Математический анализ в Maple 9

В системе компьютерной математики Maple есть возможности для решения задач математического анализа. Система позволяет выполнять базовые действия математического анализа: вычислять пределы, вычислять производные, интегрировать и решать дифференциальные уравнения. В большинстве случаев соответствующие Maple-функции находятся в ядре системы и не требуют подключения пакетов расширения

Математический анализ в Maple
Важным разделом математики является исследование аналитических функций. Оно обычно заключается в определении координат особых точек функции и ее значений в этих точках, а также в выяснении особенностей функции, таких как наличие точек разрыва, асимптот, точек перегибов, разрывов и т. д. К сожалению, пока нет средств, сразу выявляющих все особенности функций, поскольку даже средства, решающие частные задачи анализа функций, довольно сложны и специфичны. Достаточно отметить проблему поиска экстремумов функций (особенно функций нескольких переменных). Поэтому функции приходится анализировать индивидуально.
С помощью функции fsolve легко находятся значения независимой переменной х функций вида f(x), при которых f(x)=0 (корни этого уравнения). При этом данная функция позволяет (в отличие от функции solve) изолировать корни функции f(x) указанием примерного интервала их существования. Ряд функций служит для вычисления экстремумов, максимумов и минимумов функций, а также для определения их непрерывности. Одна из таких функций, extrema, позволяет найти экстремумы выражения ехрr (как максимумы, так и минимумы) при ограничениях constcs и переменных vans, по которым ищется экстремум: extrema(expr. constrs) extrema(expr, constrs, vars) extrematexpr, constrs, vans, V)
Ограничения contrs и переменные vars могут задаваться одиночными объектами или списками ряда ограничений и переменных. Найденные координаты точки экстремума присваиваются переменной 's'. При отсутствии ограничений в виде равенств или неравенств вместо них записывается пустой список {}. Эта функция в предшествующих версиях Maple находилась в стандартной библиотеке и вызывалась командой readlib(extrema). Но в Maple 7 ее можно использовать без предварительного объявления.

Шаг 1
Конвертирование и преобразование интегралов
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Вычисление определенных интегралов
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Каверзные интегралы и визуализация
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Шаг 5
Шаг 6
Шаг 7
Шаг 8
Шаг 9
Шаг 10
Шаг 11
Шаг 12
Шаг 13
Шаг 14
Интегралы с переменными пределами интегрирования
Шаг 1
Вычисление кратных интегралов
Шаг 1
Вычисление пределов функций
Шаг 1
Шаг 2
Разложение функций в ряды
Шаг 1
Последовательности с заданным числом членов
Шаг 1
Разложение в ряды Тейлора и Маклорена
Шаг 1
Шаг 2
Пример документа — разложение синуса в ряд
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Решение уравнений и неравенств
Решение одиночных нелинейных уравнений
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Решение тригонометрических уравнений
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Шаг 5
Решение систем линейных уравнений
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Шаг 5
Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений
Шаг 1
Функция RootOf
Шаг 1
Решение уравнений со специальными функциями
Шаг 1
Решение неравенств
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Шаг 5
Суммы с заданным пределом
Шаг 1
Решение функциональных уравнений
Шаг 1
Решение уравнений с линейными операторами
Шаг 1
Решение в численном виде — функция fsolve
Шаг 1
Решение рекуррентных уравнений — rsolve
Шаг 1
Шаг 2
Решение уравнений в целочисленном виде — isolve
Шаг 1
Функция msolve
Что нового мы узнали?
Суммы бесконечных последовательностей
Шаг 1
Шаг 2
Сумма от перемены мест слагаемых меняется!
Шаг 1
Шаг 2
Двойные суммы
Шаг 1
Вычисление произведений членов последовательностей
Шаг 1

Анализ функций
Урок 9
Анализ функций

Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Работа с функциями piecewise
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Операции с полиномами
Шаг 1
Выделение коэффициентов полиномов

