
Отсюда уже легко получить оценку для квантиля aq уровня q, т.е. такой величины, что вероятность превышения уровня и+се равна p = l-q. Этот квантиль (точнее, его оценку) можно явно выразить из равенства
F(u+aq) = l-q.
Это дает возможность оценить VaR. Такая задача (задача оценки VaR) является одним из наиболее важных приложений теории экстремальных значений, в частности в финансах. Этот подход является “продвинутой” альтернативой нормальной аппроксимации и основанному на ней параметрическому VaR, описанному выше в разделе 2.3. Он применяется для оценок VaRj, при малых у.
Естественно, наибольшие трудности практического применения описанного подхода заключаются в выборе порога и и оценке параметров обобщенного распределения Парето (т.е. подгонке этого распределения по данным). Параметры ? и Р оцениваются по выборке значений, превышающих порог и. Поэтому если значение и выбрано слишком большим, то их оценка будет недостаточно надежной из-за малого объема выборки Nu. С другой стороны, приближение обобщенным распределением Парето, как следует из теоремы 2.3, хорошо “работает” только для достаточно больших и. При этом важно отметить, что оценка параметра /? зависит от выбора и.
В настоящее время достаточно хорошо развита статистическая методология подгонки распределений в задачах такого типа. Здесь широко используются современные методы статистического анализа данных при помощи компьютера, в частности их графическое представление. С ней можно ознакомиться по работам, например: [Davison, Smith, 1990; Falk, Hiisler, Reiss, 1994; Embrechts, Kluppelberg, Mikosh, 1997], a также по указанной в них литературе.
Один из простых приемов, давно используемых на практике, основан на следующем свойстве величин, имеющих обобщенное распределение Парето. Если X имеет такое распределение с параметрами ? и /3, то среднее превышение (mean excess) порога и
/3 + &
’
е(и) = Е(Х - и I X >и) =
(2-25)
т.е. зависит от и линейно.
Применяют следующий графический метод. Для различных значений и>и строят оценки величины е(и) по имеющимся данным (для этого надо взять среднее превышение уровня и по тем выборочным значениям, где такое превышение есть). Изображая зависимость е(и) от и на графике, подбирают такое значение и", чтобы эта зависимость была близка к линейной.
Что касается оценок параметров ^ и Д то для решения этой задачи обычно применяются такие статистические методы, как метод максимального правдоподобия и так называемый вероятностно-взвешенный метод моментов. Интересующийся читатель может обратиться к указанной выше литературе.
В заключение этого раздела нужно отметить следующее. Описанная выше теория красива и дает, казалось бы, ясный ответ на вопрос о приближении хвостов распределений. Ситуация, однако, подобна ситуации с другими предельными теоремами теории вероятностей и приближениями, в частности с центральной предельной теоремой и основанным на ней нормальным приближением. Скорость сходимости к предельному распределению на практике может быть небольшой, и поведение распределения может довольно сильно отличаться от теоретического. Это тем более относится к случаю, когда изучаются хвосты распределений. Близость распределения к теоретическому предельному зависит прежде всего от объема выборки. Даже если есть большие выборки данных, из них лишь немногие значения относятся к области изучаемого хвоста. Таким образом, выборка, относящаяся к области хвоста, может оказаться не слишком богатой (например, 5% от всей выборки в случае хвоста уровня ^ = 0,05). Кроме того, скорость сходимости зависит от многих параметров. Применение теории, изложенной выше, на практике связано с рядом непростых вопросов: как почти всегда в таких случаях, теоретические предпосылки можно считать выполненными лишь приближенно. Например, часто встает вопрос о стационарности соответствующих временных рядов: насколько допустимо (как это обычно делают) считать выборку значений какого-либо показателя выборкой из одного распределения? И это только один из возникающих здесь вопросов.
Так, любопытные практические результаты по теме на основе анализа финансовых выборок были получены в работе [Malevergne, Pisarenko, Sornette, 2003]. Авторы изучали распределения верхних и нижних хвостов логдоходностей фондовых индексов. Хотя выборки были довольно большими (28415 значений индекса Доу — Джонса с дневным интервалом и 22123 значения индекса Nasdaq с 5-минутным интервалом), оказалось, что убывание хвостов эмпирической функции распределения быстрее, чем любая приемлемая степенная функция, однако медленнее, чем функция вида ехр(-Сх“) (хвост распределения Вей булла).
2.6
Упражнения к главе 2
Упражнение 2.1. Покажите, что множество эффективных портфелей на плоскости (<тг,тг) изображается выпуклым множеством точек.
Упражнение 2.2. Пусть имеется всего два независимых рисковых актива, средние доходности которых одинаковы. Покажите, что в рыночном портфеле, выбираемом согласно (2-5), доли этих активов обратно пропорциональны дисперсиям доходностей.
Упражнение 2.3. Пусть имеется два актива с некоррелированными нормально распределенными годовыми доходностями. Найдите формулу для оптимальной, согласно (2-5), доли инвестиций в первый актив и сравните с ответом предыдущего упражнения.
Упражнение 2.4. Пусть имеется два актива с некоррелированными нормально распределенными годовыми доходностями. Пусть средние доходности т, =0,11 и w2=0,15, квадратичные отклонения доходностей =0,13 и а2 =0,20. Найдите оптимальные, согласно (2-5), доли инвестиций в первый актив при годовой доходности безрискового актива: (a) rf =0,08; (б) rf =0,05. Объясните различие между ответами пунктов (а) и (б). Согласуется ли оно с вашей интуицией?
Упражнение 2.5. Инвестор имеет обязательства в размере U и имеет возможность инвестировать средства в различные проекты. Инвестор выбирает проект для инвестирования на основе максимизации вероятности превышения случайным доходом от проекта X величины U:
Р (X > U) —> max.
Покажите, что на множестве нормальных случайных величин это правило выбора эквивалентно сравнению по величине функции
mY-U
—і--» max.
Сравните с (2-5).
Упражнение 2.6. Покажите, что критерий математического ожидания ?(А)-тА удовлетворяет (М,).
^Упражнение 2.7. Докажите, что если FA >¦ ttFB и тА=тв, то оА < ов. Указание. Достаточно показать это для распределений, имеющих плотности. Используйте интегрирование по частям.
Упражнение 2.8. Пусть Ф,(х) и Ф2(х) — две нормальные функции распределения. Покажите, что Ф, >- ,Ф2 в том и только том случае, когда (щ > т2,сг1 = <т2). Почему из этого следует, что с нормальными распределениями нельзя привести примера, аналогичного примерам 2.1 и 2.2? При каком соотношении параметров нормальных распределений возможно второе стохастическое доминирование?
Упражнение 2.9. Пользуясь результатом предыдущего упражнения, покажите, что в случае, когда все распределения FA нормальны, любая функция V = V(т, ег), возрастающая по первому аргументу и убывающая по второму, порождает предпочтения, удовлетворяющие (М,), (RA) и (М„).
Упражнение 2.10. Завершите решение системы уравнений из примера 2.2.
Упражнение 2.11. Проанализируйте применимость метода VaR для задач краткосрочной оценки риска в RiskMetrics™. Допустимо ли пренебрежение распределением хвоста, т.е. больших убытков?
Упражнение 2.12. Покажите, что для малого промежутка At доходность г* приближенно равна доходности с непрерывным начислением г. Указание. Используйте разложение по Тейлору.
Упражнение 2.13. Инвестор вкладывает в ценные бумаги фиксированный капитал S . Доходности, соответствующие различным инвестиционным альтернативам, случайны и нормальны. Инвестор выбирает оптимальную пару (тг,сг.), минимизируя VaR, т.е. потери в наихудшем случае (определяя его заданным уровнем у). Покажите, что решение имеет такой же вид, как и в примере 2.4.
Упражнение 2.14. Инвестор формирует свой портфель из двух активов, доллара и евро, так, чтобы минимизировать DEaR. Предположим, что для периода в один день <т, =0,44%, <т2 = 0,53%, /9 = 0,38. Найти b* — оптимальную долю вложений в доллар.
Упражнение 2.15. Пусть в ситуации примера 2.5 т1=т2 и /9 = 0. Покажите, что при оптимальном инвестировании доли вложений в первый и второй активы обратно пропорциональны дисперсиям их доходностей. (Сравните с результатом упражнения 2.2.)
Упражнение 2.16. В ситуации примера 2.5 при щФт2 и /9 = 0 найдите Ь*. Подставив параметры доходностей из упражнения 2.3, сравните полученные ответы при различных у ч rf.
Упражнение 2.17. Пусть в ситуации примера 2.5 период инвестирования составляет один год, т, =0,13, <т, =0,45, т2 =0,07, <т2 =0,16, /9 = 0,18. Найти Ь*.
Упражнение 2.18. Какие из следующих мер риска удовлетворяют свойству однородности (1-12)?
(а) Математическое ожидание тх;
(б) мера риска R = m + асг;
(в) мера риска Полячека — Тверски (2-20);
(г) VaR (квантиль распределения);
(д) мера риска (2-15);
(е) мера риска (2-16);
(ж) условное ожидание хвоста (2-17).
Упражнение 2.19. Имеется 10 независимых одинаково распределенных убытков Хп каждый из которых принимает значение единица с вероятностью 0,01 и ноль с вероятностью 0,99. Сравните величины XjVaR^,) и VaRr(^(. X,-), если К = 0,05. Является ли VaR суб-адцитивной мерой риска?
Указание. Найдите вероятность того, что хотя бы один убыток будет равен единице.
Упражнение 2.20. Имеется 10 банков, каждый из которых может лопнуть независимо от других с вероятностью 1%. Если банк не лопнет, инвестор получает обратно вложенный капитал плюс 6%. В случае, если банк лопнет, вкладчики не получают ничего. Инвестор имеет 10 млн. руб. Покажите, что если измерять риск инвестора по методу VaR с у = 0,05, то для инвестора безопаснее вложить все свои деньги в один банк, чем распределить их поровну между всеми банками. Указание. Воспользуйтесь результатом предыдущего упражнения.
Упражнение 2.21. Докажите следующие утверждения.
(а) Мера риска (2-8) является когерентной мерой риска, если распределения всех убытков X и их сумм нормальны.
(б) Мера риска (2-8) не является когерентной мерой риска, если распределения убытков X могут быть произвольными.
(в) VaR, определенная как квантиль соответствующего распределения, не является когерентной мерой риска, если распределения убытков X могут быть произвольными.
Указание. Для доказательства (б) обратите внимание на монотонность. Для доказательства (в) используйте результат упражнения 2.19.
Упражнение 2.22. Абсолютная и относительная VaR. В финансовом риск-менеджменте различают абсолютную VaR (убыток измеряется по отношению к текущей стоимости позиции) и относительную VaR (убыток измеряется по отношению к ожидаемой стоимости позиции). Выпишите и сравните формулы для абсолютной и относительной VaR одной позиции в случае нормально распределенной доходности актива. Убедитесь в том, что относительная VaR не зависит от средней доходности, имеет то же вид, что в примере 2.3, и в случае нормальных доходностей для нее справедливы формулы типа (2-9), (2-10).
глава
ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ
Современная экономическая теория изучает предпочтения с точки зрения их рациональности. Принятый в ней аксиоматический подход состоит в том, что математический вид критериев выводится из наборов условий (аксиом), накладываемых на предпочтения. Теория ожидаемой полезности, возникшая еще в XVIII в., в XX в. была обоснована при помощи аксиомы независимости. Она дает критерий, корректно отражающий правила “чем больше, тем лучше” и неприятия риска.
3.1
Теория Д. Бернулли
В 1738 г. была опубликована статья Даниила Бернулли (D. Bernoulli), швейцарского математика, работавшего в Академии наук в Петербурге, посвященная разрешению так называемого петербургского парадокса.
Рассматривается игра с начальной ставкой 1 руб. Бросается правильная монета; в случае выпадения герба игрок получает выигрыш, равный ставке, в случае выпадения решетки ставка удваивается. Игра ведется до выигрыша. Как нетрудно видеть, математическое ожидание выигрыша в такую игру
2 2 2
Во времена Бернулли математическое ожидание было общепринятой мерой оценки случайных денежных альтернатив. Поэтому следующий факт, обнаруженный Бернулли, выглядел парадоксально. Оказалось, что большинство людей, кроме очень богатых, были готовы продать право сыграть в такую игру за вполне умеренные суммы. Это несоответствие с тогдашней теорией и получило название “петербургского парадокса”.
Для разрешения парадокса Бернулли ввел функцию (фактически функцию полезности денег) u(w), выражающую субъективную ценность богатства ?? (измеряемого в некоторых денежных единицах). Бернулли ввел также принцип уменьшения полезности денег в зависимости от уже имеющегося богатства. Действительно, человек, имеющий 10000 долл., будет очень рад получить еще 10000 долл.; но если у индивидуума есть 1000000 долл., то получение 10000 долл, уже не будет иметь для него такого большого значения и, следовательно, не так сильно увеличит его полезность. Бернулли сделал конкретное предположение о том, что полезность прирастает пропорционально относительному, а не абсолютному приращению капитала,
. Д??
Дм = а-.
w
Таким образом, приращение капитала в 10000 долл, для индивидуума, имеющего капитал 1000000 долл., составит ах 1% приращения полезности, что должно быть равнозначно приращению в 100 долл, для имеющего 10000 долл. Если перейти к бесконечно малым приращениям, можно записать
dw
du - а —, w
откуда, как нетрудно видеть,
и(??) = aln(w) + b;
здесь а > 0. Таким образом, функция полезности денег Бернулли имеет логарифмический вид.
Далее Бернулли предложил вместо математического ожидания самой случайной величины использовать для оценки полезности математическое ожидание ее полезности
(3-1)
Для дискретной случайной величины ХА, принимающей значения хі с вероятностями рп
(3-2)
Другим ученым, предложившим аналогичное правило решения петербургского парадокса, был немецкий математик Г. Крамер, сделавший это даже на несколько лет раньше. Он использовал функцию полезности денег и(х) = у[х.
Таким образом, анализ рисковых альтернатив дал первый толчок возникновению теории полезности, впоследствии занявшей столь видное место в экономической теории. Ниже мы увидим, как другие парадоксы выбора при неопределенности и риске дали толчок дальнейшему развитию теории полезности и, в частности, появлению нелинейных критериев.
Ниже условимся называть функцией полезности функцию V, а для и использовать выражение функция полезности денег.
3.2
Аксиоматический подход к ожидаемой полезности
Аксиоматический подход к ожидаемой полезности ведет свое начало от известной книги фон Неймана и Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение” (1944). Если в теории Бернулли предпочтения задавались функцией полезности (3-1), то фон Нейман и Мор-генштерн выводят вид функции полезности (3-1) из условий на предпочтения, или аксиом. В настоящее время существует несколько аксиоматизаций ожидаемой полезности, но во всех них главную роль играют те или иные формы аксиомы независимости.
Так как мы рассматриваем альтернативы, заключающиеся в случайных выигрышах/потерях денег, будем здесь и далее в этой главе называть их играми или лотереями (gambles). Пусть есть три произвольных игры: А, В, С, причем A>zB. Рассмотрим следующие две “комбинированные” игры. В первой из них — назовем ее (АС)р — играющему выпадает случай сыграть в игру А с вероятностью р ив игру С с дополнительной вероятностью (1-р). Во второй игре, (ВС)р, играющий играет в игру В с вероятностью р ив игру С с вероятностью (1-р). Можно представить себе это в виде реализации некоторого случайного эксперимента, в котором возможны два исхода с вероятностями р и (1- р) (например, бросание монеты, не обязательно правильной). Игра (АС)р состоит в том, что при реализации первого исхода (например, выпадении герба) играющий должен будет сыграть в игру А, при реализации второго (выпадении решетки) — в игру С. Игра (ВС)р строится аналогично (рис. 3.1). Аксиома независимости есть требование того, что если А>^В, то (АС)р >z(BC)p. Рациональность этого требования кажется достаточно хорошо обоснованной. Действительно, если некто считает игру А “не хуже”, чем В, то сравнивая “комбинированные” игры (АС)р и (ВС)р, он может видеть, что с вероятностью (1-р) он получит одну и ту же игру С, а с вероятностью р — игру А, “не худшую” В. Следовательно, рациональный индивидуум должен (нестрого) предпочитать (АС)р.
Если Fa(x), Fb(x), Fc(x) — функции распределения выигрыша в лотереи А, В, С соответственно, то функция распределения выигрыша в лотерею (АС)р имеет вид смешанной функции распределения pFA (х) + (1 - p)Fc (х) (читатель может проверить это самостоятельно). Аналогично функция распределения выигрыша в лотерею (ВС)р имеет вид pFB(x) + (l-p)Fc(x). Определим альтернативы (АС)р и (ВС)р как альтернативы с такими функциями распределения выигрыша.
Сформулируем аксиому независимости.
(Іь) Для любых A,B,CgA и любого числа ре (0,1) (.АУВ)=>((АС)рУ(ВС)р).
Нетрудно видеть (покажите это самостоятельно), что из этого условия следует более слабая форма аксиомы:
(І_) Для любых А, В,Се Л и любого числа р е (0,1) (Л~Я)=>((ЛС)„~(ЯС)„).
Кроме аксиомы независимости, будем использовать аксиому непрерывности предпочтений, которую можно вводить в различных формах. Мы используем непрерывность в смысле слабой сходимости функций распределения (обозначается —>І?, определение см. в разделе 12.1). (С) Если FB —>iv FB при /г —»°° и АУВп, то АУВ.
Смысл условия непрерывности в том, что если АУВ, то замена В на альтернативу с “почти такой же” функцией распределения выигрыша не должна приводить к изменению предпочтений. Если для отношения >: существует согласованная с ним функция V, то это условие есть просто требование непрерывности V относительно слабой сходимости функций распределения: Fn —> F => V(Fn) —> V(F).
Здесь и далее будем для простоты предполагать, что исходы всех лотерей из Л ограничены по абсолютной величине числом М, т.е. |Х,|<М.
Теорема 3.1 (об ожидаемой полезности). Пусть У есть полное упорядочение на А. Выполнение (І_) и (С) равносильно существованию непрерывной функции и(х), такой, что
(ДЬЯ) <=> (Еи(Х„)>Еи(Хв)). (3-3)
При этом функция м(-) определяется с точностью до положительного линейного преобразования, т.е. если м, и и2 — две функции, удовлетворяющие (3-3), то для некоторых чисел а и Д а > О,
м,(л) = аи2(х) + J3.
Таким образом, сохраняющий предпочтения критерий имеет вид (3-1) или, для дискретных распределений, (3-2).
Доказательство теоремы, с одним чисто техническим упрощением, приведено в разделе 12.3. Теорема остается верной, если отказаться от условия ограниченности исходов. В этом случае для конечности интегралов и сумм в (3-1) и (3-2) требуется ограниченность функции полезности денег м(-).
То, что функция полезности денег определяется с точностью до положительного линейного преобразования, позволяет переходить от одной функции м(-) к другой, порождающей те же предпочтения. Например, функцию полезности денег Бернулли из раздела 3.1, и(х)=а\п(х)+Ь, при любых а>0 и b можно заменить на и(х) = 1п(х). Удобно бывает также нормировать функцию и, например так, чтобы было и(0)-0, и( 1) = 1.
В упражнении 3.13 приведены наиболее распространенные функции полезности денег.
Функция ожидаемой полезности V обладает важным свойством линейности относительно линейных операций над функциями распределения:
Здесь p G (0,1), А и В — произвольные альтернативы (лотереи), Fa и Fb — соответствующие им функции распределения выигрышей. По причине этого свойства ожидаемую полезность называют также линейной полезностью. Действительно, функция (3-2) линейна по вероятностям.
Полезно представить себе семейство кривых безразличия, порожденных ожидаемой полезностью. Кривые (классы) безразличия — это множества альтернатив вида {Л: V(А) = const) . Построим семейство таких кривых в пространстве распределений выигрыша для множества лотерей с тремя возможными исходами. Рассмотрим, например, распределения вида
f Значение 0 50 100N
ч Вероятность рх р2 рг
Поскольку сумма вероятностей равна единице, для задания распределения достаточно задать вероятности ненулевых выигрышей р2 и р? На рис. 3.2 изображен треугольник на плоскости {р2, ръ), каждая точка которого соответствует некоторому такому распределению. Вершины треугольника — точки (0; 0), (1; 0) и (0; 1) — соответствуют вырожденным распределениям Е0, Е50 и или неслучайным выигрышам размером 0, 50 и 100. Изобразим в этом треугольнике кривые безразличия. Если есть неприятие риска, детерминированный выигрыш 50 (точка Л) должен быть “лучше” игры, обещающей выигрыш 100 с вероятностью 0,5 и 0 с вероятностью 0,5. Тогда кривая безразличия, выпущенная из точки Л, проходит выше точки (0; 0,5) на графике. Предположим, например, что эта кривая проходит через точку В с координатами (0;0,6).
г Значение 0 50 100N
ч Вероятность 0,2 0,5 0,3/
которое получается, если р = 0,5. Аналогично показывается, что любая кривая безразличия представляет собой отрезок прямой на рисунке.
Применим еще раз аксиому (І_), взяв теперь в качестве С альтернативу, соответствующую распределению Ет, и положив р -0,5. Точки Л'-(ЛС)05 и В' = (ВС)05 показаны на рисунке. Согласно (І_), А' ~ В', т.е. А' и В' принадлежат одной кривой безразличия. Эта “кривая” — отрезок А'В'. Очевидно, отрезки АВ и А'В' параллельны. Рассуждая аналогично для других р, мы видим, что классы (“кривые”) безразличия изображаются параллельными отрезками.
Возможно, проще показать то же самое аналитически. Ожидаемая полезность лотереи, дающей выигрыши 0, 50, 100 с вероятностями ргр2,рг, равна
V = ы(0)(1 -р2~ръ) + и(50)р2 + м(100)/?3,
поэтому кривые безразличия (множества вида {V = с}) выглядят как множества точек, описываемых равенством
[м(50)-ы(0)]р2 +[ы(100)-ы(0)]ръ -с-и(0)
с различными с. Написав его, уже нетрудно сообразить, что это параллельные прямые. Но геометрическое представление обладает тем важным преимуществом, что без труда переносится на более общий случай: например, точкам А, В, А', В' можно поставить в соответствие произвольные распределения вероятностей. В частности, если рассмотреть множество распределений не на трех, а на п точках, то семейство кривых безразличия будет представлять собой набор параллельных гиперплоскостей в пространстве R"'.
3.3
Отношение к риску
Большинство моделей, основанных на ожидаемой полезности, используют функции и(х), сохранившие два главных свойства, присущих еще логарифмической функции полезности денег Бернулли. Это, во-первых, возрастание функции полезности денег, во-вторых, ее вогнутость (рис. 3.3). Если функция полезности денег дважды дифференцируема, то полагают и\х) > 0, и*(х) < 0 для всех х.
Возрастание функции полезности денег выражает правило “чем больше, тем лучше”, ее вогнутость — неприятие риска.
и(х)
Значение хх ... хп Вероятность рх ... рп
где лг,<...<л:л. Будем пока предполагать, что точки хх,...,хп равноудалены друг от друга, т.е. хм -хх = const. Такие распределения называются решеточными.
Функция ожидаемой полезности на таких распределениях принимает вид
т.е. это линейная по вероятностям pj функция. Ее производные
Можно рассматривать эти полезности как линейные коэффициенты в правой части (3-5). Обозначим их через = u(Xj).
Если F0 — некоторое распределение (соответствующие ему вероятности обозначим через p°j), то
V(F)-V(F0) = Xи(Х])(Р] -р“) = Xи{Х])АР], (3-6)
;=1 ;=і
где Арj = рj - р).
Набор коэффициентов м; отвечает за свойства функции полезности. Потребуем, в частности, монотонности относительно первого стохастического доминирования (М,). Представим, например, что распределение F получено из распределения F0 перенесением некоторой вероятностной массы Д>0 из точки Хк в точку jck+l, т.е. Арк - -А, Арм =Д, а все прочие вероятности совпадают, APj =0. Тогда F доминирует F0 в смысле первого стохастического доминирования, и разность в (3-6) должна быть положительной. Запишем эту разность:
V(F)-V(F0) = uk-(-Д) + и4+1 ¦ Д = Д ¦ (uk+i -ик)>0.
Таким образом, если мы хотим, чтобы функция полезности была монотонной относительно первого стохастического доминирования, должно выполняться неравенство ик+1 >ик, означающее возрастание функции полезности денег.