Шаг 1
Оценка коэффициентов полинома по степеням
Шаг 1
Оценка степеней полинома
Шаг 1
Разложение полинома на множители
Шаг 1
Разложение полинома по степеням
Шаг 1
Вычисление корней полинома

Шаг 1
Основные операции с полиномами
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Операции над степенными многочленами
Шаг 1
Шаг 2
Поиск минимумов и максимумов аналитических функций

Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Интерполяция и аппроксимация функциональных зависимостей
Аппроксимация аналитически заданных функций
Шаг 1
Шаг 2
Полиномиальная интерполяция табличных данных
Шаг 1
Шаг 2

Сплайнинтерполяция и аппроксимация
Шаг 1
Прямое и обратное Zпреобразования
Шаг 1
Что нового мы узнали?
Анализ функций на непрерывность
Определение точек нарушения непрерывности
Нахождение сингулярных точек функции
Шаг 1
Вычисление асимптотических и иных разложений

Шаг 1
Шаг 2
Пример анализа сложной функции
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Функции из отдельных кусков
Простые примеры применения функции piecewise
Шаг 1

Основные операции с выражениями
Основные операции с выражениями
Шаг 1
Функции сортировки и селекции
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3

Шаг 4
Упрощение выражений
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Расширение выражений
Шаг 1
Факторизация выражений
Шаг 1

Шаг 2
Разложение выражений (факторизация)
Шаг 1
Шаг 2
Комплектование по степеням
Шаг 1
Шаг 2
Программирование символьных операций
Шаг 1
Шаг 2

Шаг 3
Шаг 4
Шаг 5
Вычисление интеграла по известной формуле
Шаг 1
Работа с уровнями вложенности выражений
Шаг 1
Преобразование выражений в тождественные формы
Шаг 1
Шаг 2

Преобразование выражений
@@...
Шаг 1
Контроль за типами объектов
Подстановки
Шаг 1
Функциональные преобразования элементов списков
Шаг 1
Шаг 2
Подстановки с помощью функций add mul и seq

Шаг 1
Шаг 2
Подстановки с помощью функций subs и subsop
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3

Основные возможности двумерной графики
Урок 11

Основные возможности двумерной графики
Графики функций построенные точками
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Графики функций заданных своими именами
Шаг 1
Графики функций с ординатами заданными вектором
Шаг 1
Графики функций заданных процедурами

Шаг 1
Шаг 2
Графики функций заданных функциональными операторами
Графики функций заданных параметрически
Шаг 1
Графики функций в полярной системе координат
Шаг 1
Шаг 2
Построение трехмерных графиков
Особенности применения функции plot3d

Шаг 1
Шаг 2
Параметры функции plot3d
Выбор и пересчет координат трехмерных графиков
Основная функция построения двумерных графиков plot
Построение поверхностей
Построение поверхностей с разными стилями
Шаг 1
Шаг 2
Построение фигур в различных системах координат

Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
D графики параметрически заданных поверхностей
Шаг 1
Масштабирование трехмерных фигур и изменение углов их обзора
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4

Занимательные фигуры — трехмерные графики
Шаг 1
Шаг 2
Быстрое построение графиков
Двумерная быстрая графика — smartplot
Шаг 1
Шаг 2
Быстрое построение трехмерных графиков smartplot3d
Шаг 1
Шаг 2

Специальные приемы построения трехмерных графиков
Трехмерный график как графический объект
Шаг 1
Задание трехмерных графиков в виде процедур
Шаг 1
Построение ряда трехмерных фигур на одном графике
Шаг 1
Задание координатных систем двумерных графиков
Двумерные и трехмерные графические структуры
Понятие о графических структурах

Графические структуры двумерной графики
Шаг 1
Графические структуры трехмерной графики
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Что нового мы узнали?
Управление стилем и цветом линий двумерных графиков
Основные типы двумерных графиков
Графики одной функции