Верно и обратное, что можно показать с помощью интегрирования по частям. Пусть и возрастает и дифференцируема, и'(Х) > 0. Запишем разность (3-6) в виде
V(F)-V(F0) = j"+ u(X)d(F(X)-F0(X)] =
= m(x)(F(x)-F0(x))|^- J m'(*)(F(.x)-F0(*))<& =
= J и\Х)(Р0(Х)-Р(Х))сЬс>0, (3-7)если F>-,F0. Можно заметить, что это рассуждение пригодно не только для дискретных, а и для произвольных распределений.
Перейдем ко второму стохастическому доминированию. Рассмотрим F, полученное из F0 перенесением вероятностной массы 2Д из точки Х/і поровну в точки Хк_{ и Хк+І. Так как мы предполагаем, что эти точки равноудалены от хк, имеем F>-„F0 (упражнение 1.10). Запишем разность (3-5):
V(F) - V(F0) = • Д - ик ¦ 2Д + мі+1 • Д = Д • (ик+1 - ик) - Д • (ик - uk_t).
Если мы потребуем выполнения (М„), эта разность должна быть отрицательной, т.е.
1 Uk <‘ Uk Uk-1>
что соответствует вогнутости функции полезности денег.
Обратное можно показать, продолжая интегрировать по частям в (3-7) (упражнение 3.5).
Вернемся к примеру главы 2 с лотереей, в которой с вероятностью 1/2 можно выиграть 1000 долл, и ничего в противном случае. Продадите ли вы право сыграть в такую лотерею за 500 долл.? Если да, то в данной ситуации ваши предпочтения соответствуют принципу неприятия риска. Ожидаемая полезность лотереи должна быть меньше полезности детерминированного выигрыша в 500 долл.:
і[ц(1000) + м(0)]<ц(500).
Если обобщить этот пример, взяв вместо 0 и 1000 произвольные числа л:, и х2, то получим условие
— х + — ? 12 1 2 2
±и(хі) + ±и(х2)<и
Это и есть условие вогнутости (рис. 3.4). Заметим, что для вогнутой функции и всегда выполнено неравенство
(3-8)
Еи(Х)<и(ЕХ),
т.е. детерминированное получение среднего выигрыша выгоднее участия в любой лотерее. Неравенство (3-8) известно как неравенство Иенсена (Jensen).
Все сказанное можно суммировать следующим образом.
Теорема 3.2. Если V имеет вид ожидаемой полезности (3-1), то (а) для выполнения (М,) необходимо и достаточно возрастания функции полезности денег и(-)\
(б) для выполнения (Мп) необходимо и достаточно возрастания и вогнутости м(-);
(в) для выполнения (RA) необходимо и достаточно вогнутости и(-).
Эти утверждения справедливы для произвольных распределений, а не только для решеточных, рассмотренных выше лишь для наглядности (см. также упражнение 3.5).
х« _ *1+*2 2
В случае “любви к риску” функция полезности денег должна быть выпукла, и" > 0.
Как уже отмечалось выше, неприятие риска обычно превалирует в экономике, примером чего может быть финансовый рынок или спрос на страхование. Как инвесторы, так и люди, страхующие имущество, соглашаются платить за избавление от риска. Однако в некоторых ситуациях выбора наблюдается, наоборот, поиск риска (лотереи, азартные игры). Формы функций полезности поэтому могут быть разными. Еще в классической статье Фридмана и Сэвиджа [Friedman, Savage, 1948] была использована S-образная функция полезности денег, выпуклая в области доходов и вогнутая в области потерь, для объяснения поведения человека, одновременно покупающего лотерейные билеты (любовь к риску) и страховые полисы (неприятие риска) (упражнение 3.7). Заметим, что здесь речь идет о крупных потерях/выигрышах. В области более скромных значений, не выходящих, если можно так выразиться, за рамки обычных для данного человека масштабов потерь/приобретений, некоторыми авторами был отмечен противоположный эффект: любовь к риску перед лицом потерь и неприятие риска при перспективе приобретений. Люди могут демонстрировать стремление рисковать, чтобы избежать возможных потерь, и одновременно предпочитать верное получение средних сумм по сравнению с игрой, если в ней нет шанса выиграть очень много. На рис. 3.5 приведена форма функции полезности денег, которая соответствует отношению к риску, выявленному в результате экспериментов Канемана и Твер-ски [Kahneman, Tversky, 1979; Tversky, Kahneman, 1992] (подробнее см. также раздел 6.4). Эта функция более “крута” в области потерь по отношению к некоторой точке отсчета, взятой за ноль на рисунке. Такая форма функции соответствует так называемым “эффекту отражения” (reflection effect) и “неприятию потерь” (loss aversion).
Как отмечал еще Бернулли, люди становятся все более безразличными к получению еще одного рубля по мере того, как заходит речь о получении все больших сумм. Аналогично по мере того, как речь заходит о все больших потерях, люди становятся все более безразличны к потере одного рубля, т.е. происходит такое же “насыщение”. Этот эффект и называют “эффектом отражения”.
“Неприятие потерь” — эффект, состоящий в том, что люди более чувствительны к потерям, чем к приобретениям. Ему соответствует более крутая форма функции в области отрицательных значений (потерь). Один из ранних примеров такого рода появился в одной из работ Самуэльсона (Р. Samuelson). Он спросил своего коллегу, согласится ли тот на игру, в которой можно с равными вероятностями потерять 100 долл, и выиграть 200 долл. Коллега отказался, аргументируя отказ тем, что потеря 100 долл, для него более чувствительна, чем выигрыш 200 долл. Стармер [Starmer, 2000] отмечает, что концепция неприятия потерь приобретает все большую важность в экономике, и число свидетельств в пользу наличия этого эффекта — как при выборе в условиях риска, так и в безрисковых ситуациях, — уже очень велико.
Ситуация 1. Предположим, что вы богаче на 300 долл., чем сегодня. Вам предлагается выбор между (А) получением 100 долл, без риска и
(В) игрой, в которой можно выиграть 200 долл, с вероятностью 50% либо ничего.
Ситуация 2. Предположим, что вы богаче на 500 долл., чем сегодня. Вам предлагается выбор между (А') потерей 100 долл, и (В') игрой, в которой можно потерять 200 долл, с вероятностью 50% либо ничего.
Оказалось, что 72% из 126 респондентов выбрали (А) в ситуации 1. В ситуации (В) из 128 респондентов 64% выбрали (В'). При этом распределения конечного результата одинаковы для (А) и (А'), а также для (В) и (В'). Данный пример демонстрирует явные различия в отношении людей к потерям и приобретениям и важность смещения “точки отсчета”. Кроме того, он может служить примером “эффекта представления” (framing effect). Эти и другие эффекты подробнее рассматриваются в следующих главах.
Другой правдоподобный пример “поиска риска” в ситуации, связанной с потенциальными потерями, такой. Менеджеру компании, которая имеет активы на сумму 1 млрд. долл, и задолженность в размере 1,1 млрд, долл., предлагается реализовать крупный инвестиционный проект, который в случае успеха принесет 1 млрд, долл.; вероятность успеха 1/2. В случае неуспеха вложенные средства будут потеряны. Для реализации проекта требуется инвестировать 0,5 млрд. долл. По-видимому, в данной ситуации многие менеджеры пошли бы на риск, так как его принятие дает шанс спасти компанию от банкротства с вероятностью 1/2, в противном же случае такого шанса не будет вовсе.
3.4
Применения ожидаемой полезности
Модель Барруа (1851). Предположим, что некоторое лицо (страхователь) желает застраховаться от потенциального убытка случайного размера X. Пусть предпочтения страхователя описываются ожидаемой полезностью с функцией полезности денег и. Обозначим через G сумму, уплачиваемую за страховой полис — страховую премию. Здесь речь идет о так называемой брутто-премии, т.е. сумме, действительно уплачиваемой страхователем (подробнее см. раздел 7.1). Критерий приемлемости премии для страхователя выглядит как
u(w-G)> Ем(?? — X),
где w — капитал страхователя. Выражая это словами, полезность при уплате страховой премии и страховании риска должна быть не меньше, чем полезность в ситуации, когда страхования нет.
Если функция полезности денег и непрерывна и возрастает, то максимальная приемлемая для страхователя страховая премия G есть единственное решение уравнения
u(w-G) = Еи(??-X). (3-9)
Если и вогнута, то в силу неравенства Иенсена Еі<(і?- Х)< и(??-ЕХ).
Поэтому для возрастаюшей и вогнутой и выполняется неравенство
G> EX. (3-10)
Таким образом, страхователь готов платить премию, превышающую средний ущерб. Это соответствует практике страхования: премии обычно определяются как ожидаемый ущерб плюс различные надбавки, которые можно рассматривать как “плату за страхование риска”.
Пример 3.1. Возможный ущерб страхователя по некоторому риску, измеряемый в некоторых денежных единицах (допустим, в тысячах долларов), распределен равномерно на [0,100]. Найдем максимальную страховую премию за страхование такого риска, которую готов будет заплатить страхователь, имеющий капитал 100 денежных единиц и руководствующийся правилом максимизации ожидаемой полезности с квадратичной функцией полезности денег и(х) = х - ах2, а = 0,005.
Запишем уравнение (3-9), полагая w = 100:
m(ioo-g) = Em(ioo-a:).
Нужно подставить данные условия и решить полученное уравнение. Для упрощения можно положить t = 100-G, У = 100-Х. Если X распределен равномерно на [0,100], то величина Y, как легко видеть, имеет такое же распределение (проверьте). Имеем
t-at2 =E(Y-aY2).
Так как
получаем квадратное уравнение
at2-Г + ^ = 0.
Решая его, находим корни
¦u-.00(.±$.
из которых положительному G соответствует только один, г = 100 1 — откуда находим G = 57,735. ^Рассмотрим теперь ситуацию с точки зрения страховщика (страховой компании). Пусть страховщик имеет непрерывную и возрастающую функцию полезности денег й и капитал й>. Тогда минимальная премия G, за которую он готов будет взять на себя ответственность по покрытию риска величиной X, будет решением уравнения
м(??) = Ем(??-X + G). (3-11)
Нетрудно обобщить эту модель на случай п страховых полисов, например страхования автомобилей или другого имущества. Пусть ущерб, покрываемый страховщиком поу'-му полису ( j = 1,...,«), равен Xг а минимальная премия G}. Тогда аналог уравнения (3-11) запишется как
(3-12)
м(??) = Ей
Если функция й возрастает и вогнута, то G > тх (это также следует из неравенства Иенсена, покажите самостоятельно).
Если минимальная премия страховщика G, определенная из уравнений_(3-11) или (3-12), превышает максимальную премию страхователя G, определенную из (3-9), то соглашение между страхователем и страховщиком невозможно; в противном случае соглашение достижимо, т.е. страхование возможно.
Можно заметить, что страховая премия, взимаемая страховщиком, есть (за вычетом сумм на расходы) сумма резерва, достаточная для покрытия риска. Поэтому можно рассматривать величину премии, порождаемую той или иной моделью, как меру риска. Поэтому к премиям применимы рассуждения раздела 2.4. В частности, правило определения премий должно обладать свойством (SA): при совместном страховании рисков суммарная премия должна быть не больше, чем сумма премий по отдельным “изолированным” рискам. В упражнении 3.8 приведена функция й, порождающая аддитивное правило определения премий. Это означает, в частности, что при росте числа полисов п суммарная премия растет пропорционально п. Однако для страховых премий более естественным было бы правило роста с “высвобождением резерва” согласно (SA): допустимая премия на один полис должна сокращаться при росте их числа. Обсуждение этого вопроса будет продолжено в главе 7.
Теорема Эрроу (Arrow) об оптимальной форме страхового контракта описывает теоретически оптимальную форму страхового покрытия в ситуации, когда ущерб страхователя X покрывается не полностью. Предположим, что страхователь готов заплатить за покрытие своего риска лишь сумму Р <тх. В этом подразделе будем считать, что страхователь платит за покрытие риска только чистую премию (средний ущерб), без каких-либо надбавок. Так как суммы Р недостаточно для того, чтобы оплатить покрытие всего убытка X, возникает задача о выборе наилучшей формы страхового покрытия. Введем функцию R(x), выражающую страховое покрытие в зависимости от величины ущерба л;. Теорема Эрроу дает ответ на вопрос о форме функции R(x), теоретически оптимальной для страхователя (передающей риск стороны). Предположим, что страхователь руководствуется критерием ожидаемой полезности и имеет функцию полезности денег и. Тогда задача состоит в выборе функции R исходя из правила
Eu(w-P-X +tf(X))—>max, (3-13)
где w — имеющийся капитал, причем
ER(X) = P. (3-14)
В сущности, эта задача представляет собой задачу о “дележе риска” X между двумя сторонами, но оптимальном лишь для одной из сторон.
Задачи о дележе риска представляют интерес в контексте перестрахования.
Схемы перестрахования
Соглашение о перестраховании между двумя страховыми компаниями означает, что компания-перестраховщик обязуется покрывать определенную часть ущерба первичного страховщика (цедента). Такие соглашения могут заключаться по линиям перестрахования; это означает, что все риски определенного типа, принимаемые цедентом, автоматически перестраховываются по определенной схеме. Общепринятые схемы включают, в частности ;
¦ квотное (quota share) перестрахование, R(x) - (1 - r)x, re [0,1];
¦ перестрахование эксцедента убытка (excess of loss),
R(x) = max(;t-d,0) (3-15)
(при применении к группам рисков (3-15) называют "stop-loss" перестрахованием, или перестрахованием эксцедента убыточности);
1 См., например: [Страхоіюе дело, 2004[.
¦ эксцедентное (эксцедента суммы, surplus) перестрахование для рисков с максимальным возможным убытком ??:
О, W<L, х, W > L.
'i-±' Wj
(V
Крупные риски часто делятся на “слои” (layers), т.е. интервалы возможного ущерба, которые “продаются” перестраховщикам по частям. Например, перестраховщик может покрывать 30% ущерба при условии, что ущерб составит от 4 до 6 млрд. руб.
Таким образом, профиль риска, остающийся на ответственности первичного страховщика (как говорят, на его собственном удержании), может быть очень сложным. В настоящее время риски перестраховываются по многим каналам, через международную перестраховочную сеть.
Оказывается, однако, что из многообразных форм страхового покрытия именно “stop-loss” форма (3-15) является, при сделанных предположениях, оптимальной.
Теорема 3.3 (Эрроу об оптимальном страховании). Если функция и дважды дифференцируема, и'(х) > 0, и"(х) < 0, то решением задачи (3-13)—(3-14) является функция R(x) вида (3-15).
(Доказательство см., например: [Актуарная математика, 2001].)
Эта теорема замечательна тем, что ответ не зависит от конкретного вида функции полезности денег. Какой бы ни была и, оптимальная форма страхового покрытия имеет вид (3-15), при этом d определяется из (3-14).
Интересно также отметить, что страховое покрытие вида (3-15) также оптимально и с точки зрения минимизации дисперсии риска, остающегося на собственном удержании цедента, т.е. R(x) из (3-15) является и решением задачи
D(X-tf(X))->min (3-16)
(см., например: [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994]).
Пример 3.2. Предположим, что суммарный страховой убыток по группе полисов автомобильного страхования распределен экспоненциально со средним, равным 20 денежным единицам. Требуется найти оптимальные условия перестрахования этой группы рисков, если перестраховочное покрытие покупается по цене, равной чистой рисковой премии, и менеджер страховой компании желает перестраховать этот пакет рисков на 60%, т.е. купить перестраховочное покрытие на 60% от суммы чистой рисковой премии. Будем моделировать решения, принимаемые менеджером, при помощи модели ожидаемой полезности с некоторой возрастающей и вогнутой функцией полезности денег и.
Здесь применима теорема Эрроу, и оптимальной формой перестрахования будет “stop-loss”. Вне зависимости от конкретного вида и, вид оптимального договора перестрахования дается (3-15). Остается только определить d из (3-14). Перепишем (3-14) в виде
Р= Г (x-d)fx(x)dx, (3-17)
J <і
где fx — плотность распределения X.
В нашем случае fx(jc) = f}e~Px (х > 0). Сделав замену z = x-d, получаем
Р= f zfx(z + d)dz= f zj3e~^/+,I)dz =
Jo Jo
= e'pd Г~zpe-pidz.
Jo
Интеграл в этом выражении представляет собой математическое ожидание экспоненциального распределения, равное 1//? = 20. Поэтому
d_ In ФР)
Р
Так как компания тратит на перестрахование Р = 20-60% = 12 денежных единиц, а (3 -1/20, получаем d = 10,217.
Оптимальность stop-loss страхования (перестрахования) выше утверждалась при равенстве страховых премий средним возмещениям. Нужно сказать, что на реальном страховом рынке премии для такого вида страхования выше, чем для других видов, т.е. участники рынка понимают выгодность такой формы страховых соглашений [Daykin, Penti-kainen, Pesonen, 1994].
Выбор портфеля. Вернемся к задаче о выборе портфеля ценных бумаг, сформулированной в разделе 2.1. Применим для решения этой задачи теорию ожидаемой полезности. Задав функцию и, можно искать оптимальные инвестиционные альтернативы как решение задачи
Еи(г.) —мпах, (3-18)
А
где гА — доходность портфеля, соответствующего альтернативе А.
Если задача состоит в оптимальном формировании портфеля из п ценных бумаг, то альтернативы выбора снова будем считать векторами долей вложений (bvb2,...,bn), такими, что bt >0, ^Ь; =1. При этом гА = 'У'рт, где а; — доходность і-го актива. В этом случае (3-18) превращается в задачу на максимум функции (п- 1)-й переменной, как и задачи выбора портфеля, рассмотренные в главе 2.
Пример 3.3. Снова рассмотрим простейший случай всего двух бумаг с независимыми нормально распределенными доходностями г* и г2. Пусть и — экспоненциальная функция полезности денег,
и(х) = l-e_“.
Если а > 0, эта функция вогнута, возрастает, непрерывна и ограничена, ц(0) = 0. Пусть b — доля инвестиций в первый актив. Задача (3-18) превращается в
1-Ее~"|Ьг‘*+(1Ч,)Г2'1 —> max,
b
или в силу независимости г* и г2*
І-Ее-^'Ее""11-**' -»max.
ь
Для вычисления левой части этого выражения можно воспользоваться выражением для производящей функции моментов случайной величины ?, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием т и дисперсией а2 (см. раздел 12.1),
Ее'4 = е,те°и1\
Применив эту формулу, получаем задачу 1-ехр(-а?>т, + а2о2Ь212 - а{\-Ь)т2 +аг<7І(1-?>)2/2) —> max.
Задача максимизации эквивалентна задаче минимизации показателя экспоненты. Дифференцируя его по b и приравнивая производную к нулю, получаем
mt-m2 — (У^аЬ + <у\а{\ —Ь) = О,
откуда
^ _ щ -т2 + (72а (0? + 0%)а
В частном случае, когда щ-щ-т, что совпадает с решением упражнений 2.2 и 2.15. Этого следовало ожидать, так как в этом случае всегда ЕгА = т, т.е. выбор производится из нормальных распределений с одним и тем же математическим ожиданием. Из таких распределений оптимально распределение с наименьшей дисперсией, поскольку оно стохастически доминирует в смысле доминирования второго порядка другие такие распределения. Найденное же Ь минимизирует дисперсию гА.
Как и следовало ожидать, в этом примере предпочтения, порожденные ожидаемой полезностью, совпадают с порожденными некоторым критерием вида V =?(т,сг). Совместное распределение доходностей г{,...,гп было нормальным. На самом деле, здесь сыграли роль три следующие свойства нормального распределения:
¦ нормальное распределение — двухпараметрическое и полностью характеризуется первыми двумя моментами;
¦ любая линейная комбинация доходностей гг...,гп принадлежит тому же классу распределений (нормальному);
¦ среди альтернатив с фиксированной средней доходностью т альтернатива с наименьшей сг является наилучшей (доминирует остальные в смысле второго стохастического доминирования).
Этот результат можно распространить. Оказывается, например, он справедлив для всех так называемых эллиптических распределений. Эллиптическим будем называть распределение с плотностью вида
/(•*, ? • .,*„)= Д~ 8„ ((* “ (* -™)Т), (3-19)
Vdet С
где m = [mv...,mn] — вектор-строка средних значений, С — положительно определенная матрица ковариаций, gn — некоторая одномерная функция (вообще говоря, она может быть разной при разных п ), х = [х{,...,хп]. В двумерном случае линии уровня такой плотности, описываемые уравнением f(xl,x2)~ const, представляют собой эллипсы, с чем и связано название. Эллиптические распределения удовлетворяют трем свойствам, перечисленным выше. Нормальное распределение, как легко видеть, является эллиптическим (формула для плотности многомерного нормального распределения приведена в разделе 12.1). Пример эллиптического распределения с тяжелым хвостом — ^-распределение Стьюдента с к степенями свободы. Для него
*.(?) = +
Сформулируем результат в виде теоремы. Как и выше, через тА и аА обозначены соответственно, среднее и среднее квадратичное отклонение доходности портфеля гА.
Теорема 3.4 [Ingersoll, 1987]. Пусть совместное распределение доходностей /],..., г имеет вид (3-19). Тогда решение задачи (3-18) для некоторой возрастающей и вогнутой функции полезности денег м( ) совпадает с решением задачи
YLV(mA,cr А) —> шах
А
для некоторой функции V, возрастающей по первому аргументу и убывающей по второму.
Доказательство использует три свойства эллиптических распределений, указанные выше. Из теоремы следует, что для этих распределений, как и для нормальных, критерий выбора ?(т,а) монотонен в смысле первого стохастического доминирования. Таким образом, теория выбора портфеля, основанная на правиле “среднее — дисперсия”, в этом случае не встречает трудностей, подобных описанным в разделе 2.2. Эллиптические распределения предоставляют несколько большую свободу моделирования доходностей по сравнению с нормальным; например, они могут иметь более тяжелые хвосты. Однако, как следует из формулы для плотности, распределения доходностей г: по-прежнему симметричны, что является существенным ограничением.
^Динамическая задача оптимизации портфеля и потребления. Рассмотрим эту задачу для дискретного набора моментов времени, t = 0,1,...,Г. Обозначим через X, капитал инвестора на момент t, с, — часть капитала, направляемую на потребление в период [г,г + 1); при этом с, <ХГ Предположим, что инвестор не получает других доходов, кроме дохода от вложений средств в различные ценные бумаги. Пусть имеется п таких бумаг; обозначим через bt{t) долю средств, вкладываемых в і-ю бумагу в момент t, через r(t) — случайную доходность і-й бумаги в период [г,Г + 1). Для каждого фиксированного і величины а; (Г) для различных t будем считать независимыми и_одинаково распределенными. Соответствующие_вектора обозначим b (?) и 7(г); тогда совокупная доходность r(t) = b (?) • 7(?) = ^(г)а; (г). Изменение капитала инвестора описывается уравнением
(3-20)
Предположим, что в каждый момент t инвестор выбирает величины с, и b'(t) [bi >0, ^.6. =l), исходя из принципа максимизации полезности потребления и остаточного капитала на момент Т (можно считать, что в этот момент весь остаток капитала потребляется):
(3-21)
Такого типа задачи в общих чертах уже рассматривались в разделе 1.5, где был сформулирован принцип оптимальности Веллмана. Введем функцию
Уравнение, выражающее принцип оптимальности Веллмана, в данном случае записывается в виде
(3-23)
W (Х,_„Г -1) = ma_x [и(с) + vEMW(X„ t)}.
c.b
Дифференцируя по с выражение под знаком максимума в (3-24) и приравнивая производную к нулю, имеем
откуда получаем оптимальную потребляемую сумму для момента Т -1:
Легко убедиться, что вторая производная отрицательна, поэтому это действительно точка максимума.
Что касается инвестирования, то из (3-24) и сделанного предположения о независимости доходностей для различных интервалов времени следует, что решение b этой задачи совпадает с решением “однопериодной” задачи оптимального инвестирования,
1+5>
(3-25)
Еіп
шах.
ь
Доходность, соответствующую портфелю — решению этой задачи, обозначим г*.
Теперь рассмотрим момент Т -2. Чтобы найти решение для этого момента, нужно найти вид функции W(X, Т-1). Подставляя в (3-22) и (3-23) Хт =[ХГ_,-с*_,](1 + г‘) и найденное значение получаем
W(X, Г -1) = In
где через условимся обозначать постоянные, не зависящие от X. Принципиально то, что эти константы не влияют на выбор оптимальных решений, так как максимум в уравнении (3-23) не зависит от добавленной константы (например, она исчезает при дифференцировании). То, что найденная функция W(X, Т-1) снова имеет логарифмический вид, позволяет повторить сделанное для момента Т-1 заключение о том, что с не зависит от инвестиционных альтернатив. Запишем уравнение Веллмана для момента Т - 2:
W(Xt_2,T-2) =
1п(с) + ?(1 + ?)Ег_2 In (ХТ_2 - с) + ?(1 + ?)Ег_,
+ K,
In= max
(,Ь
Отсюда видно, что оптимальный инвестиционный портфель снова является решением “однопериодной” задачи (3-25). Как уже сказано, слагаемые, не зависящие от капитала X, можно не принимать во внимание, поэтому единственное существенное отличие этого уравнения от (3-24) состоит в значении коэффициента перед вторым слагаемым под знаком максимума, который теперь равен ?(1 + ?). Ту же процедуру можно продолжать для моментов Г-3, Г — 4,..., 1,0. При этом единственное существенное изменение уравнения Веллмана будет состоять в изменении указанного коэффициента перед вторым слагаемым (читатель может строго показать это самостоятельно).
Обозначим коэффициент перед вторым слагаемым через ft(v) и попробуем найти его значение, а также вид оптимального потребления. Уже известно, что /г(?) = ?, /г_,(?) = ?(1 +?). Предположим, что у нас есть уравнение Веллмана, записанное для момента г-1. Оно имеет тот же вид, что и уравнение (3-24), только коэффициент перед вторым слагаемым равен не ?, а f,(v). Действуя аналогично вышеизложенному, находим решение:
С* -
1 + /,(?)'
Снова действуя аналогично вышеизложенному, находим вид функции W(X,t-l) и убеждаемся, что
mX,t-l) = (l + f,(v))HX) + K.
Согласно (3-24), значение коэффициента для следующего шага получается умножением на ?, т.е.
/,_,(?) = ?(і + /(?)).
Это рекуррентное соотношение определяет /,(?). Нетрудно убедиться в том, что ft есть геометрическая прогрессия,
f — у ^
JТ—п ’* * *
Подставив это в выражение для с* и преобразовав, имеем
1 — ?
X,.
с. -
Г-г+1
1-
В этом примере мы получили оптимальные стратегии, обладающие следующими свойствами: потребление не зависит от инвестиционных альтернатив, потребляемые суммы составляют фиксированные доли капитала, а оптимальный состав инвестиционного портфеля определяется решением “однопериодной” задачи (3-25). Стратегии с такими свойствами получаются — если функция полезности аддитивносепарабельна — исключительно для случая логарифмической функции полезности денег. Известны и решения этой задачи в случае других функций полезности денег, в частности степенных, и{х) = ху. Они уже не обладают такими простыми свойствами. Подробнее по этим вопросам см., например: [Ingersoll, 1987]. Непрерывный случай исследовался в известной статье Р. Мертона [Merton, 1971] и последовавших за ней публикациях.
Индексом абсолютного неприятия риска Эрроу — Пратта называется величина
(3-26)
Если и > 0, и*(х)< 0, то ги >0. Величина ги характеризует степень неприятия риска, демонстрируемого лицом с данной функцией полезности денег и. Чем эта величина больше, тем это лицо “сильнее не любит риск”. Это можно проиллюстрировать на рассмотренных выше примерах. Рассмотрим две функции полезности денег м, и м2, такие, что г (х) > г (х) для любого х. Тогда:
' М| ? ' |«1 4 '
^ их(х2)-щ(хх) < и2(х2)-и2(х,)
^(y2)~uM и2(У2)~и2(У і)
для любых у, < у2 < л:, < х2,
(б) если G, и G2 — определенные согласно (3-9) максимальные премии за страхование одного и того же риска со случайным ущербом X двух страхователей, имеющих функции полезности денег м, и и2 соответственного G, >G2 при любом распределении Х\
(в) если в примере 3.3 второй актив — безрисковый, т.е. а2 =0, и его ожидаемая доходность строго меньше доходности рискового актива, то доля капитала Ь? инвестированная в рисковый актив инвестором с функцией полезности денег и,, не больше доли Ь2, инвестированной в рисковый актив инвестором с функцией полезности денег и2. Ьх < Ь2.
Эти факты доказаны в статье Пратта [Pratt, 1964] (см. пояснение в разделе 12.3); утверждение (в), по-видимому, впервые получил Эрроу.
Пример 3.5. В ситуации примера 3.3 если сг2 =0, т.е. второй актив — безрисковый, то имеем
Для экспоненциальной функции полезности денег и(х) = 1-е~м индекс неприятия риска ги(х) = а (упражнение 3.13). Мы видим, что b убывает по а, т.е. чем больше индекс неприятия риска, тем меньше доля средств, инвестируемая в рисковый (первый) актив.
Известен также индекс относительного неприятия риска
(3-27)
3.5
Упражнения к главе 3
Упражнение 3.1. Повесть О. Бальзака “Шагреневая кожа” начинается со следующего эпизода. Некий молодой человек, войдя в казино, ставит свой последний золотой, проигрывает его и уходит в отчаянии. Завсегдатаи и служащие казино обсуждают этот случай, и один из них произносит следующую фразу: “Опытный игрок на его месте разделил бы ставку на три, чтобы увеличить шансы...” Что можно сказать о предпочтениях “опытного игрока”, в частности о его рациональности и отношении к риску? Предложите какую-нибудь функцию полезности, описывающую такие предпочтения.
Указание. Нужно иметь в виду, что “опытный игрок”, хотя и делит ставку на три (неприятие риска), все-таки предпочитает играть (любовь к риску). Поэтому его функция полезности должна выглядеть весьма необычно.
Упражнение 3.2. Критерий Массе был введен в разделе 2.4. Так называется критерий выбора вида
(а) критерий Массе порождает те же предпочтения, что некоторая функция ожидаемой полезности (какая?);
(б) для независимых величин критерий Массе обладает свойством аддитивности.
На самом деле, критерий Массе — единственная функция, обладающая этими двумя свойствами одновременно.
^Упражнение 3.3. В главе 1 рассматривались меры риска, для которых неприятие риска выражалось убыванием V по дисперсии. В этой главе неприятие риска выражается вогнутостью функции полезности денег. Покажите, что эти два принципа противоречивы.
Указание. Постройте пример случайных величин X и Y и вогнутой функции м(-), таких, что тх =mY, crx > crY, но Еи(Х) > Еи(У).
Упражнение 3.4. Почему нельзя привести такого примера, как в предыдущем упражнении, с нормально распределенными X и У?
Упражнение 3.5. Пусть и(х) > 0, и’(х) < 0. Продолжите интегрирование по частям в (3-7) и покажите, что если F0 >¦ nF, то V(F0)-V(F) > 0.
Упражнение 3.6. Какие из приведенных ниже функций полезности монотонны относительно первого и/или второго стохастического доминирования, а какие — нет? Поясните свои ответы.
(а) ЩХ) = Е(Х);
(б) U(X) = Е(Х)-0,02-(D(X))3;
(в) U(X) = Ее0'01*;
(г) U(X) = -Ее45’01*;
(д) U(X) = -Ee^0lx+0'mx\
где Е — математическое ожидание, D — дисперсия.
Упражнение 3.7. Один и тот же человек регулярно покупает лотерейные билеты, надеясь выиграть автомобиль ценой 10000 долл., и страхует свой собственный автомобиль такой же стоимости от угона. Можно ли объяснить его поведение с помощью модели ожидаемой полезности? Какую форму должна иметь функция полезности? [Friedman, Savage, 1948].
Упражнение 3.8. С точки зрения страховой компании собираемые ею страховые премии должны быть достаточны для формирования страхового резерва, покрывающего выплаты по полисам. Поэтому величина G в (3-11) —денежная мера риска, и к ней должны быть применимы рассуждения раздела 2.4. Покажите, что если функция й в (3-11) — экспоненциальная функция полезности, й(х) - -е'"*, то G, как мера риска, аддитивна по отношению к сложению независимых случайных страховых убытков. Покажите, что G имеет вид, аналогичный функции Массе (раздел 2.4 и упражнение 3.2).
В трех следующих упражнениях денежные суммы измеряются в тысячах долларов.
Упражнение 3.9. Ущерб по некоторому риску распределен равномерно от 0 до 20. Какую максимальную страховую премию за страхование такого риска готов будет заплатить страхователь, имеющий капитал 50 и руководствующийся правилом максимизации ожидаемой полезности с функцией полезности и{х) = х-ах2, а = 0,01?
Упражнение 3.10. Рассмотрим страхователя из примера 3.1. Предположим, что ущерб имеет следующее распределение: в случае аварии (с вероятностью 0,02) ущерб распределен равномерно на [0,100]; в противном случае ущерб равен 0. Найти максимальную страховую премию, которую готов заплатить страхователь в этом случае.
Упражнение 3.11. Страховой ущерб в случае пожара распределен равномерно от 0 до 100; вероятность пожара равна 0,02. Найти форму страхового контракта, оптимальную с точки зрения страхователя, имеющего возрастающую и вогнутую функцию полезности, максимизирующего свою ожидаемую полезность и готового заплатить за страхование данного риска сумму Р.
Упражнение 3.12. Инвестор имеет возможность сформировать портфель из двух активов, годовые нормы доходности которых моделируются нормальными случайными величинами со средними тх = 16% и т2- 9% и средними квадратическими отклонениями сг, =30% и а2 =12%, соответственно, и коррелированы с коэффициентом корреляции /? = 0,46. Считая, что инвестор вкладывает 1 ден. ед., имеет функцию полезности и(х) = х-0,02х2 и стремится максимизировать ожидаемую полезность стоимости капитала на конец года, найти оптимальные с его точки зрения доли вложений в первый и второй активы.
Упражнение 3.13. Вычислите индексы абсолютного неприятия риска (3-26) для следующих функций полезности денег:
(а) логарифмической и(??) = ln(w);
(б) степенной ы(??) = ??а, 0<аг<1;
(в) экспоненциальной и(??) = \-e~nw, а > 0;
(г) квадратической и(??) = w-aw2, а > 0;
(д) так называемой HARA (hyperbolic absolute risk aversion) функции, u(w) = (aw + b)y, 0<y<\, w>
a
глава
ПАРАДОКСЫ ВЫБОРА
Экономическое поведение людей может сильно отличаться от предсказываемого теорией ожидаемой полезности. Это подтверждается как данными лабораторных экспериментов, так и примерами из реальной жизни.
4.1
Парадокс Аллэ
Первым примером, показывающим несоответствие теории ожидаемой полезности принципам выбора, признаваемым рациональными, во всяком случае, многими людьми, стал известный парадокс Аллэ [Allais, 1953]. Рассмотрим следующий пример. Предлагается выбрать между А : получением 1 млн. долл, без риска; и В : лотереей со следующим распределением выигрыша:
г Выигрыш 0 1 млн. долл. 5 млн. долл.^
ч Вероятность 0,01 0,89 0,1 ,
Выигрыш в 1 млн. долл, представляется достаточно большой суммой, чтобы, в погоне за еще большим выигрышем в 5 млн. долл., рисковать не получить ничего даже с такой малой вероятностью, как 0,01. Действительно, большинство людей выбирает А в этой и аналогичных парах альтернатив. С другой стороны, рассмотрим выбор между лотереями
г Выигрыш ч Вероятность
5 млн. долл.^
0
0,9
С:
ОД
4.1
Парадокс Аллэ
' Выигрыш 0 1 млн. долл.^
^Вероятность 0,89 0,11 J
В этой ситуации выбора большинство предпочтений оказывается в пользу С. Действительно, здесь разница в 0,01 в вероятностях выигрыша уже не кажется столь значительной, как в первой паре.
На рис. 4.1 распределения выигрышей, соответствующие альтернативам, изображены точками на плоскости, аналогично тому, как это делалось в разделе 3.2.
Здесь р2 — вероятность выигрыша в 1 млн. долл., ръ — вероятность выигрыша в 5 млн. долл. Легко проверяется, что ABCD представляет собой параллелограмм. Как известно, диагонали параллелограмма пересекаются в их средних точках, поэтому
2 а 2 с 2 в 2
То же самое можно показать и непосредственно (читатель может проделать это самостоятельно). Поэтому должно выполняться равенство
V(iF* + 2Fc) = V(2F' + 2F‘>Y
Но в силу свойства линейности ожидаемой полезности (3-4) ±V(Fa)+±V(Fc)=±V(Fb) + ±V(Fd),
что противоречит выявленным ранее “экспериментальным” предпочтениям V(Fa)>V(Fb) и V(Fc)>V(Fd).
Это противоречие показывает, что никакая модель ожидаемой полезности не может давать такую картину предпочтений: А>- В, С >¦ D. Из рис. 4.1 видно, что невозможно построить семейство параллельных прямых, подобных показанным на рис. 3.2, так, чтобы смоделировать такие предпочтения (убедитесь в этом самостоятельно). Это можно было бы сделать, только отказавшись от параллельности кривых безразличия. Один из способов провести такие кривые показан на рис. 4.1. Две кривые безразличия расположены таким образом, что их продолжения пересекаются в точке М, находящейся за пределами треугольника. При этом кривые безразличия проходят между точками А и В, а также С и D, оставляя точки Л и С справа (глядя из точки М), а В и D — слева от соответствующей кривой.
В связи с этим можно заметить, что о парадоксах типа парадокса Аллэ иногда в литературе говорят как о явлении “расхождения” кривых безразличия (“fanning out”; см., например: [Machina, 1987]). Модель, порождающую такие кривые, можно построить, лишь отказавшись от аксиомы независимости.
Эксперименты
Активно развивается относительно новое направление науки об экономическом поведении — экспериментальное исследование предпочтений . Такие исследования проводятся обычно на группах людей. Иногда используются реальные деньги; чаще, однако, лишь некоторые, случайно выбранные из группы люди получают выигрыши в соответствии с выбранной ими лотереей. В частности, целый ряд исследований экспериментально подтвердили устойчивое соответствие поведения людей примерам типа парадокса Аллэ. Есть и много других интересных результатов, некоторые из которых описаны ниже. Однако вопрос о том, насколько предпочтения, демонстрируемые в лабораторных условиях, соответствуют повседневному экономическому поведению, весьма сложен и нуждается в дополнительном изучении.
Парадоксы типа парадокса Аллэ и его обобщений (включая ситуации выбора без “эффекта определенности”, т.е. когда ни одна из альтернатив не является детерминированной, как альтернатива А в нашем примере) часто называют “эффект одинакового исхода” (common consequence effect). Причину такого названия и идею построения подобных примеров демонстрируют упражнение 6.6 и пример в конце раздела 6.3.
См., например: |Сашегег, 1995; Choices, Values, 2000; Luce, 2000; Starmer, 2000].
Э(!>фект "одинакового отношения "
4.2
Эффект “одинакового отношения”
Эффект одинакового отношения (common ratio effect) — еще один устойчивый пример нарушения аксиомы независимости. Рассмотрим следующий пример [Kahneman, Tversky, 1979]. Предлагается выбор между альтернативами
А: получить 3000 долл, без риска; и
( Выигрыш 0 4000доллЛ
Затем предлагается выбор между
' Выигрыш 0 3000 долл.
Из 95 респондентов 80% выбрали А в первой паре, 65% выбрали D во второй паре, и число тех, кто демонстрировал одновременно такие предпочтения, т.е. (А >- В, D >- С), оказалось больше 50%. В то же время нетрудно видеть, что такая комбинация предпочтений нарушает аксиому независимости. Представим себе двухступенчатую лотерею, в которой с вероятностью 0,25 можно выиграть право участия в лотерее А, а с вероятностью 0,75 — ничего. Распределение выигрыша в такую лотерею совпадает с Fc. Точно так же распределение выигрыша в двухступенчатую лотерею, где можно с вероятностью 0,25 выиграть право участия в лотерее В, ас вероятностью 0,75 — ничего, совпадает с распределением выигрыша в лотерею D, FD. Математически это записывается как
Согласно свойству линейности ожидаемой полезности (3-4), если V(Fa) > V(FB), то должно быть V(FC) >V(FD), т.е. С >- D. Этот пара-доке получил свое название потому, что в парах лотерей АС и BD одинаковы отношения вероятностей выигрыша, 1/0,25 = 0,8/0,2.
Устойчивость данного эффекта, тоже впервые указанного Аллэ (см. упражнение 4.3), многократно проверена и подтверждена рядом исследований (см., например: [Machina, 1987; Epstein, 1992]).
Читатель может заметить, что несомненную роль в приведенном примере, как и в примере раздела 4.1, играет детерминированность одной из альтернатив в первой паре, заставляющая многих отдавать ей предпочтение как “безрисковой”. Влияние определенности на предпочтения отмечалось еще Аллэ; в литературе установилось название “эффект определенности” (certainty effect). Приведенные выше примеры используют этот эффект, но было бы неправильно сводить их лишь к нему. Эффект определенности делает эти примеры более прозрачными, но подобные же примеры предпочтений возникают и в ситуациях, не связанных с детерминированными альтернативами.
4.3
Критика ожидаемой полезности
Никакая теория, конечно, не может предсказывать выбор с абсолютной точностью, и если бы обнаруженные противоречия с теорией ожидаемой полезности были, так сказать, “шумового”, несистематического характера, это вряд ли могло бы подорвать к ней доверие. Однако примеры отклонений от ожидаемой полезности, описанные выше, носят систематический и предсказуемый характер. Они постоянно воспроизводятся в экспериментах.
Аргументация в пользу аксиомы независимости, использующая двухступенчатые лотереи и проиллюстрированная на рис. 3.1, остается, несмотря на приведенные примеры, весьма привлекательной в силу своей логичности. Защищая аксиому независимости, Сэвидж [Savage, 1954] писал, что хотя он сам сперва посчитал в примере Аллэ из раздела 4.1 А более привлекательной, чем 5, но нашел это предпочтение ошибочным после того, как увидел этот пример полностью. Подобная аргументация, состоящая в том, что люди, чьи предпочтения входят в противоречие с аксиомой независимости, обязательно найдут их ошибочными и посчитают необходимым исправить, защищает, по крайней мере, нормативную ценность аксиомы независимости. В некоторых экспериментах респондентам предлагались такие аргументы, как соображения в пользу аксиомы независимости, сообщались средние значения выигрышей, но все это, по-видимому, не оказывало серьезного влияния на предпочтения (по поводу обзора см.: [Machina, 1987; Camerer, 1995; Starmer, 2000]).
Аллэ в своих работах постоянно критиковал аксиому независимости и, в частности, приведенную выше аргументацию, связанную с двухступенчатыми лотереями. Он считал, что подобная аргументация, подразумевая комбинирование лотерей, фактически включает “эффекты представления” (см. ниже, раздел 4.5), способные затемнить некоторые аспекты конечных распределений, которые видны при их прямом сопоставлении.
Тверски и Канеман [Tversky, Kahneman, 1986] говорят не только об аксиоме независимости, но и об аксиоме монотонности относительно первого стохастического доминирования (М,), что оба эти правила являются нормативно привлекательными, но оба же часто нарушаются в реальных ситуациях выбора. Аллэ, с другой стороны, всегда защищал аксиому монотонности как незыблемый принцип выбора. По-видимо-му, это наиболее распространенная точка зрения среди экономистов. Так, Фишберн [Fishbum, 1988] указывает на существенное различие аксиом (М[) и (1^). Если первая — естественное обобщение правила “чем больше, тем лучше” на вероятностные альтернативы, то вторая, в сущности, только одно из многих возможных правил комбинирования предпочтений при образовании сложных альтернатив. Во всяком случае, все нелинейные теории полезности, описываемые в разделе 5, идут по пути ослабления аксиомы независимости при сохранении аксиомы монотонности (М[). Последняя версия теории проспектов Тверски и Канемана [Tversky, Kahneman, 1992], описанная в разделе 6.4, также соответствует этой точке зрения.
Могут, конечно, быть существенные различия между лабораторными экспериментами и реальными экономическими решениями. В первом случае людям приходится, как правило, принимать решения единожды, сталкиваясь с новыми для них задачами. Реальные же решения принимаются обычно в условиях рынка. Эти решения повторяются, при этом имеет место некоторая обратная связь, или обучение. Люди спрашивают мнения друг друга, обсуждают выбор и т.д. Приводит ли все это к изменению предпочтений в сторону большего соответствия ожидаемой полезности? Стармер [Starmer, 2000] дает обзор существующих результатов. В целом этот вопрос сложен и пока недостаточно изучен, как теоретически, так и экспериментально. Данные небольшого числа проведенных экспериментов с повторяющимся выбором и групповыми обсуждениями в общем не дают оснований считать, что предпочтения эволюционируют в сторону согласия с ожидаемой полезностью, и хотя некоторые “странности” индивидуального выбора при этом действительно сглаживаются, это не относится к описанным выше парадоксам. В одном из экспериментов было, например, отмечено, что обсуждение в группах приводило к повышению процента предпочтений типа примера Аллэ. В целом нет никаких серьезных оснований считать, что индивидуальное поведение в условиях риска должно как-то сходиться к предписанному ожидаемой полезностью.
Ожидаемая полезность используется в экономике для моделирования рынков. В частности, эта теория — важный элемент моделей равновесий. Агентам (участникам экономики) приписываются предпочтения, моделируемые ожидаемой полезностью. Однако даже если можно строить таким образом модели рынков, адекватно отражающие некоторые их свойства (не все, как увидим ниже), из этого вовсе не следует, что поведение агентов действительно должно соответствовать ожидаемой полезности. Данная теория лишь отражает некоторые особенности экономического поведения. Кроме того, важно понимать, что эти особенности этой теорией определенным образом интерпретируются. Так, неприятие риска объясняется только эффектом убывания приращений полезности денег Бернулли (вогнутостью функции полезности денег) — т.е. неприятие риска в этой модели есть свойство отношения к деньгам. Более прямым объяснением кажется предлагаемое некоторыми современными теориями: неприятие риска определяется не только отношением к деньгам, но и отношением к случайности, т.е. к вероятностям. Теории, использующие не только искажения полезности денег, но и искажения вероятностей, рассматриваются в разделах 5.2 и 6.4.
Рассмотрим некоторые примеры, связанные с применением ожидаемой полезности. Для определения индивидуальной функции полезности обычно предлагаются процедуры, подобные следующей. Выбираются два числа, л: и у, и полагается, например, и(х) = 0, н(у) = 1. Субъекта просят указать детерминированный эквивалент (“цену”) ze(x,y) лотереи, в которой х и у выигрываются с вероятностями р
и (1-р) соответственно. Значение u(z) находится из равенства u{z) = ри{х) + {\- р)и(у). Затем аналогично находятся значения и в точках, промежуточных между х и z, z и у и т.д. Опыт применения процедур оценки такого типа показал, однако, их недостаточную надежность. Оказывается, разные варианты процедур дают разные результаты. Любопытно, что искажения тоже носят систематический и предсказуемый характер [Camerer, 1995]. Например, несколькими авторами было отмечено, что использование больших вероятностей р в описанной процедуре приводит к более вогнутым функциям и. Много связанных с этим эффектов описано в работе [Hershey, Kunreuther, Shoemaker, 1982]. Все они противоречат предположению, что функция полезности денег должна быть инвариантна к процедуре ее определения. На практике это часто не так.
Есть важные примеры реального экономического поведения в условиях риска, которые не удается объяснить с помощью модели ожидаемой полезности. Так, в статье [Mehra, Prescott, 1985] было отмечено явление, названное авторами “equity premium puzzle”. Оказалось, что реальные данные о сравнительном спросе на акции и облигации могут быть объяснены классическими моделями равновесия, использующими ожидаемую полезность, только при аномально высоких уровнях неприятия риска (примерно в 30 раз больших, чем можно допустить исходя из разумных оценок и соображений).
Основанная на ожидаемой полезности теория страхования, построенная в разделе 3.4, тоже имеет свои трудности. В качестве простого примера [Mossin, 1968] рассмотрим пропорциональное страхование, при котором страхователь может купить полис на страхование определенной доли ущерба. Например, если X — случайная величина ущерба (потерь) страхователя, то страховая компания покрывает ущерб гХ, где г — число из интервала [0,1]. Предположим, что страховая премия равна г(1 + ?)тх, где ? — так называемая рисковая надбавка (см. главу 7). Пусть страхователь выбирает пропорцию г страхования своего риска исходя из правила максимизации ожидаемой полезности,
Ем (?? - г(1 + ?)тх - (1 - г)Х) —> max
? ’ rt^O.l]
(здесь, как и в главе 3, ?? — капитал страхователя).