Шаг 1
Шаг 2
Управление диапазоном изменения
Шаг 1
Шаг 2
Графики функций в неограниченном диапазоне
Графики функций с разрывами
Шаг 1
Шаг 2
Среди аргументов функции plot

Графики нескольких функций на одном рисунке
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3

Контурные трехмерные графики
Пакет plots
Контурные трехмерные графики
Шаг 1
Техника визуализации сложных пространственных фигур

Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Шаг 5
Техника анимирования графиков
Шаг 1
Проигрыватель анимированной графики
Построение двумерных анимированных графиков
Шаг 1

Шаг 2
Построение трехмерных анимационных графиков
Шаг 1
Анимация с помощью параметра insequence
Графика пакета plottools
Примеры применения двумерных примитивов пакета plottools
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Примеры применения трехмерных примитивов пакета plottools

Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Построение графиков функций в
Построение графиков из множества фигур
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Анимация двумерной графики в пакете plottools
Анимация трехмерной графики в пакете plottools

Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Расширенные средства графической визуализации
Шаг 1
Визуализация решения систем линейных уравнений
Шаг 1
Визуализация решения систем неравенств
Шаг 1
Конформные отображения на комплексной плоскости

Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Графическое представление содержимого матрицы
Шаг 1
Визуализация ньютоновских итераций в комплексной области
Шаг 1
Визуализация корней случайных полиномов
Шаг 1
Шаг 2

Построение двумерных графиков типа implicitplot
Шаг 1
Визуализация поверхностей со многими экстремумами
Шаг 1
Визуализация построения касательной и перпендикуляра
Шаг 1
Шаг 2
Визуализация вычисления определенных интегралов
Шаг 1
Визуализация теоремы Пифагора

Шаг 1
Визуализация дифференциальных параметров кривых
Шаг 1
Таблица 12 1 Цвета при визуализации в процедуре shape_plot
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Иллюстрация итерационного решения уравнения f (х) = х
Шаг 1
Шаг 2

Шаг 3
Построение сложных фигур в полярной системе координат
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Построение сложных фигур импликативной графики
Шаг 1
Шаг 2
Расширенная техника анимации
Шаг 1

Шаг 2
Шаг 3
Наблюдение надрав анимации поверхности
Шаг 1
Построение графиков линиями равного уровня
Шаг 1
Шаг 2
Новая функция для построения стрелок arrow
Шаг 1
Построение сложных комбинированных графиков

Шаг 1
Шаг 2
Что нового мы узнали?
График плотности
Шаг 1
Двумерный график векторного поля
Трехмерный график типа implicitplot3d
Графики в разных системах координат
Шаг 1
Графики типа трехмерного поля из векторов

Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3

Основные средства решения дифференциальных уравнений
Основные средства решения дифференциальных уравнений
Графическое представление решений дифференциальных уравнений
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3

Функция DEplot из пакета DEtools
Шаг 1
Шаг 2
Функция DEplotSd из пакета DEtools
Шаг 1
Функция PDEplot пакета DEtools
Шаг 1
Шаг 2
Графическая функция dfieldplot
Шаг 1

Графическая функция phaseportrait
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Углубленный анализ дифференциальных уравнений
Проверка ДУ на автономность
Шаг 1
Контроль уровня вывода решения ДУ
Шаг 1
Приближенное полиномиальное решение ДУ

Шаг 1
Шаг 2
Решение ОДУ первого порядка
Шаг 1
Шаг 2
Что нового мы узнали?
Решение дифференциальных уравнений второго порядка
Шаг 1
Шаг 2
Решение систем дифференциальных уравнений

Шаг 1
Численное решение дифференциальных уравнений
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Дифференциальные уравнения с кусочными функциями
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3

Шаг 4
Шаг 5
Структура неявного представления
Шаг 1
Инструментальный пакет решения
Основные функции пакета DEtools
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4