5-Теория риска
Дифференцируя левую часть в точке г = 1, имеем
г(1 + ?)тх -(l-r)X)|r=1 =
= Еи'(\?-г(1 + ?)тх -(l-r)X)[X ~(1 + ?)тх )|r=l =
= Et/(w-r(l + ?)т) = —i/(w- (1 + ?)тх )?тх.
Если ? > О, что всегда бывает в реальном страховании, и и > О, то это выражение отрицательно. Это означает, что при уменьшении г полезность возрастает, т.е. страхователь никогда не может быть заинтересован в полном страховании своего риска. Страхование почти полного ущерба для него предпочтительнее полного страхования. Если бы такое предсказание модели ожидаемой полезности было верно, это давно было бы осознано страховыми компаниями, которые стали бы продавать полисы, обещающие, например, покрытие 95% или 90% ущерба, и такие полисы получили бы гораздо более широкое распространение, чем полисы полного страхования. На самом деле, хотя страховые компании и продают полисы пропорционального страхования некоторых видов, нельзя сказать, чтобы эти полисы доминировали на рынке. В большинстве видов страхования такая практика вообще не распространена. Наоборот, страхователи обычно демонстрируют высокий спрос именно на полное страхование.
Дополнительный свет на этот вопрос проливает исследование Ваккера, Тэйлера и Тверски [Wakker, Thaler, Tversky, 1997]. В этой статье приводятся результаты опросов потребителей в отношении предпочтительных способов страхования. Эти данные однозначно подтверждают предпочтительность полного страхования по сравнению с частичным пропорциональным (в частности, страхованием 99% суммы ущерба). Кроме того, особенно сильные несоответствия с прогнозами ожидаемой полезности были выявлены в отношении “вероятностного” страхования — страхования, при котором покрытие ущерба производится только с некоторой вероятностью (в частности, 0,99). Теория ожидаемой полезности предсказывает, что если вероятность покрытия ущерба снизить на 1%, то и премия, которую готов будет заплатить страхователь, должна снизиться на близкую величину (упражнение 4.4). Однако опросы показали, что людям очень не нравится такой тип страхования. Премия, которую они в среднем готовы были платить, оказывалась меньше премии за полное страхование не менее чем на 25%.
4.4
‘Переворот предпочтений
Все эти примеры говорят о том, что модель ожидаемой полезности является слишком упрощенной. В последующих главах 5 и 6 будут оассмотрены модели, развивающие теорию ожидаемой полезности и, в частности, позволяющие объяснить многие из описанных выше парадоксов выбора.
4.4
*“ Переворот предпочтений”
Явление переворота предпочтений (preference reversal phenomenon) было отмечено рядом авторов и широко обсуждалось в литературе. Речь идет о следующем типичном нарушении аксиомы транзитивности. Рассмотрим две лотереи:
А: Р-лотерея (P-bet), в которой со сравнительно большой вероятностью можно выиграть небольшую сумму денег; и
В : $-лотерея ($-bet), в которой с небольшой вероятностью можно выиграть значительно большую сумму денег, чем в Р-лотерее.
Феномен состоит в том, что при прямом выборе многие люди предпочитают Р-лотерею, однако когда людей просят оценить в деньгах право участия в той и другой игре, они оценивают право участия в S-лотерее выше. Это говорит о нетранзитивности предпочтений. Действительно, обозначим детерминированные эквиваленты, или цены участия в играх А и В, соответственно е(А) и е(В). Обозначим А' и В' альтернативы, состоящие в безрисковом получении е(А) и е(В) соответственно. Набор предпочтений А>- В, А~ А\ В ~ В', А' < В' противоречит транзитивности отношения X.
Фишберн [Fishburn, 1988] описывает проведенный им неформальный эксперимент с двумя лотереями
( Выигрыш 0 ЗОдолл.^
( Выигрыш 0 100 долл.''
В:
При прямом выборе большинство испытуемых предпочитали А. Когда же другой группе испытуемых предлагалось оценить право участия в лотереях, для А оно оказалось в среднем около 25 долл., а для В —21 долл.
Нетранзитивность предпочтений, конечно, не может быть принята как нормативный принцип. Действительно, тогда было бы легко сконструировать цикл альтернатив, “выкачивающий” деньги улица с такими предпочтениями (“money pump”). Так, предположим, что есть человек, готовый обменять право участия в игре В на право участия в игре А из приведенного выше примера, но оценивающий их соответственно в 27 и 25 долл. Тогда кто-нибудь мог бы предложить ему участие в игре В за плату в 27 долл., затем предложить вместо этого сыграть в игру А, на что он согласится, и выкупить право участия в игре А за 25 долл. В результате лицо с циклическими предпочтениями потеряет 2 долл. Вероятно, если действительно произвести с ним все эти операции, этот человек поймет, что с его предпочтениями что-то не так.
4.5
* Эффекты представления
Эффекты представления (framing effects) состоят в изменении предпочтений в зависимости от формы представления альтернатив или формы вопроса. Один из примеров такого рода был описан выше, в разделе 3.3. Там речь шла о различном отношении к потерям и приобретениям. Возможно, еще более отчетливо этот психологический эффект проявляется в другом примере, связанном с человеческими жизнями, впервые приведенном в работе Канемана и Тверски [Kahneman, Tversky, 1979].
Предположим, что 600 человек заразились потенциально смертельной азиатской болезнью. Предлагаются две альтернативные программы лечения. Если будет избрана программа Л, 200 человек будут спасены. Если будет
4.5
Эф<І>екты представления
избрана программа В, с вероятностью 1/3 будут спасены все 600 человек, а с вероятностью 2/3 никто не будет спасен.
72% респондентов, которым предлагалась такая формулировка вопроса, выбрали программу А. С другой стороны, оказывается, что если переформулировать вопрос в терминах количества не спасенных, а потерянных жизней, ответ будет противоположным! Другой группе респондентов была предложена такая формулировка:
Если будет принята программа С, умрут 400 человек. Если будет принята программа D, то с вероятностью 1/3 никто не умрет, а с вероятностью 2/3 умрут все 600 человек.
78% респондентов выбрали программу D, хотя фактически ее результаты совпадают с результатами программы В в первой паре. То же верно для программ С и Л.
Тверски и Канеман [Tversky, Kahneman, 1986] приводят результаты другого эксперимента, где “эффект представления” приводит даже к нарушению аксиомы монотонности относительно первого стохастического доминирования (М,).
150 участникам эксперимента был предложен выбор между лотереями:
А: получить 240 долл, без риска и
( Выигрыш 0 1000 долл^
В:
Вероятность 0,75 0,25 J
Затем той же группе предлагалось выбрать между
С: потерять 750долл, и
f Выигрыш -1000 долл. 0 ^
(^Вероятность 0,75 0,25 J
Результаты оказались таковы: 84% респондентов выбрали А в первой паре, 87% выбрали D во второй паре, у 73% наблюдалась комбинация (AD), и только у 3% — комбинация (ВС). Вряд ли можно сомневаться, что если бы речь шла об одновременном участии в одной лотерее из первой пары и одной из второй пары, большинством
была бы выбрана комбинация (AD). Однако распределение выигрыша от одновременного участия в лотереях А и D есть
г Выигрыш -760 долл. 240 ^ ч Вероятность 0,75 0,25J’
а выигрыш от одновременного участия в лотереях В и С имеет распределение
г Выигрыш -750 долл. 250 ^ ч Вероятность 0,75 0,25,
(проверьте это самостоятельно). Очевидно, второе распределение стохастически доминирует первое. При таком явном представлении результатов респонденты всегда предпочитают второе распределение.
Этот пример вполне можно объяснить ошибками субъектов, возникающими в результате сложного представления альтернатив.
Нужно заметить, что он, как и упомянутый выше пример из раздела 3.3, представляет нарушение принципа редукции (reduction), принимаемого, однако, большинством специалистов в качестве нормативного принципа.
(R) Выбор определяется только распределением конечного результата и не зависит от способа его получения.
Выше не раз неявно использовался этот принцип, например в рассуждении об аксиоме независимости в терминах двухступенчатых лотерей (раздел 3.2). У этого принципа есть и свои критики. Например, Аллэ, как уже упоминалось, в своей критике аксиомы независимости исходил именно из неприменимости принципа редукции для индивидуального выбора.
Любопытный пример “эффекта представления” дает следующий эффект, отмеченный в нескольких исследованиях, посвященных экономическому поведению в отношении страхования и инвестиционных рисков. Оказывается, что, например, в ситуации, когда предлагается выбрать между детерминированной потерей 10 долл, и потерей 1000 долл, с вероятностью 1%, поведение людей существенно разнится в зависимости от того, как ситуация описана. Если, например, сформулировать вопрос в виде: “Согласны ли вы заплатить 10 долл, в виде премии за страхование от такого риска?” — то гораздо больший процент людей соглашается, т.е. выбирает первую альтернативу [Starmer, 2000].
Вообще, тот факт, что форма представления информации, и в частности статистической информации, влияет на выбор людей, конечно, не нов. Такого рода эффекты слишком широко используются в рекламе, маркетинге или, например, политических кампаниях, чтобы можно было не замечать их наличия.
Привлечение внимания людей к определенным аспектам ситуации (в приведенных выше примерах это возможность приобретений или потерь) влияет на восприятие ситуации и принимаемые решения.
Подробное обсуждение эффектов представления выходит за рамки этой книги. Интересующийся читатель может обратиться к указанным выше источникам. По моему мнению, аксиома редукции (R) остается хорошим нормативным принципом, который может быть принят в большинстве моделей. В тех моделях, однако, где “эффекты представления” могут играть существенную роль, они должны каким-либо образом учитываться, в частности можно пытаться их моделировать. В разделе 6.4 описывается модель, в которой сделана попытка “отсеивать” эти эффекты путем введения некоторых нормативных правил представления лотерей, и уже затем применения математических моделей выбора к таким “очищенным” лотереям.
4.6
^Парадоксы межвременного выбора
Своеобразные парадоксы отмечены в области выбора при разновременном получении доходов (межвременного выбора — intertemporal choice). Это примеры предпочтений, противоречащих модели дисконтированной полезности и ее аксиомам (раздел 1.3). Ниже кратко описаны основные из них.
Дисконтированная полезность (1-10) отвечает требованию стационарности (Р4) теоремы 1.3 из раздела 1.3. Как было сказано там, смысл этого принципа в том, что предпочтения не меняются при одновременном переносе всех платежей во времени, например при их отсрочке. Однако на практике отсрочка платежей вполне может приводить к изменениям предпочтений. Тэйлер [Thaler, 1981] говорит об этом так: “Человек может предпочитать одно яблоко сегодня двум яблокам завтра, но в то же время предпочитать два яблока через 51 день одному через 50 дней”. Действительно, экспериментальные исследования подтверждают, что люди более чувствительны к отсрочкам платежей на один и тот же срок, когда эти отсрочки ближе по времени.
Такой эффект иногда называют “эффектом одинаковой разности” (common difference effect), по аналогии с описанным выше эффектом одинакового отношения для выбора в условиях риска. Этот феномен тесно связан с другим, а именно со снижением дисконтной ставки при оценивании платежей, более далеких по времени. Под дисконтной ставкой понимается, как и в разделе 1.3, процентная ставка г*, по которой вычисляется коэффициент дисконтирования
1
V =-.
1 + г*
Приведенный выше пример с яблоками можно объяснить таким образом (упражнение 4.5). Величина дисконтной ставки выражает предпочтения людей по времени, или то, насколько сильно отличается субъективная ценность денежных доходов для разных моментов времени. Чем она выше, тем эти различия больше. Снижение дисконтной ставки означает, что люди будут придавать меньшее значение одной и той же разнице во времени дохода/потери, если перенести эту разницу на более поздний период. Феномен снижения дисконтной ставки при оценивании людьми более отдаленных платежей был отмечен в ряде исследований, в том числе с реальными деньгами.
Следующий парадокс предпочтений по времени состоит в том, что коэффициент дисконтирования зависит также от денежной суммы. Большие суммы подвергаются меньшему дисконтированию, чем меньшие.
Тэйлер [Thaler, 1981] приводит следующий экспериментальный пример. Испытуемые, в среднем безразличные между немедленным получением 15 долл, или 60 долл, через год, демонстрировали при этом в среднем безразличие между 250 долл, немедленно и 350 долл, через год, а также между 3000 долл, немедленно и 4000 долл, через год.
Еще один пример предпочтений, нарушающих стационарность — несимметричность предпочтений в отношении отсрочек и ускорений доходов. Левенштейн [Loewenstein, 1988] изучал этот феномен на экспериментальных данных. Оказалось, что суммы, признававшиеся достаточными для компенсации отсрочки получения денег, в 2—4 раза превышали суммы, которые испытуемые готовы были заплатить за такое же приближение получения денег. Такие предпочтения — пример эффекта представления в межвременном выборе.
Читатель может заметить, что последний пример близок к рассмотренным выше примерам асимметрии предпочтений в отношении потерь/приобретений. Действительно, сходные явления были отмечены при выборе денежных потоков. Так, будущие поступления (положительные доходы) дисконтируются по более высокой дисконтной ставке, т.е. “сильнее”, чем потери (отрицательные доходы). В работе [Loewenstein, Prelec, 1992] приводится следующий пример. Испытуемые были в среднем безразличны между:
• получением 10 долл, немедленно и 21 долл, через год;
• немедленной потерей 10 долл, и потерей 15 долл, через год;
• получением 100 долл, немедленно и 157 долл, через год;
• немедленной потерей 100 долл, и потерей 133 долл, через год.
К той же статье читатель может обратиться за обзором наблюдаемых в области сравнения денежных последовательностей парадоксов, в частности эффектов представления.
4.7
Упражнения к главе 4
Упражнение 4.1. В эксперименте испытуемым было сначала предложено выбрать между правом сыграть в игру и
(A) выиграть 1000 долл, с вероятностью 2/3 (0 в противном случае — везде далее опускается) и альтернативой
(B) получить 500 долл, без риска.
Опрошенные в среднем признали альтернативы равнозначными. Затем было предложено выбрать одну из альтернатив:
(C) выиграть 1000 долл, с вероятностью 0,4 и 500 долл, с вероятностью р и
(D) выиграть 500 долл, с вероятностью 0,8.
Каким должно быть р, чтобы выбор во второй паре альтернатив соответствовал теории ожидаемой полезности?
Упражнение 4.2. В некотором эксперименте испытуемым было сначала предложено выбрать между правом сыграть в игру и
(A) выиграть 200 долл, с вероятностью 0,6 и альтернативой
(B) получить 100 долл, без риска.
Большинство опрошенных выбрали (В). Затем было предложено выбрать одну из альтернатив:
(C) выиграть 200 долл, с вероятностью 0,3 и 100 долл, с вероятностью 0,4 и
(D) выиграть 100 долл, с вероятностью 0,8.
Какой выбор во второй паре альтернатив согласуется с теорией ожидаемой полезности?
Упражнение 4.3. Рассмотрим следующий пример [Allais, 1953]. Предлагается выбор между С1: получить 1 млн. франков без риска; и С2: 5 млн. франков с вероятностью 0,8 и 0 с вероятностью 0,2. Затем предлагается выбор между Dl: 1 млн. франков с вероятностью 0,05 и 0 с вероятностью 0,95; и D2: 5 млн. франков с вероятностью 0,04 и 0 с вероятность 0,96. Большинство людей предпочитают О в первой паре и D2 во второй. Покажите, что такие предпочтения нельзя описать моделью ожидаемой полезности.
Упражнение 4.4. Рассмотрим пример вероятностного страхования [Wak-ker, Thaler, Tversky, 1997]. При опросе потребителей задавались следующие вопросы.
A. Предположим, что вы имеете дом стоимостью 125000 долл. Сколько вы готовы заплатить за полное страхование от пожара, если вероятность того, что дом может сгореть, 1/200 (0,5%)?
B. Сколько вы готовы были бы заплатить за вероятностное страхование, которое покроет ущерб в случае пожара с вероятностью 0,99 (99%)? Ответы на первый вопрос распределились с медианой 700 долл. Предположим, что предпочтения страхователя, готового заплатить такую премию, моделируются ожидаемой полезностью с функцией полезности денег и(х) = ln(w + x), где w — число. Оцените w и определите, какую премию будет готов такой страхователь заплатить в случае В. Сравните с медианой полученных ответов опрошенных, равной 500 долл.
Упражнение 4.5. Объясните пример с яблоками из раздела 4.6, введя дисконтную ставку, снижающуюся по мере отдаленности момента платежа.
глава
ОБОБЩЕНИЯ
ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ
Теории выбора, появившиеся под влиянием открытия парадоксов, логичнее рассматривать как обобщения ожидаемой полезности, чем как совершенно новые теории. Экономическая теория пошла по пути отказа лишь от тех положений теории ожидаемой полезности, которые опыт признал слишком ограничительными. Эти модели представляют собой форму обоснованного, с точки зрения наших сегодняшних знаний, компромисса между устоявшейся парадигмой ожидаемой полезности и противоречащими ей фактами.
5.1
Критерии со свойством “промежуточности”
В этой главе, как и в главе 3, будем считать, что множество альтернатив Л состоит из всевозможных лотерей, исходы которых ограничены по абсолютной величине числом М.
В качестве формального ослабления аксиомы независимости была предложена аксиома промежуточности (betweenness):
(Ву) Дня любых А, Be. А и любого ре (0,1) (А >- В) => (А>- (АВ)р >- д). Другая форма этого свойства:
(В_) Дня любых А, Be А и любого ре (0,1) (А - В) => (А - (АВ)р - д).
Предположим, что лицо, обладающее удовлетворяющими (В_) предпочтениями, безразлично между лотереями А и В. Если предложить ему разыграть право участия в лотерее А или В, то оно должно остаться безразличным к такой “рандомизации”. Смысл (В_) становится особенно прозрачен, если снова, как в разделах 3 и 4, изобразить на рисунке кривые безразличия для множества трехточечных распределений. На рис. 5.1 показаны кривые безразличия, удовлетворяющие (В_). Если А и В принадлежат одной кривой безразличия, то из (В_) следует, что, например, (АВ)Х должна принадлежать той же кривой. Как говорилось выше, точка, соответствующая альтернативе (АВ)Х, есть середина отрезка АВ на рисунке. Значит, середина отрезка' АВ принадлежит той же кривой безразличия; аналогичное рассуждение показывает, что то же справедливо и для любой точки отрезка. Таким образом, кривые безразличия представляют собой отрезки прямых, как и в случае ожидаемой полезности, однако уже не обязательно параллельные.
Аксиома (В_), очевидно, слабее (І_) (чтобы показать это, достаточно взять в первой С = В). (В^) слабее (І_) при дополнительном требовании непрерывности (С) (лемма 12.2 в разделе 12.3). Из двух форм промежуточности (В?) сильнее (В_) (см. в разделе 12.3 обсуждение теоремы 2 этого раздела).
Маккриммоном (К. McCrimmon) в 1979 г. (см., например: [Chew, 1989]). В этой модели функция V имеет вид
[w{x)dFA{x)
?(А) = 4-, (5-1)
y{x)dFA(x)
где w и v — некоторые функции; интегралы здесь и ниже берутся по всей числовой оси. Функция ? принимает положительные значения; она называется весовой функцией.
Аксиоматизация критерия (5-1) основывается на так называемой слабой аксиоме замещения (weak substitution).
(WS) Для любых А, В El Л, таких, что А~ В, и любого р е [0,1] существует qE [0,1], такое, что для любого Се Л (АС)р ~ (BC)q.
Рис. 5.2 иллюстрирует положение кривых безразличия в случае взвешенной полезности. Все они представляют отрезки прямых, расположенные так, что если продолжить их за пределы треугольника, они пересекутся в одной точке. Такое положение кривых определяется аксиомой (WS) (упражнения 5.1, 5.2).
Теорема 5.1. Пусть У — полное упорядочение на А, непрерывное в смысле (С), и пусть А ограничено по предпочтению У. Тогда выполнение (WS) необходимо и достаточно для существования согласованной с предпочтением функции V вида (5-1).
Доказательство теоремы можно найти в работе Чью [Chew, 1989]. Другие варианты аксиом обсуждаются Фишберном [Fishbum, 1988].
По поводу этого критерия, как и каждой другой нелинейной модели, возникают вопросы о монотонности относительно стохастического доминирования (первого и второго) и неприятии риска. Как и в модели ожидаемой полезности, в ее обобщениях эти свойства обеспечиваются теми или иными условиями на участвующие в представлении критерия функции. В разделе 5.3 рассказывается об общем подходе к этим вопросам. В частности, условия монотонности для взвешенной полезности получены в примере 5.1.
Более общий критерий со свойством промежуточности дается следующей моделью. Рассмотрим уравнение относительно у
(5-2)
где г(х, у) — непрерывная функция двух переменных, г(х, х) = 0. В качестве ?ДА) берется решение этого уравнения. Функция г может быть выбрана так, чтобы решение уравнения (5-2) существовало и было единственно для любого распределения. Заметим, что это решение равно детерминированному эквиваленту А. Например, достаточное условие единственности решения — монотонность г по второму аргументу.
Критерий (5-2) порождает кривые безразличия, подобные изображенным на рис. 5.1. Легко видеть, что здесь выполнена аксиома промежуточности (В_). Пусть детерминированные эквиваленты альтернатив А и В одинаковы и равны с. Рассмотрим смешанную альтернативу (АВ) , которой соответствует функция распределения pFA+(l- p)FB. Имеем
т.е. детерминированный эквивалент смешанной альтернативы тоже равен с.
Следующая теорема устанавливает связь между аксиомой промежуточности и критерием (5-2).
Теорема 5.2. Пусть У — полное упорядочение на А. Оно удовлетворяет условиям непрерывности (С), монотонности относительно первого стохастического доминирования (М,) и промежуточности (В?) тогда и только тогда, когда существует функция г(х, у), г(х, х) = 0, возрастающая по первому аргументу, непрерывная по обоим аргументам, такая, что в качестве критерия ?(А) можно взять решение уравнения (5-2) относительно у. Это решение единственно для любой FA (х).
Эта теорема следует из результатов Смоляка [Смоляк, 1983] или Дикеля [Dekel, 1986], как демонстрируется в разделе 12.3.
Условие возрастания г(х, у) по первому аргументу соответствует монотонности относительно первого стохастического доминирования. Можно показать, что для наличия свойства неприятия риска (RA) достаточно потребовать вогнутости г(х, у) по х для любого фиксированного у [Dekel, 1986] (см. упражнение 5.5).
Отметим, что критерий взвешенной полезности (5-1) является обобщением функции ожидаемой полезности. В этом легко убедиться, положив в (5-1) ? = 1. В свою очередь, критерий (5-2) обобщает взвешенную полезность (5-1). Если V — функция взвешенной полезности вида (5-1), то А - В тогда и только тогда, когда
?(х)^д(х) v(y)c(Ffl(y)
что в силу положительности ? равносильно положительности числителя этого выражения,
О = jw(x)dFA(х)• jv(y)dFfl(y)- jv(x)dFA(x)- jw(y)dFB(y) = jj[ w(x)v(y) - w(y)v(x)] dFA (x)dFB (y).
Если считать В альтернативой, состоящей в детерминированном получении денежной суммы у, то FB = Е? (вырожденной в точке у функции распределения), и написанное выражение превращается в
|( wCOv(y) - ??(у)?(л)) dFA СО = 0.
Таким образом, выбор эквивалентен выбору по критерию вида (5-2) с функцией г(х, у) = ??(х)?(у) - ??(у)?(х).
Критерий (5-2) может рассматриваться как частный случай следующей более общей модели [Fishbum, 1988]. Наложим на функцию г еще условие антисимметричности, г(х, у) = -г(у,х). Пусть ХА и Хв — случайные величины, соответствующие альтернативам А и В. Будем считать ХА и Хв независимыми. Определим отношение предпочтения следующим образом:
А У В тогда и только тогда, когда
Ег{ХА,Хв)= ^r{x,y)dFA{x)dFB(y)> 0. (5-3)
Функцию г(х,у) часто интерпретируют как функцию сравнительного огорчения/радости (regret/rejoice function) от получения денежной суммы х по сравнению с суммой у. Представим себе две лотереи с величинами выигрышей ХА и Хв, реализуемые независимо. Левая часть (5-3) представляет собой среднее огорчение/радость лица, выбравшего из двух лотерей А и В первую лотерею и наблюдающего исходы розыгрыша двух лотерей одновременно. Если реализовавшийся выигрыш в выбранную им лотерею А меньше, чем реализовавшийся выигрыш в отвергнутую лотерею В, индивидуум огорчается, испытывает досаду и т.д., — и наоборот в случае, когда выигрыш в А больше.
Очевидно, левая часть (5-2) получается из интеграла в (5-3), если подставить вместо FB распределение Е .
Заметим, что сравнение альтернатив согласно модели (5-3) может порождать и нетранзитивные предпочтения. Естественно, тогда У уже не будет полным упорядочением. Возможность представления нетранзитивных предпочтений приобретает некоторый смысл в свете таких эмпирических феноменов, как описанный в главе 4 “переворот предпочтений”. Прямые на рис. 5.1 соответствуют множествам альтернатив, одинаково оцениваемых в деньгах. Однако при сравнении разных альтернатив из двух таких множеств предпочтение может меняться на противоположное.
Теории со свойством промежуточности привлекательны тем, что кривые безразличия остаются отрезками, как и в случае ожидаемой полезности. Это хорошее аналитическое свойство. В то же время эти теории способны объяснять такие парадоксы, как описанные в разделах 4.1 и 4.2 (см. упражнения). Однако другие эксперименты указывают нарушения промежуточности [Camerer, 1995]. В частности, описанные в этом разделе модели не учитывают важного эффекта искажения вероятностей при восприятии. Они используют “настоящие”, неискаженные вероятности. Модели с трансформациями вероятностей рассматриваются в следующем разделе.
5.2
Ранговая полезность
Исследования, показывающие искажения вероятностей при восприятии лотерей, начали появляться еще с конца 1940-х — начала 1950-х гг. (по поводу обзора см.: [Camerer, 1995]). Типичное заключение таких исследований состоит в том, что люди часто преувеличивают малые вероятности (меньше 0,2) и преуменьшают большие (больше 0,5). (Эти данные, конечно, относятся в основном к обычным людям, а не к профессионалам в области оценки рисков, таким, как специалисты по инвестициям, букмекеры или актуарии.)
Разновидности модели ранговой полезности (rank-dependent utility) используют вместо “настоящих” вероятностей некоторые веса (decision weights), отражающие представление о вероятности, возможности или, шире, “психологическом весе” исходов лотерей. Привлечение внимания к тому или иному исходу увеличивает его “вес”. Теория ранговой полезности предполагает, что на веса может влиять положение, или ранг, исхода среди других возможных исходов.
Например, при оценке лотерей крайние (наибольшие, наименьшие) возможные исходы могут привлекать большее внимание, чем промежуточные. По-видимому, при первичном восприятии какого-либо явления человеческое сознание пытается сначала оценить его потенциальную значимость или масштаб, отнести к категории крупных или мелких, заслуживающих или не заслуживающих внимания. Для этого сознание, так сказать, “ставит флажки”, и крайние исходы играют роль таких флажков. Этим определяется их субъективная важность. Например, рекламы лотерей преподносят самый крупный выигрыш яркой цифрой со многими нулями, фотографией автомобиля и пр. Это и есть флажок.
Такие позиции, как пессимизм/оптимизм, также выражают определенное перенесение внимания на наихудшие/наилучшие исходы, что отражается в придавании большего веса их возможности. Некоторые люди считают себя удачливыми, т.е. придают больший вес возможности наилучших событий из возможных. Другие, наоборот, говорят, что никогда не выигрывают в лотереи.
Рассмотрим альтернативы, для которых соответствующие случайные величины принимают значения х],х2,...,хп с вероятностями р1,р2,...,рп. Будем считать значения хІ,х2,...,хп упорядоченными по возрастанию. Правый предел значений функции распределения
FA(xi+0) = YjPJ
1
тем больше, чем больше ранг і возможного исхода xt (рис. 5.3). Таким образом, значение функции распределения может служить показателем ранга соответствующего исхода.
?(Л) = 2 и(х, )[* (F, (*, +0)) - g (F„ (*,))] (5-4)
1=1
(так называемая anticipated utility), где g — некоторая строго возрастающая непрерывная функция, определенная на множестве значений функций распределения — отрезке [0,1] — так, что g(0) = 0, g(l) = 1.
Аксиоматические обоснования этого вида критерия довольно сложны и трудны для какой-либо содержательной интерпретации. Мы прибегнем здесь к простой иллюстрации, предложенной Десидью и Ваккером [Diecidue, Wakker, 2001].
Назовем общей моделью взвешивания (general weighting model) модель (1-14), введенную в главе 1,
?(А) = ?>(*,)*„ (5-5)
і=і
где — некоторые неотрицательные веса, такие, что их сумма равна единице. Эта модель при пі = pj дает функцию ожидаемой полезности. Более того, оказывается, что она приводит к критерию ожидаемой полезности и в случае, когда пі есть функции от вероятностей рп пі =л(рі), если дополнительно потребовать монотонности предпочтений относительно первого стохастического доминирования (М,). Другими словами, нельзя ввести веса такого типа — просто пребразо-вания вероятностей р; — так, чтобы критерий остался монотонным (упражнения 5.6, 5.7). С другой стороны, критерий (5-4), оперирующий с накопленными (кумулятивными) вероятностями, является мо-тононным для любых монотонных функций и и g (пример 5.2 ниже). В этом его преимущество.
Оказывается, что если веса исходов определяются, кроме их вероятностей, только характеристикой ранга (функцией распределения), то мы приходим к модели ранговой полезности.
Предположим, что в рамках модели (5-5) выполняется (М,) и следующее требование “зависимости от ранга” (rank-dependence). (RD) Вес пі исхода xt зависит только от его вероятности рі и от характеристики его ранга FA(xi +0) = ^ рг
Тогда нетрудно показать, что (5-5) превращается в (5-4).
Действительно, согласно (RD), вес наилучшего исхода хП лп - лп Pj j = яп(рп,\), т.е. зависит только от его вероятности.
Введем функцию w(p), равную весу исхода хп в том случае, когда он является наилучшим и имеет вероятность р, т.е. w(p) -пп{р,\). Рассмотрим лотереи
•• Лп
уп
Яі+...+яп
Для второй лотереи веса первых /-1 исходов, согласно (RD), совпадают с пх,...,пі_х, а вес наилучшего исхода хп есть
w(Pi +•••+ Рп) = I-Я-,-! -•¦—7Гу
Таким образом,
w(p,+...+ />„) = ЯГ. +...+ 7Гп,
откуда
Щ = w(Pi+...+ pn)~w(pM+...+ рп).
Определив функцию g равенством I-g(p) = ??(І-р), получаем Щ = §(Рі +•••+ Рі)~8(Рі +•¦•+ Pi-1)>
т.е. веса имеют такой же вид, как в модели ранговой полезности (5-4).
Для произвольных распределений функцию ранговой полезности (5-4) можно записать следующим образом. Так как функция g возрастает и взаимно-однозначно отображает отрезок [0,1] в себя, композиция функций g о F(x) - g(F(x)) также является функцией распределения. Поэтому (5-4) можно переписать в виде математического ожидания по этой трансформированной функции распределения:
Л-t-O»
I u(x)d(g°FA(x)).
(5-6)
?(А) =
В таком виде модель применима для оценки любых распределений, в том числе непрерывных и смешанных.
Обобщения этой модели [Green, Jullien, 1988; Segal, 1989] используют следующую аксиому ординальной независимости (ordinal independence).
(ОІ) Для любых А, В, А', В'Е А и любого х0 если FA(x) - FA.(x), FB(x) = FB.(x) для х<х0 и Fa(x) = Fb(x), Fa.(x) = FB.(x) для х>х0, mo(FAhFB)<=>(FA.tFB.).
Вероятно, эту аксиому проще сформулировать словами: если две функции распределения совпадают на некотором множестве, то их одновременное изменение на этом множестве, сохраняющее равенство, не изменяет предпочтения. В сформулированной аксиоме FA и FB — исходные варианты функций распределения, FA- и FB. — измененные на множестве {х: х > х0}.
Для формулировки соответствующего утверждения понадобится еще следующее техническое условие “гладкости”. Обозначим через Аа1 лотерею, в которой возможны два исхода: -М с вероятностью ant с вероятностью 1 -а. Обозначим через c(t,a) детерминированный эквивалент такой лотереи, т.е. сумму, получение которой безразлично с розыгрышем Aal: Аа1 ~c(t,a). Условия нижеследующей теоремы гарантируют единственность c(t,a) (см. по этому поводу обсуждение предыдущей теоремы в разделе 12.3). Условие гладкости заключается в том, что c(t,a) предполагается дифференцируемой функцией двух переменных.
Теорема 5.3. Пусть У — полное упорядочение, удовлетворяющее аксиомам (С), (М,), (ОІ) и условию гладкости. Тогда существует сохраняющая предпочтения функция, имеющая вид
(5-7)
где 1і(х, р) — некоторая непрерывная функция двух переменных, убывающая по второму аргументу.
Доказательство приведено Грином и Джулиеном [Green, Jullien, 1988]. Близкое утверждение доказано в работе Сигала [Segal, 1989]. По поводу этого критерия см. упражнения 5.8, 5.9.
Условие убывания h(x, р) по второму аргументу есть условие монотонности критерия относительно первого стохастического доминирования. Что касается неприятия риска, то Грин и Джулиен приводят следующее условие. Предположим, что функция h(x, р) дважды дифференцируема и имеет непрерывные вторые производные. Тогда необходимые и достаточные условия неприятия риска есть (см. упражнение 5.11)
В разделе 6.4 изучается теория, которую можно рассматривать как развитие ранговой полезности. В частности, пример 6.4 демонстрирует объяснение парадокса Аллэ при помощи модели (5-4).
5.3
* Локальная полезность и стохастическое доминирование
В рамках модели ожидаемой полезности возрастание функции полезности денег и(х) обеспечивало выполнение (М,), возрастание и вогнутость — выполнение (Ми). В отношении моделей выбора в условиях риска, обобщающих ожидаемую полезность, возникает тот же вопрос о свойствах участвующих в них функций, обеспечивающих монотонность порождаемых предпочтений относительно первого и второго стохастического доминирования.
В этом разделе вводится метод, позволяющий дать такой же простой ответ на вопрос о свойствах нелинейных моделей, рассмотренных ранее в этой главе. Этот метод был впервые предложен Мачиной [Machina, 1982]. Оказывается, что рассуждения раздела 3.3 можно обобщить на нелинейный случай.
Рассмотрим, как и в разделе 3.3, решеточные распределения на
конечном числе точек, имеющие вид
Значение
х, ... х„'
Вероятность
Рх ••• Рп)
где х1<...<хп, причем х,,...,хл равноудалены друг от друга, т.е. хі+1 - Х} = const.
Пусть V(F)-V(pl,...,pn) — некоторая нелинейная функция полезности. Из математического анализа известно, что если эта функция дифференцируема, то ее приращение можно представить в виде, аналогичном (3-6) в разделе 3.3,
(5-9)
?(Г)-?(Г0) = ?И/ДР;+о(|Др|),
dV(F )
где Uj =—0 , Д pj = Pj - p°j, p] — вероятности, соответствующие
распределению F0, ||Др|| =-у/(Др,)2+...+ (Дрп)2.
Для малых Ар знак разности в левой части (5-9) определяется знаком главного линейного члена, или дифференциала, стоящего в правой части. Можно показать, что здесь имеет место та же ситуация, что и в теоремах анализа о монотонности функций. Положительность разности в левой части для всех F и F0, таких, что (например) F доминирует F0, равносильна положительности дифференциала для всех таких распределений.
Вопрос о знаке дифференциала
ЕМ;АЛ
і=1
уже рассматривался в разделе 3.3. Знак этого выражения определяется коэффициентами Uj. Для выполнения (М,) необходимо и достаточно выполнения неравенства uk+i >uk для всех к, а для выполнения (М„) — неравенства ик+1 -ик <ик -ик_г
В случае ожидаемой полезности коэффициенты были равны значениям функции полезности денег в соответствующих точках,
д?Еит
dPj
= и(хк). Тогда первое условие на коэффициенты равно
сильно возрастанию функции полезности денег, второе — ее вогнутости. Обобщая на случай нелинейной полезности, следуя Мачине [Machina, 1982, 1987], определим локальную функцию полезности денег и(х\ F0) равенством
u(xk',F0).
dV(F0)
дрк
Свойства монотонности предпочтений в нелинейных моделях характеризуются свойствами локальной функции полезности денег точно так же, как свойства монотонности предпочтений в линейной модели — свойствами “обычной” функции полезности денег н().
Локальные функции полезности денег были введены на решеточных распределениях, однако это было сделано только для наглядности. Тот же факт справедлив и для произвольных распределений. Правда, в случае, когда распределения не ограничены дискретными, определение локальной функции полезности денег требует более сложного математического аппарата. Мы перейдем к этим проблемам после примера.
Пример 5.1. Взвешенная полезность. Определим с помощью описанного выше метода условия монотонности для функции взвешенной полезности (5-1). Для дискретных F взвешенная полезность имеет вид
X і?^р
Продифференцируем:
ЭР* (І,?(х,)р,):
Таким образом, локальная функция полезности денег имеет вид
w(x)-V(F0)-v(x)
I>(*,V
(5-10)
u{x\F0)
Действительно, при подстановке в это выражение х = хк получается выражение для производной, и это верно для любых к. Поэтому так определенная функция удовлетворяет определению как локальная функция полезности денег.
Для монотонности относительно первого (второго) стохастического доминирования нужно выбрать функции w{x) и ?(х) так, чтобы при всех F0 функция и(х; F0) была возрастающей (возрастающей и вогнутой) функцией от х В частности,
u'(x;F0)
u'(x;F0)
w'(x)-V(F0)'v'(x).
W\x)-V(F0)-v\x)
X,v(x.><°
Поэтому для положительности первой производной и отрицательности второй достаточно выбрать такие положительные функции \?{х) и ? (х), что w >0, ? < 0, w” <0, ?” > 0.
В общем случае, когда распределения не обязательно дискретны, локальную функцию полезности денег можно определить при помощи операции взятия дифференциала в абстрактных пространствах.
Назовем функцию V(F) дифференцируемой по Гато в точке F0, если существует функция и(х\ F0), такая, что для любого распределения F
-^V((l-a)F0+aF) ^ = J u(x-F0)d{F(x)-F0(x)). (5-11)
Именно так определяется локальная функция полезности денег в общем случае. Например, для ожидаемой полезности
Величина в правой части (5-11) представляет собой главную часть приращения, или дифференциал в смысле Гато. В случае дискретных распределений этот дифференциал совпадает с дифференциалом в правой части (5-9) (упражнение 5.12).
Сформулируем основное утверждение этого раздела, обобщающее теорему из раздела 3.3.
Теорема 5.4. Пусть функция V дифференцируема по Гато, и пусть и(-; F0) — ее локальная функция полезности денег, определяемая равенством (5-11). Тогда
(а) для выполнения (М,) необходимо и достаточно возрастание «(¦; F0) для любого F0;
(б) для выполнения (М„) необходимы и достаточны возрастание и вогнутость u(-;F0) для любого F0;
(в) для выполнения (RA) необходима и достаточна вогнутость м(-; F0) для любого F0.
Это утверждение, как и его аналог из раздела 3.3, справедливо для произвольных распределений, а не только для решеточных, рассмотренных выше лишь для наглядности. Оно было доказано Мачи-ной [Machina, 1982] при более сильном условии дифференцируемости по Фреше. То, что здесь достаточно дифференцируемости по Гато, было замечено в работе Чью, Карни и Сафры [Chew, Kami, Safra, 1987].
Пример 5.2. Ранговая полезность. Покажем, что если и(х) и g(p) — дважды дифференцируемые, возрастающие и вогнутые функции, то функция ранговой полезности (5-6) монотонна относительно первого и второго стохастического доминирования.
Подставим функцию (5-6) в (5-11), проинтегрируем по частям и продифференцируем.
Подставив в последнее выражение для производной or = 0 и интегрируя по частям, получим
(F(x)-Fo(x))0(x)dx= Q(x)d(F(x)-F0(x)),
где ?(х) = g'(F0(x))u'(x),e(x) = J 0(y)dy.
Итак, ?(дг) представляет собой локальную функцию полезности денег, определенную в точке F0. Ее производные
?' = ? = g'u';
?' = & = g'u' + g'u'.
Если функции g и и возрастающие, то g' >0, и > 0, и ?' > 0. Если, кроме того, g и и вогнуты, то g'<0, и'< 0, поэтому ?'<0. Для доказательства монотонности достаточно теперь воспользоваться сформулированной выше теоремой.
5.4
* Нетрадиционное дисконтирование
Среди отмеченных в разделе 4.5 парадоксов выбора среди последовательностей платежей (межвременного выбора) было снижение дисконтной ставки со временем. В связи с этим некоторые авторы предлагали другие формы дисконтирующей функции, отличные от традиционной показательной формы.
Рассмотрим следующее обобщение модели дисконтированной полезности. Пусть хпх2>... — последовательность платежей, происходящих в моменты tvt2,... соответственно. Пусть критерий оценки таких последовательностей имеет вид
У = ?и(**жи (5-12)
/Ы
где ф(і) — некоторая дисконтирующая функция.
В традиционном случае дисконтирующая функция имела показательный вид
<p(t) = e-n =?\ (5-13)
где г — сила роста, или доходность с непрерывным начислением, ?-е~г — коэффициент дисконтирования в расчете на период единичной длительности.
В ряде работ предлагались гиперболические дисконтирующие функции. Например, рассматривались функции
т=-\
t
<к о=-
1 + at
(см.: [Шустер, 1969]).
Общая форма гиперболической дисконтирующей функции имеет вид
1
т=
(5-14)
(l + at)b
где а,Ь> 0. Соответствующая модель была аксиоматизирована Пре-лецем [Ргеіес, 1989].
Рассмотрим модель (5-12) в свете “эффекта общей разности”, описанного в разделе 4.5 и состоящего в том, что люди воспринимают одну и ту же разницу во времени между платежами как более значительную, если она относится к более близкому времени.
Допустим, что некий индивидуум безразличен между получением суммы х немедленно (в момент 0) и получением суммы у, большей х, в некоторый момент s >0. Исходя из (5-12), можно записать
и(х) = u(y)0(s).
Отсрочка обоих платежей на одинаковое время приводит к изменению предпочтения в пользу большего из них, т.е. у. Чтобы сохранить безразличность двух платежей, больший из них должен быть отсрочен на большее время. Если время отсрочки платежа размером х принять за истинное время отсрочки обоих платежей t, то эквивалентное время отсрочки платежа размером у составит некоторую функцию от начальной его отсрочки s и от t. Обозначим ее f(s,t). Как может выглядеть эта зависимость? Простейшее предположение в этом отношении следующее: эквивалентное время отсрочки большего платежа получается из s добавлением времени, прямо пропорционального времени отсрочки меньшего платежа. Это означает, что индивидуум воспринимает оба платежа “в разном времени”, но “часы”, соответствующие обоим платежам, как бы идут с постоянными скоростями. Соотношение этих скоростей выражается некоторым коэффициентом, который обозначим k-k(s). В таком случае функция / линейна,
f(s,t) = s + kt.
Эквивалентность платежей при отсрочках можно тогда выразить условием
(и(х) = u(y)0(s)) => (нЩО = U(y)0(s + k(s)t)). (5-15)
Оказывается, что единственные функции ф, удовлетворяющие этому условию, — это экспоненциальная (5-13), соответствующая крайнему случаю к = 1, и гиперболическая (5-14). (В последнем случае, как нетрудно видеть, & = 1 + as.) Ниже приводится доказательство этого факта, сообщенное автору С.А. Смоляком.
Из (5-15) легко вытекает, что ф{$) - ф($ + k(s)t)/ф{г), или
ф(1)ф(з) = ф(8+ k(s)t). (5-16)
Меняя s и / местами, получим ф{8)ф{г) - ф[г + k(t)s). Поскольку ф — строго убывающая функция, отсюда
s + k(s)t -t + k(t)s,
поэтому
k(s)~ 1 _ k(t)-l s t
Это возможно при произвольных s и (, только если обе части этого равенства являются некоторой константой а. Тогда k(s) = l + as. Но k(s)>0, поэтому а> 0. Рассмотрим два случая.
1. Случай а = 0. Тогда k(s) = 1 ив силу (5-16)
<zK0<zKs) = <zKs + 0-
Единственная монотонно убывающая функция, удовлетворяющая этому условию, имеет вид ф($) - e~b', b > 0 (по поводу доказательства см., например: [Ротарь, 1992]).
2. Случай а> 0. Согласно (5-16),
ф(і)ф{8) = 0(s +1 + ast).
Тогда функция / — убывающая, и
Обозначим f(s) = ф
У a J
ф{$) ~ /(ln[l + os]). Теперь имеем
/ (ln[l +a/])/(ln[l +as]) = /(ln[l+ a(s-К + as!)]) = / (ln[l + as] + ln[l + at\).
Так как s и t — произвольные положительные числа, обозначая x = ln[l + as] и y = ln[l + ar], получаем
f(x)f(y) = f(x+y)
для любых положительных дг и у. Следовательно, f(x) = e~bx, Ь> 0. Тогда 0(s) = /(ln[l + as]) = (l + as)_i, что согласуется с (5-14).
Левенштейн и Прелец [Loewenstein, Prelec, 1992] предлагают объ* яснение ряда парадоксов, описанных в разделе 4.6, при помощи модели вида (5-12). Теория этих авторов, по-видимому, испытала влияние теории проспектов, излагаемой ниже, в разделе 6.4. В частности, предлагаемая авторами функция и в (5-12) имеет такой же вид, как изображенная на рис. 3.5, и выражает полезность не абсолютных уровней богатства, а приращений/потерь по отношению к некоторому исходному уровню (как правило, уровню статус-кво, т.е. текущему уровню богатства при отсутствии каких-либо перемен).
5.5
Упражнения к главе 5
Упражнение 5.1. Проверьте, что из аксиомы (WS) следует, что кривые безразличия имеют вид, показанный на рис. 5.2.
Указание. Выберите А и В так же, как на рис. 3.2. Задайте произвольные (но не равные) значения р и q. Выбрав две точки С и С', проведите две прямые: одну через точки (АС)р и (BC)q, другую через точки (АС')р и (BC')q. Проверьте, что эти прямые пересекают прямую АВ в одной и той же точке.
^Упражнение 5.2. Покажите, что критерий взвешенной полезности удовлетворяет аксиоме (WS).
Указание. Взяв три функции распределения, F, G, Н, F - G, запишите разность взвешенных полезностей V(pF+(l-p)H)-V(qG+(l-q)H)=0 и преобразуйте, пользуясь тем, что взвешенные полезности F и G равны, так, чтобы все члены с Н сократились. Выраженное из получившегося выражения q будет не зависящим от Н искомым числом.
5.5
Упражнения к главе 5
Упражнение 5.3. Покажите, что критерий взвешенной полезности (5-1) может порождать такие предпочтения, как в примере парадокса Аллэ (раздел 4.1) (подберите соответствующим образом функции и и ??).
Упражнение 5.4. Какие примеры предпочтений из главы 4 можно объяснить моделью (5-2)?
Упражнение 5.5. Частичное неприятие риска для критерия (5-2). Пусть г(х, у) вогнута по х для каждого фиксированного у. Покажите, что тогда лотерея, в которой можно выиграть С - А и С + Л с равными вероятностями, всегда менее предпочтительна, чем получение суммы С без риска.
Упражнение 5.6. Рассмотрим на множестве лотерей с двумя исходами критерий V = и(х1)ж(р1) + и(х2)ж(р2), где хрх2 — исходы лотереи, р? р2 — их вероятности, и — непрерывная возрастающая функция. Покажите, что если ж — нелинейная функция, то критерий не монотонен относительно первого стохастического доминирования. Указание. Предположим, что ж вогнута. Сравните лотереи с детерминированным выигрышем х и выигрышами х-е их, ?>0.
Упражнение 5.7. Рассмотрим на множестве лотерей с тремя исходами критерий V = и(х1)ж(р1) + и(х2)ж(р2) + и(хі)(і-ж(р1)-ж(р2)], где хрх2,х3 — исходы лотереи, р? р2 — вероятности первого и второго исходов, и — непрерывная возрастающая функция. Покажите, что если ж — нелинейная функция, то критерий не монотонен относительно первого стохастического доминирования (используйте предыдущее упражнение).
Упражнение 5.8. Покажите, что аксиома ординальной независимости (01) слабее аксиомы независимости (І?).
Упражнение 5.9. Покажите, что критерий (5-7) обобщает критерий (5-6) и, следовательно, критерий ожидаемой полезности.
Указание. Подставьте мультипликативную форму h(x, р) = w(x)r(p) и используйте интегрирование по частям.