Шаг 5
Шаг 6
Шаг 7
Математический анализ в Maple 9
Основной структурной единицей в Maple является рабочий лист, а само окно программы внешне напоминает окна приложений Microsoft Windows: такая же панель меню со стандартным набором команд (часть из них специфична для Maple, но многие, особенно те, которые касаются редактирования документов, вполне знакомы пользователю системы Windows вообще и редактора Word в частности), панель инструментов с кнопками, дублирующими команды панели меню, контекстная панель, рабочая область, строка состояния.
Работа осуществляется в интерактивном режиме: пользователь вводит команду, нажимает <Enter>, после чего в том же рабочем листе под введенной командой отображается результат выполнения операции вычислительным ядром Maple. Сам рабочий лист разбивается на группы. В пределах одной группы выполняются сразу все команды — в порядке их следования в группе. Поэтому формально в Maple выполняется не команда, а группа команд (другое дело, что группа может состоять из одной команды). Что касается самих групп, то их выполнять можно в произвольном порядке, На первый взгляд может показаться, что такой подход создает искусственные трудности в работе. Однако это далеко не так. Грамотно составленный рабочий лист Maple напоминает музыкальный инструмент, в котором роль клавиш играют группы — "сыграть" на нем можно практически любую "мелодию". Это яркое проявление абсолютно новой философии, реализованной командой разработчиков университета Waterloo.
Maple — "аналитик" до мозга костей. Даже в тех случаях, когда вычисления носят численный характер, расчетные алгоритмы очень часто реализуются так, чтобы получить сначала аналитический результат (хотя данный режим может быть отключен — с этой целью предусмотрены специальные опции). Кстати, численные значения могут быть получены с практически любой нужной степенью точности, причем достаточно быстро.
В Maple на сегодня в общей сложности используется более трех тысяч команд, однако некоторые из них (наиболее важные) применяются достаточно часто и составляют костяк базового языка. Они, в основном, имеют отношение к проблемам интегрирования и дифференцирования функций, решения уравнений и т.п. Некоторые команды доступны только при подключении специальных пакетов.

Панель меню
Панель инструментов
Контекстные панели
Заключительные замечания

Контрольные вопросы

Вычисление производных явно заданных функций
Вычисление производных явно заданных функций

Вычисление производных функций, заданных параметрически
Производные от неявно заданных функций
Производные высших порядков
Вычисление пределов
Экстремум функции
Частные производные
Дифференцирование неявно заданных функций нескольких переменных
Замена переменных
Экстремум функции нескольких переменных
Заключительные замечания

Контрольные вопросы

Числовые и функциональные ряды
Суммирование числовых рядов
Исследование рядов на сходимость

Разложение функций в ряды Тейлора и Лорана
Разложение функций в ряд Фурье
Специальные функции
Заключительные замечания

Контрольные вопросы

Интегрирование
Вычисление неопределенных интегралов
Вычисление определенных интегралов
Интегральные преобразования
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Заключительные замечания

Контрольные вопросы

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
Уравнения в частных производных
Заключительные замечания
Контрольные вопросы

Задачи динамики
Задачи динамики
Системы с колебаниями
Заключительные замечания

Контрольные вопросы

Интерполяция методом Лагранжа
Интерполяция методом Лагранжа
Интерполяция методом Ньютона
Общая задача интерполирования
Встроенные процедуры Maple
Процедуры пакета CurveFitting
Решение уравнений
Численное дифференцирование
Численное интегрирование
Заключительные замечания

Контрольные вопросы

Математический анализ в Maple 9

Анализ функций

Основные операции с выражениями

Основные возможности двумерной графики

Контурные трехмерные графики

Основные средства решения дифференциальных уравнений

Вычисление производных явно заданных функций

Числовые и функциональные ряды

Интегрирование

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Задачи динамики

Интерполяция методом Лагранжа