Упражнение 5.10. Покажите, что критерий (5-4) удовлетворяет аксиоме (01).
Упражнение 5.11. Действуя как и в примере 5.2, получите следующее выражение для локальной функции полезности денег критерия
(5-7): u(x',F0)-- I (у,F0(y))dy, где — частная производная h J-M
по второму аргументу. Получите отсюда достаточность условий (5-8) для неприятия риска в модели ранговой полезности.
Упражнение 5.12. Пусть F и F0 — два распределения на конечном наборе точек хг...,хп. Пусть F соответствуют вероятности р?...,рп, а F0 — вероятности р°,...,р°. Тогда смесь (1 -a)F0 + aF характеризуется вероятностями (1-а)р° +ар?...,(1-а)р° + арп. Подставьте это в (5-11) и получите выражение для дифференциала, совпадающее со стоящим в (5-9).
Упражнение 5.13. Докажите следующее утверждение. Пусть У — полное упорядочение на множестве лотерей А, таких, что |ХД|<Л/, удовлетворяющее условиям непрерывности (С) и монотонности (М,). Тогда для каждой лотереи можно указать детерминированный эквивалент, причем единственный.
Указание. См. рассуждение по поводу теоремы 5.2 в разделе 12.3.
глава
выбор в УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Задача выбора при неопределенности — более общая, чем задача выбора в условиях риска. Здесь действительные вероятности событий уже не считаются известными. Их роль играют субъективные вероятности или, в более общем случае, некоторые "веса”.
6.1
Субъективные вероятности при наличии физических
В предыдущих главах были рассмотрены теории выбора в условиях риска. В них исходной информацией для выбора были заданные вероятности (вероятностное распределение) результатов. В этой главе будет использоваться общая схема принятия решений при неопределенности, введенная в разделе 1.6. В этой схеме физические вероятности событий уже не считаются известными. Однако предпочтения субъекта могут соответствовать случаю, когда выбор производится на основе оценки субъектом субъективных вероятностей событий. Теории этого и следующего разделов исследуют условия, при которых структура предпочтений именно такова. Энскомб и Ауманн [Anscombe, Aumann, 1963] предложили подход, позволяющий распространить модель ожидаемой полезности главы 3 на этот случай.
В разделе 1.6 были введены понятия физических (или статистических) и субъективных вероятностей. Предположим, что один и тот же субъект принимает решения в ситуациях двух типов — при известных и неизвестных физических вероятностях. Такие ситуации удобно условно описывать в терминах азартных игр. Назовем лотереей-рулеткой (roulette lottery) экономическую ситуацию, в которой получение дохода (выигрыша) определяется физическими вероятностями (можно рассчитать шансы, как при игре в рулетку). Напротив, беговой лотереей (horse lottery) назовем ситуацию, в которой получение дохода определяется событиями с неизвестными вероятностями. Конечно, эти термины условны, и их можно относить к любым экономическим ситуациям того или иного типа. Очевидно, законы выбора, отношения к риску и прочие должны иметь много общего для ситуаций, когда один и тот же субъект участвует в играх первого и второго типов. Это соображение и является отправной точкой теории Энскомба и Ауманна.
Введем, как и в разделе 1.6, множество состояний природы S = {$} и функции, отображающие S в некоторое пространство результатов X. Эти функции представляют принятые решения или сделанный выбор. Будем считать, что выбор должен быть сделан до реализации того или иного состояния природы и сделанный выбор никак не влияет на возможность реализации того или иного состояния. Множество возможных функций-решений будем обозначать Т, а его элементы — f,g и т.д.
Пример 6.1. В забеге участвуют три лошади с именами Альфа, Бета и Гамма. Фаворитом считается Альфа (выдача 1,5:1, т.е. на 1 руб., поставленный на эту лошадь, в случае ее победы можно выиграть 1,5 руб.). Для ставок на Бету выдача 2,5:1, на Гамму — 5:1. Игрок решает, на какую лошадь поставить 100 руб. Пусть X — множество возможных чистых выигрышей, / соответствует решению ставить на Альфу, g — ставить на Бету, h — на Гамму. Имеется три возможных состояния природы, влияющих на результат: 5, — выигрывает Альфа, s2 — выигрывает Бета, s3 — выигрывает Гамма (какие лошади занимают вторые и третьи места, неважно). Тогда, например, решение ставить на Альфу приводит к следующим результатам: /(s,) = 50, /(s2) = -100, /(s3) = -100. Все возможные результаты игры показаны в следующей таблице:
Ниже мы введем на множестве Т отношение предпочтения У, являющееся полным упорядочением, и связанные с ним отношения >- и
Теория Энскомба и Ауманна [Anscombe, Aumann, 1963] основана на требованиях согласованности выбора субъекта в ситуациях первого и второго типа, т.е. в лотереях-рулетках и беговых лотереях. Если предпочтения субъекта действительно согласованы, то можно использовать события с физическими вероятностями для “калибровки” субъективных вероятностей, предполагаемых субъектом.
Например, пусть в приведенном выше примере с лошадьми субъект безразличен между альтернативами (А) поставить 100 долл, на Альфу и (В) в игре в рулетку поставить 50 долл, на первые 12 номеров1 и 50 долл, на следующие 12 номеров. Тогда, если выигрывает один из первых 24 номеров, чистый выигрыш составляет 50 долл., как и в случае ставки на Альфу. Это означает, что субъективную вероятность победы Альфы можно считать равной 24/37 (всего в рулетке 37 номеров, считая 0). Разумеется, вовсе не обязательно сопоставлять беговой лотерее именно игру в рулетку для “калибровки” вероятностей; можно вообразить себе любой другой, сколь угодно сложный вероятностный эксперимент.
Обозначим через 7Z множество лотерей-рулеток, т.е. лотерей с распределением выигрыша вида
' При станке на дюжину, если выигрыш падает на один из этой дюжины номеров, то играющий получает утроенную сумму ставки — в данном случае чистый выигрыш 100 долл.
Будем считать, что предпочтения на множестве 1Z определяются ожидаемой полезностью так, как это описано в главе 3, т.е. полезность лотереи вида (6-1) определяется формулой
где и — некоторая функция полезности денег. Будем считать, что эта функция принимает свои минимальное и максимальное значения, равные соответственно нулю и единице, в крайних точках интервала значений х: и(а)-0, и(Ь)-1.
Будем считать, что беговая лотерея может иметь конечное число N возможных несовместных между собой исходов (состояний природы), которые обозначим Рассмотрим беговые лотереи, выигры
шами в которых являются лотереи-рулетки или, строго говоря, случайные величины выигрыша в лотереи-рулетки. Введем обозначение
(6-3)
для такой беговой лотереи, в которой в случае реализации состояния природы выигрыш представляет собой случайную величину с распределением Fr Можно считать, что в зависимости от реализации того или иного из состояний природы происходит розыгрыш билетов на участие в той или иной лотерее-рулетке. При этом считается, что розыгрыши призов во всех лотереях всех этапов происходят независимо один от другого.
Далее рассмотрим еще и множество 7Z* лотерей-рулеток, в которых происходит розыгрыш билетов на участие в лотереях типа (6-3). Такие лотереи будем обозначать
В лотереях этого типа сначала происходит розыгрыш типа рулетки с вероятностями р[,...,рП, приводящий к одной из лотерей типа (6-3), затем реализуется одно из состояний природы slf...,sN и определяется исход беговой лотереи, указывающий на одну из лотерей-рулеток с распределениями выигрыша Fk, и наконец, определяется окончательный выигрыш путем розыгрыша этой последней лотереи-рулетки.
Введем отношение предпочтения >:* на множестве TV. Естественно отождествлять лотереи, в которых все исходы совпадают, с самими этими исходами. Например, лотерею вида
f[F,F,...,Ff|
естественно отождествлять с лотереей-рулеткой с распределением выигрыша F. Таким образом, отношение предпочтения >:* порождает предпочтения на множестве “обычных” лотерей-рулеток TZ. Это отношение предпочтения обозначим У.
Следующие два условия описывают согласование предпочтений при комбинировании лотерей.
(А1) Если F:>z F-, то [F^,...,^,..., FN] У' [F„...,^.,...,FW].
То есть если заменить в сложной лотерее один исход на более предпочтительный, то лотерея станет более предпочтительной.
(А2) Для любых комбинированных лотерей выполняется условие
г\ 1\
rN ¦¦¦ rN
Если допустить существование субъективных вероятностей q, то, поскольку реализация лотерей происходит независимо, вероятность получить на последнем этапе лотерею F/ равна qisj- pj для обеих рассматриваемых сложных лотерей. Тогда требование (А2) можно словесно переформулировать так: предпочтения зависят только от распределения окончательного результата и не зависят от приводящего к нему пути. Это фактически требование редукции, о котором уже была речь в главе 4.
Пусть существует согласованная с предпочтением У* функция V на TV. В силу (А1) беговая лотерея Я, дающая при любом состоянии природы выигрыш а, является наихудшей, а беговая лотерея Я, дающая при любом состоянии природы выигрыш Ъ_ — наилучшей. Без ограничения общности положим ?*(Н) = 0, ?*(Н) = 1.
Основной результат Энскомба и Ауманна [Anscombe, Aumann, 1963] состоит в том, что в сделанных предположениях существуют субъективные вероятности состояний природы д(5,),...,^(5л,), такие, что
где V — ожидаемая полезность, определяемая (6-2).
В частности, если каждая лотерея-рулетка имеет только один возможный выигрыш Xj, то в этом случае V* оценивает беговую лотерею, в которой при реализации состояния Sj выигрывается Опишем, как и выше, выбор среди таких лотерей функциями-решениями /, полагая Xj = f(Sj). Из формулы (6-4) получается представление
Критерий (6-5) представляет собой прямое обобщение критерия ожидаемой полезности для выбора в условиях риска. В случае известных физических вероятностей эти критерии совпадают.
Пример 6.2. Продолжение примера 6.1. В ситуации приведенного выше примера с тремя лошадьми положим и(-100) = -60, ц(50) = 40, м(150) = 160, ц(400) = 500. Читатель может убедиться самостоятельно, что эти точки лежат на выпуклой кривой, т.е. имеется “любовь к риску”. Предположим также, что можно каким-либо образом определить субъективные вероятности: выигрыша лошади по кличке Альфа q(s{) = 0,6, выигрыша лошади по кличке Бета q(s2) = 0,3 и выигрыша лошади по кличке Гамма q(s2) = 0,1. Тогда
у (/) = 40- 0,6+ (-60) • 0,3 + (-60) • 0,1 = 0;
V(g) = (-60)• 0,6 +160• 0,3 + (-60) 0,1 = 6;
V(h) = (-60) • 0,6 + (-60) • 0,3 + 500 • 0,1 = -4.
Поэтому индивидуум, имеющий такие денежные и вероятностные предпочтения, будет ставить на вторую лошадь (Бету).
Итак, теория Энскомба и Ауманна [Anscombe, Aumann, 1963] позволяет построить аксиоматизацию критерия (6-4) и (6-5), как его частного случая, путем добавления всего двух аксиом, (А1) и (А2), к аксиомам ожидаемой полезности раздела 3.2. Другой, более сложный, подход рассматривается в следующем разделе.
6.2
* Субъективные вероятности без физических
Сэвиджем [Savage, 1954] была построена теория выбора при неопределенности, где существование субъективных вероятностей и форма критерия выбора выводятся непосредственно из условий (аксиом) на предпочтения. Такой подход позволяет строить теорию независимо, как бы с нуля, без обращения к теории выбора в условиях риска и понятию физических вероятностей.
Ниже формулируются две основные теоремы Сэвиджа. Первая теорема дает условия возможности определить субъективные вероятности. Проблема состоит в следующем. Рассмотрим суждения некоторого лица (эксперта) о вероятности наступления тех или иных событий, например результата выступления той или иной команды в футбольном чемпионате. Допустим, команд всего три: А, В и С. Мы можем задать рассматриваемому лицу вопросы о том, что правдоподобнее из возможных событий: например, то, что в чемпионате победит команда А или команда В. Могут быть вопросы и более сложной формы, например, такой вопрос: что правдоподобнее — С займет место выше А или А выше В. Нужно сказать, что букмекерские конторы принимают ставки и на такие события; притом ясно, что выигрыш прямо зависит от правдоподобности или вероятности того или иного события. Букмекер, в частности, должен быть своего рода экспертом, который определяет эти вероятности.
Рассматриваемая же нами проблема заключается в том, чтобы по совокупности суждений о сравнительной вероятности на парах событий установить, являются ли эти представления рациональными в том смысле, чтобы можно было математически правильно задать вероятности всех событий. При этом, конечно, эти субъективные вероятности должны соответствовать представлениям о сравнительной вероятности событий.
Таким образом, наша проблема в том, чтобы с каждым событием связать число (вероятность) так, чтобы величина этого числа соответствовала представлению о вероятности наступления события. Ясно, что это не всегда можно сделать. Так, если победа команды А в чемпионате представляется более вероятной, чем победа В, победа В — более вероятной, чем победа С, а победа С — более вероятной, чем победа Л, то этого сделать, очевидно, нельзя.
Внимательный читатель заметит, что в этом примере происходит нарушение свойства транзитивности и что рассматриваемая проблема имеет много общего с проблемой исчислимости отношений предпочтения, решавшейся в главе 1. Однако проблема отыскания вероятностей более сложна. Речь теперь идет о сопоставлении числовых оценок всевозможным подмножествам некоторого множества, причем сама функция вероятности должна отвечать определенным вероятностным свойствам. Перейдем к формулировкам.
Пусть снова S — множество состояний природы (сценариев). Подмножества S будем называть событиями. Введем отношение сравнительной вероятности Ур на событиях: утверждение “событие 5, не менее вероятно, чем событие S2 ” будем записывать как 5, >ipS2. Будем считать, что отношение У задано на всех событиях. Считая Ур полным упорядочением, свяжем с У отношения >-р и ~р обычным образом, как описывалось в главе 1.
Нижеследующая теорема устанавливает условия, при которых существуют согласованные с Ур субъективные вероятности событий, т.е. для каждого события S может быть определено единственное число q(S)e [0,1], такое, что выполнены следующие условия.
(а) (5, ypS2 ) <=> (q(S,) > q(S2)).
(б) q(S) = \.
(в) для непересекающихся событий S, и S2 q(SluS2) = q(Sl) + q(S2).
Если для всех событий заданы q, отвечающие условию (в), то говорят, что на событиях задана конечно-аддитивная мера q. Для того чтобы конечно-аддитивная мера q была вероятностной мерой (вероятностью), нужно, помимо (б), чтобы условие (в) выполнялось не только для конечных, но и для счетных наборов событий (так называемая счетная аддитивность). При этом вероятность определяют обычно не на всех подмножествах, а лишь на некотором наборе (так называемой сигма-алгебре) множеств, где удается определить ее так, чтобы выполнялось условие счетной аддитивности.
Теорема 6.1 (Сэвиджа о субъективной вероятности). Пусть отношение Ур удовлетворяет следующим условиям. Для любых S,, S2, Si G S (G1) 5^0;
(G2) S, tp0;
(G3) >р — слабое упорядочение;
(G4) ((5, uS2)nS3 = 0) => ((5, >pS2) <=> (S, uS3 ^52uS3));
(G5) если S, Ур S2, то существует конечное разбиение 1Z множества S, такое, что для любого Rg 7Z S, > S2^jR.
Тогда существует единственная согласованная с Ур система субъективных вероятностей q. При этом для любого события S и любого числа (XG [0,1] можно указать событие S, такое, что q(s) = ttq{S).
Доказательство можно найти в ряде работ: [Savage, 1954; Фишберн, 1978; Fishburn, 1988].
Основной содержательной аксиомой в этом представлении является (G4). Условие (G4) говорит о том, что если S, кажется более вероятным, чем S2, то событие (5, или 53) должно казаться более вероятным, чем (S2 или S3) для любого 53, не пересекающегося с S, и S2. Обратите внимание на сходство этого условия с условием аддитивной сепарабельности функций полезности на векторах, приводившимся в главе 1. В данной теореме условие (G4) обеспечивает аддитивность вероятности.
Последнее утверждение теоремы говорит о бесконечности множества S. Более того, мера q не может быть атомической, т.е. сосре-
доточенной на счетном множестве С S. Это является след
ствием условия (G5) теоремы.
Например, предположим, что q приписывает состояниям {5,,...,s,,,...} вероятности 1/2,1/4,1/8,...,1/2'',... Тогда имеет место отношение s3 yps4. Для выполнения (G5) необходимо разбить множество S на события, мера каждого из которых была бы меньше 1/16, что невозможно. Легко видеть, что такое же рассуждение справедливо в случае, когда веса иные. Таким образом, S должно быть более чем счетным, а мера q — не атомической.
В практических задачах выбора часто множество состояний природы конечно. Сэвидж указывал, что конечное пространство S всегда можно подходящим образом расширить. Другой путь — аксиоматизация субъективной вероятности непосредственно для конечного пространства S, которую можно найти в работе Крафта, Пратта, Зейден-берга [Kraft, Pratt, Seidenberg, 1959].
То, что построенная в теореме 1 мера q не является счетно-аддитивной, вызывает определенные сомнения в ее трактовке как вероятностной меры. Однако, в сущности, это технический вопрос. В работе Виллегаса [Villegas, 1964] было предложено дополнить аксиомы Сэвиджа условием монотонной непрерывности: для любых 5, С S2 С... и S = U( S-
(s0 ypS, ДЛЯ всех г) => (S0 У S).
Тогда мера q становится вероятностью (однако в этом случае уже нельзя определять ее на всех подмножествах S).
Перейдем ко второй теореме Сэвиджа. Пусть, как и в главе 1, принимаемые решения описываются функциями, отображающими S в некоторое множество результатов X. Теорема Сэвиджа устанавливает условия существования на S, во-первых, субъективных вероятностей q, во-вторых, функции полезности результатов и, определенной на X, таких, что критерий выбора имеет вид субъективно взвешенной ожидаемой полезности. Для функции-решения /
V(f) = Eq(f)= jsu(f(s))q(ds). (6-6)
Интеграл, стоящий в правой части этого равенства — так называемый интеграл Лебега по мере q. Его можно понимать как среднее или математическое ожидание по этой мере. Это значение подчеркивается обозначением Е^. Мера q обладает всеми основными свойствами вероятностного распределения, за исключением того, что, вообще говоря, она является не счетно-аддитивной, а конечно-аддитивной. Интеграл по такой мере тоже обладает основными свойствами интеграла.
Читателю, не желающему вникать в математические тонкости, можно ограничиться следующим частным случаем, достаточным для большинства практических приложений. Предположим, что каждая функция-решение может принимать лишь конечное число различных значений. Пусть множество значений функции-решения / есть {jc,, х2,...,хп}. Обозначим Sk ={s 6 S: f(s) = xk), k = l,...,n. Заметим, что в этом случае события Sk составляют разбиение множества «5. Это означает, что SknSj=0 при k*jvi unk=lSk =S. Тогда (6-6) превращается в
V(f) = Eq(f) = fdu(xk)q(Sk). (6-7)
*=і
Таким образом, в этом случае критерий имеет вид “обычного” математического ожидания по дискретному распределению, сосредоточенному в конечном числе точек.
Введем следующие обозначения:
/ =s х, если для любого s 6 S f(s) = х;
/ =s g, если для любого s6 S f(s) = g(s).
Событие 5 будем называть нулевым, если любые /, g е Т, различающиеся только на S, обязательно безразличны: / ~ g.
Для любого события 5 6 S определим отношение >-s на Т следующим образом: f >sg, если для любых /' и g, таких, что f'=sf, g'=s8>f'=S'8> БУДем писать f >sx в смысле / >sg, где
g=sx-
Аксиомы Сэвиджа представляют собой следующие семь условий, выполнение которых предполагается для любых f,g,f',g'e.!F, S,A,BeS, х,у,х',у'еХ.
(Р1) >--слабое упорядочение.
(Р2) Если / =s/', g =sg, f =seg, f =srg', mo(fyg)&(f'y g'). (P3) Если событие S — ненулевое, f -sx, g-sy, mo (x >- y) <=> (/'' g для любых /', g таких, что /' =sf, g =sg, f =r g'j.
(Р4) Если х>~у, х'>~у', / -Ах, f ~Л.у, g -вх, g =вг у, f'=Ax', f'=Ar/, g'=Bx‘8=вгУ'< mo(f ^gdf'yg').
(P5) Существуют xrx2e X такие, что x] > x2.
(P6) Если f >- g, то для каждого x можно указать такое конечное разбиение S, что для любого события Н из этого разбиения
(/'^/'У)^(/'^); (s' =Hx>g' =Hrg) =>(/>-*')•
(Р7) Если f >~sg(s) для любых seS, то f>zsg\ если f{s)>sg для любых se S, то f >zsg-
Теперь сформулируем теорему Сэвиджа о представлении предпочтений ожидаемой полезностью.
Теорема 6.2 (Сэвиджа о субъективной ожидаемой полезности). Пусть выполнены аксиомы (Р1) — (Р7). Тогда существуют субъективные вероятности q и ограниченная функция м( ), заданная на X, такие, что критерий выбора имеет вид (6-6). При этом q удовлетворяет условиям теоремы 6.1 этого раздела и q(S) = 0 для любого нулевого события S. Функция и(-) определяется с точностью до положительного линейного преобразования.
Доказательство можно найти в ряде работ: [Savage, 1954; Фишберн, 1978; Fishburn, 1988].
Основную роль в аксиоматизации Сэвиджа играет аксиома (Р2) — так называемый sure thing principle. Эта аксиома фактически утверждает следующее: предпочтения между функциями-решениями определяются только их несовпадающими значениями. Рис. 6.1 иллюстрирует этот принцип. Функции-решения / и g отличаются только на событии S, а на 5' совпадают. Если изменить их значения на Sc, сохраняя при этом равенство, то предпочтение не изменится. Измененные функции названы /' и g'. Если / предпочтительнее g, то и /' предпочтительнее g'. Эта аксиома напоминает (G4) из первой теоремы, условие аддитивной сепарабельности функций полезности из главы 1 и аксиому (01) из раздела 5.2. Все эти условия носят смысл независимости предпочтений от совпадающих исходов. См. также упражнения 6.1 — 6.3.
Теория Сэвиджа весьма привлекательна в качестве теоретического обобщения теории принятия решений (в данном случае, ожидаемой полезности) на случай неопределенности. Однако аксиомы Сэвиджа, как мог убедиться читатель, достаточно сложны.
Зависимость от состояний и парадоксы
Во многих ситуациях обоснованным выглядит предположение о том, что оценка того или иного результата может быть разной в зависимости от состояния природы, приведшего к этому результату. Так, в рассмотренном выше примере с тремя лошадьми довольно логично предположить, что проигрыш может оцениваться по-разному в зависимости от того, какая лошадь выиграла. Если реализовалось 5, (выиграл фаворит) и вы проиграли 100 долл., это означает, что вы ставили против фаворита, а значит, сознательно рисковали, и потеря не должна быть слишком неожиданной; если же реализовалось s3 и вы проиграли 100 долл., это означает проигрыш при победе аутсайдера, т.е. неожиданный и неоправданный. Можно предположить, что во втором случае огорчение от потери будет больше (по крайней мере, для некоторых людей).
Такие предпочтения можно учесть с помощью модели полезности с зависимостью от состояний (state-dependent utility). В этой модели функции полезности денег могут быть разными в зависимости от реализовавшегося состояния природы,
По поводу аксиоматического построения этой модели см., например: [Kami, 1993; Mas-Colell, Whinston, Green, 1995].
Пожалуй, наиболее известные примеры предпочтений, противоречащих аксиомам Сэвиджа, были приведены Эллсбергом [Ellsberg, 1961]. Этих примеров (парадоксов Эллсберга) два. Можно соотнести их с двумя результатами Сэвиджа, приведенными выше — теоремой о субъективных вероятностях и теоремой о линейной полезности. Первый пример — ситуация, когда невозможно определить субъективные вероятности событий.
Предположим, что есть две урны, в каждой из них по 100 шаров. Известно, что в первой урне 50 черных и 50 красных шаров. Во второй урне тоже находятся только черные и красные шары, но в неизвестной пропорции. Предоставляется выбор между альтернативами: (R,) получить 1000 долл., если из первой урны будет извлечен красный шар, и (R2) получить 1000 долл., если из второй урны будет извлечен красный шар. В такой ситуации большинство людей делает выбор в пользу (R,) (т.е. предпочитают вытащить шар из первой урны). Очевидно, это связано с “большей определенностью” этой альтернативы. Такие предпочтения возможны лишь в случае, если событие “красный шар будет извлечен из первой урны” (назовем его 5,) кажется более вероятным, чем событие S2: “красный шар будет извлечен из второй урны”. Однако в точности то же самое справедливо в отношении черных шаров: поскольку люди предпочитают ставить на событие S': “черный шар будет извлечен из первой урны”, следует сделать вывод, что оно кажется им более вероятным, чем S': “черный шар будет извлечен из второй урны”.
Очевидно, однако, что невозможно определить субъективные вероятности q этих событий так, что g(S,) + <7(S,) - 1 и q(S2) + q(S2) = 1, но q(Sl)>q(S2) и q(S')>q(S2).
Второй парадокс Эллсберга — пример решений, которые нельзя описать моделью субъективной ожидаемой полезности (6-6). Имеется одна урна, в которой 90 шаров. Из них 30 красных, а остальные 60 — черные или желтые в неизвестной пропорции. Сначала предлагается выбор между /,: получить 1000 долл., если вынутый шар красный, и /2: получить 1000 долл., если вынутый шар черный. Большинство людей предпочитают /,. Далее предлагается выбор между gt: получить 1000 долл., если вынутый шар красный или желтый, и g2: получить 1000 долл., если вынутый шар черный или желтый. В этой ситуации большинство людей выбирают g2. Можно оправдать такой выбор теми же соображениями большей определенности. Решения и выигрыши приведены в таблице.
Интересный пример нарушения (Р2) приводят Тверски и Кане-ман [Tversky, Kahneman, 1992].
Группе из 156 финансовых менеджеров во время семинара были предложены альтернативы, зависящие от разности d значений индекса Доу — Джонса при закрытии биржи для сегодняшнего и завтрашнего дней. Выигрыши (в долларах) представлены в следующей таблице.
6.4
*Теория проспектов
В заключение этой главы остановимся на теории, которая позволяет объяснить многие примеры выбора при неопределенности и риске, — так называемой теории проспектов (prospect theory), предложенной Тверски и Канеманом [Kahneman, Tversky, 1979; Tversky, Kahneman, 1992]. Многие идеи, положенные в основу этой теории, не новы. Теория проспектов аккумулирует в себе находки множества предшествовавших исследований — и экономических, и математических, и психологических. Основной ценностью этой теории является именно эмпирический элемент — объяснение экспериментально наблюдаемых фактов.
Ниже будет описана так называемая кумулятивная теория проспектов (cumulative prospect theory). Эта теория вобрала в себя идеи ранговой полезности (раздел 5.2), впервые предложенной Куиггином [Quig-gin, 1982; 1993]. Впоследствии было развито строгое аксиоматическое построение теории [Wakker, Tversky, 1993; Chateneauneuf, Wakker, 1999]; сходная модель была аксиоматически построена Льюсом и Фишбер-ном (Luce, Fishburn, 1991]. Аксиоматическое построение теории проспектов выходит за рамки этой книги; интересующийся читатель может обратиться к указанным работам.
Проспекты понимаются как альтернативы выбора с неопределенными денежными исходами. Проспекты отличаются от лотерей, рассматривавшихся выше. Если лотереи просто характеризовались распределениями выигрышей, то проспекты — альтернативы, включающие в себя еще и способ описания или постановки вопроса. Можно указать следующие основные моменты теории.
¦ Двухэтапный процесс принятия решений. На первом этапе производится “редактирование” (editing) проспектов, а уже на втором — оценивание лотерей, соответствующих отредактированным проспектам, при помощи математической модели.
¦ Различная трактовка приобретений и потерь по отношению к некоторой отправной точке (reference point).
¦ Искажение вероятностей.
Этап редактирования включает, во-первых, установление отправной точки и “кодирование” исходов как приобретений и потерь относительно ее. Это ключевой момент в объяснении эффектов представления из раздела 4.5. Другие операции, производящиеся на этой стадии, фактически сводятся к упрощению лотерей. В частности, одинаковые исходы объединяются, например, проспект с выигрышами х, у, х с вероятностями рх, р2, р3, соответственно, должен быть преобразован в лотерею с распределением выигрышей вида
' * /
.Л + Рэ Рі'
Первая версия модели (1979 г.) включала также некоторые не столь ясные моменты, а именно отсеивание на этапе редактирования совпадающих и доминируемых исходов двух сравниваемых проспектов в случае их распознания субъектом. Формальной и даже сколько-нибудь устоявшейся теории редактирования не существует, во всяком случае, в настоящее время. Однако накопленные эмпирические данные о влиянии различных представлений (фреймов) альтернатив на процесс принятия решений дают некоторое представление о поправках, которые они могут вносить в оценки. Такой подход кажется реалистичным, так как по крайней мере позволяет отделить формализуемый элемент процесса принятия решений от неформализуемого с точки зрения наших сегодняшних знаний. Если мы не можем пока моделировать некоторые вещи математически, можно, по крайней мере, описать их. Ясно, что “красивые” формальные модели принятия решений всегда слишком многое оставляют “за кадром”.
Что касается второй фазы — фазы оценивания, то теория проспектов использует модель (5-5), которая была названа в разделе 5.2 общей моделью взвешивания, с рядом особенностей, продиктованных опытом. Как уже говорилось, денежные потери и приобретения оцениваются относительно некоторой отправной точки. Как правило, в качестве такой точки берется статус-кво. Функция и(х) называется функцией ценности (value function) и выбирается в виде, подобном показанному на рис. 3.5, т.е. она возрастает, вогнута в области приобретений, выпукла в области потерь и более крута в области потерь. Это позволяет учесть эффекты “отражения” и “неприятия потерь”. Кроме того, и(0) = 0. Характерная черта этой теории состоит в том, что “веса”, указывающие значимость результатов, могут быть разными для приобретений и потерь.
Рассмотрим сначала применение теории проспектов для случая выбора в условиях риска, т. е. при известных физических вероятностях.
Пусть, как и выше, S — множество состояний природы, на котором определены вещественные функции-решения, или проспекты f(s). Пусть f+(s) = max(/(s),0) — положительная часть f(s), f~(s) = min (0, f(s)) — отрицательная часть.
В этом разделе рассматриваются только функции-решения, принимающие конечное число различных значений. Такие функции уже рассматривались в разделе 6.2. Будем считать, что отрицательные результаты имеют отрицательные номера, нулевой исход — нулевой номер, положительные исходы — положительные номера. Обозначим минимальный отрицательный номер через -т, максимальный положительный номер через п. Будем считать, что функция-решение f(s) принимает значения jc_m,...,0,...,jc„ на множествах S_m,...,0,...,Sn соответственно. Обозначим St ={se S :f(s) = xt], k--m,...,n. Как было замечено в разделе 6.2, события Sk составляют разбиение множества S, т.е. SknSj=0 при кФ j и u"=_m5<: = S.
В теории проспектов предпочтение среди функций-решений определяется критерием вида
?(Л='?и(хІ)я; +?и(х,)я; =?(Г) + ?(Г), (6-9)
і=~т /=0
где величины п — некоторые веса. Таким образом, проспект разбивается на положительную и отрицательную части (относительно статус-кво), представляющие соответственно приобретения и убытки. Эти части оцениваются по-разному в том смысле, что при определении весов учитывается знак хг Это связано с тем фактом, что люди по-разному искажают вероятности благоприятных и неблагоприятных событий.
В случае выбора в условиях риска (известных физических вероятностей) веса определяются так же, как в модели ранговой полезности раздела 5.2. В разделе 5.2 уже рассматривалась функция w(p), связанная с g(p) соотношением 1- g(p) - ??(1- р) и определявшая веса равенством
я-. = w(Pi +...+ pn)-w{pM +...+ рп).
Пусть вероятность события 5( есть р: =Р(5(). Определим веса следующим образом. Положим для і = 0,...,п-1
(6-10)
(6-11)
п\ = і?+(р,.+...+ pn)-w\pM+...+ рп),
Щ = w~ (р_т +...+ pi) - і?" (р_т +...+ рм).
Для максимального и минимального исходов, соответственно, 71 п = w*(Рп)> п~-т ~ w (Р-т)- Если в проспекте имеются и отрицательные, и положительные исходы, то для і - 0 вес определяется как сумма соответствующих весов, л* + я0. Для приобретений и потерь, как сказано выше, используются разные функции, обозначенные ??+ и ??”.
Веса в теории проспектов при известных вероятностях определяются так же, как в теории ранговой полезности: они представляют собой “искаженные” вероятности, причем на искажения влияет не абсолютное значение результата, а только ранг (порядок) результата среди всех результатов проспекта.
Формулы определения весов (6-10) и (6-11) характеризуют кумулятивную теорию проспектов. В более ранней версии теории проспектов (1979 г.) веса определялись путем преобразования вероятностей событий, я(. = г{рх) (г — некоторая функция), а не накопленных вероятностей, как в (6-10) и (6-11). Эта теория способна объяснить парадоксы выбора (см., например, упражнение 6.8), однако получаемый при этом критерий не монотонен относительно первого стохастического доминирования (упражнения 5.6 и 5.7).
Рассмотрим некоторые конкретные параметрические версии теории проспектов и объяснение с их помощью разнообразных экспериментально наблюдаемых примеров выбора.
Тверски и Канеман [Tversky, Kahneman, 1992] предложили функцию ценности и(х) вида
и(х) = -
Если Л> 1, то функция имеет форму, подобную показанной на рис. 3.5.
Для весовой функции w(p) в той же работе была предложена форма
РГ
(Г-Ні-рУ)'"
(6-13)
w(p) =
Вид этой функции показан на рис. 6.2. Рассмотрим, например, лотерею, в которой можно выиграть положительную сумму с вероятностью р и ничего с вероятностью 1 - р. Для таких проспектов вес выигрыша равен х?{р). Поэтому весовая функция (6-13) преувеличивает малые вероятности и недооценивает средние и большие вероятности выигрыша.
Предлагались и другие формы весовой функции, например
w{p) = e-i-'npY (6-14)
[Prelec, 1989]. Форма графика этой функции очень похожа на кривую рис. 6.2. Она пересекает линию w-p в фиксированной точке р = і/е = 0,37. В (6-13) и (6-14) предлагалось использовать разные значения у для ??+ и ??”, т.е. для весов приобретений и потерь. Обозначим их, соответственно, у+ и у~.
Посмотрим, как ведут себя эти веса в случае простейших лотерей. Рассмотрим, например, лотерею с выигрышами 0 (вероятность 1 - р) и 50 долл, (вероятность р). Если р мало, вес выигрыша тг50 больше вероятности выигрыша. Например, возьмем функцию (6-13) с у* =0,6; тогда при р-0,05 имеем = ??+ (0,05) = 0,145. При р = 0,005 имеем пх - ??+ (0,005) = 0,0659. Если р- 0,8, то ;г50 =0,67. Таким образом, малые вероятности преувеличиваются, а большие преуменьшаются. Теперь возьмем отрицательный проспект с выигрышами -50 с вероятностью р и 0 с вероятностью 1 — р. Положим у~ =0,7; тогда вес потери = w~(p) принимает значения 0,116 при р = 0,05 и 0,0402 при р = 0,005. Вес нулевого исхода в обоих случаях равен
Для лотерей с выигрышами -50 и 50 веса вычисляются по отдельности и точно так же — как функции от вероятностей. Рассмотрим, например, проспект с тремя исходами: -50, 5 и 50 с вероятностями 0,15, 0,7 и 0,15 соответственно. При таких же ??+ и w~, как выше, имеем л_5о=иг(0,15) = 0,209; ях= w+ (0,15) = 0,230; ??+(0,85)-??+(0,15) =
= 0,715-0,230 = 0,485. Видно, что сумма весов меньше единицы.
Пример 6.3. Пусть положительный рисковый проспект приписывает вероятности 0,1 некоторым положительным результатам x,,...,x10. Согласно формуле (6-10), веса для і = 1,...,9 вычисляются по формуле
а л-,; = иЛ(0,1).
Веса, вычисленные для функции ??+ вида (6-13) с ^ = 0,69 (график ее показан на рис. 6.2), приведены в следующей таблице.
Пример 6.4. Парадокс Аллэ (раздел 4.1). Возьмем ту же функцию w+ = w, что и в предыдущем примере. Для лотереи А (получение 1 млн. долл, без риска) имеем
V (А) = и (1) ??(1) = и (1)
(денежные суммы в млн. долл.).
Для лотереи В с распределением выигрыша
х2 = 5 ^ Ръ =0>1.
f Выигрыш хх = 0 х2 = 1 Вероятность р, = 0,01 р2 = 0,89
имеем
я3+ = w(p3) = 0,170,
Яз = ??(р2 + Рз)- w(p3) = 0,945-0,170 = 0,775, я,+ = w(p, -I- р2 -I- Рз) — w(p2 + р3) = 1 — 0,945 = 0,055.
Для лотереи С, в которой можно выиграть 5 с вероятностью 0,1 и ничего с вероятностью 0,9, веса уже фактически посчитаны и равны 0,17 для выигрыша 5 и 1—0,17=0,83 для нулевого выигрыша.
Наконец, для лотереи D, в которой можно выиграть 1 с вероятностью 0,11 и 0 с вероятностью 0,89, вес выигрыша 1 равен w+ (0,11) = 0,180.
Чтобы объяснить парадокс Аллэ, теперь нужно подобрать значения функции и в точках 1 и 5 (м(0) = 0, как было выше сказано). Если взять и(1) = 1, н(5) = 1,25, то это позволяет объяснить парадокс. Если кого-то из читателей не удовлетворяет, например, слишком маленькое значение и(5), он может попробовать лучше подогнать модель, подобрав более подходящее у.
Красивый пример объяснения данных теорией проспектов — еще один эксперимент Тверски и Канемана [Tversky, Kahneman, 1992]. В эксперименте каждому из 25 испытуемых предлагалось оценить (указать денежные эквиваленты) 28 рисковых проспектов, каждый из которых представлял собой лотерею с двумя возможными выигрышами (в долларах), например: 0 и 400, 0 и —400, 50 и 100, —50 и —100 и т.д.
Все проспекты были такого типа, т.е. не было проспектов с исходами противоположного знака. Выбор каждого испытуемого классифицировался по признаку отношения к риску (неприятия риска/любви к риску), затем для каждого вычислялся индивидуальный процент случаев того или иного отношения к риску. Этот процент, усредненный по всем испытуемым, показан в таблице ниже, из которой видно, что, если речь шла о возможном выигрыше, наблюдается любовь к риску при малых вероятностях и неприятие риска при больших вероятностях. Если речь идет о проигрыше, поведение меняется на противоположное. То же поведение было характерно и для большинства испытуемых, взятых в отдельности. Упражнение 6.11 предлагает объяснить такие предпочтения при помощи описанной выше модели. В частности, это можно объяснить эффектом преувеличения малых вероятностей и преуменьшения больших.
Несколько исследований было посвящено подгонке (оценке параметров) моделей теории проспектов по экспериментальным данным. Если функция и(х) задана равенством (6-12), а функция w(p) — (6-13) либо (6-14), то модель описывается всего четырьмя параметрами: а, Л, у+, уБыли получены интересные результаты, обнаруживающие определенную устойчивость. В частности, значения у попадали в интервал от 0,56 до 0,75 (именно такие у использовались выше). По поводу обзора см., например: [Neilson, Stowe, 2002].
Веса могут быть формально определены следующим образом. Определим неотрицательную функцию W(S) на подмножествах S (которые, как и выше, будем называть событиями), такую, что (Щ0) = О, W'(S) = 1, 5, cS2)=>(W(S,)<W(S2)). Эта функция, в отличие от вероятностной меры, может быть неаддитивна. Введем две разные функции с такими свойствами, W+ и W~.
Пусть, как и выше, функция-решение f(s) принимает значения 0,•••,*„ на событиях S_m,...,0,...,Sn соответственно. Положим
v:m=w-(s_m),...,
^¦=W-(5.mu...u5I)-W-(5_mu...u5,._1),...; <=W+(5J,..„
;r;=r(S,u...uSJ-r(SI+1u...uSJ,... (6-15)
Обратите внимание на то, что одному и тому же событию могут быть приписаны разные веса при оценке двух разных функций-решений, но только в случае, если одна функция-решение дает положительный исход для этого события, а другая — отрицательный. По поводу суммы весов см. упражнение 6.7.
В случае, когда истинные вероятности событий известны, т.е. в ситуации принятия решений в условиях риска, веса определяются некоторым искажением вероятностей. Положим для этого случая
W~(S) = W (Р(5)); W+(S) = w+ (P(S)),
где w~ и w* — возрастающие непрерывные функции, такие, что ??+'(0) = 0, и>+“(1) = 1. Веса определяются так, как описано выше. Пусть вероятность события 5, есть р. =Р(5, ). Тогда
Р(5,- u...uS„) = Р' +...+ рп,
откуда
W+(S,v...vSn) = w+(pi+...+ pn).
Подставляя это в (6-15), получаем (6-10). Аналогично получается (6-11).
6.5
Упражнения к главе 6
6.5
Упражнения к главе 6
Упражнение 6.1. Проверьте, что если множество результатов решений X конечно и предпочтения определяются критерием (6-7), то выполнена аксиома Сэвиджа (Р2) (sure thing principle).
^Упражнение 6.2. Пусть лицу, осуществляющему выбор, известны физические вероятности событий и выбор определяется только распределением результата, т.е. имеет место выбор в условиях риска. Пусть множество результатов решений X конечно. Покажите, что в этом случае аксиома Сэвиджа (Р2) из раздела 6.2 сильнее аксиомы независимости фон Неймана — Моргенштерна из раздела 3.2.
Указание. Воспользуйтесь представлением альтернатив выбора в виде двухступенчатых лотерей, как делалось в разделе 3.2. В качестве S можно взять отрезок числовой прямой.
^Упражнение 6.3. Покажите, что аксиома (Р2) раздела 6.2 сильнее аксиомы (G4) из того же раздела.
Указание. Рассмотрите функции-решения, принимающие только значения ноль и единица.
Упражнение 6.4. Покажите, что первый из парадоксов Эллсберга представляет нарушение аксиомы (G4) из раздела 6.2.
Упражнение 6.5. Проверьте, что пример Лившица с блондинкой и брюнеткой, описанный в разделе 1.7, противоречит аксиоме (РЗ) раздела 6.2, если событие “вынут зеленый шар” считать ненулевым.
Упражнение 6.6. Представьте ситуацию выбора для парадокса Аллэ из раздела 4.1 в виде ситуации принятия решений при неопределенности. Введите состояния природы (в данном случае достаточно трех, причем с известными вероятностями: 0,01, 0,89 и 0,1) и представьте альтернативы выбора в виде таблицы, аналогичной таблице примера 6.2. Убедитесь, что парадокс Аллэ представляет нарушение аксиомы Сэвиджа (Р2). Сравните построенную таблицу выигрышей и таблицу для примера с индексом Доу — Джонса из раздела 6.3.
После выполнения этого упражнения вам должно стать понятно, почему парадоксы типа парадокса Аллэ часто называют эффектом одинакового исхода (common consequence effect).
Упражнение 6.7. Покажите, что сумма весов л в (6-15) равна единице для положительных проспектов, т.е. таких, что f(s) >0 для всех s, и отрицательных, а для проспектов, допускающих и положительные, и отрицательные исходы, сумма весов может отличаться от единицы в ту или другую сторону.
Упражнение 6.8. Положим для дискретной случайной величины ХА, принимающей значения хі с вероятностями р.,
?(А) = ^хАРі)>
І
где s(p) = C[((a + 0-2)р + (3-2а-0)) p + a~jp, коэффициент С выбирается из условия нормировки ^J.s(pi) = 1. Покажите, что при а = И2, 0 = 3 такая модель предпочтений объясняет примеры парадоксов разделов 4.1 и 4.2. Является ли такой критерий монотонным относительно первого стохастического доминирования?
Упражнение 6.9. Объясните при помощи теории проспектов парадокс раздела 4.2. Веса исходов вычисляйте, пользуясь функцией ??, график которой показан на рис. 6.2.
Упражнение 6.10. Объясните при помощи теории проспектов парадокс из упражнения 4.3, вычисляя веса исходов согласно функции ??, график которой показан на рис. 6.2.
Упражнение 6.11. Объясните данные об отношении к риску при больших/малых вероятностях приобретений/потерь при помощи кумулятивной теории проспектов с весовой функцией вида, показанного на рис. 6.2.
Часть II
МОДЕЛИРОВАНИЕ
РИСКА
глава
МОДЕЛЬ ИНДИВИДУАЛЬНОГО РИСКА В СТРАХОВАНИИ
Здесь рассматривается простейшая модель применения вероятностных методов в страховании. Как часто бывает, нормальное распределение дает хорошее первое приближение для моделирования случайных флуктуаций. Пример применения — рекомендованная в Российской Федерации методика расчета страховых тарифов. Более “продвинутая” модель страховых выплат рассматривается в главе 10.
7.1
Страхование: основы и терминология
В главе 3 уже были рассмотрены примеры из экономической теории страхования, основанной на ожидаемой полезности, и введены некоторые термины.
Страховой контракт может трактоваться как акт перераспределения риска между двумя или более участвующими сторонами. Исторически одной из первых форм страхования было взаимное страхование, известное с древних времен. Оно представляет собой форму взаимопомощи. Например, купцы образовывали объединения, или гильдии. В них иногда создавались (за счет взносов членов) “страховые фонды”, из которых члены, потерпевшие убытки вследствие несчастных случайностей, могли получить возмещение.
Рассмотрим простую математическую модель такого объединения. Предположим, что п участников договорились о взаимном возмещении некоторых убытков. Пусть убыток і-го участника описывается случайной величиной Хг Для примера предположим, что эти величины одинаково распределены и независимы. Пусть убыток каждого участника возмещается всеми п участниками (в том числе потерпевшим) в равных долях. Тогда каждый участник договора будет должен выплатить в покрытие убытков
!(х, +...+ *„).
п
Нетрудно видеть, что дисперсия этой величины равна о\іп, т.е. в п раз меньше дисперсии Хп а математическое ожидание равно математическому ожиданию Хг Таким образом, за счет взаимного страхования каждый участник получает более стабильное — по крайней мере, с меньшей дисперсией — распределение выплат. При больших п оно все более приближается к вырожденному, т.е. участник платит фактически неслучайную сумму. Это не что иное, как действие закона больших чисел.
Риск может быть уменьшен путем его перераспределения. Количество риска, если можно так выразиться, не является постоянным. Участники соглашения о взаимном перестраховании объединяют свои риски, тем самым риск каждого индивидуального участника перекладывается на всех, или диверсифицируется в соответствии с принципом “не класть все яйца в одну корзину”. Каждый из них передает каждому I/п своего риска — “одно яйцо”. В результате каждый знает более определенно, сколько “яиц” он потеряет.
Аналогичный принцип объединения рисков работает в современных страховых компаниях, функционирующих на основе заключения страховых договоров (продажи страховых полисов). Такой договор состоит в том, что одна сторона (страховая компания — страховщик) принимает, а другая (страхователь) — передает риск. При этом страхователь платит страховщику некоторую сумму — цену страхового полиса или страховую премию. В обмен на это страховщик принимает на себя обязательство полного или частичного возмещения потенциального ущерба страхователя в случаях, когда такой ущерб может быть оценен (например, в имущественном страховании), либо же его обязательства могут состоять в выплате определенных сумм при наступлении определенных обстоятельств (например, в страховании жизни — в случае смерти застрахованного лица). Факт наступления обстоятельств, влекущих страховую выплату, называется страховым случаем. Сумма выплаты называется страховым возмещением. Для страховщика
Страхование: основы и терминология
(страховой компании) суммы выплаченных возмещений составляют страховые убытки.
Суммарный риск крупного страховщика состоит из множества рисков, связанных с отдельными полисами. Чем более “распределен” риск компании, тем она стабильнее. Для еще большего улучшения структуры риска страховщики заключают договоры перестрахования, основные формы которых рассматривались выше, в разделе 3.4.
Виды страхования можно в общем подразделить на долгосрочные и краткосрочные. К первым относят страхование жизни (life insurance), краткосрочные же виды страхования называют рисковыми (non-life, general insurance). Исторически сложилось так, что эти области имеют несколько различную терминологию и методы расчетов. Эти расчеты называются актуарными. К актуарной математике страхования жизни примыкает актуарная математика пенсионного страхования и пенсионных схем.
Рис. 7.1. Структура страховой премии
Рис. 7.1 иллюстрирует теоретическую структуру страховой премии, взимаемой страхователем со страховщика. Фактически вносимая сумма называется брутто-премией. Она состоит из трех основных частей: чистой рисковой премии (pure risk premium), равной среднему возмещению по риску, или математическому ожиданию убытка страховщика; рисковой (гарантийной) надбавки (safety loading) и надбавки на расходы страховщика. Первые две части в сумме составляют нетто-премию — премию, идущую на формирование страхового фонда {резерва) — фонда, предназначенного для выплат страховых возмещений. Рисковая надбавка предназначена для погашения возможных нежелательных отклонений страхового возмещения от его среднего уровня.
Такие флуктуации всегда возможны, хотя, как будет показано ниже, при высоком уровне “распределенности” риска рисковая надбавка может быть теоретически очень малой. Тем не менее, согласно центральной предельной теореме, распределение суммарного страхового убытка для группы из большого числа независимых рисков приближенно нормально, а это означает, что вероятность превышения суммарным убытком среднего уровня примерно равна 1/2. Поэтому необходимы некоторые дополнительные суммы для коррекции таких отклонений.
В накопительном страховании жизни иногда подразделяют рисковую премию на взнос, предназначенный для покрытия выплат по риску смерти, и “сберегательный взнос”, предназначенный для покрытия выплаты накопленных сумм в случае дожития застрахованным до окончания срока страхования. В то же время в расчетах нетго-пре-мий обычно не фигурирует в явном виде рисковая надбавка. Вместо этого она фактически появляется за счет использования “консервативных” расчетных данных (так называемого актуарного базиса).
Актуарные расчеты в страховании жизни традиционно ведутся на фактически детерминированной основе, сводясь к вычислению ожидаемых дисконтированных стоимостей денежных потоков по полисам. В этой книге рассматриваются модели рискового (non-life) страхования, существенно использующие элементы вероятностного моделирования. Введение таких элементов в модели страхования жизни, конечно, тоже представляет интерес и практическую значимость (см. по этому поводу, например: [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994, ch. 15, 16]). Некоторые примеры введения вероятностных элементов в долгосрочные актуарные модели можно найти в главе 11.
К краткосрочным, или рисковым, видам страхования относятся, например, страхование имущества, автострахование, медицинское, транспортное, страхование туристов и др. В отличие от долгосрочных видов страхования, при обычных актуарных расчетах в рисковом страховании обычно не учитывается процентная доходность на страховые резервы, так как речь, как правило, идет о сравнительно коротких интервалах времени. Срок полисов большинства видов рискового страхования не превышает одного года. Впрочем, при необходимости можно ввести в модели и инвестиционную доходность, и инвестиционный риск, см., например, упражнение 7.6 и раздел 8.4. С другой стороны, в рисковом страховании, по сравнению со страхованием жизни, большее значение приобретают случайные отклонения от планируемых результатов, поэтому здесь необходимо использовать вероятностные модели. Простейшая из таких моделей описывается ниже.
7.2
Очерк модели индивидуального риска
Представим себе условную группу из п застрахованных объектов (например, автомобилей, домов и т.п.). Эти объекты будем называть рисковыми единицами; в страховании часто употребляют термин “риски”. Будем для начала считать, что все рисковые единицы обладают одинаковыми характеристиками, такими, как вероятность страхового случая и распределение возможного страхового убытка. Это естественное предположение в том случае, когда все объекты в достаточной степени однородны (например, автомобили одной марки и года выпуска), или, во всяком случае, нет статистической информации, позволяющей подразделить их на более мелкие группы; кроме того, условия и сроки страхования всех объектов совпадают.
Обозначим случайный страховой убыток по і'-й рисковой единице Z( (/ = 1,2,...,п). Согласно сделанным предположениям, Z( одинаково распределены. Кроме того, будем считать эти случайные величины независимыми. Такое предположение можно сделать в случае, когда страховые убытки по каждой рисковой единице можно считать обусловленными различными, не связанными между собой причинами. Таким образом, эта модель не принимает в расчет факторов, которые могут влиять одновременно на многие риски в группе. Отметим, что во многих видах страхования эти факторы присутствуют всегда, например, это могут быть погодные условия, влияющие на вероятности таких страховых случаев, как автомобильные аварии или пожары (см. по этому поводу раздел 10.3).
Итак, считая все Z, одинаково распределенными и независимыми, запишем выражение для суммарного страхового убытка S по группе из п рисков:
При большом п, согласно центральной предельной теореме, распределение S можно считать приближенно нормальным с параметрами, равными соответственно математическому ожиданию и дисперсии S:
(7-2)
S = N(ms,al).
7-Теория риска
Большинство убытков Z,, как правило, равны нулю. Если обозначить вероятность того, что отдельный убыток будет отличен от нуля (т.е. по данному риску будет страховой случай), через q = P(Z > 0), то ожидаемое число отличных от нуля слагаемых в (7-1) будет равно щ. Собственно говоря, именно величина щ, а не п, служит критерием применимости нормальной аппроксимации. В качестве грубого эмпирического правила можно указать, что нормальная аппроксимация применима при щ > 10.
Важным понятием теории риска является понятие капитала под риском, аналогичное понятию VaR, введенному в разделе 2.3 — “убытка в наихудшем случае”. Определим капитал под риском как наименьший капитал U, достаточный для покрытия суммарного страхового убытка S с вероятностью, не меньшей фиксированного уровня ?. При этом вероятность ?, как правило, выбирается достаточно большой (типичное значение 0,95). Таким образом, U определяется из неравенства
Р(5 <U)>?.
Так как в силу (7-2) функция распределения S непрерывна, для наименьшего U должно выполняться равенство
P(S<U) = ?. (7-3)
Пользуясь обычным приемом нормирования нормального распределения, вычтем из S его математическое ожидание и разделим на среднее квадратическое отклонение:
= ?,
V as
's у
или
V °s у
где Ф — функция стандартно нормального распределения. Отсюда
U = ms+aecrs, (7-4)
где ас — квантиль уровня ? стандартно нормального распределения. Например, для ? = 0,95 ае =1,645. Мы видим, что, как и следовало ожидать, капитал под риском возрастает при росте среднего убытка ms и среднего квадратичного отклонения убытка <т5.
Теперь рассмотрим задачу об определении так называемой относительной рисковой надбавки (нагрузки безопасности, safety loading) ?. Эта величина связывает негго-премию Р, т.е. премию, идущую на формирование страхового резерва, со средним убытком по одному полису (чистой рисковой премией) т2:
Р = (І + ?)т2. (7-5)
Правило (7-3) может быть использовано для вычисления ?, если считать, что необходимый капитал под риском образуется за счет собранных страховых премий для данной группы рисков, U = пР, и надбавка ? для всех полисов одинакова. Подставляя U = (1 + ?)т5 в (7-3), получаем
= ?,
S-т,
--<?—
ИЛИ
т5
Подставляя в (7-6) т5 = п- т2, <т5 - у/п ¦ <т2, получим
уіп пг2
Важный аспект этой формулы — уменьшение рисковой надбавки при росте п. При очень больших количествах рисков ? приближается к нулю. Это означает, в частности, что более крупные страховые компании более стабильны и могут позволить себе взимать меньшие рисковые надбавки или же иметь меньший страховой резерв в расчете на один полис, чем их более мелкие конкуренты. Этот факт иллюстрирует также упражнение 7.1. Такой эффект аналогичен эффекту диверсификации финансового риска (раздел 2.1). Когда риск распределяется между большим числом независимых рисковых единиц (страховых полисов, ценных бумаг), случайные флуктуации отдельных единиц взаимно “компенсируют” друг друга, поэтому в среднем (на одну единицу) риск становится малым. С теоретической точки зрения это объясняется действием закона больших чисел.
В более общем случае можно предположить, что рассматриваемая группа рисков состоит из т однородных групп с числом рисков в каждой, равным пк (к = 1,...,т). Обозначим Zik убыток по t-му риску в к-й группе. Тогда
т
S=I Lz«-
Если убытки по отдельным рискам Zjk независимы и число рисков в каждой группе велико, в этой ситуации по-прежнему справедлива центральная предельная теорема и применима аппроксимация (7-2). Поэтому ? — если считать ее одинаковой для всех полисов — можно вычислять по формуле (7-6).
Для применения нормальной аппроксимации и полученных формул требуется вычислить математическое ожидание и дисперсию суммарного убытка S. Так как все риски считаются независимыми, это делается простым суммированием средних и дисперсий по отдельным рискам.
Пример 7.1. Отправителям срочных почтовых отправлений фирмы “АВС Worldwide, Inc.” предлагается возможность застраховать их на следующих условиях: в случае утери отправления отправитель получает компенсацию 500 долл., а в случае нарушения сроков доставки — 50 долл. Согласно статистическим данным, на каждые 10000 отправлений в среднем 16 не доставляются по назначению, а 263 доставляются с нарушением сроков. Найдем рисковую надбавку и нетто-премию, т.е. стоимость такой страховки без учета расходов страховщика. Положим е = 0,95, тогда ае = 1,1645.
Находим математическое ожидание страхового убытка Z на один риск (одно застрахованное отправление)
1 ?\ ozq
mz =500-+ 50-= 2,115
z 10000 10000
(вместо вероятностей используем их оценки — частоты убытков). Находим дисперсию
аі =EZ2-nd = 5002 ——+ 502-^—(2,115)2 =461,277 2 2 10000 10000
и среднее квадратическое отклонение
аг =21,477.
Подставляя эти значения в формулу (7-7), получим
16,
Например, если в течение года предполагается застраховать п = 1200 почтовых отправлений, то 0 = 0,4822 (48,22%). Тогда нетто-премия за страховку Р = (1 + ?)т2 =3,13 долл.
Заметим, что промежуток времени в один год взят в этом примере условно, как и вероятность е. Если взять меньший промежуток, например месяц, то и число п должно соответственно уменьшиться; однако логично было бы и изменить е. Из (7-7) очевидно, что значения е должны быть меньше для меньших интервалов времени. Действительно, ? представляет вероятность покрытия убытка суммой собранных премий; если в каком-либо месяце наблюдается дефицит, он может быть покрыт в другие месяцы года. Читатель может самостоятельно найти соответствующую математическую зависимость (упражнение 7.2).
Статистика страховых компаний часто организована таким образом, что позволяет извлечь данные о проданных в течение какого-либо времени полисах, а также (в отдельных файлах) о страховых выплатах. Для простоты здесь и далее будем предполагать, что по каждому риску возможно не более одного страхового случая. Это допущение можно ввести, если вероятность повторных страховых случаев достаточно мала. Взяв отношение числа полисов, по которым были страховые выплаты, к общему числу полисов, можно найти частоту страховых случаев. Если выборка достаточно велика, эту частоту можно рассматривать как оценку вероятности наступления страхового случая на один полис, которую обозначим q. Ошибка оценки определяется стандартными статистическими методами.
По данным о выплатах страховых возмещений также можно (если выборка достаточно велика) оценить распределение величины убытка при условии, что убыток произошел. Эту величину обозначим У. Тогда Z = У с вероятностью q и Z = 0 с вероятностью 1 - q.
Пусть А — событие, состоящее в том, что по данному риску произошел убыток. По формуле полного математического ожидания (см. раздел 12.1),
mz = EZ = E(Z I A)P(A) + E(Z | д)(і-Р(Д)) = дЕУ. (7-8)
Аналогично
EZ2 =E(Z2| A)P(A) + E(z2|A)(l-P(A)) = gET2 = q(a2+m2). Поэтому
сг2 =DZ=E(Z2)-m2 = m2q(l-q) + qa2. (7-9)
Пример 7.2. Страховая компания планирует застраховать на 1 год 800 автомобилей ВАЗ-2105. Из них 200 автомобилей застрахованы только от угона, 450 автомобилей — только от ущерба (повреждения), 150 автомобилей — от автогражданской ответственности. В случае угона владельцу выплачивается 2400 долл. В случае повреждения ущерб распределен равномерно на [0, 2400 долл.]. Выплаты по страхованию автогражданской ответственности распределены экспоненциально со средним 800 долл. Вероятности страхового случая по первой группе (угон) qx =0,04, по второй (повреждение) <72=0,12, по третьей (ответственность) д3=0,05. Найти рисковую надбавку ?, полагая е = 0,975 (аг0975 = 1,96).
Обозначим через mt и сг соответственно математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение убытка по одному риску из і-й группы. Имеем т1 =2400, сг, =0. Для равномерного распределения на [0,а] среднее равно all дисперсия — а2/12. Поэтому тг =1200, сг2 =480000. Для экспоненциального распределения с параметром Д среднее равно 1/Д дисперсия 1/Д2 (см. раздел 12.1). Так как по условию среднее пц =800, дисперсия а2 =т% = 640000.
Теперь, пользуясь (7-8) и (7-9), получаем:
ms = 200<7,m, + 450<72m2 + lSOq^rr^ = 90000; сг2 = 200<7, (1 - <7, )т2 + 450 (q2 (1 - q2 )т\ + q2<jl) +
+150(<73(1 — q^ttij + <73cr3
откуда crs =12163,3.
Подставляя эти значения в формулу (7-6), вычисляем ответ:
? = 1,96 •121-6— = 0,2649 = 26,49%.
90000
Отметим еще одно допущение модели этого раздела, а именно, предположение о том, что число рисков известно заранее. В действительности страховщики никогда не знают точно, сколько именно полисов им удастся продать. Логичнее было бы считать число полисов в рассматриваемой условной группе случайным. Это ограничение будет несколько смягчено в главе 10, где рассматривается модель, в которой число полисов не фиксируется.
7.3
* Расчет страховых тарифов по методике Росстрахнадзора
Практическим примером применения модели индивидуального риска служат Методики расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования, рекомендованные Росстрахнадзором в 1993 г. Методики Росстрахнадзора употребляются при лицензировании страховых продуктов. Здесь будет рассмотрена так называемая Методика (I), основанная на модели индивидуального риска. Изложение в основном следует статье Суркова, Шоргина и Шухова [Сурков, Шоргин, Шухов, 1994].
Методика (I) применима в случае так называемого пропорционального страхования. Суть его заключается в следующем. Предположим, что некто имеет автомобиль стоимостью 6000 долл, и желает его застраховать, например от ущерба (повреждения в случае аварии). Тогда максимальный ущерб составляет 6000 долл, (при полном разрушении автомобиля). При пропорциональном страховании страхователь может выбирать страховую сумму, т.е. сумму, на которую страхуется автомобиль. Например, если он решит застраховать его на 50% стоимости, т.е. на 3000 долл., то покрытие ущерба составит 50% от полной суммы. Например, в случае аварии, ущерб от которой составил бы 800 долл., страховщик возместит страхователю 50% суммы ущерба, т.е. 400 долл. При этом премия за такое страхование тоже составит 50% от премии в случае страхования на полную стоимость. Пропорциональное страхование уже рассматривалось в разделах 3.4 и 4.3.
Страховой тариф взимается при этом с 1 руб. страховой суммы. Различают нетго-тариф и брутто-тариф. Второй отличается от первого тем, что включает в себя нагрузку на расходы страховщика. Методика (I) Росстрахнадзора содержит формулы для вычисления ставки негш-та-рифа Т". Если страховую сумму по риску обозначить через С, то нетго-премия составит Тп ¦ С. Остановимся на простейшем случае, когда п рисков в группе однородны, т.е. распределение ущерба страхователей одно и то же. Однако суммы С, (/ = 1,...,и), на которые эти риски застрахованы, могут быть разными. Будем считать случайные величины С, независимыми и одинаково распределенными. Как и в разделе 7.2, будем предполагать, что все риски независимы между собой и по каждому риску возможно не более одного страхового случая. Пусть Х( — страховое возмещение, выплачиваемое по /-му риску при условии, что был страховой случай; /( — случайная величина, равная единице, если по /-му риску был страховой случай (с вероятностью q), и нулю, если нет. Тогда возмещение, выплачиваемое по /-му риску, равно X,/,.
Условие достаточности собранных негш-премий для покрытия суммарного убытка, аналогичное (7-3), теперь запишется как
или
(7-10)
Если положить Z( = XiJj - TnCt, получается модель, аналогичная рассмотренной в предыдущем разделе. Случайные величины Z( независимы и одинаково распределены, поэтому распределение их суммы приближенно нормально. Вычислим математические ожидания и дисперсии Zr Обозначим Sb = ЕХ., S = ЕС(. Имеем
EZ,=E(X,y,-r„C,).
По формуле полного математического ожидания (см. раздел 12.1)
поэтому
EZ,=«S,-r„S.
Аналогично второй момент
EZ2 = Е(X 2J2 - 2Г„ XJC + Т2С2) =
= qEX2 - 2TnqE(XC) + Т„2ЕС2 =
= Я И + sl) - 2Т„яЦХС) + т; (оі + S1),
где <7Х и <7С — средние квадратические отклонения страхового убытка на один полис X и страховой суммы С соответственно (индексы опущены для краткости).
Для вычисления Е(ХС) потребуется одно предположение. Рассмотрим величину V - Х/С — относительное страховое возмещение по риску. Логично предположить, что величины ?: и С, независимы. Действительно, первая из них описывает ущерб, причиненный застрахованному объекту. Например, если V - 0,25, то это означает, что объект поврежден на 25% его полной стоимости. С другой стороны, величина С описывает сумму, на которую застрахован объект. Если V определяется свойствами объекта (риска), то С — свойствами страхователя (его предпочтениями, финансовыми возможностями и т.д.). Хотя V и С независимы, X и С являются зависимыми величинами.
В силу сделанного предположения о независимости
S
Г mz
откуда —v п —- = ас. <?z
Читателю предоставляется самостоятельно подставить выражения для mz и az и решить получающееся квадратное уравнение для Тп. Выпишем решение — выражение для ставки тарифа:
(7-П)
где гь - crx/Sb — коэффициент вариации убытков по одному полису Хп г - (Tc/S — коэффициент вариации страховых сумм Сг В (7-11) первое слагаемое представляет чистую рисковую (или “основную”, как в Методике) часть тарифной ставки Т0 (упражнение 7.8), а второе — рисковую надбавку Т .
Собственно говоря, как указано Сурковым, Шоргиным и Шуховым [Сурков, Шоргин, Шухов, 1994], формула Методики (1) является упрощенным вариантом (7-11), получающимся, если положить в ней г = О,
(7-12)
Такое упрощение, по-видимому, допустимо во многих практических случаях. Когда q мало, а п велико, “добавочные” члены qr2 и а2г2/п, на которые соответственно числитель и знаменатель дроби под корнем в (7-11) отличаются от (7-12), малы по сравнению с другими членами. Однако в практике могут встретиться случаи, когда разница будет достаточно ощутимой.
Величины математических ожиданий и дисперсий, необходимые для расчета входящих в формулы (7-11) или (7-12) коэффициентов вариации гь и г, должны оцениваться по статистическим данным. Это делается с помощью стандартных статистических оценок.
Пример 7.3. Предположим, что страховая компания намерена застраховать от повреждения (ущерба) 100 однотипных автомобилей, полная стоимость каждого из которых оценивается в 6000 долл. Имеются статистические данные о страховании 74546 автомобилей такого типа; всего произошло 6111 страховое событие.
Данные об относительных страховых выплатах и страховых суммах представлены в таблице.
возмещение
Требуется найти нетто-тариф Тп, соответствующий ? = 0,95.
Для распределения страховой суммы, согласно таблице, среднее равно
1500+ 3000^- +4500^-+ 6000 = 4085,9,
6111
6111
6111
6111
среднее квадратическое отклонение
(1500 - 4085,911)2 + (3000 - 4085,911)2 +
6110 6110
+(4500 - 4085,911)2 + (6000 - 4085,911)2 = 1715,0.
6111 6111
Подставляя в формулу (7-11) эти значения вместе со средним и средним квадратическим отклонением X, а также оценку
= 0,0820
6111
74546
и ас =1,645, получаем Тн =0,0502, основная часть То =0,0289, рисковая надбавка Тр =0,0213.
Несколько более существенным источником ошибки оказывается неточность нормальной аппроксимации. В этом примере щ = 8,2. На рис. 7.3 приведены результаты численного моделирования суммарного страхового возмещения для 100 независимых рисков с такими распределениями убытка, как у величины X. Распределение имеет положительную асимметрию и плохо приближается нормальным, что и видно визуально, и подтверждается статистическими критериями. Квантиль уровня 0,95 этого распределения превышает квантиль нормального распределения с теми же средним и дисперсией на 3,6%, а для квантиля уровня 0,975 превышение составляет уже 7,4%. Следовательно, реально нужный страховой резерв будет на 7,4% больше рассчитанного по Методике. Заметим, что в этом примере распределение X является “не слишком плохим”: оно имеет не слишком большую асимметрию и не обладает тяжелым хвостом. Для “плохих” распределений убытка по полису ошибка могла бы оказаться значительно больше.
Однако Методика (I) не содержит каких-либо ограничений по своему применению и, тем самым, обязательна для расчета в любом случае.
Упражнения к главе 7
Упражнение 7.1. Рассмотрим две страховые компании А и В, страхующие большие группы независимых и однородных рисков. Предположим, что компании А и В намерены объединиться, образовав компанию С. Обозначим и^д5,и^д5,и^95 величины резервов, необходимых, соответственно, компаниям А, В и С для покрытия своих обязательств с вероятностью 0,95. Покажите, что
Объясните эту формулу с позиций раздела 2.4.
Упражнение 7.2. В ситуации примера 7.1 рассмотрим интервал времени в один месяц вместо одного года. Тогда п = 100 (приближенно считаем все месяцы одинаковыми по длительности). Найдите е, оставляющую ? на том же уровне, что и найденный в примере.
Упражнение 7.3. Компания страхования жизни продает полисы краткосрочного (на 1 год) страхования жизни двух типов: типа А и типа Б. По полису типа А в случае смерти застрахованного выплачивается 50000 долл.; по полису Б — 100000 долл. В случае смерти от несчастного случая эти суммы удваиваются. Предположим, что компания предполагает продать полисы людям возрастных групп 1 и 2 в количестве: людям группы 1 — 100 полисов типа А и 40 — типа Б; людям группы 2 — 60 полисов типа А и 35 — типа Б. Вероятность смерти в течение года застрахованного группы 1 равна 0,02; застрахованного группы 2 — 0,04. В группе 1 в среднем 20% смертей происходят от несчастных случаев, в группе 2 — только 10%. Найти относительную рисковую надбавку, считая ее одинаковой для всех полисов, при е - 0,95.
Упражнение 7.4. Страховая компания страхует 1000 автомобилей стоимостью 3000 долл, каждый. 200 автомобилей застрахованы только от угона, 300 — только от ущерба в случае аварии, 500 — от угона и ущерба. Согласно статистическим данным, в течение срока страхования для одного полиса вероятность угона равна 0,02, вероятность аварии — 0,1, вероятность повторных страховых случаев пренебрежимо мала. Ущерб в случае аварии распределен равномерно от 0 до 3000 долл.; в случае угона выплачивается 3000 долл. Найти относительную рисковую надбавку, если она одинакова дтя всех полисов, при е - 0,95.
Упражнение 7.5. Пусть страховая компания имеет п независимых рисков с одинаковыми распределениями убытков. Нетто-премия по каждому риску равна Р. Предположим, что все риски перестрахованы пропорционально (см. раздел 3.4) с одинаковым коэффициентом собственного удержания с. При этом плата за перестрахование одного риска пропорциональна 1-с и равна (1-с)/’(1 + <^), где ?>0 — перестраховочная нагрузка. Выпишите выражение для капитала под риском U как функции от с.
Упражнение 7.6. Модель с инвестиционным риском. Рассмотрим условную группу из п полисов с независимыми одинаково распределенными убытками, каждый из которых имеет математическое ожидание т и среднее квадратическое отклонение (7. Предположим, что все полисы начинают действовать в момент времени 0 и имеют срок 1 год. Пусть годовая доходность инвестиционного портфеля страховой компании имеет нормальное распределение с параметрами тг и <тг и не зависит от убытков по рискам. Пусть U — резерв, инвестируемый в момент 0. Найти величину U, такую, чтобы сумма убытков по рискам за год не превысила U плюс инвестиционный доход на конец года.
Упражнение 7.7. Завершите вывод формулы (7-11).
Упражнение 7.8. Проверьте, что если тариф ТП равен первому слагаемому в формуле (7-11), Т" =Т0 =qSb/S, то страховые премии в среднем равны страховому убытку, т.е. EZ( = 0.
глава
МОДЕЛИ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Следующий шаг в развитии моделей риска по сравнению с главой 7 — описание риска при помощи случайных процессов. Эта